ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

Transcript

1 ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΠΡΟΒΛΕΨΕΩΝ & ΕΛΕΓΧΟΥ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΩΡΙΑΣ-ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ΚΙΝΗΤΟΥ ΜΕΣΟΥ MA(q) ΚΑΙ ΜΙΚΤΑ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ARMA (p,q)

2 ΕΠΙΧ - Τεχνικές Προβλέψεων & Ελέγχου Διαφάνεια ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ΚΙΝΗΤΟΥ ΜΕΣΟΥ (MA(q)) Στην γενική του μορφή ένα υπόδειγμα κινητού μέσου q τάξης MA(q) δίνεται από την παρακάτω σχέση. Η τάξη αναφέρεται στο μήκος της υστερήσεως της μεταβλητής για την οποία θεωρούμε ότι είναι λευκός θόρυβος. Ο όρος κινητός μέσος αναφέρεται στο γεγονός ότι η εξαρτημένη μεταβλητή εμφανίζεται ως ένα σταθμισμένο άθροισμα. Y Y... ή q q... q q

3 ΕΠΙΧ - Τεχνικές Προβλέψεων & Ελέγχου Διαφάνεια ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ΚΙΝΗΤΟΥ ΜΕΣΟΥ (MA()) Στην περίπτωση όπου q= η προηγούμενη σχέση δίνεται παρακάτω γενική του μορφή ένα υπόδειγμα κινητού μέσου q τάξης MA(q) δίνεται από την παρακάτω σχέση ή αφαιρώντας τον μέσο ως εξής. Y ήy y Χρησιμοποιώντας τον τελεστή υστέρησης Y Σε μια MA () διαδικασία ισχύουν. E( Y ) 0, V ( Y ) ( ) 0 s Cov( Y, Y s ), s ή 0 s 0 s, s ή 0 s 0 ( )

4 ΕΠΙΧ - Τεχνικές Προβλέψεων & Ελέγχου Διαφάνεια 3. ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ΚΙΝΗΤΟΥ ΜΕΣΟΥ (MA()) Αποδείξεις: E ( Y ) E ( ) E ( ) E ( ) 0 Var( Y ) 0 E( Y ) E( )..., C o v Y Y E Y Y k k k E ( ) ( ) E ( ) E ( ) E ( ) E ( ) E ( ) - θ σ θ 0 σ ( ) Όπως γίνεται αντιληπτό όλες οι αυτοσυνδιακυμάνσεις και συνεπώς και οι αυτοσυσχετίσεις είναι μηδέν εκτός από την πρώτη. Αυτό σημαίνει ότι μια οποιαδήποτε παρατήρηση της χρονοσειράς σχετίζεται μόνο με την προηγούμενη ή την επομένη και δεν σχετίζεται με καμία άλλη.

5 ΕΠΙΧ - Τεχνικές Προβλέψεων & Ελέγχου Διαφάνεια 4

6 ΕΠΙΧ - Τεχνικές Προβλέψεων & Ελέγχου Διαφάνεια 5 Τα υποδείγματα κινητού μέσου είναι χρήσιμα για περιγραφή φαινομένων όπου τα γεγονότα παράγουν ένα άμεσο αποτέλεσμα, η επίδραση του οποίου δεν σταματά εκεί αλλά συνεχίζει, αν και το ίδιο το γεγονός παύει να υφίσταται. Τις περισσότερες φορές επηρεάζει λιγότερο και για μικρό χρονικό διάστημα τις επόμενες χρονικές στιγμές. Ένα χαρακτηριστικό παράδειγμα είναι οι απεργίες όπου επηρεάζουν την οικονομία όχι μόνο βραχυχρόνια αλλά και μακροχρόνια.

7 ΕΠΙΧ - Τεχνικές Προβλέψεων & Ελέγχου Διαφάνεια 6 ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ΚΙΝΗΤΟΥ ΜΕΣΟΥ (MA()) Στην περίπτωση όπου q= η προηγούμενη σχέση δίνεται παρακάτω γενική του μορφή ένα υπόδειγμα κινητού μέσου q τάξης MA(q) δίνεται από την παρακάτω σχέση ή αφαιρώντας τον μέσο ως εξής. Y + ή Y y - Χρησιμοποιώντας τον τελεστή υστέρησης Σε μια MA () διαδικασία ισχύουν. E ( Y ) 0, V ( Y ) ( ) 0 ( ),, 0 ( ),, 0 s s Y ( )

8 ΕΠΙΧ - Τεχνικές Προβλέψεων & Ελέγχου Διαφάνεια 7 ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ΚΙΝΗΤΟΥ ΜΕΣΟΥ (MA()) Στην περίπτωση όπου q= η προηγούμενη σχέση δίνεται παρακάτω γενική του μορφή ένα υπόδειγμα κινητού μέσου q τάξης MA(q) δίνεται από την παρακάτω σχέση ή αφαιρώντας τον μέσο ως εξής. Y + ή Y y - Χρησιμοποιώντας τον τελεστή υστέρησης Σε μια MA () διαδικασία ισχύουν. E ( Y ) 0, V ( Y ) ( ) 0 ( ),, 0 ( ),, 0 s s Y ( )

9 ΕΠΙΧ - Τεχνικές Προβλέψεων & Ελέγχου Διαφάνεια 8 ΑΝΤΙΣΤΡΕΨΙΜΟΤΗΤΑ Η ανιστρεψιμότητα αφορά την δυνατότητα μετατροπής ενός MA(q) υποδείγματος σε να γραφεί ως εξής: AR( ) απείρου τάξης.για παράδειγμα το ΜΑ() μπορεί y y ( y ) y y y j y j j Η ιδιότητα της αντιστρεψιμότητας αφορά στην μετατροπή ενός υποδείγματος σε υπόδειγμα (άπειρης τάξης). Αντίστοιχα θα λέμε ότι ένα υπόδειγμα είναι αντιστρέψιμο αν μπορεί να λάβει μορφή ενός υποδείγματος. Τα υποδείγματα θα λέμε ότι είναι αντιστρέψιμα εφόσον είναι και στάσιμα. Αντίθετα για τις διαδικασίες κινητού μέσου θα πρέπει να πληρούν κάποιες προϋποθέσεις για να είναι αντιστρέψιμα όπως θα παρατηρήσουμε και παρακάτω

10 ΕΠΙΧ - Τεχνικές Προβλέψεων & Ελέγχου Διαφάνεια 0 ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΩΝ MA Το κύριο πρόβλημα στην εκτίμηση του παραπάνω υποδείγματος είναι ότι δεν μπορεί να εκτιμηθεί με βάση την μέθοδο ελαχίστων τετραγώνων λόγω ότι η προς ελαχιστοποίηση συνάρτηση δεν είναι γραμμική ως προς τις παραμέτρους και χρησιμοποιούνται μη γραμμικές μέθοδοι.

11 ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ΜΙΚΤΑ (ARMA(p,q)) Στην γενική του μορφή ένα μικτό υπόδειγμα αυτοπαλίνδρομο p τάξης και κινητού μέσου q τάξης δίνεται από την παρακάτω σχέση. Η τάξη αναφέρεται στο μήκος της υστερήσεως της μεταβλητής για την οποία θεωρούμε ότι είναι λευκός θόρυβος. Ο όρος κινητός μέσος αναφέρεται στο γεγονός ότι η εξαρτημένη μεταβλητή εμφανίζεται ως ένα σταθμισμένο άθροισμα. q q p p Y Y Y q q p p Y... ) (... ) ( ) ( ) ( 0 ΕΠΙΧ - Τεχνικές Προβλέψεων & Ελέγχου Διαφάνεια

12 ΕΠΙΧ - Τεχνικές Προβλέψεων & Ελέγχου Διαφάνεια Υποδείγματα μορφής Ελάχιστων Τετραγώνων Χρησιμοποιούμε το παρακάτω οικονομετρικό υπόδειγμα. y 0 Οι εκτιμητές αυτού δίνονται με βάση τις εξής εξισώσεις

13 ΕΠΙΧ - Τεχνικές Προβλέψεων & Ελέγχου Διαφάνεια 3 Συνθήκες Στασιμότητας & Αντιστρεψιμότητας των ARMA Υπόδειγμα Στασιμότητα Αντιστρεψιμότητα AR() AR() AR(p) MA() MA() Οι ρίζες του πολυωνύμου A() να κείνται εκτός του μοναδιαίου κύκλου Πάντα στάσιμο Πάντα στάσιμο Αντιστρέψιμο εφόσον στάσιμο Αντιστρέψιμο εφόσον στάσιμο Αντιστρέψιμο εφόσον στάσιμο MA(q) Πάντα στάσιμο Οι ρίζες του πολυωνύμου Θ() να κείνται εκτός του μοναδιαίου κύκλου ARMA(,) ARMA (p,q) a a a, a a, a Οι ρίζες του πολυωνύμου A() να κείνται εκτός του μοναδιαίου κύκλου a,, Οι ρίζες του πολυωνύμου Θ() να κείνται εκτός του μοναδιαίου κύκλου

14 ΕΠΙΧ - Τεχνικές Προβλέψεων & Ελέγχου Διαφάνεια 4 ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΤΩΝ ARMA Υπόδειγμα Αυτοσυσχετίσεις ACF Μερικές Αυτοσυσχετίσεις PACF AR() Φθίνουν προς το μηδέν από ρ Μηδέν μετά το φ AR() Φθίνουν Μηδέν μετά το φ AR(p) Φθίνουν προς το μηδέν από ρq Μηδέν μετά το φpp MA() Μηδέν μετά το ρ Φθίνει σχεδόν γεωμετρικά από το MA() Μηδέν μετά το ρ Φθίνει γεωμετρικά ή κυματιστά από το φ MA(q) Μηδέν μετά το ρq Φθίνει γεωμετρικά ή κυματιστά από το φqq ARMA(,) Φθίνει γεωμετρικά από το ρ Φθίνει γεωμετρικά ή κυματιστά από το φ ARMA (p,q) Φθίνει γεωμετρικά από το ρq Φθίνει γεωμετρικά ή κυματιστά από το φpp φ

15 ΕΠΙΧ - Τεχνικές Προβλέψεων & Ελέγχου Διαφάνεια 5 Ασκήση -Παραδείγματα Εστω η ακόλουθη στοχαστική διαδικασία Y , ) Είναι η διαδικασία στάσιμη; ) Είναι αντιστρέψιμη; 3) Να βρεθεί ο μέσος, η διακύμανση και οι αυτοσυσχετίσεις ρ, ρ, ρ. 4) Να γίνει το διάγραμμα αυτοσυσχέτισης.

16 ΕΠΙΧ - Τεχνικές Προβλέψεων & Ελέγχου Διαφάνεια 6 Ασκήση -Παραδείγματα Εστω η ακόλουθη στοχαστική διαδικασία Y Y , ) Είναι η διαδικασία στάσιμη; ) Να διατυπωθεί ως μια καθαρά AR ή ΜΑ διαδικασία. 3) Να βρεθεί ο μέσος,τα γ0, γ, γ και οι αυτοσυσχετίσεις ρ, ρ, ρ.

17 ΕΠΙΧ - Τεχνικές Προβλέψεων & Ελέγχου Διαφάνεια 7 Ασκήση 3-Παραδείγματα Εστω η ακόλουθη στοχαστική διαδικασία Y , 4 ) Να διατυπωθεί το υπόδειγμα με τον συμβολισμό του τελεστή υστέρησης. ) Είναι αντιστρέψιμη; 3) Να βρεθεί ο μέσος, η διακύμανση και οι αυτοσυσχετίσεις ρ, ρ, ρ. 4) Να γίνει το διάγραμμα αυτοσυσχέτισης.