ΗΡΑΚΛΕΙΟ 2007 ΙΩΑΝΝΑ ΚΑΠΕΤΑΝΟΥ

Transcript

1 ΙΩΑΝΝΑ ΚΑΠΕΤΑΝΟΥ

2 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ 1.1 Γιατί οι επιχειρήσεις έχουν ανάγκη την πρόβλεψη σελ Μέθοδοι πρόβλεψης....σελ.2 ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ 2.1 Υπόδειγμα του Κινητού μέσου όρου.σελ Υπόδειγμα της Εκθετικής εξομάλυνσης σελ Υπόδειγμα της Απλής Εκθετικής εξομάλυνσης με αναπροσαρμοζόμενο ρυθμό Ανταπόκρισης σελ Υπόδειγμα της Γραμμικής Εκθετικής εξομάλυνσης μιας παραμέτρου του Brown....σελ Υπόδειγμα της Γραμμικής Εκθετικής εξομάλυνσης διπλής παραμέτρου...σελ Μέθοδοι διαχωρισμού των συνιστωσών της χρονολογικής σειράς..σελ Συμπεράσματα...σελ.29 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ 1

3 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 1.1 Γιατί οι επιχειρήσεις έχουν ανάγκη την πρόβλεψη Η πρόβλεψη είναι η διαδικασία εκτίμησης σε άγνωστες καταστάσεις. Χρησιμοποιήθηκε από τον άνθρωπο από το παρελθόν. Με την πάροδο των χρόνων η ανάγκη για πρόβλεψη αυξήθηκε καθώς υπάρχει η ανάγκη για κατανόηση της «ακριβής εξέλιξης» των πραγμάτων. Συνήθως, όσο αφορά στις επιχειρήσεις, οι προβλέψεις αποτελούν αριθμητικούς υπολογισμούς των μελλοντικών επιπέδων των πωλήσεων, της ζήτησης, των επενδύσεων, του κόστους, των εξαγωγών, των τιμών, ανάμεσα σε άλλα. Ο σκοπός της πρόβλεψης είναι να βοηθήσει τη διεύθυνση να προγραμματίσει τις απαιτήσεις για markeing, τις ανάγκες για πρώτες ύλες, τις ανάγκες για προσωπικό, τον όγκο της παραγωγής, τις ανάγκες για απόκτηση κεφαλαίων και άλλα. Ενώ η πρόβλεψη είναι σημαντικός παράγοντας πολλοί αναρωτιούνται για την αξιοπιστία της. Όλοι οι οργανισμοί όμως,λειτουργούν μέσα σε μια ατμόσφαιρα αβεβαιότητας σε ότι αφορά τα μελλοντικά γεγονότα, και είναι υποχρεωμένοι να παίρνουν αποφάσεις με δεδομένη αυτή την αβεβαιότητα. Οι μέθοδοι πρόβλεψης ποικίλουν από σχετικά απλές τεχνικές έως πολυδιάστατες και πολύπλοκες. Η μελέτη των μεθόδων αρχίζει με την εξέταση τεχνικών προεκβολής, όπως ο κινητός μέσος όρος και η εκθετική εξομάλυνση. Η μελέτη προχωράει σε μεθόδους διαχωρισμού χρονοσειρών, μεθόδους παλινδρόμησης και οικονομετρικές. Στην συνεχεία θα μελετήσουμε τις μεθόδους πρόβλεψης και θα εφαρμόσουμε κάποια παραδείγματα με την χρήση ορισμένων τεχνικών έτσι ώστε να γίνει κατανοητή η λειτουργία των μεθόδων. 2

4 1.2 ΜΕΘΟΔΟΙ ΠΡΟΒΛΕΨΗΣ Οι τεχνικές των προβλέψεων ταξινομούνται σε δύο μεγάλες κατηγορίες. Στη μια κατηγορία ανήκουν οι τεχνικές που χρησιμοποιούν τα «ποσοτικά» υποδείγματα και στην άλλη οι τεχνικές που χρησιμοποιούν τα «ποιοτικά» υποδείγματα.. Τα υποδείγματα που ασχολούνται με την παραγωγή μελλοντικών αριθμητικών εκτιμήσεων ποικίλλουν από σχετικά απλά έως πολύ σύνθετα και απαιτητικά Στην εργασία μας θα αναφερθούμε στις τεχνικές πρόβλεψης που χρησιμοποιούν τα ποσοτικά υποδείγματα. Μια συνοπτική αναφορά στις τεχνικές πρόβλεψης με ποσοτικά και ποιοτικά υποδείγματα έχει ως εξής: ΙΩΑΝΝΑ ΚΑΠΕΤΑΝΟΥ 1. Προβλέψεις με την χρήση του κινητού μέσου όρου Είναι μια τεχνική πρόβλεψης που βασίζεται στον μέσο όρο παρατηρήσεων του παρελθόντος. Εφαρμόζονται για προβλέψεις μικρού χρονικού εύρους κυρίως στο πλαίσιο του προγράμματος έλεγχου των αποθεμάτων, 2. Προβλέψεις με την χρήση της εκθετικής εξομάλυνσης Η μέθοδος της εκθετικής εξομάλυνσης είναι μια ευέλικτη τεχνική προβολής της τάσης, όπου στις παρατηρήσεις παρελθόντων ετών δίνονται διαφορετικές σταθμίσεις κατά τον υπολογισμό της πρόβλεψης. Η μέθοδος αυτή είναι παρεμφερής με την μέθοδο του κινητού μέσου όρου, που επιτρέπει όμως σε αυτούς που προβλέπουν, να διορθώσουν προγενέστερες ανακρίβειες στις προβλέψεις. Η μέθοδος αυτή έχει το πλεονέκτημα της διενέργειας μιας απλής, επικαιροποιημένης πρόβλεψης, η οποία είναι όμοια με την παλαιότερη πρόβλεψη και επιπλέον περιέχει και κάποια αναλογία προβλεπτικού σφάλματος για την προηγούμενη περίοδο. Ακόμη η μέθοδος της εκθετικής εξομάλυνσης μπορεί να προσαρμοστεί ώστε στην πρόβλεψη να ληφθεί υπόψη η τάση και η εποχικότητα. Συνήθως χρησιμοποιούμε την μέθοδο της εκθετικής εξομάλυνσης για την πρόβλεψη μεγάλου αριθμού μεγεθών,όπως στην περίπτωση προβλέψεων περιθωρίου κέρδους και άλλα οικονομικά δεδομένα. 3. Προβλέψεις με την χρήση μεθόδων διαχωρισμού Οι μέθοδοι διαχωρισμού χρονοσειρών χρησιμοποιούνται ευρέως για την ταυτοποίηση των συστηματικών συνιστωσών μιας χρονοσειράς, όπως είναι η τάση,ο κύκλος και η 3

5 εποχικότητα καθώς και οι μη συστηματικές ή τυχαίες συνιστώσες. Εδώ ανήκει η μέθοδος Census ΙΙ. Πρόκειται για μια αναλυτική μέθοδο που μετράει την εποχική διακύμανση στις τιμές πολλών μεγεθών. Αναλύει διαχρονικά μεταβολές στα εποχικά υποδείγματα και παρέχει πρόβλεψη των μεταβαλλόμενων εποχικών δεικτών κατά ένα έτος μπροστά. Χρησιμοποιούμε αυτή τη μέθοδο για την απαλλαγή της χρονολογικής σειράς από την εποχικότητα και την πρόβλεψη μηνιαίων και τριμηνιαίων χρονοσειρών, που έχουν συλλεγεί και δημοσιευθεί από κυβερνητικούς φορείς. 4. Προβλέψεις με την χρήση αιτιοκρατικών μεθόδων Τα μοντέλα παλινδρόμησης είναι διαδικασίες εκτίμησης των παραμέτρων γραμμικών ή μη γραμμικών. Τα μοντέλα αυτά εκφράζουν τις σχέσεις που υπάρχουν ανάμεσα στις μεταβλητές, οι οποίες αποτελούν αντικείμενο πρόβλεψης των ερμηνευτικών μεταβλητών που σχετίζονται με αυτές. Οι μέθοδοι αυτές είναι πολύ χρήσιμες όταν υπάρχουν στη διάθεσή μας τα κατάλληλα ιστορικά δεδομένα, αυτά που σχετίζονται με τους κυρίαρχους παράγοντες που προκαλούν τις διακυμάνσεις στις τιμές των μεταβλητών που πρόκειται να προβλεφθούν. 5. Προβλέψεις με την χρήση οικονομετρικών υποδειγμάτων Τα οικονομετρικά υποδείγματα είναι συστήματα πολλών εξισώσεων που εκφράζουν τις δυναμικές αλληλοσυσχετίσεις μιας οικονομίας, ενός τομέα της οικονομίας ή μιας βιομηχανίας. Τα μοντέλα αυτά είναι μια επέκταση των υποδειγμάτων παλινδρόμησης και χρησιμοποιούνται για την εξήγηση και την πρόβλεψη της συμπεριφοράς των ενδογενών μεταβλητών στο μοντέλο. Τα οικονομετρικά μοντέλα είναι αιτιοκρατικά συστήματα στα οποία οι εξισώσεις θεωρούνται αιτιακές σχέσεις που ικανοποιούν τις αρχές της οικονομικής θεωρίας. Τυπικές εφαρμογές τέτοιων υποδειγμάτων περιλαμβάνουν συστήματα πρόβλεψης των πωλήσεων μεγάλων οργανισμών, επιχειρήσεων και κρατικών τομέων καθώς και για κλάδους ή ολόκληρη τη βιομηχανία. 4

6 6. Προβλέψεις με την χρήση μεθόδων φιλτραρίσματος και η τεχνικές Box Jenkins ΙΩΑΝΝΑ ΚΑΠΕΤΑΝΟΥ Οι μέθοδοι φιλτραρίσματος χρονοσειρών και οι διαδικασίες Box-Jenkins αποτελούν δυναμικές επεκτάσεις της εκθετικής εξομάλυνσης και των μεθόδων διαχωρισμού. Στις τεχνικές αυτές χρησιμοποιούνται οι πιο πρόσφατες παρατηρήσεις ως τιμές έναρξης και αναλύονται τα σφάλματα πρόβλεψης προκειμένου να καθορίσουν τις κατάλληλες προσαρμογές για τις μελλοντικές χρονικές περιόδους. Πρόκειται για εξαιρετικά σύνθετες μεθόδους που απαιτούν πολύ χρόνο στον ηλεκτρονικό υπολογιστή και μερικές φορές αποδεικνύονται πολυέξοδες στη χρήση τους. Οι προβλέψεις Box-Jenkins είναι αποδεδειγμένα πολύ ακριβείς για μερικές ομάδες δεδομένων χρονοσειρών. Στην πράξη όμως οι απλούστερες τεχνικές που απαιτούν λιγότερα δεδομένα, έχουν αποδειχθεί επιτυχείς σε πολλές εφαρμογές των προβλέψεων. 7. Προβλέψεις με Ποιοτικά υποδείγματα Η ποιοτική προσέγγιση στην πρόβλεψη συνίσταται στην χρήση τεχνικών που δεν εξαρτώνται αποκλειστικά από την ανάλυση αριθμητικών δεδομένων. Δηλαδή οι ποιοτικές προβλέψεις περιλαμβάνουν τη χρήση αξιολογικής κρίσης στην ανάλυση και πρόβλεψη μελλοντικών γεγονότων. Η τεχνική Δελφών και ανάλυση του οικονομικού βαρομέτρου (πρόβλεψη του κύκλου) είναι οι κύριες προσεγγίσεις στην πρόβλεψη με χρήση ποιοτικών υποδειγμάτων.η πρόβλεψη του κύκλου απαιτεί γνώσεις που έχουν αποκτηθεί από μεταβολές στις οικονομικές μεταβλητές κατά το παρελθόν. Η προσέγγιση των προπορευόμενων δεικτών απαιτεί χρονοσειρές που μετρούν την οικονομική δραστηριότητα, της οποίας η εξέλιξη σε οποιαδήποτε κατεύθυνση συνήθως προηγείται μιας άλλης χρονοσειράς. Για παράδειγμα, ο αριθμός των εκδόσεων αδειών οικοδομής αποτελεί ένδειξη ότι θα ακολουθήσουν μεταβολές στις πωλήσεις διαρκούς οικιακού εξοπλισμού, οι πίνακες διάχυσης χρησιμοποιούνται στην κυκλική ανάλυση για να μετρήσουν την εξάπλωση μιας κυκλικής στροφής σε όλη την έκταση της οικονομίας ή τμήματος αυτής. Η τεχνική Delphi που χρησιμοποιεί την υποκειμενική κρίση των ειδικών για να προβλέψει τις τεχνολογικές μεταβολές, τη ζήτηση και μακροπρόθεσμες αλλαγές στην επιχειρηματική δραστηριότητα. Στο επόμενο κεφαλαίο θα παρουσιάσουμε την αλγεβρική έκφραση των υποδειγμάτων πρόβλεψης που χρησιμοποιήσαμε στις εφαρμογές της παρούσας εργασία 5

7 ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ 2.1. Υπόδειγμα του Κινητού Μέσου Όρου Η πρόβλεψη χρονολογικών σειρών με τη μέθοδο του κινητού μέσου όρου περιλαμβάνει τον υπολογισμό του μέσου όρου του δείγματος παρατηρήσεων καθώς και την χρησιμοποίηση αυτού του μέσου σαν πρόβλεψη για την επόμενη περίοδο. Η αλγεβρική έκφραση του υποδείγματος δίνεται από την σχέση [σ.2.1] = ( X + X X n+ 1 ) [σ.2.1] n Όπου: +1 : Είναι η εκτίμηση της (μελλοντικής) τιμής στην περίοδο +1 X1, X2..., X 1, X : Είναι οι παρατηρούμενες στον χρόνο τιμές της σειράς : Είναι η χρονική περίοδος 2.2. Υπόδειγμα της απλής Εκθετικής Εξομάλυνσης Εκθετική εξομάλυνση χρησιμοποιείται συχνά είναι απλή στη χρήση της δεν έχει μεγάλες σε αριθμητικά δεδομένα. Η αλγεβρική έκφραση του υποδείγματος δίνεται από την σχέση [σ.2.2] = 1 ax + (1 + a) [σ.2.2] Όπου : :Είναι η εκθετικά εξομαλυμένη τιμή για την περίοδο + :Είναι η εκθετικά εξομαλυμένη τιμή για την περίοδο X :Είναι η πραγματική τιμή για την περίοδο a : Είναι η σταθερά εξομάλυνσης με 0< a < 1 Η αξιολόγηση του σφάλματος προβλέψεις μπορεί να γίνει με την χρήση του μέσου σφάλματος τετραγώνου ( MSE) που δίνεται από την παρακάτω σχέση [σ.2.3] 2 e MSE = [σ.2.3] n Όπου: e = X : Είναι το σφάλμα και n το πλήθος των παρατηρήσεων 6

8 2.3.Υπόδειγμα της Εκθετικής Εξομάλυνσης με Αναπροσαρμοζόμενο Ρυθμό Ανταπόκρισης( ARRSES) Η μέθοδος της απλής εκθετικής εξομάλυνσης με αναπροσαρμοζόμενο ρυθμό ανταπόκρισης διαθέτει ένα πολύ σημαντικό πλεονέκτημα, καθώς δεν απαιτεί τον καθορισμό της σταθεράς εξομάλυνσης a.με τον όρο αναπροσαρμοζόμενο ρυθμό εννοούμε ότι η μέθοδος αυτή έχει τη δυνατότητα να μεταβάλλει τη μη προκαθορισμένη τιμή της α σε συνεχή βάση. Η αλγεβρική έκφραση του υποδείγματος δίνεται από την σχέση [σ.2.4] = 1 ax + (1 + a) [σ.2.4] Όπου: ΙΩΑΝΝΑ ΚΑΠΕΤΑΝΟΥ a = E M E είναι το σφάλμα της εξομάλυνσης και παρακάτω σχέσεις δίνουν τα 1 E, M M το απόλυτο σφάλμα εξομάλυνσης. Οι E = βe + (1 β ) E [σ.2.5] Με e = x M = β e + ( 1 β ) M 1 [σ.2.6] Με β = 0, 20 να είναι η συνήθης τιμή 2.4. Υπόδειγμα της Γραμμικής Εκθετικής Εξομάλυνσης μιας Παραμέτρου του Brown Η μέθοδος αυτή είναι η επέκταση της τεχνικής της απλής εκθετικής εξομάλυνσης σε διπλή εκθετική εξομάλυνση και χρησιμοποιείται όταν η τάση είναι ολοφάνερη στην χρονοσειρά. Η τεχνική αυτή συνιστάται στην εκθετική εξομάλυνση των απλών εκθετικών τιμών. Η αλγεβρική έκφραση του υποδείγματος δίνεται από την σχέση [σ.2.7] S = 1 ax + (1 + a) S [σ.2.7] Η [σ.2.7] είναι ίδια με την [σ.2.2]. Η εξίσωση της διπλής εκθετικής εξομάλυνσης δίδεται από την [σ.2.8.]: S + 1 = ax + (1 a) S [σ.2.8.] Η μέθοδος της γραμμικής εκθετικής εξομάλυνσης του Brown δίνει μια επιπρόσθετη διόρθωση παρόμοια με αυτή των γραμμικών κινητών μέσων. Η διαφορά ανάμεσα στις απλές και τις διπλές εξομαλυνθείσες τιμές, προστίθεται στην απλή 7

9 εξομαλυνθείσα τιμή και έτσι γίνεται σχετική προσαρμογή όταν υπάρχει κάποιο πρότυπο στα δεδομένα. Για τις προσαρμογές αυτές χρησιμοποιούνται οι ακόλουθες σχέσεις : a = S + ( S S' ) = 2S S' [σ.2.9] Και οι προβλέψεις γίνονται από την παρακάτω σχέση + m = a + b m [σ.2.10] Με b a = ( S S' ) [σ.2.11] 1 a Όπου m είναι ο αριθμός των μελλοντικών περιόδων που πρόκειται να προβλεφθούν. Η αξιολόγηση του σφάλματος προβλέψεις μπορεί να γίνει με την χρήση του μέσου σφάλματος τετραγώνου ( MSE) που δίνεται από την [σ.2.3]. Η εκθετική εξομάλυνση μιας παραμέτρου του Brown είναι πιο ακριβής σε σχέση με την απλή εκθετική εξομάλυνση και την μέθοδο των διπλών κινητών μέσων. ΙΩΑΝΝΑ ΚΑΠΕΤΑΝΟΥ 2.5. Υπόδειγμα της Γραμμικής Εκθετικής Εξομάλυνσης διπλής Παραμέτρου Η γραμμική εκθετική εξομάλυνση διπλής παραμέτρου είναι μια επέκταση της γραμμικής εκθετικής εξομάλυνσης μιας παραμέτρου. Η διπλή εκθετική εξομάλυνση χρησιμοποιεί δύο σταθερές και είναι καλύτερη στο χειρισμό των τάσεων. Η μέθοδος εξομαλύνει τις τιμές της τάσης απευθείας. Σ αυτήν την τεχνική περιλαμβάνονται τρεις εξισώσεις και δυο σταθερές εξομάλυνσης, οι οποίες παρουσιάζονται στην συνέχεια. S ax + 1 a)( S b ) [σ.2.12] = ( Όπου b είναι ο συντελεστής ανάπτυξης, και δίνεται από την σχέση [σ.2.13] b = ( S S 1 ) + (1 β ) b 1 β [σ.2.13] Και β είναι η νέα σταθερά εξομάλυνσης για την τάση. Για την πρόβλεψη των μελλοντικών τιμών χρησιμοποιούμε την [σ.2.14] + = S b m [σ.2.14] m + Και σε αυτήν την τεχνική εκθετικής εξομάλυνσης η ακρίβεια των προβλέψεων εξαρτάται από καταλληλότητα των σταθερών εξομάλυνσης που χρησιμοποιούνται. Σε περίπτωση που συγκρίνουμε την τεχνική της γραμμική εκθετική εξομάλυνση διπλής παραμέτρου, με αυτή της απλής εκθετικής εξομάλυνσης παρατηρούμε ότι το σφάλμα για την πρώτη τεχνική είναι μικρότερο. Η αξιολόγηση του σφάλματος προβλέψεις 8

10 μπορεί να γίνει με την χρήση του μέσου σφάλματος τετραγώνου ( MSE) που δίνεται από την [σ.2.3]. ΙΩΑΝΝΑ ΚΑΠΕΤΑΝΟΥ 2.6 Μέθοδος διαχωρισμού των συνιστωσών της χρονολογικής σειράς Η κλασσική προσέγγιση στην ανάλυση των χρονολογικών σειρών αφορά στην απομόνωση των συνιστωσών που θεωρούμε ότι διαμορφώνουν τις τιμές μιας χρονολογικής σειράς. Η κεντρική υπόθεση στην ανάλυση είναι, ότι η χρονολογική σειρά έχει διαμορφωθεί κάτω από την επίδραση τεσσάρων συνιστωσών. Οι συνιστώσες αυτές είναι : Η μακροχρόνια τάση, η εποχικότητα, η κυκλικότητα και οι τυχαίες ή άρρυθμες κινήσεις. Μακροχρόνια τάση (Τ) ή απλώς τάση : Είναι η ομαλή κίνηση μιας χρονολογικής σειρά για ένα μεγάλο χρονικό διάστημα. Η χρονολογική σειρά μπορεί να παρουσιάζει τάση ανοδική ή καθοδική ή να μη έχει καθόλου τάση. Κυκλικές κυμάνσεις (C) : Αρκετές χρονολογικές σειρές εκτός από την τάση παρουσιάζουν κυμάνσεις που διαρκούν αρκετά χρόνια. Δηλαδή για μερικά χρόνια η κίνηση είναι ανοδική και για μερικά χρόνια είναι καθοδική Εποχικές κυμάνσεις ( S ) : Αυτές οι κυμάνσεις συνδέονται με εποχές του έτους και γι αυτό αποκαλούνται και εποχικές κινήσεις Τυχαίες ή άρρυθμες κινήσεις ( Ι ) ή (R) : Είναι το αποτέλεσμα απρόβλεπτων τυχαίων επιδράσεων- και εμφανίζονται ως απότομες κινήσεις μικρές ή μεγάλες και χαλάνε την «εικόνα της χρονολογικής σειράς». Δυο είναι τα υποδείγματα που χρησιμοποιούμε στην ανάλυση χρονολογικών σειρών με την μέθοδο του διαχωρισμού. Το πολλαπλασιαστικό και το που δίνονται από τις [σ.2.14] και [σ.2.15] αντίστοιχα X = T * S * C * R [σ.2.14] X = T + S + C + R [σ.2.15] Τις παραπάνω τεχνικές τις χρησιμοποιήσαμε για να προβλέψουμε τις μελλοντικές τιμές των μηνιαίων δεδομένων των ετών , που αφορούν σε διακίνηση εμπορευμάτων, διακίνηση επιβατών με αεροπλάνο και στην διακίνηση επιβατών με πλοίο. Η πηγή των δεδομένων είναι η Εθνική Στατιστική Υπηρεσία Ελλάδος. Στον πίνακα που ακολουθεί έχουν παρατεθεί τα διαθέσιμα από την στατιστική υπηρεσία αριθμητικά δεδομένα 9

11 Πίνακας 1 Αριθμητικά δεδομένα μεταφοράς εμπορευμάτων ( τόνοι), και μετακίνησης αριθμού επιβατών με πλοίο και αεροπλάνο ΕΤΗ ΜΗΝΕΣ ΕΜΠΟΡΕΥΜΑΤΑ ΕΠΙΒΑΤΕΣ ΑΕΡΟΠΛΑΝΩΝ ΕΠΙΒΑΤΕΣ ΠΛΟΙΩΝ 1997 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ ΜΑΡΤΙΟΣ ΑΠΡΙΛΙΟΣ ΜΑΙΟΣ ΙΟΥΝΙΟΣ ΙΟΥΛΙΟΣ ΑΥΓΟΥΣΤΟΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΣ ΟΚΤΩΒΡΙΟΣ ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ ΜΑΡΤΙΟΣ ΑΠΡΙΛΙΟΣ ΜΑΙΟΣ ΙΟΥΝΙΟΣ ΙΟΥΛΙΟΣ ΑΥΓΟΥΣΤΟΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΣ ΟΚΤΩΒΡΙΟΣ ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ ΜΑΡΤΙΟΣ ΑΠΡΙΛΙΟΣ ΜΑΙΟΣ ΙΟΥΝΙΟΣ ΙΟΥΛΙΟΣ ΑΥΓΟΥΣΤΟΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΣ ΟΚΤΩΒΡΙΟΣ ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ ΜΑΡΤΙΟΣ ΑΠΡΙΛΙΟΣ ΜΑΙΟΣ ΙΟΥΝΙΟΣ ΙΟΥΛΙΟΣ ΑΥΓΟΥΣΤΟΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΣ ΟΚΤΩΒΡΙΟΣ ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ

12 Πίνακας 1 (συνέχεια) Αριθμητικά δεδομένα μεταφοράς εμπορευμάτων ( τόνοι), και μετακίνησης αριθμού επιβατών με πλοίο και αεροπλάνο ΕΤΗ ΜΗΝΕΣ ΕΜΠΟΡΕΥΜΑΤΑ ΕΠΙΒΑΤΕΣ ΑΕΡΟΠΛΑΝΩΝ ΕΠΙΒΑΤΕΣ ΠΛΟΙΩΝ 2001 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ ΜΑΡΤΙΟΣ ΑΠΡΙΛΙΟΣ ΜΑΙΟΣ ΙΟΥΝΙΟΣ ΙΟΥΛΙΟΣ ΑΥΓΟΥΣΤΟΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΣ ΟΚΤΩΒΡΙΟΣ ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ ΜΑΡΤΙΟΣ ΑΠΡΙΛΙΟΣ ΜΑΙΟΣ ΙΟΥΝΙΟΣ ΙΟΥΛΙΟΣ ΑΥΓΟΥΣΤΟΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΣ ΟΚΤΩΒΡΙΟΣ ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ Εκτιμήσεις με την τεχνική του κινητού μέσου μήκους 12 Πίνακας: Αποτελέσματα κινητού μέσου μήκους 12 που αφορούν στην διακίνηση εμπορευμάτων (Q) Επιβατών με πλοία (PBOAT) και επιβατών με αεροπλάνο (PAIR) Q PAIR PBOAT Κινητός Μέσος (Q) Κινητός Μέσος (PAIR) Κινητός Μέσος (PBOAT) , , , , ,

13 Πίνακας: (ΣΥΝΕΧΕΙΑ) Αποτελέσματα κινητού μέσου μήκους 12 που αφορούν στην διακίνηση εμπορευμάτων (Q) Επιβατών με πλοία (PBOAT) και επιβατών με αεροπλάνο (PAIR) Q PAIR PBOAT Κινητός Μέσος (Q) Κινητός Μέσος (PAIR) Κινητός Μέσος (PBOAT) , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,

14 Πίνακας: (ΣΥΝΕΧΕΙΑ) Αποτελέσματα κινητού μέσου μήκους 12 που αφορούν στην διακίνηση εμπορευμάτων (Q) Επιβατών με πλοία (PBOAT) και επιβατών με αεροπλάνο (PAIR) Q PAIR PBOAT Κινητός Μέσος (Q) Κινητός Μέσος (PAIR) Κινητός Μέσος (PBOAT) , , , , , , , , , , , , , Εκτιμήσεις με την τεχνική της απλής εκθετικής εξομάλυνσης για την τιμή a με την οποία ελαχιστοποιείται* το MSE Πίνακας: Αποτελέσματα που αφορούν στην διακίνηση εμπορευμάτων (Q) και Επιβατών με πλοία (PBOAT) Q a=0,999 Τιμές Σφαλμάτων = ( ) e X PBOAT a=0,999 Τιμές Σφαλμάτων = ( ) e X Εξομαλύνσεις Εξομαλύνσεις , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,20 13

15 Πίνακας: (ΣΥΝΕΧΕΙΑ) Αποτελέσματα που αφορούν στην διακίνηση εμπορευμάτων (Q) και Επιβατών με πλοία (PBOAT) Q a=0,999 Τιμές Σφαλμάτων = ( ) e X PBOAT a=0,999 Τιμές Σφαλμάτων = ( ) e X , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,78 (*) Για να βρεθεί η τιμή a που ελαχιστοποιεί το MSE χρησιμοποιήθηκε η πρόσθετη λειτουργία του λογιστικού φύλλου excel,solver Πίνακας: (ΣΥΝΕΧΕΙΑ) Αποτελέσματα που αφορούν στην διακίνηση εμπορευμάτων (Q) και Επιβατών με πλοία (PBOAT) Q a=0,999 Εξομαλύνσεις Τιμές Σφαλμάτων = ( ) e X PBOAT a=0,999 Εξομαλύνσεις Τιμές Σφαλμάτων = ( ) e X , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,39 14

16 Πίνακας: (ΣΥΝΕΧΕΙΑ) Αποτελέσματα που αφορούν στην διακίνηση εμπορευμάτων (Q) και Επιβατών με πλοία (PBOAT) Q a=0,999 Τιμές Σφαλμάτων = ( ) e X PBOAT a=0,999 Τιμές Σφαλμάτων = ( ) e X , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,83 Πρόβλεψη 73 => = Πίνακας: Αποτελέσματα που αφορούν στην διακίνηση Επιβατών με αεροπλάνο (PAIR) PAIR a=0,999 Τιμές Σφαλμάτων = ( ) e X PAIR a=0,999 Τιμές Σφαλμάτων = ( ) e X Εξομαλύνσεις Εξομαλύνσεις , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,4 15

17 Πίνακας: (ΣΥΝΕΧΕΙΑ) Αποτελέσματα που αφορούν στην διακίνηση Επιβατών με αεροπλάνο (PAIR) PAIR a=0,999 Τιμές Σφαλμάτων = ( ) e X PAIR a=0,999 Τιμές Σφαλμάτων = ( ) e X , , , , , , , , ,6 Πρόβλεψη 73= , , , , , ,8 2.Εκτιμήσεις με την τεχνική της απλής εκθετικής εξομάλυνσης αναπροσαρμοζόμενη τιμή πρόβλεψης και με τιμή b=0,20 με Πίνακας: Αποτελέσματα που αφορούν στην διακίνηση εμπορευμάτων (Q) Q Εξομαλύνσεις Τιμές σφαλμάτων e = ( X ) E M a e = ( X ) , , ,918151,92 1 1,8038E , ,54 0,12 1,22671E , , , ,4 0,36 3,61748E , , , ,5 0,5 2,22138E , , , ,89 0,09 4,25352E , , , ,55 0,09 1,51779E , , , ,27 0,09 1,34194E , , , ,4 0,18 3,33456E , , , ,8 0,4 4,81695E , , , ,02 0, , ,336303, ,08 0,54 1,47945E , , , ,9 0,09 5,23942E , , , ,81 0, , , , ,57 0, , , , ,71 0, , , , ,38 0, , , , ,37 0, , , ,26 0,49 6,87697E , , , ,55 0,05 3,56168E , , , ,23 0, , , ,98 0,18 2,16785E , , , ,33 0, , , , ,98 0, , , , , ,29 0,57 4,30657E , , ,43 0,08 4,40778E , , , ,17 0, , , , ,2 0, ,45511, , ,72 0,

18 Πίνακας: (ΣΥΝΕΧΕΙΑ) Αποτελέσματα που αφορούν στην διακίνηση εμπορευμάτων (Q) Q Εξομαλύνσεις Τιμές σφαλμάτων e = ( X ) E M a e = ( X ) , , , ,31 0,56 5,79538E , , , ,73 0,08 5,33621E ,6 3586, , ,47 0, , , , , ,55 0, , , , , ,13 0, , , , ,16 0, , , , , ,81 0, , , ,25 0,35 3,24403E , , , ,04 0,12 3,29926E , , , ,98 0, , , , ,82 0, , , , ,84 0, , , , ,53 0,58 1,20925E , , , ,53 0,15 9,09306E , , ,83 0, , , ,25-143, , , , , ,52 0, , , , ,47 0, , , , ,48 0, , , , ,42 0,38 5,76759E , ,36-861, ,41 0 2,55339E , , , ,68 0,19 1,2072E , , ,74 0, , , ,2 0, , , , ,29 0, , , , ,75 0,14 9,4076E , , , ,87 0, , , , , ,04 0,09 1,51984E , , , ,34 0, , , , ,57 0,39 1,14791E ,535982, , ,82 0,78 6,43121E , , ,38 0,37 9,13486E , , , ,66 0,13 4,94238E , , , ,44 0,08 4,74412E , , , ,79 0,29 9,23018E , , , ,47 0,38 2,29422E , , , ,71 0,15 3,69644E , , , ,05 3,48261E , , , ,22 0, , , , , , , , ,4 0, , , , ,62 0,29 2,01931E+11 73= ,5 17

19 Πίνακας: Αποτελέσματα που αφορούν στην διακίνηση Επιβατών με πλοία (PBOAT) PBOAT Εξομαλύνσεις Τιμές σφαλμάτων e = ( X ) E M a e = ( X ) ,2 516,2 1 1,47815E , ,76 1 2,68858E , ,21 1 1,03203E , ,97 1 9,00129E , ,97 1 6,31537E , ,18 1 8,11418E , ,3 1 1,68081E , ,1 0,0343 6,59979E , , , ,2 0,4728 2,27266E , , ,5 0,6146 1,9191E , , , ,5 0,6558 1,15266E , , , ,4 0,6755 2,05974E , , , ,7 0,6866 1,63151E , , , ,3 0,6899 2,63649E ,8 4720, , ,5 0,6884 2,61351E , , , ,7 0,24 2,29055E , ,8-1163, ,5 0,001 2,07578E , , , ,5 0,2844 2,16092E , ,6 0,589 2,40121E , , , ,8 0,7216 2,37036E , , , ,7 0,2505 1,51204E , , , ,8 0, , , ,2 0,3817 6,46796E , , , ,6 0,4826 6,43858E , , ,6 0,5354 9,48385E , , , ,2 0,5544 2,26247E , , , ,3744 2,21196E , , , ,7 0,2084 1,73472E , ,3-6197, ,4 0,0035 1,6256E , , , ,6 0,3711 2,13177E , , , ,8 0,5781 3,92632E , , , ,7 0, , , , ,0222 6,20787E , , , ,2 0,2615 5,7001E , , , ,3 0,4112 3,70421E , , , ,4934 1,04777E , , , ,1 0,5419 1,25061E , , ,4 0,5307 2,61518E , , , ,4 0,3808 2,33325E , , , ,9 0,1669 2,03273E , , , ,1 0,0778 1,86892E , , ,1 0,4716 1,98043E , , , ,6298 1,00336E , , ,726633,2 0,2731 4,86679E , ,6 0, , , , ,2 0,2996 2,43936E , , , ,8 0,447 3,26214E , ,6 0,5209 9,24167E+12 18

20 Πίνακας: (ΣΥΝΕΧΕΙΑ) Αποτελέσματα που αφορούν στην διακίνηση Επιβατών με πλοία (PBOAT) PBOAT Εξομαλύνσεις Τιμές σφαλμάτων e = ( X ) E M a e = ( X ) , , , ,5532 1,15912E , , , ,5619 2,35782E , , , ,9 0,3319 2,31632E , , , ,2093 1,89451E , , , ,0541 1,7668E , , , ,3 0,4368 1,80074E , ,6 0,6057 1,12077E , , , ,8 0,2686 3,35354E , , , ,6 0,0321 3,56227E , , , ,3032 3,94546E , ,4 0,4474 4,43867E , , , ,2 0,5206 3,50485E , , ,512294,3 0,5484 2,95276E , , , ,4 0,4993 3,28923E , , , ,5 0,461 3,02221E , , , ,5 0,198,57377E , , ,8 0,0748 2,47611E , , , ,8 0,2778 3,38901E , , ,8 0,531 2,59184E , , , ,8 0,2284 5,98674E , , , ,4 0,0311 8,60911E , , , ,2 0,289 8,17196E , , ,5 0,4388 1,23634E+13 73= ,2 Πίνακας: Αποτελέσματα που αφορούν στην διακίνηση Επιβατών με αεροπλάνο (PAIR) PAIR Εξομαλύνσεις Τιμές σφαλμάτων e = ( X ) E M a e = ( X ) ,8-2200,8 1 3,26014E , ,36 1 4,98976E , , ,53113E , ,1104 0,653 3,9536E , , , ,3534 0,586 3,84936E , , , ,6744 0,774 5,03292E , , , ,2421 0,83 4,73288E , , , ,5724 0,277 3,7814E , , , ,467 0,271 4,99E , , , ,642 0,593 5,31453E , , , ,155 0,68 5,00101E , , , ,999 0,719 5,43735E , , , ,311 0,746 4,20121E , , , ,368 0,538 5,44808E , , , ,786 0,216 5,33463E , ,165 79, ,662 0,006 4,86857E , , , ,475 0,29 5,08849E , , , ,792 0,527 5,21331E , , , ,127 0,632 6,39907E , , , ,851 0,527 4,85723E , , , ,169 0,241 5,79687E+13 19

21 Πίνακας: (ΣΥΝΕΧΕΙΑ) Αποτελέσματα που αφορούν στην διακίνηση Επιβατών με αεροπλάνο (PAIR) PAIR Εξομαλύνσεις Τιμές σφαλμάτων e = ( X ) E M a e = ( X ) , , , ,391 0,122 5,01597E , , , ,666 0,369 5,15245E , , , ,2 0,51 5,42447E , , ,50549,526 0,588 4,53576E , , , ,028 0,441 5,91055E , , , ,69 0,087 5,44353E , , , ,894 0,145 5,29467E , , , ,023 0,303 5,4347E , , , ,48 0,435 6,33163E , , , ,998 0,576 4,73657E , , , ,992 0,453 5,68595E , , , ,278 0,191 5,70976E , , , ,434 0,239 5,56882E , , , ,034 0,405 5,72903E , , , ,557 0,504 5,86008E , , , ,549 4,91962E , , , ,413 0,461 6,34225E , , , ,662 0,119 5,95394E , , , ,228 0,165 5,95527E , , , ,794 0,374 5,99259E , , ,461204,328 0,558 6,39313E , , , ,269 0,632 4,73032E , , , ,331 0,421 5,8937E , , , ,343 0,107 6,21098E , , , ,746 0,241 6,09158E , , , ,301 0,408 6,29465E , , , ,334 0,513 5,87614E , , , ,303 0,586 4,91202E , , , ,529 0,521 6,39049E , , , ,208 0,322 6,13952E ,7 465, , ,627 0,313 6,15911E , , , ,067 0,071 6,1842E , , , ,252 0,342 6,41082E , , , ,329 0,553 4,75449E , , , ,916 0,348 5,91071E , , , ,429 0,073 6,55886E , , , ,942 0,401 6,43749E , , , ,039 0,509 6,67414E , , , ,046 0,576 1,10442E , , , ,547 0,606 8,12252E , , , ,695 0,472 7,95509E , , , ,36 0,344 7,81812E , , , ,409 0,11 7,25214E , , , ,711 0,09 7,59272E , , , ,48 0,349 9,24483E , , , ,322 0,546 9,37108E , , , ,076 0,491 8,1814E , , , ,126 0,224 8,18016E , , , ,141 0,134 7,92061E , , , ,918 0,344 7,46207E+13 73= 71209,606 20

22 4.Εκτιμήσεις με την τεχνική της διπλής εκθετικής εξομάλυνσης μιας παραμέτρου του Brown με τιμή a που ελαχιστοποιεί το MSE ΙΩΑΝΝΑ ΚΑΠΕΤΑΝΟΥ Πίνακας Αποτελέσματα που αφορούν στην διακίνηση εμπορευμάτων (Q) Q S S a b Εξομαλύνσεις e = ( X ) , , , ,6 1,34036E , , , , ,22671E , , , ,8-3703, ,6 7,02513E , , ,6-8536, ,8 7,04881E , , , , ,29269E ,1 5,67515E , , , , , , , , ,09744E ,1 1,33087E , , , , ,0435E , , , ,3 3980, ,4 7,24381E , , , , ,03279E , , , , , ,86353E , , , ,2 7487, ,6 2,90545E ,90224E , , , , , , , ,1 4192, ,2 4,20463E , , , , ,13865E , , ,4 539, , , ,8 4140, , , , , ,22391E ,8 3,17332E , , , , , ,6 1181, , , , , , ,2112E , , , , ,6 5125, , , , , ,45102E+11 21

23 Πίνακας: (ΣΥΝΕΧΕΙΑ) Αποτελέσματα που αφορούν στην διακίνηση εμπορευμάτων (Q) Q S S a b Εξομαλύνσεις e = ( X ) ,7 3,41267E , , ,6-6661, , , ,7 685, , ,2112E , , , ,56364E ,3 7,78788E , , ,9-3302, , , , , , ,41898E , , , ,6-4152, , , , , , ,04816E , , ,14634E , , ,2 3125, ,4 3,32525E , , ,9-86, , , , , , = ,9 Πίνακας: Αποτελέσματα που αφορούν στην διακίνηση Επιβατών με πλοία (PBOAT) PBOAT S S a b Εξομαλύνσεις e = ( X ) , , ,6 109, ,36 7,50945E , , , , ,44576E ,15 5,55038E , , , , ,06741E ,89 6,57006E , , , , ,09586E ,66 9,42707E , , , , ,99107E ,66 2,29002E , , ,4 4597, , , , , , , , , ,58008E ,75 7,71348E , , , ,76008E ,72 9,34157E , , , , ,70864E ,12 1,01592E , , , ,54794E ,18 2,00635E+12 22