Βιβλιογραφία 8. Κύµατα Εγκάρσια κυµατική κίνηση F. S. Crawford Jr. Κυµατική. (Σειρά Μαθηµάτων Φυσικής Berkele, Τόµος 3. Αθήνα 979). Κεφ., 4, 5. H. J. Pai. Φυσική των ταλαντώσεων και των κυµάτων. (Εκδόσεις Συµµετρία, 990). Κεφ. 4, 9. Κ. Χριστοδουλίδης, Μαθηµατικό Συµπλήρωµα για τα Εισαγωγικά Μαθήµατα Φυσικής. (Σηµειώσεις, Ε.Μ.Π., 003): Σειρές Τέηλορ και Μακλώριν - Η µερική παράγωγος - Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις. 8. Εισαγωγή Θα εξετάσουµε την κυµατική κίνηση σε ένα απλό µονοδιάστατο σύστηµα που αποτελείται από µία οµοιόµορφη τεντωµένη χορδή η οποία εκτείνεται κατά µήκος του άξονα των. Αν σε κάποιο σηµείο της χορδής επιβάλουµε µία εγκάρσια κίνηση η κίνηση θα διαδοθεί στη χορδή. Στη χορδή αναπτύσσεται ένα κύµα που οδεύει κατά µήκος της χορδής, έχουµε ένα οδεύον κύµα. Η κίνηση κάθε στοιχείου της χορδής είναι κάθετη στη διεύθυνση διάδοσης του κύµατος, τα κύµατα είναι εγκάρσια οδεύοντα κύµατα. Αν κατά τη διάδοση του κύµατος κάθε στοιχείο της χορδής εκτελεί απλή αρµονική ταλάντωση τότε έχουµε ηµιτονοειδές οδεύον κύµα. Όταν οι µετατοπίσεις ή ταλαντώσεις των στοιχείων του µέσου είναι παράλληλες στη διεύθυνση διάδοσης του κύµατος τότε έχουµε διαµήκη κύµατα (όπως τα ηχητικά κύµατα στον αέρα). Αν το µέσο είναι περιορισµένο σε έκταση, όπως η χορδή µε τα σταθερά άκρα στο προηγού- µενο κεφάλαιο, τα οδεύοντα κύµατα ανακλώνται στα άκρα και στο περιορισµένο µέσο αναπτύσσονται στάσιµα κύµατα από την υπέρθεση των οδευόντων προς αντίθετες κατευθύνσεις κυµάτων. 8. Η κυµατική εξίσωση Υποθέτουµε ότι η χορδή της προηγουµένης παραγράφου είναι οµογενής µε γραµµική πυκνότητα ρ (µάζα ανά µονάδα µήκους) και ότι είναι τεντωµένη µε σταθερή τάση (βλ. Σχήµα). Θα θεωρήσουµε ότι οι µετατοπίσεις των στοιχείων της χορδής περιορίζονται στο επίπεδο και είναι µικρές. Εξετάζουµε την κίνηση ενός στοιχειώδους τµήµατος της χορδής το οποίο στη θέση ισορροπίας (από έως + d ) έχει µήκος d και τη χρονική στιγµή t έχει τη µορφή που φαίνεται στο σχήµα και µήκος ds. (, t) είναι η κατακόρυφη µετατόπιση του στοιχειώδους τµήµατος τη χρονική στιγµή t. Η βαρύτητα αγνοείται. Για µικρές ταλαντώσεις, η γωνία θ είναι µικρή και τα είναι επίσης µικρά, οπότε Μάζα του στοιχείου: ds si θ taθ (8.) + d d dm ρ ds ρd. Επιτάχυνση:. t (8.) 7
Η κατακόρυφη δύναµη που ασκείται πάνω στο στοιχείο προς τα θετικά είναι ( ) θ θ θ si si d df + (8.3) Η Εξ. (8.3), λόγω της Εξ. (8.), γίνεται: + d df. Το ανάπτυγµα του κατά alor είναι...! 3 3 + + + + d d d από το οποίο προκύπτει, για µικρά d, η προσέγγιση d d + και έτσι έχουµε d d df (8.4) Η εξίσωση κίνησης του στοιχείου της χορδής είναι τότε: d t dm df η οποία µπορεί να γραφεί ως d t d ρ, και τελικά: t ρ (8.5) ή t (8.6) η οποία είναι η κυµατική εξίσωση. Το µέγεθος ρ έχει διαστάσεις ταχύτητας και όπως θα δούµε είναι η ταχύτητα διάδοσης του κύµατος στο µέσον ή η κυµατική ταχύτητα. 73
Η Εξ. (8.6) περιγράφει την εγκάρσια κυµατική κίνηση στη χορδή. Είναι ίδια µε την Εξ. (7.45) η οποία προέκυψε ως οριακή περίπτωση της κίνησης χορδής µε εντοπισµένες µάζες (σφαιρίδια) και είναι γενικά η εξίσωση κύµατος σε µία διάσταση την. 8.3 Λύση της κυµατικής εξίσωσης Οι λύσεις της Εξ. (8.6) είναι της µορφής f ( t ) ή f ( t + ). Η πλήρης λύση είναι: f t ) + f ( t + ), όπου και f οποιεσδήποτε συναρτήσεις. ( ( ) Απόδειξη για την f t : f u u Έστω u t. Τότε και t f οπότε df u f ( t ) du και d u f ( t ) f f ( t ) du f Επίσης df u f ( t ) t t du t f και d u f ( t ) f f ( t ) t t t du t Από τις εξισώσεις (8.7) και (8.8) προκύπτει για, f( t ),. t Οµοίως επαληθεύεται για την f ( t + ) και για το άθροισµα f + f. Αν f ( t ), η µετατόπιση έχει στη θέση τη χρονική στιγµή t την τιµή που είχε στη θέση τη στιγµή t t, αφού Για αυτό το λόγο η f t ) ft + f ( t ). ( (8.7) (8.8) f ( t ) παριστάνει µία µεταβολή που οδεύει κατά τα θετικά µε f ( t + ) ταχύτητα. Οµοίως αποδεικνύεται ότι η τα αρνητικά µε ταχύτητα επίσης. Κύµα ηµιτονικής µορφής παριστάνει µία µεταβολή που οδεύει κατά Αν η κίνηση του στοιχείου στη θέση τη χρονική στιγµή t είναι µία αρµονική ταλάντωση τότε η µετατόπιση θα είναι µία ηµιτονική ή συνηµιτονική συνάρτηση. Για να ισχύει αυτό πρέπει η µεταβλητή ( t ) στη συνάρτηση f ( t ) που έχει διαστάσεις µήκους να πολλαπλασιασθεί π µε έναν παράγοντα, όπου το λ είναι ένα µήκος, ώστε το όρισµα να είναι αδιάστατο µέγεθος (ακτίνια). Έχουµε για τη µετατόπιση µία συνάρτηση της λ µορφής: π a si ( t ) λ (όπου a σταθ.) η οποία είναι λύση της κυµατικής εξίσωσης ως συνάρτηση του ( t ). Η Εξ. (8.9) είναι της µορφής (8.9) 74
αν t a si( ωt φ) a siπ π (8.0) λ π π ω πν και φ π. λ λ Όπως φαίνεται στο σχήµα, σε µία δεδοµένη στιγµή υπάρχει περιοδικότητα στο χώρο µε διάστηµα λ, το µήκος κύµατος. Σε µία δεδοµένη θέση (έστω ), t a siπ π, δηλαδή απλή αρµονική κίνηση του σηµείου µε περίοδο και λ λ συχνότητα ν όπου. ν Σε δύο διαδοχικές στιγµές tκαι t οι µορφές του κύµατος είναι: Αν το σηµείο t, δηλαδή έχει την ίδια φάση Φ τη στιγµή µε αυτήν που είχε το σηµείο τη στιγµή π π Φ ( t ) ( t λ λ τότε t t και (ταχύτητα). t t t Επειδή η είναι η ταχύτητα µε την οποία διαδίδεται η φάση ή το κύµα από σηµείο σε σηµείο στη χορδή, ονοµάζεται φασική ταχύτητα ή κυµατική ταχύτητα. ) 75
π Το κύµα a si ( t ), όπως γενικότερα η f( t ), κινείται (οδεύει) προς τα θετικά λ π µε ταχύτητα και το κύµα a si ( t + ), όπως γενικότερα η f ( t + ), οδεύει προς τα λ αρνητικά µε ταχύτητα επίσης. Ισοδύναµες µορφές ηµιτονικού οδεύοντος κύµατος Υπάρχουν διάφορες ισοδύναµες εκφράσεις για την περιγραφή ενός ηµιτονικού οδεύοντος κύ- µατος: π asi ( t ) λ t asi π νt, asi λ π, λ asi ω t, a si( ω t k) (8.) π ω όπου k και ονοµάζεται κυµατικός αριθµός. λ Αντίστοιχες εκφράσεις ισχύουν για συνηµιτονικό κύµα. Κάθε µία από αυτές τις εκφράσεις είναι λύση της κυµατικής εξίσωσης. Επίσης, λύσεις της κυµατικής εξίσωσης είναι και οι συναρτήσεις i( ωt k) ae a os( ωt k) + i si( ωt k) (8.) και γενικότερα η µε A A + ia. Ταχύτητες στην κυµατική κίνηση [ ] i Ae ( ωt k) (8.3) Σε ένα ηµιτονικό ή συνηµιτονικό οδεύον κύµα, τα κινούµενα µέρη δεν οδεύουν µέσα στο µέσον, αλλά εκτελούν απλή αρµονική ταλάντωση γύρω από τη θέση ισορροπίας τους. Κυµατική ή φασική ταχύτητα: (από ) t t t είναι ο ρυθµός µε τον οποίο η διαταραχή κινείται κατά µήκος της χορδής. Σωµατιδιακή ή απλή αρµονική ταχύτητα: είναι η τοπική ταχύτητα του κάθε ταλαντωτή (βλέπε σχήµα). t Αν a si( ω t k) (8.4) τότε ωa os( ωt k) t και ka os( ωt k) οπότε ω t k t (8.5) (8.6) (8.7) 76
Εγκάρσια δύναµη που µεταδίδεται στη χορδή Η εγκάρσια δύναµη που µεταδίδεται προς τα δεξιά σε ένα σηµείο Α είναι η εγκάρσια συνιστώσα της δύναµης που ασκεί το αριστερά του Α τµήµα της χορδής πάνω στο δεξιά του Α τµήµα. Στο σηµείο Α η εγκάρσια αυτή συνιστώσα είναι si θ. 8.4 Χαρακτηριστική σύνθετη αντίσταση χορδής (Η χορδή ως εξαναγκασµένος ταλαντωτής). Κάθε µέσο στο οποίο µεταδίδονται κύµατα παρουσιάζει µία σύνθετη αντίσταση σε αυτά τα κύ- µατα. Ως σύνθετη αντίσταση χορδής σε οδεύοντα εγκάρσια κύµατα (εγκάρσια σύνθετη αντίσταση) ορίζεται το µέγεθος εγκαρσια δυναµη Fεγκ Z (8.8) εγκαρσια ταχυτητα υ Αν στο άκρο της χορδής του σχήµατος ασκείται εγκάρσια δύναµη είναι, στο άκρο της χορδής πρέπει να έχουµε για µικρό θ F εγκ εγκ F και η τάση της χορδής F si θ taθ (8.9) 77
οπότε, µέσω και της Εξ. (8.7), προκύπτει Z t (8.0) Εποµένως, η χαρακτηριστική σύνθετη αντίσταση της χορδής σε εγκάρσια οδεύοντα κύµατα είναι Z ρ (αφού ρ ) (8.) Είναι πραγµατική επειδή δεν πήραµε υπόψη µας κάποιο µηχανισµό απωλειών. Η σύνθετη αντίσταση όπως και η ταχύτητα διάδοσης του κύµατος καθορίζονται από την αδράνεια (ρ : µάζα ανά µονάδα µήκους) και την ελαστικότητα (τάση ) του µέσου. Η εγκάρσια δύναµη που η χορδή ασκεί στο φορέα της εξωτερικής δύναµης (αντίδραση) είναι F Z Zυ (8.) t δηλαδή, µία δύναµη ανάλογη της ταχύτητας µε συντελεστή αναλογίας τη σύνθετη αντίσταση Ζ. 8.5 Ανάκλαση και µετάδοση κυµάτων χορδής σε ένα σύνορο. Εξετάζουµε πώς συµπεριφέρονται τα κύµατα όταν φθάνουν σε σηµείο όπου παρουσιάζεται αλλαγή στη σύνθετη αντίσταση Z ρ. Έστω χορδή µε δύο τµήµατα, µε γραµµικές πυκνότητες ρ και ρ. Εποµένως και ρ (8.3) ρ Οι σύνθετες αντιστάσεις στα δύο µέρη είναι Z ρ και Z ρ (8.4) Στη θέση 0, όπου αλλάζει η χαρακτηριστική σύνθετη αντίσταση, ένα µέρος του οδεύοντος κύµατος θα ανακλαστεί και ένα µέρος θα διαδοθεί (βλέπε σχήµα) Οι αποµακρύνσεις των κυµάτων θα είναι (Εξ. (8.)) 78
i( ωt k ) προσπίπτον κύµα: A e (8.5) i i( ωt+ k ) ανακλώµενο κύµα: B e (8.6) r i( ωt k ) µεταδιδόµενο κύµα: A e (8.7) t Συνοριακές συνθήκες στο 0, για κάθε t Για κάθε t : () (αποµάκρυνση στα αριστερά του 0) (αποµάκρυνση στα δεξιά του 0) () (εγκάρσια δύναµη στα αριστερά του 0 ) (εγκάρσια δύναµη στα δεξιά του 0 ) ηλαδή: () συνέχεια στην αποµάκρυνση, και () συνέχεια στην εγκάρσια δύναµη Η () δίνει: και µε τις Εξ. (8.5) ως (8.7): i( ωt k) i( ωt + k) i( ωt k) + Be Ae A e η οποία στο Η () δίνει: η οποία στο και επειδή 0 γίνεται 0για κάθε t γίνεται ω k, Λόγω των Εξ. (8.3) και (8.4) έχουµε στο 0. + (8.8) i r (8.9) B A t A + (8.30) t ( i + r ) (8.3) k (8.3) A + kb ka A + (8.33) B A B ) Από τις Εξ. (8.30) και (8.34) µπορούµε να πάρουµε: A Z ( Z A (8.34) συντελεστής ανάκλασης πλάτους: συντελεστής µετάδοσης πλάτους: B A (8.35) A A Z Z Z + Z Z (8.36) Z + Z Οι συντελεστές είναι ανεξάρτητοι της συχνότητας. Είναι πραγµατικοί και εποµένως δεν υπάρχουν αλλαγές φάσης εκτός από αυτήν των π rad αν Z > Z οπότε αλλάζει το πρόσηµο στην ανάκλαση. Εξαρτώνται µόνον από τις σύνθετες αντιστάσεις. B Αν έχουµε σταθερό άκρο χορδής στο 0, τότε Z. Στην περίπτωση αυτή, A δηλαδή έχουµε πλήρη ανάκλαση µε αλλαγή φάσης π rad (αλλαγή προσήµου). Μία οµάδα κυµάτων (παλµός µε πολλές συνιστώσες συχνότητας) διατηρεί το σχήµα της αλλά αναστρέφεται (βλέπε σχήµα). 79
Αν έχουµε ελεύθερο άκρο χορδής στο 0 (ελεύθερη εγκάρσια κίνησή του χωρίς τριβές), B τότε Z 0. Στην περίπτωση αυτή A και. A A 8.6 Ανάκλαση και µετάδοση ενέργειας Τα κύµατα µεταφέρουν ενέργεια. Αν θεωρήσουµε κάθε στοιχείο µήκους δ της χορδής, µε µάζα ρδ, ως απλό αρµονικό ταλαντωτή µε πλάτος Α και γωνιακή συχνότητα ω, τότε η ενέργειά του είναι δ E ρδω A και η ενέργεια ανά µονάδα µήκους, (κινητική + δυναµική) είναι δe ρω A (8.37) δ Το κύµα οδεύει µε ταχύτητα και, καθώς κάθε µονάδα µήκους της χορδής διεγείρεται σε ταλάντωση µε τη διέλευση του κύµατος, ο ρυθµός µε τον οποίο µεταδίδεται η ενέργεια κατά µήκος της χορδής θα είναι ίσος µε το γινόµενο της ενέργειας ανά µονάδα µήκους επί την ταχύτητα, δηλαδή δ E ρω A (8.38) δt Στο σηµείο ρυθµό 0 όπου υπάρχει µεταβολή από Z ρ και αποµακρύνεται µε ρυθµό σε Z ρ, η ενέργεια φθάνει µε ρ ω A Zω A (8.39) ρ ω B + ρω A Zω B + Zω A (8.40) Χρησιµοποιώντας τις Εξ. (8.35) και (8.36) έχουµε για το ρυθµό αποµάκρυνσης, 80
Z( Z Z) + 4Z Z ω A ( Z + Z) Z ω A (8.4) ηλαδή, η ενέργεια φεύγει από το σύνορο µε τον ίδιο ρυθµό µε τον οποίο φθάνει (διατήρηση της ενέργειας, αφού δεν υποθέσαµε την ύπαρξη κάποιου µηχανισµού απωλειών). 8.7 Οι συντελεστές ανάκλασης και µετάδοσης ισχύος (έντασης) Αν Ανακλωµενη Ισχυς Zω B Προσπιπτουσα Ισχυς Zω A Μεταδιδοµενη Ισχυς Z ω A Προσπιπτουσα Ισχυς Zω A B A Z A Z A Z Z Z + Z 4ZZ ( Z + Z Z Z, δεν υπάρχει ανάκλαση και οι σύνθετες αντιστάσεις είναι προσαρµοσµένες. ) (8.4) (8.43) 8.8 Στάσιµα κύµατα σε χορδή σταθερού µήκους Εξετάζουµε τη συµπεριφορά κυµάτων σε οµογενή χορδή µήκους l µε σταθερά άκρα (όπως στο τέλος του προηγουµένου κεφαλαίου). Όπως είδαµε, το οδεύον κύµα ανακλάται σε σταθερό ά- κρο (άπειρη σύνθετη αντίσταση, Z ), µε συντελεστή. Περιοριζόµαστε σε κύµα µίας γωνιακής συχνότητας ω το οποίο περιλαµβάνει µία συνιστώσα µε πλάτος a που οδεύει κατά τα θετικά και µία συνιστώσα µε πλάτος b που οδεύει κατά τα αρνητικά. Η µετατόπιση της χορδής στο σηµείο στη στιγµή t θα είναι ae Συνοριακές συνθήκες: 0 στα 0 και l για κάθε t. i( ωt k) i( ωt+ k) + be (8.44) iωt Για 0 είναι: 0 ( a + b) e για κάθε t, άρα ηλαδή πλήρης ανάκλαση µε αλλαγή φάσης π rad. a b (8.45) iωt ik Εποµένως : ae ( e e ) (8.46) αλλά ik ik ik e e si k (8.47) i iωt οπότε iae si k (8.48) ηλαδή, οι µετατοπίσεις όλων των σηµείων της χορδής έχουν την ίδια χρονική εξάρτηση (ταλαντώνονται σε φάση), το πλάτος της ταλάντωσής τους όµως εξαρτάται από τη θέση. Στη χορδή αναπτύσσεται στάσιµο κύµα. Για l, είναι: 0 iae i t si kl (8.49) ωl εποµένως si kl si 0 (8.50) ω 8
άρα Συνεπώς οι επιτρεπόµενες τιµές γωνιακών συχνοτήτων είναι συχνοτήτων και µηκών κύµατος και ω l π (8.5) π ω (8.5) l ν (8.53) l λ l λ (8.54) ω π si si (8.55) l Οι ν είναι οι κανονικές συχνότητες, δηλαδή είναι οι συχνότητες των κανονικών τρόπων ταλάντωσης της χορδής (ή οι ιδιοσυχνότητές της). Το σχήµα δείχνει τις µετατοπίσεις της χορδής για τις τέσσερις πρώτες αρµονικές συχνότητες (,, 3, 4). Για έχουµε τη θεµελιώδη συχνότητα. Όλοι οι κανονικοί τρόποι ταλάντωσης µπορούν να υπάρχουν ταυτόχρονα, ο καθένας µε το πλάτος του. Όταν µόνο ένας κανονικός τρόπος ταλάντωσης (ο -στος) είναι διεγερµένος, τα σηµεία που παραµένουν συνεχώς ακίνητα βρίσκονται εκεί όπου δηλαδή ω si π si 0 l (8.56) π l rπ και r r ( r 0,,,..., ) (8.57) l Τα σηµεία µηδενικής αποµάκρυνσης ονοµάζονται δεσµοί ή δεσµικά σηµεία. Προκύπτουν όταν στα άκρα έχουµε πλήρη ανάκλαση. Τότε έχουµε και ισότητα των ενεργειών που µεταφέρονται προς τις δύο κατευθύνσεις, δηλαδή ροή ενέργειας ίση µε µηδέν. Η αποµάκρυνση της στής αρµονικής είναι [Εξ. (8.48)]: Οι εκφράσεις ω a( i)(osωt + i siωt) si (8.58) ω Re [ ] a si ωt si (8.59) ω Im[ ] a osωt si (8.60) 8
είναι αποδεκτές εκφράσεις για τη µετατόπιση [η πρώτη αντιστοιχεί στο πραγµατικό, Re[ ], και η δεύτερη στο φανταστικό µέρος, Im[ ], της Εξ. (8.54)]. Η γενική έκφραση για την είναι της µορφής ω ( A osωt + B siωt) si (8.6) που είναι γραµµικός συνδυασµός των Εξ. (8.59) και (8.60). Το πλάτος της ταλάντωσης στη θέση είναι: ω a A + B si (8.6) Η γενική λύση για την κίνηση της χορδής είναι ο γραµµικός συνδυασµός όλων των κανονικών ταλαντώσεων,. Αυτή είναι η αποµάκρυνση ενός σηµείου της χορδής. 8.8 Ενέργεια ταλαντωνόµενης χορδής Η ταλαντωνόµενη χορδή έχει κινητική και δυναµική ενέργεια. Η κινητική ενέργεια ενός στοιχείου της χορδής µήκους d και γραµµικής πυκνότητας µάζας ρ είναι de ρd&. Για ολόκληρη τη χορδή: l & 0 κιν Eκιν ρ d (8.63) Η δυναµική ενέργεια του στοιχείου αυτού, είναι ίση µε το έργο που παράγει η τάση ε- κτείνοντας το στοιχείο από µήκος d σε µήκος ds, κατά την ταλάντωση, δηλαδή de ( ds d). δυν Αλλά, για µικρά, είναι ( ds d) + d d d. Για ολόκληρη τη χορδή: l Eδυν d (8.64) 0 9. Ενέργεια των κανονικών τρόπων ταλάντωσης χορδής Για τον στό τρόπο ταλάντωσης η αποµάκρυνση είναι [Εξ. (8.5)]: ή όπου ω ( A osωt + B siωt) si ω a si( ωt + ϕ ) si (8.65) a A + B, Χρησιµοποιώντας τις Εξ. (8.63) και (8.64) για τον και A ta ϕ (8.66) B στό τρόπο ταλάντωσης, επειδή ω & ωa os( ωt + ϕ)si (8.67) t ωa ω si( ωt + ϕ )os (8.68) 83
έχουµε και l + ω E( κιν ) ρωa os ( ωt ϕ ) si d (8.69) 0 l ω a + ω E( δυν ) si ( ωt ϕ ) os d (8.70) 0 Αλλά l si 0 l l ω d ω os d 0 (8.7) και ρ l m η µάζα της χορδής ενώ / ρ, οπότε E E Συνεπώς η ολική ενέργεια του ( κιν ) 4 + ρlω a os ( ω t + ϕ ) mω a os ( ω t ϕ ) (8.7) ( δυν ) 4 + ρlω a si ( ω t + ϕ ) mω a si ( ω t ϕ ) (8.73) στού τρόπου ταλάντωσης είναι + 4 4 ω E ( κιν δυν ) mωa m ( A + B ) (8.74) Για την όλη κίνηση της χορδής, ισχύει βεβαίως:, E E. 8.0 Κυµατοµάδες και οµαδική ταχύτητα Θα εξετάσουµε τη συµπεριφορά µιας οµάδας συνιστωσών συχνοτήτων. Επαλληλία δύο κυµάτων σχεδόν ίσων συχνοτήτων Έστω ότι a os( ω t k) (8.75) και a os( ω t k) (8.76) Η επαλληλία των δύο δίνει ω ω k k ω + ω k + k + a os t os t δηλαδή ένα κυµατικό σύστηµα µε συχνότητα ω + ω στο χώρο και στο χρόνο από µια περιβάλλουσα συχνότητα και µέγιστο πλάτος ω ω a (8.77) διαµορφωµένο και κυµατικό αριθµό k k (στο σχήµα φαίνεται η µορφή για κάποιο ). ω k k Η περιβάλλουσα A( t) a os ω ω ω t κινείται στο χώρο µε ταχύτητα. k k Αυτή είναι η ταχύτητα του διαµορφωµένου κύµατος και ονοµάζεται οµαδική ταχύτητα των δύο κυµάτων. ω Αν οι φασικές ταχύτητες των δύο κυµάτων είναι ίσες δηλαδή ω τότε k k ω ω k k k k k k οπότε συνιστώσες και οµάδα κινούνται µε την ίδια ταχύτητα και η µορφή παραµένει σταθερή. (8.78) 84
Στην περίπτωση των ηχητικών κυµάτων, η ένταση γίνεται µέγιστη δύο φορές σε κάθε περίοδο της διαµόρφωσης δηλαδή µε µια συχνότητα ν ν. Έχουµε τότε διακροτήµατα συχνότητας ν ν. Όταν τα πλάτη των συνιστωσών δεν είναι ίσα τότε η εικόνα είναι διαφορετική. Γενικά, ένα κύµα διαµορφωµένο κατά πλάτος (Amplitude Modulatio, AM) παριστάνεται ως Aos( ω t k) (8.79) µε πλάτος διαµόρφωσης A a + b os ω t (8.80) Αυτό δίνει b a os( ωt k) + { os[ ( ω + ω ) t k] + os[ ( ω ω ) t k] } (8.8) ηλαδή, η διαµόρφωση πλάτους εισάγει δύο νέες συχνότητες τόνους συνδυασµού. ω ± ω, τις πλευρικές ζώνες ή Κυµατοµάδες και οµαδική ταχύτητα ω ω Αν οι δύο συνιστώσες έχουν διαφορετικές ταχύτητες,, η ταχύτητα του µέγιστου πλάτους της οµάδας είναι k k ω ω ω οµαδική ταχύτητα: υg (8.8) k k k η οποία τώρα είναι διαφορετική από τις ταχύτητες των συνιστωσών. Συνεπώς το σχήµα της οµάδας αλλάζει µε το χρόνο. Ένα µέσον στο οποίο η φασική ταχύτητα δεν είναι σταθερή αλλά εξαρτάται από τη συχνότητα, δηλαδή υ υ(ν ), ονοµάζεται διασκορπιστικό µέσο. Η σχέση που εκφράζει την εξάρτηση της γωνιακής συχνότητας ω από τον κυµατικό αριθµό k, ω (k), ονοµάζεται σχέση διασποράς. Για µια οµάδα κυµάτων µε πολλές συνιστώσες συχνοτήτων που είναι σχεδόν ίσες, η οµαδική ταχύτητα γίνεται 85
ω dω υ g k dk Αυτή είναι η ταχύτητα του µέγιστου πλάτους. Είναι και η ταχύτητα µετάδοσης ενέργειας. Αφού ω kυ (υ φασική ταχύτητα), η οµαδική ταχύτητα είναι (8.83) dω d dυ υ g ( kυ) υ + k (8.84) dk dk dk ή dυ υ g υ λ dλ (8.85) π όπου k, ο κυµατικός αριθµός. λ dυ Συνήθως > 0, οπότε υ g < υ. Αυτό ονοµάζεται κανονική διασπορά. dλ dυ Αν < 0, τότε υ g > υ, που ονοµάζεται ανώµαλη διασπορά. dλ Στο σχήµα οι τρεις καµπύλες παριστάνουν τη συµπεριφορά των τριών διαφορετικών τύπων διασποράς. 86
Προβλήµατα 8. Σε µια τεντωµένη χορδή µήκους L, η οποία έχει ακίνητα τα δύο της άκρα στα σηµεία 0 και L, έχουν διεγερθεί δύο µόνο κανονικοί τρόποι ταλάντωσης (ο ος και ο 3ος), έτσι ώστε η εγκάρσια µετατόπιση να δίνεται από τη σχέση: π π (, t) α siπ t + φ si + α3si3π t + φ3 si3 L L L L όπου α, α3, φ και φ 3 είναι σταθερές. (α) Βρείτε την κινητική και τη δυναµική ενέργεια της χορδής. (β) Βρείτε την ολική ενέργεια της χορδής και δείξετε ότι αποτελείται από δύο ανεξάρτητους σταθερούς όρους, που αντιστοιχούν στους δύο κανονικούς τρόπους ταλάντωσης. 8. Χορδή τεντωµένη µε δύναµη Τ έχει ακίνητο το άκρο της στο σηµείο L, ενώ το άλλο της άκρο, στο σηµείο 0 εξαναγκάζεται να ταλαντώνεται εγκαρσίως σύµφωνα µε τη σχέση ( 0, t) Asiωt. Στη µόνιµη κατάσταση, η εγκάρσια µετατόπιση της χορδής δίνεται από τη ω γενική λύση: (, t) α os + θ si( ωt + φ ) (α) Χρησιµοποιήστε τις οριακές συνθήκες για να προσδιορίσετε το α και τις σταθερές φάσης θ και φ, και να βρείτε έτσι την κίνηση που εκτελεί η χορδή. (β) Σχεδιάστε το µέγιστο πλάτος των στάσιµων κυµάτων, α, συναρτήσει της διεγείρουσας συχνότητας ω. Σχολιάστε. 8.3 Η γενική λύση για την εγκάρσια κίνηση µιας χορδής µε ακίνητα τα άκρα της που βρίσκονται στα σηµεία 0 και L, και η οποία είναι αρχικά ακίνητη, είναι: π π (, t) A si os t. L L Σε µια τέτοια χορδή η αρχική εγκάρσια µετατόπιση αυξάνει γραµµικά από το 0 µέχρι την τιµή α µεταξύ των σηµείων 0 και L /, και µειώνεται γραµµικά από την τιµή α στο 0 µεταξύ των σηµείων L / και L, δηλαδή: α (,0) για L L 0 και ( L ) (,0) α L για L L Με τη µέθοδο της ανάλυσης Fourier βρίσκεται ότι η αρχική µετατόπιση δίνεται επίσης, για µεταξύ 0 και L, και από τη σειρά: ( 8α,0) siπ si3π + si5π si7π +... π L 3 L 5 L 7 L (α) Προσδιορίστε τους συντελεστές A και έτσι βρείτε την κίνηση της χορδής για t 0. (β) Βρείτε τη σωµατιδιακή ταχύτητα υ (, t) στη χορδή. Πότε µηδενίζεται αυτή σε κάθε t σηµείο της χορδής; (γ) Σχεδιάστε πρόχειρα το σχήµα της χορδής στις χρονικές στιγµές t 0, και, όπου 4 L. 8.4 Σε χορδή τεντωµένη µε τάση Τ διαδίδεται το εγκάρσιο κύµα (, t) Asi( ω t k). Σε κάθε σηµείο της χορδής, η χορδή που βρίσκεται στα αριστερά του σηµείου ασκεί εγκάρσια δύ- 87
ναµη F πάνω στη χορδή που βρίσκεται στα δεξιά του σηµείου (µεταδιδόµενη ε- γκάρσια δύναµη). (α) Υπολογίστε τη σωµατιδιακή ταχύτητα και τη µεταδιδόµενη εγκάρσια δύναµη F σε t κάθε σηµείο της χορδής. (β) Βρείτε το ρυθµό παραγωγής έργου, P(t), από τη µεταδιδόµενη εγκάρσια δύναµη σε κάποιο σηµείο της χορδής. (γ) είξετε ότι η µέση τιµή του P(t) ως προς το χρόνο, ισούται µε το ρυθµό µεταφοράς ενέργειας κατά µήκος της χορδής, δηλαδή µε το γινόµενο της πυκνότητας ενέργειας ανά µονάδα µήκους της χορδής, ρω A, επί την ταχύτητα διάδοσης του κύµατος. 8.5 Μια χορδή έχει µήκος L, ολική µάζα m, βρίσκεται υπό τάση Τ και εκτελεί εγκάρσιες ταλαντώσεις µικρού πλάτους. Το ένα άκρο της χορδής, στο σηµείο 0, είναι ακίνητο, ενώ στο άλλο της άκρο, στο σηµείο L, η χορδή είναι συνδεδεµένη µε σηµειακή µάζα M η οποία µπορεί να κινείται µόνο εγκαρσίως, χωρίς τριβή. Υποθέστε λύσεις της µορφής (, t) Asi( k +θ )si( ωt + φ) για τη µετατόπιση της χορδής και, χρησιµοποιώντας τις οριακές συνθήκες στα δύο άκρα της χορδής, δείξετε ότι οι κανονικές συχνότητες της χορδής δίνονται από τις λύσεις της υπερβατικής εξίσωσης ta. ωl ωl m M (Υπόδειξη: Οι οριακές συνθήκες στο άκρο L είναι οι εξής: η µετατόπιση, η ταχύτητα και εποµένως και η επιτάχυνση της µάζας M είναι ίδιες µε τα αντίστοιχα µεγέθη του σηµείου L της χορδής, η δε κίνηση της µάζας M καθορίζεται από την εγκάρσια δύναµη που ασκεί σε αυτήν η χορδή, δηλαδή την F ( L, t), που είναι και η µόνη δύναµη την οποία L υφίσταται). 8.6 Χορδή είναι τεντωµένη µε τάση Τ και αποτελείται από δύο τµήµατα: το τµήµα < 0 στο οποίο η γραµµική πυκνότητα της χορδής είναι τέτοια ώστε η ταχύτητα των εγκαρσίων κυµάτων να είναι ίση µε, και το τµήµα > 0 στο οποίο η ταχύτητα των εγκαρσίων κυµάτων είναι ίση µε. Στη χορδή κινείται προς τα δεξιά το κύµα i Asi( ω t k) το οποίο προσπίπτει από τα αριστερά στο σηµείο 0. Υποθέστε ότι παρατηρείται µερική ανάκλαση του κύµατος, και ότι στη χορδή υπάρχουν, εκτός από το προσπίπτον κύµα, και το ανακλώµενο κύµα, (που κινείται προς τα αριστερά): ω r Bsi( ω t + k ) + Cos( ωt + k), 0, k καθώς και το µεταδιδόµενο κύµα, (που κινείται προς τα δεξιά): t ω Dsi( ω t k ) + Eos( ωt k), 0, k όπου B, C, D και E είναι σταθερές. Η εγκάρσια µετατόπιση στο τµήµα < 0 της χορδής είναι, εποµένως, i + r, και στο τµήµα > 0 είναι t. Χρησιµοποιήστε τις οριακές συνθήκες στο σηµείο 0 για να βρείτε: τον (συντελεστή ανάκλασης πλάτους) (πλάτος ανακλώµενου κύµατος) / Α, και τον (συντελεστή µετάδοσης πλάτους) (πλάτος µεταδιδόµενου κύµατος) / Α. Εκφράστε τα αποτελέσµατά σας συναρτήσει των χαρακτηριστικών αντιστάσεων / των δύο τµηµάτων της χορδής. / Z ρ k /ω και Z ρ k / ω 88
( Υπόδειξη: οι οριακές συνθήκες στο σηµείο 0 είναι: (i) συνέχεια της εγκάρσιας µετατόπισης, 0, t) (0, ) ( t (ii) συνέχεια της µεταδιδόµενης εγκάρσιας δύναµης, 0 0 για κάθε t ). 8.7 Αν στην εγκάρσια κίνηση της τεντωµένης χορδής συµπεριληφθεί και µια δύναµη τριβής ανάλογη της ταχύτητας της χορδής σε κάθε σηµείο, η κυµατική εξίσωση παίρνει τη µορφή όπου b είναι µια σταθερά. + b t t είξετε πως, αν αγνοηθούν όροι που εξαρτώνται από το b ή ανώτερες δυνάµεις του b, συναρτήσεις της µορφής αt (α) (, t) Ae si( ωt k) και (β) (, t) Ae α / είναι λύσεις της κυµατικής εξίσωσης και βρείτε την τιµή της σταθεράς α. si( ωt k) 89