ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο : ΚΥΜΑΤΑ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΚΥΜΑΤΟΣ ΜΗΧΑΝΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΣ ΕΠΙΛΥΣΗ ΘΕΜΑ Β

ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΚΥΜΑΤΑ ΕΝΟΤΗΤΑ : Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΚΥΜΑΤΟΣ ΜΗΧΑΝΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΣ ΕΠΙΛΥΣΗ ΘΕΜΑ Β Ερώτηση. Δύο μηχανικά κύματα ίδιας συχνότητας διαδίδονται σε ελαστική χορδή. Αν λ και λ τα μήκη κύματος αυτών των κυμάτων ισχύει: α) λ <λ. β) λ >λ. γ) λ =λ. Δικαιολογήστε την απάντησή σας. Λύση Σωστή απάντηση η γ. Αφού τα κύματα διαδίδονται στο ίδιο ελαστικό μέσον, θα έχουν την ίδια ταχύτητα διάδοσης. Από τη θεμελιώδη εξίσωση της κυματικής u=λ f, προκύπτει: Για το πρώτο κύμα: u = λ f Για το δεύτερο κύμα: u = λ f Συγκρίνοντας τις παραπάνω σχέσεις συμπεραίνουμε ότι: λ =λ

Ερώτηση. Η γραφική παράσταση της φάσης σε συνάρτηση με το χρόνο, για ένα σημείο (διαφορετικό της πηγής Ο) ενός ελαστικού γραμμικού μέσου στο οποίο διαδίδεται ένα εγκάρσιο γραμμικό αρμονικό κύμα, κατά τη θετική φορά, είναι μία ευθεία: α) αύξουσα. β) φθίνουσα. γ) παράλληλη στον άξονα t. Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. Λύση φ t Σωστή απάντηση η α. Όπως είναι γνωστό, η φάση ενός αρμονικού κύματος δίνεται από τη σχέση: t x ϕ= π T λ Για ένα συγκεκριμένο σημείο που απέχει ορισμένη απόσταση από την πηγή x=x η παραπάνω σχέση είναι της μορφής: t ϕ = π σταθ, άρα μίας ευθείας με θετική κλίση (αύξουσα). T Το σημείο τομής αυτής της ευθείας με τον άξονα των χρόνων μας δείχνει ποια χρονική στιγμή το κύμα φτάνει στο εν λόγω σημείο και το θέτει σε ταλάντωση.

Ερώτηση 3. Η γραφική παράσταση της φάσης των διαφόρων σημείων ενός γραμμικού ελαστικού μέσου στο οποίο διαδίδεται, προς τη θετική κατεύθυνση του άξονα x'x, ένα εγκάρσιο αρμονικό κύμα, σε συνάρτηση με την απόστασή τους x από την πηγή Ο, κάποια συγκεκριμένη χρονική στιγμή, είναι μία ευθεία: α) παράλληλη στον άξονα x. β) φθίνουσα. γ) αύξουσα. Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. Λύση Σωστή απάντηση η β. Όπως είναι γνωστό, η φάση ενός αρμονικού κύματος δίνεται από τη σχέση: t x ϕ= π T λ Για δεδομένη χρονική στιγμή t=t η παραπάνω σχέση είναι της μορφής: φ x x ϕ = π σταθ, άρα μίας ευθείας με αρνητική κλίση (φθίνουσα). λ Το σημείο τομής αυτής της ευθείας με τον άξονα των φάσεων δείχνει τη φάση της πηγής εκείνη τη στιγμή, ενώ το σημείο τομής της με τον άξονα των x, το πιο απομακρυσμένο σημείο στο οποίο έχει διαδοθεί το κύμα την ίδια αυτή στιγμή. 3

Ερώτηση 4. Σε γραμμικό ελαστικό μέσο διαδίδεται αρμονικό εγκάρσιο κύμα προς τη θετική κατεύθυνση. Αν λ το μήκος κύματος και Τ η περίοδος αυτού του κύματος, τότε η διαφορά φάσης Δφ μεταξύ δύο χρονικών στιγμών t και t με t > t, ενός σημείου του μέσου το οποίο ξεκινά να ταλαντώνεται τη χρονική στιγμή t' < t, δίνεται από τη σχέση: t t α) ϕ = π. T β) γ) ϕ = π. t t T ϕ = π. λ t t Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. Λύση Σωστή απάντηση η α. Από την εξίσωση της φάσης ενός κύματος: t x ϕ= π T λ, μπορούμε να υπολογίσουμε τη ζητούμενη διαφορά φάσης. t x t x t t T λ T λ T T ϕ=ϕ(t ) ϕ (t ) = π π = π π ϕ = π ( t t ) T 4

Ερώτηση 5. Σε γραμμικό ελαστικό μέσο διαδίδεται αρμονικό εγκάρσιο κύμα προς τη θετική κατεύθυνση. Αν λ το μήκος κύματος και Τ η περίοδος αυτού του κύματος, τότε η διαφορά φάσης ϕ την ίδια χρονική στιγμή μεταξύ δύο σημείων του μέσου τα οποία έχουν ξεκινήσει να ταλαντώνεται τη χρονική στιγμή t' < t και που απέχουν απόσταση Δx δίνεται από την σχέση: α) ϕ = π x. λ β) x ϕ = π λ. γ) x ϕ = π. T Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. Λύση Σωστή απάντηση η α. Από την εξίσωση της φάσης ενός κύματος: t x ϕ= π T λ, μπορούμε να υπολογίσουμε τη ζητούμενη διαφορά φάσης. t x t x x x T λ T λ λ λ ϕ=ϕ(x ) ϕ (x ) = π π = π π x ϕ = π λ 5

Ερώτηση 6. Δύο αρμονικά εγκάρσια κύματα διαδίδονται σε ελαστική χορδή κατά την θετική κατεύθυνση. Αν είναι γνωστό ότι το πλάτος και το μήκος του δεύτερου κύματος είναι διπλάσια του πρώτου ( A = A, λ = λ ), τότε για τα μέτρα των μέγιστων επιταχύνσεων ταλάντωσης των μορίων της ελαστικής χορδής θα ισχύει: α) β) γ) α α α α α α max max max max max max = = 4 = Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. Λύση Σωστή απάντηση η α. Αφού τα δύο κύματα διαδίδονται στο ίδιο ελαστικό μέσο, θα έχουν ίσες ταχύτητες διάδοσης. u = u () Από την σχέση () και με την βοήθεια της θεμελιώδους εξίσωσης της κυματικής u =λ f, όπου λ το μήκος και f η συχνότητα του κύματος, προκύπτει: λ f = λ f f = f λ = λ Συνεπώς, επειδή T =, προκύπτει: f T = T και αφού π ω=, θα ισχύει: T ω = ω () Από τη σχέση που δίνει το μέτρο της μέγιστης επιτάχυνσης ταλάντωσης: α max =ω A, όπου ω η γωνιακή συχνότητα και Α το πλάτος της ταλάντωσης, και με τη βοήθεια της σχέσης () προκύπτει: 6

α ω A α 4ω A α = = α ω α ω α max A= A max max A max A max max = 7

Ερώτηση 7. Οι διπλανές γραφικές παραστάσεις αναφέρονται στη μεταβολή της φάσης σε συνάρτηση με το χρόνο δύο σημείων Α και Β ενός γραμμικού ελαστικού ομογενούς μέσου στο οποίο διαδίδεται αρμονικό εγκάρσιο κύμα. Αν τα σημεία Α και Β θεωρηθούν υλικά σημεία φ (rad) ίδιας μάζας, για την κινητική ενέργεια Α ταλάντωσης Κ την χρονική στιγμή t = 8s, θα ισχύει: K < K. α) A B K = K. β) A B π/3 7 8 Β t (s) K > K. γ) A B Δίνονται: συν =, π συν =. 3 Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. Λύση Σωστή απάντηση η α. Η γενική εξίσωση του κύματος δίνεται από τη σχέση: t x y= Aηµ π T λ Η εξίσωση της ταχύτητας ταλάντωσης των διαφόρων σημείων του ελαστικού μέσου εξ άλλου είναι: t x u = umaxσυνπ T λ () Επειδή όμως η φάση δίνεται από τη σχέση: t x ϕ= π T λ, η εξίσωση () μπορεί να γραφεί: u = u max συνϕ () Γνωρίζουμε επίσης ότι κινητική ενέργεια ταλάντωσης δίνεται από τον τύπο: η οποία λόγω της () γράφεται: K mu =, umax =ωa K = mumaxσυν ϕ K = mω A συν ϕ 8

Για τις κινητικές ενέργειες των σημείων Α και Β την χρονική στιγμή t=8 s, θα έχουμε αντίστοιχα: π KA = mω A συν KA = mω A (3) 3 4 KB = mω A συν KB = mω A (4) Από τις (3) και (4) προκύπτει: KA < KB. 9

Ερώτηση 8. Η παρακάτω γραφική παράσταση αναφέρεται στη μεταβολή της φάσης φ σε συνάρτηση με την απόσταση x από την πηγή γραμμικού αρμονικού κύματος τη χρονική στιγμή t =4 s. Α) Η περίοδος του κύματος είναι ίση με: α) s. β) s. γ) 4s. Β) Το μήκος του κύματος είναι ίσο με: α) cm. β) cm. γ) 4cm. Να θεωρήσετε ότι η πηγή του κύματος βρίσκεται στην θέση x = και τη χρονική στιγμή t = ξεκινά να ταλαντώνεται από τη θέση ισορροπίας της με θετική ταχύτητα. Λύση Σωστές απαντήσεις οι: A) γ. B) β. ος τρόπος: Γνωρίζουμε ότι η φάση ενός κύματος δίνεται από την σχέση: t x ϕ= π T λ Θα στηριχθούμε στο γεγονός ότι τα σημεία με συντεταγμένες (, 7π) και (4, ) ικανοποιούν την παραπάνω εξίσωση.

4 4 7π= π T = s Τ= 4s t x Τ λ 7 ϕ= π T λ () 4 4 4 4 = π λ= cm λ= cm 4 λ 4 ος τρόπος: Για να είναι η φάση του σημείου Ο (της πηγής) 7π= 6π+π σημαίνει ότι έχει περάσει T T 7T χρόνος 3T +. Άρα 3T + = 4s = 4s T = 4s λ Το κύμα στον παραπάνω χρόνο έχει διαδοθεί κατά 3λ+. Άρα λ 7λ 3λ+ = 4cm = 4cm λ= cm

ΘΕΜΑ Γ Άσκηση. Το σημείο Ο αρχίζει τη χρονική στιγμή t = να εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση, που περιγράφεται από την εξίσωση y= Aηµω t. Το κύμα που δημιουργεί, διαδίδεται κατά μήκος ομογενούς γραμμικού ελαστικού μέσου και κατά τη θετική φορά. Αν είναι γνωστό ότι: ) το σημείο Ο περνάει από τη θέση ισορροπίας του 3 φορές το λεπτό, ) η ολική ενέργεια ταλάντωσης της πηγής Ο είναι 4 J, 3) κάθε στοιχειώδες τμήμα του ελαστικού μέσου θεωρείται υλικό σημείο μάζας m = g και 4) το κύμα φτάνει στο σημείο Σ, που απέχει από το Ο απόσταση 4 m, τη χρονική στιγμή t = s, να υπολογίσετε: α) την περίοδο του κύματος. β) το πλάτος του κύματος. γ) την ταχύτητα διάδοσης και το μήκος κύματος. δ) Να γράψετε την εξίσωση αυτού του κύματος. Δίνεται π =. Λύση α) Είναι γνωστό ότι για ένα σώμα που εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση στη διάρκεια μιας περιόδου (Τ) περνάει από τη θέση ισορροπίας του φορές. Από τα δεδομένα σε 6s περνάει από τη θέση ισορροπίας του 3 φορές. Με την απλή μέθοδο των τριών προκύπτει: 3T = 6s T = 4s β) Από την σχέση που δίνει την ολική ενέργεια ταλάντωσης, έχουμε: π D m ω= = ω T π ολ ολ ολ E = DA E = mω A E = m A T 4 T Eολ 4 4 4 A= = m= m 3 π m π π

A =, 4m γ) Αφού το κύμα διαδίδεται με σταθερή ταχύτητα, θα ισχύει: x 4 u= = m/s u = m / s t Από τη θεμελιώδη εξίσωση της κυματικής: λ u = λ= ut = 4m λ= 8m T δ) Από τη γενική εξίσωση του κύματος, με αντικατάσταση προκύπτει: t x y= Aηµ π T λ t x y =, 4ηµ π (S.I.) 4 8 3

Άσκηση. Εγκάρσιο γραμμικό κύμα που διαδίδεται σε ένα ομογενές ελαστικό μέσον και κατά την θετική κατεύθυνση έχει εξίσωση y = 4 ηµ ( πt 5π x), (S.I.). Η πηγή O δημιουργίας αυτού του κύματος βρίσκεται στη θέση x = του άξονα x x. Θεωρούμε ότι ένα σημείο Σ του ελαστικού μέσου βρίσκεται σε απόσταση d =,3m από το Ο. α) Να υπολογισθούν το πλάτος Α, η περίοδος Τ και το μήκος λ του κύματος. β) Αν η πηγή του κύματος αρχίζει να ταλαντώνεται τη στιγμή t = : ) Ποιά χρονική στιγμή φτάνει το κύμα στο σημείο Σ; ) Να βρεθεί η φάση και η απομάκρυνση του Σ τη στιγμή t = s. γ) Nα γραφεί η εξίσωση της απομάκρυνσης του σημείου Σ από τη θέση ισορροπίας του σε συνάρτηση με το χρόνο. δ) Να βρεθεί η απόσταση κατά τη διεύθυνση διάδοσης του κύματος ενός ελαχίστου (κοιλάδας) και του μεθεπόμενου μεγίστου (όρους). Λύση α) Συγκρίνοντας τη γενική εξίσωση του κύματος με αυτή της εκφώνησης έχουμε: A = 4 m y = 4 ηµ ( πt 5π x) y = 4 ηµ ( πt 5πx) A = 4 m πt t x πt πx =πt T = s y= Aηµ π y= Aηµ T T λ T λ, 4m πx λ= = 5πx λ β) Η ταχύτητα διάδοσης του κύματος είναι: λ, 4 u= u= m/s u =, m / s T ) d d,3 u = tσ = = s t Σ, 5s t u, = Σ t x t xσ,3 π ϕ= π ϕ Σ t = π = π rad T λ T λ, 4 ϕ Σ ( t) = rad ) ( ) t x y= Aηµ π T λ π yσ( t) = Aηµϕ Σ( t) = 4 m ηµ ( ) y t 4 m Σ = 4

γ) Από τη γενική εξίσωση του κύματος: t x y= Aηµ π T λ, Έχουμε για το σημείο Σ: t xσ yσ = Aηµ π T λ t,3 yσ = 4 ηµ π, t,5s S.I., 4 ( ) δ) Η ζητούμενη απόσταση αντιστοιχεί σε,5 μήκη κύματος, άρα: l =, 5λ l=,6m 5

Άσκηση 3. Η φάση γραμμικού αρμονικού κύματος που διαδίδεται σε ομογενές ελαστικό μέσο με 5πx πλάτος A =, 4m, δίνεται από τη σχέση: ϕ= 5πt (S.I). Κάποια χρονική στιγμή 3 t η φάση ενός σημείου Κ με απόσταση από την πηγή x 3,9m, είναι ίση με,5 π rad. α) Να υπολογίσετε τη χρονική στιγμή t. β) Μέχρι που θα έχει διαδοθεί το κύμα εκείνη τη στιγμή; Κ = γ) Αν τα στοιχειώδη τμήματα του ελαστικού μέσου θεωρηθούν υλικά σημεία μάζας m 3 = kg το καθένα, πόση είναι η ολική ενέργεια ταλάντωσης καθενός από αυτά; δ) Να παρασταθεί το στιγμιότυπο του κύματος y f( x) = τη χρονική στιγμή t και να υπολογίσετε την απευθείας απόσταση μεταξύ του σημείου Κ και ενός άλλου σημείου Λ με x = Λ 3, 6m τότε. Λύση α) Αντικαθιστώντας στη δοθείσα σχέση της φάσης τα δεδομένα της άσκησης προκύπτει: 5πx 5π 3,9 ϕ= 5πt,5π= 5πt,5π= 5πt 6,5π 5π t = 9π 3 3 t =,8s β) Συγκρίνοντας την εξίσωση της φάσης με αυτή που δίνεται στην εκφώνηση προκύπτουν: 5πx 5πx 5 t 5 t πt ϕ= π 5 t 3 ϕ= π = π 3 T T =, 4s t x πt πx π x 5 π x ϕ= π ϕ= = λ=, m T λ T λ λ 3 Από τη θεμελιώδη εξίσωση της κυματικής υπολογίζουμε την ταχύτητα διάδοσης του κύματος: λ, u= u= m/s u = 3m / s T, 4 Το κύμα θα έχει διαδοθεί μέχρι το σημείο: d u = d = ut = 3,8m d = 5, 4m t 6

γ) Η ολική ενέργεια ταλάντωσης δίνεται από τη σχέση: E ol = DA Επειδή η σταθερά επαναφοράς έχει τύπο π D= mω = m T, η ολική ενέργεια ταλάντωσης είναι: 3 π π Eολ = m A =, 4 J T, 4 3 E 4 J ολ = π δ) Τα, 8s αντιστοιχούν σε 4,5 περιόδους: T,8s = 4T +. Από τη δοθείσα εξίσωση της φάσης του κύματος, το υλικό σημείο Ο ( x = ) ξεκινά να ταλαντώνεται από τη θέση ισορροπίας τη χρονική στιγμή t = με θετική ταχύτητα. Άρα θα έχουν δημιουργηθεί 4,5 κύματα. Το κύμα θα έχει διαδοθεί μέχρι το σημείο: d u = d = ut = 3,8m d = 5, 4m t Το στιγμιότυπο του κύματος τη χρονική στιγμή t θα δίνεται από την εξίσωση: 5πx y(t ) =, 4ηµ 9 π, x 5, 4m S.I. 3 ( ) Για τη χάραξη της γραφικής παράστασης της παραπάνω εξίσωσης θα βασιστούμε στον παρακάτω πίνακα τιμών. x(m) y(m) λ,3 4, 4,6 λ 3λ,9 4, 4, λ 3, 6 x Λ 3,9 x K, 4 7

Το σημείο Λ απέχει από το Κ απόσταση,3m που αντιστοιχεί σε 4 του μήκους κύματος. Με αναφορά το προηγούμενο διάγραμμα, και με εφαρμογή του πυθαγόρειου θεωρήματος στο γραμμοσκιασμένο τρίγωνο έχουμε: ( KΛ ) = λ + = ( ) A 4,3, 4 m + ( ) KΛ =,5m 8

Άσκηση 4. Οι παρακάτω γραφικές παραστάσεις αναφέρονται στην ταλάντωση δύο σημείων Α και Β ενός ομογενούς γραμμικού ελαστικού μέσου στο οποίο διαδίδεται εγκάρσιο αρμονικό κύμα προς τη θετική κατεύθυνση με ταχύτητα u = m / s. α) Να υπολογίσετε το πλάτος Α του κύματος β) Να προσδιορίσετε τις θέσεις x A και x B των σημείων Α και Β. γ) Να βρείτε το μέτρο της μέγιστης επιτάχυνσης του σημείου Α. δ) Ποια είναι η φάση του σημείου Α την χρονική στιγμή t = s ; Δίνεται: π =. Η πηγή του κύματος βρίσκεται στην θέση x = και την χρονική στιγμή t = ξεκινά να ταλαντώνεται από τη θέση ισορροπίας της με θετική ταχύτητα. Λύση α) Από το διάγραμμα συμπεραίνουμε ότι: A 4 m =. β) Από το διάγραμμα παρατηρούμε ότι το σημείο A μπαίνει σε ταλάντωση τη στιγμή 6s. x = = = x A A u xa u ta 6m t A = m Από το διάγραμμα παρατηρούμε ότι το σημείο Β μπαίνει σε ταλάντωση τη στιγμή s x = = = x B = 4m B u xb u t B m t B γ) Το μέτρο της μέγιστης επιτάχυνσης δίνεται από τη σχέση amax(a) =ω A () 9

Από το διάγραμμα όμως παρατηρούμε ότι το σημείο Β μπαίνει σε ταλάντωση με καθυστέρηση 6 s σε σχέση με το σημείο Α. Το χρονικό αυτό διάστημα αντιστοιχεί όπως φαίνεται από το διάγραμμα σε χρονικό διάστημα 3T 4. Άρα: 3T 6s 4 = T = 8s π π π ω= = rad / s ω= rad / s T 8 4 π max(a) = = () : a 4 m / s 4 m / s 4 6 a =,5 m / s max(a) δ) Από τη θεμελιώδη εξίσωση της κυματικής έχουμε: λ u = λ= u T = 8m λ= 6m T Από την εξίσωση της φάσης ενός κύματος προκύπτει: t x ( x A ) t ϕ= π ϕ = π, t 6s (S.I.) T λ 8 6 () 3π () : ϕ ( x A ) = π rad t ϕ ( x A ) = rad t 8 6

ΘΕΜΑ Δ Πρόβλημα. Εγκάρσιο γραμμικό κύμα που διαδίδεται σε ένα ελαστικό ομογενές μέσον κατά την y = 6 ηµ πt π x, (S.I.). Η πηγή O θετική κατεύθυνση και έχει εξίσωση: ( ) παραγωγής αυτού του κύματος βρίσκεται στη θέση x = του ημιάξονα Οx και τη χρονική στιγμή t = ξεκινά να ταλαντώνεται από τη θέση ισορροπίας της με θετική ταχύτητα. α) Nα υπολογισθούν το πλάτος Α, η περίοδος Τ, το μήκος λ και η ταχύτητα διάδοσης u του κύματος. β) Nα γραφεί η εξίσωση της ταχύτητας ταλάντωσης και της φάσης ενός σημείου Σ που απέχει xσ =, 4m από το Ο σε συνάρτηση με τον χρόνο και να γίνουν οι γραφικές τους παραστάσεις. γ) Αν το Σ θεωρηθεί υλικό σημείο με μάζα ενέργεια σε συνάρτηση με το χρόνο. m 3 = Kg να εκφραστεί η κινητική του δ) Πόσο απέχουν μεταξύ τους δύο σημεία Μ και Ν που έχουν την ίδια χρονική στιγμή π π φάσεις ϕ Μ = rad και ϕ N = rad ; 3 ε) Να παρασταθεί το στιγμιότυπο του κύματος y f( x) = τη χρονική στιγμή t =,75 s. Λύση α) Συγκρίνοντας την γενική εξίσωση του κύματος με αυτή της εκφώνησης έχουμε: A = 6 m y = 6 ηµ ( πt π x) y = 6 ηµ ( πt πx) A = 6 m πt t x πt πx = πt T = s y= Aηµ π y= Aηµ T T λ T λ, m πx λ= = πx λ Από τη θεμελιώδη εξίσωση της κυματικής u =λ f, προκύπτει ότι η ταχύτητα διάδοσης του κύματος είναι: λ, u= u= m/s u =, m / s T β) Το κύμα φτάνει στο σημείο Σ τη χρονική στιγμή: xσ xσ, 4 u = tσ = = s t Σ s t u, = Σ Η μέγιστη ταχύτητα ταλάντωσης των μορίων του μέσου είναι:

π π =ω = = umax = π m / s T umax A A 6 m / s t x t xσ u = umaxσυνπ uσ = umaxσυνπ T λ T λ, 4 uσ = π συνπ t, ( ) ( ) uσ = π συνπ t, t s S.I. Για τη χάραξη της γραφικής παράστασης της παραπάνω εξίσωσης θα βασιστούμε στον παρακάτω πίνακα τιμών. t(s) u(m / s) π, 5,5 π,75 3 π t x t xσ, 4 ϕ= π ϕ Σ = π = π t T λ T λ, ϕ Σ = π t, t s S.I. ( ) ( ) Για τη χάραξη της γραφικής παράστασης της φάσης σε συνάρτηση με το χρόνο θα βασιστούμε στον παρακάτω πίνακα τιμών. t(s) ϕ (rad) 3 π

φ Σ (rad) π 3 t (s) γ) t x 7, 4 K = mu = mu maxσυν π KΣ = 7π συν π t T λ, ( ) = π συν π, t s (S.I.) 7 K 7 t δ) Από την εξίσωση της φάσης ενός κύματος έχουμε: t x για ϕ = π t x T λ ϕ= π T λ t x για το ϕ = π T λ M to M : M () N N : N () Αφαιρώντας κατά μέλη την () και την () προκύπτει: π π, xn x M λ ϕm,n 3 ϕ M,N = π ( x N xm ) ( MN = ) = m λ π π ( MN) = m 6 ε) Τα,75 s αντιστοιχούν σε δύο περιόδους και τρία τέταρτα της περιόδου. Θα έχουν δημιουργηθεί συνεπώς δύο κύματα και τρία τέταρτα του μήκους κύματος. 3T, 75s = T + 4 Το κύμα θα έχει διαδοθεί μέχρι το σημείο d u = d = ut =,,75m d =,55m t x ( ) y(t =, 75s) = 6 ηµ π, 75, x,55m S.I., 3

Για τη χάραξη της γραφικής παράστασης της παραπάνω εξίσωσης θα βασιστούμε στον παρακάτω πίνακα τιμών. x(m) y(m) 6 λ,5 4 λ, 6 3λ,5 4, λ 6 4

Πρόβλημα. Μια πηγή Ο αρχίζει να εκτελεί, τη χρονική στιγμή t=, απλή αρμονική ταλάντωση. Το παραγόμενο από την πηγή γραμμικό αρμονικό κύμα, διαδίδεται σε ελαστικό ομογενές μέσο, προς τη θετική φορά x x. Τα σημεία του μέσου ταλαντώνονται εξαιτίας του 4 t x κύματος και έχουν εξίσωση επιτάχυνσης: α = π ηµ π 4 (S.I.). α) Να υπολογίσετε τη γωνιακή συχνότητα του κύματος. β) Να βρείτε την μέγιστη ταχύτητα ταλάντωσης των μορίων του ελαστικού μέσου και την ταχύτητα διάδοσης αυτού του κύματος. γ) Πότε θα βρίσκεται για η φορά στην ανώτερη θέση της ταλάντωσής του ένα σημείο Κ που βρίσκεται σε απόσταση x K = m από την πηγή Ο; δ) Να υπολογίσετε την ταχύτητα ταλάντωσης ενός άλλου σημείου Λ που βρίσκεται σε απόσταση x Λ =3m από την πηγή Ο, κάποια στιγμή που το Κ θα βρίσκεται στην ανώτερη θέση της ταλάντωσής του; Λύση α) Η εξίσωση της επιτάχυνσης της ταλάντωσης είναι: t x α = αmaxηµ π T λ. Συγκρίνοντας την παραπάνω εξίσωση με αυτή της εκφώνησης έχουμε: 4 t x α = π ηµ π α max =π m / s 4 T = s t x α = αmaxηµ π λ= 4m T λ π ω= ω=π rad / s T 4 β) 4 αmax π 4 α max =ω A A = = m A = m ω π Το μέτρο της μέγιστης ταχύτητας είναι: umax =ωa 4 umax =π m / s Από τη θεμελιώδη εξίσωση της κυματικής η ταχύτητα διάδοσης του κύματος είναι: λ 4 u= u= m/s u = m / s T 5

γ) ος τρόπος: θα πρέπει η φάση του να είναι π rad. t x π t t t ϕ= π = π = = s T λ 4 4 4 4 t = 5,5s ος τρόπος: xk xk Το κύμα φτάνει στο σημείο Κ τη χρονική στιγμή: u = t K = = s t K = 5s t u Τότε ξεκινάει η ταλάντωσή του. Για να βρεθεί για πρώτη φορά στην ανώτερη θέση της K ταλάντωσής του περνάει ακόμα χρόνος T 4 που αντιστοιχεί σε,5s. Άρα ο συνολικός χρόνος είναι t = 5,5s δ) Α τρόπος: Το κύμα φτάνει στο σημείο Λ τη χρονική στιγμή: xλ xλ 3 u = t Λ = = s t Λ = 6,5s t u Λ t x t xλ u = umaxσυνπ uλ = umaxσυνπ T λ T λ 4 t 3 uλ = π συνπ 4 Τη στιγμή 5,5 s που το Κ βρίσκεται για πρώτη φορά στην ανώτερη θέση της ταλάντωσής του, το κύμα δεν έχει φτάσει ακόμα στο Λ. Το Κ θα ξαναβρεθεί στην ανώτερη θέση της ταλάντωσής του μετά από μία περίοδο, δηλαδή την χρονική στιγμή t=7,5 s. Τότε θα έχει φτάσει το κύμα και στο Λ. 4 7,5 3 m 4 m uλ( t = 7,5s) = π συνπ uλ( t = 7,5s) = π συνπ 4 s s 4 uλ ( t = 7,5s) = π m / s Β τρόπος: Για t 6,5sec είναι: t x t x x x 4 4 4 K Λ Λ K ϕκ ϕ Λ = π( ) π( ) ϕκ ϕ Λ = π 3 3π ϕκ ϕ Λ = π ϕ Λ =ϕκ rad 4 6

Για τις χρονικές στιγμές κατά τις οποίες π yκ =+ A A ηµϕ Κ =Α ϕ Κ = (k π+ )rad,k =,,,... θα είναι: 3π ϕ Λ =ϕκ rad ϕ Λ = k π π, k =,,... Συνεπώς: u = u συνϕ u = u συν(k π π) u = u συν( π) u = u Λ max Λ Λ max Λ max Λ max u = π Λ 4 m s 7

Πρόβλημα 3. Η διπλανή γραφική παράσταση αναφέρεται στη μεταβολή της φάσης φ σε συνάρτηση με το χρόνο ενός σημείου Μ ελαστικού μέσου x Μ =8 cm στο οποίο διαδίδεται εγκάρσιο αρμονικό φ (rad) κύμα πλάτους Α= cm προς τη θετική κατεύθυνση. Το σημείο Μ απέχει από την πηγή Ο παραγωγής κυμάτων απόσταση xm = 8cm και μπορεί να θεωρηθεί υλικό 3 σημείο μάζας m = kg. H πηγή του κύματος βρίσκεται στη θέση x = και ξεκινά να ταλαντώνεται από τη θέση ισορροπίας τη χρονική στιγμή t = με u >. α) Να υπολογίσετε την περίοδο και το μήκος του κύματος. β) Να γραφεί η εξίσωση του κύματος. γ) Να παρασταθεί γραφικά η εξίσωση της απομάκρυνσης του σημείου Μ καθώς και ενός λ άλλου σημείου Ν, που βρίσκεται δεξιά του Μ και απέχει από αυτό απόσταση d =, από τη θέση ισορροπίας τους σε συνάρτηση με το χρόνο σε κοινό διάγραμμα. δ) Να υπολογίσετε τη δυναμική ενέργεια ταλάντωσης του σημείου Μ τη χρονική στιγμή t = 8s. π/4 6 8 t (s) Λύση α) Γνωρίζουμε ότι η φάση ενός κύματος δίνεται από την σχέση: t x ϕ= π T λ () Θα στηριχθούμε στο γεγονός ότι τα σημεία με συντεταγμένες (6,) και (8, π/4) ικανοποιούν την παραπάνω εξίσωση. 6 8 6 8 = π = λ= 3 Τ () t x T λ T λ ϕ= π T λ π 8 8 8 8 8 8 = π = = = = 4 T λ 8 T λ 8 T 3T 8 T () T 6s (3) Από τη σχέση () με τη βοήθεια της (3) βρίσκουμε: λ= 48cm 8

β) Από τη γενική εξίσωση του κύματος: προκύπτει: t x y= Aηµ π, με αντικατάσταση T λ t x t 5x y =, ηµ π y =, ηµ π 6 48 6 (S.I.) γ) Η ταχύτητα διάδοσης του κύματος είναι: λ 48 u = = cm / s = 3cm / s T 6 Το κύμα φτάνει στο σημείο Μ τη χρονική στιγμή: x x 8 = = = = (αναμενόμενο από τις τιμές στο αρχικό διάγραμμα.) M M u t M s 6s tm u 3 λ 48 Το κύμα φτάνει στο σημείο N x N = xm + = 8 + cm x N = 4cm στιγμή: τη χρονική x x 4 = = = = (αναμενόμενο αφού το σημείο Ν απέχει απόσταση λ/ N N u t N s 4s tn u 3 από το σημείο Μ, οπότε το κύμα φτάνει με καθυστέρηση Τ/.) δ) Η γενική εξίσωση του κύματος δίνεται από τη σχέση: t x y= Aηµ π T λ. Η παραπάνω εξίσωση με τη βοήθεια της σχέσης () μπορεί να γραφεί: y = Aηµϕ Γνωρίζουμε επίσης ότι δυναμική ενέργεια ταλάντωσης δίνεται από τον τύπο: (4), U = Dy 9

με D τη σταθερά επαναφοράς και Α το πλάτος ταλάντωσης. Επειδή π D m m T = ω =, η σχέση (4) γράφεται: π = ηµ ϕ U m A T (5) Από το διάγραμμα παρατηρούμε επίσης ότι η φάση του σημείου Μ τη χρονική στιγμή t=8 s είναι φ=π/4 rad. Τελικά από την εξίσωση (5) έχουμε: 3 π π 8 U =, ηµ J U = 7,8 π J 6 4 3

Πρόβλημα 4. Η διπλανή γραφική παράσταση αναφέρεται στη μεταβολή της φάσης φ σε συνάρτηση με την απόσταση x από την πηγή γραμμικού αρμονικού κύματος, που διαδίδεται σε ομογενές ελαστικό μέσο κατά τη θετική κατεύθυνση x x, πλάτους Α= cm κάποια χρονική στιγμή t. H ταχύτητα διάδοσης του κύματος είναι u =,5 cm / s. α) Να υπολογίσετε την περίοδο και το μήκος του κύματος. π φ (rad) 5 9 x (cm) β) Να γραφεί η εξίσωση του κύματος. γ) Να προσδιοριστεί η χρονική στιγμή t. δ) Να γίνει η γραφική παράσταση ) της ταχύτητας ταλάντωσης των διαφόρων σημείων του ελαστικού μέσου σε συνάρτηση με την θέση τους x τη χρονική στιγμή t και ) της φάσης σε συνάρτηση με το χρόνο για το σημείο M με x = Μ 5 cm. Σημείωση: Η πηγή του κύματος βρίσκεται στη θέση x = και τη χρονική στιγμή t =, ξεκινά να ταλαντώνεται από τη θέση ισορροπίας της με θετική ταχύτητα. Λύση α) Γνωρίζουμε ότι η φάση ενός κύματος δίνεται από την σχέση: t x ϕ= π T λ. Θα στηριχθούμε στο γεγονός ότι τα σημεία με συντεταγμένες ( 5, π ) και ( 9, ) ικανοποιούν την παραπάνω εξίσωση. t 9 = π t x T λ ϕ= π T λ t 5 π= π T λ () () Αφαιρώντας από την () την () προκύπτει: 9 5 4 π= π λ= cm λ= 4cm λ λ Από τη θεμελιώδη εξίσωση της κυματικής, έχουμε: 3

λ λ 4 u = T= = s T = 8s T u,5 β) Η εξίσωση του κύματος θα είναι: t x y= Aηµ π T λ y = ηµ π 5x 8 (SI) t γ) Από τη σχέση () προκύπτει: t 9 9 = π = 8 4 4 t 8 s t = 8s δ) ) Tη χρονική στιγμή t, το κύμα θα έχει διαδοθεί σε απόσταση: d u = d = u t =,5 8cm d = 9cm t Η ταχύτητα ταλάντωσης δίνεται από την εξίσωση: t x u = umaxσυνπ T λ π 8 u t = συνπ 5x x 9 m (S.I.) 8 Με αντικατάσταση βρίσκουμε ( ) Για τη χάραξη της γραφικής παράστασης της παραπάνω εξίσωσης θα βασιστούμε στον παρακάτω πίνακα τιμών. x(m) u(m / s) π 3

Η χρονική στιγμή 8s αντιστοιχεί σε περιόδους και 4 της περιόδου. Θα έχουν δημιουργηθεί κύματα και 4 του κύματος. ) Το κύμα φτάνει στο σημείο Μ τη χρονική στιγμή: x x 5 M M u = t M = = s = s t M u,5 t x Από τον γενικό τύπο της φάσης ϕ= π, με αντικατάσταση βρίσκουμε: T λ t 5 ϕ M = π t s (S.I.) 8 4 Για τη χάραξη της γραφικής παράστασης της φάσης σε συνάρτηση με το χρόνο θα βασιστούμε στον παρακάτω πίνακα τιμών. t(s) Φ ( rad ) M 8 π φ Μ (rad) x Μ =5 cm π 8 t (s) 33

Πρόβλημα 5. 3 Γραμμικό αρμονικό εγκάρσιο κύμα με πλάτος Α= 4 m και περίοδο Τ= s, διαδίδεται σε ομογενές ελαστικό μέσο με ταχύτητα u = cm / s. Η πηγή παραγωγής αυτού του κύματος βρίσκεται στη θέση x =, αρχή του ημιάξονα Ox και τη χρονική στιγμή t = ξεκινά να ταλαντώνεται από τη θέση ισορροπίας της με σταθερή ταχύτητα. 3 Κάθε μόριο του ελαστικού μέσου μπορεί να θεωρηθεί υλικό σημείο μάζας m = kg. α) Να γράψετε την εξίσωση αυτού του κύματος. β) Να υπολογίσετε τη φάση του σημείου Σ που βρίσκεται στη θέση xσ = 3 cm τη στιγμή t = 4,5s. γ) Να σχεδιάσετε το στιγμιότυπο του κύματος την χρονική στιγμή t καθώς και τη T χρονική στιγμή t = t +. 4 δ) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της κινητικής ενέργειας των διαφόρων σημείων του ελαστικού μέσου τη χρονική στιγμή t σε συνάρτηση με την απόστασή τους x από το σημείο O τη χρονική στιγμή t. Λύση α) Από τη θεμελιώδη εξίσωση της κυματικής υπολογίζουμε το μήκος κύματος: λ = λ= = λ= 4 m T u u T m Η εξίσωση του κύματος είναι: t x y= Aηµ π T λ Από την παραπάνω σχέση με αντικατάσταση προκύπτει: 3 t ( ) y = 4 ηµ π 5x S.I. β) Από τη θεμελιώδη εξίσωση της κυματικής μπορούμε να υπολογίσουμε τη χρονική στιγμή που φτάνει το κύμα στο σημείο Σ. xσ xσ 3 u = t Σ = = s t Σ =, 5s t u Σ Αφού t > t Σ, το σημείο Σ έχει τεθεί σε ταλάντωση Με τη βοήθεια της εξίσωσης της φάσης, η φάση του σημείου Σ τη χρονική στιγμή t θα είναι: 34

t x t xσ 4,5 3 ϕ= π ϕ Σ ( t) = π = π rad ϕ Σ ( t) = 3 π rad T λ T λ 4 γ) Η χρονική στιγμή t αντιστοιχεί σε δύο περιόδους και ένα τέταρτο της περιόδου. Τη χρονική στιγμή t το κύμα θα έχει διαδοθεί σε απόσταση: d u = d = ut = 4,5cm d = 9cm t Τη χρονική στιγμή t το κύμα θα έχει διαδοθεί σε απόσταση l t = u T + = T/ l = 5cm l = cm t Παρατήρηση: Για να σχεδιάσουμε το στιγμιότυπο του κύματος τη χρονική στιγμή t, λ μετακινούμε τη γραφική παράσταση που αναφέρεται τη χρονική στιγμή t κατά προς 4 τα δεξιά, γιατί όπως είναι γνωστό το κύμα σε χρόνο μίας περιόδου διανύει ένα μήκος κύματος, άρα σε ένα τέταρτο της περιόδου διανύει ένα τέταρτο του μήκους κύματος. δ) Η γωνιακή συχνότητα του κύματος είναι: π π ω= = rad / s ω=π rad / s T Το μέτρο της μέγιστης ταχύτητας ταλάντωσης των μορίων του ελαστικού μέσου θα είναι: 3 umax =ω A = 4π m / s Η κινητική ενέργεια ταλάντωσης των μορίων του ελαστικού μέσου θα δίνεται από τη σχέση: t x 9 4,5 Kmax = mu maxσυν π = 8π συν π 5x, x 9 S.I. T λ ( ) 35

Για τη χάραξη της γραφικής παράστασης της παραπάνω εξίσωσης θα βασιστούμε στον παρακάτω πίνακα τιμών. x(m) K(J) λ 4 9 8π λ 3λ 9 3 4 8π 4 λ. 36

Πρόβλημα 6. Στο παρακάτω διάγραμμα φαίνεται η γραφική παράσταση της δυναμικής ενέργειας ταλάντωσης ενός μορίου K ενός ομογενούς ελαστικού μέσου στο οποίο διαδίδεται γραμμικό αρμονικό εγκάρσιο κύμα σε συνάρτηση με το χρόνο. Η ταχύτητα διάδοσης του κύματος είναι u = m / s και έχει μηδενική αρχική φάση. Κάθε μικρό τμήμα του σχοινιού 3 μπορεί να θεωρηθεί υλικό σημείο μάζας m = kg. α) Πόσο απέχει από την πηγή του κύματος το σημείο Κ στο οποίο αναφέρεται η παραπάνω γραφική παράσταση; β) Να βρείτε το πλάτος και το μήκος κύματος αυτού του κύματος. γ) Να γράψετε την εξίσωση του κύματος. δ) Να κάνετε τη γραφική παράσταση της δυναμικής ενέργειας ταλάντωσης σε συνάρτηση με το χρόνο και για ένα άλλο μόριο Μ του ελαστικού μέσου που βρίσκεται στη θέση x = 6m. Να θεωρήσετε: π. Λύση α) Αφού το κύμα φτάνει στο εν λόγω σημείο την χρονική στιγμή x = = = x K K u xk ut 6m t = m t = 6s, τότε: β) Επειδή η περίοδος με την οποία μεταβάλλεται η απομάκρυνση είναι διπλάσια από αυτή της δυναμικής ενέργειας ταλάντωσης (σχολικό βιβλίο σελίδα 3), από το 3T διάγραμμα συμπεραίνουμε ότι: ( 6) s 4 = T = 8s Από τη θεμελιώδη εξίσωση της κυματικής υπολογίζουμε το μήκος του κύματος. λ u = λ= ut = 8m λ= 6m T Η γωνιακή συχνότητα του κύματος είναι: 37

π π π ω= = rad / s ω= rad / s T 8 4 Από το διάγραμμα συμπεραίνουμε: 6 Umax = J Χρησιμοποιώντας τη σχέση που δίνει τη μέγιστη δυναμική ενέργεια ταλάντωσης, έχουμε: π D m ω= = ω T π max max max U = DA U = mω A U = m A T 6 T Umax 8 4 A = = m= m= 4 m 3 3 3 π m π π = A 4 m γ) Από τη γενική εξίσωση του κύματος: t x y= Aηµ π T λ, με αντικατάσταση προκύπτει: ( ) t x y = 4 ηµ π S.I. 8 6 () xm xm 6 δ) Το κύμα φτάνει στο Μ τη χρονική στιγμή t : u = t = = s t = 8s t u U Dy U m y D= mω M = m M = ω M Από την () και με αντικατάσταση προκύπτει: 3 4 t 6 6 t 6 UM = 6 ηµ π UM = ηµ π t 8s S.I. 6 8 6 8 6 ( ) Για τη χάραξη της γραφικής παράστασης της παραπάνω εξίσωσης θα βασιστούμε στον παρακάτω πίνακα τιμών. t(s) U M (J) 8 6 4 9 38

Η γραφική παράσταση αυτής της συνάρτησης φαίνεται στο παρακάτω διάγραμμα. Ημερομηνία τροποποίησης: 8/7/ 39

ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΚΥΜΑΤΑ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΕΠΑΛΛΗΛΙΑ ΚΥΜΑΤΩΝ ΣΥΜΒΟΛΗ ΚΥΜΑΤΩΝ ΣΤΑΣΙΜΑ ΚΥΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΣ ΕΠΙΛΥΣΗ Άσκηση. ΘΕΜΑ Γ Δύο σύγχρονες κυματικές πηγές Π, Π ταλαντώνονται με το ίδιο πλάτος A =, m, κάθετα στην ελαστική επιφάνεια ενός υγρού, παράγοντας κύματα με μήκος κύματος λ=,6 m. Οι πηγές ξεκινούν να ταλαντώνονται τη χρονική στιγμή t = με θετική ταχύτητα. Σημείο (Σ) της επιφάνειας απέχει κατά r r = 7,6 m από την πηγή Π και κατά = 4,8 m από την πηγή Π. Το (Σ) ξεκινά να ταλαντώνεται τη χρονική στιγμή t = s. α) Να υπολογίσετε το πλάτος της ταλάντωσης του (Σ) μετά τη συμβολή των κυμάτων σε αυτό. β) Να γράψετε την εξίσωση της απομάκρυνσης του (Σ) σε συνάρτηση με το χρόνο, αφού συμβάλλουν σε αυτό τα κύματα. γ) Να υπολογίσετε την επιτάχυνση του (Σ) τη χρονική στιγμή 77 t' = s. 6 δ) Να υπολογίσετε το πηλίκο της κινητικής ενέργειας του σημείου Σ προς την ενέργεια ταλάντωσης του, τη χρονική στιγμή t'. (Θεωρήστε ότι π = ). Λύση α) Το πλάτος του (Σ) μετά τη συμβολή των κυμάτων σε αυτό ισούται με: r r 7, 6 4,8 4π = συν π = συν π = συν =, 6 λ 3 AΣ A, 4 m, 4 m π, 4 συν m =, m 3 β) Το (Σ) ξεκινά να ταλαντώνεται τη χρονική στιγμή t = s, οπότε και φτάνει στο (Σ) η r m διαταραχή που παράγει η πλησιέστερη πηγή, δηλαδή η Π. Άρα: u = =, 4 t s

λ Επίσης: u = T =, 5 s. Τα κύματα συμβάλλουν στο (Σ) όταν φτάσει και το κύμα από T την απομακρυσμένη πηγή, έστω τη χρονική στιγμή t ώστε: t = 9 s Άρα για t 9 s είναι: r r t r + r π t 7, 6 + 4,8 = συν π ηµ π = συν ηµ π λ T λ 3,5, 6 t 3 π yσ =, ηµ π yσ =, ηµ (t 3) (S.I.) 3 3 3 yσ A yσ, 4 γ) Είναι t' > t, άρα η απομάκρυνση του Σ τη στιγμή αυτή ισούται με: π 77 π yσ =, ηµ 3 yσ =, ηµ yσ =, m 3 6 4 Αντίστοιχα η επιτάχυνση του θα ισούται με: ( ) 4π m 6 m a Σ = ω y Σ =, a Σ = 3 s 9 s δ) Είναι: Dy Σ yσ K E U (, ) K = = = = = E E DA A, E

Άσκηση. Δύο σύγχρονες κυματικές πηγές Π και Π βρίσκονται στα σημεία Α και Β αντίστοιχα, της ήρεμης επιφάνειας ενός υγρού και απέχουν κατά d= 4m. Οι πηγές ταλαντώνονται κάθετα στην επιφάνεια του υγρού χωρίς αρχική φάση, δημιουργώντας κύματα μήκους λ=,8 m τα οποία διαδίδονται με ταχύτητα m/s. H πηγή Π ισαπέχει από το σημείο (Σ) της επιφάνειας και από το μέσο Μ του ΑΒ. Στο (Σ) τα κύματα φτάνουν με χρονική διαφορά t =,8 s. Το σημείο Μ ταλαντώνεται με πλάτος,8 m. α) Να εξετάσετε το είδος της συμβολής που συμβαίνει στο (Σ). β) Να υπολογίσετε τις αποστάσεις r και r. γ) Να προσδιορίσετε τις θέσεις των σημείων απόσβεσης μεταξύ των Α και Β. Λύση α) Είναι: λ u = T =, 4 s T Συνεπώς η χρονική διαφορά άφιξης των δύο κυμάτων στο (Σ) ισούται με: t =,8 s t = T. Τη στιγμή που συναντώνται τα κύματα στο σημείο (Σ) προκαλούν την ίδια απομάκρυνση του (Σ) με την ίδια ταχύτητα. Συνεπώς το (Σ) είναι σημείο ενίσχυσης. Σημείωση: Η χρονική διαφορά άφιξης των δύο κυμάτων στο Σ, t = T, μεταφράζεται σε διαφορά φάσης φ = ( π ) = 4π rad. Όμως η διαφορά φάσης των δύο κυμάτων t r t r y = Aηµ π και y = Aηµ π είναι T λ T λ t r t r r r r r φ= π π =. Οπότε: π = 4π r r = λ, άρα T λ T λ λ λ ικανοποιείται η συνθήκη ενίσχυσης. β) Είναι AΣ= AM = d / = m = r. Τo κύμα από την Π φτάνει στο (Σ) με χρονική καθυστέρηση t = T άρα μέχρι το (Σ) διανύει απόσταση μεγαλύτερη κατά λ σε σχέση με την απόσταση που διανύει το κύμα από την Π. Δηλαδή: r = r+ λ= 3, 6 m 3

γ) Αν Δ σημείο απόσβεσης του τμήματος ΑΒ, το οποίο απέχει κατά x από το Α και κατά x από το Β τότε: (N + ) λ x x = Συγχρόνως: x+ x = d= 4m Προσθέτοντας κατά μέλη: x = (N + ) λ + d Επίσης το (Δ) βρίσκεται μεταξύ των (Α) και (Β) άρα: (N + ) λ + d < x < d < < d 5,5< N < 4,5 Για τις ακέραιες τιμές του Ν στο επιτρεπόμενο διάστημα έχουμε τα σημεία: για N= -5: x =,m και x = 3,8m για N = -4 : x =,6m και x = 3,4m για N = -3 : x = m και x = 3m για N = - : x =,4m και x =,6m για N = -: x =,8m και x =, m για N = : x =, m και x =,8m για N = : x =,6m και x =,4m για N = : x = 3m και x = m για N = 3: x = 3,4m και x =,6m για N = 4 : x = 3,8m και x =, m 4

Άσκηση 3. Δύο σύγχρονες κυματικές πηγές Π και Π βρίσκονται στα σημεία Α και Β αντίστοιχα, της επιφάνειας ενός υγρού. Τη χρονική στιγμή t = οι πηγές ξεκινούν να ταλαντώνονται κάθετα στην επιφάνεια του υγρού, με την απομάκρυνση τους να περιγράφεται από την εξίσωση y = Aηµω t (S.I.). Τα κύματα που δημιουργούν διαδίδονται με ταχύτητα m/s. Σημείο (Σ) της επιφάνειας απέχει κατά r από την πηγή Π και κατά r = m, ( r > r) από την πηγή Π. Εξαιτίας του κύματος που προέρχεται από την πηγή Π το (Σ) εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση με εξίσωση y =, 4 ηµ π ( t Σ, 75 ) (S.I.). α) Να υπολογίσετε την απόσταση r. β) Να γράψετε την εξίσωση της ταχύτητας του σημείου (Σ). γ) Να υπολογίσετε την ελάχιστη συχνότητα ταλάντωσης των πηγών, ώστε το (Σ) να είναι σημείο απόσβεσης. Λύση α) Το κύμα από την t r y = Aηµ π T λ Π θα προκαλεί στο (Σ) ταλάντωση με εξίσωση: Συγκρίνοντας με τη δοσμένη εξίσωση y =, 4 ηµ π Σ (t, 75) προκύπτει: A =, 4 m, T =,5 s και r =, 75. λ Ακόμα: u λ =. Συνεπώς: r =, 75 m T r β) Τo υλικό σημείο Σ παραμένει ακίνητο μέχρι τη χρονική στιγμή t = =,875 s, οπότε u στο Σ φθάνει το κύμα από την πλησιέστερη σε αυτό πηγή ( Π ). Για t t =,875 s το υλικό σημείο (Σ) ταλαντώνεται υπό την ενέργεια του κύματος που εκπέμπει η Π μέχρι r τη χρονική στιγμή t = = s, οπότε στο (Σ) φθάνει το κύμα και από την πηγή Π. Για u t s έχουμε τη συμβολή των δύο κυμάτων. Η απομάκρυνση του (Σ) σε συνάρτηση με το χρόνο δίνεται από τις παρακάτω εξισώσεις στο S.I.: 5

, t <,875 s t r = ηµ π < T λ r r t r+ r Aσυν π ηµ π, t s λ T λ yσ A,,875 s t s, t <,875 s yσ =, 4 ηµπ(4t 3,5),,875 s t < s, 4 ηµπ(4t 3, 75), t s Άρα:, t <,875 s t r = ω συν π t < s T λ t r+ r ωa συν, t s T λ uσ A,,875 s, t <,875 s u Σ =,6 π συνπ( 4t 3,5 ),,875 s t < s,6 π συνπ( 4t 3,75 ), t s λ ' γ) Για να είναι το (Σ) σημείο απόσβεσης θα πρέπει: r r = (N + ), όπου N =,,,... Δηλαδή: λ ' u u r r = (N + ) r r = (N + ) f ' = (N + ) f ' r r ( ) Επιλέγουμε το μικρότερο ακέραιο (N = ), άρα f min ' = 4 Hz. 6

Άσκηση 4. Δύο σύγχρονες κυματικές πηγές Π και Π βρίσκονται στα σημεία Α και Β αντίστοιχα, της επιφάνειας ενός υγρού. Τη χρονική στιγμή t = οι πηγές ξεκινούν να ταλαντώνονται κάθετα στην επιφάνεια του υγρού, με την απομάκρυνση τους να περιγράφεται από την εξίσωση y = Aηµω t (S.I.). Τα κύματα που δημιουργούν έχουν μήκος κύματος λ=, 4 m. Σημείο (Σ) της επιφάνειας απέχει κατά r =,5 m από την πηγή Π και κατά r = 4m από την πηγή Π. Αφού τα κύματα συμβάλλουν στο (Σ), αυτό εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση με συχνότητα 5 Hz και πλάτος m. α) Να υπολογίσετε τη χρονική διαφορά άφιξης των κυμάτων στο (Σ) καθώς και τη διαφορά φάσης με την οποία φτάνουν. β) Να υπολογίσετε το πλάτος των κυμάτων. γ) Να γράψετε την εξίσωση απομάκρυνσης του Σ σε συνάρτηση με το χρόνο, μετά τη συμβολή των κυμάτων σε αυτό. δ) Να υπολογίσετε την ελάχιστη συχνότητα ταλάντωσης των πηγών, ώστε το (Σ) να είναι ακίνητο μετά τη συμβολή των κυμάτων. Λύση α) Το (Σ) ταλαντώνεται με τη συχνότητα των κυμάτων άρα u=λ f = m/s. f = 5 Hz. Συνεπώς r,5 Η ταλάντωση του (Σ) ξεκινά τη χρονική στιγμή t = = s =, 5s οπότε στο (Σ) u φτάνει το κύμα που εκπέμπεται από την Π, ενώ η συμβολή των κυμάτων συμβαίνει τη r χρονική στιγμή t u την Π. Άρα t = t t =,75 s Η διαφορά φάσης είναι: = = s κατά την οποία στο (Σ) φτάνει το κύμα που εκπέμπεται από t r t r t t r r, 75 4,5 φ = φ φ = π π = π = π = T λ T λ T λ,, 4 π(3, 75 3, 75) = β) Μετά τη συμβολή των κυμάτων το (Σ) ταλαντώνεται με πλάτος: r r λ AΣ = A συν π = A συν(3,75 π) AΣ = sqrta Από την εκφώνηση είναι A = Σ m άρα: 7

A = A = m Σ A = m γ) Για t s είναι: r r t r + r = συν π ηµ π = ηµπ λ T λ yσ A y Σ (t 6, 5) (S.I.) δ) Πρέπει: r r 3π 3 συν π = συν = λ = λ' λ ' k+ A ', όπου k =,,,... άρα: k + f' = u 3 Επιλέγουμε το μικρότερο ακέραιο (k = ), άρα f min ' = Hz 3 8

Άσκηση 5. Δύο σύγχρονες κυματικές πηγές Π και Π βρίσκονται στα σημεία Α και Β αντίστοιχα, της επιφάνειας ενός υγρού. Τη χρονική στιγμή t = οι πηγές ξεκινούν να ταλαντώνονται κάθετα στην επιφάνεια του υγρού, με την απομάκρυνση τους να περιγράφεται από την εξίσωση y =, ηµ ( π t ) (S.I.). Τα κύματα που δημιουργούν έχουν μήκος κύματος λ=, 4 m. Σημείο (Σ) της επιφάνειας απέχει κατά r =,5 m από την πηγή Π και κατά r > r από την πηγή Π. Τα δύο κύματα φτάνουν στο (Σ) με χρονική διαφορά,3 s. α) Να υπολογίσετε την ταχύτητα διάδοσης των κυμάτων. β) Να υπολογίσετε την απόσταση r. γ) Να εξετάσετε το είδος της συμβολής που συμβαίνει στο σημείο (Σ). δ) Να γράψετε τη χρονική εξίσωση της δύναμης επαναφοράς που δέχεται ένα σημειακό κομμάτι ξύλου μάζας m= 5g που αρχικά ισορροπούσε στο σημείο (Σ). (Θεωρήστε ότι π = ). Λύση α) Από την εξίσωση ταλάντωσης των πηγών έχουμε:. Άρα: u=λ f = m/s A =, m και T =, s ή f = 5 Hz β) Το κύμα από την Π φτάνει στο (Σ) τη χρονική στιγμή Άρα: t = t + t =, 55 s συνεπώς r = u t = 3, m t r u = =, 5 s 3 γ) Είναι: r r =,6 m = λ. Δηλαδή ικανοποιείται η συνθήκη απόσβεσης. Για t, 55 s το (Σ) θα είναι ακίνητο. δ) Η απομάκρυνση του ξύλου στο S.I. είναι: 9

, t < s, t <, 5 s t r = ηµ π < = ηµ π( ) < T λ, t, 55 s, t, 55 s yσ A,,5 s t,55 s yσ, 5t 6,5,,5 s t,55 s Η δύναμη επαναφοράς είναι στο S.I.:, t <, 5 s ( ) F π = D y Σ = m ω y Σ = ηµ π 5t 6, 5,, 5 s t <,55 s, t, 55 s

Άσκηση 6. Δύο σύγχρονες κυματικές πηγές Π και Π βρίσκονται στα σημεία Α και Β αντίστοιχα, της επιφάνειας ενός υγρού και απέχουν κατά d= m. Οι πηγές ταλαντώνονται κάθετα στην επιφάνεια του υγρού χωρίς αρχική φάση, δημιουργώντας κύματα μήκους κύματος λ=, m και πλάτους A= m. Σημείο (Λ) του ΑΒ ξεκινά να ταλαντώνεται τη χρονική στιγμή t ' =, s και είναι το πλησιέστερο σημείο στην πηγή Π το οποίο μετά τη συμβολή των κυμάτων σε αυτό ταλαντώνεται με μέγιστο πλάτος. α) Να υπολογίσετε τις αποστάσεις του (Λ) από τις κυματικές πηγές. β) Να υπολογίσετε την ταχύτητα ταλάντωσης του (Λ) τη στιγμή που τα κύματα συμβάλλουν στο μέσο Μ του ΑΒ. γ) Να υπολογίσετε την απόσταση (ΚΛ) όπου (Κ) το πλησιέστερο στην Π ακίνητο σημείο του ΑΒ. δ) Σημείο (Ζ) της επιφάνειας ανήκει στην ίδια υπερβολή απόσβεσης με το (Κ). Αν αυξήσουμε κατά % τη συχνότητα των πηγών, να υπολογίσετε το νέο πλάτος ταλάντωσης του σημείου (Ζ). Δίνεται 4π συν,8. 5 Λύση α) Έστω ότι το (Λ) απέχει από τις πηγές Π και Π κατά x και x αντίστοιχα. Το (Λ) είναι σημείο ενίσχυσης, άρα θα πρέπει: x x = N λ, N =, ±, ±, ± 3,... ενώ x+ x = d. Προσθέτοντας κατά μέλη τις δύο αυτές εξισώσεις Nλ+ d προκύπτει: x = Το σημείο (Λ) βρίσκεται μεταξύ των πηγών άρα: Nλ+ d d d 5 5 < x < d < < d < N< < N< λ λ 3 3 Άρα ο ακέραιος Ν μπορεί να πάρει τις τιμές N =, ±. Το (Λ) είναι το πλησιέστερο σημείο ενίσχυσης στην Π άρα βρίσκεται πάνω στην υπερβολή ενίσχυσης με N= οπότε x =, 6 m. Άρα x = d x =, 4 m

β) Τo υλικό σημείο (Λ) παραμένει ακίνητο μέχρι τη χρονική στιγμή t' =, s, οπότε στο (Λ) φθάνει το κύμα από την πλησιέστερη σε αυτό πηγή ( Π ). Άρα η ταχύτητα διάδοσης των κυμάτων ισούται με: x u= = m/s t' ενώ 5 u =λf f = Hz και T =,6 s. 3 Η συμβολή συμβαίνει στο (Λ) τη χρονική στιγμή t κατά την οποία σε αυτό φθάνει και το δεύτερο κύμα, το οποίο προέρχεται από την πιο απομακρυσμένη πηγή (στη περίπτωσή x μας από την Π ). Οπότε t = =,8 s. Το σημείο Μ ξεκινά να ταλαντώνεται τη χρονική u d/ στιγμή t M = =,5 s < t. u Συνεπώς τη χρονική στιγμή t M το υλικό σημείο (Λ) ταλαντώνεται μόνο λόγο του κύματος που προέρχεται από την πηγή Π το οποίο εξαναγκάζει το (Λ) σε ταλάντωση της οποίας η απομάκρυνση σε συνάρτηση με το χρόνο είναι: t x π y Λ = Aηµ π y Λ = ηµ ( 5t ) (S.I.) T λ 3 για, s t <,8 s Η ταχύτητα ταλάντωσης του (Λ) για αυτό το χρονικό διάστημα σε συνάρτηση με το χρόνο δίνεται από την: x t π π u Λ = ωaσυνπ u Λ = συν (5t ) (S.I.) T λ 3 3 για, s t <,8 s Για π π π m t = t M : u Λ = συν (5,5 ) u Λ = 3 3 3 s γ) Το (Κ) είναι σημείο του ΑΒ στο οποίο έχουμε απόσβεση, άρα αν απέχει κατά x K από (N + ) λ το Α και κατά x K από το Β τότε: xk xk = Συγχρόνως: xk + xk = d Προσθέτοντας κατά μέλη: xk = (N + ) λ + d Επίσης το (Κ) βρίσκεται μεταξύ των (Α) και (Β) άρα:

(N + ) λ + d 3 7 < xk < d < < d < N + < < N < 3 3 6 6 Συνεπώς N =,,, άρα υπάρχουν 4 σημεία απόσβεσης επί του ΑΒ. Το (Κ) είναι το πλησιέστερο στην Π άρα η απόσταση x K πρέπει να είναι η ελάχιστη. Για N= είναι xk =, m και η ζητούμενη απόσταση (K Λ ) = x x =, 5 m Λ K δ) Για το (Ζ) θα είναι rz rz = xk x K =, 8 m Μεταβάλλοντας τη συχνότητα μεταβάλλεται και το μήκος κύματος έτσι ώστε η ταχύτητα διάδοσης του κύματος να παραμείνει σταθερή, δεδομένου ότι η τελευταία εξαρτάται μόνο από τις μηχανικές (ελαστικές) ιδιότητες του μέσου. Για τη νέα συχνότητα έχουμε: f ' =, f = Hz ενώ: u =λ'f ' λ ' = m Άρα: r r 9 π 4 π = συν π = συν = συν π+ =, 6 m λ ' 5 5 Z Z AZ' A AZ' 3

Άσκηση 7. Οριζόντια ελαστική χορδή μήκους L =, m έχει τα άκρα της στερεωμένα σε ακλόνητα εμπόδια. Στη χορδή έχει δημιουργηθεί στάσιμο κύμα, ως αποτέλεσμα της ταυτόχρονης διάδοσης στη χορδή δύο αντίρροπα διαδιδόμενων κυμάτων, με το ίδιο πλάτος A =, m και το ίδιο μήκος κύματος λ=, 4 m. α) Πόσες κοιλίες εμφανίζονται στη χορδή; β) Να σχεδιάσετε το στιγμιότυπο της χορδής τη χρονική στιγμή κατά την οποία η πλησιέστερη κοιλία στο αριστερό άκρο της χορδής βρίσκεται σε μέγιστη θετική απομάκρυνση. γ) Να υπολογίσετε το ποσοστό μεταβολής της συχνότητας των κυμάτων που πρέπει να επιφέρουμε, ώστε στη χορδή να εμφανίζονται 5 κοιλίες. Λύση α) Τα άκρα της χορδής είναι δεσμοί. Επίσης δύο διαδοχικοί δεσμοί απέχουν κατά λ / =, m. Άρα αν O(x ) = το αριστερό άκρο της χορδής και B ( x, m) B = το δεξί άκρο της, τότε στη χορδή θα εμφανίζονται L = 6 άτρακτοι. Κάθε άτρακτος εμφανίζει λ μία κοιλία, άρα στη χορδή εμφανίζονται συνολικά 6 κοιλίες. β) Με δεδομένο ότι δύο διαδοχικές κοιλίες βρίσκονται σε αντίθεση φάσης και ότι το μέγιστο πλάτος (κάθε κοιλίας) είναι A =,4m, το ζητούμενο στιγμιότυπο είναι: γ) Θα πρέπει: 5 λ ' L = λ ' =, 48 m. Επίσης: λ λ f =λ' f ' f ' = f λ ' 4

Το ζητούμενο ποσοστό είναι: λ f f f' f % λ ' λ λ' = % = f f λ ' % 6,7 % 5

Άσκηση 8. Δύο εγκάρσια αρμονικά κύματα με το ίδιο πλάτος και την ίδια συχνότητα διαδίδονται με αντίθετες κατευθύνσεις σε γραμμικό ελαστικό μέσο το οποίο ταυτίζεται με τον οριζόντιο άξονα x Οx. Τα κύματα συμβάλλουν και δημιουργούν στάσιμο κύμα με κοιλία στο σημείο O(x = ). Η εξίσωση του στάσιμου κύματος είναι: y =, 4συν (,5πx ) ηµ ( π t ) (S.I.). α) Να υπολογίσετε την ταχύτητα διάδοσης των οδεύοντων κυμάτων. β) Να γράψετε τις εξισώσεις των οδεύοντων κυμάτων. γ) Να υπολογίσετε την οριζόντια απόσταση μεταξύ του 3 ου δεσμού του θετικού ημιάξονα και της ης κοιλίας του θετικού ημιάξονα η οποία βρίσκεται σε συμφωνία φάσης με την κοιλία που σχηματίζεται στο σημείο O(x = ). δ) Να υπολογίσετε τη μέγιστη ταχύτητα ταλάντωσης του σημείου Z( x ) Z > του οποίου η απόσταση από το O(x = ) είναι μεγαλύτερη από την απόσταση του ου δεσμού του θετικού ημιάξονα από το O(x = ) κατά d = /3m. Λύση α) Από την εξίσωση του στάσιμου έχουμε: u=λ f = 8m/s A =, m, λ=,8 m και T =,s. Συνεπώς: β) Είναι: t x y = Aηµ π T λ y =, ηµπ( t,5x) (S.I.) t x y =, ηµπ ( t +,5x) y = Aηµ π + T λ γ) Η απόσταση μεταξύ δύο διαδοχικών δεσμών ισούται με λ /, όση είναι και η απόσταση μεταξύ δύο διαδοχικών κοιλιών. Επίσης η απόσταση μίας κοιλίας από τον πλησιέστερο δεσμό ισούται με λ /4. Αν A(x A ) ο τρίτος δεσμός του θετικού ημιάξονα, τότε: λ λ xa = + = m. 4 6

Δύο διαδοχικές κοιλίες ταλαντώνονται σε αντίθεση φάσης, άρα αν Β η η κοιλία του θετικού ημιάξονα η οποία βρίσκεται σε συμφωνία φάσης με την κοιλία που σχηματίζεται στο σημείο O(x = ), τότε: λ x B = 4 =, 6 m. Συνεπώς η ζητούμενη απόσταση ισούται με d' =,6m m=,6m δ) Αν ( x ) ο ος δεσμός του θετικού ημιάξονα λ τότε x = 3 =,6 m 4 Συνεπώς x = x + d = (4 /5) m Z Σύμφωνα με την εξίσωση του στασίμου κύματος το πλάτος του Ζ είναι: 4 7π AZ =, 4 συν,5π x Z =, 4 συν,5π m =, 4 συν m =, m 5 3 και η μέγιστη ταχύτητα ταλάντωσης: umax(z) =ω AZ = 4π m/s. 7

Άσκηση 9. Δύο εγκάρσια αρμονικά κύματα με πλάτος A, μήκος κύματος λ=, 4 m και συχνότητα Hz διαδίδονται με αντίθετες κατευθύνσεις σε χορδή η οποία ταυτίζεται με τον οριζόντιο άξονα x Οx. Τα κύματα συμβάλλουν δημιουργώντας στάσιμο κύμα το οποίο στη θέση O(x = ) της χορδής εμφανίζει κοιλία. Το μέγιστο πλάτος ταλάντωσης των σημείων του μέσου ισούται με, 6 cm. α) Να γράψετε την εξίσωση του δημιουργούμενου στάσιμου κύματος. 8 β) Αν Δ x = m υλικό σημείο της χορδής με μάζα m= g, να υπολογίσετε τη 5 μέγιστη δύναμη επαναφοράς που δέχεται το Δ κατά την ταλάντωσή του. γ) Να υπολογίσετε την ταχύτητα του σημείου Α( x A 4, 5 m) ( x 4,65 m) B = τη στιγμή που το σημείο Β = διέρχεται από τη θέση ισορροπίας του με θετική ταχύτητα. (Δίνεται π = ) Λύση Από την εκφώνηση είναι α) Το στάσιμο θα έχει εξίσωση: λ=, 4 m και f = Hz. Ακόμα Amax = A A =,8 m πx t y = Aσυν ηµ π y =, 6 συν(5πx) ηµ (πt) (S.I.) λ T β) Είναι: πx λ 5 F π(max) = DA = mω A συν = 64 N γ) Το σημείο Α βρίσκεται μεταξύ της κοιλίας που σχηματίζεται στη θέση x = 4, m και του δεσμού που σχηματίζεται στη θέση x = 4,3 m. Αντίστοιχα το Β βρίσκεται μεταξύ της κοιλίας που σχηματίζεται στη θέση x = 4,6 m και του δεσμού που σχηματίζεται στη θέση x = 4,7 m. 8

Συνεπώς μεταξύ των ατράκτων στις οποίες ανήκουν τα Α, Β παρεμβάλλεται άλλη μία άτρακτος. Άρα τα Α και Β βρίσκονται σε συμφωνία φάσεως. Συνεπώς τη στιγμή που το σημείο Β διέρχεται από τη θέση ισορροπίας του με θετική ταχύτητα, τότε και το Α διέρχεται από τη θέση ισορροπίας του με θετική ταχύτητα: πxa π 4, 5 u = umax = ω AA = ωa συν = ( π), 8 συν = λ, 4 π m, 3 συν π + =, 6 π. 4 s 9

Άσκηση. Δύο εγκάρσια αρμονικά κύματα με πλάτος A συχνότητα f =, 4 m, μήκος κύματος λ=, 4 m και = 4 Hz διαδίδονται με αντίθετες κατευθύνσεις σε ελαστική χορδή η οποία ταυτίζεται με τον οριζόντιο άξονα x Οx. Τα κύματα συμβάλλουν και δημιουργούν στάσιμο κύμα το οποίο στη θέση O(x = ) εμφανίζει κοιλία. Τα σημεία Α και Β της χορδής ταλαντώνονται με πλάτος A ' =,8 m και μεταξύ τους παρεμβάλλονται 3 δεσμοί. α) Να γράψετε την εξίσωση του στάσιμου κύματος. β) Να υπολογίσετε την απόσταση ΑΒ. γ) Να υπολογίσετε την απομάκρυνση και την ταχύτητα του σημείου Α όταν η απομάκρυνση του σημείου Β είναι =, 7 m και η ταχύτητα του θετική. yb δ) Να σχεδιάσετε το στιγμιότυπο του τμήματος ΑΒ τη χρονική στιγμή t = t + T/4, όπου t χρονική στιγμή κατά την οποία το σημείο Α διέρχεται από τη θέση ισορροπίας με θετική ταχύτητα. Λύση α) Το στάσιμο θα έχει εξίσωση: πx t y = Aσυν ηµ π y =,8 συν(5πx) ηµ (8πt) (S.I.) λ T β) Τα Α, Β είναι κοιλίες και μεταξύ τους παρεμβάλλονται τρείς δεσμοί άρα: λ λ λ AB = + + AB =,6 m 4 4 γ) Μεταξύ των ατράκτων που ανήκουν τα Α, Β παρεμβάλλονται ακόμα δύο. Άρα τα Α, Β βρίσκονται σε αντίθεση φάσης όπως φαίνεται και στο σχήμα. Συνεπώς κάθε χρονική στιγμή θα ισχύει: ya = y B ya =, 7 m ua = ub ua = ub Επίσης, για το σημείο Β έχουμε:

EB = K B + U m B mω AB = mu B + mω yb u B =± 4,8π s Τη δεδομένη χρονική στιγμή η ταχύτητα του Β είναι θετική, άρα η ταχύτητα του Α θα είναι αρνητική, δηλαδή: m u A = 4,8π s δ) Τη χρονική στιγμή t θα είναι ya = max = +,8 m. Άρα το στιγμιότυπο είναι:

Άσκηση. Δύο εγκάρσια αρμονικά κύματα με το ίδιο πλάτος και την ίδια συχνότητα διαδίδονται με αντίθετες κατευθύνσεις σε γραμμικό ελαστικό μέσο το οποίο ταυτίζεται με τον οριζόντιο άξονα x Οx. Τα κύματα συμβάλλουν και δημιουργούν στάσιμο κύμα το οποίο στη θέση O(x = ) εμφανίζει κοιλία. Η εξίσωση του στάσιμου κύματος είναι: y =, 4συν (,5πx ) ηµ ( π t). α) Να προσδιορίσετε τη θέση του δεσμού A(x A ) του θετικού ημιάξονα μεταξύ του οποίου και του O(x = ) παρεμβάλλονται ακόμα δεσμοί. β) Να γράψετε την εξίσωση ταλάντωσης του σημείου Β (x B = 3, m). γ) Να υπολογίσετε το πλήθος των δεσμών μεταξύ των Α και Β. Λύση α) Από την εξίσωση του στάσιμου έχουμε ότι: A =, m, λ=,8 m και T =,s. Δύο διαδοχικοί δεσμοί απέχουν κατά λ / ενώ μια κοιλία απέχει από τον πλησιέστερο δεσμό κατά λ λ λ /4. Θα είναι OA = + OA = m.δηλαδή xa 4 = m. β) Είναι: yb =, 4 συν(,5πx) ηµ (πt) yb =, 4 συν(8 π) ηµ (πt) yb =, 4 ηµ (π t) (S.I.) γ) Για ένα δεσμό μεταξύ των Α και Β θα πρέπει: λ x A < (N + ) < x B < (N + ), < 3, < N < 7, 5 4 Άρα οι ακέραιες τιμές του N είναι: N = 3, 4, 5, 6, 7 Δηλαδή υπάρχουν 5 δεσμοί μεταξύ των Α και Β.

Άσκηση. Δύο εγκάρσια αρμονικά κύματα με πλάτος,8 m και συχνότητα 5 Hz διαδίδονται με αντίθετες κατευθύνσεις σε γραμμικό ελαστικό μέσο το οποίο ταυτίζεται με τον οριζόντιο άξονα x Οx. Το κάθε κύμα εξαναγκάζει το σημείο O(x = ) σε ταλάντωση της μορφής y = Aηµω t. Τα κύματα συμβάλλουν και δημιουργούν στάσιμο κύμα όπου δύο διαδοχικές κοιλίες απέχουν κατά, m. α) Να υπολογίσετε την ταχύτητα διάδοσης των οδεύοντων κυμάτων. β) Να γράψετε την εξίσωση του στάσιμου κύματος. γ) Να υπολογίσετε το πλήθος των ακίνητων σημείων του τμήματος ΟΔ, όπου Δ ( x,8 m) =. δ) Να σχεδιάσετε το στιγμιότυπο του τμήματος ΟΔ της χορδής τη χρονική στιγμή t =,35 s. Λύση α) Από την εκφώνηση είναι A =,8 m και f = 5 Hz. Επίσης, δύο διαδοχικές κοιλίες απέχουν κατά λ /, άρα λ=, 4 m. Συνεπώς: u=λ f = m/s β) Είναι: x t y = Aσυν π ηµ π y =, 6 συν(5πx) ηµ (πt) (S.I.) λ T γ) Για ένα ακίνητο σημείο, δηλαδή για ένα δεσμό θα πρέπει: x (N ) 4 λ = + Για να ανήκει στο τμήμα ΟΔ θα πρέπει: λ < x < x < (N + ) < x < (N + ), <,8 4,5< N < 3,5 Άρα ο ακέραιος N μπορεί να πάρει τις τιμές: N =,,, 3. Συνολικά στο ΟΔ θα υπάρχουν 4 δεσμοί. 3 δ) Είναι: t =,35 s = T + T, άρα τα κινούμενα σημεία της χορδής θα βρίσκονται σε 4 ακραίες θέσεις, συνεπώς εκείνη τη χρονική στιγμή όλα τα σημεία της χορδής είναι ακίνητα. 3

Είναι: y =, 6 συν(5πx) ηµ (3,5 π) y =, 6 συν(5π x) (S.I.) t t Από τη γραφική παράσταση αυτής για x x έχουμε το ζητούμενο στιγμιότυπο: 4

Άσκηση 3. Σε ένα γραμμικό ελαστικό μέσο το οποίο ταυτίζεται με τον οριζόντιο άξονα xόx, y =, ηµ π( t,5x ) διαδίδονται τα: (S.I.) y =, ηµ π ( t +,5x) Τα κύματα συμβάλλουν και δημιουργούν στάσιμο κύμα. α) Να γράψετε την εξίσωση του στάσιμου κύματος. β) Να γράψετε τη συνθήκη κοιλιών και τη συνθήκη δεσμών. γ) Να υπολογίσετε το πλήθος των δεσμών μεταξύ του σημείου O(x = ) και του σημείου A x = 5m. ( ) A Λύση α) Το αρνητικό πρόσημο στην εξίσωση του αρχική φάση φ =π, δεδομένου ότι ηµ ( θ + π ) = ηµθ. Είναι: ( ) y μας οδηγεί στο συμπέρασμα ότι υπάρχει y = y + y y =, ηµ π t,5x +, ηµ π (t +,5x) y =, ηµ [ π(t,5x) + π ] +, ηµ π (t +,5x) Με τη βοήθεια της : a+ b a b ηµ a+ ηµ b= ηµ συν και εκτελώντας τις πράξεις: t 5x + + t + 5x t 5x + t 5x π π y =, 4ηµ π συν π =, 4ηµ π t+ συν 5π x+ =, 4 ηµ (5πx) συν(π t) (S.I.) β) Κοιλίες Πρέπει: π k + ηµ (5π x) = ± 5π x = (k + ) x =, k =, ±, ±,... στο S.I. Δεσμοί k Πρέπει: ηµ (5π x) = 5π x = kπ x =, k =, ±, ±,... στο S.I. 5 5

k γ) Πρέπει: < x < 5 < < 5 < k<. Συνεπώς k =,..., 4, δηλαδή υπάρχουν 5 4 ακίνητα σημεία μεταξύ των Ο και Α. 6

ΘΕΜΑ Δ Πρόβλημα. Δύο σύγχρονες κυματικές πηγές Π και Π βρίσκονται στα σημεία Α και Β αντίστοιχα, της επιφάνειας ενός υγρού. Τη χρονική στιγμή t = οι πηγές ξεκινούν να ταλαντώνονται κάθετα στην επιφάνεια του υγρού, με την απομάκρυνση τους να περιγράφεται από την εξίσωση y =, ηµ 4π t (S.I.). Τα παραγόμενα κύματα έχουν μήκος κύματος λ=, m. Σημείο (Σ) της επιφάνειας απέχει κατά r =,3 m από την πηγή Π και κατά r =,8 m από την πηγή Π. α) Να γράψετε τις εξισώσεις των επιμέρους ταλαντώσεων που υποχρεώνεται να εκτελέσει το σημείο (Σ), εξαιτίας των δύο κυμάτων που φτάνουν σε αυτό από κάθε πηγή. β) Να υπολογίσετε το πλάτος ταλάντωσης του σημείου (Σ), μετά τη συμβολή των κυμάτων σε αυτό. γ) Να γράψετε την εξίσωση επιτάχυνσης του υλικού σημείου (Σ) σε συνάρτηση με το χρόνο για t. (Θεωρήστε ότι π = ) Λύση Από την εξίσωση ταλάντωσης των πηγών: μήκος κύματος των κυμάτων ισούται με εξίσωση έχουμε: m u =λf u =, s A=,m,f = Hz και T =,5 s. Επίσης το λ=, m οπότε από τη θεμελιώδη κυματική α) Είναι: y Σ t r y = Aηµ π T λ y =, ηµ π( t 3) = (S.I.) t r y =, ηµ π( t 8) y = Aηµ π T λ β) Μετά τη συμβολή των κυμάτων το πλάτος του (Σ) είναι: r r λ AΣ = A συν π = A συν(5 π) AΣ =,4 m 7