ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΥΒΡΙΔΙΚΩΝ ΜΕΜΒΡΑΝΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΑΥΤΩΝ ΣΤΗ ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΒΙΟΑΝΤΙΔΡΑΣΤΗΡΩΝ

ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΥΒΡΙΔΙΚΩΝ ΜΕΜΒΡΑΝΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΑΥΤΩΝ ΣΤΗ ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΒΙΟΑΝΤΙΔΡΑΣΤΗΡΩΝ Ν. Μπαλή 1,, Ε. Δ. Σκούρας 1,3, A. Ι. Πέτση 1, Β. Ν. Μπουργανός 1 1 Ινστιτούτο Επιστημών Χημικής Μηχανικής (ΙΕΧΜΗ), Ίδρυμα Τεχνολογίας & Έρευνας (ΙΤΕ) Τμήμα Χημικών Μηχανικών, Πανεπιστήμιο Πατρών 3 ΤΕΙ Δυτικής Ελλάδας, Τμήμα Μηχανολογίας ΠΕΡΙΛΗΨΗ Η παρούσα μελέτη εστιάζει στην υπολογιστική ανακατασκευή διστρωματικών υβριδικών μεμβρανών, που στο εσωτερικό τους εγκλωβίζουν καταλυτικά ένζυμα. Η ανάπτυξη τέτοιων μεμβρανών είναι ιδιαίτερα χρήσιμη σε πλήθος εφαρμογών και ιδιαίτερα στη βιομηχανία γάλακτος (π.χ., υδρόλυση της λακτόζης παρουσία ενζύμων β- γαλακτοσιδάσης). Η ανακατασκευή των συγκεκριμένων μεμβρανών πραγματοποιήθηκε με βάση εικόνες ηλεκτρονικού μικροσκοπίου σάρωσης της πραγματικής μεμβράνης, η οποία χρησιμοποιείται σε πειραματικές μελέτες. Οι τεχνικές της ανακατασκευής που χρησιμοποιήθηκαν είναι η βαλλιστική μέθοδος εναπόθεσης σφαιρών καθώς και στοχαστικές μέθοδοι, όπως η Mnte arl κλασικού τύπου και τύπου σκληρού πυρήνα. Κατόπιν σύγκρισης των μεθόδων επιλέχθηκε η Mnte arl τύπου σκληρού πυρήνα. Στη συνέχεια πραγματοποιήθηκε μοντελοποίηση των φαινομένων μεταφοράς και των χημικών διεργασιών που λαμβάνουν χώρα μέσα στις μεμβράνες. Οι προσομοιώσεις αυτές υλοποιήθηκαν σε μακροσκοπικό επίπεδο μιας «ίνας», αλλά και μέσα στις ανακατασκευασμένες δομές και ακολούθησε σύγκριση των μακροσκοπικών και μεσοσκοπικών ιδιοτήτων. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η υπολογιστική ανακατασκευή πορωδών μεμβρανών και η προσομοίωση των φαινομένων μεταφοράς και των φυσικοχημικών διεργασιών που λαμβάνουν χώρα στο εσωτερικό τους είναι πολύτιμο εργαλείο για το σχεδιασμό νέων εφαρμογών ρόφησης ή διαχωρισμού μιγμάτων, όπως είναι η απομάκρυνση συστατικών με μεμβράνες βιοαντιδραστήρων [1]. Ένα παράδειγμα βιοαντιδραστήρων είναι αυτοί που συνδυάζονται με συστήματα μεμβρανών που έχουν ως στόχο την υδρόλυση της λακτόζης, με επιτάχυνση της διαδικασίας λόγω καταλυτικών ενζύμων []. Η λακτόζη είναι ένας δισακχαρίτης, που βρίσκεται στο γάλα και για μεγάλο ποσοστό του πληθυσμού δεν είναι ανεκτή. Περίπου το 60% του παγκόσμιου πληθυσμού πάσχει από έλλειψη του ενζύμου της λακτάσης με συνέπεια το μη μεταβολισμό της λακτόζης. Στις σύγχρονες μονάδες της γαλακτοβιομηχανίας υπάρχουν βιοαντιδραστήρες, οι οποίοι με την παρουσία των ενζύμων της β-γαλακτοσιδάσης καταφέρνουν να βιοαποδομίσουν τη λακτόζη του γάλατος. Επίσης, η λακτόζη λόγω της γρήγορης κρυστάλλωσής της όταν είναι παρούσα με όλα τα παραπροϊόντα της βιομηχανίας γάλακτος ρυπαίνει το περιβάλλον οπότε η αφαίρεσή της από τα παραπροϊόντα τα καθιστά λιγότερο επιβλαβή [3]. Η μοντελοποίηση των βιοαντιδραστήρων έχει ως στόχο τη βελτιστοποίηση της διεργασίας και την αναζήτηση της οικονομικότερης και αποτελεσματικότερης διάσπασης της λακτόζης. Παράμετροι, όπως η ποσότητα των ενζύμων, οι συνθήκες θερμοκρασίας και pη που επικρατούν, το μέγεθος των πόρων, το δαιδαλώδες της μεμβράνης καθώς και η ταχύτητα της ροής μέσα στο σύστημα μεμβρανών, καθορίζουν την απόδοση του βιοαντιδραστήρα, για αυτό και αποτελούν αντικείμενο διερεύνησης στην παρούσα εργασία. Ακόμη, σύμφωνα με τη βιβλιογραφία [4], στους ενζυμικούς αντιδραστήρες χρησιμοποιούνται μη γραμμικές κινητικές για την περιγραφή της υδρόλυσης της λακτόζης, ως εκ τούτου στην παρούσα εργασία μελετήθηκε η μη γραμμική κινητική, κατά Michaelis-Menten με ανταγωνιστικό προϊόν. Σε αυτή τη βάση πραγματοποιήθηκε θεωρητική μελέτη του προβλήματος της υδρόλυσης της λακτόζης μέσα σε σύστημα μεμβρανών εμπλουτισμένων με καταλυτικά ένζυμα στην κλίμακα μιας ίνας τύπου κοίλης και με τη χρήση τεχνικών ανακατασκευής της εσωτερικής της δομής. Η μελέτη είχε ως στόχο τόσο την κατανόηση των μηχανισμών ροής, διάχυσης και αντίδρασης που λαμβάνουν χώρα μέσα στο δαιδαλώδες των μεμβρανών, όσο και τη βελτιστοποίηση των μεμβρανών που χρησιμοποιούνται στη βιομηχανία γάλακτος. ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΦΥΣΙΚΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ Ο βιοαντιδραστήρας αποτελείται από ένα σύστημα ανάδευσης των συστατικών, το οποίο συνδέται με μια αντλία τροφοδότητης μιας συστοιχίας αποτελούμενης από πολλές κοίλες ίνες. Η κάθε κοίλη ίνα αποτελείται από διστρωματικές μεμβράνες με βιοκαταλυτικά ένζυμα. Η μοντελοποίηση αφορά στη μεταφορά ορμής και μάζας μέσα στον κενό χώρο της ίνας αλλά και μέσα στο σύστημα των μεμβρανών, και χωρίζεται σε δύο μέρη. Στο

πρώτο μέρος προσομοιώνονται οι φυσικοχημικές διεργασίες που λαμβάνουν χώρα σε μία ίνα με χωρικά μέσες ιδιότητες, όπως φαίνεται στο Σχήμα 1. Στο δεύτερο μέρος πραγματοποιείται η μελέτη των φαινομένων μεταφοράς μέσα στον ανακατασκευασμένο χώρο των μεμβρανών. Οι μεμβράνες που μελετώνται ακολούθως στηρίζονται σε πειραματικές εργασίες της βιβλιογραφίας [1]. Μέρος Πρώτο Το πρόβλημα της μιας κοίλης ίνας επιλύεται σε κυλινδρικές συντεταγμένες, όπου χρησιμοποιώντας την αξονοσυμμετρία, το πρόβλημα ανάγεται σε πρόβλημα δύο διαστάσεων. Στο ακόλουθο Σχήμα 1 φαίνεται το κενό μέρος της ίνας ή αλλιώς διαμπερής χώρος, ο οποίος συνορεύει με το πυκνό στρώμα μεμβράνης, το οποίο αποτελείται, ως επί το πλείστον από ένζυμα και χαρακτηρίζεται από πορώδες, εξωτερικά αυτού βρίσκεται το αραιό στρώμα μεμβράνης, το οποίο αποτελείται από λιγότερα ένζυμα διεσπαρμένα μέσα στις αφρώδεις δομές του και χαρακτηρίζεται από πορώδες ε =0.696 αντίστοιχα. Η επίλυση του προβλήματος γίνεται για συνθήκες μόνιμης κατάστασης, για ισοθερμοκρασιακό σύστημα και για σταθερές παραμέτρους μεταφοράς μάζας και ορμής κατά τη διάρκεια του πειράματος. Η ροή μέσα στη διαμπερή περιοχή της ίνας θεωρείται πλήρως ανεπτυγμένη, ενώ μέσα στο σύστημα των μεμβρανών απαντώνται σχετικά μικροί αριθμοί Reynlds. Ακόμη θεωρήθηκε ότι λαμβάνει χώρα η αντίδραση ΑΒ, με την ορολογία Α να εννοείται το υπόστρωμα (substrate) νερό και λακτόζη και με Β να εννοείται το προϊόν (prduct) το οποίο αντιπροσωπεύει την γαλακτόζη και γλυκόζη παρουσία επίσης νερού. Επίσης, τα διαλύματα του υποστρώματος και του προϊόντος θεωρούνται αρκετά αραιά. Lumen Layer- Διαμπερές στρώμα (1) Dense Layer- () Spngy Layer- Αραιό στρώμα (3) Σχήμα 1.Σχηματική αναπαράσταση της δομής μιας ίνας του βιο-αντιδραστήρα. Οι μαθηματικές εκφράσεις που διέπουν το πρόβλημα περιγράφονται παρακάτω, με βάση τους εξής αδιάστατους αριθμούς: ur p 1 ul Perad, k Peax, ER1 k, m D D D όπου με Pe και rad Pe συμβολίζονται αντίστοιχα οι αριθμοί Peclet κατά την ακτινική και αξονική διεύθυνση και ax με χαρακτηρίζεται ο αριθμός Thiele. Η ταχύτητα εισόδου στη διαμπερή περιοχή της ίνας είναι u m, s ενώ η μέση ταχύτητα διαπέρασης στην εσωτερική-πυκνή και εξωτερική-αραιή μεμβράνη χαρακτηρίζεται ως m u p. Με 1,,3 s R ( m ) συμβολίζονται οι ακτίνες κάθε στρώματος της ίνας, ξεκινώντας εσωτερικά, καθώς με ml Lmπεριγράφεται ( ) το συνολικό μήκος της ίνας. Η αρχική ποσότητα υποστρώματος δίνεται ως m 3 και με οι αντίστοιχες σε κάθε στρώμα, ενώ η συνολική ποσότητα των ενζύμων ορίζεται ως E ml, και οι 1,,3 3 m ποσότητες των ακινητοποιημένων ενζύμων ανά στρώμα μεμβράνης που εμφανίζονται στη συνέχεια ως E,3. Με m ml το σύμβολο D αναφερόμαστε στο συντελεστή διάχυσης. km 3, είναι οι Michaelis σταθερές s m αντίστοιχα με διαστάσεις και χωρίς []. Επίσης πραγματοποιήθηκαν οι ακόλουθες αδιαστατοποιήσεις: * 1,,3 * E,3E r z * ur1, r, r3 * u 1,,3, E,3E,,, u r1, r, r3, z u z R L u u 1 Οι αδιάστατοι αριθμοί συμβολίζονται με αστερίσκο (*) και αφορούν τις ποσότητες της συγκέντρωσης και της ταχύτητας. ml E,3 E είναι οι τιμές του υποστρώματος κοντά στις καταλυτικές επιφάνειες, για τα δύο 3 m p r z

διαφορετικά στρώματα μεμβράνης ενώ με ml P,3 E χαρακτηρίζονται οι συγκεντρώσεις του προϊόντος 3 m κοντά στις επιφάνειες των ενζύμων, στη συνέχεια ακολουθεί τοποθέτηση του προβλήματος. Αναφορικά με το πρόβλημα της μεταφοράς ορμής μέσα σε μία ίνα έχει λυθεί αναλυτικά [5], οπότε οι εκφράσεις των ταχυτήτων είναι γνωστές: 3 Qp r r ur 3 (1) R1 LN f R1 R1 Q Q p z r uz 1 1 N f R1 Q L R1 () Με Qp 3 m s περιγράφεται η ογκομετρική παροχή στο συνολικό σύστημα των ινών ενώ στην είσοδο της 3 διαμπερούς περιοχής συμβολίζεται με Q m. Το πλήθος των ινών είναι το N f. s Η ταχύτητα μέσα στο χώρο των μεμβρανών προκύπτει από την εξίσωση συνέχειας Με i 1 R1 ur LpTMP (3) r i χαρακτηρίζουμε το πορώδες, το οποίο είναι διαφορετικό για κάθε στρώμα μεβράνης i,3. Με m Lp spa των μεμβρανών. συμβολίζεται η υδραυλική διαπερατότητα και με TMP Pa η διαφορά πίεσης μέσα στο σύστημα Τα ισοζύγια μάζας μέσα στο χώρο των μεμβρανών δίνονται από τις εκφράσεις: Διαμπερής περιοχή: * * * * 1 1 1 * 1 R1 * 1 Pe radu r1 Peax u z 0 L (4) Πυκνή μεμβράνη () και Αραιή μεμβράνη (3): Οι αντιδράσεις που λαμβάνουν μέρος είναι τύπου Michaelis-Menten με ανταγωνιστικό προϊόν και δίνονται από: R k E( E / E) ml,3,3,3s 3 km P,3 km / ki (1 k p),3 s m Οι σταθερές ml ml k, ki 3 s m, k p αναφέρονται στην κινητική σταθερά, στη σταθερά αναστολής του προιόντος και στη σταθερά αναστολής αντιδρώντος, αντίστοιχα. (5) ( E / E) 0 * * * *,3 1,3 *,3,3,3E Pe radu r * * P,3Ekm / ki (1 k p),3e (6) ( E / E) 0 * * * *,3 1,3 *,3,3,3E Pe radu r * * P,3Ekm / ki (1 k p),3e (7) Οι εξισώσεις (6) και (7) αφορούν αντίστοιχα το προϊόν και το αντιδρών. Οι συνοριακές συνθήκες που επιβάλλονται στην είσοδο της κάθε ίνας είναι συγκέντρωση εισόδου για τη λακτόζη (αντιδρών) και μηδενική τιμή για τη γαλακτόζη (προϊόν). Στη διεπιφάνεια μεταξύ διαμπερούς περιοχής και πυκνού στρώματος μεμβράνης, όπως και στη διεπιφάνεια μεταξύ του πυκνού και αραιού στρώματος, επιβάλλεται συνέχεια των μαζικών παροχών, καθώς και των συγκεντρώσεων. Στις εξόδους της ίνας, στο τέλος

της διαμπερούς περιοχής, καθώς επίσης στην έξοδο από την ίνα μετά το αραιό στρώμα, επιβάλλονται συνοριακές τύπου Danckwerts, όπου για μεγάλες τιμές του αριθμού Peclet οι βαθμίδες της συγκέντρωσης τείνουν να μηδενιστούν, λόγω της εξωτερικής ροής που συμβαίνει περιμετρικά της ίνας. Η εξωτερική ροή οφείλεται στο σύστημα απομάκρυνσης των αντιδρώντων και προϊόντων που εξέρχονται από την ίνα. Oι συγκεντρώσεις κοντά στην επιφάνεια των ενζύμων είναι διαφορετικές από αυτές στο κύριος μέρος (bulk), το οποίο οφείλεται στις αντιστάσεις της διάχυσης της μάζας εξωτερικά του ακινητοποιημένου ενζυμικού σωματιδίου. Οι διεπιφανειακές συγκεντρώσεις μπορούν να υπολογιστούν υποθέτοντας ότι όλες αυτές οι αντιστάσεις είναι εντοπισμένες σε ένα υγρό φιλμ γύρω από το βιοκαταλυτικό σωματίδιο. Εκφράζοντας έτσι το ισοζύγιο μάζας σε επίπεδο σωματιδίου και σε συνθήκες μόνιμης κατάστασης ισχύει ότι: η ποσότητα του υποστρώματος (λακτόζης και νερό) που φτάνει στη βιοκαταλυτική επιφάνεια ισούται με την ποσότητα του υποστρώματος που αντιδρά οφειλόμενη στη χημική αντίδραση κατά Michaelis-Menten και για τις περιοχές της μεμβράνης. Μέρος Δεύτερο Η πειραματική μέθοδος με την οποία κατασκευάστηκε εργαστηριακά η υβριδική διστρωματική μεμβράνη, είναι τύπου αναστροφής φάσης (phase inversin) [1]. Η πειραματική διαδικασία με την οποία εισήχθησαν τα ένζυμα μέσα στις μεμβράνες είχε ως συνέπεια τα δύο στρώματα μεμβράνης να συγκεντρώνουν διαφορετικές ποσότητες ενζύμων. Το πρώτο στρώμα αποκαλείται πυκνό στρώμα (dense layer) καθότι στους μικρούς πόρους του συγκεντρώνει τη μεγαλύτερη ποσότητα των ενζύμων σε αρκετά μικρό πάχος (10μm). Αντίθετα, το δεύτερο στρώμα αποτελείται από λιγότερα ένζυμα και η εσωτερική μορφολογία του είναι αραιή με αρκετό χώρο για να αναπτυχθούν φαινόμενα ροής, διάχυσης και αρκετά δύσκολα ώστε να πραγματοποιηθούν αντιδράσεις. Πραγματοποιήθηκε ανάλυση της ποσότητας των ενζύμων που πρέπει να είναι συγκεντωμένα, ανά στρώμα μεμβράνης, όπου διαπιστώθηκε ότι ο κύριος όγκος των αντιδράσεων γίνεται στο πυκνό στρώμα μεμβράνης, όπου και επικεντρώθηκε η μελέτη στη συνέχεια. Έχοντας αυτό υπόψη, πραγματοποιήθηκε υπολογιστική μελέτη των φαινομένων διάχυσης και αντίδρασης σε όλο το φυσικό πάχος του πυκνού στρώματος μεμβράνης. Πιο συγκεκριμένα, πραγματοποιήθηκε ανακατασκευή του πυκνού και αραιού στρώματος μεμβράνης με τρεις διαφορετικές τεχνικές, βαλλιστική μέθοδο εναπόθεσης, στοχαστική Mnte arl [6] και Mnte arl με σκληρό πυρήνα και, εν κατακλείδι, επιλέχθηκε η Mnte arl με σκληρό πυρήνα, η οποία προσεγγίζει τις τιμές του συντελεστή διαπερατότητας [7,8], φαίνονται στον Πίνακα 1. Πίνακας 1. Σύγκριση διαπερατοτήτων πειραματικών και θεωρητικών υπολογισμένων βάσει ανακατασκευής Mnte arl σκληρού πυρήνα. Τύπος μεμβράνης Τιμές διαπερατότητας [7,8] Τιμές διαπερατότητας από τις ανακατασκυές Κ dense =.5 10-19 m Κ dense =.3 10-19 m (Mnte arl σκληρού πυρήνα) Αραιό Στρώμα ε =0.696 Κ spngy =1.0 10-15 m Κ dense = 3. 10-19 m (Mnte arl) Κ dense = 3.8 10-19 m (Βαλλιστική μέθοδος) Κ spngy = 1.0 10-15 m (Mnte arl σκληρού πυρήνα) Υπολογίστηκαν αντίστοιχα και οι τιμές του ισοδύναμου συντελεστή διάχυσης για κάθε στρώμα μεμβράνης, που παρατίθενται στον Πίνακα. Οι ισοδύναμες τιμές δείχνουν την επίδραση που έχει η δομή των μεμβρανών στο συντελεστή διάχυσης. Για το πυκνό στρώμα μεμβράνης η επίδραση είναι σημαντική. Οι τιμές διαφοροποιούνται σημαντικά από αυτές στην εργασία [], διότι στην εργασία είχαν κάνει την παραδοχή ότι το δαιδαλώδες της δομής δε συνεισφέρει στο φαινόμενο της διάχυσης. Πίνακας. Σύγκριση τιμών ισοδύναμων συντελεστών διάχυσης βάσει ανακατασκευής Mnte arl σκληρού πυρήνα. Τύπος μεμβράνης Τιμές του συντελεστή διάχυσης της εργασίας [] Τιμές συντελεστή διάχυσης από τις ανακατασκυές D dense =1.175 10-10 m /s D dense =.36 10-11 m /s (Mnte arl σκληρού πυρήνα) D dense = 3. 10-11 m /s (Mnte arl)

Αραιό Στρώμα ε =0.696 D spngy =7.38 10-10 m /s D dense = 3.7 10-11 m /s (Βαλλιστική μέθοδος) D spngy =.796 10-10 m /s(mnte arl σκληρού πυρήνα) Εν συνεχεία, επιλύεται το πρόβλημα της υδρόλυσης της λακτόζης στην ανακατασκευασμένη δομή. Οι συνοριακές συνθήκες που επεβλήθησαν σε αυτή την περίπτωση είναι μια συγκέντρωση εισόδου στην είσοδο της δομής και περιοδικότητα στα εξωτερικά τοιχώματα της ανακατασκευής, καθώς η δομή εμφανίζει επαναληψιμότητα. Η αντίδραση επιβάλλεται πάνω στις επιφάνειες των καταλυτικών σωματιδίων, ως συνοριακή συνθήκη, κάνοντας τον ακόλουθο μετασχηματισμό: R k E( E / E) V ml,3,3 reactin,3s km P,3 km / ki (1 k p),3 A reactin s m (8) ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΖΗΤΗΣΗ Ακολουθούν τα αποτελέσματα της μελέτης που πραγματοποίηθηκε σε επίπεδο μιας ίνας. Αρχικά, μελετήθηκε η εξάρτηση της συγκέντρωσης της λακτόζης από τους συντελεστές διάχυσης και της κινητικής Κ, καθώς οι παράμετροι αυτές είναι μεταβλητές σε εργαστηριακό επίπεδο. Πιο συγκερκιμένα, αλλάζοντας τις συνθήκες διεξαγωγής του πειράματος, για παράδειγμα υψηλότερη θερμοκρασία και πιο όξινο περιβάλλον επιτυγχάνονται καλύτερες αποδόσεις του βιο-αντιδραστήρα, καθώς σχετίζονται με τη βιοκαταλυτική δράση της β- γαλακτοσιδάσης, δηλαδή την Κ. Αντίστοιχα στις μεμβράνες με μικρότερους πόρους και άρα διαφορετικούς συντελεστές διάχυσης και διαπερατότητας, παρατηρείται μεγαλύτερη κατανάλωση. Για τους ανωτέρω λόγους μοντελοποιήθηκαν οι προαναφερθείσες περιπτώσεις και ορισμένες από αυτές αναπαρίστανται γραφικά στη συνέχεια. Συγκεκριμένα, ακολουθούν οι γραφικές παραστάσεις που απεικονίζουν την εξάρτηση της συγκέντρωσης της λακτόζης μέσα στο σύστημα μεμβρανών, όταν περιγράφονται από διαφορετικές κινητικές. Συγκέντρωση λακτόζης (ml/m 3 ) Ακτινική μεταβολή (r/r 0) (α) Σ υ γ κ έ ν τ ρ ω σ η λ α κ τ ό ζ η ς ( m l / m 3 ) (β) Ακτινική μεταβολή (r/r 0) Α κ τ ι ν ι κ ή μ ε τ α β ο λ ή ( r / R 0 ) Σχήμα α. και β. Επίδραση του συντελεστή διάχυσης και της κινητικής της αντίδρασης στο σύστημα των μεμβρανών στο μέσο του βιοαντιδραστήρα. Οι γραφικές ποσοτικοποιούν την συγκέντρωση της λακτόζης κάτω από διαφορετικές συνθήκες διεξαγωγής του πειράματος και αναδεικνύουν τις βέλτιστες τιμές που θα πρέπει να λάβουν ο συντελεστής διάχυσης και η κινητική σταθερά, με στόχο τη μέγιστη υδρόλυση του αντιδρώντος. Στο Σχήμα 3, με διαφορετικά χρώματα απεικονίζεται η κατανομή της συγκέντρωσης της λακτόζης σε κλίμακα μιας ίνας. Κατά τον άξονα συμμετρίας παρατηρείται σχετικά μικρή πτώση της συγκέντρωσης αντίθετα, μέσα στις μεμβράνες, κατά την r διεύθυνση, η λακτόζη υδρολύεται τάχιστα και μειώνεται σημαντικά.

Σχήμα 3. Κατανομή της συγκέντρωσης της λακτόζης κατά μήκος της «ίνας». Στη δεύτερη περίπτωση απεικονίζονται τα αποτελέσματα της μοντελοποίησης του φαινόμενο της διάχυσης και της αντίδρασης μέσα στην ανακατασκευασμένη δομή, Σχήμα 4. Η κατανομή της συγκέντρωσης της λακτόζης φαίνεται σε μεγαλύτερη λεπτομέρεια μέσα στο δαιδαλώδες της μεμβράνης, απ ό,τι προηγουμένως στο μακροσκοπικό μοντέλο μιας κοίλης ίνας. Η χρωματική κλιμάκωση σχετίζεται με τη συγκέντρωση της λακτόζης, η οποία στην είσοδο του πυκνού στρώματος μεμβράνης είναι υψηλή (έντονο κόκκινο) ενώ σταδιακά ελαττώνεται (γίνεται μπλε) στην έξοδο της μεμβράνης. Η ακόλουθη απεικόνιση αναφέρεται στη μελέτη του φαινομένου της διάχυσης μέσα στο πυκνό στρώμα μεμβράνης, αποτυπώνοντας όλο το φυσικό πάχος αυτού του στρώματος. Παρατηρείται γραμμική πτώση της συγκέντρωσης όπως προκύπτει και στο Σχήμα5. Σχήμα 4. Κατανομή της συγκέντρωσης της λακτόζης πάνω στη στερεή επιφάνεια των καλυτικών ενζύμων. Στην τελευταία γραφική παράσταση, συγκρίνεται η ανακατασκευασμένη δομή που επιλέχθηκε με την μακροσκοπική προσέγγιση της κοίλης ίνας. Το ακόλουθο σχήμα συγκρίνει τις τιμές της συγκέντρωσης της λακτόζης για τις δύο διαφορετικές προσεγγίσεις, ως προς το φαινόμενο της διάχυσης

Σχήμα 5. Γραφική παράσταση της συσχέτισης της διάχυσης μακροσκοπικά και με τη βοήθεια της ανακατασκευής. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Όσον αφορά τη σύγκριση της συγκέντρωσης της λακτόζης στην ανακατασκευασμένη δομή με αυτή στην προσομοίωση μιας κοίλης ίνας, συμπερασματικά προκύπτει ότι τα δεδομένα που εισήχθησαν στο μακροσκοπικό μοντέλο από τη λύση του προβλήματος μέσω ανακατασκευής εμπεριέχουν τις σωστές πληροφορίες για την αναπαραγωγή της συμπεριφοράς του συστήματος. Η διαδικασία αυτή έπρεπε να πραγματοποιηθεί για να προσδιορίσουμε τις ισοδύναμες τιμές του συντελεστή διάχυσης και διαπέρασης, διότι ο υπολογισμός τους πειραματικά δεν προέκυπτε άμεσα. Επίσης, στις γραφικές παραστάσεις που μελετούν την επίδραση της κινητικής καθώς και της ισοδύναμης διαχυτότητας μέσα στο σύστημα των μεμβρανών, έδειξαν πως επηρεάζουν σημαντικά την τελική κατανάλωση της λακτόζης. Ως εκ τούτου, οι ανακατασκευές που πραγματοποιήθηκαν συνεισέφεραν στην ανεύρεση των πραγματικών συντελεστών διάχυσης και διαπερατότητας, δίνοντας τις ακριβείς τιμές της συγκέντρωσης της λακτόζης στο χώρο των μεμβρανών. Τέλος, η μελέτη που πραγματοποιήθηκε βοήθησε στην πλήρη ανάλυση των φαινομένων, παρέχοντας αναλυτικές πληροφορίες αναφορικά με την κατανομή της συγκέντρωσης της λακτόζης μέσα στην ανακατασκευασμένη δομή του πυκνού στρώματος της μεμβράνης. ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ [1]. E. Drili, G.I., G.atapan, M.De Rsa, A. Gambacrta, apillary membrane reactrs: Perfmances and applicatins. Membrane Science, 1986. 7: p. 53-61. []. Vincenza alabr, Stefan ursi, Gabriele Iri, A theretical analysis f transprt phenmena in a hllw fiber membrane bireactr with immbilized bicatalyst. Membrane Science, 001. 06: p. 17-41 [3]. Barbara Splechtna, I.P., Ursula Baminger, Diermar Haltrich, Klaus D. Kulbe,Bernd Nidetzky, Prductin f lactse-free galact-ligsaccharide mixture by using selective enzymatic xidatin f lactse int lactbinic acid. Enzyme and Micrbial Technlgy, 001. 9: p. 434-440. [4]. L.Menten, L.M.a.M.M., The kinetics f Intraverse Actin. 1913. [5]. A.Apelblat, A.K.-K., A. Siberberg, A mathematical analysis f capillary tissue fluid exchange. Birhelgy, 1974. 11: p. 1-49 [6]. V.N.Burgans, Mnte arl simulatin f gas diffusin in regular and randmized pre systems. hemical Physics, 199. 98(3).

[7]. G. atapan, G.I., E. Drili, M. Filsa, Experimental analysis f a crss-flw membrane bi-reactr with entrapped whle cells: influence f trans-membrane pressure and substrate feed cncentratin n reactr perfmances Membrane Science, 1988. 35: p. 35-338. [8]. Stefan ursi, V.., Gabriele Iri, A theretical and axperimental analysis f a membrane bireactrperfrmance in recycle cnfiguratin. Membrane Science, 006. 73: p. 19-14