Ενημέρωση Η διδασκαλία του μαθήματος, πολλά από τα σχήματα και όλες οι ασκήσεις προέρχονται από το βιβλίο: «Πανεπιστημιακή Φυσική» του Hugh Young των Εκδόσεων Παπαζήση, οι οποίες μας επέτρεψαν τη χρήση των σχετικών σχημάτων και ασκήσεων Φυσική 1
ΣΥΝΟΨΗ ου Μαθήματος Μέση Στιγμιαία Ταχύτητα-Επιτάχυνση σε 1 διάσταση x - x 1 v = = av t - t 1 x t v= dx dt v - v 1 a = = av t - t 1 v t a= dv dt d x dt Κίνηση σε 1 διάσταση με σταθερή Επιτάχυνση Τι μορφή έχει; a. v v a x x 0 0 v v at ( ) 0 1 x x v t at 0 0 v v 0 x x t 0 Φυσική
ΣΥΝΟΨΗ ου Μαθήματος Κίνηση με σταθερή Επιτάχυνση Παράδειγμα: Κίνηση μέσα στο βαρυτικό πεδίο a g m s v v gt 9.81 / 0 1 x x v t gt 0 0 Μετάθεση και Ταχύτητα από ολοκλήρωση Δx = v av Δt x x vdt 0 t 0 v v adt t 0 0 Φυσική 3
ΣΥΝΟΨΗ ου Μαθήματος Σχετική Ταχύτητα Σύστημα αναφοράς x P/A = x P/B + x B/A v P/A = v P/B + v B/A Φυσική 4
ΣΥΝΟΨΗ ου Μαθήματος Μετάθεση Ταχύτητα - Επιτάχυνση στις 3 διαστάσεις Διάνυσμα θέσης r x i y j z k r ( x, y, z ) y Δr r v = lim Δr dr t 0 t dt dx dy dz v i j k dt dt dt Δr Δr dr Δr Φυσική 5 v x
ΣΥΝΟΨΗ ου Μαθήματος Μετάθεση Ταχύτητα - Επιτάχυνση στις 3 διαστάσεις a = lim Δv dv t 0 t dt y t 0 a v r dv d x d y d z a i j k dt dt dt v 1 x Φυσική 6
ΣΥΝΟΨΗ ου Μαθήματος Μετάθεση Ταχύτητα - Επιτάχυνση στις 3 διαστάσεις r v v a r v v a v r v a Φυσική 7
ΣΥΝΟΨΗ ου Μαθήματος Ομαλή κυκλική κίνηση v R v fr T v R 4 a 4 f R R rad R Φυσική 8
ΣΥΝΟΨΗ ου Μαθήματος Οι δύο συνιστώσες της επιτάχυνσης Ακτινική & Εφαπτομενική a a a a a a rad 4 R Η κάθετη (ακτινική) επιτάχυνση αλλάζει ΜΟΝΟ τη διεύθυνση της ταχύτητας R a a tan a Φυσική 9 d dt Η παράλληλη (εφαπτομενική) επιτάχυνση αλλάζει ΜΟΝΟ το μέτρο της ταχύτητας v
Από την ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ στη ΔΥΝΑΜΙΚΗ Τι είναι δύναμη; Ποσοτική αλληλεπίδραση δύο σωμάτων ή μεταξύ ενός σώματος και του περιβάλλοντος του Διανυσματική ποσότητα! F Κατεύθυνση & μέτρο Σημείο εφαρμογής Μονάδα: 1Ν Φυσική 10
ΔΥΝΑΜΙΚΗ Επαλληλία δυνάμεων; Όπως όλα τα διανύσματα! Το άθροισμα δυνάμεων ονομάζεται συνισταμένη δύναμη Προσοχή!!! Δυνάμεις αθροίζονται όταν ασκούνται στο ίδιο σημείο F 1 + F = R Φυσική 11
ΔΥΝΑΜΙΚΗ Ανάλυση δυνάμεων; Όπως όλα τα διανύσματα! Προσοχή!!! Δυνάμεις αναλύονται στο ίδιο σημείο R F 1 + F... + Fn R F F... F x 1x x nx R F F... F y 1y y ny Οι δυνάμεις μπορούν να αντικατασταθούν από τις Φυσική 1 συνιστώσες τους
ΔΥΝΑΜΙΚΗ Οι δυνάμεις μπορούν να αντικατασταθούν από τις συνιστώσες τους R F F... F x 1x x nx R F F... F y 1y y ny Φυσική 13
y 1 ος Νόμος του Νεύτωνα F + F... + F 0 1 n Κάθε σώμα πάνω στο οποίο η συνολική δύναμη είναι μηδενική κινείται με σταθερή διανυσματική ταχύτητα (η οποία μπορεί να είναι και μηδενική) και με μηδενική επιτάχυνση r dv dv 0 = 0 v v dv v 1 v r dt Φυσική 14 x a dv 0 V V 1 σταθ. v = dr dt c r r vt 0
1 ος Νόμος του Νεύτωνα Κάθε σώμα πάνω στο οποίο η συνολική δύναμη είναι μηδενική κινείται με σταθερή διανυσματική ταχύτητα (η οποία μπορεί να είναι και μηδενική) και με μηδενική επιτάχυνση ΣF F + F... + F 0 Σώμα σε ισορροπία!!! 1 n Αντίθετος με τη «συνηθισμένη» εμπειρία Αδράνεια Τάση των σωμάτων να διατηρήσουν την Τ υφιστάμενη κινητική τους κατάσταση! Φυσική 15
ος Νόμος του Νεύτωνα Αν η συνολική δύναμη δεν είναι μηδενική, το σώμα επιταγχύνεται με επιτάχυνση ανάλογη με τη δύναμη και η αναλογία αυτή είναι σταθερή για κάθε σώμα F/ a. Η σταθερή αναλογία ονομάζεται μάζα αδράνειας, m F ma Φυσική 16
Σχέση 1 ου & ου Νόμου του Νεύτωνα F ma dv F 0 ό F ma 0 a 0 v σταθ. dt Η παραπάνω σχέση σημαίνει ότι ο 1 ος Νόμος του Νεύτωνα είναι υποπερίπτωση του ου ; ΟΧΙ!!! Φυσική 17
Σχέση 1 ου & ου Νόμου του Νεύτωνα 1 ος Νόμος του Νεύτωνα Στα συστήματα αναφοράς που ισχύει η σχέση F 0 a 0 v σταθ. ος Νόμος του Νεύτωνα ισχύει και η σχέση: F ma Τα συστήματα που ισχύει ο 1 ος Νόμος του Νεύτωνα λέγονται αδρανειακά συστήματα αναφοράς Φυσική 18
1ος Νόμος του Νεύτωνα Αδρανειακά συστήματα αναφοράς F 0 a 0 v σταθ. dv dv dv dt dt dt v v v P/A P/B B/A a a a P/A P/B B/A P/A P/B B/A. v a a F F B/A P/A P/B P/A P/B A v B/A =σταθ. B άό F F F Υποθετικές δυνάμεις P/A P/B Β/Α Φυσική 19
Β ΝΟΜΟΙ ΝΕΥΤΩΝΑ 1ος Νόμος του Νεύτωνα Παράδειγμα μη αδρανειακού συστήματος αναφοράς F F F P/A P/B Β/Α ω Fk R 0 Fk F c F c Α Για τον άνθρωπο Α (που δεν περιστρέφεται - αδρανειακό σύστημα), η σφαίρα δέχεται κεντρομόλο δύναμη και έχει ακτινική επιτάχυνση F k m R a R k Για τον άνθρωπο Β (που περιστρέφεται - μη αδρανειακό σύστημα), η σφαίρα δεν θα έπρεπε να δέχεται δύναμη (ακίνητη σφαίρα-σταθερή ταχύτητα ίση με μηδέν). Όμως βλέπει το σχοινί να δέχεται τάση και «εισάγει» μία υποθετική δύναμη που τη λεει φυγόκεντρο!!! F c m R Φυσική 0
ος Νόμος του Νεύτωνα F ma Fma Fx max Fy may Fz maz Φυσική 1
ος Νόμος του Νεύτωνα Σταθερή επιτάχυνση (γιατί;) v v a y y 0 0 ( ) 0.8 a(1.0) a 3.9 m / s F ma Παράδειγμα 4-3 Ένα μπουκάλι ketchup μάζας 0.kg φεύγει από το χέρι μίας σερβιτόρας με ταχύτητα.8m/s. Σταματάει μετά από 1m. Ποιο το μέτρο και η διεύθυνση της τριβής; T F 0.8N m n T / W a 0.8 /(0. * 9.8) 0.41 Φυσική
ος Νόμος του Νεύτωνα Μάζα αδράνειας Ο προσδιορισμός της μάζας γίνεται έμμεσα με τη χρήση του ου νόμου του Νεύτωνα! (και μάλιστα συνήθως μέσω της δύναμης του βάρους) W W mg W m m 1 1 Είναι ΛΑΘΟΣ να λέμε ότι το βάρος ενός σώματος είναι 3Kgr, αφού εννοούμε ότι η μάζα είναι 3Kgr. Το βάρος είναι ~30Ν. Φυσική 3
3 ος Νόμος του Νεύτωνα Αν ένα σώμα Α ασκεί σε ένα σώμα B μία δύναμη, τότε το σώμα Β ασκεί στο σώμα Α δύναμη (ίδιου τύπου) ίση σε μέτρο και με αντίθετη κατεύθυνση. F A F Ζεύγος δράσης-αντίδρασης Β. Αρχή διατήρησης δυνάμεων Φυσική 4
3 ος Νόμος του Νεύτωνα T W Το βάρος του βιβλίου, W, και η δύναμη του τραπεζιού πάνω στο βιβλίο, Τ, είναι ζευγάρι δυνάμεων συμβατό με τον 3 ο Νόμο του Νεύτωνα; ΟΧΙ!!! Το «ζευγάρι» του βάρους του βιβλίου, W, είναι μία δύναμη (βαρυτική!) ίση σε μέτρο και αντίθετης φοράς που ασκεί το βιβλίο στη Γη! Το «ζευγάρι» της αντίδρασης του τραπεζιού πάνω στο βιβλίο, Τ, είναι η πίεση που ασκεί το βιβλίο πάνω στο τραπέζι λόγω του βάρους του! Φυσική 5
3 ος Νόμος του Νεύτωνα Ο μαγνήτης A είναι ισχυρότερος από τον Β (βλέπε σχήμα 1). Ποια η σχέση των δυνάμεων που ασκούν στο σχήμα ο Α στο Β και ο Β στον Α; Είναι ίσες!!! F 1 Σχ.1 F Αν δεν ήταν, θα μπορούσαμε να βάζαμε το μεγαλύτερο μαγνήτη μπροστά από το αυτοκίνητό μας και να κινούμαστε συνέχεια!!! F F 1 N S N Σχ. Φυσική 6
3 ος Νόμος του Νεύτωνα Παράδειγμα 4-7 Λιθοξόος μετακινεί μαρμάρινο κυβόλιθο (μπλοκ) πάνω στο έδαφος τραβώντας το με ένα σκοινί. Ο κυβόλιθος μπορεί να είναι ή να μην είναι σε ισορροπία. Ποια τα ζεύγη δράσης-αντίδρασης; F F F MR RM RB F BR F F F m R RM RB R ar Σχοινί υπό Τάση!!! Φυσική 7
3 ος Νόμος του Νεύτωνα Ασκήσεις 1. (Από το βιβλίο «Thinking Physics is Gedanken Physics»). Αν η δύναμη που ασκεί η άμαξα πάνω στο άλογο είναι ίση με τη δύναμη που ασκεί το άλογο στην άμαξα, τότε πώς το άλογο μπορεί και τραβά την άμαξα; Η απάντηση είναι ότι: Α. Το άλογο δεν μπορεί να τραβήξει την άμαξα, αφού αυτή το τραβά με ίση δύναμη Β. Η άμαξα κινείται γιατί το άλογο την τραβά λίγο πιο δυνατά Γ. Το άλογο τραβά την άμαξα πριν αυτή προλάβει να αντιδράσει Δ. Το άλογο τραβά την άμαξα μόνο αν έχει μεγαλύτερο βάρος Ε. Άλλη απάντηση (ποια;) Φυσική 8
3 ος Νόμος του Νεύτωνα Παράδειγμα 4-8 & 4-9 Από ένα ταβάνι κρέμεται ανακλαστήρας ήχου μάζας 00Kgr από αλυσίδα. Ποια η τάση αν: α) Η αλυσίδα δεν έχει μάζα, β) Η αλυσίδα έχει μάζα 10Kgr Δυνάμεις στον ανακλαστήρα ΣF ΑΝ. T w 1960N 0 Δυνάμεις στην αλυσίδα ΣF 0. ΣF 0 T w mg 1 ( ) ( ) T T w 0 00 * 9.81 1960 N Φυσική 9 T 1 058N
3 ος Νόμος του Νεύτωνα Παράδειγμα 4-10 Ένα ηλεκτρικό πριόνι με ακτινικό βραχίονα και μάζα 5Kgr σύρεται από μία δύναμη F x σέρνεται κατά μήκος ράβδων (χωρίς τριβή) κατά τον άξονα x. Η εξίσωση κίνησης δίνεται από τη σχέση: x=(0.18m/s )t -(0.03m/s 3 )t 3. Ποια δύναμη ασκείται στο πριόνι (ως συνάρτηση του χρόνου); Πότε η δύναμη είναι θετική, αρνητική και μηδέν; a x d dt x 0.36 0.18t F a 5 0.36 0.18t x m x.. F 0 1.8 0.9t 0 x t s F x 1.8 0.9t F y Φυσική 30 0 N
ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΝΟΜΩΝ ΝΕΥΤΩΝΑ Άσκηση 4-41 Δύο σώματα είναι δεμένα μεταξύ τους με βαρύ ομοιόμορφο σχοινί μάζας 4Kgr. Στο πάνω σώμα ασκείται τάση 00Ν. Να βρεθούν: α) Η επιτάχυνση του συστήματος, β) Η τάση στο πάνω μέρος του σχοινιού και, γ) Η τάση στη μέση του σχοινιού Συνολική δύναμη & επιτάχυνση 6Kgr 5Kgr 00Ν 4Kgr 5Kgr Τ=?Ν Τ =?Ν 4Kgr Kgr ΣF ΣF T T w 00 (15 * 9.8) 53N a 53 /15 3.53 m / s Για το σχοινί και το ο σώμα ma T w ma T w ma (4 5) * 9.8 (4 5) * 3.53 10N Για το μισό σχοινί και το ο σώμα T w ma T 93.3N Φυσική 31
ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΝΟΜΩΝ ΝΕΥΤΩΝΑ Άσκηση 4-43 Σώμα μάζας m, ακίνητο τη χρονική στιγμή t=0 στο σημείο (1,1) δέχεται την επίδραση δύναμης F=k 1 i+k t j. Να βρεθεί το διάνυσμα της ταχύτητας, v(t) και το διάνυσμα θέσης, r(t), ως συνάρτηση του χρόνου. Άσκηση 4-31 Σύμφωνα με το βιβλίο Γκίνες, ο μπασκετμπολίστας D.Griffith έχει το παγκόσμιο ρεκόρ στατικού άλματος (όρθια) με 1.m. Αν ο Griffith έχει βάρος 890Ν και ασκεί σταθερή δύναμη στο έδαφος για 0.4sec, πόση είναι αυτή η μέση σταθερή δύναμη; Φυσική 3
ΣΥΝΟΨΗ 3 ου Μαθήματος ΔΥΝΑΜΙΚΗ Ανάλυση και επαλληλία δυνάμεων; Όπως όλα τα διανύσματα! R F 1 + F... + Fn R F F... F x 1x x nx R F F... F y 1y y ny Οι δυνάμεις μπορούν να αντικατασταθούν από τις συνιστώσες τους Φυσική 33
ΣΥΝΟΨΗ 3 ου Μαθήματος y 1 ος Νόμος του Νεύτωνα Κάθε σώμα πάνω στο οποίο η συνολική δύναμη είναι μηδενική κινείται με σταθερή διανυσματική ταχύτητα (η οποία μπορεί να είναι και μηδενική) και με μηδενική επιτάχυνση F 0 = 0 r 0 v r v = dr dt a c r r vt 0 Φυσική 34 x
ΣΥΝΟΨΗ 3 ου Μαθήματος ος Νόμος του Νεύτωνα Αν η συνολική δύναμη δεν είναι μηδενική, το σώμα επιταγχύνεται με επιτάχυνση ανάλογη με τη δύναμη και η αναλογία αυτή είναι σταθερή για κάθε σώμα F/ a. Η σταθερή αναλογία ονομάζεται μάζα αδράνειας, m F ma Fma Fx max Fy may Fz maz Φυσική 35
ΣΥΝΟΨΗ 3 ου Μαθήματος 1 ος - ος Νόμος του Νεύτωνα 1 ος Νόμος του Νεύτωνα Μόνο στα συστήματα αναφοράς που ισχύει η σχέση F 0 a 0 v σταθ. ος Νόμος του Νεύτωνα ισχύει και η σχέση: F ma Τα συστήματα που ισχύει ο 1 ος Νόμος του Νεύτωνα λέγονται αδρανειακά συστήματα αναφοράς Φυσική 36
ΣΥΝΟΨΗ 3 ου Μαθήματος 3 ος Νόμος του Νεύτωνα Αν ένα σώμα Α ασκεί σε ένα σώμα B μία δύναμη, τότε το σώμα Β ασκεί στο σώμα Α δύναμη (ίδιου τύπου) ίση σε μέτρο και με αντίθετη κατεύθυνση. F Β από Α. A από Β F Αρχή διατήρησης δυνάμεων ΠΡΟΣΟΧΗ!!! Οι δυνάμεις ασκούνται σε ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΑ ΣΩΜΑΤΑ Φυσική 37