Η έννοια κύμα, οι μετασχηματισμοί Γαλιλαίου και το φαινόμενο Doppler.

Η έννοια κύμα, οι μετασχηματισμοί Γαλιλαίου και το φαινόμενο Doppler. Ε. Κορφιάτης Με αφορμή την συζήτηση που γίνεται για το θέμα Α4 αποφάσισα να γράψω το κείμενο που ακολουθεί. Σαν φοιτητής η σχέση που είχα με το φαινόμενο Doppler ήταν επιδερμική. Όταν το χρειαζόμουν χρησιμοποιούσα τον τύπο μηχανιστικά. Όταν εκδόθηκε το νέο εγχειρίδιο Φυσικής και Τεχνολογικής κατεύθυνσης και προσπάθησα να καταλάβω το φαινόμενο μέσα από τις αποδείξεις των συγγραφέων βρέθηκα αντιμέτωπος με τα εξής ερωτήματα. Για ποιο λόγο χειριζόμαστε με διαφορετικό τρόπο την περίπτωση που ο παρατηρητής κινείται ως προς την πηγή και την περίπτωση που η πηγή κινείται ως προς τον παρατηρητή; Γιατί στην πρώτη περίπτωση είναι ίσα τα μήκη κύματος και διαφορετικές οι ταχύτητες διάδοσης και στη δεύτερη διαφορετικά τα μήκη κύματος και ίσες ταχύτητες διάδοσης; Αντιλαμβανόμενος το μήκος κύματος σαν διαφορά δύο διαδοχικών ορέων του κύματος αντιλαμβανόμουν ότι το μήκος κύματος στο σύστημα ηρεμίας της πηγής και το μήκος κύματος στο σύστημα ηρεμίας του παρατηρητή πρέπει να είναι ίσα. Η στοιχειώδης κατανόηση της έννοιας σχετική ταχύτητα και του γεγονότος ότι σε κάθε περίπτωση το κύμα διαδίδεται στο μέσο διάδοσης, μου επέβαλε η σχετική ταχύτητα διάδοσης του κύματος ως προς τον κινούμενο παρατηρητή, να υπολογίζεται με τους ίδιους κανόνες που υπολογίζεται η σχετική ταχύτητα διάδοσης του κύματος ως προς κινούμενη πηγή. Ο Doppler όμως έχει διαφορετική άποψη: στα μηχανικά κύματα είναι διαφορετικό πράγμα να κινείται η πηγή προς τον παρατηρητή με ταχύτητα u από το να κινείται ο παρατηρητής προς την πηγή με την ίδια ταχύτητα. Αξίζει να σημειώσουμε ότι στην περίπτωση των ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων δεν υπάρχει αυτή η διαφοροποίηση ακόμη και αν η σχετική κίνηση γίνεται με ταχύτητα συγκρίσιμη με την ταχύτητα του φωτός. Η όλη παρουσίαση δεν συνάδει με την κυματική φύση του φαινομένου. Η λογική της θα ταίριαζε με την εύρεση της σχέσης που συνδέει τη συχνότητα με την οποία η πηγή εκτοξεύει σφαιρίδια και την συχνότητα με την οποία θα τα λαμβάνει κάποιος, ο οποίος βρίσκεται σε σχετική ως προς αυτήν κίνηση (κβάντωση σε κλασσικό επίπεδο;) Έτσι η φράση το χρονικό διάστημα που μεσολαβεί ανάμεσα στην εκπομπή δύο διαδοχικών μεγίστων δεν είναι συμβατή με την συνεχή εκπομπή ενέργειας από την πηγή. Σχετικιστής ων κατέφυγα στο μόνο ασφαλές εργαλείο που έχουν οι Φυσικοί προκειμένου να συσχετίσουν «πράγματα» που αφορούν διαφορετικά συστήματα αναφοράς σε κλασσικό επίπεδο. Τους μετασχηματισμούς Γαλιλαίου. Μέσα από μια περιπέτεια σύγκρουσης εννοιολογικών στερεότυπων, που σε πολλές περιπτώσεις ήταν λάθος, το φαινόμενο προβάλλει διαυγές, αρκεί να αποδεχθεί κανείς την εξής αρχή: Για την περιγραφή των μηχανικών κυμάτων δεν είναι όλα τα αδρανειακά συστήματα αναφοράς ισοδύναμα. Υπάρχει προνομιακό σύστημα αναφοράς. Το σύστημα ηρεμίας του μέσου διάδοσης. Συμβολισμοί : Η ταχύτητα διάδοσης του κύματος υ : Η ταχύτητα κίνησης ενός αδρανειακού συστήματος αναφοράς ως προς κάποιο άλλο. ω : Η κυκλική συχνότητα της ταλάντωσης ενός σημείου του μέσου ως προς το σύστημα αναφοράς στη οποίο το μέσο ως ολότητα ηρεμεί. π k = ο κυματικός αριθμός. λ Το ω σχετίζεται με την χρονική περιοδικότητα του φαινομένου και είναι η χρονική γωνιακή συχνότητα. Το k σχετίζεται με την χωρική περιοδικότητα του φαινομένου και είναι η χωρική γωνιακή συχνότητα. Η θεμελιώδης εξίσωση της κυματικής υ=λf είναι ισοδύναμη με την ω=k. Η έννοια της διάδοσης κατάστασης Θεωρούμε ένα κύμα που διαδίδεται σε ένα γραμμικό ελαστικό μέσο κατά την θετική κατεύθυνση. Την χρονική στιγμή t η φάση ενός σημείου που βρίσκεται στην θέση x είναι ϕ =ωt kx = kt kx = k(t x) Το γεγονός ότι η απομάκρυνση ενός σημείου του μέσου είναι συνάρτηση της ποσότητας t-x εμπεριέχει την έννοια της διάδοσης. Πράγματι,θεωρούμε την συνάρτηση f δύο μεταβλητών με τύπο f(t,x) = t x 1

Η έννοια κύμα, οι μετασχηματισμοί Γαλιλαίου και το φαινόμενο Doppler Θεωρούμε δύο τυχαία σημεία Σ 1 και Σ του μέσου που βρίσκονται στις θέσεις x 1, x με x >x 1. Είναι στοιχειώδες να αποδείξουμε ότι x x1 f(t,x ) = f(t,x 1) (1) Ποιο είναι το φυσικό περιεχόμενο της σχέσης (1); x x1 Θέτουμε τ 1 =. Ο τ 1 είναι ο χρόνος που απαιτείται για να διαδοθεί το κύμα από το σημείο Σ 1 στο σημείο Σ. Το φυσικό περιεχόμενο της σχέσης (1) είναι: Η τιμή της f στο σημείο Σ την χρονική στιγμή t είναι ίδια με την τιμή που είχε η f στο σημείο Σ 1 την χρονική στιγμή t-τ 1. Ισοδύναμη με την (1) είναι η x x1 f(t,x 1) = f(t +,x ) Δηλαδή, η τιμή που έχει η f στο σημείο Σ 1 την στιγμή t είναι ίδια με την τιμή που θα πάρει η f στο σημείο Σ την χρονική στιγμή t+τ 1. Πριν προχωρήσουμε στην μελέτη του φαινομένου Doppler Ας θεωρήσουμε το εξής πρόβλημα Σε ένα γραμμικό ελαστικό μέσο διαδίδεται με ταχύτητα εγκάρσιο αρμονικό κύμα με εξίσωση y(t,x) = A ημ( ωt kx) Ένας παρατηρητής κινείται με ταχύτητα υ κατά μήκος του σχοινιού και κατά την θετική φορά με ταχύτητα υ<. Ποια είναι η χρονική συχνότητα με την οποία συναντά όρη του κύματος; Υποθέτουμε ότι ο παρατηρητής την στιγμή t=0 βρίσκεται στην θέση x=0. 1 η λύση Έστω t στιγμή στην οποία ο παρατηρητής συναντά όρος του κύματος. Την στιγμή t ο παρατηρητής βρίσκεται στην θέση x=υt. Επειδή την στιγμή t συναντά όρος ισχύει ότι: π y(t, υ t) = A ημ( ωt kυ t) = 1 ωt kυ t = nπ+ Το χρονικό διάστημα Δt μεταξύ δύο διαδοχικών συναντήσεων με όρη είναι τέτοιο ώστε: ω ( ω k υ) Δ t = π ( ω υ) Δ t = π Δ t = f( v) Επομένως η συχνότητα με την οποία ο παρατηρητής συναντά όρη είναι: 1 v f f f = = f = Δt v Προφανώς η παραπάνω σχέση είναι η σχέση Doppler που αντιστοιχεί στην περίπτωση «ακίνητη πηγή κινούμενος παρατηρητής». η λύση Θεωρούμε ένα δεύτερο σύστημα συντεταγμένων Ο xy με άξονες παράλληλους με το αρχικό συγχρονισμένο με αυτό και κινούμενο με ταχύτητα υ ως προς το μέσο. Ο μετασχηματισμός Γαλιλαίου που συνδέει τις χωροχρονικές συντεταγμένες των δύο συστημάτων είναι

Ε. Κορφιάτης t = t t = t x = x υt x = x +υ t () y = y y= y Αντικαθιστώντας στην εξίσωση του κύματος έχουμε ότι: y(t, x) = A ημ( ω t kx kυ t) ω υ Θέτοντας ω=ω kυ=ω υ=ω έχουμε: y(t,x) = A ημ( ω t kx) (3) Για ένα σημείο που είναι ακίνητο στο σύστημα O (για παράδειγμα ο παρατηρητής μας) η απομάκρυνση των σημείων του μέσου από την θέση ισορροπίας τους παρουσιάζει μια χρονική περιοδικότητα συχνότητας f υ = f. Μια δεδομένη χρονική στιγμή η απομάκρυνση των σημείων του μέσου από την θέση ισορροπίας τους παρουσιάζει μια χωρική περιοδικότητα με χωρική γωνιακή συχνότητα k και συνεπώς περίοδο λ. Προφανώς η f δεν είναι η γωνιακή συχνότητα με την οποία ταλαντώνεται ένα σημείο του μέσου. Είναι η συχνότητα με την οποία ο παρατηρητής καταγράφει όρη. Αν το κύμα είναι ακουστικό η f είναι η συχνότητα με την οποία ο παρατηρητής συναντά μέγιστα της πίεσης κ.τ.λ. Από την σχέση (3) βλέπουμε ότι στο σύστημα του παρατηρητή εμφανίζεται διάδοση κατάστασης με ταχύτητα ω = ω υ = υ = υ. k k Η περίπτωση ακίνητος παρατηρητής κινούμενη πηγή. Θεωρούμε τώρα ένα ακίνητο γραμμικό μέσο και έναν μηχανισμό δημιουργίας εξαναγκασμένων ταλαντώσεων σε διεύθυνση κάθετη στο μέσο, ο οποίος συνδέεται με το μέσο με τέτοιο τρόπο ώστε να είναι δυνατή η κίνηση του μηχανισμού ως ολότητα παράλληλα με το μέσο με σταθερή ταχύτητα υ. Στο μέσο θα δημιουργηθεί κύμα το οποίο διαδίδεται με ταχύτητα και προς τις δύο κατευθύνσεις. Θεωρούμε ένα σύστημα συντεταγμένων xoy ακίνητο στο μέσο διάδοσης και ένα δεύτερο, ως προς το οποίο ηρεμεί ως ολότητα ο μηχανισμός δημιουργίας του κύματος. Για σημεία που βρίσκονται δεξιά του O (και αρκούντως μακριά του) φτάνει το κύμα που διαδίδεται προς τα θετικά. y(t,x) = A ημ( ωt kx) Αντικαθιστώντας τα x, t από τον μετασχηματισμό Γαλιλαίου έχουμε: y(t, x) = A ημ( ω t kx kυ t) (4) ω υ Θέτοντας ω=ω kυ=ω υ=ω, η σχέση (4) γίνεται: y(t,x) = A ημ( ω t kx) (5) 3

Η έννοια κύμα, οι μετασχηματισμοί Γαλιλαίου και το φαινόμενο Doppler Η πηγή του κύματος βρίσκεται συνεχώς στην θέση x = 0 και κάθε στιγμή αλληλεπιδρά με το τμήμα του μέσου που βρίσκεται στη θέση της πηγής. Επομένως η συχνότητα της πηγής είναι η συχνότητα με την οποία καταγράφονται μέγιστα στην θέση x = 0. Αντικαθιστώντας στην σχέση (5) x = 0 έχουμε ότι y(t,0) = A ημ( ω t). υ υ fs fa Άρα ω s =ω=ω fs = f = υ υ Από την σχέση (5) συμπεραίνουμε ότι: Για ένα σημείο που είναι ακίνητο στο σύστημα O η απομάκρυνση των σημείων του μέσου από την θέση ισορροπίας τους παρουσιάζει μια χρονική περιοδικότητα συχνότητας f S. Μια δεδομένη χρονική στιγμή η απομάκρυνση των σημείων του μέσου από την θέση ισορροπίας τους παρουσιάζει μια χωρική περιοδικότητα με χωρική γωνιακή συχνότητα k και συνεπώς περίοδο λ. Στο σύστημα O εμφανίζεται διάδοση κατάστασης με ταχύτητα ω = ω υ = υ = υ. k k Παρατήρηση Ο αναγνώστης θα πρόσεξε ότι αναφερόμενος στο σύστημα ηρεμίας του μέσου διάδοσης χρησιμοποιώ την έκφραση «διάδοση κύματος» ενώ αναφερόμενος σε κάθε σύστημα που κινείται ως προς το πρώτο χρησιμοποιώ την έκφραση «διάδοση κατάστασης». Τίθεται δηλαδή το ερώτημα διαδίδεται κύμα ως προς το κινούμενο σύστημα συντεταγμένων; Έχουν νόημα τα βασικά κυματικά μεγέθη ( συχνότητα, μήκος κύματος, ταχύτητα διάδοσης) στο σύστημα αυτό; Η απάντηση όπως θα δούμε είναι αρνητική. Η εξίσωση που περιγράφει ένα γραμμικό κύμα είναι η κυματική εξίσωση Ψ Ψ Ψ 1 Ψ + + = 0 (6) x y z t Η σχέση (6) είναι το αποτέλεσμα της εφαρμογής του θεμελιώδη νόμου της δυναμικής για κάθε απειροστό τμήμα του μέσου διάδοσης. Το βασικό ερώτημα που τίθεται είναι κατά πόσο η εξίσωση αυτή διατηρεί την μορφή της κάτω από μετασχηματισμούς Γαλιλαίου. Για λόγους απλότητας ας περιοριστούμε σε μια χωρική διάσταση. Η κυματική εξίσωση γίνεται: Ψ 1 Ψ = 0 (7) x t Αναζητώντας μονοχρωματική λύση της (7) της μορφής Ψ =Αημω ( t kx) καταλήγουμε στην σχέση ω=kυ. Αποδεικνύεται ότι η γενική λύση της (7) είναι υπέρθεση μονοχρωματικών λύσεων. Θεωρούμε ένα αδρανειακό σύστημα αναφοράς που κινείται με ταχύτητα υ ως προς το σύστημα ηρεμίας του μέσου διάδοσης. Η μετασχηματισμός συντεταγμένων που συνδέει τα δύο συστήματα είναι ο μετασχηματισμός Γαλιλαίου. t = t t = t x = x υt x = x +υ t (8) y = y y= y Για τους τελεστές παραγώγισης έχουμε: t x = + = 0 + 1 = x x t x x t x x 4

Ψ Ψ = Ψ = Ψ = Ε. Κορφιάτης x x x x x x (9) t x = + = υ t t t t x t x Ψ Ψ Ψ = Ψ = υ υ Ψ = υ υ t t t t x t x t x t x Ψ Ψ Ψ = υ υ = Ψ +υ Ψ υ Ψ t t x t x t x x t (10) Αντικαθιστώντας τις (9) και (10) στην (7) έχουμε: Ψ 1 Ψ υ Ψ υ Ψ + = 0 x t x x t υ Ψ 1 Ψ υ Ψ (1 ) + = 0 x t x t (11) υ Ψ Η σχέση (11) σαφώς δεν περιγράφει κύμα. Ο όρος x t δεν μπορεί να απαλειφθεί επαναορίζοντας τις παραμέτρους της εξίσωσης. Προφανώς αν πάρουμε μια λύση της (7) και την μετασχηματίσουμε κατά Γαλιλαίο, η συνάρτηση που θα προκύψει είναι λύση της (11). Έτσι η συνάρτηση Ψ (t,x) = A ημ( ω υ t kx) με ω=ω και ω=kυ είναι λύση της (11) παρουσιάζει χρονική και χωρική περιοδικότητα παρουσιάζει διάδοση κατάστασης αλλά δεν περιγράφει διαδιδόμενο κύμα. Ο μηχανισμός διάδοσης κύματος περιγράφεται από την (7) και όχι από την (11). Αξίζει να σημειώσουμε στο σημείο αυτό το εξής: Αν αντί για μετασχηματισμό Γαλιλαίου εφαρμόσουμε μετασχηματισμό Lorenz, τότε το αντίστοιχο της (11) είναι: Ψ 1 Ψ = 0 x t 5