ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΔΙΑΛΕΞΗΣ 2.1 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 2.1 ΒΑΣΙΚΟΙ ΝΟΜΟΙ ΣΤΡΟΒΙΛΟΜΗΧΑΝΩΝ 2.1 2.1.1 ΕΞΙΣΩΣΗ ΣΥΝΕΧΕΙΑΣ ΑΡΧΗ ΔΙΑΤΗΡΗΣΗΣ ΤΗΣ ΜΑΖΑΣ 2.1.2 1 ο ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΟ ΑΞΙΩΜΑ ΑΡΧΗ ΔΙΑΤΗΡΗΣΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ 2.1.3 2 ος ΝΟΜΟΣ NEWTON ΠΕΡΙ ΚΙΝΗΣΗΣ ΑΡΧΗ ΔΙΑΤΗΡΗΣΗΣ ΟΡΜΗΣ 2.1.4 2 ος ΝΟΜΟΣ NEWTON ΠΕΡΙ ΚΙΝΗΣΗΣ ΑΡΧΗ ΔΙΑΤΗΡΗΣΗΣ ΣΤΡΟΦΟΡΜΗΣ 2.1.5 2 ο ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΟ ΑΞΙΩΜΑ ΕΝΤΡΟΠΙΑ & ΑΝΤΙΣΤΡΕΠΤΟΤΗΤΑ 2.2 ΒΑΘΜΟΙ ΑΠΟΔΟΣΗΣ ΣΤΡΟΒΙΛΟΜΗΧΑΝΩΝ 2.2 2.2.1 ΟΡΙΣΜΟΙ ΒΑΘΜΟΙ ΑΠΟΔΟΣΗΣ ΣΤΡΟΒΙΛΩΝ & ΣΥΜΠΙΕΣΤΩΝ/ΑΝΤΛΙΩΝ 2.2.2 ΠΟΛΥΤΡΟΠΙΚΟΣ (ΜΙΚΡΗΣ ΒΑΘΜΙΔΑΣ) ΒΑΘΜΟΣ ΑΠΟΔΟΣΗΣ 2.2.3 ΒΑΘΜΟΣ ΑΠΟΔΟΣΗΣ ΑΚΡΟΦΥΣΙΟΥ & ΔΙΑΧΥΤΗ 2.3 ΑΣΚΗΣΕΙΣ
2.1 ΒΑΣΙΚΟΙ ΝΟΜΟΙ ΣΤΡΟΒΙΛΟΜΗΧΑΝΩΝ ΕΞΙΣΩΣΗ ΣΥΝΕΧΕΙΑΣ 2.2 Στη διάλεξη αυτή παρουσιάζονται οι βασικοί νόμοι της Μηχανικής Ρευστών και της Θερμοδυναμικής που διέπουν και καθορίζουν τη ροή μέσα στις στροβιλομηχανές και με τις οποίες μπορούμε να υπολογίσουμε όλα τα μεγέθη και παραμέτρους για τον αποδοτικό σχεδιασμό και τη σωστή χρήση τους. Οι νόμοι αυτοί είναι οι εξής: Εξίσωση Συνέχειας (Αρχή Διατήρησης Μάζας). 1 ο Θερμοδυναμικό Αξίωμα (Αρχή Διατήρησης Ενέργειας) 2 ος Νόμος Newton περί Κίνησης (Αρχή Διατήρησης Ορμής) 2 ο Θερμοδυναμικό Αξίωμα (Εντροπία & Αντιστρεπτότητα) 2.1.1 ΕΞΙΣΩΣΗ ΣΥΝΕΧΕΙΑΣ ΑΡΧΗ ΔΙΑΤΗΡΗΣΗΣ ΜΑΖΑΣ Η εξίσωση αυτή εκφράζει την αρχή διατήρησης της μάζας, η οποία σε μία ΣΜ μεταφράζεται ως εξής: για μόνιμη λειτουργία σε μία ΣΜ δεν υπάρχει συσσώρευση ή απώλεια μάζας μέσα στη ΣΜ, συνεπώς η μαζική παροχή είναι σταθερή σε κάθε θέση της ΣΜ (είσοδος & έξοδος). Έστω λοιπόν ρευστό πυκνότητας, ρ, που ρέει με ταχύτητα, c, μέσα από στοιχειώδη επιφάνεια, dα, όχι απαραίτητα κάθετη στη ροή. Το ποσό μάζας που περνά μέσα από τη στοιχειώδη επιφάνεια σε χρονικό διάστημα, dt, ισούται με dm=ρcdtdacosθ (όγκος κυλίνδρου=[cdt][dacosθ]) όπου, θ, η γωνία που σχηματίζει η ταχύτητα με το άνυσμα της επιφάνειας (κάθετο στην επιφάνεια). Όμως η κάθετη συνιστώσα της ταχύτητας στο da είναι c n =ccosθ, άρα dm=ρc n dtda και τότε η μαζική παροχή δίνεται από τη σχέση: Η σχέση αυτή μπορεί να γραφεί σε μονοδιάστατη μορφή ως εξής: όπου εδώ η τιμή της πυκνότητας και της ταχύτητας είναι οι μέσες τιμές στη διατομή και συνήθως μπορούν να θεωρηθούν σταθερές (ιδιαίτερα στην είσοδο και έξοδο της ΣΜ).
2.1 ΒΑΣΙΚΟΙ ΝΟΜΟΙ ΣΤΡΟΒΙΛΟΜΗΧΑΝΩΝ ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ 2.3 2.1.2 1 ο ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΟ ΑΞΙΩΜΑ ΑΡΧΗ ΔΙΑΤΗΡΗΣΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ Η εξίσωση αυτή εκφράζει την αρχή διατήρησης της ενέργειας σε ένα ανοικτό θερμοδυναμικό σύστημα, το οποίο ουσιαστικά συμπίπτει με την ίδια τη ΣΜ. Η αρχή εκφράζει ότι «η μεταβολήτης ενεργειακής κατάστασης του ρευστού μέσου μεταξύ της εισόδου 1 και της εξόδου 2 του συστήματος ισούται με τη διαφορά της προσδιδόμενης θερμότητας από το παραγώμενο έργο. Η ροή του μηχανικού έργου (μηχανική ισχύς, ) που εναλλάσσεται μεταξύ συστήματος (ρευστό μέσο της ΣΜ) και περιβάλλοντος είναι θετική όταν έχουμε στρόβιλο και αρνητική για αντλία, δηλαδή όταν παράγεται και καταναλώνεται από τη ΣΜ, αντίστοιχα. Η ροή θερμότητας,, θεωρείται θετική όταν προσδίδεται στο ρευστό από το περιβάλλον. ανοικτό σύστημα Στην εξίσωση της ενέργειας, u, είναι η εσωτερική ενέργεια [J/kg] του ρευστού (συνάρτηση της θερμοκρασίας), p, η πίεση [Pa], ρ, η πυκνότητα [kg/m 3 ], c, η ταχύτητα [m/s], g, η επιτάχυνση της βαρύτητας [m/s 2 ] και z το δυναμικό ύψος [m]. Στην εξίσωση ο όρος I (θερμική ενέργεια) είναι σημαντικός σε έναν ατμοστρόβιλο/αεριοστρόβιλο, ο όρος II (εντατική ενέργεια) σε μία αντλία, ο όρος III (κινητική ενέργεια) σε μία προπέλα/ανεμιστήρα και ο όρος IV (δυναμική ενέργεια) σε έναν υδροστρόβιλο. Σε έναν συμπιεστή, σημαντικοί όροι είναι κύρια ο II και δευτερευόντως ο I. Από τον ορισμό της ενθαλπίας, h=u+pv=u+p/ρ (v=ειδικός όγκος [m 3 /kg]) η εξίσωση της ενέργειας γράφεται:. Επειδή συνήθως οι διεργασίες είναι αδιαβατικές, και ορίζοντας την ολική ενθαλπία h 0 =h+1/2c 2, η εξίσωση γίνεται:. Εκτός από την περίπτωση υδροστροβίλου, ισχύει ότι g(z 1 z 2 )=0, οπότε:.
2.1 ΒΑΣΙΚΟΙ ΝΟΜΟΙ ΣΤΡΟΒΙΛΟΜΗΧΑΝΩΝ ΕΞΙΣΩΣΗ ΟΡΜΗΣ (α) 2.4 2.1.3 2 ος ΝΟΜΟΣ NEWTON ΠΕΡΙ ΚΙΝΗΣΗΣ ΑΡΧΗ ΔΙΑΤΗΡΗΣΗΣ ΟΡΜΗΣ Η εξίσωση αυτή συνδέει τη συνισταμένη των εξωτερικών δυνάμεων που ασκούνται σε ένα στοιχείο ρευστού με την επιτάχυνσή του ή με το ρυθμό μεταβολής της (ευθύγραμμης) ορμής στη διεύθυνση της συνισταμένης δύναμης. Εάν λοιπόν μπορούμε να υπολογίσουμε τη μεταβολή της ορμής του ρευστού, μπορούμε ουσιαστικά να υπολογίσουμε τις δυνάμεις που ασκούνται από/προς την πτερωτή, άρα και το αντίστοιχο μηχανικό έργο. Θεωρώντας ένα σύστημα μάζας, m, η συνισταμένη δύναμη ΣF x (το άθροισμα επιφανειακών δυνάμεων και των δυνάμεων πεδίου) σε μία αυθαίρετη διεύθυνση x, είναι ίση με τη μεταβολή της ορμής στη διεύθυνση x: Για έναν όγκο ελέγχου όπου το ρευστό εισρέει σταθερά με ομοιόμορφη ταχύτητα c x1 και εκρέει αντίστοιχα με c x2, τότε, η οποία αποτελεί τη μόνιμη μονοδιάστατη εξίσωση ορμής. ΕΞΙΣΩΣΗ ΚΙΝΗΣΗΣ ΤΟΥ EULER Αποδεικνύεται ότι για μόνιμη ροή μέσα από στοιχειώδη όγκο (βλ. σχήμα) χωρίς την ύπαρξη διατμητικών δυνάμεων (δηλαδή τριβής και μηχανικού έργου): Η σχέση αυτή αποτελεί την εξίσωση κίνησης του Euler, η οποία δεν αποκλείει τη μετάδοση θερμότητας. ΕΞΙΣΩΣΗ BERNOULLI Εάν ολοκληρωθεί η εξίσωση του Euler πάνω σε μία γραμμή ροής δίνει την εξίσωση του Bernoulli:
2.1 ΒΑΣΙΚΟΙ ΝΟΜΟΙ ΣΤΡΟΒΙΛΟΜΗΧΑΝΩΝ ΕΞΙΣΩΣΗ ΟΡΜΗΣ (β) 2.5 1. Εάν υποθέσουμε επιπλέον ότι η ροή είναι ασυμπίεστη (υγρό μέσο), η εξίσωση του Bernoulli καταλήγει: Χρησιμοποιώντας τον ορισμό της ολικής πίεσης: p 0 =p+1/2ρc 2. Όταν το ρευστό είναι υγρό συνήθως χρησιμοποιείται το μανομετρικό ύψος, Η, που ισούται με z+p 0 /(ρg), οπότε: Η 2 Η 1 =0, δηλαδή το μανομετρικό παραμένει σταθερό (Η 2 =Η 1 =Η) 2. Όταν το ρευστό είναι αέριο ή ατμός αερίου, η μεταβολή του δυναμικού ύψους είναι αμελητέα, οπότε η εξίσωση του Bernoulli γίνεται: και εφόσον η μεταβολή στην πυκνότητα μπορεί να θεωρηθεί μικρή: p 02 p 01 =0, δηλαδή η ολική πίεση, p 0, παραμένει σταθερή (p 02 =p 01 =p 0 ), το οποίο αληθεύει για ισεντροπική συμπίεση. 2.1.4 2 ος ΝΟΜΟΣ NEWTON ΠΕΡΙ ΚΙΝΗΣΗΣ ΑΡΧΗ ΔΙΑΤΗΡΗΣΗΣ ΣΤΡΟΦΟΡΜΗΣ Η εξίσωση αυτή συνδέει τη συνισταμένη των ροπών των εξωτερικών δυνάμεων που ασκούνται σε ένα στοιχείο ρευστού αναφορικά με ένα σταθερό στο χώρο άξονα περιστροφής Α Α, με το ρυθμό μεταβολής της γωνιακής ορμής γύρω από τον άξονα αυτό. όπου τ Α η συνισταμένη ροπή των εξωτερικών δυνάμεων, r η ακτινική απόσταση του κέντρου της μάζας m από τον άξονα περιστροφής (μετρημένη κάθετα στον άξονα) και c θ η εφαπτομενική ταχύτητα περιστροφής της μάζας m, της οποίας το άνυσμα είναι κάθετο τόσο στον άξονα, όσο και στην απόσταση r (κυλινδρικές συντεταγμένες). Δηλαδή ισχύει ότι:, συνεπώς η ροπή είναι κάθετη στο επίπεδο που ορίζουν τα ανύσματα της απόστασης και της δύναμης.
2.1 ΒΑΣΙΚΟΙ ΝΟΜΟΙ ΣΤΡΟΒΙΛΟΜΗΧΑΝΩΝ ΕΞΙΣΩΣΗ ΣΤΡΟΦΟΡΜΗΣ 2.6 Έστω όγκος ελέγχου (βλ. σχήμα) ο οποίος περιλαμβάνει το ρότορα ΣΜ. Η ροή εισέρχεται με συστροφή στον ΟΕ, με ταχύτητα c θ1 σε ακτίνα r 1 και εξέρχεται με ταχύτητα c θ2 σε ακτίνα r 2. Για μονοδιάστατη μόνιμη ροή:, δηλαδήηροπήτης συνισταμένης των εξωτερικών δυνάμεων που ασκούνται στο ρευστό που καλύπτει (προσωρινά) τον ΟΕ ισούται με τη συνολική μεταβολή της εκροής της γωνιακής ορμής. Η ροή σχετίζεται άμεσα με τη ροή του μηχανικού έργου μέσα από τη ΣΜ, πιο συγκεκριμένα εκφράζει την ισχύ ως:, όπου Ω είναι η σταθερή περιστροφική ταχύτητα [rad/s]. Λαμβάνοντας υπόψη ότι U=Ωr, όπου U είναι η περιστροφική ταχύτητα της πτερωτής και όχι του ρευστού) έχουμε (για το έργο που παράγει ησμστορευστό): άρα το μηχανικό έργο ανά μονάδα μάζας (ειδικό έργο) είναι: όπου οι δείκτες c και t, υποδεικνύουν αντλία/συμπιεστή ή στρόβιλο, αντίστοιχα, δηλαδή απορρόφηση και παραγωγή έργου από τη ΣΜ προς το περιβάλλον, αντίστοιχα. Οι παραπάνω εξισώσεις είναι γνωστές ως εξισώσεις του Euler για αντλία και στρόβιλο, αντίστοιχα. Ροθαλπία Συνδυάζοντας τις σχέσεις, με την υπόθεση ότι g(z 1 z 2 )=0 και : (για μόνιμη, αδιαβατική και αντιστρεπτή διεργασία) και επειδή h 0 =h+1/2c 2, ορίζουμε τη ροθαλπία Ι, ως: h 1 +1/2c 12 U 1 c θ1 = h 2 +1/2c 22 U 2 c θ2 =I, της οποίας η τιμή παραμένει σταθερή στις διάφορες διατομές της ΣΜ, άρα και κατά μήκος των γραμμών ροής.
2.1 ΒΑΣΙΚΟΙ ΝΟΜΟΙ ΣΤΡΟΒΙΛΟΜΗΧΑΝΩΝ ΕΝΤΡΟΠΙΑ 2.7 2.1.5 2 ο ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΟ ΑΞΙΩΜΑ ΕΝΤΡΟΠΙΑ & ΑΝΤΙΣΤΡΕΠΤΟΤΗΤΑ Το 2 ο Θερμοδυναμικό Αξίωμα εισάγει τον όρο εντροπία και επιτρέπει τον ορισμό της αντιστρεπτής διεργασίας. Μία σημαντική του διατύπωση είναι η γνωστή ανισότητα του Clausius, η οποία αναφέρει για ένα σύστημα το οποίο υπόκειται σε μία κυκλική διεργασία με εναλλαγή θερμότητας: όπου dq το στοιχειώδες ποσό θερμότητας που διαπερνά το σύστημα υπό θερμοκρασία Τ. Εάν όλες οι στοιχειώδεις διεργασίες του κύκλου είναι αντιστρεπτές, dq=dq R, τότε: δηλαδή ισχύει η ισότητα. Εάν ορίσουμε ένα μέγεθος, που ονομάζεται εντροπία, S, [J/K]: οπότε για μία στοιχειώδη μεταβολή κατάστασης της μάζας m: Για μόνιμη, μονοδιάστατη ροή μέσω ενός ΟΕ, όπου το ρευστό μέσο υπόκειται σε αλλαγή κατάστασης από την 1 (είσοδο) στη 2 (έξοδο): και εάν η διεργασία είναι αδιαβατική ( ), τότε. Εάν επιπλέον η διεργασία είναι και αντιστρεπτή, τότε:. Συνεπώς για μία αδιαβατική διεργασία, στην ιδανική περίπτωση η εντροπία του συστήματος παραμένει σταθερή στο σύστημα (ισεντροπική διεργασία). Η πιο σημαντική επίπτωση του παραπάνω ορισμού της εντροπίας, είναι όταν ένα σύστημα μάζας m υφίσταται μία αντιστρεπτή διεργασία, δηλαδή dq=dq R =mtds, ενώ το μηχανικό έργο είναι dw=dw R =mpdv, οπότε το 1 ο θερμοδυναμικό αξίωμα γράφεται ως: Tds = du + pdv (κλειστά συστήματα) και επειδή h=u+pv, άρα και dh=du+pdv+vdp, η παραπάνω σχέση γράφεται επίσης ως: Tds = dh vdp = dh (1/ρ)dp (ανοικτά συστήματα)
2.2.1 ΟΡΙΣΜΟΙ ΒΑΘΜΩΝ ΑΠΟΔΟΣΗΣ (α) 2.8 Οι βαθμοί απόδοσης που μας ενδιαφέρουν είναι δύο: Ο ολικός βαθμός απόδοσης, η 0. Ο ισεντροπικός ή υδραυλικός βαθμός απόδοσης, η h (ή η t για στρόβιλο & η c για αντλία/συμπιεστή). Παρακάτω ακολουθεί παράλληλη ανάλυση για ΣΜ που παράγουν έργο (στρόβιλοι) στα αριστερά και για ΣΜ που απορροφούν έργο (αντλίες/συμπιεστές) στα δεξιά. στρόβιλοι αντλίες/συμπιεστές Η σχέση της 2.3 μπορεί να γραφεί για μία στοιχειώδη μεταβολή κατάστασης: Από την ανισότητα του 2 ου Θερμοδυναμικού αξιώματος: και από τη σχέση Tds = dh vdp = dh (1/ρ)dp Ολοκληρώνοντας τη σχέση αυτή μεταξύ των καταστάσεων 1 και 2 (είσοδος και έξοδος):
στρόβιλοι 2.2.1 ΟΡΙΣΜΟΙ ΒΑΘΜΩΝ ΑΠΟΔΟΣΗΣ (β) αντλίες/συμπιεστές Εάν θεωρήσουμε αντιστρεπτή διεργασία (δηλαδή ισεντροπική ), αυτό συνεπάγεται αδιαβατική διεργασία χωρίς τριβές. Τότε ισχύει η ισότητα και επίσης Tds = 0 = dh dp/ρ dh =dp/ρ άρα: 2.9 όπου gh=p/ρ+1/2c 2 +gz. Για συμπιεστή ροή, η δυναμική ισχύς είναι αμελητέα, άρα: Διάγραμμα Mollier
στρόβιλοι 2.2.1 ΟΡΙΣΜΟΙ ΒΑΘΜΩΝ ΑΠΟΔΟΣΗΣ (γ) αντλίες/συμπιεστές Αποδεικνύεται ότι η κινητική ενέργεια στο τέλος της πραγματικής και της ιδανικής διεργασίας δεν είναι η ίδια (c 2 >c 2s για στρόβιλο και c 2 <c 2s για αντλία/συμπιεστή), αλλά τις περισσότερες φορές η διαφορά αυτή θεωρείται αμελητέα. Για στρόβιλο, ο ορισμός του βαθμού απόδοσης εξαρτάται από το εάν θα συνυπολογιστεί η κινητική ενέργεια στην έξοδο. Π.χ. σε αεριοστρόβιλου αεροσκάφους η ενέργεια αυτή δεν απορρίπτεται και συνεισφέρει στην ώθηση. Επίσης στην περίπτωση πολλαπλών βαθμίδων στροβίλου, η κινητική ενέργεια στην έξοδο της μίας βαθμίδας εισέρχεται στην επόμενη. Παράδειγμα απόρριψης είναι η απευθείας έξοδος του ρευστού (δηλαδή χωρίς διαχύτη), όπως συμβαίνει στους πυραύλους. 2.10 Όταν εκμεταλλευόμαστε την κινητική ενέργεια στην έξοδο, ορίζεται η ολικός προς ολικό βαθμός απόδοσης: Για έναν συμπιεστή ο μόνος βαθμός απόδοσης που έχει νόημα είναι ο ολικός προς ολικό βαθμός απόδοσης: και εάν η διαφορά στην κινητική ενέργεια είναι μικρή: και εάν η διαφορά στην κινητική ενέργεια είναι μικρή: Όταν απορρίπτουμε την κινητική ενέργεια στην έξοδο, ορίζεται η ολικός προς στατικό βαθμός απόδοσης: και εάν η διαφορά στην κινητική ενέργεια είναι μικρή: Για ασυμπίεστη ροή (δηλαδή όταν το ρευστό μέσο είναι υγρό):
Ο ισεντροπικός βαθμός απόδοσης μίας ΣΜ, που αναλύθηκε στην προηγούμενη παράγραφο, αν και είναι πολύ σημαντικός, δεν είναι αντιπροσωπευτικός για την αξιολόγηση μίας ΣΜ εάν δεν αναφέρεται στον ίδιο λόγο συμπίεσης. Εάν θεωρήσουμε ότι κάθε ΣΜ αποτελείται από πολλές (άπειρες) μικρές βαθμίδες με τον ίδιο βαθμό απόδοσης (ανεξάρτητα με το εάν όντως η ΣΜ είναι μονοβάθμια ή πολυβάθμια), μπορούμε να αποδείξουμε ότι η ισεντροπικός βαθμος απόδοσης της ΣΜ δεν είναι ο ίδιος με από το βαθμό απόδοσης της μικρής (στοιχειώδους) βαθμίδας και ότι η διαφορά εξαρτάται από το λόγο συμπίεσης της ΣΜ. Αυτό το μάλλον αναπάντεχο συμπέρασμα οφείλεται σε ένα απλό θερμοδυναμικό φαινόμενοτοοποίοείναικατά κάποιο τρόπο "κρυμμένο" στη σχέση για τον ισεντροπικό βαθμό απόδοσης. ΔΙΕΡΓΑΣΙΑ ΣΥΜΠΙΕΣΗΣ Στο διάγραμμα ενθαλπίας εντροπίας (h s) παριστάνεται η συμπίεση 1 2 μεταξύ των πιέσεων p 1 και p 2 και η αντίστοιχη ισεντροπική διεργασίας 1 2s. Εάν η διεργασία 1 2 θεωρηθεί ότι αποτελείται από έναν μεγάλο αριθμό διεργασιών ίδιου βαθμού απόδοσης, η p, για τις οποίες η κατανάωση έργου θα είναι δw ενώ το αντίστοιχο ισεντροπικό έργο θα είναι δw min. Άρα: 2.2.2 ΠΟΛΥΤΡΟΠΙΚΟΣ ΒΑΘΜΟΣ ΑΠΟΔΟΣΗΣ (α) και επειδή κάθε μικρή βαθμίδα έχει το ίδιο βαθμό απόδοσης, η p, τότε θα είναι η p =(ΣδW min )/(ΣδW). ΑπότησχέσηTds=dh vdp για σταθερή πίεση (πάνω σε μία ισοβαρή καμπύλη) εξάγεται ότι ( h/ s) p 1=T, που σημαίνει ότι όσο αυξάνει η θερμοκρασία του ρευστού τόσο αυξάνει και η κλίση των ισοβαρών πάνω στο διάγραμμα Mollier. Για ένα αέριο όπου η h είναι συνάρτηση της T, οι ισοβαρείς καμπύλες αποκλίνουν μεταξύ τους και η ισοβαρής p 2 έχει μεγαλύτερη κλίση από την p 1 για την ίδια s, ενώ για την ίδια τιμή της Τ (δηλαδή h), έχουν την ίδια κλίση όπως φαίνεται στο σχήμα. Για την ειδική περίπτωση ιδανικού αερίου, ισχύει ότι h=c p T, άρα για μία ισοβαρή ισχύει ότι C p (dt/ds)=t και η ολοκλήρωσή της δίνει την εξίσωση της ισοβαρούς: s=c p logt+σταθερά. ΑπότοσχήματοδW γράφεται ως: οπότε ο πολυτροπικόςβαθμόςαπόδοσηςγίνεται: Για αδιαβατική συμπίεση ο βαθμός απόδοσης είναι:. Λόγω της προαναφερθείσας απόκλισης των ισοβαρών, ισχύει ότι:, δηλαδή ΣδW min >W min (=h 2s h 1 ), οπότε συνάγεται ότι: η p >η c Για τη διεργασία συμπίεσης, ο ισεντροπικός βαθμός απόδοσης της ΣΜ είναι μικρότερος από το βαθμό απόδοσης της στοιχειώδους βαθμίδας και η διαφορά εξαρτάται από την απόκλιση των ισοβαρών. 2.11
2.2.2 ΠΟΛΥΤΡΟΠΙΚΟΣ ΒΑΘΜΟΣ ΑΠΟΔΟΣΗΣ (β) ΠΟΛΥΤΡΟΠΙΚΟΣ ΒΑΘΜΟΣ ΑΠΟΔΟΣΗΣ ΓΙΑ ΣΥΜΠΙΕΣΗ ΙΔΑΝΙΚΟΥ ΑΕΡΙΟΥ Στην ειδική αυτή περίπτωση (επειδή h=c p T) αποδεικνύεται ότι: 2.12 Η σχέση αυτή συνδέει τον ισεντροπικό (η c ) και πολυτροπικό (η p ) βαθμό απόδοσης συναρτήσει του λόγου συμπίεσης (p 2 /p 1 ). Το σχήμα παριστάνει τις καμπύλες αυτές για διάφορες τιμές του λόγου συμπίεσης, όπου φαίνεται καθαρά ότι όσο ο τελευταίος αυξάνει, τόσοαυξάνεικαιηαπόκλισητωνδύοβαθμώναπόδοσης. Είναι επίσης εμφανές ότι δεν πρέπει να συγκρίνονται δύο ΣΜ που δουλεύουν σε διαφορετικό λόγο συμπίεσης. ΠΟΛΥΤΡΟΠΙΚΟΣ ΒΑΘΜΟΣ ΑΠΟΔΟΣΗΣ ΓΙΑ ΕΚΤΟΝΩΣΗ ΙΔΑΝΙΚΟΥ ΑΕΡΙΟΥ Στην περίπτωση στροβίλου έχουμε εκτόνωση και όχι συμπίεση και όμοια αποδεικνύεται ότι: Είναι προφανές ότι στην περίπτωση εκτόνωσης, ο ισεντροπικός βαθμός απόδοσης είναι πάντοτε μεγαλύτερος του βαθμού απόδοσης της στοιχειώδους βαθμίδας και η διαφορά μεγαλώνει όσο αυξάνει ο λόγος εκτόνωσης (p 2 /p 1 ). ΒΑΘΜΟΣ ΑΝΑΘΕΡΜΑΝΣΗΣ (ΑΤΜΟΣΤΡΟΒΙΛΟΙ) Στην περίπτωση όπου ατμοστροβίλων δεν ισχύον οι προηγούμενες σχέσεις, αφού ο ατμός δεν είναι ιδανικό αέριο. Σε αυτήν την περίπτωση χρησιμοποιείται ο βαθμός αναθέρμανσης, R H, για την εκτίμηση της απόδοσης της διεργασίας εκτόνωσης. Εάν θεωρήσουμε πολλές βαθμίδες εκτόνωσης, είναι:
2.2.2 ΠΟΛΥΤΡΟΠΙΚΟΣ ΒΑΘΜΟΣ ΑΠΟΔΟΣΗΣ (γ) Λόγω της βαθμιαίας απόκλισης των ισοβαρών καμπυλών, ο R H είναι πάντοτε μεγαλύτερος της μονάδας. Η ακριβής τιμή του R H εξαρτάται από τη θέση της γραμμής εκτόνωσης στο διάγραμμα Mollier και τον ολικό λόγο συμπίεσης. Για συνήθεις ατμοστροβίλους η τιμή του είναι μεταξύ του 1.03 και 1.08. Η ισεντροπική εκτόνωση υπέρθερμου ατμού περιγράφεται από μία πολυτροπική διεργασία, pv n =σταθερό, με n=1.3. ΗτιμήτουR H συναρτήσει του λόγου εκτόνωσης και για διάφορες τιμές του βαθμού απόδοσης της στοιχειώδους βαθμίδας υπολογίστηκε και δίνεται στο διπλανό σχήμα. 2.13 Επίσης, επειδή ο ισεντροπικός βαθμός απόδοσης στροβίλου είναι: άρα: η t =η p R H ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Ένας αξονικός συμπιεστής έχει σχεδιαστεί για ολικό προς ολικό λόγο συμπίεσης 8:1. Στην είσοδο και έξοδο οι θερμοκρασίες ανακοπής (ολικές) είναι 300 [K] και 586.4 [Κ], αντίστοιχα. Υπολογίστε το συνολικό ολικό προς ολικό και τον πολυτροπικό βαθμό απόδοσης του συμπιεστή. Δίνεται ότι για τον αέρα το γ=1.4. Λύση: Ο ολικός προς ολικό βαθμός απόδοσης συμπιεστή είναι ( 2.10): η c =(h 02s h 01 )/(h 02 h 01 ) και αφού επειδή h=c p T (ιδανικό αέριο) είναι: η c =(Τ 02s Τ 01 )/(Τ 02 Τ 01 ). Επίσης σε ισεντροπική διεργασία ισχύει ( 1.15): (Τ 02 /Τ 01 )=(p 02 /p 01 ) (γ 1)/γ, οπότε έχουμε η c =(Τ 02s /Τ 01 1)/(Τ 02 /Τ 01 1)=([p 02 /p 01 ] (γ 1)/γ 1)/(Τ 02 /Τ 01 1)=(8 0.4/1.4 1)/(586.4/300 1)=0.8500. Χρησιμοποιώντας την τιμή αυτή στη σχέση για τον η c στη 2.10 εξάγεται (μετά από αριθμητικές πράξεις) ότι η p =0.8865:
2.2.3 ΒΑΘΜΟΣ ΑΠΟΔΟΣΗΣ ΑΚΡΟΦΥΣΙΟΥ & ΔΙΑΧΥΤΗ (α) ΑΚΡΟΦΥΣΙΑ Σε πολλά τμήματα πολλών ΣΜ η ροή περνάει μέσα από ακροφύσια (nozzle) όπου το ρευστό επιταχύνεται λόγω πτώσης της πίεσης. Τέτοια ροή συναντάται σε όλες τις ΣΜ στην είσοδο, καθώς και στη σειρά των σταθερών πτερυγίων στους στροβίλους. Στις αξονικές ΣΜ, συναντώνται συχνά στην είσοδο οδηγητικά πτερύγια (τόσο σε συμπιεστές όσο και σε στροβίλους), ενώ στις ακτινικές ΣΜ, αν και δεν υπάρχει παρόμοια διάταξη, πάλι συμβαίνει επιτάχυνση της ροής λόγω της στένωσης της διαθέσιμης διατομής. Στο διάγραμμα Mollier, για μόνιμη και αδιαβατική εκτόνωση από το 1 στο 2, ισχύει ότι h 01 =h 02. Ο πιο κοινός βαθμός απόδοσης είναι ο λόγος της τελικής κινητικής ενέργειας προς τη μέγιστη θεωρητική κινητική ενέργεια (από την ισεντροπική εκτόνωση): 2.14 Εναλλακτικά χρησιμοποιείται ο συντελεστής απώλειας ενθαλπίας: και ο συντελεστής ταχύτητας:. Είναι εύκολο να αποδειχθεί ότι: ΔΙΑΧΥΤΕΣ Ο διαχύτης (diffusers) είναι το τμήμα του αγωγού μέσα στο οποίο το ρευστό επιβραδύνεται και γίνεται ανάκτηση της πίεσης. Το πρόβλημα που αντιμετωπίζουμε στη ροή μέσα στους διαχύτες είναι η τάση του οριακού στρώματος να παρουσιάζει αποκόλληση, εφόσον η γωνία διάχυσης είναι μεγάλη. Η αποκόλληση της ροής προκαλεί πολύ μεγάλες πτώσεις πίεσης (απώλειες). Εάν η γωνία του διαχύτη είναι πολύ μικρή, πάλι η ανάκτηση της πίεσης δεν είναι ικανοποιητική, αυτή τη φορά λόγω της έκθεσης της ροής σε μεγάλο μήκος τοιχωμάτων (μακρύς διαχύτης) με τις απώλειες τριβής που αυτό συνεπάγεται. Υπάρχει λοιπόν μια βέλτιστη γωνία διάχυσης, όπου οι απώλειες ελαχιστοποιούνται και αυτή είναι περίπου 2θ=7 ο, τόσο για κωνικούς όσο και δισδιάστατους διαχύτες. κωνικός δισδιάστατος
2.2.3 ΒΑΘΜΟΣ ΑΠΟΔΟΣΗΣ ΑΚΡΟΦΥΣΙΟΥ & ΔΙΑΧΥΤΗ (β) Η διεργασία της διάχυσης παριστάνεται σε διάγραμμα Mollier ως η συμπίεση από το 1 στο 2. Σημειώνεται ότι πάλι για μόνιμη και αδιαβατική ροή είναι h 01 =h 02. Ο βαθμόςαπόδοσης μπορεί να ορισθεί από το λόγο: (α) της πραγματικής μεταβολής της ενθαλπίας προς την αντίστοιχη ισεντροπική μεταβολή: ήισοδύναμα(μόνοωςδιαφορέςπίεσης) s 2.15 (β) του πραγματικού συντελεστή συμπίεσης ως προς τον αντίστοιχο ισεντροπικό: όπου είναι ο συντελεστής αύξησης πίεσης και. Επίσης συχνά χρησιμοποιείται ο συντελεστής ανάκτησης πίεσης, p 02 /p 01, όπου Για ροή χαμηλής ταχύτητας (ή ροή με μικρές μεταβολές πυκνότητας): η οποία καταλήγει στη σχέση: ηοποίασυνδέειτοβαθμόαπόδοσηςτουδιαχύτημετολόγοστατικώνπιέσεων p 2 /p 1 και συντελεστή ανάκτησης πίεσης, p 02 /p 01 και παριστάνεται στο διπλανό σχήμα.
2.3 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 2.16 1. Αέριο εισρέει στα ακροφύσια βαθμίδας στρόβιλου με ολική (ανακοπής) πίεση 4 [bar] και θερμοκρασία 1200 [Κ] και εκρέει με ταχύτητα 572 [m/s] και στατική πίεση 2.36 [bar]. Υπολογίστε το βαθμό απόδοσης του ακροφυσίου υποθέτοντας ότι το αέριο χαρακτηρίζεται από τις μέσες τιμές C p =1160 [J/kg/K] και γ=1.33. 95.77 [%] 2. Ιδανικό αέριο εκτονώνεται σε αξονικό στρόβιλο με λόγω πιέσεων 4.5:1. Εάν ο βαθμός απόδοσης στοιχειώδους βαθμίδας είναι 86 [%] και γ=1.333, υπολογίστε το συνολικό βαθμό απόδοσης του στροβίλου. Ποιος λόγος πιέσεων δίνει συνολικό βαθμό απόδοσης 90 [%] και ποιος ο ελάχιστος συνολικός βαθμός απόδοσης του στροβίλου? 88.16 [%], 1:18.5, 86 [%] 3. Αέρας εκτονώνεται σε πολυβάθμιο αξονικό στρόβιλο και η πτώση πίεσης σε κάθε βαθμίδαείναιπολύμικρή. Εάν υποθέσουμε ότι ο αέρας είναι ιδανικό αέριο με λόγο θερμοχωρητικοτήτων γ, εξάγετε τις θερμοδυναμικές σχέσεις για τις ακόλουθες διεργασίες: (α) αντιστρεπτή αδιαβατική εκτόνωση (β) μη αντιστρεπτή αδιαβατική εκτόνωση με βαθμό απόδοσης στοιχειώδους βαθμίδας η p. (γ) αντιστρεπτή εκτόνωση με την εναλλαγή θερμότητας να είναι σταθερό ποσοστό k της μεταβολής ενθαλπίας. (δ) αντιστρεπτή εκτόνωση όπου η εναλλαγή θερμότητας είναι ανάλογη της θερμοκρασίας, T. Σχεδιάστε τις (α), (β) και (γ) σε ένα διάγραμμα Τ s. Εάν η θερμοκρασία στην είσοδο του στροβίλου είναι 1100 [K] και ο λόγος πιέσεων 6:1, υπολογίστε τις θερμοκρασίες εξόδου για τις διεργασίες (α), (β) και (γ). Υποθέστε ότι γ=1.333, η p =0.85 και k=0.1. 703.1 [K], 751.9 [K], 669.0 [K] 4. Πολυβάθμιος ατμοστρόβιλος τροφοδοτείται με υπέρθερμο ατμό σε ολική πίεση 7 [MPa] και ολική θερμοκρασία 500 [ o C], ενώ η αντίστοιχη ενθαλπία είναι 3410 [kj/kg]. Ο ατμός εκτονώνεται σε ολική πίεση 0.7 [MPa]. Μπορεί να υποτεθεί ότι ο ατμός συμπεριφέρεται ως ιδανικό αέριο σε όλη τη διάρκεια της εκτόνωσης με γ=1.3. Τέλος δίνεται ο πολυτροπικός βαθμός απόδοσης της κάθε βαθμίδας η p =82 [%]. Καθορίστε τη θερμοκρασία και τον εδικό όγκο στο τέλος της εκτόνωσης, εάν για υπέρθερμο ατμό ισχύει ότι pv=0.231(h 1943), όπου h σε [kj/kg], p σε [kpa] και v σε [m 3 /kg]. Επίσης υπολογίστε το βαθμό υπερθέρμανσης.
2.3 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 2.17 5. Πεπιεσμένος αέρας ρέει σε βιομηχανικό δίκτυο σε σωλήνα διαμέτρου D 1 =3 με ταχύτητα c 1 =5 [m/s] σε πίεση P 1 =2 [bar] και θερμοκρασία θ 1 =25 [ o C]. Ο σωλήναςδιακλαδώνεταισεδύοεπιμέρους σωληνώσεις με διάμετρο D 2 =D 3 =2 και αφού εξυπηρετήσει δύο μηχανήματα απορρίπτεται στο χώρο του εργοστασίου με ταχύτητες c 2 =20 [m/s] και c 3 =10 [m/s]. Εάν η θερμοκρασία του πρώτου κλάδου είναι θ 2 =100 [ ο C] και ο αέρας θεωρηθεί ιδανικό αέριο, ποια είναι η θερμοκρασία του δεύτερου κλάδου θ 3 σε [ o C]? 205.8 [ o C] 6. Σε υδροηλεκτρικό σταθμό παραγωγής ενέργειας το νερό παροχής 3060 [m 3 /h] ρέει από την πάνω δεξαμενή (φράγμα) σε αγωγό D=0.5 [m] μέχρι να οδηγηθεί στην πτερωτή του υδροστρόβιλου, ενώ λίγο πριν χυθεί στην κάτω δεξαμενή (λίμνη) ο διαχύτης έχει τετραγωνική διατομή πλευράς α=1.2 [m]. Η υψομετρική διαφορά μεταξύ της στάθμης του νερού στο φράγμα και της εξόδου του διαχύτη είναι 43 [m]. Η έξοδος του διαχύτη βρίσκεται 8 [m] κάτω από την επιφάνεια της λίμνης. Υπολογίστε το έργο που αποδίδει το νερό στον υδροστρόβιλο, αγνοώντας όλες τις απώλειες. 299.7 [kw]