6. Αρµονικός ταλαντωτής

6 Αρµονικός ταλαντωτής Βιβλιογραφία Kittel, W D Knight, A Ruderman, A Helmholz και B J oyer, Μηχανική Πανεπιστηµιακές Εκδόσεις ΕΜΠ, 998 Κεφ 7 F S rawford Jr, Κυµατική Σειρά Μαθηµάτων Φυσικής Berkeley, Τόµος 3 Αθήνα 979 Κεφ H J Pain, Φυσική των Ταλαντώσεων και των Κυµάτων Εκδόσεις Συµµετρία, 99 Κεφ, R Spiegel, Θεωρητική Μηχανική Εκδόσεις ΕΣΠΙ, Αθήνα, 985 Κεφ 4 K R Symon, echanics Addison - Wesley Publishing ompany, 974 Κεφ {Μαθηµατικό Συµπλήρωµα Μ Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις} Ο αρµονικός ταλαντωτής είναι ένα σηµαντικό παράδειγµα περιοδικής κίνησης ή µεταβολής γιατί χρησιµεύει ως ακριβές ή κατά προσέγγιση πρότυπο σε πολλά προβλήµατα Όπως θα δούµε, ο αρµονικός ταλαντωτής µπορεί να περιγράψει τη συµπεριφορά ενός συστήµατος που έχει µετατοπιστεί ελαφρώς από µια θέση ευσταθούς ισορροπίας του 6 Μάζα δεµένη σε ελατήριο Για ένα ιδανικό ελατήριο (που ακολουθεί το νόµο του Hooke) η δύναµη επαναφοράς είναι ανάλογη της µεταβολής του µήκους του ως προς το µήκος ηρεµίας του ελατηρίου Μια σηµειακή µάζα στερεωµένη στο ελεύθερο άκρο ενός τέτοιου ελατηρίου, υποθέτοντας ότι η µάζα κινείται σε οριζόντιο επίπεδο χωρίς τριβή, κατά µήκος του άξονα x, υφίσταται τη δύναµη επαναφοράς: r F = xxˆ (6) όπου το x παριστάνει την µετατόπιση από τη θέση ισορροπίας x =, η οποία αντιστοιχεί στο µήκος ηρεµίας ή φυσικό µήκος του ελατηρίου Η εξίσωση κίνησης θα είναι: d x d x = x ή = x (6) Πρόκειται για µια εξίσωση της µορφής: && x + ω x =, µε ω =, (63) γνωστή ως η εξίσωση κίνησης του απλού αρµονικού ταλαντωτή (Για τη λύση αυτής της διαφορικής εξίσωσης βλ Μαθηµατικό Συµπλήρωµα Μ) Η γενική λύση είναι της µορφής: ( ω + φ ) = Asin t (64) x και περιγράφει µια απλή αρµονική ταλάντωση γύρω από τη θέση ισορροπίας x = Η ω = είναι η γωνιακή ή κυκλική συχνότητα της ταλάντωσης Η συχνότητα f και η περίοδος T της κίνησης δίνονται από τις σχέσεις: Τα µεγέθη f ω =, π π = A και φ ονοµάζονται πλάτος και σταθερά φάσης της κίνησης T = = π (65) f 45

Από τις αρχικές συνθήκες: για t =, x = x = Asinφ (αρχική µετατόπιση) και dx = υ = ω cosφ (αρχική ταχύτητα) µπορούν να προσδιοριστούν τα A και φ, / A υ A = x +, και ω x φ = arcsin (66) A Για τη λύση του προβλήµατος µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε την αρχή διατήρησης της r ενέργειας επειδή η δύναµη του ελατηρίου είναι διατηρητική δύναµη [της µορφής F = f (r) rˆ ]: dx υ + x = + x = E (67) dx Παίρνοντας τη µετατόπιση ίση µε το πλάτος (µέγιστη) όταν η ταχύτητα µηδενίζεται =, τότε E = A (68) και dx = A x (69) Η γενική λύση αυτής της εξίσωσης είναι: x = Asin t + φ (6) που είναι ίδια µε την λύση που µας έδωσε η πρώτη µέθοδος ανάλυσης του προβλήµατος Η σηµασία του αρνητικού προσήµου στην εξίσωση κίνησης του αρµονικού ταλαντωτή Αν η δύναµη του προβλήµατος δεν είναι µια δύναµη επαναφοράς αλλά µια απωστική δύναµη, r τότε, αντί της µορφής που δίνει η Εξ (6), η έκφραση για τη δύναµη θα είναι F = x xˆ και η εξίσωση κίνησης θα είναι τελικά & x = ω x, µε ω = Η λύση αυτής της εξίσωσης δεν είναι της µορφής της Εξ (64), αλλά γενικά ένα άθροισµα εκθετικών συναρτήσεων του χρόνου Για το λόγο αυτό η µετατόπιση δεν παριστάνει κίνηση αρµονικής ταλάντωσης αλλά µια συνεχώς αυξανόµενη µε τον χρόνο αποµάκρυνση από το σηµείο ισορροπίας 6 Απλό εκκρεµές Το απλό (ή µαθηµατικό) εκκρεµές αποτελείται από µια σηµειακή µάζα, η οποία είναι αναρτηµένη µέσω µιας ράβδου αµελητέας µάζας ή ενός νήµατος µήκους L από σταθερό σηµείο P Θεωρώντας ότι η µάζα µπορεί να ταλαντώνεται ελεύθερα, χωρίς τριβές σε ένα κατακόρυφο επίπεδο που περιέχει το σηµείο P, γύρω από την κατακόρυφο που περνάει από το σηµείο P, µπορούµε να µελετήσουµε την κίνηση του εκκρεµούς µε διαφορετικούς και ισοδύναµους τρόπους (α) Χρησιµοποιώντας την εξίσωση κίνησης Αν s = Lθ είναι το µήκος του τόξου που διαγράφει τη µάζα, µετρώντας το από την κατακόρυφη θέση ισορροπίας και θ η αντίστοιχη γωνιακή απόκλισή της από την κατακόρυφο, τότε για την ταχύτητα και την επιτάχυνση της µάζας ισχύει: ds dθ υ L & d s d θ = = L = θ a L L & θ = = = (6) 46

Η δύναµη η οποία υπεισέρχεται στην εξίσωση κίνησης είναι η εφαπτοµενική στην τροχιά συνιστώσα του βάρους της µάζας, οπότε: d θ L = g sinθ (6) Αν περιοριστούµε σε µικρές γωνιακές αποκλίσεις από την κατακόρυφο, µπορούµε να πάρουµε sin θ θ οπότε η εξίσωση κίνησης παίρνει τη µορφή: d θ g = θ (63) L Πρόκειται για την εξίσωση του απλού αρµονικού ταλαντωτή και η λύση της θα έχει τη µορφή: όπου ( ω φ ) θ = θ sin t + (64) g ω = και L g f = π L (65) η γωνιακή συχνότητα και η συχνότητα της απλής αρµονικής ταλάντωσης του εκκρεµούς Το πλάτος (η µέγιστη τιµή) της γωνιακής απόκλισης θ είναι θ Η προσέγγιση των µικρών ταλαντώσεων που µας οδήγησε στην εξίσωση της απλής αρµονικής ταλάντωσης καθορίζει µέσα σε ποια όρια µέγιστης εκτροπής (πλάτους) ισχύει η περιγραφή αυτή (βλ αντίστοιχους πίνακες, Μηχανική, Κεφ7) (β) Χρησιµοποιώντας την αρχή διατήρησης της ενέργειας Όταν η ράβδος αποκλίνει κατά γωνία θ, η µάζα ανυψώνεται σε ύψος h = L L cosθ (66) Η δυναµική ενέργεια της µάζας στο οµογενές πεδίο βαρύτητας της Γης είναι ( h) = gh = gl( cosθ ) U (67) µε U ( h = ) = (δηλαδή όταν το εκκρεµές βρίσκεται στην κατακόρυφη θέση) Η κινητική ενέργεια του εκκρεµούς είναι Οπότε η ολική ενέργεια θα είναι K = υ = L & θ (68) E = KE + E = K + U = L & θ + gl( cosθ ) (69) και E = σταθ Για µικρές αποκλίσεις, δηλ για θ << rad, µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε την προσέγγιση οπότε για την ενέργεια θα έχουµε cosθ θ (6) E = L & θ + glθ (6) Θεωρώντας ότι η µέγιστη απόκλιση ( ± θ ) αντιστοιχεί στις θέσεις µηδενισµού της ταχύτητας ( & θ = ), οπότε E = glθ, βρίσκουµε: dθ g = L θ θ θ E = gl (6) (63) 47

ή dθ θ θ Η λύση αυτής της εξίσωσης είναι τελικά της µορφής: θ = θ ( ω t + φ ) = g L sin Η φυσική σηµασία της ω Όπως ορίστηκε η γωνιακή συχνότητα της απλής αρµονικής ταλάντωσης, ισχύει: x ω = = ή x (64) g gθ gθ ω = = = (65) L Lθ s Ο τελευταίος όρος εκφράζει τη δύναµη επαναφοράς ανά µονάδα µάζας και ανά µονάδα µετατόπισης ηλαδή, το τετράγωνο της γωνιακής συχνότητας εκφράζει τη συµπεριφορά του ταλαντούµενου συστήµατος όταν αυτό αποµακρυνθεί από τη θέση ισορροπίας του (γ) Χρησιµοποιώντας τη στροφορµή και την εξίσωση για την περιστροφική κίνηση περί σταθερό άξονα Μια τρίτη µέθοδος προκύπτει, αν θεωρήσουµε την κίνηση του εκκρεµούς ως περιστροφική κίνηση του συστήµατος µάζα - ράβδος περί οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το σηµείο στήριξης Ρ και είναι κάθετος στο επίπεδο της κίνησης Τότε για τις προβολές πάνω στον άξονα περιστροφής των διανυσµάτων της στροφορµής και της ροπής (ως προς το σηµείο Ρ), αν επιλέξουµε τον άξονα x να συµπίπτει µε τον άξονα περιστροφής, ισχύει η βασική εξίσωση: Στο πρόβληµα αυτό είναι: και dl x = N x (66) L x = L θ & (67) N x = Lg sinθ (68) Οπότε, εξισώνοντας το ρυθµό µεταβολής της στροφορµής µε τη ροπή, προκύπτει: L && θ = Lg sinθ (69) ή & θ g + sin θ = (63) L η οποία, για θ <<, καταλήγει, όπως και µε τις άλλες δύο µεθόδους, στην εξίσωση της απλής αρµονικής ταλάντωσης: & θ g + θ = (63) L Παράδειγµα Κύκλωµα L Ένα άλλο παράδειγµα εφαρµογής της απλής αρµονικής ταλάντωσης προσφέρει το ηλεκτρικό κύκλωµα ενός πυκνωτή και µιας αυτεπαγωγής σε σειρά Q Η τάση στους ακροδέκτες του πυκνωτή µε χωρητικότητα και φορτίο Q είναι V = dq Η ένταση του ρεύµατος είναι I =, άρα Q = I di Η τάση στα άκρα της αυτεπαγωγής L είναι V L = L Επειδή το άθροισµα των τάσεων κατά µήκος του κυκλώµατος είναι ίσο µε µηδέν, βρίσκουµε 48

di Q d Q Q L + = ή L + = Η τελευταία είναι η εξίσωση της απλής αρµονικής ταλάντωσης και έχει λύση την Tο ρεύµα Παράδειγµα dq / είναι: = Q sin( ω t + φ ), ω = L Q ( ω t + φ ) = I ( ω φ ) I = ω Q cos cos t + Το φυσικό εκκρεµές Στερεό σώµα µάζας µπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβές περί σταθερό οριζόντιο άξονα που περνά από το σηµείο Ο Να ευρεθεί η εξίσωση κίνησης του στερεού, να αποδειχτεί ότι για µικρές γωνιακές αποκλίσεις από την κατακόρυφη θέση ισορροπίας η κίνηση είναι απλή αρµονική ταλάντωση και να υπολογιστεί η συχνότητα αυτής της ταλάντωσης Αν είναι το κέντρο µάζας του στερεού, τότε η ευθεία O στη θέση ισορροπίας συµπίπτει µε την κατακόρυφο Όπως φαίνεται στο σχήµα η γωνία θ παριστάνει τη γωνιακή εκτροπή από την κατακόρυφο Αν ο άξονας περιστροφής (κάθετος στο επίπεδο του σχήµατος) συµπίπτει µε τον r άξονα z, τότε για το διάνυσµα της γωνιακής ταχύτητας θα ισχύει ω = ω zˆ Η θεµελιώδης εξίσωση για την περιστροφική κίνηση του στερεού είναι: dl Ο = N Ο όπου LΟ είναι η στροφορµή του στερεού και NΟ η ροπή των εξωτερικών δυνάµεων ως προς το σηµείο Ο Για τις προβολές των διανυσµάτων της στροφορµής και της ροπής των εξωτερικών δυνάµεων πάνω στον άξονα περιστροφής η εξίσωση κίνησης παίρνει τη µορφή: dl Ο = N Ο Είναι L Ο = I Ο ω, όπου I Ο είναι η ροπή αδράνειας του στερεού περί τον άξονα περιστροφής που περνά από το Ο Για τη γωνιακή ταχύτητα της περιστροφικής κίνησης dθ ισχύει ω = = & θ Στο πρόβληµα, η δύναµη της βαρύτητας, η οποία θεωρούµε ότι εφαρµόζεται στο κέντρο µάζας του στερεού, έχει ροπή ως προς το σηµείο Ο: NΟ = gl sinθ Το αρνητικό πρόσηµο οφείλεται στο ότι η ροπή της δύναµης της βαρύτητας αντιτίθεται στην αύξηση της γωνιακής απόκλισης θ Τελικά η εξίσωση κίνησης του στερεού έχει τη µορφή: I Ο dω = gl sinθ ή I & θ Ο = gl sinθ ή Αν περιοριστούµε σε µικρές γωνίες θ για τις οποίες ισχύει µορφή & θ gl = I Ο θ & θ gl = sinθ I Ο sin θ θ τότε η εξίσωση παίρνει τη 49

Η εξίσωση αυτή παριστάνει απλή αρµονική ταλάντωση γύρω από την κατακόρυφη θέση ισορροπίας, µε γωνιακή συχνότητα gl ω = I Παράδειγµα 3 Απλός αρµονικός ταλαντωτής αποτελούµενος από µάζα m και ελατήριο σταθεράς, είναι αρχικά ακίνητος στη θέση ισορροπίας του Μια σταθερή δύναµη F ασκείται µεταξύ των χρονικών στιγµών t = και t = T Να βρεθεί η κίνηση του ταλαντωτή Η λύση του προβλήµατος πρέπει να γίνει σε δύο βήµατα: (α) Για t T κατά την οποία ασκείται δύναµη F, και (β) Για t T κατά την οποία ασκείται µηδενική δύναµη Ο (α) t T Η εξίσωση κίνησης του ταλαντωτή είναι F & x + ω x = m όπου ω = η γωνιακή συχνότητα του ταλαντωτή (ιδιοσυχνότητα) m Αν ορίσουµε τη νέα µεταβλητή F F y = x = x, mω τότε && y + ω y, = η οποία είναι η εξίσωση της απλής αρµονικής ταλάντωσης µε µεταβλητή την y(t) και την ίδια γωνιακή συχνότητα µε τον ταλαντωτή του προβλήµατος Μια κατάλληλη µορφή της λύσης για την εξίσωση αυτή είναι (βλ Μαθηµατικό Συµπλήρωµα Μ): y( t) = Acosω t + B sinωt Για τη µετατόπιση του ταλαντωτή Η ταχύτητα υ ( t ) = x& ( t) είναι: x(t) θα ισχύει τότε: F ( t) = + Acosω t + B sinω t x x& ( t) = ω Asinωt + ωb cosωt Οι αρχικές συνθήκες του προβλήµατος είναι για t = : F x ( ) = + A = F A = και x& ( ) = ω B = B = Οπότε τελικά προκύπτει: (β) t T F x( t) = ( cosωt) για t T Η εξίσωση κίνησης του ταλαντωτή είναι τώρα: && x( t) + ω x = 5

Η λύση θα έχει τη µορφή: x ( t) = D cosω t + E sinω t Για τις αρχικές συνθήκες τώρα, από τη λύση στην περίπτωση (α), για t = T παίρνουµε: F F x( T ) = ( cosωt ) και υ ( T ) = x& ( T ) = ω sinωt Από τη λύση για την περίπτωση (β) ( t T ) θα ισχύει: ( T ) = Dcosω T + E sinω T και υ ( T ) = x& ( T ) = ω DsinωT + ωe cosωt x Εξισώνοντας τις αντίστοιχες εκφράσεις προκύπτει: και Τελικά είναι: Εποµένως για t T η µετατόπιση θα είναι: ή F D cosωt + E sinωt = ( cosωt ) F D sinω T + E cosωt = sinωt F F D = (cosω T ) και E = sinωt F F ( t) = cos ω [( cosω T ) cosω t + sinω T sinω t] = { cos[ ω ( t T )] t} x F ωt T x( t) = sin sin ω t Η µετατόπιση για t T µπορεί να πάρει τη µορφή: x ( t) = asin( ωt φ) για t T Η συνάρτηση αυτή παριστάνει απλή αρµονική ταλάντωση µε την ίδια γωνιακή συχνότητα ω, µε πλάτος F = ω a sin T και µε σταθερά φάσης ω φ = T 5

63 Κίνηση συστηµάτων που µετατοπίστηκαν από µια θέση ευσταθούς ισορροπίας Έστω ότι U (a) είναι η συνάρτηση της δυναµικής ενέργειας ενός συστήµατος, όπου η συντεταγµένη a εκφράζει την απόκλιση από µια θέση ευσταθούς ισορροπίας Το a µπορεί να είναι µια απόσταση, µια γωνία ή κάποια περισσότερο σύνθετη µορφή συντεταγµένης Η συνθήκη ευσταθούς ισορροπίας απαιτεί για a = ελάχιστη τιµή της δυναµικής ενέργειας και µηδενισµό της δύναµης (αν το a είναι απόσταση), ή ροπή (αν το a είναι γωνία) κλπ ηλαδή: du F ( a = ) = = (63) da a= Αναπτύσσοντας την U (a) σε σειρά aclaurin, έχουµε U 3 du d U d U = 3 da da 6 da (633) ( a) U + a + a + a 3 L όπου ο δείκτης αναφέρεται στη θέση a = Συνδυάζοντας τις δύο προηγούµενες εξισώσεις και αµελώντας τους όρους µε δυνάµεις του α µεγαλύτερες του, για µικρές µετατοπίσεις από τη θέση ισορροπίας, βρίσκουµε d U U ( a) = U + a da (634) και du d U F( a) = = a da da (635) Επειδή η συνθήκη ευσταθούς ισορροπίας είναι d U da βρίσκουµε την εξίσωση κίνησης του απλού αρµονικού ταλαντωτή: µε >, (636) d a d U d a = a da + ω a = (637) d U ω = (638) da Είναι δυνατόν, άρα, να χρησιµοποιήσουµε την απλή αρµονική ταλάντωση ως πρότυπη κίνηση για να περιγράψουµε γενικά τη συµπεριφορά ενός συστήµατος όταν εκτρέπεται ελαφρώς από µια θέση ευσταθούς ισορροπίας 64 Μέση κινητική και µέση δυναµική ενέργεια του αρµονικού ταλαντωτή Η χρονική µέση τιµή ενός µεγέθους K (t), στο χρονικό διάστηµα t = ως t = Τ ορίζεται: K = T T K () t (639) Για την περιοδικά επαναλαµβανόµενη κίνηση του αρµονικού ταλαντωτή η χρονική µέση τιµή για µια περίοδο θα είναι ίδια µε τη µέση τιµή για πολλές περιόδους Με µετατόπιση x = Asin ( ω t + φ ) και περίοδο T = π / ω, η µέση τιµή της κινητικής του ενέργειας ως προς τον χρόνο είναι 5

K = T π / ω x& cos ( ω t + = ω A T π / ω και µετά την ολοκλήρωση (βλ Μαθηµατικό Συµπλήρωµα Μ6 ): Η δυναµική ενέργεια (µε φ = ) είναι: Επειδή K φ) (64) = ω A (64) 4 = x = A sin ω t (64) U ω = /, προκύπτει: U A = ω A ηλαδή, για τον απλό αρµονικό ταλαντωτή είναι Η ολική ενέργεια του απλού αρµονικού ταλαντωτή θα είναι: = (643) 4 4 U = K (644) E = K + U = ω A (645) Η ολική ενέργεια, όπως αναµένεται, είναι σταθερή, δηλαδή ισχύει: E = E (646) 65 Τριβή Για να λάβουµε υπόψη την παρουσία τριβής κατά την κίνηση του ταλαντωτή, µια προσέγγιση είναι να θεωρήσουµε τη δράση µιας δύναµης τριβής η οποία είναι ανάλογη της ταχύτητας του ταλαντωτή Αν υποθέσουµε ότι µια τέτοια δύναµη τριβής είναι η µόνη δύναµη του προβλήµατος, τότε d x dx = Fτρ = b = bx& (647) όπου b είναι µια θετική σταθερά που ονοµάζεται συντελεστής απόσβεσης Το αρνητικό πρόσηµο εκφράζει το γεγονός ότι η τριβή είναι δύναµη µε κατεύθυνση πάντοτε αντίθετη προς την ταχύτητα Ορίζοντας τον χρόνο αποκατάστασης τ, ως θα έχουµε Για την ταχύτητα θα ισχύει η λύση της οποίας είναι: τ = (648) b d x dx + = (649) τ υ& + υ =, (65) τ υ t / τ ( t) υ e = (65) όπου υ η είναι η ταχύτητα για t = Έχουµε, δηλαδή, µείωση της ταχύτητας µε σταθερά χρόνου τ Για την κινητική ενέργεια έχουµε: 53

t / τ / τ υ = υ t e = Ke K = (65) όπου K είναι η κινητική ενέργεια για t = Παραγωγίζοντας την εξίσωση αυτή βρίσκουµε: K& = K (653) τ Από τις δύο τελευταίες εξισώσεις φαίνεται ότι ο χρόνος αποκατάστασης για την κινητική ενέργεια είναι ο µισός εκείνου για την ταχύτητα Η δύναµη απόσβεσης ανάλογη της ταχύτητας µπορεί να εκφράσει ικανοποιητικά την τριβή σε συγκεκριµένα πραγµατικά προβλήµατα (βλ Μηχανική) 66 Αρµονικός ταλαντωτής µε απόσβεση Αν στην κίνηση του ταλαντωτή συµπεριλάβουµε και µια δύναµη απόσβεσης ανάλογη της ταχύτητας, τότε η εξίσωση κίνησης είναι & x + bx& + x = (654) Έχουµε και τώρα µια γραµµική εξίσωση η οποία µπορεί να γραφεί και µε µορφή: όπου & x + x + ω x = τ & (655) = τ b, ω = (656) (Για τη λύση αυτής της εξίσωσης συµβουλευθείτε το Μαθηµατικό Συµπλήρωµα Μ ) Από τη σχέση των δύο µεγεθών: ω, της γωνιακής συχνότητας του ταλαντωτή χωρίς απόσβεση (ιδιοσυχνότητα του αρµονικού ταλαντωτή) και τ, του χρόνου αποκατάστασης, που χαρακτηρίζει την απόσβεση καθορίζεται η µορφή της λύσης και το είδος της κίνησης Αν ω / τ τότε η κίνηση δεν είναι ταλαντωτική (έχουµε κίνηση µε κρίσιµη απόσβεση ή υπεραποσβεση) Αν ω > / τ τότε η λύση έχει τη µορφή: x = x e t / τ sin ω t ω τ t / τ ή x = x e sin( ωt + φ ) όπου + φ (657) (658) ω = ω = ω (659) τ ωτ Η κίνηση αυτή είναι αποσβεννόµενη ταλάντωση µε γωνιακή συχνότητα ω > ω Αν ω τ >>, τότε έχουµε λύση της µορφής: t / τ ( ω t + φ ) x xe sin (66) 54

Η κίνηση αυτή χαρακτηρίζεται ως ταλάντωση µε ασθενή απόσβεση και είναι, κατά προσέγγιση, ταλάντωση µε τη γωνιακή συχνότητα του ταλαντωτή χωρίς απόσβεση, ω, και µε πλάτος που ελαττώνεται εκθετικά µε σταθερά χρόνου τ 67 Συντελεστής ποιότητας Q Ο συντελεστής ποιότητας ή Q ενός ταλαντούµενου συστήµατος ορίζεται ως: αποθηκευµένη ενέργεια πe E Q = π = = (66) απώλεια ενέργειας σε µια περίοδο P / f P / ω όπου έχει χρησιµοποιηθεί το ότι π f = ω Αποτελεί µέτρο της απόσβεσης του ταλαντούµενου συστήµατος Για έναν ταλαντωτή µε ασθενή απόσβεση ( ω τ >> ), έχουµε E Q ωτ (66) E / ωτ 68 Εξαναγκασµένος αρµονικός ταλαντωτής Αν, εκτός από την τριβή, στον ταλαντωτή ασκείται και µια εξωτερική δύναµη F(t), τότε η εξίσωση κίνησης είναι & x&+ bx& + x = F(t) (663) ή & F( t) x + x + ω x = τ & (664) Εδώ ω είναι η γωνιακή ή κυκλική συχνότητα του συστήµατος χωρίς απόσβεση και χωρίς τη διεγείρουσα δύναµη Υποθέτουµε ότι η διεγείρουσα είναι ηµιτονική µε κυκλική συχνότητα ω, γενικά διαφορετική από την ω : Τότε έχουµε () t F sinωt = a sinωt F F, a (665) & x + x& + ω x = α sinωt (666) τ Για τη λύση αυτής της εξίσωσης συµβουλευθείτε: Μηχανική Κεφ 7 και το Μαθηµατικό Συµπλήρωµα Μ Σε µόνιµη κατάσταση (δηλαδή στην κατάσταση που επικρατεί µετά την εξάλειψη κάθε µεταβατικού φαινοµένου) η απόκριση του συστήµατος έχει τη συχνότητα της διεγείρουσας δύναµης, ονοµαζόµενη διεγείρουσα συχνότητα Θεωρώντας ως απόκριση τη µετατόπιση x, για τη µόνιµη κατάσταση έχουµε ένα εξαναγκασµένο αρµονικό ταλαντωτή µε απόκριση Το πλάτος της κίνησης είναι ( ω + φ ) x = x sin t (667) x = (668) ( ω ω ) + ( ω /τ ) Η γωνία φ εκφράζει τη διαφορά φάσης µεταξύ της µετατόπισης του ταλαντωτή και της διεγείρουσας δύναµης, και είναι sinφ ω / τ tanφ = = (669) cosφ ω ω a 55

Υποθέτοντας ότι έχουµε πάντα ασθενή απόσβεση ( ω τ >> ) µπορούµε να διακρίνουµε ορισµένες οριακές περιπτώσεις: Χαµηλή διεγείρουσα συχνότητα ω << ω Τότε, για χαµηλές συχνότητες, cosφ sinφ και φ (67) ηλαδή, η απόκριση είναι σε φάση µε τη διεγείρουσα δύναµη και προκύπτει ότι a a F = (67) ω x = Τότε το ελατήριο και όχι η µάζα ρυθµίζει την αποκριση Απόκριση στο συντονισµό ω = ω Έχουµε: οπότε για το πλάτος προκύπτει: Αν F είναι σταθερό, τότε Η µέγιστη απόκριση συµβαίνει όταν cosφ sinφ και ω a τ π φ (67) x = (673) ω x ( ω = ω ) α τ / ω = = ωτ = Q (674) x ( ω = ) α / ω = ω, ω ω τ ω τ = (675) Υψηλή διεγείρουσα συχνότητα ω >> ω Εδώ έχουµε cosφ sinφ και φ π (676) και α α F x = = ω ω ω (677) ηλαδή, στις υψηλές συχνότητες, η απόκριση ελαττώνεται όπως το / ω Η αδράνεια της µάζας ρυθµίζει την απόκριση Η διαφορά φάσης φ της µετατόπισης x ως προς τη διεγείρουσα δύναµη F, ξεκινά από το µηδέν για χαµηλές συχνότητες, περνάει από την τιµή π / στο συντονισµό και φτάνει την τιµή π για υψηλές συχνότητες Η µετατόπιση πάντοτε υστερεί ως προς τη διεγείρουσα δύναµη Απορρόφηση ισχύος Η χρονική µέση τιµή του έργου που παράγεται ανά µονάδα χρόνου, δηλαδή η µέση ισχύς που η διεγείρουσα δύναµη αποδίδει στο ταλαντούµενο σύστηµα, εκφράζεται από τη σχέση ή aω P = F x& = sinωt cos t (678) ( ω ω ) + ( ω / τ ) ( ω + φ ) 56

αω P = sinφ (679) ( ω ω ) + ( ω / τ ) Στη σχέση αυτή φαίνεται ο σηµαντικός ρόλος της διαφοράς φάσης (ή φάσης) φ Η µέση ισχύς µπορεί ακόµη να εκφραστεί ως ω / τ a τ P = a = (68) ( ω ω ) + ( ω / τ ) ω ω + / ω τ Η απορρόφηση ισχύος γίνεται µέγιστη στο συντονισµό, για ω = ω, είναι P = α τ (68) συντ Στα διαγράµµατα της ισχύος P συναρτήσει της συχνότητας ω, το πλάτος της καµπύλης συντονισµού στο µισό της µέγιστης ισχύος, ( ω) /, είναι ίσο µε / τ οπότε µπορούµε να πάρουµε: ω Q = ωτ = (68) ( ω) / Στη σχέση αυτή φαίνεται ότι ο συντελεστής ποιότητας συντονισµού Q µετράει την οξύτητα του Προβλήµατα 6 Μάζα m, συνδεδεµένη στο άκρο ελατηρίου σταθεράς s, εκτελεί απλή αρµονική κίνηση χωρίς απώλειες Η κίνηση της µάζας δίνεται από τη σχέση x = Asinωt για τιµές του χρόνου µέχρι και t τ Για t > τ, εφαρµόζεται στον ταλαντωτή σταθερή δύναµη F προς τα θετικά x ( F > ) Τα A, s,ω, τ και F είναι γνωστά (α) Βρείτε την κίνηση του ταλαντωτή για t > τ (β) Βρείτε το πλάτος των ταλαντώσεων για t > τ 6 Σηµειακή µάζα m είναι συνδεδεµένη στο ελεύθερο άκρο ενός ελατηρίου σταθεράς s = mω Το άλλο άκρο του ελατηρίου είναι στερεωµένο σε ακίνητο σηµείο Η µάζα κινείται πάνω στον άξονα των x και υφίσταται δύναµη τριβής ίση µε r x& = mγx& Εξωτερική δύναµη ίση µε F = F cosωt ασκείται επίσης πάνω στη µάζα, στην κατεύθυνση x Υποθέτοντας ότι x( t) = Asinωt + B cosωt, στη µόνιµη κατάσταση, (α) Βρείτε τα A και B (β) είξετε ότι η µέση απορροφούµενη από τον ταλαντωτή ισχύς είναι P = ωf A Γιατί η κίνηση µε πλάτος το Β δεν επηρεάζει την ισχύ; (γ) είξετε ότι η µέση τιµή της ολικής ενέργειας του ταλαντωτή, για χρονικό διάστηµα µιας περιόδου, είναι ίση µε E = m( ω + ω )( A + B ) 4 63 Ένας απλός αρµονικός ταλαντωτής χωρίς απόσβεση, µε µάζα m, έχει γωνιακή συχνότητα συντονισµού ίση µε ω Τη στιγµή t =, και όταν η µετατόπιση του ταλαντωτή είναι ίση µε µηδέν και η ταχύτητά του ίση µε υ, ασκείται στον ταλαντωτή δύναµη ίση µε F = F cosωt, στην κατεύθυνση της θετικής µετατόπισής του (α) Επαληθεύσετε ότι η µετατόπιση του ταλαντωτή για t > δίνεται από τη σχέση F cosωt cosωt υ ( t) = + sinω t m ω ω ω x 57

(β) Υποθέτοντας ότι ω = ω + δω, δείξετε ότι η λύση καθώς δω και επιτυγχάνεται συντονισµός είναι: υ F x( t) = + t sinω t ω mω (Το ίδιο αποτέλεσµα µπορεί να βρεθεί εφαρµόζοντας τον κανόνα του L Hospital στον πρώτο όρο της λύσης, θεωρώντας την ω ως µια µεταβλητή της οποίας η τιµή τείνει στην ω ) 58