10. Παραγώγιση διανυσµάτων

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "10. Παραγώγιση διανυσµάτων"

Μίνως Παπαϊωάννου
7 χρόνια πριν
Προβολές:

1 Κ Χριστοδουλίδης: Μαθηµατικό Συµπλήρωµα για τα Εισαγωγικά Μαθήµατα Φυσικής Παραγώγιση διανυσµάτων 101 Παράγωγος διανυσµατικής συνάρτησης Αν οι συνιστώσες ενός διανύσµατος = είναι συνεχείς συναρτήσεις µιας ανεξάρτητης µεταβλητής έστω της t δηλαδή αν = = ( t) = ( t) τότε το όριο ( t t) = lim t 0 t (101) ορίζεται ως η παράγωγος του διανύσµατος ως προς t Συναρτήσει των Καρτεσιανών συνιστωσών του διανύσµατος είναι: = (10) Οµοίως ορίζονται και ανώτερες παράγωγοι: = = (103) κλπ Πρέπει να σηµειωθεί ότι τα µοναδιαία διανύσµατα στο Καρτεσιανό σύστηµα ( i j k ) ή ( ) είναι σταθερά διανύσµατα όχι µόνο στο µέτρο όπως όλα τα µοναδιαία διανύσµατα αλλά και σε κατεύθυνση Παράδειγµα 1 Να βρεθούν οι παράγωγοι του διανύσµατος ) 1 = ( 0 0 υ0t gt όλα τα άλλα µεγέθη είναι σταθερά Επίσης να βρεθούν οι τιµές τους για t = 0 Για t = 0 είναι: Παράδειγµα 1 = & = ( 0 0 ) ( υ0t ) ( ) 0 gt = υ gt & = = & = ( υ 0 ) ( gt) = g 0) = ( 0 0 & 0) =υ ( 0 & ( 0) = g Να βρεθεί η παράγωγος ως προς το χρόνο του εσωτερικού γινοµένου f (t) = A B Αν είναι A( t δ t) = A δ A και B( t δ t) = B δ B τότε δ f = f ( t δ t) f = ( A δ A) ( B δ B) A B = A δ B B δ A δ A δ B και δ ( A B) δ f δ B δ A δ A δ B = = A B δ t δ t δ t δ t δ t ( A B) B A Στο όριο δ t 0 έχουµε: = A B ως προς t αν

2 5 Κ Χριστοδουλίδης: Μαθηµατικό Συµπλήρωµα για τα Εισαγωγικά Μαθήµατα Φυσικής 10 Κανόνες παραγώγισης διανυσµάτων Αν τα A B και C είναι παραγωγίσιµες διανυσµατικές συναρτήσεις του t και η παραγωγίσιµη συνάρτηση του t τότε οι ακόλουθες σχέσεις µπορούν να αποδειχθούν: 3 1 A B f A ( A B) = ( f A) = A f A B A B ( A B) = B A 4 ( A B) = B A A B C 5 ( A B C) = B C A C A B [ ] ( ) = A B C A B C B C A C A B 6 ( ) f είναι Ακριβώς αντίστοιχοι κανόνες παραγώγισης ισχύουν και για τις µερικές παραγώγους των διανυσµατικών συναρτήσεων που είναι συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Για παράδειγµα αν οι A και B είναι συναρτήσεις των και είναι: A B ( A B) = B A (105) Τα διαφορικά διανυσµατικών παραστάσεων ευρίσκονται όπως αυτά των βαθµωτών: 1 Αν A = A A A τότε A = A A A ( A B) = A B A B 3 ( A B) = A B A B (106) 4 Αν A A A A A = ( ) τότε A = 103 ιανυσµατικές παράγωγοι στη Μηχανική Αν ( ) είναι οι συντεταγµένες ενός κινούµενου σηµείου Ρ και t ο χρόνος τότε το σηµείο Ρ έχει: διάνυσµα θέσης (107) διανυσµατική ταχύτητα v = (108) επιτάχυνση v a = = (109) Το διάνυσµα θέσης είναι ένα δέσµιο διάνυσµα που έχει την αρχή του στην αρχή των αξόνων Καθώς ο χρόνος µεταβάλλεται η κορυφή του διανύσµατος θέσης κινείται µαζί µε το κινούµενο σηµείο Ρ και διαγράφει µια καµπύλη στον χώρο την τροχιά του σηµείου Ρ Μπορεί να αποδειχθεί γεωµετρικά ότι το διάνυσµα της ταχύτητας v είναι εφαπτοµενικό της τροχιάς σε κάθε της σηµείο Αξίζει εδώ να αναφερθεί ότι ο δεύτερος νόµος του Νεύτωνα για την κίνηση ενός σώµατος µε σταθερή µάζα m διατυπώνεται διανυσµατικά στις ακόλουθες ισοδύναµες µορφές:

3 Κ Χριστοδουλίδης: Μαθηµατικό Συµπλήρωµα για τα Εισαγωγικά Μαθήµατα Φυσικής 53 v F = ma = m (1010) όπου είναι το διάνυσµα θέσης v η ταχύτητα και a η επιτάχυνση του σώµατος και F η εξωτερική δύναµη που ασκείται πάνω στο σώµα Για να συµπεριληφθεί και το ενδεχόµενο της µεταβολής της µάζας µε τον χρόνο ο νόµος διατυπώνεται στη γενικότερη µορφή p F = (1011) όπου p m v είναι η ορµή του σώµατος Η διαφορική εξίσωση που προκύπτει όταν µια συγκεκριµένη συνάρτηση αντικατασταθεί για τη δύναµη F ονοµάζεται εξίσωση κίνησης του σώµατος Η F µπορεί να είναι σταθερή ή συνάρτηση της θέσης του χρόνου ή ακόµη και της ταχύτητας του σώµατος Πρέπει να έχουµε πάντοτε υπόψη µας ότι κάθε µια από τις διανυσµατικές αυτές εξισώσεις εµπεριέχει τρεις εξισώσεις µία για κάθε συνιστώσα Έτσι επειδή = v = υ υ υ a = a a a p = p p p και F = F F F οι διανυσµατικές αυτές εξισώσεις µπορούν να αναλυθούν ως εξής: v m a = F p = F υ ma = F υ ma = F υ ma = F F F F p = F p = F p = F Παράδειγµα 3 Ποια είναι η φυσική σηµασία των αποτελεσµάτων του Παραδείγµατος 1 αν το ) 1 = ( 0 0 υ0t gt είναι το διάνυσµα θέσης µιας σηµειακής µάζας και t ο χρόνος; Η ταχύτητα της µάζας είναι: Η επιτάχυνσή της είναι: = & = υ 0 gt & = = & = g Οι αρχικές τιµές των τριών διανυσµάτων είναι: ( 0) = 0 0 & ( 0) =υ0 & ( 0) = g Το (t) δίνει εποµένως τη θέση της σηµειακής µάζας η οποία κινείται µε σταθερή επιτάχυνση & = g και η οποία αρχικά βρίσκεται στο σηµείο ( 0) = 0 0 ˆ και έχει αρχική ταχύτητα & 0) =υ ( 0

4 54 Κ Χριστοδουλίδης: Μαθηµατικό Συµπλήρωµα για τα Εισαγωγικά Μαθήµατα Φυσικής Παράδειγµα 4 Να δειχθεί ότι η κινητική ενέργεια ενός φορτισµένου σώµατος που κινείται µέσα σε µαγνητικό πεδίο παραµένει σταθερή Αν το σώµα έχει φορτίο ίσο µε Q και κινείται µε ταχύτητα v µέσα σε µαγνητικό πεδίο B η δύναµη που ασκείται πάνω του είναι F = Q v B Η κινητική ενέργεια του σώµατος είναι = M = M v v 1 1 υ K Παραγωγίζοντας ως προς το χρόνο έχουµε K v v v = 1 1 M ( v v M v v = M v ) = v Όµως M = F = Q v B K v Εποµένως = M v = v ( Q v B) = 0 και η κινητική ενέργεια του σώµατος παραµένει σταθερή Προβλήµατα t 1 Αν = (3 t) cos t e να βρεθούν τα = & & και = = & καθώς και οι αρχικές τιµές ( t = 0 ) (0) & (0) και & & (0) των τριών διανυσµάτων είξτε ότι η µάζα m της οποίας το διάνυσµα θέσης είναι ( t ) = ( a b) ct gt κινείται κάτω από την επίδραση µιας σταθερής δύναµης 3 Αν οι συνιστώσες µιας σηµειακής µάζας m είναι όπου t είναι ο χρόνος και τα = 3 a sinωt = 4a sinωt = 5a cosωt a και ω είναι θετικές σταθερές (α) Να βρεθούν: το διάνυσµα θέσης η ταχύτητα και η επιτάχυνση της µάζας (β) Να βρεθούν τα µέτρα των τριών διανυσµάτων του (α) (γ) Να βρεθεί η δύναµη που ασκείται πάνω στη µάζα είξτε ότι είναι της µορφής F = f () ˆ όπου f () είναι µια συνάρτηση µόνο της απόστασης από το κέντρο (000) και ˆ είναι το µοναδιαίο διάνυσµα στην κατεύθυνση του (t) Μια τέτοια δύναµη ονοµάζεται κεντρική (δ) είξτε ότι η µάζα κινείται πάνω σε ένα σταθερό επίπεδο και ότι η τροχιά της είναι κύκλος µε κέντρο το σηµείο (000) και ακτίνα ίση µε 5a Σχεδιάστε την τροχιά στο χώρο (ε) είξτε ότι η στροφορµή της µάζας L m v ως προς το σηµείο (000) (όπου v είναι η ταχύτητα της µάζας) είναι σταθερή και ίση µε L 0 15) ( 3 = ma ω ( = maυ 4 ) 5 5 ή L = maυ Lˆ Αυτή είναι ιδιότητα όλων των σωµάτων που κινούνται κάτω από την επίδραση κεντρικής δύναµης 4 Η στροφορµή ως προς το σηµείο (000) µιας µάζας m που βρίσκεται στο σηµείο και κινείται µε ταχύτητα v ορίζεται ως L m v Έστω ότι η µάζα υφίσταται µια κεντρική δύναµη δηλαδή µια δύναµη της µορφής F = f () ˆ όπου f () είναι µια συνάρτηση µόνο της απόστασης από το κέντρο (000) και ˆ το µοναδιαίο διάνυσµα στην κατεύθυνση του (t)

5 Κ Χριστοδουλίδης: Μαθηµατικό Συµπλήρωµα για τα Εισαγωγικά Μαθήµατα Φυσικής 55 είξτε ότι η στροφορµή της µάζας διατηρείται σταθερή [Υπόδειξη: είξτε ότι ο ρυθµός µεταβολής της στροφορµής ως προς το χρόνο είναι L / = 0 Για το σκοπό αυτό χρησιµοποιήστε το δεύτερο νόµο του Νεύτωνα m v / = F Η απόδειξη µπορεί να βρεθεί στο βιβλίο C Kittel κά Μηχανική ] 5 Η στροφορµή L ενός σώµατος ορίζεται όπως στο προηγούµενο πρόβληµα Αν η δύναµη που ασκείται πάνω στο σώµα είναι F L δείξτε ότι είναι = N όπου N = F είναι η ροπή της δύναµης ως προς το ίδιο σηµείο ως προς το οποίο υπολογίζεται και η στροφορµή Βιβλιογραφία C Kittel W D Knight M A Rueman A C Helmhol και B J Moe Μηχανική Πανεπιστηµιακές Εκδόσεις ΕΜΠ Αθήνα 1998 Κεφ 3 Ι S Sokolnikoff και R M Reheffe Μαθηµατικά για Φυσικούς και Μηχανικούς Πανεπιστηµιακές Εκδόσεις ΕΜΠ Αθήνα 001 Κεφ 4 M R Spiegel Ανώτερα Μαθηµατικά Εκδόσεις ΕΣΠΙ Αθήνα 198 Κεφ 7 M R Spiegel Theo an Poblems of Vecto Analsis Schaum Publishing Co 1959 κε

Σχετικά έγγραφα

1. Κινηµατική. x dt (1.1) η ταχύτητα είναι. και η επιτάχυνση ax = lim = =. (1.2) Ο δεύτερος νόµος του Νεύτωνα παίρνει τη µορφή: (1.

1. Κινηµατική. x dt (1.1) η ταχύτητα είναι. και η επιτάχυνση ax = lim = =. (1.2) Ο δεύτερος νόµος του Νεύτωνα παίρνει τη µορφή: (1. 1. Κινηµατική Βιβλιογραφία C. Kittel W. D. Knight M. A. Rueman A. C. Helmholz και B. J. Moe Μηχανική. Πανεπιστηµιακές Εκδόσεις Ε.Μ.Π. 1998. Κεφ.. {Μαθηµατικό Συµπλήρωµα Μ1 Παράγωγος} {Μαθηµατικό Συµπλήρωµα