ΚΕΦΑΛΑΙΟ Συμβολή κυμάτων Στα παρακάτω προβλήματα να θεωρείτε ότι το πλάτος των κυμάτων που συμβάλλουν δεν αλλάζει 5 Σε δύο σημεία Π 1 της ήρεμης επιφάνειας ενός υγρού δημιουργούνται δύο σύγχρονες πηγές, που κάνουν αρμονικές ταλαντώσεις περιόδου Τ=0,4 s και πλάτους Α=1 cm, χωρίς αρχική φάση Ένα μικρό κομμάτι φελλού τοποθετείται σε σημείο Κ της επιφάνειας του υγρού και απέχει από τα Π 1, αντίστοιχα r 1 =14 cm και r =6 cm Αν η ταχύτητα διάδοσης των εγκάρσιων κυμάτων που σχηματίζονται στην επιφάνεια του υγρού είναι υ=10 cm/s, να βρεθεί η εξίσωση κίνησης y=f(t) του σημείου Κ σε συνάρτηση με το χρόνο, όταν το σημείο αυτό κάνει σύνθετη κίνηση 53 Σε δύο σημεία Π 1 στην επιφάνεια υγρού υπάρχουν δύο σύγχρονες πηγές παραγωγής κυμάτων, που ταλαντώνονται βάσει της εξίσωσης: y=1,5ημ(10πt) (y σε cm και t σε s) Ένα μικρό κομμάτι φελλού βρίσκεται σ ένα σημείο Μ της επιφάνειας του υγρού που απέχει d 1 =16 cm και d =4 cm αντίστοιχα από τις πηγές Π 1 Η ταχύτητα διάδοσης των κυμάτων είναι υ=0,4 m/s α Να γράψετε την εξίσωση απομάκρυνσης - χρόνου για τον φελλό, όταν κάνει σύνθετη κίνηση β Να υπολογίσετε την απομάκρυνση του φελλού από τη θέση ισορροπίας του, τις στιγμές 0,s, 0,5 s και 1, s γ Πόση είναι η μέγιστη ταχύτητα ταλάντωσης του φελλού όταν εκτελεί τη σύνθετη κίνησή του; δ Ποια είναι η ελάχιστη συχνότητα f των πηγών ώστε ο φελλός να ηρεμεί; 54 Πηγή αρμονικών κυμάτων βρίσκεται στο σημείο Π επιφάνειας υγρού Σε απόσταση L είναι το σημείο Δ που φτάνουν δύο αρμονικά κύματα, το ένα απευθείας και το δεύτερο έπειτα από ανάκλαση στον ανακλαστήρα Κ, όπως φαίνεται στο σχήμα Ο ανακλαστήρας είναι παράλληλος προς την ΠΔ και απέχει απόσταση Η από αυτή Τότε το σημείο Δ ηρεμεί Απομακρύνουμε τον ανακλαστήρα Κ παράλληλα προς τον εαυτό του και διαπιστώνουμε ότι το Δ αρχίζει να ταλαντώνεται με μέγιστο πλάτος για 1η φορά, όταν το κάτοπτρο απέχει από την προηγούμενη θέση h Αν είναι γνωστές οι αποστάσεις Η=30 cm, h=10 cm και L=40 cm, να βρείτε το μήκος κύματος λ ( 1,4 ) 55 Δύο πηγές Π 1 επιφάνεια υγρού βάσει της εξίσωσης: y= ημ8πt (y σε cm, t σε s) Ένα σημείο Μ της επιφάνειας του υγρού αρχίζει να ταλαντώνεται τη στιγμή t 1 =0,5s, λόγω του κύματος από την πηγή Π 1 Τη στιγμή t =0,75 s φτάνει στο Μ και το κύμα από την πηγή α Να βρείτε το πλάτος ταλάντωσης του Μ όταν εκτελεί τη σύνθετη κίνησή του β Να βρείτε την απομάκρυνση του σημείου Μ από τη θέση ισορροπίας του τη στιγμή 3/8 s γ Πόση είναι η μέγιστη επιτάχυνση ταλάντωσης του Μ όταν εκτελεί τη σύνθετη κίνησή του; δ Ποια στιγμή το σημείο Μ θα βρεθεί στη θέση ισορροπίας του για η φορά μετά από τη στιγμή που αρχίζει η σύνθετη κίνηση; ε Πόσο είναι το μέτρο της ταχύτητας του Μ, όταν εκτελεί σύνθετη κίνηση και περνά από την απομάκρυνση 1 cm; 56 Σε δύο σημεία Π 1, της ήρεμης επιφάνειας ενός υγρού, από δύο σύγχρονες πηγές δημιουργούνται αρμονικές ταλαντώσεις της μορφής y=a ημ(0πt) SI Για το σημείο Κ της επιφάνειας του υγρού που 98
Στάσιμα κύματα ΚΕΦΑΛΑΙΟ ηρεμεί, ισχύει: r! - r =100 cm Για το σημείο Λ που ταλαντώνεται με μέγιστο πλάτος, ισχύει: d 1 - d =11 cm Μεταξύ των σημείων Κ και Λ υπάρχουν τρεις υπερβολές απόσβεσης 59 Σε δύο σημεία Π 1 της ήρεμης επιφάνειας ενός υγρού, δημιουργούνται δύο σύγχρονες πηγές, που αρχίζουν να κάνουν αρμονικές ταλαντώσεις τη στιγμή t=0, χωρις αρχική φάση Τα κύματα που παράγονται από τις πηγές διαδίδονται με ταχύτητα m/s και έχουν περιόδο Τ=0, s και πλάτος Α= cm Ένα μικρό κομμάτι φελλού τοποθετείται σε σημείο Μ της επιφάνειας του υγρού και στο σχήμα φαίνεται το διάγραμμα απομάκρυνσης - χρόνου για το φελλό Να βρείτε την τιμή της ταχύτητας διάδοσης υ των κυμάτων που συμβάλλουν Αν είναι K 1 και Λ 1 τα σημεία τομής των υπερβολών που ανήκουν τα σημεία Κ και Λ αντίστοιχα με την Π 1, να βρείτε την απόσταση (Κ 1 Λ 1 ) 57 Δύο πηγές Π 1 επιφάνεια υγρού βάσει των εξισώσεων: = ημ(πt+π) και y = ημ(πt) (, y σε cm, t σε s) Τα κύματα που παράγονται διαδίδονται στην επιφάνεια του υγρού με ταχύτητα υ=1 m/s Ένα σημείο Μ της επιφάνειας του υγρού απέχει d 1 =4,5 m από την πηγή Π 1 και d =4 m από την πηγή Να βρείτε: α τη συχνότητα f και το μήκος κύματος λ των παραγομένων κυμάτων β το πλάτος ταλάντωσης του Μ όταν εκτελεί τη σύνθετη κίνησή του α Να υπολογίσετε τις αποστάσεις του φελλού από τις πηγές β Να βρείτε το μέτρο της ταχύτητας ταλάντωσης του φελλού όταν είναι σε απομάκρυνση 3 cm γ Να κάνετε το διάγραμμα ταχύτητας - χρόνου για το σημείο Μ δ Nα βρείτε την ελάχιστη συχνότητα των πηγών ώστε ο φελλός να ηρεμεί 60 Σε δύο σημεία Π 1 που απέχουν 50 cm, ελαστικής επιφάνειας δημιουργούνται δύο σύγχρονες πηγές, που αρχίζουν να κάνουν αρμονικές ταλαντώσεις πλάτους 4 cm Τα κύματα που παράγονται από τις πηγές διαδίδονται στο μέσο με ταχύτητα m/s Το σημείο Ν ανήκει στην η υπερβολή ενίσχυσης αριστερά της μεσοκαθέτου του ευθυγράμμου τμήματος Π 1 58 Δύο πηγές Π 1 επιφάνεια υγρού βάσει των εξισώσεων: =3 ημ(8πt) και y =4 ημ(8πt) (, y σε cm, t σε s) Τα κύματα που παράγονται διαδίδονται με ταχύτητα υ=4 m/s Έν α σημείο Μ της επιφάνειας του υγρού απέχει r 1 =6 m από την πηγή Π 1 και r =5,75 m από την πηγή α Να βρείτε τη συχνότητα f και το μήκος κύματος λ των παραγομένων κυμάτων β Να γράψετε τις εξισώσεις y-t για την ταλάντωση που κάνει το Μ από κάθε κύμα χωριστά και να υπολογίσετε το πλάτος ταλάντωσής του όταν εκτελεί τη σύνθετη κίνησή του α Να βρείτε τη συχνότητα των πηγών και να γράψετε την εξίσωση ταχύτητας - χρόνου για 99
ΚΕΦΑΛΑΙΟ Συμβολή κυμάτων τη σύνθετη ταλάντωση του σημείου Ν β Αν το σημείο Ρ ανήκει στην 3η υπερβολή απόσβεσης δεξιά της μεσοκαθέτου του ευθυγράμμου τμήματος Π 1, να υπολογίσετε πόσες υπερβολές ενίσχυσης υπάρχουν ανάμεσα στα σημεία Ν και Ρ γ Πόσα σημεία πάνω στο ευθύγραμμο τμήμα Π 1 είναι ακίνητα; δ Αν είναι Ν 1 και Ρ 1 τα σημεία τομής των υπερβολών που ανήκουν τα σημεία Ν και Ρ αντίστοιχα με την Π 1, να βρείτε την απόσταση (Ν 1 Ρ 1 ) 61 Δύο πηγές Π 1 επιφάνεια υγρού βάσει των εξίσωσης: y= ημ(πt) (y σε cm, t σε s) Τα κύματα που παράγονται διαδίδονται στην επιφάνεια του υγρού με ταχύτητα υ=1 m/s Σε ένα σημείο Μ της επιφάνειας του υγρού τα κύματα φτάνουν με διαφορά φάσης 3π Δφ = rad α Να βρείτε το μήκος κύματος των κυμάτων που συμβάλλουν και το πλάτος ταλάντωσης του σημείου Μ β Την ελάχιστη συχνότητα των πηγών ώστε το σημείο Μ να ταλαντώνεται με μέγιστο πλάτος 6 Σε τρεις χορδές μπορούν να δημιουργηθούν τα στάσιμα κύματα που περιγράφονται από τις παρακάτω εξισώσεις: = συν(πx) ημ(πt), y =4 συν(πx) ημ(πt) y 3 = συν πx ημ πt Τα y,x μετρημένα σε cm και ο χρόνος t σε s Να συγκρίνετε: α τις ταχύτητες διάδοσης των τρεχόντων κυμάτων που συμβάλλουν, β την απόσταση μεταξύ δύο διαδοχικών κοιλιών, γ την μέγιστη ταχύτητα V max των κοιλιών, για τα τρία αυτά κύματα Να θεωρήσετε αρχή συντεταγμένων το σημείο Ο, μέσο της απόστασης των πηγών, και t=0 τη χρονική στιγμή που συναντώνται τα κύματα στο Ο α Να γράψετε τις εξισώσεις των κυμάτων που συμβάλλουν β Να γράψετε την εξίσωση του στάσιμου κύματος, που δημιουργείται γ Ποιος είναι ο αριθμός των δεσμών και των κοιλιών που σχηματίζονται πάνω στο ευθύγραμμο τμήμα ΚΛ; 64 Πηγή Π αρμονικών κυμάτων συχνότητας f=830 Ηz βρίσκεται απέναντι από κατακόρυφο ανένδ οτο τοίχωμα πολύ μεγάλων διαστάσεων Κύμα προερχόμενο από την πηγή διαδίδεται στον αέρα, πέφτει κάθετα πάνω στο τοίχωμα και ανακλώμενο σχηματίζει στάσιμα κύματα μπροστά από αυτό Αν η απόσταση του σημείου της ανάκλασης και της 5ης κοιλίας πριν το τοίχωμα, είναι x=7 cm, να βρείτε την ταχύτητα διάδοσης του κύματος στον αέρα 65 Σε ένα στάσιμο κύμα δύο μόρια Σ και Ρ του ελαστικού μέσου απέχουν από τον ίδιο δεσμό Δ αποστάσεις λ/1 και λ/6 αντίστοιχα α Ποια είναι η διαφορά φάσης των σημείων; β Πόσο είναι το πλάτος ταλάντωσης κάθε σημείου, αν τα τρέχοντα κύματα που συμβάλλουν έχουν πλάτος 3 cm; γ Να βρείτε τον λόγο: Σ,max Ρ,max 66 Στο σχήμα φαίνεται το στιγμιότυπο στάσιμου κύματος τη στιγμή t 1 =0,5 s, στην οποία τα σημεία του μέσου είναι σε ακραία θέση Δίνεται η περίοδος Τ=s α α 63 Δύο εγκάρσια κύματα με ίδια μήκος κύματος λ=4 cm, συχνότητα f= Ηz και πλάτος Α= cm, διαδίδονται κατά μήκος του άξονα x x με αντίθετες φορές και συμβάλλουν Τα κύματα ξεκίνησαν την ίδια στιγμή από δύο σημεία Κ και Λ που απέχουν μεταξύ τους απόσταση d = 50 cm α Υπάρχουν οι προϋποθέσεις για να 100
Στάσιμα κύματα ΚΕΦΑΛΑΙΟ χρησιμοποιήσουμε τις σχέσεις που μάθαμε τη θεωρία; Να γράψετε τις εξισώσεις των τρεχόντων κυμάτων που συμβάλουν καθώς και την εξίσωση του στάσιμου κύματος β Να κάνετε τα στιγμιότυπα του στάσιμου κύματος, τις στιγμές t =t 1 +0,5 s και t 3 =t 1 +1s γ Να γράψετε τις εξισώσεις y=f(t) και V=f(t) για τα σημεία K και Λ που βρίσκονται στις θέσεις x Κ =3 cm και x Λ =9 cm αντίστοιχα δ Ποια είναι η ελάχιστη και ποια η μέγιστη απόσταση διαδοχικών δεσμού - κοιλίας; 67 Τα άκρα Α και Β ομογενούς χορδής μήκους είναι σταθερά Στη χορδή δημιουργείται στάσιμο κύμα Δίνονται η ταχύτητα διάδοσης των τρεχόντων κυμάτων υ=10 m/s, το πλάτος τους Α= cm και η συχνότητά τους f=3 Hz α Να βρείτε το μήκος της χορδής β Για ποια συχνότητα θα σχηματιστεί στάσιμο κύμα με 7 δεσμούς στην ίδια χορδή; γ Να βρείτε το μέτρο της ταχύτητας μιας κοιλίας του πρώτου στάσιμου, όταν είναι σε απομάκρυνση y= cm 68 Σε γραμμικό ελαστικό μέσο δημιουργείται στάσιμο κύμα που έχει εξίσωση: y=8 συν πx ημ πt 6 6 x, y σε cm και t σε s Αν το ελαστικό μέσο έχει όρια από το σημείο Ο (x=0) μέχρι το σημείο Β (x=7 cm), να βρείτε: α το μέτρο της μέγιστης επιτάχυνσης των κοιλιών του μέσου β το μήκος κύματος και η ταχύτητα του τρέχοντος κύματος γ τον αριθμό των κοιλιών ανάμεσα στα σημεία Ο και Β δ Να γράψετε τις εξισώσεις των τρεχόντων κυμάτων από τα οποία με συμβολή προέκυψε το στάσιμο κύμα ε Για ποια τιμή της συχνότητας σχηματίζεται στάσιμο με 9 δεσμούς, αν τα σημεία Ο και Β διατηρούν την κινητική τους κατάσταση; 69 Σε μια χορδή διαδίδονται δύο αρμονικά κύματα με εξισώσεις: = x ημ π 40t 1 3 y = x ημ π 40t 3 και x, y σε cm και t σε s α Nα υπολογίσετε τα μεγέθη περίοδο Τ, μήκος κύματος λ, ταχύτητα διάδοσης υ β Να γράψετε την εξίσωση του στάσιμου κύματος που δημιουργείται γ Για ένα σημείο Λ του μέσου που είναι στη θέση x=1,5 cm, να βρείτε την εξίσωση της απομάκρυνσης από τη ΘΙ του και την μέγιστη επιτάχυνσή του δ Για το σημείο Λ του μέσου που είναι στη θέση x=1,5 cm, να βρείτε το μέτρο της ταχύτητάς του, όταν είναι σε απομάκρυνση 1 cm από τη ΘΙ του Ποιο είναι τότε το μέτρο της επιτάχυνσής του; ε Να βρείτε τις θέσεις που σχηματίζονται κοιλίες και σημεία που σχηματίζονται δεσμοί 70 Κατά μήκος ενός γραμμικού ελαστικού μέσου διαδίδεται κύμα που περιγράφεται από την εξίσωση: x y 1 = 4 ημπ 10t + 0 x,y σε cm, t σε s α Να βρείτε την περίοδο και το μήκος κύματος, καθώς και την ταχύτητα δ ιάδοσης του κύματος β Ποιά είναι η εξίσωση του αρμονικού κύματος που πρέπει να συμβάλει με το παραπάνω κύμα για να προκύψει στάσιμο κύμα; Να γράψετε την εξίσωση του στάσιμου κύματος που προκύπτει γ Πόση είναι η μέγιστη ενέργεια που μπορεί να έχει μιά στοιχειώδης μάζα του ελαστικού μέσου μάζας 1mg; δ Να κάνετε το στιγμιότυπο του στάσιμου κύματος τη στιγμή 0,55 s, από x=0 μέχρι τη θέση x=50 cm Δίνεται: π = 10 71 Σε ένα ελαστικό γραμμικό μέσο ταυτίζουμε άξονα Ox Το ένα άκρο Μ του μέσου παραμένει διαρκώς ακίνητο Ένας μηχανισμός αναγκάζει το άλλο άκρο του Ν να εκτελεί ταυτόχρονα δύο 101
ΚΕΦΑΛΑΙΟ Συμβολή κυμάτων ταλαντώσεις με εξισώσεις: y y1 ημ 10πt και π 3 ημ10πt y σε cm και t σε s Στη χορδή διαδίδεται αρμονικό κύμα και μετά από λίγο σχηματίζεται σ αυτή στάσιμο κύμα Διαπιστώνουμε ότι δύο σημεία που πάλλονται ως κοιλίες απέχουν 1,6 m, ενώ αναμεσά τους παρεμβάλλονται δύο δεσμοί α Ποια είναι η ταχύτητα διάδοσης των τρεχόντων κυμάτων στη χορδή; β Ποιο είναι το πλάτος ταλάντωσης ενός σωματιδίου Σ της χορδής που απέχει ελάχιστη απόσταση 0,1m, από ένα άλλο στοιχειώδες τμήμα της που παραμένει διαρκώς ακίνητο; γ Πόση είναι η ενέργεια του σωματιδίου Σ αν η μάζα του είναι 1g; 7 Στο σχήμα φαίνεται το στιγμιότυπο στάσιμου κύματος τη χρονική στιγμή t 1, στην οποία τo σημείo O (x=0) του μέσου, είναι σε θέση που ισχύει U=K Δίνεται η περίοδος Τ=s α Θεωρείστε ότι το σημείο Ο τη χρονική στιγμή t=0 ήταν στη θέση ισορροπίας του με θετική ταχύτητα Να γράψετε τις εξισώσεις των τρεχόντων κυμάτων που συμβάλουν καθώς και την εξίσωση του στάσιμου κύματος β Να κάνετε το στιγμιότυπο του στάσιμου κύματος, τη χρονική στιγμή t =t 1 +0,5 s γ Να γράψετε τις εξισώσεις y=f(t) και v=f(t) για τα σημεία K και Λ που βρίσκονται στις θέσεις x Κ =5 cm και x Λ =7 cm αντίστοιχα δ Tη χρονική στιγμή t 1 τα σημεία του μέσου από x=0 μέχρι x= cm έχουν δυναμική ενέργεια 0, J Nα βρείτε την ενέργεια όλων των σημείων του μέσου που απεικονίζεται στο σχήμα 73 Σε γραμμικό ομογενές ελαστικό μέσο, που εκτείνεται κατά τη διεύθυνση άξονα x Ox, διαδίδεται εγκάρσιο αρμονικό κύμα προς τη θετική φορά Όταν το κύμα φτάνει σε κάθε σημείο του μέσου, αυτό ξεκινά την αρμονική του ταλάντωση από τη θέση ισορροπίας του κιν ούμενο προς τη θετική φορά του κατακόρυφου άξονα y y Η ελάχιστη οριζόντια απόσταση δύο σημείων του μέσου, των οποίων οι ταλαντώσεις έχουν διαφορά φάσης π rad, είναι 0,4 m H διέλευση κάθε σημείου από τη θέση ισορροπίας του γίνεται 0 φορές σε s με ταχύτητα μέτρου π m/s α Να βρείτε το μήκος κύματος και την ταχύτητα διάδοσης του κύματος β Ένα δεύτερο πανομοιότυπο κύμα διαδίδεται στο ίδιο μέσο, προς την αρνητική φορά του άξονα x Ox Τα δύο κύματα συναντώνται τη χρονική στιγμή t=0 στην αρχή Ο (x=0) 1 Να γραφούν οι εξισώσεις των δύο αρμονικών κυμάτων Σε πόσο μήκος του ελαστικού μέσου έχει δημιουργηθεί στάσιμο κύμα τη χρονική στιγμή t 1 =0,5 s; 3 Πόσοι δεσμοί έχουν δημιουργηθεί στην περιοχή αυτή του στάσιμου κύματος; γ Να γίνει απεικόνηση του ελαστικού μέσου τη χρονική στιγμή t 1 =0,5 s; 10