4η Εργασία Ημερομηνία αποστολής 1/4/010 Άσκηση 1 Α ) Η Σελήνη περιφέρεται γύρω από τη Γη έτσι ώστε να στρέφει προς τη Γη πάντα το ίδιο ημισφαίριο. Υπολογίστε το λόγο της στροφορμής της Σελήνης λόγω ιδιοπεριστροφής (γύρω από τον άξονά της) ως προς την τροχιακή της στροφορμή. (Θεωρείστε στην τελευταία περίπτωση τη Σελήνη ως ένα σφαιρικό σώμα μάζας Μ Σ που 6 περιφέρεται γύρω από τη Γη). Δίνονται η ακτίνα της Σελήνης R Σ 1.74 10 m και η 8 απόσταση Γης-Σελήνης.84 10 m Η στροφορμή της Σελήνης λόγω ιδιοπεριστροφής είναι : MR ω spin I spinωspin 5 Σ Θεωρώντας ότι R Σ << r spin 8.84 10 m η στροφορμή της Σελήνης λόγω περιφοράς είναι : τροχ I τροχωτροχ MRτροχω τροχ Για να στρέφει προς τη Γη πάντα το ίδιο ημισφαίριο θα πρέπει ω ω spin τροχ 6 spin I ω spin R Σ Σ m 6 0.4 8.1 10 8 τροχ ω R τροχ m τροχ 1.74 10 ( MRτροχ ) 5.84 10 Β) Ένας ποδηλάτης για t0 ξεκινά από ηρεμία σε οριζόντια επιφάνεια και αποκτά επιτάχυνση 1 m/s. Με τι ταχύτητα θα κινείται ένα σημείο που βρίσκεται στο πάνω μέρος της περιφέρειας του τροχού του ποδηλάτου μετά από s, ως προς παρατηρητή που βρίσκεται στο έδαφος ; Δίνεται η διάμετρος του τροχού D68 cm. (Θεωρείστε ότι ο τροχός κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει). Ως προς το σύστημα αναφοράς του άξονα του τροχού, όλα τα σημεία του τροχού κινούνται με ταχύτητα ίδιου μέτρου υ r ω, όπου υ είναι η ταχύτητα του άξονα του τροχού σε σχέση με το έδαφος. Το πάνω μέρος του τροχού έχει ταχύτητα υ προς τα δεξιά σε σχέση με τον άξονα κι άρα έχει ταχύτητα υ προς τα δεξιά σε σχέση με το έδαφος 1
υ υ + υ υ+ υ υ πανω πανω κεντρο εδαφος κεντρο εδαφος υ υ υ + αt m s s m s πανω εδαφος ( ο ) (1 / ) 6 / Άσκηση Α) Εάν υποθέσουμε ότι ένας αστέρας μάζας 8 Μ και ακτίνας R που περιστρέφεται με ρυθμό 1 περιστροφή/1 ημέρες, καταρρέει σε έναν αστέρα νετρονίων ακτίνας 11 km, χάνοντας τα τρία τέταρτα της μάζας του, να υπολογίσετε τη συχνότητα περιστροφής του και τη γωνιακή ταχύτητα περιστροφής του. Υποθέστε ότι ο αστέρας είναι μία ομογενής σφαίρα σε όλα τα στάδια κατάρρευσης και ότι κατά την κατάρρευση του η στροφορμή δεν μεταβάλλεται. (Μ και R 6.96 10 5 km είναι η μάζα και η ακτίνα του Ήλιου αντίστοιχα). i) Αφού η στροφορμή δεν μεταβάλλεται, η στροφορμή της μάζας που απομένει Μ f 0.5 Μ i θα πρέπει να είναι η ίδια με την αρχική. if Iiωι I fωf 8 ω MR i i 8 ( 6.96 10 f I 5 M ) i m 10 1.601 10 4 ω ι I f M ( 0.5) 8M ( 1.1 10 m) fr f 5 10 10 1περ 9 ν f 1.601 10 νι 1.601 10 1.4 10 περ / ηµ (ή 15400 περιστροφές/sec 1ηµ 15400 Hz) rad 9 περ 4 Άρα ωf π 1.4 10 9.710 rad / sec περ 86400sec Β) Ένα yo-yo αποτελείται από δύο στερεούς κυλινδρικούς δίσκους μάζας M0.05 kg και διαμέτρου d0.075m (ο καθένας) ενωμένους με ένα λεπτό στερεό ομόκεντρο κύλινδρο μάζας m0.005 kg και διαμέτρου d0.010 m όπως στο σχήμα. Γύρω από τον λεπτό κύλινδρο τυλίγεται νήμα. α) Εάν το yo-yo αφήνεται από ηρεμία να υπολογίσετε την γραμμική ταχύτητά του όταν φτάνει στο τέλος του νήματός του μήκους 1 m. β) Ποιο μέρος της κινητικής ενέργειάς του είναι περιστροφική; (Η αντίσταση του αέρα θεωρείται αμελητέα, g9.8 m/s ). Οι δυνάμεις που ασκούνται στο yo-yo είναι το βάροςτουκαι η τάση από το νήμα. Εάν υποθέσουμε ότι η άκρη του νήματος είναι στερεωμένη, τότε η τάση δεν παράγει έργο κι
άρα η μηχανική ενέργεια διατηρείται. H αρχική δυναμική ενέργεια Ε δυν μετατρέπεται σε περιστροφική Ε περ και μεταφορική E κιν. Αφού το yo-yo κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει στο σημείο επαφής του με το σχοινί, η ταχύτητα του κέντρου μάζας ΚΜ συνδέεται με την γωνιακή ταχύτητα του υ ΚΜ rω όπου r είναι η ακτίνα του εσωτερικού συνδετικού κυλίνδρου. H ροπή αδρανείας του yo-yo θα είναι 1 1 1 I KM mr + MR mr + MR 1 5 ( 5 10 kg )( 5 10 m) ( 5 10 kg )(.75 10 m) 7.08 10 + kgm α) m m + M 510 kg + (510 kg) 0.105kg ολ 1 1 1 1 ΙΚΜ Eδυν Ε κιν +Επερ mo λ gh mολυκμ + Ι ΚΜω mολυκμ + υ ΚΜ r ( 0.105kg )( 9.8 m / s )( 1m) 1 1 ΙΚΜ mολ gh mολ + υ ΚΜ υκμ r 1 Ι 5 ΚΜ m 1 ( 7.0810 kgm ) ολ + r ( 0.105kg ) + ( 510 m) 0.84m/s 1 1 ΙΚΜ E E ΙΚΜω υκμ περ περ β) r ΙΚΜυΚΜ 0.96 96% Ε Ε m gh m gh r m gh oλ δυν oλ oλ oλ Άσκηση Σανίδα μάζας Μ8 kgr έχει τοποθετηθεί πάνω σε δύο ίδιους σωλήνες (πολύ μικρού πάχους) ακτίνας R και μάζας m kgr. Αρχικά το σύστημα ακινητεί. Μία οριζόντια δύναμη F40 N εφαρμόζεται στη σανίδα και οι σωλήνες κυλίονται χωρίς να ολισθαίνουν (Ι ΚΜ mr ). Όταν η σανίδα μετατοπιστεί κατά sm ως προς το έδαφος να υπολογίσετε: α) την ταχύτητα της σανίδας β) την επιτάχυνση της σανίδας γ) την τριβή μεταξύ σανίδας και σωλήνων δ) την τριβή μεταξύ σωλήνων και δαπέδου Έστω υ η ταχύτητα της σανίδας, υ κμ η ταχύτητα του κέντρου μάζας κάθε σωλήνα και ω η γωνιακή
ταχύτητα κάθε σωλήνα. Όταν ένα σώμα κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει πάνω σε μία επιφάνεια το σημείο επαφής με την επιφάνεια έχει σε κάθε χρονική στιγμή την ίδια ταχύτητα με την επιφάνεια. Άρα το πάνω σημείο του κάθε σωλήνα-που κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει-έχει διπλάσια ταχύτητα από την ταχύτητα του ΚΜ του κάθε σωλήνα κι επειδή η ταχύτητα της σανίδας είναι ίση με την ταχύτητα του πάνω σημείου του σωλήνα, διπλάσια θα είναι και η ταχύτητα της (και η επιτάχυνσή της ) σε σχέση με αυτή του ΚΜ, δηλαδή ισχύει υ υ κμ και υ κμ ωr α) Εφαρμόζοντας τη διατήρηση της μηχανικής ενέργειας για το σύστημα σανίδαςσωλήνων ισχύει: W F ΔΚ ολ 1 1 1 Fs Mυ + mυκµ + mr ω mυ υ 1 Fs Mυ + + mr 4 4 R Mυ mυ Fs Fs + υ 4 m / s M + m β) Στη διεύθυνση κίνησης της ράβδου ασκούνται: η δύναμη F με φορά προς τα δεξιά και οι τριβές Τ (με φορά προς τα αριστερά οι οποίες αντιτίθενται στην κίνηση της ράβδου) από τους σωλήνες. Οι τριβές είναι οι ίδιες γιατί οι σωλήνες έχουν τα ίδια χαρακτηριστικά. Έστω α η επιτάχυνση της ράβδου, τότε ο ος νόμος του Νεύτωνα δίνει: F T Ma (1) Στη διεύθυνση κίνησης σε κάθε σωλήνα ασκούνται: η τριβή από τη ράβδο Τ με φορά προς τα δεξιά (λόγω δράσης αντίδρασης ίσου μέτρου με αυτή που ασκείται στη σανίδα) και η τριβή Τ από το έδαφος (προς τα αριστερά). Εάν α κμ είναι η επιτάχυνση του κέντρου μάζας του σωλήνα ισχύει ma T T ma κµ () Από το νόμο της στροφικής κίνησης: ακµ TR + T R mr αγων TR + T R mr T + T mακµ R mα T + T () 4
Από () + () Από (1), (4) γ) (4) Τ 4Ν mα T mα Τ (4) F F mα Ma α 4 m / s Μ+ m δ) από (), (4) Τ 0 δηλαδή η στατική τριβή μεταξύ σωλήνων και δαπέδου είναι μηδενική. Β τρόπος : ξεκινώντας από το ερώτημα β) και έχοντας υπολογίσει την επιτάχυνση της σανίδας, η ταχύτητα υπολογίζεται από 1 1 υ αs 4ms m 4ms Άσκηση 4 Ένας κούφιος λείος κύλινδρος μικρής διατομής και μήκους m στρέφεται στο οριζόντιο επίπεδο με σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω ο 5rad/s γύρω από κατακόρυφο άξονα yy που διέρχεται από τη μία άκρη του. Στο εσωτερικό του κυλίνδρου υπάρχει μικρό σώμα μάζας m1kg το οποίο είναι στερεωμένο με νήμα μήκους d1m από σταθερό σημείο του άξονα περιστροφής. Η ροπή αδρανείας του κυλίνδρου ως προς τον άξονα περιστροφής είναι Ι1 kg m. α). Να υπολογίστε τη ροπή αδρανείας του συστήματος ως προς τον άξονα yy και την τάση του νήματος. β) Κάποια στιγμή κόβεται το νήμα και το σώμα μετατοπίζεται προς την έδρα Α του κυλίνδρου και προσκολλάται σε αυτήν. Να υπολογίσετε την γωνιακή ταχύτητα του συστήματος αμέσως μετά την προσκόλληση του σώματος στην έδρα Α. γ) Να υπολογίσετε την μεταβολή της κινητικής ενέργειας του συστήματος και το μέτρο της ταχύτητας του σώματος μάζας m ακριβώς πριν την προσκόλλησή του στην έδρα Α. δ) Να υπολογίσετε το μέτρο της σταθερής ροπής που πρέπει να δεχθεί το σύστημα ώστε τελικά να σταματήσει σε χρονικό διάστημα Δt4s. α ) Iσυστ I + md kg m 5
Η τάση του νήματος παίζει το ρόλο της κεντρομόλου για το σώμα μάζας m mυ Fκ T F mωοd 5N d β) Μετά την προσκόλληση της μάζας στην έδρα Α, η ροπή αδρανείας του συστήματος Ι+ m και από την αρχή διατήρησης της στροφορμής: είναι ( ) ( ) Ι ω Ι+ m ω ω 1 rad / s αρχ τελ συστ ο γ) H μεταβολή της κινητικής ενέργειας του συστήματος είναι ( m ) 1 1 Κ Ι + ω Ι συστωο 0J Άρα η κινητική ενέργεια της μάζας ως προς τη ράβδο λίγο πριν την κρούση ήταν 0 J. Η μηχανική ενέργεια του συστήματος διατηρείται μέχρι λίγο πριν την προσκόλληση του σώματος στην έδρα Α του κυλίνδρου. 1 1 1 1 Ισυστωο Ι ω mυ Κ mυ 1 0J 1kg υ υ 6. m / s Παρατήρηση : Αυτή θα είναι η ταχύτητα της μάζας ως προς ράβδο, επειδή όμως η μάζα περιστρέφεται μαζί με τη ράβδο, ως προς έναν αδρανειακό παρατηρητή θα έχει και επιτρόχια (εφαπτομενική ταχύτητα) υωm/s. Άρα λίγο πριν την προσκόλληση στην έδρα το μέτρο της ταχύτητας θα είναι ( ) υ 6. + 7m/s δ) ( m ) 0 Ι+ ω Σ τ Σ τ Σ τ.5nm t t Άσκηση 5 Η μικρή σφαίρα μάζας m1kg και ακτίνας r0.4 m κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει πάνω στην ακλόνητα στερεωμένη σφαίρα ακτίνας Rm. α). Να βρείτε σε ποια θέση χάνεται η επαφή της μικρής σφαίρας από τη μεγάλη. β) Να υπολογίσετε το μέτρο της ταχύτητας του κέντρου μάζας της μικρής σφαίρας στην παραπάνω θέση. γ) Να υπολογίσετε το ρυθμό μεταβολής της δυναμικής ενέργειας της σφαίρας στην παραπάνω θέση. (Ι ΚΜ (/5) mr, g10 m/s ). 6
α) Οι δυνάμεις που ασκούνται στη μικρή σφαίρα είναι: το βάρος της mg που αναλύεται σε μια συνιστώσα στη διεύθυνση της ακτίνας mgσυνθ και μια συνιστώσα στη διεύθυνση της εφαπτομένης mgημθ και η αντίδραση N από τη μεγάλη σφαίρα. Θεωρώντας ως επίπεδο μηδενικής δυναμικής ενέργειας αυτό που περνά από το κέντρο της μεγάλης σφαίρας (στο σχήμα U β 0), από τη διατήρηση της Μηχανικής Ενέργειας για την κορυφή και το σημείο όπου η σφαίρα χάνει την επαφή της με τη μεγάλη το οποίο βρίσκεται σε ύψος h, έχουμε: 1 1 υκµ mg( R + r) mg( R + r) συνθ + mυ κµ + mr 5 r 1 1 7 mg( R + r) mg( R + r) συνθ + mυ κµ + mυ κµ mg( R + r) συνθ + mυ κµ 5 10 (1) Αλλά η συνισταμένη των δυνάμεων στην ακτινική διεύθυνση δρα ως κεντρομόλος mυ mgσυνθ N κµ () R + r Όταν η μικρή σφαίρα χάνει την επαφή της με τη μεγάλη τότε η αντίδραση Ν0 οπότε από () υκµ gr ( + r) συνθ () Από (1), () 7 17 mg( R + r) mg( R + r) συνθ + mg( R + r) συνθ 1 συνθ 10 10 10 ο συνθ θ 54 17 (4) 10 β) από () (4) υ κµ gr ( + r) 5 ms / 17 γ) 7
deδυν dθ Eδυν mg( R + r) συνθ mg( R + r) ηµθ dt dt dθ ω, υκµ ( R+ r) ω dt de dt δυν mg ηµθ υ κµ ηµθ 1 συν θ 0.8 deδυν 1kg10( m/ s )0.8( 5 m/ s) 16 5 J / s dt Άσκηση 6 Ευθύγραμμη ράβδος μήκους και μάζας Μ τοποθετείται πάνω στον άξονα. έτσι ώστε το ένα άκρο της να βρίσκεται στην αρχή του άξονα. Η γραμμική πυκνότητα μάζας της ράβδου λ dm d, αυξάνει από την τιμή λ 0 στο ένα άκρο της O (0) στην τιμή λ 0 στο άλλο άκρο της (), σύμφωνα με τη σχέση λ ( ) λ0 (1 + ). α) Υπολογίστε τη θέση του κέντρου μάζας της ράβδου. β) Υπολογίστε την ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς τον κατακόρυφο άξονα y, που διέρχεται από το ελαφρύ άκρο της ράβδου. γ) Η ράβδος εκκινώντας από την ηρεμία και σε οριζόντια θέση, περιστρέφεται χωρίς τριβές, υπό την επίδραση του βάρους της, γύρω από άξονα που διέρχεται από το σημείο Ο και είναι κάθετος στο επίπεδο της σελίδας. Ποια η γωνιακή ταχύτητα της ράβδου όταν αυτή φτάσει στην κατακόρυφη θέση; α) O. dm d Έστω στοιχειώδης μάζα dm της ράβδου, μήκους d που απέχει απόσταση από το ελαφρύ άκρο της. Η θέση του κέντρου μάζας δίνεται από τη σχέση: 8
1 C dm (1) M όμως M dm λ( ) d dm λ0 1 + d dm λ0 1 + 0 0 M λ0 Έτσι η (1) δίνει d () C β) I λ0 1 + λ 0 0 d + 0 4 0 dm λ 0 + d λ0 + 4 0 0 C 5 9 1 7 λ0 1 γ) KE i 1 5 0 g + Ed, i KE f + Ed, f 0 + 0 I 0ω Mg ω. 9 7 Άσκηση 7 Ευθύγραμμη ομογενής ράβδος μήκους l και μάζας m, κρέμεται σε οριζόντια θέση από την οροφή μέσω νήματος στην θέση Α και άρθρωσης στην θέση Β. Η ράβδος μπορεί να περιστραφεί κατακόρυφα γύρω από το σημείο Β. Κάποια στιγμή κόβουμε το νήμα στη θέση Α. Υπολογίστε τη γωνιακή επιτάχυνση περιστροφής της ράβδου και τη γραμμική επιτάχυνση του κέντρου μάζας, καθώς και τη δύναμη που ασκεί η άρθρωση στη ράβδο στο σημείο Β, αμέσως μετά το κόψιμο του σχοινιού. Δίνεται η ροπή αδράνειας της 1 I ml ράβδου ως προς το κέντρο μάζας C. 1 A C T B mg 9
Αμέσως μετά το κόψιμο του νήματος στη ράβδο ασκούνται το βάρος της και η δύναμη της άρθρωσης στο Β. Η ράβδος τείνει να περιστραφεί γύρω από το Β. τ B l I Bα γων mg I Bα γων (1) Όμως l 1 B IC + m ml () I l 1 g Από (1) και () έχουμε: mg ml α γων α γων. l Η γραμμική επιτάχυνση του κέντρου μάζας είναι: l a α γων a g. 4 mg ΣF ma mg - T m g T. 4 4 Άσκηση 8 Η δυναμική ενέργεια ενός σώματος μάζας m δίνεται από τη σχέση: 4 U( ) A + B 4 Όπου είναι η απόσταση του σώματος από την αρχή του άξονα (το σώμα κινείται σε μία διάσταση) και Α, Β είναι σταθερές. Διακρίνουμε δύο περιπτώσεις: (i) Α>0, Β>0 και (ii) Α<0, Β>0. α) Υπολογίστε την δύναμη που ασκείται στο σώμα και προσδιορίστε τις θέσεις (σημεία) ισορροπίας για την κάθε περίπτωση. Ποιες θέσεις μπορούν να θεωρηθούν ευσταθείς και ποιες ασταθείς θέσεις ισορροπίας. Δικαιολογήστε την απάντησή σας. Υπόδειξη: να κάνετε πρόχειρη γραφική παράσταση της δυναμικής ενέργειας. β) Εάν η Ολική Ενέργεια (Δυναμική + Κινητική) του σώματος ισούται με μηδέν, ποια μπορεί να είναι η μέγιστη απόσταση του σώματος από την αρχή του άξονα και που η ταχύτητά του γίνεται μέγιστη; α) (i) Α,Β>0 F( ) du ( A + B ) d Πιθανά σημεία ισορροπίας όταν F()0, δηλαδή στα ακρότατα της δυναμικής ενέργειας. du Ένα σημείο είναι ακρότατο, μέγιστο ή ελάχιστο, όταν 0 d και du 0. Στην d 10
du περίπτωσή μας έχουμε 0 d μόνο για 0, σε αυτό το σημείο du ( 0) 0 A > d άρα ελάχιστο της δυναμικής ενέργειας, σημείο ευσταθούς ισορροπίας. (ii) A<0, B>0 du ( A B ) 0 d +, μηδενίζεται σε τρία σημεία A A 1 0,, B B du ( 0) 0 1 A <, Μέγιστο, Σημείο Ασταθούς Ισορροπίας d du ( A ) 0, ± A>, Ελάχιστο, Σημεία Ευσταθούς Ισορροπίας. d B β) E tot U() + E k U() + (1/)mv (i) Επειδή U (0) 0 και U( ) > 0 για 0 και η Κινητική Ενέργεια είναι πάντα θετική, όταν η Ολική Ενέργεια είναι μηδέν το σώμα βρίσκεται ακίνητο στο σημείο 0. A A (ii) Η Δυναμική Ενέργεια είναι μηδέν στα σημεία 1 0, 4, 5 ενώ B B U()<0 όταν 4 << 5 και U()>0 όταν < 4 ή > 5. Το σώμα μπορεί να βρεθεί στις θέσεις 1, 4, 5 με μηδέν Ολική Ενέργεια. Άρα η μέγιστη απόσταση από την αρχή του άξονα είναι στις θέσεις 4 ή 5. Επειδή η Ολική Ενέργεια διατηρείται η Κινητική Ενέργεια είναι μέγιστη εκεί όπου η Δυναμική Ενέργεια έχει ελάχιστο, δηλαδή στα σημεία και : 1 U ( ) + mv 0 v U ( ) άρα η μέγιστη ταχύτητα στο ελάχιστο της m A δυναμικής ενέργειας είναι v µεγ U( ) U( ) m m mb Άσκηση 9 11
Σωματίδιο μάζας m κινείται κατά μήκος του άξονα των. Το σωματίδιο έλκεται προς την αρχή O του άξονα με δύναμη μέτρου mk όταν >α και απωθείται από το Ο με δύναμη μέτρου mkα όταν 0<<α, όπου α, k>0. α) Βρείτε τη δυναμική ενέργεια του σωματιδίου. β) Το σωματίδιο ελευθερώνεται από την ηρεμία σε απόσταση α από το Ο. Περιγράψτε την κίνηση που θα εκτελέσει το σωματίδιο και δείξετε ότι το σωματίδιο θα ηρεμήσει στιγμιαία όταν α. mk α) Στην περιοχή >a η δύναμη είναι ελκτική F > και μηδενίζεται για οπότε ορίζουμε την δυναμική ενέργεια στο άπειρο να έχει μηδενική τιμή, επομένως η δυναμική ενέργεια του σωματιδίου στην περιοχή >a θα είναι: mk mk U > ( ) F> ( ) d d mka Στην περιοχή 0<<a η δύναμη είναι απωστική F< ( ) η δυναμική ενέργεια του σωματιδίου στην περιοχή <a θα είναι: a a mka mk U< ( ) F( ) d F< ( ) d + F> ( ) d d d a a mka 1 1 mk U< ( ) ( ) a a Η Δυναμική Ενέργεια του σωματιδίου έχει τις εξής ιδιότητες: (i) τείνει στο μηδέν για, (ii) τέμνει τον άξονα, δηλαδή U()0, για a, (iii) είναι θετική για < a και αρνητική για > a. 1 β) Η Ολική Ενέργεια διατηρείται άρα U > ( a) U ( ) + mv U< ( t ) το σώμα κινείται στο διάστημα όπου η Κινητική Ενέργεια είναι θετική, στα σημεία a και t η ταχύτητα μηδενίζεται. Από την ισότητα U> ( a) U< ( t ) βρίσκουμε το σημείο αναστροφής t a/. Το σώμα κάνει περιοδική κίνηση, ταλάντωση, ανάμεσα στα δύο σημεία όπου η ταχύτητα μηδενίζεται στιγμιαία. 1
Άσκηση 10 Η σκάλα του διπλανού σχήματος έχει μάζα m40kg και μήκος 4m και η μία άκρη της ακουμπά σε λείο κατακόρυφο τοίχο. Η σκάλα μόλις που ισορροπεί χωρίς να γλιστρά στο οριζόντιο έδαφος σχηματίζοντας με αυτό γωνία φ45 ο. α) Να υπολογίσετε τη δύναμη που εξασκεί ο κατακόρυφος τοίχος στη σκάλα καθώς και τη δύναμη που εξασκεί το οριζόντιο δάπεδο στη σκάλα. β) Να υπολογίσετε το συντελεστή στατικής τριβής μεταξύ της σκάλας και του οριζόντιου δαπέδου. γ) Ένας άνθρωπος επανατοποθετεί τη σκάλα ώστε να σχηματίζει με το οριζόντιο δάπεδο γωνία o ϕ 7. Να βρείτε μέχρι πιο σημείο μπορεί να ανέβει στη σκάλα μικρό παιδί μάζας M40Kg ώστε η σκάλα να μη γλιστρήσει. m Δίνεται g 10 s α) Η σκάλα δέχεται τις δυνάμεις: το βάρος της w και τις δυνάμεις F 1 και F από τον κατακόρυφο τοίχο και το οριζόντιο δάπεδο αντίστοιχα. 1
Επειδή ο κατακόρυφος τοίχος είναι λείος η δύναμη F 1 είναι κάθετη σε αυτόν δηλαδή οριζόντια. Η δύναμη F δεν είναι κάθετη στο οριζόντιο δάπεδο διότι υπάρχει τριβή ανάμεσα στη σκάλα και σε αυτό. Εφόσον η σκάλα ισορροπεί ισχύουν οι σχέσεις: Σ F 0 Σ Fy 0 Έχουμε : F1 T στ και F w κ 400 N Στ 0 Επίσης εάν υπολογίσουμε τις ροπές ως προς το σημείο Γ προκύπτει: Fsin 1 ϕ+ w cos ϕ 0 F1 00 N Άρα και F1 Tστ 00 N Επομένως: F FK + Tστ 00 5 N. Η διεύθυνση της δύναμης F σχηματίζει με το Fκ οριζόντιο δάπεδο γωνία θ όπου: tan θ άρα θ6.4 ο Tστ β) Επειδή η σκάλα μόλις που ισορροπεί, η στατική τριβή έχει τη μέγιστη τιμή της. Επομένως ( Tστ ) ( T ) F 00 N ma στ µ 0.5 ma σ κ µ σ F κ γ) Για να μην ολισθαίνει η σκάλα στο οριζόντιο δάπεδο, πρέπει: T T T µ F ( ma) στ στ στ στ κ Από τις συνθήκες ισορροπίας έχουμε: F 1 T στ και F w + κ w 1 800 N Υπολογίζουμε πάλι τις ροπές ως προς το σημείο Γ και έχουμε: F 1sin 7 + w cos7 + w1 cos7 0 1600 + 800 F 1 T στ 6 Αλλά T T T µ F ( ma) στ στ στ στ κ οπότε: 14
1600 + 800 1600 + 800 1600 + 800 µ F στ κ 0.5*800 400 1m 6 6 6 15