ΤΟ ΕΜΒΑΔΟΝ ΠΟΥ ΠΡΟΚΥΠΤΕΙ ΑΠΟ ΕΓΓΕΓΡΑΜΜΕΝΗ ΓΩΝΙΑ Το στιγμιότυπο που παρουσιάζεται εδώ πρόκυψε πέντε λεπτά πριν από τη λήξη μιας διδακτικής ώρας η οποία ήταν αφιερωμένη σε μια γενική επανάληψη του κεφαλαίου εν όψει επικείμενου ωριαίου διαγωνίσματος. Μαθητής: Στην περίπτωση του κυκλικού τομέα έχουμε τύπο που μας δίνει το εμβαδόν του συναρτήσει της ακτίνας του κύκλου. Τι γίνεται όταν έχουμε εγγεγραμμένη γωνία; Στην τάξη δόθηκε η γρήγορη απάντηση συνοδευόμενη με το κατάλληλο σχήμα ότι το εμβαδόν δεν παραμένει σταθερό για όλες τις εγγεγραμμένες γωνίες που βαίνουν στο ίδιο τόξο και ότι ο τύπος που μας δίνει το εμβαδόν στην περίπτωση της εγγεγραμμένης γωνίας εμπλέκει και άλλα στοιχεί του κύκλου πλην την ακτίνας του κύκλου και του μέτρου της γωνίας. Ελλείψει χρόνου αποφάσισα αντί να πραγματευτώ το εν λόγω ερώτημα του μαθητή στην τάξη να του απαντήσω γραπτώς. Παρακάτω παραθέτω την γραπτή απάντηση που δόθηκε στους μαθητές εμπλουτισμένη με μια λυκειακή μεταχείριση του θέματος και εν τέλει συνοδευόμενη από τα απαραίτητα διδακτικά ερωτήματα και προβληματισμούς. Ολοκληρωμένη απάντηση: Ο κυκλικός τομέας εξ ορισμού είναι η τομή επίκεντρης γωνίας με τον κυκλικό δίσκο. Το εμβαδόν του κυκλικού τομέα δίνεται από τον τύπο. Δηλαδή αρκεί να ξέρουμε την ακτίνα του κύκλου και το μέτρο της επίκεντρης γωνίας για να υπολογίσουμε το εμβαδόν του κυκλικού τομέα. Στη περίπτωση του χωρίου το οποίο είναι η τομή μιας εγγεγραμμένης γωνίας με τον κυκλικό δίσκο (το εν λόγω χωρίο σημειωτέον δεν έχει ειδικό όνομα στα μαθηματικά) το πρώτο ερώτημα που πρέπει να θέσουμε είναι υπάρχει ανάλογος τύπος ο οποίος να δίνει το εμβαδόν του εν λόγω χωρίου συναρτήσει της ακτίνας του κύκλου και του μέτρου της εγγεγραμμένης γωνίας; 1
Η εγγεγραμμένη γωνία που εικονίζεται στο παραπάνω σχήμα δεν είναι η μοναδική εγγεγραμμένη γωνία που βαίνει στο τόξο ΒΓ. Ας σχεδιάσουμε κάποιες επί πλέον. Καθοδηγούμενοι/ες από το σχήμα προβαίνουμε στην εικασία ότι τα εμβαδά των διαφορετικών χωρίων που προκύπτουν από τις εγγεγραμμένες γωνίες δεν είναι ίσα. Ένας άλλο τρόπος να διατυπώσουμε την παραπάνω πρόταση είναι ο εξής: καθώς το Α κινείται επί του μη κυρτογώνιου τόξου ΒΓ το εμβαδόν που προκύπτει από την εκάστοτε εγγεγραμμένη γωνία μεταβάλλεται, δηλαδή δεν παραμένει σταθερό. Η απόδειξη της παραπάνω εικασίας δεν είναι δύσκολη. Παρατηρούμε ότι κάθε φορά το χωρίο του οποίου καλούμαστε να υπολογίσουμε το εμβαδόν αποτελείται από ένα τρίγωνο και ένα κυκλικό τμήμα (βλέπε σχήμα) 2
Το κυκλικό τμήμα είναι το ίδιο για κάθε θέση του Α. Τώρα, καθώς Α κινείται πάνω στο τόξο ΒΓ, το εμβαδόν δεν παραμένει σταθερό. Αυτό συμβαίνει διότι τα τρίγωνα έχουν κοινή βάση την ΒΓ αλλά διαφορετικό ύψος (βλέπε σχήμα). Άρα το εμβαδόν του χωρίου το οποίο είναι η τομή μιας εγγεγραμμένης γωνίας με τον κυκλικό δίσκο δεν μπορεί να προσδιοριστεί αν ξέρουμε μόνο την ακτίνα του κύκλου και το μέτρο της εγγεγραμμένης γωνίας. Πρέπει να ξέρουμε και για ποια εγγεγραμμένη γωνία μιλάμε. Αυτό προσδιορίζεται αν ξέρουμε, παραδείγματος χάριν, την απόσταση της κορυφής της εγγεγραμμένης γωνίας από τη χορδή ΒΓ (βλέπε παρακάτω σχήμα). 3
Άσκηση 1: Να βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου το οποίο είναι η τομή μιας εγγεγραμμένης γωνίας ω με κυκλικό δίσκο ακτίνας ρ αν η απόσταση της κορυφής της εγγεγραμμένης γωνίας από τη χορδή ΒΓ είναι h. Το εμβαδόν του εν λόγω χωρίου ισούται με το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ συν το εμβαδόν του κυκλικού τμήματος. Για να βρούμε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ, βρίσκουμε πρώτα τη βάση ΒΓ. Φέρνουμε την ΟΕ κάθετη στη ΒΓ. Τότε επειδή το τρίγωνο ΟΒΓ είναι ισοσκελές (ΟΒ = ΟΓ = ρ) η ΟΕ είναι και διχοτόμος της γωνίας ΒΟΓ η οποία είναι ίση με 2ω ως επίκεντρη που βαίνει στο ίδιο τόξο με την εγγεγραμμένη ω. Επομένως, στο ορθογώνιο τρίγωνο ΟΒΕ, ή ή, οπότε 2. Επομένως, το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ είναι 2. Το εμβαδόν ε του κυκλικού τμήματος είναι ίσο με το εμβαδόν του κυκλικού τομέα ΑΟΒ μείον το εμβαδόν του τριγώνου ΟΑΒ. Το εμβαδόν του τριγώνου ΟΑΒ είναι (ΟΑΒ) =. Από το ορθογώνιο τρίγωνο ΟΒΕ, ή, άρα. Άρα, (ΟΑΒ) = 2 2 1. Έχουμε λοιπόν 2 2. 4
Ένας άλλος τρόπος για να προσδιορίσουμε τη θέση της εγγεγραμμένης γωνίας είναι να ξέρουμε εκτός από το μέτρο της και τη ακτίνα του κύκλου και το μέτρο του τόξου ΑΒ ή εναλλακτικά το μέτρο της γωνίας. Άσκηση 2: Να βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου το οποίο είναι η τομή μιας εγγεγραμμένης γωνίας ω με κυκλικό δίσκο ακτίνας ρ, αν το μέτρο του τόξου ΑΓ είναι 2φ. Το εμβαδόν του ζητούμενου χωρίου ισούται με το άθροισμα των εμβαδών του κυκλικού τομέα ΒΟΔ, του τριγώνου ΒΟΔ και του τριγώνου ΓΟΔ. Ε(κυκλ.τομ) = 5
(ΒΟΓ) = 2 2 (ΒΟΓ) = 180 2 2 180 2 2 2 Άρα το εμβαδόν του ζητούμενου χωρίου είναι 180 1 2 2 1 2 2 ΕΠΙΜΥΘΙΟ 1. Το διδακτικό στιγμιότυπο είναι σπάνιο κατά τούτο: στο βαθμό που γνωρίζω (περισσότερο διαισθάνομαι μιας και η εμπειρική έρευνα σε θέματα καθημερινής διδακτικής πράξης στα Ελληνικά σχολεία είναι σχεδόν ανύπαρκτη) τα ερωτήματα των μαθητών προς το δάσκαλο συνήθως έχουν διευκρινιστική διάσταση. Ο μαθητής δεν καταλαβαίνει τα λεγόμενα του δασκάλου και του ζητεί να προβεί σε περαιτέρω εξηγήσεις. Νομίζω ότι δεν αποτελεί μέρος της μαθησιακής κουλτούρας όπως αυτή καλλιεργείται στην τάξη ρητώς και υπορρήτως (λόγω διάφορων παραγόντων) ο μαθητής να βγαίνει (με μαθηματικό τρόπο) από το διαλογικό πλαίσιο που καθορίζει η θεματική ατζέντα όπως αυτή καθορίζεται από τον διδάσκοντα. Και μάλιστα με ερώτημα που τείνει να διευρύνει το μαθηματικό ορίζοντα του μαθητή. Μέσα στην προσπάθειά της να επιλύσει προβλήματα, χαρακτηριστικό γνώρισμα της μαθηματικής πράξης είναι να δημιουργεί νέα προβλήματα και στη συνέχεια νέα προβλήματα και καινούργιες έννοιες σε ένα σπιράλ αέναης δημιουργίας. Τηρουμένων των αναλογιών, το ερώτημα του μαθητή αντικατοπτρίζει μια τέτοια στιγμή στο βαθμό που υπηρετεί και προωθεί εκείνο το είδος της μαθησιακής διαδικασίας μέσα στη σχολική αίθουσα που εναρμονίζεται με τη δημιουργική δραστηριότητα του μαθηματικού όπως είναι διαμορφωμένη ιστορικά. 2. Σύμφωνα με το επίσημο πρόγραμμα σπουδών η πραγμάτευση της ύλης ακολουθεί μια συγκεκριμένη σχεδόν άκαμπτη ιεράρχηση μαθηματικών εννοιών, διαδικασιών και προτάσεων μέσω της οποίας δομείται και οικοδομείται η μαθηματική γνώση. Τι γίνεται όταν μια μαθητική ερώτηση οδηγεί την εξερεύνηση σε ατραπούς που παραβιάζουν αυτή την ιεράρχηση; Θα μπορούσαμε να χτίσουμε τη μαθηματική γνώση στο σχολείο αναπτύσσοντας την ποικιλία των μαθηματικών ιδεών και εργαλείων μέσα από προβλήματα που τίθενται και από τους ίδιους τους μαθητές; Εννοείται βέβαια ότι δεν μπορούμε να αρκεστούμε στα μαθητικά ενδιαφέροντα τα οποία είναι εξ αντικειμένου περιορισμένα και λόγω του βαθμού ωριμότητας των μαθητών και λόγω των επηρεασμών που δέχονται από αγοραία κέντρα. 3. Τι κάνουμε όταν η γνήσια πραγμάτευση ενός γνήσιου μαθητικού ερωτήματος καταστρατηγεί τον διαθέσιμο χρόνο; Μέσα στα πλαίσια του υπάρχοντος σχολικού προγράμματος μια λύση θα ήταν η γραπτή πραγμάτευση του θέματος από τον διδάσκοντα και η επίδοση της λύσης στους ενδιαφερόμενους μαθητές. 6
4. Ορθώς μέχρι τώρα η τριγωνομετρία προηγείται του 3 ου κεφαλαίου (μέτρηση κύκλου). Πολλά από θέματα που σχετίζονται με τον κύκλο προσφέρονται για τριγωνομετρική προσέγγιση, όπως ο υπολογισμός του π και η εύρεση των τύπων του μήκους κύκλου και του εμβαδού κυκλικού δίσκου. Από αυτή την άποψη η πρόταση του υπουργείου στα πλαίσια του πιλοτικού προγράμματος που εφαρμόζεται σε 50 γυμνάσια της χώρας να προηγηθεί το κεφάλαιο της μέτρησης κύκλου δεν είναι κατά τη γνώμη μου η ενδεδειγμένη. 5. Στη σελίδα απλοποίησα τον τύπο (1) χρησιμοποιώντας την ταυτότητα του ημιτόνου διπλασίου τόξου. Η ταυτότητα αυτή δεν διδάσκεται πλέον στο λύκειο. Χωρίς να είμαι καθόλου υπέρμαχος της ασκησειολογίας που στοχεύει στην εμπέδωση αυτών των ταυτοτήτων ή στην εξάσκηση στους αλγεβρικούς χειρισμούς μέσω αυτών των ταυτοτήτων, η αφαίρεση σημαντικών τριγωνομετρικών ταυτοτήτων από τη λυκειακή ύλη δεν με βρίσκει σύμφωνο. Εκτός των άλλων αφαιρεί το υπόβαθρο πάνω στο οποίο στηρίζεται η απόδειξη σημαντικών θεωρημάτων του απειροστικού λογισμού και η εύρεση πληθώρας ολοκληρωμάτων που σχετίζονται με τριγωνομετρικές συναρτήσεις. 7