Προλεγόµενα Σπύρος Ευστ. Τζαµαρίας 2016 1
S.I. UNITS: kg m s Natural Units δεν είναι ιδιαίτερα «βολικές» για τους υπολογισµούς µας αντί αυτών χρησιµοποιούµε Natural Units που βασίζονται σε θεµελιώδεις σταθερές του µικρόκοσµου Κβαντική Φυσική- η µονάδα δράσης: Σχετικότητα- η ταχύτητα του φωτός: c! Από την υπο-ατοµική Φυσική- µονάδα ενέργειας: GeV (1 GeV ~ η ισοδύναµη ενέργεια της µάζας ηρεµίας του νουκλεονίου) Energy Momentum Mass Θέττοντας όµως : Energy Momentum Mass Time Length Area Time Length Area οι προηγούµενες ποσότητες µετρώνται σε δυνάµεις του GeV Για να επιστρέψουµε σε S.I. µονάδες θα πρέπει να αποκατασταθούν οι όροι µε και Σπύρος Ευστ. Τζαµαρίας 2016 2
Heaviside-Lorentz Units Οριζουµε το φορτίο µέσω της δύναµης...: Στις Heaviside-Lorentz units and...: το ηλεκτρικό φορτίο έχει τώρα διαστάσεις επίσης Θα χρησιµοποιούµε, Natural Units εκτός εξαιρέσεων, ώστε,, κ.τ.λ Σπύρος Ευστ. Τζαµαρίας 2016 3
Δόµηση της Ύλης σύµφωνα µε το S. Μ. Στο Standard Model οι στοιχειώδεις δοµικές µονάδες περιγράφονται µε σηµειακά (point-like), spin-1/2 φερµιόνια First Generation Second Generation Third Generation LEPTONS QUARKS q m/gev q m/gev e 1 0.0005 d 1/3 0.3 ν 1 0 0 u +2/3 0.3 µ 1 0.106 s 1/3 0.5 ν 2 0 0 c +2/3 1.5 τ 1 1.77 b 1/3 4.5 ν 3 0 0 t +2/3 175 Αυτές είναι οι «δυνάµει» µάζες (εκτός του t) σε δέσµια κατάσταση Στο SM υπάρχουν τρεις γενιές (οικογένειες) τα µέλη κάθε γενιάς έχουν τις ίδιες ιδιότητες αλλά διαφέρουν στη µάζα τους. (άγνωστο γιατί). Τα νετρίνα έχουν πολύ µικρότερη µάζα από τα άλλα σωµάτια (π.χ. ν 1 m 1 <3 ev) εν γένει η ιεραρχία µαζων αποτελεί σηµαντική ερώτηση... Αλλά η µάζα των νετρίνων αποτελεί ένα επί πλέον µυστήριο Σπύρος Ευστ. Τζαµαρίας 2016 4
Δυνάµεις στο Standard Model Οι δυνάµεις µεταφέρονται µε ανταλλαγή, spin-1, Βαθµωτών Μποζονίων Gauge Bosons Force Boson(s) J P m/gev EM (QED) Photon γ 1 0 Weak W ± / Z 1 80 / 91 Strong (QCD) 8 Gluons g 1 0 Gravity (?) Graviton? 2 + 0 Η ισχύς της αλληλεπίδρασης g καθορίζεται από το φορτίο Συνδέεται µε την αδιάστατη σταθερά «ζεύξης» α e.g. QED Natural Units g! (g και α είναι αδίαστατες, αλλά g υποκρύπτει τον παράγοντα Βολεύει να εκφράζουµε την ισχύ της αλληλεπίδρασης µε πραγµατικά αδιάστατες ποσότητες, όπως το α (προφανώς αυτό δεν ισχύει για το e) g! Σπύρος Ευστ. Τζαµαρίας 2016 5
Standard Model «κόµβοι» αλληλεπίδρασης Η αλληλεπίδραση των gauge bosons µε τα fermions περιγράφονται στο πλαίσιο των Feynman διαγραµµάτων µετους SM κόµβους Οι ιδιότητες των gauge bosons και το είδος αλληλεπίδρασης µε τα φερµιόνια καθορίζει και τη «φυσική» των αλληλεπιδράσεων STRONG EM WEAK CC WEAK NC q q µ + d u q q g! µ + γ W Z Μόνο quarks (και gluons) Δεν αλλάζει η «γεύση» Όλα τα φορτισµένα φερµιόνια Δεν αλλάζει η «γεύση» Όλα τα φερµιόνια Πάντα αλλάζει η «γεύση» Όλα τα φερµιόνια Δεν αλλάζει η «γεύση» Σπύρος Ευστ. Τζαµαρίας 2016 6
Διαγράµµατα Feynman Οι αλληλεπιδράσεις µεταξύ σωµατιδίων περιγράφονται µε διαγράµµατα Feynman e q e.g. scattering γ e Τα βέλη ΔΕΝ παριστούν κίνηση στο χώρο: χρόνος τρέχει από αριστερά δεξιά, ώστε : LHS του διαγράµµατος = αρχική κατάσταση RHS του διαγράµµατος = τελική κατάσταση Ενδιάµεσα = µε ποιο τρόπο anti-particle τρέχει αρνητικά στο χρόνο (ρεύµατα) Διατηρήσιµες Φυσικές ποσότητες, «ισοζυγούνται» σε όλους τους κόµβους Τα σωµάτια φορείς είναι υπερβατικά-virtual δηλαδή q e.g. annihilation e + µ + γ e µ Αρχική e + µ + γ e µ time Τελική Σπύρος Ευστ. Τζαµαρίας 2016 7
Ειδική Σχετικότητα (Ι) Στα τετραδιανύσµατα, ο δείκτης 0, π.χ., συµβολίζει την «time-like» συνιστώσα Contravariant (ανταλλοιωτο) Covariant (συναλλοίωτο) όπου πιο συγκεκριµένα... Σπύρος Ευστ. Τζαµαρίας 2016 8
Ειδική Σχετικότητα (ΙΙ) Προσοχή µε την αναλλοίωτη παράγωγο!!! Σπύρος Ευστ. Τζαµαρίας 2016 9
Ειδική Σχετικότητα (ΙΙΙ) Στα τετραδιαωύσµατα, ο δείκτης 0, π.χ., συµβολίζει την «time-like» συνιστώσα Contravariant (ανταλλοιωτο) Covariant (συναλλοίωτο) όπου Συνήθως µελετούµε σχετικιστικά φαινόµενα. Απαιτείται ΟΛΟΙ οι υπολογισµοί να είναι Lorentz Invariant. L.I. Ποσότητες είναι τα εσωτερικά γινόµενα τετραδιανυσµάτων π.χ. Invariant mass φάση Τρόπος Γραφής Τετραδιανύσµατα συνήθως γραφονται ως: Εσωτερικά γινόµενα or Διανύσµατα: Συνήθως, όταν εργαζόµαστε στο κέντρο µάζας (C.ο.M): ή κ.τ.λ. Σπύρος Ευστ. Τζαµαρίας 2016 10
Ας εξετάσουµε την σκέδαση Mandelstam s, t,u Στα προβλήµατα σκέδασης χρησιµοποιούµε τις Lorentz Invariant ποσότητες: s, t και u 1! 2! Τα (απλά) διαγράµµατα Feynman µπορούν να κατηγοροποιηθούν σύµφωνα µε την τετρα-ορµή τουν ανταλλσόµενου σωµατίου e e e + µ + γ e µ s, t και u ορίζονται ως βαθρωτά γινόµενα (το τετράγωονο του τετραδιανύσµατος του ανταλασσόµενου σωµατιδίου) e e e (µ ) (µ ) γ 4! γ 3! e e e s-channel t-channel u-channel Σπύρος Ευστ. Τζαµαρίας 2016 11
Παράδειγµα: Mandelstam s, t,u Δείξετε ότι: Παράδειγµα: Centre-of-mass, s, σε συγκρούσεις: e + µ + γ/ζ ο e µ Εξ ορισµού είναι βαθµωτό γινόµενο Lorentz Invariant Επειδή είναι L.I. ποσότητα, µπορεί να υπολογισθεί σε οποιοδήποτε συστηµα αναφοράς. Επιλέγουµε το πλέον βολικό: Συνεπώς είναι η συνολικά διαθέσιµη ενέργεια στο centre-of-mass Σπύρος Ευστ. Τζαµαρίας 2016 12
Ενεργός Διατοµή και Ρυθµοί Διάσπασης Ενδιαφερόµαστε για αλληλεπιδράσεις και διασπάσεις σωµατιδίων, δηλαδή µεταπτώσεις µεταξύ καταστάσεων στο πείραµα µετρούµε ενεργές διατοµές και ρυθµούς Υπολογίζουµε ρυθµούς µεταπτωσης µε τον Fermi s Golden Rule Είναι το στοιχείο πίνακα (Matrix Element) δεν είναι L. I.! είναι ο αριθµός των µεταπτώσεων στην µονάδα του χρόνου από Την αρχική κατάσταση,, στην τελική κατάσταση η πυκνότητα τελικών καταστάσεων (density of states) is the perturbing Hamiltonian Οι ρυθµοί εξαρτώνται από MATRIX ELEMENT και DENSITY OF STATES ME εµπεριέχει την δυναµική της αλληλεπίδρασης κινηµατική Σπύρος Ευστ. Τζαµαρίας 2016 13
Στοχεύουµε να... υπολογίσουµε ενεργές διατοµές και ρύθµούς όπως: e + m γ + e e e + e µ + µ e q e q (e q e q «βλέπει» την δοµή του πρωτονίου) e m Χρειάζονται σχετικιστικοί υπολογισµοί ρυθµών και ενεργών διατοµών q q Χρειάζεται σχετικιστική περιγραφή των spin-1/2 σωµατιδίων: Dirac Equation Χρειάζεται σχετικιστικός υπολογισµός των Matrix Elements: Διαδότες και κανόνες Feynman Σπύρος Ευστ. Τζαµαρίας 2016 14