Ρυθµός Διάσπασης Σωµατιδίου

Transcript

1 Ρυθµός Διάσπασης Σωµατιδίου Ας θεωρήσουµε την «two-body» διάσπαση i! q 1! Θέλουµε να υπολογίσουµε τον ρυθµό διάσπασης σε πρώτης τάξης θεωρίας διαταραχών, περιγράφοντας τα αρχικά σωµάτια ως ελεύθερα, επίπεδα κύµατα (Born approximation): 2! µε όπου N είναι παράγων κανονικοποίησης και Για τους υπολογισµούς µας χρειαζόµαστε: παράγοντα κανονικοποίησης matrix element από θεωρία διαταραχών το phase space (density of states) Ας συζητήσουµε την κανονικοποίηση των καταστάσεων σε Lorentz Invariant µορφή ΜΗ-Σχετικιστικά: κανονικοποιούµε για ένα σωµατιο (αρχικό) σε κύβο ακµής! Σπύρος Ευστ. Τζαµαρίας

2 Κλασικός (µη-σχετικιστικός) Χώρος Φάσεων Σωµάτιο εγκλεισµένο σε κύβο( ): Η κυµατοσυνάρτηση µηδενίζεται στα όρια, στάσιµα κύµατα κβάντωση της ορµής του σωµατιδίου: Ο όγκος που αντιστοιχεί σε µία κατάσταση είναι: ο αριθµός καταστάσεων σε ένα στοιχειώδη όγκο ( ) του χώρου των φάσεων: ο αριθµός καταστάσεων σε ένα στοιχειώδη όγκο του χώρου των φάσεων ανά µονάδα (φυσικού) χώρου: Συνεπώς η πυκνότητα καταστάσεων στον Golden rule: Αντικαθιστώντας στην σχέση 1 και E 2 = p 2 + m 2 2E de = 2p dp dp de = E p = 1 Σπύρος Ευστ. Τζαµαρίας

3 Dirac δ Function Dirac δ function: κάθε συνάρτηση (;;;) µε αυτή την ιδιότητα µπορεί να θεωρηθεί ως! e.g. (µία απειροστά στενή Gaussian) Χρήσιµη για να εκφράζουµε την διατήρηση ποσοτήτων, π.χ. ενέργεια και ορµή στην διάσπαση! και Σπύρος Ευστ. Τζαµαρίας

4 x x Σπύρος Ευστ. Τζαµαρίας

5 Ας ξαναγράψουµε τον Golden Rule Ξαναγράφουµε την έκφραση για την πυκνότητα καταστάσεων µε χρήση της δ Δηλαδή, ολοκληρώνουµε για όλες τις ενέργειες τελικής κατάστασης αλλά η ύπαρξη της συνάρτησης δ εξασφαλίζει την διατήρηση της ενέργειας ο ρυθµός µετάπτωσης εκφράζεται ως: και το ολοκλήρωµα εκτείνεται σε όλες τις επιτρεπτές τελικές καταστάσεις κάθε ενέργειας Για dn σε two-body διασπασεις αρκεί το ένα θυγατρικό σωµάτιο: η διατήρηση ορµής καθορίζει το άλλο καθώς i! 1! q Ωστόσο «βολεύει» να συµπεριλάβουµε και την διατήρηση της ορµής αναλυτικά, ολοκληρώνοντας τις ορµές αµφοτέρων των σωµατιδίων, µε µία ακόµα συνάρτηση δ 2! Energy cons. Mom. cons. Density of states Σπύρος Ευστ. Τζαµαρίας

6 Lorentz Invariant Phase Space (Ι) Σε µη-σχετικιστική, QM προσέγγιση, κανονικοποιούµεσε ένα σωµάτιο ανά µονάδα όγκου συµπεριλαµβανοντας σχετικιστικά φαινόµενα, θα πρέπει να λάβουµε υπ όψιν πως ο όγκος συµπιέζεται κατά ένα παράγοντα: Συνεπώς η πυκνότητα σωµατίων αυξάνει κατά άρα ο σχετικιστικός νορµαλισµός της κυµατοσυνάρτησης θα πρέπει να αντιστοιχεί σε: Αριθµό σωµατιδίων ανά µονάδα όγκου ανάλογο της Ενέργειας Συνήθης σύµβαση: Κανονικοποιούµε σε 2E σωµάτια ανά µ.ο. Προηγούµενα Συνεπώς και ορίζουµε Lorentz Invariant Matrix Element, κυµατοσυναρτήσεις κανονικοποιηµένες σε a/γ εξέφραζε 1 σωµατίδιο ανά µ.ο., χρησιµοποιώντας σωµάτια ανά µ.ο. Σπύρος Ευστ. Τζαµαρίας

7 Lorentz Invariant Phase Space (ΙΙ) για two-body διάσπαση Εκφράζοντας το συναρτήσει του και ανατικαθιστώντας Υπολογίσθηκε µε σχετικιστικά κανονικοποιηµένες κυµατοσυναρτηήσεις. L. I. Το Lorentz Invariant Phase Space για κάθε σωµάτιο τελικής κατάστασης, ο παράγων υπεισέρχεται από την κανονικοποίηση της κυµατοσυνάρτησης (ας αποδείξουµε την L.I.) Σπύρος Ευστ. Τζαµαρίας

8 Lorentz Invariant Phase Space Σπύρος Ευστ. Τζαµαρίας

9 Lorentz Invariant Phase Space (ΙΙΙ) Υπολογίσθηκε µε σχετικιστικά κανονικοποιηµένες κυµατοσυναρτηήσεις. L. I. Το Lorentz Invariant Phase Space για κάθε σωµάτιο τελικής κατάστασης, ο παράγων υπεισέρχεται από την κανονικοποίηση της κυµατοσυνάρτησης Η διατήρηση ενέργειας και ορµής διασφαλίζεται από τις συναρτήσεις δ Εµπεριέχει τις σχετικιστικές διορθώσεις Σχετικιστικές Συνέπειες: Ο ρυθµός διάσπασης είναι αντιστρόφως ανάλογο του E i, της ενέργειας του Διαπώµενου σωµατίου... αλλά E i = γm o και... διαστολή του χρόνου!!!!. Σπύρος Ευστ. Τζαµαρίας

10 Υπολογισµός Ρυθµού Διάσπασης Επειδή το ολοκλήρωµα είναι Lorentz invariant (άρα ανεξάρτητο Σ.Α.), µπορεί να υπολογισθεί στο Σ.Α. της αρεσκείας µας. Επιλέγουµε το C,o.M. Στο C.o.M. και Ολοκληρώνοντας ως προς µε την συνάρτηση δ: i! 1! q Προσοχή : καθώς η συνάρτηση δ επέβαλε 2! αλλά Για ευκολία γράψαµε το ως Σπύρος Ευστ. Τζαµαρίας

11 το οποίο είναι της µορφής (2) όπου and!!!!!!!! επιβάλει διατήρηση της ενέργειας. i! q 1! καθορίζει επίσης τα µέτρα της ορµής στο C.o.M, για τα δύο προϊόντα της διάσπασης 2! για (2) ολοκληρώνεται χρησιµοποιώντας την ιδιότητα της συνάρτησης δ όπου είναι η τιµή ώστε αποµένει ο υπολογισµός του Σπύρος Ευστ. Τζαµαρίας

12 και όλα µαζύ Σπύρος Ευστ. Τζαµαρίας

13 αλλά για (διατήρηση ενέργειας): σε όλα τα Σ. Α. Επίσης C.O.M είναι σύστηµα ηρεµίας του αρχικού σωµατιδίου στο C.o.M. (3) υπολογίζεται ως Ισχύει για ΟΛΕΣ τις TWO-BODY Διασπάσεις! Υπόδειξη: p i -p 1 =p 2 (m i -E 1 ) 2 -(p*) 2 =(m 2 ) 2 Σπύρος Ευστ. Τζαµαρίας

14 k>1 Τρόποι Διάσπασης του αρχικού σωµατίου Η µεταβολή του πλήθους, σε χρόνο δt, N σωµατιδίων που διασπώνται µε k τρόπους, είναι: Γ j : ο ρυθµός διάσπασης του τρόπου διάσπασης j ο συνολικός ρυθµός διάσπασης Σπύρος Ευστ. Τζαµαρίας

15 Συµπέρασµατα Εκφράσαµε τον Fermi Golden Rule σε L.I. µορφή και καταλήξαµε σε υπολογισµό του ρυθµού διάσπασης συναρτήσει του Lorentz Invariant Matrix Element (όπου οι κυµατοσυναρτήσεις είναι κανονικοποιηµένες ως 2E σωµατια/όγκο) Ρυθµός διάσπασης στο C.o.M: Όπου εξαρτάται από τις µάζες των σωµατίων Σπύρος Ευστ. Τζαµαρίας