ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΟΠΤΙΚΗΣ Άσκηση 4: Σφάλματα φακών: Ι Σφαιρική εκτροπή Εξεταζόμενες γνώσεις: σφάλματα σφαιρικής εκτροπής. Α. Γενικά περί σφαλμάτων φακών Η βασική σχέση του Gauss 1/s +1/s = 1/f που συνδέει τη θέση s ενός αντικειμένου, τη θέση s του ειδώλου του και την εστιακή απόσταση f ενός φακού προκύπτει όταν ο φακός είναι πολύ λεπτός και οι ακτίνες σχηματίζουν μικρές γωνίες με τον οπτικό άξονα. Όταν ισχύει αυτή η σχέση έχουμε μοναδική απεικόνιση κάθε αντικειμένου σε ένα είδωλο, γιατί όλες οι ακτίνες που ξεκινούν από ένα σημείο του αντικειμένου καταλήγουν σε ένα και μοναδικό σημείο στο είδωλο. Έτσι το είδωλο αποτελεί πιστή αναπαράσταση του αντικειμένου. Σε πραγματικούς φακούς αυτές οι προϋποθέσεις δεν ικανοποιούνται πάντα και η σχέση του Gauss δεν ισχύει ακριβώς. Σ αυτήν την περίπτωση λέμε ότι έχουμε σφάλματα φακών: το κάθε σημείο του αντικειμένου δεν απεικονίζεται μοναδικά σε ένα σημείο ειδώλου, με αποτέλεσμα να έχουμε είδωλα παραμορφωμένα κατά διάφορους τρόπους. Τονίζεται ότι όταν μιλάμε για σφάλματα σε φακούς δεν εννοούμε ότι οφείλονται σε κάποιο λάθος του κατασκευαστή. Τα σφάλματα είναι εγγενές χαρακτηριστικό των φακών: σε πραγματικούς φακούς, οι προϋποθέσεις ισχύος της σχέσης του Gauss δεν ικανοποιούνται πάντα. Ο κατασκευαστής φακών μπορεί να τους σχεδιάσει κατά τέτοιο τρόπο ώστε να ελαχιστοποιήσει, ακόμα και να εξαφανίσει κάποια σφάλματα, αλλά όχι όλα τα σφάλματα για όλες τις δυνατές χρήσεις ενός φακού. Γι αυτό όταν χρειάζονται φακοί υψηλής ακρίβειας κατασκευάζονται διαφορετικοί για κάθε ξεχωριστή εφαρμογή, έτσι ώστε να ελαχιστοποιούνται τα σφάλματα που εμφανίζονται σε αυτή τη συγκεκριμένη εφαρμογή. Τα σφάλματα των φακών χωρίζονται σε δύο κατηγορίες, τα μονοχρωματικά και τα χρωματικά. Τα μονοχρωματικά σφάλματα οφείλονται κυρίως στον εξής λόγο. Κατά τη μελέτη της διάθλασης στις σφαιρικές επιφάνειες ενός φακού υποθέσαμε ότι η γωνία θ που σχηματίζει κάθε ακτίνα με τον άξονα του φακού είναι πολύ μικρή, ώστε να ισχύει προσεγγιστικά η σχέση sinθ = θ, όταν η γωνία θ μετριέται σε ακτίνια. Η σχέση του Gauss απαιτεί αυτήν την προσέγγιση για να ισχύει. Ωστόσο αυτή η προσέγγιση δεν ισχύει για όλες τις ακτίνες που προσπίπτουν στο φακό, με αποτέλεσμα την ύπαρξη σφαλμάτων. Είδη μονοχρωματικών σφαλμάτων είναι η σφαιρική εκτροπή, η κόμη και ο αστιγματισμός. Α2. Σφαιρική εκτροπή. Η σφαιρική εκτροπή οφείλεται στο γεγονός ότι ακτίνες που προσπίπτουν μακριά από το κέντρο του φακού σχηματίζουν σχετικά μεγάλη γωνία με τον οπτικό άξονα του φακού, οπότε η βασική προσέγγιση sinθ = θ δεν ισχύει για αυτές. Ως αποτέλεσμα, οι ακτίνες που ξεκινούν από το αντικείμενο δεν προσπίπτουν όλες στο ίδιο σημείο, με αποτέλεσμα το είδωλο να εμφανίζεται θολό. Ειδικότερα, αν στο φακό προσπίπτει δέσμη παράλληλων ακτινών, τότε αυτές που προσπίπτουν μακριά από το κέντρο του φακού, δεν συγκλίνουν στην εστία του φακού αλλά σε διαφορετικά σημεία γύρω από την εστία. Σχήμα 1. Σφαιρική εκτροπή (ι) για ακτίνες που προέρχονται από ένα αντικείμενο και (ιι) για παράλληλη δέσμη ακτινών.
Σχήμα 2. Η σφαιρική εκτροπή γίνεται αντιληπτή ως ένα φαινομενικό θάμπωμα των φωτεινών πηγών, το οποίο γίνεται πιο έντονο όσο μεγαλύτερη είναι η εκτροπή. Όσο πιο μεγάλο το άνοιγμα του φακού, σε τόσο μεγαλύτερη απόσταση από το κέντρο του φακού μπορούν να περάσουν ακτίνες, οπότε τόσο μεγαλύτερο και το σφάλμα σφαιρικής εκτροπής. Για να μελετήσουμε το σφάλμα σφαιρικής εκτροπής συγκρίνουμε την ακτίνα που περνά από το άκρο του φακού με ακτίνες που περνούν κοντά στο κέντρο του και σχηματίζουν μικρή γωνία με τον κύριο άξονα. Έστω ότι αντικείμενο σε απόσταση s σχηματίζει είδωλο σε απόσταση s σύμφωνα με το νόμο του Gauss. Αυτό το είδωλο αφορά στις ακτίνες που περνούν κοντά στο κέντρο του φακού. Έστω h η μέγιστη απόσταση από το κέντρο του φακού από την οποία μπορούν να περάσουν ακτίνες. Οι ακτίνες που περνούν σε απόσταση h σχηματίζουν είδωλο σε οριζόντια απόσταση s h από το φακό μετατοπισμένο κατακόρυφα κατά απόσταση t h ---βλέπε σχήμα 3. Η διαφορά Δs = s h s καλείται διαμήκης σφαιρική εκτροπή και η απόσταση t h εγκάρσια σφαιρική εκτροπή. Σχήμα 3. Σφαιρική εκτροπή σε λεπτό φακό. Σ αυτήν την άσκηση θα επικεντρωθούμε στη μελέτη της διαμήκους σφαιρικής εκτροπής σε λεπτούς φακούς. Έστω ένας λεπτός φακός που αποτελείται από δύο σφαιρικές επιφάνειες ακτινών καμπυλότητας R 1 και R 2. Ο δείκτης διάθλασης του υλικού που αποτελεί το φακό συμβολίζεται ως n. Η εστιακή απόσταση του φακού δίνεται από τον τύπο των κατασκευαστών των φακών Αν έχουμε αντικείμενο σε απόσταση s από το φακό, τότε οι ακτίνες κοντά στον άξονα σχηματίζουν είδωλο σε απόσταση s, σύμφωνα με τη σχέση του Gauss. Έστω ότι h είναι μέγιστη απόσταση από το κέντρο του φακού από την οποία μπορούν να περάσουν ακτίνες. Οι ακτίνες που περνούν σε απόσταση h από το κέντρο του φακού σχηματίζουν είδωλο σε απόσταση s h, η οποία δίνεται από τη σχέση όπου η ποσότητα p καλείται παράγοντας σχήματος και εξαρτάται από τις ακτίνες καμπυλότητας του φακού
η ποσότητα q καλείται παράγοντας απόστασης και εξαρτάται από την απόσταση s του αντικειμένου από το φακό και οι σταθερές A, B. C, D δίνονται από τις σχέσεις Για ακτίνες εισερχόμενες από το άπειρο, s = και s = f, οπότε q = -1 και η σχέση (2) γράφεται Η διαμήκης σφαιρική εκτροπή ορίζεται ως Δs = s h -s, ενώ το ποσοστιαίο σφάλμα λόγω σφαιρικής εκτροπής ορίζεται ως Α3. Διόρθωση σφαλμάτων Από τη σχέση (2) βλέπουμε ότι τα σφάλματα σφαιρικής εκτροπής μπορούν να μειωθούν αν μειώσουμε το ύψος h του φακού. Αυτό μπορεί να γίνει θέτοντας ένα διάφραγμα στα άκρα του φακού, ώστε να μην περνούν ακτίνες από αυτήν την περιοχή. Ωστόσο δεν μπορούμε να πάρουμε την τιμή του h όσο μικρή θέλουμε, γιατί έτσι δε θα περνά αρκετό φως από το φακό. Η πιο συνήθης επιλογή για ελαχιστοποίηση των σφαλμάτων έγκειται στην κατάλληλη επιλογή των ακτινών καμπυλότητας του φακού, έτσι ώστε να ελαχιστοποιείται το Δs. Δηλαδή να διαλέγουμε τις ακτίνες καμπυλότητας έτσι ώστε ο παράγοντας σχήματος να αντιστοιχεί στην ελάχιστη δυνατή τιμή της σφαιρικής εκτροπής, όπως δίνεται από την εξίσωση (2). Στο σχήμα 4 δίνεται η εξάρτηση του ποσοστιαίου σφάλματος από τον παράγοντα σχήματος p για διαφορετικές τιμές της απόστασης s μεταξύ φακού και αντικειμένου. ε 4 d 3 2 c b 1 10 5 5 10 Σχήμα 4. Εξάρτηση του σφάλματος ε από τον παράγοντα σχήματος p για φακό εστιακής απόστασης f = 10cm, ύψους h = 1cm και για διαφορετικές τιμές της απόστασης του αντικειμένου s. Η καμπύλη a αντιστοιχεί σε s =, η καμπύλη b σε s = 20cm, η καμπύλη c σε s = 15cm και η καμπύλη d σε s = 11cm. Παρατηρείστε ότι όσο πιο πολύ πλησιάζει το αντικείμενο στην εστία, τόσο μεγαλύτερα γίνονται τα σφάλματα. a p Παρατηρούμε ότι πάντα υπάρχει μία τιμή του παράγοντα σχήματος p για την οποία το σφάλμα ελαχιστοποιείται, ωστόσο αυτή η τιμή εξαρτάται από τη θέση του αντικειμένου. Αυτό σημαίνει ότι δεν μπορούμε να ελαχιστοποιήσουμε τα σφάλματα για όλες τις δυνατές χρήσεις του φακού, δηλαδή για όλα τα δυνατά αντικείμενα, αλλά πρέπει να επιλέξουμε μία κλίμακα αποστάσεων για την οποία θα χρησιμοποιούμε το φακό και ως προς αυτή να ελαχιστοποιήσουμε το σφάλμα. Άλλος φακός ελαχιστοποιεί τα σφάλματα από μακρινά αντικείμενα και άλλος για κοντινά, ακόμα και οι δύο φακοί αν έχουν την ίδια εστιακή απόσταση.
Η διαδικασία είναι η εξής. Έστω ότι θέλουμε να ελαχιστοποιήσουμε τα σφάλματα σφαιρικής εκτροπής για ένα φακό εστιακής απόστασης f. Πρώτα προσδιορίζουμε για ποιες αποστάσεις αντικειμένου s πρόκειται να τον χρησιμοποιήσουμε, και άρα τον παράγοντα απόστασης q από την Εξ. (4). Στη συνέχεις βρίσκουμε την τιμή p min του παράγοντα σχήματος που ελαχιστοποιεί το σφάλμα σύμφωνα με την εξίσωση (2). Αυτή υπολογίζεται ως Στη συνέχεια χρησιμοποιούμε την Εξ. (3) για p = p min μαζί με την Εξ. (1) για τη ζητούμενη τιμή της εστιακής απόστασης f. Έχουμε ένα σύστημα δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους, το οποίο λύνουμε για να επιλέξουμε τις τιμές των ακτινών καμπυλότητας R 1 και R 2 με τις οποίες θα κατασκευάσουμε το φακό. Ερώτημα 1. Σ αυτήν την άσκηση θα θεωρήσουμε ότι όλοι οι φακοί είναι φτιαγμένοι από γυαλί με δείκτη διάθλασης n = 1,5. Υπολογίστε τους συντελεστές A, B, C και D της Εξ. (5), κρατώντας 2 δεκαδικά ψηφία. Α =.. Β =.. C = D =.. Ερώτημα 2 Σας δίνεται φακός με ακτίνες καμπυλότητας R 1 = 10cm και R 2 = -50cm. Υπολογίστε την τιμή της εστιακής του απόστασης και τον παράγοντα σχήματος p. f =.cm p= Ο φακός αυτός έχει ύψος h =2cm. Βρείτε την διαμήκη σφαιρική εκτροπή Δs και το ποσοστιαίο σφάλμα ε, για διαφορετικές αποστάσεις αντικειμένου-φακού s, συμπληρώνοντας τον ακόλουθο πίνακα. s(cm) s (cm) q s h (cm) Δs (cm) ε(%) 30 Επαναλάβετε το παραπάνω αν αντιστρέψετε το φακό. p = s(cm) s (cm) q s h (cm) Δs (cm) ε(%) 30 Ερώτημα 3. Οι ακόλουθοι φακοί έχουν όλοι την ίδια εστιακή απόσταση f = 20cm και ύψος h = 1cm. Φακός 1: R 1 = 10cm, R 2 =. Φακός 2: R 1 = 15cm, R 2 = 30cm. Φακός 3: R 1 = 20cm, R 2 = 20cm. Φακός 4: R 1 = 8cm, R 2 = -cm.
Υπολογίστε τη διαμήκη σφαιρική εκτροπή Δs και το ποσοστιαίο σφάλμα ε για δέσμη παράλληλων ακτινών (s =, q = -1), για όλους τους φακούς 1, 2,3 και 4. Φακός p s h (cm) Δs (cm) ε(%) 1 2 3 4 Ερώτημα 4 Θέλετε να κατασκευάσετε φακό εστιακής απόστασης f = 20cm που να ελαχιστοποιεί τα σφάλματα σφαιρικής εκτροπής για διαφορετικές τιμές των αποστάσεων s. Υπολογίστε την τιμή p min του παράγοντα σχήματος που αντιστοιχεί σε ελάχιστο σφάλμα και από αυτή βρείτε τις ακτίνες καμπυλότητας R 1 και R 2 που πρέπει να χαρακτηρίζουν το φακό. Σε κάθε περίπτωση, υπολογίστε επίσης τη διαμήκη σφαιρική εκτροπή Δs και το ποσοστιαίο σφάλμα ε. s(cm) q p min R 1 (cm) R 2 (cm) s (cm) s h (cm) Δs (cm) ε 25 Τι γίνεται αν αντιστρέψετε τους παραπάνω φακούς. Υπολογίστε τη διαμήκη σφαιρική εκτροπή Δs και το ποσοστιαίο σφάλμα ε για την περίπτωση που αντιστρέφετε το φακό της τρίτης περίπτωσης παραπάνω. Δs =..cm ε =...%