ΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Η/Υ ΦΩΤΟΝΙΚΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΣΤΙΣ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Πόλωση Παθητικά Στοιχεία Ηρακλής Αβραμόπουλος Photonics Communications Research Laboratory
Διάρθρωση μαθήματος Πόλωση Τι είναι πόλωση Τύποι πόλωσης Φαινόμενα πόλωσης στις ίνες Παραμετροποίηση πόλωσης Διασπορά πόλωσης PMD Έλεγχος της πόλωσης
Διάρθρωση μαθήματος Παθητικά στοιχεία συζεύκτες ισχύος απομονωτές-κυκλοφορητές πολωτικά στοιχεία - ελεγκτές πόλωσης - πολωτές οπτικά φίλτρα - Mach-Zehnder - Fabry-Perot - φίλτρα φράγματος μεταγωγής Bragg - φίλτρα διηλεκτρικών επιστρώσεων -WDM πολυπλέκτες/αποπολυπλέκτες Ασκήσεις
Πόλωση Τι είναι πόλωση Η κατεύθυνση ταλάντωσης του ηλεκτρικού πεδίου Ē Ανάλυση σε άξονες ένα επίπεδο κύμα που διαδίδεται προς την κατεύθυνση z μπορεί να αναλυθεί σε κάθετες συνιστώσες: x y cos( kz ω ) ˆ β cos( kz ω t + 0x t 0 y δ ) ˆj όπου δ η διαφορά φάσης μεταξύ των συνιστωσών το συνολικό κύμα γράφεται: x + y
Είδη Πόλωσης Είδη πόλωσης Απόλωτο κύμα Ολικά πολωμένο κύμα (α) Γραμμική πόλωση (β) Κυκλική πόλωση (γ) Ελλειπτική πόλωση ανάλογα με το μέγεθος των συνιστωσών Ε x και Ε y και την τιμή δ της διαφοράς φάσης μεταξύ τους
Είδη Πόλωσης Γραμμική πόλωση (δ0,π,π..) Το διάνυσμα του Ē ακολουθεί ευθεία γραμμή
Είδη Πόλωσης γραμμική πόλωση Πώς γράφεται το πεδίο αν δ0, π, 4π ˆ β + ˆ)cos( j kz ( 0x 0 y t αν δπ, 3π, 5π ˆ β ˆ)cos( j kz ω ) ( 0x 0 y t ω ) και στις δύο περιπτώσεις έχω γραμμική πόλωση αλλάζει μόνο η κατεύθυνση κατά 90 ο
Είδη Πόλωσης Κυκλική πόλωση (δ-π/,π/..και Ε 0x 0y 0 ) Το διάνυσμα του Ē περιστρέφεται σε περιφέρεια κύκλου
Είδη Πόλωσης κυκλική πόλωση Πώς γράφεται το πεδίο αν δ-π/ και Ε 0x 0y 0 cos( kz ω ) ˆ x β y 0x t και cos( kz ωt ) ˆj > y όμοια, αν δπ/ 0 y π 0 y sin( kz ωt) οπότε [cos( ) ˆ 0 kz ωt β + sin( kz ωt) ˆ)] j αριστερόστροφη κυκλική πόλωση ˆ 0[cos( kz ωt) β sin( kz ωt) ˆ)] j δεξιόστροφη κυκλική πόλωση ˆj
Είδη Πόλωσης Ελλειπτική πόλωση (δ τυχαία και Ε 0x # 0y ) Το διάνυσμα του Ē περιστρέφεται σε περιφέρεια έλλειψης
Είδη Πόλωσης ελλειπτική πόλωση Πώς γράφεται το πεδίο δ τυχαία και Ε 0x # 0y x cos( kz ω t) ˆ β + 0 y cos( kz ωt + 0 δ ) ˆj
Φαινόμενα Πόλωσης στις ίνες Διπλοθλαστικότητα Η διαφορά στις ταχύτητες διάδοσης των δύο αξόνων σε ένα υλικό Λόγω διαφοράς στις ταχύτητες διάδοσης η φάση δ μεταβάλλεται γραμμικά με το χρόνο. Συνεπώς μεταβάλλεται και το είδος της πόλωσης γραμμική ελλειπτική κυκλική ελλειπτική γραμμική Μήκος Διακροτήματος Η φυσική απόσταση στην οποία η μεταβολή της φάσης γίνεται π
Διπλοθλαστικότητα Είδη διπλοθλαστικότητας Φυσική Διπλοθλαστικότητα - Ελλειπτικότητα ίνας - Άσκηση εσωτερική πίεσης Επαγόμενη - Άσκηση εξωτερικής δύναμης - Περιστροφές της ίνας - Τυχαίες κάμψεις και μικροκάμψεις Άλλα σχετικά μεγέθη Η διαφορά στις ταχύτητες φάσης Φ(z) (β x -β y )L Η απόσταση διατήρησης της συμφωνίας φάσης
Μεταβολή Πόλωσης στις ίνες Μεταβολή της πόλωσης σε οπτική ίνα δύο κυματοδηγούμενοι ρυθμοί: ΗΕ 11x και ΗΕ y 11 οι ταχύτητες φάσης στους δύο άξονες είναι διαφορετικές ανομοιογένειες και προσμίξεις προκαλούν τυχαία στροφή της πόλωσης το σχήμα της ίνας και η άσκηση πίεσης αλλάζουν την πόλωση
Παραμετροποίηση της Πόλωσης Η σφαίρα του Poincare γραφικό εργαλείο για την αναπαράσταση της πόλωσης S-παράμετροι αντιστοιχούν S ο : συνολική ισχύς S 1 : γραμμική πόλωση στο κατακόρυφο άξονα S : γραμμική πόλωση στις 45 ο S 3 : δεξιόστροφη κυκλική πόλωση
Η σφαίρα του Poincare S-παράμετροι + + φ φ sin cos 135 45 3 1 V H V H V H V H L R V H V H o P P P P P P P P S S S S S όπου φ διαφορά φάσης Ε H και Ε V S ο : συνολική ισχύς S 1 : πλεόνασμα ισχύος της οριζόντιας πόλωσης ως προς την κατακόρυφη S : πλεόνασμα πολωμένης ισχύος στις 45 0 ως προς τις 135 0 S 3 : πλεόνασμα δεξιόστροφα ως προς αριστερόστροφα πολωμένη ισχύ
Ιδιότητες Ιδιότητες ακτίνα της σφαίρας η ισχύς So γραμμική πόλωση : S 3 0 δεξιόστροφη κυκλική πόλωση: S 3 S o και S 1 S 0 αριστερόστροφη κυκλική πόλωση: S 3 -S o και S 1 S 0 δύο ορθογώνια διανύσματα είναι αντιδιαμετρικά πάνω στη σφαίρα Μετρικά Βαθμός Πολωσιμότητας: Βαθμός Γραμμικής Πολωσιμότητας: Βαθμός Κυκλικής Πολωσιμότητας:
Διασπορά πόλωσης Διασπορά πόλωσης (PMD) μορφή τροπικής διασποράς που επηρεάζει τη μετάδοση του σήματος σε μεγάλες αποστάσεις και υψηλούς ρυθμούς σηματοδοσίας. Συνέπειες PMD Χρονική διαπλάτυνση των παλμών με στοχαστικό τρόπο < ΔT > D L PMD Παραμόρφωση 0.1ps / km διάγραμμα ματιού
Ίνες διατήρησης πόλωσης Polarization Maintaining Fiber (PM) Εισαγωγή διπλοθλαστικότητας στις ίνες έτσι ώστε να περιοριστεί ο συντελεστής σύζευξης μεταξύ των δύο ορθογώνιων εκφυλισμένων καταστάσεων. Διαφωνία πολώσεων Px CT 10log10 10log10 tanh h P [ ( L) ] Τύποι (a) ελλειπτικού πυρήνα (b) side-pit (c) ελλειπτικού πυρήνα υπό πίεση (d) bow-tie (e) panda (f) επίπεδη ίνα (g) ίνα με περιστροφές (twisted) y h παράμετρος σύζευξης ισχύος
Έλεγχος της πόλωσης Ελεγκτής πόλωσης δημιουργία οποιασδήποτε κατάστασης πόλωσης στην έξοδο από οποιαδήποτε πόλωση εισόδου κατασκευή: ένα ή περισσότερα στοιχεία καθυστέρησης σε σειρά. Ο άξονας διπλοθλαστικότητας κάθε στοιχείου περιστρέφεται ανεξάρτητα. το διπλοθλαστικό στοιχείο μπορεί να είναι: (α) οπτικό πλακίδιο (β) οπτική ίνα χειροκίνητοι ελεγκτές πόλωσης
Έλεγχος της πόλωσης Αυτόματος ελεγκτής πόλωσης έλεγχος του κάθε διπλοθλαστικού στοιχείου με τάση οδήγηση από μικροελεγκτή με ανατροφοδότηση ελεγκτής πόλωσης μικροελεγκτής
Έλεγχος της πόλωσης Πολωτής ο πολωτής λειτουργεί σαν μια χαραμάδα που επιτρέπει το φως να περάσει μόνο σε ένα επίπεδο. ονομάζεται και πολωτικό φίλτρο γιατί φιλτράρει το φως που βρίσκεται σε οποιαδήποτε άλλη πολωτική κατάσταση πολωτές Κρυστάλλου ίνας
Έλεγχος της πόλωσης Διαχωριστής πόλωσης (PBS) αναλύει την πόλωση σε δύο κάθετους άξονες διαχωριστές πόλωσης κρυστάλλου ίνας
Σταθεροποίηση της πόλωσης Σταθεροποίηση με ελεγκτή + διαχωριστή πόλωσης ρυθμίζω τον ελεγκτή πόλωσης έτσι ώστε να ελαχιστοποιήσω την ισχύ στον y-άξονα (έξοδος Β) Όλο το σήμα εξέρχεται από την έξοδο Α, συνεπώς η πόλωσή του έχει στραφεί παράλληλα με τον άξονα x
Παθητικά στοιχεία Παθητικά στοιχεία συζεύκτες ισχύος Κυκλοφορητές και απομονωτές πολωτικά στοιχεία - ελεγκτές πόλωσης - πολωτές οπτικά φίλτρα - Mach-Zehnder - Fabry-Perot - φίλτρα φράγματος μεταγωγής Bragg - φίλτρα διηλεκτρικών επιστρώσεων -WDM πολυπλέκτες/αποπολυπλέκτες ασκήσεις στα παθητικά στοιχεία
Οπτικοί Συζεύκτες διαχωρισμός οπτικής ισχύος σε ή περισσότερες εξόδους Τύποι Χαρακτηριστικά λόγος διαχωρισμού (splitting ratio): απώλειες (insertion loss): διαφωνία (crosstalk): log P P ( db ) 1 10 10 επιπλέον απώλεια (excess loss): P 3 4 P 100% 1 100% 4 3 4 ( P + P ) ( P + P ) 3 log P1 P ( db ) 4 10 10 log P 1 ( P3 P4) ( db + ) 10 10
Οπτικοί Συζεύκτες Μέθοδοι κατασκευής οπτικών συζευκτών ίνας συντηγμένοι συζεύκτες δικωνικής εκλέπτυνσης (fused biconical taper coupler): συζεύκτες με λείανση επιφάνειας (polished coupler): συζεύκτες με χρήση διηλεκτρικών φίλτρων (dielectric filter coupler): χρήση διαφυγέντος πεδίου χρήση διηλεκτρικών φίλτρων
Θεωρία Συζευγμένων Ρυθμών το πεδίο του οδηγούντος κυματοδηγού δημιουργεί πόλωση στο διηλεκτρικό που είναι σε φάση μαζί του. Μέσω διαφυγέντος πεδίου η πόλωση δημιουργεί πεδίο στο δεύτερο κυματοδηγό. το πεδίο σε κάθε ίνα είναι: ( x, y, z) A ( z) ( x, z) i i i και η οπτική ισχύς: P( z) A ( z) i i
Θεωρία Συζευγμένων Ρυθμών Η σύζευξη ρυθμών γίνεται μέσω της: da dz i ( z) iβ A ( z) + k, A ( z) i i όπου β i σταθερές μετάδοσης και k ij συντελεστές σύζευξης Για ίδιες ίνες είναι β i β j β και k ij k ji -ik, οπότε: d dz i ( z) iβ ( z) ik ( z) i i j j j
Θεωρία Συζευγμένων Ρυθμών Για Ε 1 (0)1 και Ε (0)0 (είσοδος μόνο από τη θύρα 1) ή 1 ( z) coskz e iβz και iβz ( z) isin kz e sin P z kz e α ( ) cos ( ) z 1 P z kz e α ( ) sin ( ) z kz και e i( βzπ ) όπου ο παράγοντας εξασθένισης α συμπεριλαμβανόταν στην έκφραση της σταθεράς διάδοσης β (μιγαδικό μέρος).
Θεωρία Συζευγμένων Ρυθμών P (z) P 1 (z) λαμβάνοντας υπόψιν και τις απώλειες Η ενέργεια μεταφέρεται μεταξύ των δύο ινών περιοδικά H φάση του πεδίου του οδηγούμενου κυματοδηγού πάντα παίρνει καθυστέρηση π/
Οπτικός Απομονωτής Απομονωτής -Isolator Επιτρέπει τη διάδοση του φωτός προς μια μόνο κατεύθυνση Ελαχιστοποιούν ανακλάσεις που διαταράσσουν τη λειτουργία οπτικών πηγών laser και ενισχυτών. Τυπικά χαρακτηριστικά - απώλειες: <0.5 db - απομόνωση: ~ 40 db κρυστάλλου ίνας
Οπτικός Κυκλοφορητής Κυκλοφορητής - Circulator Επιτρέπει το διαχωρισμό σημάτων που διαδίδονται σε αντίθετες κατευθύνσεις μέσα στην ίδια ίνα το σήμα διαδίδεται: - από το 1-> - από το ->3 Χρησιμοποιείται σε οπτικές ζεύξεις κατευθύνσεων
Οπτικά Φίλτρα Τύποι Οπτικών Φίλτρων Ζωνοπερατό φίλτρο Περιοδικό φίλτρο WDM πολυπλέκτης - αποπολυπλέκτης
Οπτικά Φίλτρα Χαρακτηριστικά Οπτικών Φίλτρων φασματικό εύρος/σχήμα καταπίεση παρεμβολή (crosstalk) φασματική ομοιομορφία
Οπτικά Φίλτρα Θεωρία Συμβολής Διαίρεση πλάτους οι συνιστώσες του φωτός ακολουθούν διαφορετικές διαδρομές και επανασυνδέονται συμβολομετρικά Διαίρεση μετώπου κύματος το φώς από μία πηγή περνά ταυτόχρονα από ή περισσότερα ανοίγματα όπου γίνεται περίθλαση. Κάθε αποτέλεσμα της περίθλασης συνεισφέρει ένα κύμα στο σημείο υπέρθεσης
Θεωρία Συμβολής σε ένα σημείο στο μέτωπο του κύματος η διαφορά φάσης μεταξύ των σημάτων από διαφορετικές πηγές είναι: δ π fsinθ λ το πλάτος του πεδίου στο σημείο αυτό είναι: Rcos(ωt+α)acos(ωt)+acos(ωt+δ)+acos(ωt+δ)+ +acos(ωt+[n-1]δ) και η φασική γωνία: α o δ o nδ δ 90 90 ( n 1) Η ένταση του κύματος: sinθ sin Nπf sin ( Nδ ) λ I R a a a sin ( δ ) sinθ sin πf λ sin sin ( Nβ ) ( β ) όπου I s η ένταση από κάθε πηγή και βπfsinθ/λ
Οπτικά Φίλτρα εικόνες συμβολής Για μεγάλο N, β μικρό και sin β β, οπότε: I ~ a sin ( Nβ ) αν Nβ0 τότε ΙΝ α -> προσθετική συμβολή αν Νβ(k+1)Ν/ αν Νβkπ -> υψηλότεροι όροι προσθετικής συμβολής -> αναιρετική συμβολή
Mach-Zehnder Το Συμβολόμετρο Mach-Zehnder διάταξη με οπτικούς συζεύκτες - καθυστέρηση Δτ - λόγος σύζευξης α Συνάρτηση μεταφοράς για τις εξόδους T T T ( f ) 1 4 a ( 1 a) cos ( π f Δτ ) in T R ( f ) 4 a ( 1 a) cos ( π f Δτ ) R in
Mach-Zehnder Γραφικές παραστάσεις για α0.5 (συζεύκτες 3 db) θύρα Τ θύρα R
Mach-Zehnder Σημαντικά μεγέθη Ελεύθερη Φασματική Περιοχή FSR 1 FSR Δfmax Δτ Εύρος ζώνης ημίσειας ισχύος -FWHM FWHM Λεπτότητα - Finesse F f 1 FSR FWHM 1 Δτ Η συνάρτηση μεταφοράς του Mach-Zehnder δεν είναι αρκετά απότομη ώστε να παρέχει αποδοτικό φιλτράρισμα λύση: χρήση πολλών Mach-Zehnders σε σειρά
Mach-Zehnder Αλυσίδες Mach-Zehnder Ελεύθερη Φασματική Περιοχή FSR το n-οστό στοιχείο εισάγει καθυστέρηση Δτ/ n FSR max{ FSRn } Δτ Εύρος ζώνης ημίσειας ισχύος -FWHM 1 FWHM min{ FWHM n} Δτ Λεπτότητα - Finesse F FSR m + 1 FWHM m
Mach-Zehnder Αλυσίδες Mach-Zehnder 1 ο στοιχείο MZI: Καθυστέρηση Δτ ο στοιχείο MZI: Καθυστέρηση Δτ/ 3 ο στοιχείο MZI: Καθυστέρηση Δτ/4 Συνάρτηση μεταφοράς αλυσίδας MZI
Fabry-Perot Το Συμβολόμετρο Fabry-Perot - απώλειες κατόπτρου Α - ανακλαστικότητα R - ένταση προσπίπτοντος κύματος i 1 4 sin 1 1 1 1 ) ( ) ( + πfτ R R R A f H f T περιοδική συνάρτηση μεταφοράς
Fabry-Perot Χαρακτηριστικά του Fabry-Perot Ελεύθερη Φασματική Περιοχή FSR 1 c FSR τ nx Εύρος ζώνης ημίσειας ισχύος -FWHM FWHM c nx Λεπτότητα - Finesse 1 R π R F FSR π R FWHM 1 R
Fabry-Perot Τύποι Fabry-Perot Fabry-Perot ελεύθερου χώρου ( bulk etalon) Fabry-Perot ίνας (fiber Fabry-Perot) H απόσταση μεταξύ των ινών μεταβάλλεται με εφαρμογή τάσης σε ένα εξωτερικό πιεζοηλεκτρικό στέλεχος έτσι ρυθμίζεται εύκολα το FSR.
Φίλτρα Φράγματος Μεταγωγής Ιδιότητες το φράγμα περιθλά διαφορετικά μήκη κύματος σε διαφορετικές γωνίες Τα φράγματα χαρακτηρίζονται από την περίοδο Λ Η διασπορά στη γωνία ανάκλασης υπολογίζεται, παίρνοντας την παράγωγο της γωνίας ανάκλασης ως προς το μήκος κύματος Δθ Δλ d Λ m sinθ i όπου θ i γωνία πρόσπτωσης και θ d γωνία ανάκλασης
Φράγματα Μεταγωγής Ίνaς Bragg Gratings Λειτουργία λειτουργούν με τον ίδιο τρόπο, όπως και τα απλά φράγματα μεταγωγής. ανακλούν τα ανεπιθύμητα μήκη κύματος ενώ διέρχεται μόνο ένα. Για αυτό χρησιμοποιούνται σε συνδυασμό με κυκλοφορητή. το επιλεγμένο μήκος κύματος ρυθμίζεται είτε θερμικά ή τεντώνοντας την ίνα.
Φράγματα Μεταγωγής Ίνaς Bragg Gratings Κατασκευή χρησιμοποιείται φωτοευαίσθητη ίνα με προσμίξεις Γερμανίου μια πηγή UV φωτίζει την ίνα στα κατάλληλα σημεία αλλάζοντας το δείκτη διάθλασης του πυρήνα στα σημεία αυτά.
Chirped Fibre Bragg Gratings Λειτουργία Γραμμική μεταβολή στην περίοδο του grating (chirp) Διαφορετικά μήκη κύματος ανακλώνται με διαφορετική καθυστέρηση Μεγάλη τιμή διασποράς μπορεί να δημιουργηθεί με μικρό μήκος ίνας χρήση για αντιστάθμιση διασποράς
Φίλτρα Διηλεκτρικών Επιστρώσεων Λειτουργία ζωνοπερατά φίλτρα σύνθετες κοιλότητες Fabry-Perot πολλαπλές ανακλάσεις προκαλούν προσθετικές και αναιρετικές συμβολές δυνατότητα για διαφορετικό σχήμα και εύρος ζώνης
Φίλτρα Διηλεκτρικών Επιστρώσεων Κατασκευή εναπόθεση (Magnesium Fluoride και Zinc Sulphide αντίστοιχα) πάνω σε υπόστρωμα καθένα υπόστρωμα έχει πάχος ίσο με 1/4 του μήκους κύματος (quarter wave stack). το εύρος ζώνης εξαρτάται από τον λόγο των δεικτών διάθλασης n H /n L
WDM πολυπλέκτης - αποπολυπλέκτης Λειτουργία πολυπλεξία διαφορετικών μηκών κύματος σε μία ίνα (MUX) διαχωρισμός σήματος σε διαφορετικές εξόδους ως προς το μήκος κύματος (DMUX)
Ασκήσεις
Άσκηση 1 Άσκηση 1 Ο οπτικός απομονωτής βασίζεται στη στροφή της πόλωσης του οπτικού σήματος ανεξαρτήτως κατεύθυνσης διάδοσης (λόγω του φαινομένου Faraday) κατά 45 ο, όπως φαίνεται στο σχήμα.
Άσκηση 1 Άσκηση 1 Βασική προϋπόθεση της λειτουργίας του όμως είναι ο έλεγχος της κατάστασης πόλωσης του οπτικού σήματος στην είσοδο του απομονωτή, ώστε να συμπίπτει με τον άξονα του πολωτή εισόδου. Αντιστοίχως θα πρέπει να ελεγχθεί η πόλωση του ανακλώμενου σήματος, ώστε να συμπίπτει με τον άξονα του πολωτή εξόδου. Πως θα μπορούσε ο απομονωτής να κατασκευαστεί ώστε να λειτουργεί ικανοποιητικά ανεξαρτήτως της πολωτικής κατάστασης του σήματος εισόδου;
Άσκηση 1 Λύση Ως γνωστόν ο απομονωτής λειτουργεί με βάση ένα στοιχείο Faraday που στρέφει την πόλωση κατά 45 ο ανεξαρτήτως της φοράς διάδοσης. Έτσι, ένα γραμμικά πολωμένο σήμα στην είσοδο του απομονωτή στρέφεται κατά 45 ο και περνά στον πολωτή εξόδου, ο οποίος έχει επίσης τον άξονά του στραμμένο κατά 45 ο. Αν το σήμα διαδοθεί ανάποδα, τότε η πόλωσή του θα στραφεί κατά επιπλέον 45 ο κατά την ίδια φορά, άρα το σύνολο θα είναι 90 ο. Επομένως το σήμα θα απορριφθεί στον πολωτή εισόδου.
Άσκηση 1 Για να λειτουργήσει ο απομονωτής ανεξαρτήτως πόλωσης εισόδου μπορεί να υλοποιηθεί η παρακάτω διάταξη.
Άσκηση 1 Αντίθετα με πριν, αντί για πολωτή χρησιμοποιούμε ένα PBS (Polarization Beam Splitter). Το στοιχείο αυτό αναλύει την τυχαία πόλωση σε δύο κάθετες μεταξύ τους πολώσεις που διαδίδονται παράλληλα μέσα στον απομονωτή. Οι πολώσεις στρέφονται κατά 45 ο στο στοιχείο Faraday και φτάνουν στο πλακίδιο λ/. Το πλακίδιο λ/ εισάγει στροφή πόλωσης 45 ο, αλλά η στροφή γίνεται ωρολογιακά όταν το σήμα διαδίδεται προς τα δεξιά (θετικά z) και ανθωρολογιακά όταν το σήμα διαδίδεται προς τα αριστερά. Οι δύο πολώσεις λοιπόν στρέφονται κατά συνολικά 90 ο και αθροίζονται σε ένα δεύτερο PBS, του οποίου οι άξονες είναι κάθετοι σε αυτούς του PBS εισόδου.
Άσκηση 1 Αν τώρα το σήμα έρθει αντίθετα από την κανονική φορά διάδοσης θα αναλυθεί ομοίως σε δύο κάθετους άξονες στο PBS εξόδου. Η στροφή πόλωσης στο πλακίδιο λ/ λόγω της διάδοσης προς τα αριστερά θα είναι τώρα 45 ο. Η στροφή πόλωσης στο στοιχείο Faraday θα είναι +45 ο και συνεπώς η συνολική στροφή θα είναι 0 ο. Λόγω του γεγονότος ότι οι πολώσεις είναι πλέον κάθετες στους άξονες του PBS εισόδου, όλο το αντίθετα διαδιδόμενο σήμα απορρίπτεται.
Άσκηση Άσκηση Υποθέστε ότι γραμμικά πολωμένο φως συζευγνύεται σε διπλοθλαστική ίνα με γωνία πόλωσης 45 ο ως προς τους άξονες της ίνας. Η ίνα έχει σταθερές διάδοσης β x και β y για τους δυο άξονες και μήκος L. Στην έξοδο της ίνας υπάρχει πολωτής τοποθετημένος επίσης στις 45 ο ως προς τους άξονες της ίνας. Δείξτε ότι η διάταξη λειτουργεί σαν φίλτρο και υπολογίστε τη συνάρτηση μεταφοράς του, καθώς και την ελεύθερη φασματική περιοχή του.
Άσκηση Λύση Έστω ότι στην είσοδο της ίνας έχουμε το γραμμικά πολωμένο φως in e jωt Στην είσοδο της ίνας τα πεδία x και y γράφονται: x y Μετά τη διάδοση σε μήκος L διπλοθλαστικής ίνας τα σήματα είναι: ( ) e j ω t β x L ( ) x και e j ω t β y L y e ^ p jωt
Άσκηση με β x,y ω c n x,y Το διανυσματικό άθροισμα των παραπάνω σημάτων στον τελικό πολωτή θα δώσει: out x + y ^ p e j ( ωt β L) j( ωt βy L) x ^ + e p
Άσκηση Η συνάρτηση μεταφοράς της διάταξης είναι: T( ω) I I { out } { in } 1 ( ( ) ( )) j ωtβ j ωtβ L x L y e + e e jωt cos ( β β ) x y L π f c L () ( cos n n ) T f x y
Άσκηση Για να υπολογιστεί η ελεύθερη φασματική περιοχή βρίσκουμε την απόσταση μεταξύ των μεγίστων της συνάρτησης μεταφοράς: T(f ) max π f f max max c L L cos ( n n ) c π f ( n n ) x x y y max c k, k L k π ( n n ) x 0,1,... y 1
Άσκηση Το εύρος ζώνης ημίσειας ισχύος: Άρα ( ) n n L c f FSR y x max Δ ( ) ( ) ( ) n n L c f FWHM n n L 4 c f 1 n n c L f cos 1 T(f ) y x 1 y x 1 y x 1 π
Άσκηση Με βάση τα παραπάνω υπολογίζεται η λεπτότητα του φίλτρου F FSR FWHM
Άσκηση 3 Άσκηση 3 (α) Θεωρείστε την διάταξη του σχήματος (συμβολόμετρο Mach-Zehnder-ΜΖΙ). Δείξτε ότι η διάταξη δρα σα φίλτρο όταν μία είσοδος είναι ενεργή. Βρείτε την συνάρτηση μεταφοράς του φίλτρου τόσο στη θύρα T, όσο και στη θύρα R.
Άσκηση 3 (β) Βρείτε την ελεύθερη φασματική περιοχή, το εύρος ζώνης ημίσειας ισχύος και τη λεπτότητα του φίλτρου. (γ) Θεωρείστε μια αλυσίδα m φίλτρων MZI, το n-οστό στοιχείο της οποίας εισάγει χρονική διαφορά Δτ. Να n βρεθεί η λεπτότητά της. (δ) Με βάση το (γ) και δεδομένου ότι η λεπτότητα ενός π R Fabry-Perot φίλτρου είναι F, να βρεθεί ο 1 R ελάχιστος αριθμός στοιχείων MZI, για τον οποίο η αλυσίδα έχει καλύτερη λεπτότητα από ένα Fabry-Perot. Επιπλέον, σχεδιάστε τον αριθμό στοιχείων n σαν συνάρτηση της ανακλαστικότητας R.
Άσκηση 3 Λύση (α) Έστω ότι το σήμα στην είσοδο είναι της μορφής: ^ t j in in p e ω Τότε στις αντίστοιχες θύρες θα εμφανιστούν τα σήματα: ^ t j in 1 p e a ω ^ t j in j p e e a 1 ω π Το σήμα στη θύρα 1 υφίσταται μια χρονική καθυστέρηση Δτ πριν φτάσει στον δεύτερο συζεύκτη Το σήμα στη θύρα παραμένει αμετάβλητο
Άσκηση 3 Άρα στις εισόδους του δεύτερου συζεύκτη εμφανίζονται τα σήματα: ^ t j t j in 3 p e e a ω ωδ ^ t j in j 4 p e e a 1 ω π Συνολικά εμφανίζονται τα πεδία: ( ) ( ) ( ) ^ t j in t j ^ t j j in ^ t j t j in T p e 1 e 1 a p e e a 1 p e e a + + ω ωδ ω π ω ωδ και
Άσκηση 3 ( ) ( ) + + ω π ω π ωδ ^ t j j in ^ t j j t j in R p e e a 1 a p e e e a 1 a ( ) ( ) ^ t j j in t j p e e e 1 a 1 a + ω π ωδ
Άσκηση 3 Για τις συναρτήσεις μεταφοράς θα πρέπει να υπολογιστούν τα ακόλουθα: T T T R T ( ) ( ) f 1 4 a 1 a cos ( π f Δτ ) in ( ) ( ) f 4 a 1 a cos ( π f Δτ ) R in T T ( f ) + T ( f ) 1 Προφανώς ισχύει ότι, αφού η διάταξη είναι ένα μη ενεργό στοιχείο χωρίς απώλειες. R
Άσκηση 3 Προσδιορισμός της παραμέτρου a (μεγιστοποίηση της μεταφορά ενέργειας από την είσοδο σε κάποια έξοδο) T T (f ) max cos ( ) ( ) a a 0 a 50% ωδτ 1 a Χρειάζεται λοιπόν ένας 3 db συζεύκτης για την μεγιστοποίηση της ισχύος σε κάποια έξοδο του συμβολομέτρου. Άρα: T T ( f ) sin f ( π Δτ ) T R (f ) cos f ( π Δτ)
Άσκηση 3
Άσκηση 3 (β) Ελεύθερη φασματική περιοχή-fsr: T R (f ) max cos ( π f Δτ) max 1 π f max Δτ k π f max k Δτ, k 0,1,... Άρα FSR Δ fmax 1 Δτ
Άσκηση 3 Εύρος ζώνης ημίσειας ισχύος: T R (f ) 1 cos π f 1 Δτ 1 π f 1 Δτ π 4 f 1 1 4 Δτ Άρα FWHM f 1 1 Δτ Λεπτότητα φίλτρου: Με βάση τα παραπάνω υπολογίζεται η λεπτότητα του φίλτρου. FSR F FWHM
Άσκηση 3 (γ) Η συνάρτηση μεταφοράς της αλυσίδας Δτ m R(f ) cos π f n n 0 Τα μέγιστα της συνάρτησης μεταφοράς της αλυσίδας θα βρίσκονται εκεί, όπου όλες οι επιμέρους συναρτήσεις μεταφοράς είναι μέγιστες. Άρα η ελεύθερη φασματική περιοχή θα είναι (ορίζοντάς την σαν απόσταση μεταξύ των μεγίστων) FSR max { FSR } καθώς το n-οστό στοιχείο MZI θα παρουσιάζει ελεύθερη φασματική περιοχή FSR n n Δτ n m Δτ
Άσκηση 3 1 ο στοιχείο MZI: Καθυστέρηση Δτ ο στοιχείο MZI: Καθυστέρηση Δτ/ 3 ο στοιχείο MZI: Καθυστέρηση Δτ/4 Συνάρτηση μεταφοράς αλυσίδας MZI
Άσκηση 3 Προσεγγιστικά (όλες οι επιμέρους συναρτήσεις μεταφοράς είναι κανονικοποιημένες στη μονάδα), μπορούμε να πάρουμε την χειρότερη περίπτωση, για την οποία ισχύει: FWHM min { FWHM } n 1 Δτ (δηλαδή μπορούμε να είμαστε σίγουροι ότι η συνολική συνάρτηση μεταφοράς θα παρουσιάζει εύρος ημίσειας ισχύος ίσο ή μικρότερο με αυτό της πρώτης βαθμίδας). Υπενθυμίζεται ότι FWHM n n-1 Δτ
Άσκηση 3 Άρα στην χειρότερη περίπτωση F FSR m + 1 FWHM (δ) Για να έχει η αλυσίδα MZI καλύτερη λεπτότητα από ένα Fabry-Perot θα πρέπει: m+ 1 π R > m > log 1 R π 1 R R 1
Άσκηση 3 Για μεγάλες τιμές ανακλαστικότητας του Fabry-Perot φίλτρου, ο αριθμός MZI στοιχείων που χρειάζονται για ίδια λεπτότητα αυξάνει εκθετικά.