Διαμόρφωση Συχνότητας. Frequency Modulation (FM)

Διαμόρφωση Συχνότητας Frequency Modulation (FM)

Τι συμβαίνει με τις γραμμικές διαμορφώσεις; Στη γραμμική διαμόρφωση CW (Carrier Wave) δηλαδή, AM, DSB, SSB, VSB Το πλάτος ενός ημιτονικού φέροντος μεταβάλλεται σύμφωνα με την πληροφορία Το διαμορφωμένο σήμα είναι μια μετατοπισμένη σε συχνότητα εκδοχή του διαμορφώνοντας σήματος τα φάσματα μοιάζουν Το εύρος ζώνης μετάδοσης είναι δεν υπερβαίνει το διπλάσιο του εύρους ζώνης του σήματος B 2W

Γραμμικές διαμορφώσεις και θόρυβος Όπως θα δούμε στη συνέχεια, δεν υπάρχει βελτίωση σηματοθορυβικής σχέσης Η σηματοθορυβική σχέση δεν μπορεί να είναι καλύτερη από αυτή της μετάδοσης στη βασική ζώνη Για να βελτιωθεί η σηματοθορυβική σχέση πρέπει να αυξηθεί η ισχύς εκπομπής

Τι είναι διαμόρφωση γωνίας; Στις διαμορφώσεις γωνίας (FM, PM) το πλάτος του φέροντος διατηρείται σταθερό Το σήμα μεταβάλει τη συχνότητα ή φάση το φέροντος Είναι μη γραμμικές Δεν υπάρχει απλή σχέση μεταξύ φάσματος μετάδοσης και φάσματος σήματος Δημιουργούνται νέες συχνότητες Προκύπτει βελτίωση της επίδοσης σε σχέση με το θόρυβο και τις παρεμβολές

Διαμόρφωση γωνίας και θόρυβος Όπως θα δούμε στη συνέχεια, η σηματοθορυβική σχέση στην έξοδο γίνεται πολύ καλύτερη όταν αυξάνει το εύρος ζώνης Το εύρος ζώνης είναι, εν γένει, μεγαλύτερο του διπλάσιου του εύρους ζώνης του σήματος B>2W Στις διαμορφώσεις γωνίας μπορούμε να ανταλλάξουμε εύρος ζώνης με σηματοθορυβική σχέση διατηρώντας την ισχύ σταθερή

Τι χρειάζεται η διαμόρφωση γωνίας; Καλύτερη απαλοιφή θορύβου Βελτίωση της πιστότητας του σήματος Εφαρμογές Ραδιοφωνία FM Ήχος τηλεοπτικού σήματος Ασύρματη (κινητή) επικοινωνία Συνθεσάιζερ (YAMAHA) Εγγραφή αναλογικού βίντεο σε ταινία (VCR) Π.χ. το σήμα φωτεινότητας στο VHS

Ιστορικά στοιχεία Η διαμόρφωση FM αποτελεί εφεύρεση του E. Armstrong (1933) Έχει εφεύρει και τον υπερετερόδυνο δέκτη Η εισαγωγή και κυριάρχηση της ραδιοφωνίας FM καθυστέρησε πολύ Απείλησε με εξαφάνιση τη ραδιοφωνία AM (Disruptive technology) Η FCC μετέφερε τη μπάντα των FM από την περιοχή 42 μέχρι 50 MHz στην περιοχή 88 μέχρι 108 MHz ώστε να υπάρξει χώρος για κανάλια TV

Ορισμοί Φέρον Διαμορφωμένο σήμα [ π φ ] [ θ ] ct () = Acos2 ft+ = Acos () t c c c c c [ θ ()] A { jθ ()} s() t = A cos t = Re exp( t ) c i c i Η διαμόρφωση γίνεται στον εκθέτη ή στη γωνία

Ορισμοί (συν) Μέση συχνότητα για αύξουσα θ i (t) είναι θi( t+ Δt) θi( t) fδt () t = 2πΔt Στιγμιαία συχνότητα θi( t+ Δt) θi( t) 1 dθi( t) fi( t) = lim fδt( t) = lim = Δ t 0 Δ t 0 2πΔt 2π dt Η στιγμιαία γωνία στην περίπτωση του φέροντος θ () t = 2π f t+ φ i c c

Διαμόρφωση φάσης Phase Modulation (PM) Η φάση του διαμορφωμένου σήματος είναι ανάλογη του προς διαμόρφωση σήματος θ () t = 2 π f t+ k m() t i c p Ο πρώτος όρος αντιστοιχεί στο αδιαμόρφωτο φέρον Ησταθεράk p είναι η ευαισθησία φάσης Το διαμορφωμένο σήμα PM είναι s() t = Accos 2 π fct+ k pm() t

Διαμόρφωση φάσης (PM)

Διαμόρφωση συχνότητας Frequency Modulation (FM) Η στιγμιαία συχνότητα είναι ανάλογη του προς διαμόρφωση σήματος fi() t = fc + k f mt () Ο πρώτος όρος αντιστοιχεί στο αδιαμόρφωτο φέρον Ησταθεράk f είναι η ευαισθησία συχνότητας Η στιγμιαία γωνία είναι θi() t = 2π fct+ 2 πk f m( τ) dτ Το διαμορφωμένο σήμα FM είναι t st () = Acos c 2π ft c + 2 πk f m( τ) dτ t

Διαμόρφωση συχνότητας (FM)

Χαρακτηριστικά διαμορφώσεων γωνίας (FM, PM) Τα σήματα FM και PM είναι παρόμοια Οι μηδενισμοί δεν ισαπέχουν To πλάτος του διαμορφωμένου σήματος είναι σταθερό Σταθερή ισχύς ανεξάρτητα από το σήμα προς διαμόρφωση A 2 c P = 2

Μηδενισμοί Στη διαμόρφωση γωνίας (FM, PM) η πληροφορία του σήματος μεταφέρεται στους μηδενισμούς (zero crossings) του διαμορφωμένου σήματος Βλέποντας σε παλμογράφο το διαμορφωμένο σήμα, δεν είναι εύκολο να μαντέψουμε το είδος διαμόρφωσης Το πλάτος είναι σταθερό Στη συχνότητα εμφανίζονται πυκνώματα και αραιώματα

Μηδενισμοί

Στιγμιαία φάση/συχνότητα φ () t i kmt () PM p = t 2 πk f m( τ) dτ FM Μπορούμε να αγνοήσουμε την αρχική τιμής της φάσης και να χρησιμοποιήσουμε το αόριστο ολοκλήρωμα k p dm() t 1 d fc + PM fi() t = θi() t = 2π dt 2π dt fc + kfm() t FM

Ισοδυναμία FM και PM Το διαμορφωμένο σήμα FM που προκύπτει από την παράγωγο του προς διαμόρφωση σήματος αντιστοιχεί σε διαμορφωμένο σήμα PM Το διαμορφωμένο σήμα PM που προκύπτει από το ολοκλήρωμα του προς διαμόρφωση σήματος αντιστοιχεί σε διαμορφωμένο σήμα FM

Ισοδυναμία FM και PM

Ισοδυναμία FM και PM Διαμορφωτής FM Ολοκληρωτής Διαμορφωτής PM Διαμορφωτής PM Διαφοριστής Διαμορφωτής FM

Σχεδιάστε το σήμα FM ή PM Ποια είναι τα σήματα FM και PM που παράγονται από το ψηφιακό σήμα m(t) όταν k f =10 5, k p =10π καιf c =100 MHz;

Σχεδιάστε το σήμα FM ή PM Περίπτωση FM min Περίπτωση PM 8 5 f () t = f + k m() t = 10 + 10 m() t f i c f i = 99,9 MHz, f = 100,1 MHz i max k p dm() t 8 fi() t = fc + = 10 + 5 m () t 2π dt f = 99,9 MHz, f = 100,1 MHz i min i max

Σήμα FM και PM s FM FM (t) s PM (t) Αύξηση συχνότητας Μείωση συχνότητας

Σχεδιάστε το σήμα FM ή PM Ποια είναι τα σήματα FM και PM που παράγονται από το ψηφιακό σήμα m(t) όταν k f =10 5, k p =π/2 και f c =100 MHz;

Σχεδιάστε το σήμα FM ή PM Περίπτωση FM Περίπτωση PM 8 5 f () t = f + k m() t = 10 + 10 m() t i c f k dm() t 1 f () t p 10 8 () i = fc + m t 2 dt = + 4 π

Σήμα FM s(t) Binary Frequency Shift Keying

Σήμα PM Οι ασυνέχειες του σήματος δημιουργούν συναρτήσεις δέλτα στην παράγωγό του Τι συμβαίνει τότε;

Σήμα PM π st () = Accos 2 π ft c + mt () 2 Asin[ 2 ] c π fct όταν m() t = 1 = Asin[ 2 ] c π fct όταν m() t = 1 Το διαμορφωμένο σήμα αντιστρέφει το πρόσημο (+sin σε sin) όπου το m(t) παρουσιάζει ασυνέχεια Αυτό μπορεί να συμβεί οποτεδήποτε, αλλά για ευκολία το σημειώνουμε στους μηδενισμούς του φέροντος

Σήμα PM Η συχνότητα είναι παντού η ίδια Η φάση αλλάζει κατά ±π/2 s(t) Binary Phase Shift Keying

Γενικευμένη διαμόρφωση γωνίας Ο διαμορφωτής φάσης μπορεί να θεωρηθεί ως ένα γενικό εργαλείο Εάν προηγηθεί ένας διαφοριστής παράγει διαμόρφωση FM Εάν προηγηθεί κάποιο γραμμικό σύστημα παράγεται μια μείξη FM/PM Το σήμα που εκπέμπουν οι σταθμοί FM είναι μια τέτοια περίπτωση H(f) Διαμορφωτής PM

Απόκλιση φάσης Απόκλιση φάσης (phase deviation) είναι η μέγιστη διαφορά της φάσης του διαμορφωμένου σήματος σε σχέση με τη φάση του αδιαμόρφωτου Δ φ = { φ t } max ( ) { θ t π f t} = max ( ) 2 i i { kmt} p = max ( ) { } Δ φ = Ak, A = max mt ( ) m p m c

Απόκλιση συχνότητας Απόκλιση συχνότητας (frequency deviation) είναι η μέγιστη διαφορά της στιγμιαίας συχνότητας του διαμορφωμένου σήματος σε σχέση με τη συχνότητα του αδιαμόρφωτου 1 d Δ f = max θi( t) f 2π dt 1 d = max φi ( t) 2π dt { kmt} f = max ( ) { } Δ f = Ak, A = max mt ( ) m f m c

Κανονικοποιημένο σήμα προς διαμόρφωση Διαμόρφωση φάσης [ π φ ] st () = Acos2 ft+δ xt () c Διαμόρφωση συχνότητας c t st () = Acos c 2π ft c + 2 πδf x( ) d τ τ όπου x(t) το κανονικοποιημένο προς διαμόρφωση σήμα xt () = mt () max ( ) { mt }

Κανονικοποιημένο σήμα προς διαμόρφωση PM FM Στιγμιαία φάση Δφx() t t 2 Δf x( ) d π τ τ Στιγμιαία συχνότητα fc fc Δφ + xt () 2π + Δfx() t

Διαμόρφωση από απλό τόνο Έστω mt () = A cos(2 π f t) Διαμόρφωση φάσης [ ] st ( ) = Accos 2π ft c +Δ φcos(2 π ft m ) = Accos 2π ft c + βpcos(2 π ft m ) Διαμόρφωση συχνότητας m Δf st ( ) = Accos 2π ft c + sin(2 π ft m ) = Accos 2π ft c + β f sin(2 π ft m ) f m όπου ο δείκτης διαμόρφωσης β είναι m Δ φ = β = Δf = fm k A p k A f f m m m PM FM

Λόγος διαμόρφωσης Ο προηγούμενος ορισμός του δείκτη διαμόρφωσης μπορεί να γενικευθεί για αυθαίρετο σήμα προς διαμόρφωση ως εξής { m t } Δ φmax = kp max ( ) PM D = Δ f k max { ( ) } max f m t FM W = W όπου W είναι το εύρος ζώνης του σήματος προς διαμόρφωση

Φάσμα σήματος FM Είναι το εύρος ζώνης του σήματος FM το διπλάσιο της απόκλισης συχνότητας; fc Δf fi fc +Δf ΟΧΙ Η στιγμιαία συχνότητα δεν είναι ισοδύναμη με το φάσμα

0.1 message m(t) 0.05 0 0.05 0.1 0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02 1 0.5 FM s(t) 0 0.5 1 0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02 1 0.5 PM s(t) 0 0.5 1 0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02

10 message spectrum M(f) 8 6 4 2 3000 2000 1000 0 1000 2000 3000 50 40 FM S(f) 30 20 10 3000 2000 1000 0 1000 2000 3000 40 PM S(f) 30 20 10 3000 2000 1000 0 1000 2000 3000

FM & PM στενής ζώνης Narrowband FM & PM

Διαμόρφωση γωνίας στενής ζώνης Το διαμορφωμένο κατά γωνία σήμα μπορεί να γραφεί ως [ π φ ] st () = Acos2 ft+ () t c όπου η στιγμιαία φάση είναι φ() t c Δφxt () PM = t 2 πδf x( ) d FM τ τ Εάν φ() t 1 έχουμε διαμόρφωση στενής ζώνης

Διαμόρφωση γωνίας ως ζωνοπερατό σήμα Αναπαράσταση ως ζωνοπερατό σήμα [ π φ ] st () = Acos2 ft+ () t c = Ac cos(2 π ft c )cos φ( t) sin(2 π ft c )sin φ( t) = m()cos(2 t π ft) m()sin(2 t π ft) όπου οι ορθογώνιες συνιστώσες είναι c ( ) ( ) c c s c 1 ( ) 2 mc() t = Accos φ() t = Ac 1 φ () t + Ac 2! 1 m t = A φ t = A φ t φ t + Aφ t 3! ( ) 3 () sin () () () s c c c ()

Διαμόρφωση γωνίας στενής ζώνης Στην περίπτωση διαμόρφωσης στενής ζώνης mc() t Ac m () t Aφ() t s c οπότε το διαμορφωμένο κατά γωνία σήμα στενής ζώνης είναι [ π φ π ] st () A cos(2 ft) ()sin(2 t ft) c c c

Φάσμα σήματος στενής ζώνης Ο μετασχηματισμός Fourier του σήματος στενής ζώνης είναι Ac ja S( f) = ( f fc) + ( f + fc) + Φ( f fc) Φ ( f + fc) 2 2 όπου c [ δ δ ] [ ] Δφ X() t PM Φ () t = jδf X () t FM f

Διαμόρφωση στενής ζώνης από απλό τόνο Έστω mt () = Acos(2 π f t) FM Asin(2 π f t) PM Διαμόρφωση φάσης s( t) = A cos(2 π f t) Δφsin(2 π f t)sin(2 π f t) [ ] c c m c = Ac cos(2 π fct) βpsin(2 π fmt)sin(2 π fct) Διαμόρφωση συχνότητας Δf s( t) = Ac cos(2 π fct) sin(2 π fmt)sin(2 π fct) f m = Ac cos(2 π fct) β f sin(2 π fmt)sin(2 π fct) m m

Διαμόρφωση στενής ζώνης από απλό τόνο που τελικά απλοποιείται στην 1 1 st ( ) = Ac cos(2 π ft c ) + βcos 2 π( fc + fm) t cos π fc fm) 2 2 Όπου β 1 ο εκάστοτε δείκτης διαμόρφωσης Δ φ = kpam PM β = Δf kf Am = FM fm fm [ ] β [ 2 ( t]

Αναπαράσταση με φασιθέτες FM AM

Συμπέρασμα Το διαμορφωμένο κατά γωνία σήμα στενής ζώνης είναι παρόμοιο με το σήμα AM Έχει εύρος ζώνης 2W διπλάσιο του σήματος προς διαμόρφωση

FM & PM ευρείας ζώνης Broadband FM & PM

Φασματική ανάλυση Η μαθηματική αναπαράσταση του φάσματος στη γενική περίπτωση, ακόμη και για απλά σήματα, είναι δυσχερής λόγω των εμπλεκομένων μη γραμμικοτήτων Επίσης, το διαμορφωμένο σήμα FM ή PM ευρείας ζώνης, εν γένει, δεν είναι περιοδικό Εντούτοις είναι δυνατή η ανάλυση σε αρμονικές συνιστώσες όταν το m(t) είναι περιοδική συνάρτηση Η απλούστερη περίπτωση είναι αυτή του ημιτονικού σήματος

Διαμόρφωση από απλό τόνο Όπως πριν για σήματα FM mt () = A cos(2 π ft) m Ενώ για σήματα PM mt () = A sin(2 π ft) m m m Έτσι και στις δύο περιπτώσεις το διαμορφωμένο σήμααπόαπλότόνοθαείναι [ π β π ] st () = Acos2 ft+ sin(2 ft) c c m

Μιγαδική περιβάλλουσα Το διαμορφωμένο κατά FM σήμα που προκύπτει από απλό τόνο σήμα δεν είναι περιοδικό (πλην εξαιρέσεων) [ π β π ] st () = Acos2 ft+ sin(2 ft) c c m = Ac Re exp j2π fct+ jβ sin(2 π fmt) = Re ( )exp( 2 ) ( ) [ st jπ ft] όμως η μιγαδική του περιβάλλουσα είναι περιοδικό σήμα, άραμπορείνααναλυθείσεσειρά Fourier s () t = A exp j sin(2 f t) c [ β π ] c m s() t s () t

Ανάλυση σε σειρά Fourier Ανάπτυξη της μιγαδικής περιβάλλουσας σε σειρά Fourier s () t = cnexp( j2 π nfmt) με συντελεστές 1 1 2 fm 2 fm n = 1 ()exp( 2 π m ) = m c 1 exp βsin(2 π m ) 2π m 2 f 2 f m [ ] [ ] c s t j nf tdt f A j f t j nf tdt A π = = n= c exp j( βsin x nx) dt AcJ n( β) 2π π όπου J η συνάρτηση Bessel πρώτου είδους τάξης n με ( n β ) όρισμα το β m

Φάσμα σήματος FM ευρείας ζώνης Άρα st () = A c Jn( β)exp( j2 πnft m ) n= και επομένως s() t = Ac Re Jn( β)exp j2 ( fc + nfm) t n= [ π ] [ π ] = A J ( β)cos 2 ( f + nf ) t c n c m n= οπότε το φάσμα σήματος FM είναι S( f) = AcRe Jn( β)exp[ j2 π( fc + nfm) t] n= Ac = Jn( β) δ( f fc nfm) + δ( f + fc + nfm) 2 n= [ ]

Ιδιότητες συναρτήσεων Bessel ΗσυνάρτησηBessel πρώτου είδους τάξης n είναι k β n+ 2k ( 1) ( 2 ) J n( β ) = k= 0 k!( k + n)! και για μικρές τιμές του β επίσης J n n= ( β ) J 2 n J = J ( β ) = 1 n n ( β ) n άρτιος ( β ) n περιττός n J n ( β ) β n 2 n!

Ισχύς σήματος FM ευρείας ζώνης Αφού επομένως 2 c 2 c 2 n [ π ] s() t = A J ( β)cos2 ( f + nf ) t P = = A 2 A 2 c n c m n= n= J ( β )

Τιμές συναρτήσεων Bessel

Τιμές συναρτήσεων Bessel

Φάσμα σήματος FM ευρείας ζώνης Οι περιττές συνιστώσες είναι ορθογώνιες προς το φέρον και προκαλούν την επιθυμητή διαμόρφωση συχνότητας και κάποια ανεπιθύμητη παραμόρφωση πλάτους Οι άρτιες συνιστώσες είναι συμφασικές με το φέρον και διορθώνουν την παραμόρφωση πλάτους

Διαμόρφωση από πολλούς τόνους Έστω ότι mt ( ) = Acos(2 π ft) + Acos(2 π ft) 1 1 2 2 και οι συχνότητες f 1 και f 2 δεν σχετίζονται αρμονικά (πολλαπλάσιο η μία της άλλης), τότε s( t) = Accos [ 2π fct + β1sin(2 π f1t) + β2sin(2 π f2t) ] όπου kf A1 Δf k 1 f A2 Δf2 β1 = =, β2 = = f f f f 1 1 1 2

Διαμόρφωση από πολλούς τόνους Μετά από πολλές (προφανείς) πράξεις [ ] st () = A J ( β ) J( β )cos2 π( f + mf + nf) t c m 1 n 2 c 1 2 m= n=

Φάσμα σήματος FM από πολλούς τόνους Το φάσμα του διαμορφωμένου σήματος FM από πολλούς τόνους περιλαμβάνει όλες τις πλευρικές συχνότητες που προκύπτουν από την f 1, δηλαδή, f c ±mf 1 όλες τις πλευρικές συχνότητες που προκύπτουν από την f 2, δηλαδή, f c ±nf 2 όλες τις συχνότητες ενδοδιαμόρφωσης, δηλαδή, f c ±mf 1 ±nf 2

Φάσμα σήματος FM από πολλούς τόνους Έστω f 1 <f 2 και β 1 >β 2

Διαμόρφωση από περιοδικό σήμα Έστω ότι m(t) είναι περιοδικό σήμα, τότε η μιγαδική περιβάλλουσα του s(t) θα είναι και αυτή περιοδικό σήμα s () t = A exp j m() t οπότε μπορεί να αναλυθεί σε σειρά Fourier με συντελεστές c [ β ] s ( t) = cnexp( j2 π nfmt) n= T m 1 2π x cn = exp [ jβm( fm) j2πnfmt] = exp j βm nx) dx 0 2π 0 2π fm

Φάσμα σήματος FM από περιοδικό σήμα Άρα st () = Ac Re cnexp j2 ( fc + nfm) t n= [ π ] [ π ] = A c cos 2 ( f + nf ) t+ c c n c m n n= οπότε το φάσμα σήματος FM που προκύπτει από διαμόρφωση με περιοδικό σήμα περιέχει μόνο τις αρμονικές f c ±nf m που προκαλούνται από την f m Ac S( f ) = cn ( f fc nfm)exp( j cn) + ( f + fc + nfm)exp( j cn) 2 n= [ δ δ ]

Φάσμα σήματος FM από περιοδικό σήμα

Εύρος ζώνης για μετάδοση FM Εύρος ζώνης σήματος FM

Εύρος ζώνης σήματος FM στενής ζώνης Για μικρές τιμές του δείκτη διαμόρφωσης β J ( β ) 1 0 β β J1( β), J 1( β) 2 2 J ( ) 0, 1 n β n> και επομένως μόνο η πρώτη πλευρική του διαμορφωμένου σήματος FM έχει σημασία (FM στενής ζώνης) οπότε B = 2f = 2W T m

Φάσμα σήματος FM ευρείας ζώνης

Φάσμα σήματος FM ευρείας ζώνης Έστω ότι διατηρούμε το W σταθερό Μεταβάλλουμε το β αυξάνοντας την απόκλιση συχνότητας Δf Ηαπόστασητων γραμμών σταθερή στο f m Το εύρος ζώνης μεγαλώνει

Φάσμα σήματος FM ευρείας ζώνης Έστω ότι διατηρούμε την Δf σταθερή Αυξάνουμε το β Μειώνεται η απόσταση των γραμμών (f m ) Μειώνεται το W Το εύρος ζώνης παραμένει περίπου σταθερό 2Δf

Εύρος ζώνης σήματος FM ευρείας ζώνης Το φάσμα του σήματος FM ευρείας ζώνης περιέχει άπειρες συνιστώσες Το πλάτος των υψηλής τάξης συνιστωσών είναι αμελητέο Πρακτικά το φάσμα είναι πεπερασμένο!

Εύρος ζώνης σήματος FM ευρείας ζώνης Μπορεί να ορισθεί ένα ενεργό εύρος ζώνης που να περιλαμβάνει μόνο τις σημαντικές συνιστώσες Για μεγάλες τιμές του β μπορούμε να διατηρήσουμε μόνο τις M πρώτες συνιστώσες που περιλαμβάνουν π.χ. το 99% της ολικής ισχύος M 1 M 2 2 Jn β Jn n= M+ 1 n= M ( ) < 0,99, ( β) 0,99 B = 2 M( β) f = 2 M( β) W T m

Εύρος ζώνης σήματος FM ευρείας ζώνης Μια εναλλακτική προσέγγιση είναι να κρατήσουμε μόνο τους όρους του αναπτύγματος Fourier που θεωρούμε σημαντικούς Π.χ. μόνο αυτούς για τους οποίους (με τιμές του ε στην περιοχή 0,01 με 0,1) J M ( β ) > ε, J ( β) < ε M+ 1 Η πρώτη προσέγγιση ε=0,01 είναι ιδιαίτερα συντηρητική Η δεύτερη ε=0,1 αντιστοιχεί σε μια μικρή παραμόρφωση (και σχεδόν ταυτίζεται με το κριτήριο του 99% της ολικής ισχύος)

Πίνακας τιμών συναρτήσεων Bessel Οτελευταίος σημαντικός όρος Μ(β)=[β+1]

Μια άλλη άποψη των συναρτήσεων Bessel Όπως πριν, ο τελευταίος σημαντικός όρος Μ(β)=[β+1]

Ο αριθμός Μ των σημαντικών όρων ως συνάρτηση του β Η προσέγγιση Μ(β)=β+2 για β>2 είναι μια ικανοποιητική ενδιάμεση λύση Μ J ( β ) > 0,01 M J ( β ) > 0,1 M Μ(β)=β+2 για β>2

Κανόνας Carson Το απαιτούμενο εύρος ζώνης για μετάδοση σήματος FM (που προέρχεται από διαμόρφωση απλού τόνου) είναι Δ f 2 + 1 fm = 2 Δ f + 2fm FM BT = 2( β + 1) fm = fm 2( Δ φ + 1) fm PM με το αντίστοιχο πλήθος αρμονικών που περιέχονται σε αυτό να είναι Κανόνας Carson M c Δ f 2 3 FM 2 β 3 f + = + = m 2 Δ φ + 3 PM

Εύρος ζώνης σήματος FM Στηνπερίπτωσηαυθαίρετουσήματοςm(t) ο λόγος απόκλισης D παίζει τον ρόλο του δείκτη διαμόρφωσης β Ο λόγος απόκλισης ορίζεται ως Η μέγιστη απαίτηση για εύρος ζώνης προκαλείται από το μέγιστο πλάτος της μέγιστης εκ των προς μετάδοση συχνοτήτων Το εύρος ζώνης κατ αναλογία με τη διαμόρφωση απόαπλότόνοείναι BT = 2 M( D) W D = Δf W

Εύρος ζώνης σήματος FM Για διαμόρφωση στενής ζώνης = 2W BT Για διαμόρφωση ευρείας ζώνης B = 2Δ f = 2DW T Κανόνας Carson B = 2( Δ f + W) = 2( D+ 1) W, T Για 2<D<10 καλύτερη προσέγγιση είναι B = 2( Δ f + 2 W) = 2( D+ 2) W, D > 2 T D 1 D 1

Εύρος ζώνης σήματος PM Χρήση κανόνα Carson παρόμοια με το FM Η στιγμιαία συχνότητα είναι k p fi = fc + m () t 2π η μέγιστη απόκλιση συχνότητας είναι Δ f = k p 2 π { mt } max ( )

Εύρος ζώνης σήματος PM Ο λόγος απόκλισης D είναι η μέγιστη απόκλιση φάσης του σήματος FM στην ακραία περίπτωση εύρους ζώνης Άρα η ανάλυση FM ισχύει για διαμόρφωση PM αρκεί να αντικατασταθεί το D με την Δφ Κανόνας Carson B T = 2( Δ φ + W) Όμως, σε αντίθεση με το FM ο όροςδφ δεν εξαρτάται από το W