Ειδικά Θέματα Διδακτικής Μαθηματικών Επίλυση προβλήματος Η διδασκαλία της επίλυσης προβλήματος Διδάσκουσα: Δρ. Τζεκάκη Μαριάννα Εργασία: Γιούρση Ιωάννα Κουκουλάκης Χαράλαμπος Πηλιανίδης Νίκος Σαραφούδη Ευφροσύνη
Η διδασκαλία της επίλυση προβλήματος Ερώτημα Με ποιον τρόπο ο δάσκαλος των μαθηματικών μπορεί να διδάξει στους μαθητές του την επίλυση προβλημάτων; Διαπιστώσεις: Η διδασκαλία είναι δύσκολη, τόσο από μαθηματική όσο και από παιδαγωγική και ψυχολογική άποψη (σημειώσεις Τζεκάκη). Τα παιδιά μαθαίνουν μαθηματικά κάνοντας μαθηματικά (Cai, 2010), δηλαδή διαμέσου διαδικασιών επίλυσης προβλήματος (Balacheff, 1990). 2
Η επίλυση προβλήματος είναι μια σύνθετη διαδικασία και όχι ένα σύνολο απλών αλγοριθμικών δεξιοτήτων. Το πώς οι εκπαιδευτικοί χειρίζονται το δίλημμα της διδασκαλίας, μιας τόσο περίπλοκης διαδικασίας, καθιστά την επίλυση προβλήματος μια διαδικασία στην οποία οι εκπαιδευτικοί έχουν κάτι να πουν. (Chapman,1997) Οι ίδιοι οι εκπαιδευτικοί θα πρέπει να σχεδιάζουν και να ελέγχουν διαδικασίες μάθησης, σύμφωνα με την πρακτική τους και την πρακτική της τάξης τους, και όχι να αναπαράγουν έτοιμες διαδικασίες. (Balacheff, 1990). 3
Τα προβλήματα είναι το όχημα μέσα από το οποίο το επιθυμητό περιεχόμενο, δηλαδή οι μαθηματικές ιδέες μαθαίνονται. Η διδασκαλία μέσω της επίλυσης προβλήματος πρέπει να ξεκινάει το πλαίσιο των προβλημάτων από εκεί που βρίσκονται οι μαθητές, να έχει ως στόχο τις μαθηματικές ιδέες που θα διδαχθούν, να περιέχει αιτιολογήσεις για τις μεθόδους και τις απαντήσεις που θα δοθούν (απαντήσεις οι οποίες μπορεί να μην είναι μονοσήμαντες, ούτε να εξάγονται άμεσα από τα δεδομένα). (Van de Walle et al., 2012, σ. 35) 4
Αρχές μάθησης και διδασκαλίας (Principles of learning and teaching) (Polya, 1963) Αρχή της ενεργητικής μάθησης και διδασκαλίας (Principle of acsve learning and teaching) Ο καλύτερος τρόπος για να μάθει κάποιος είναι να το ανακαλύψει μόνος του. Ο δάσκαλος να αφήνει τους μαθητές να ανακαλύψουν μόνοι τους όσα είναι εφικτά κάτω από τις δεδομένες συνθήκες. Αρχή καλύτερου κινήτρου (Principle of best mosvason) Ο δάσκαλος να δώσει προσοχή στην επιλογή, στη διαμόρφωση και στη παρουσίαση του προβλήματος που προτείνει. Το πρόβλημα να σχετίζεται με την καθημερινή εμπειρία των μαθητών και να εισάγεται με ένα μικρό αστείο ή παράδοξο. Το καλύτερο κίνητρο είναι το ενδιαφέρον του μαθητή για την εργασία του. Ο δάσκαλος να αφήνει τους μαθητές να εικάσουν το αποτέλεσμα (έτσι οι μαθητές δεσμεύονται με τον εαυτό τους και ανυπομονούν να μάθουν αν η εικασία τους είναι σωστή ή όχι). Αρχή των διαδοχικών φάσεων (Principle of consecusve phases) Τα προβλήματα που δίνει ο δάσκαλος στους μαθητές θα πρέπει να περιλαμβάνουν δυο σημαντικές φάσεις της μάθησης: την ανακάλυψη και την αφομοίωση. Και οι δυο φάσεις συνδέουν το πρόβλημα με τον κόσμο γύρω μας αλλά και με την γνώση. 5
Τρόπος διδασκαλίας Στην αρχή της διδασκαλίας Ενεργοποίηση της προηγούμενης γνώσης, σιγουριά ότι το πρόβλημα κατανοήθηκε, θέσπιση σαφών προσδοκιών. Κατά τη διάρκεια της διδασκαλίας Δημιουργία μικρών ομάδων, παρακολούθηση του τρόπου σκέψης των μαθητών, παροχή κατάλληλης στήριξης, διάλογος, συνεργασία και αντικρουόμενες απόψεις μεταξύ των μελών, παροχή αξιόλογων επεκτάσεων. Μετά τη διδασκαλία Ανάπτυξη μιας μαθηματικής κοινότητας μαθητών, άκουγε προσεκτικά χωρίς να αξιολογείς, ανακεφαλαίωσε τις κεντρικές ιδέες, βρες μελλοντικά προβλήματα. (Van de Walle et al., 2012, σ. 49; Yackel, Cobb, & Wood, 1991) 6
Ο ρόλος της επίλυσης προβλήματος στη διδασκαλία Διδασκαλία σχετικά με την επίλυση προβλήματος (Teaching about problem solving). Πώς να γίνει η επίλυση προβλήματος; Εκμάθηση στρατηγικών επίλυσης προβλήματος κατά τον Polya. Διδασκαλία για την επίλυση προβλήματος (Teaching for problem solving). Για να είναι οι μαθητές ικανοί να επιλύουν προβλήματα. Προηγούνται οι αφηρημένες έννοιες, έπεται η επίλυση προβλήματος. Η αναφορά στο «πρόβλημα» περιορίζεται σε απλές ασκήσεις εφαρμογής ή σε διερευνητικές ασκήσεις σε καθαρά μαθηματικό πλαίσιο, χωρίς σύνδεση με την πραγματική ζωή (Ιστορικά ήταν ο πρώτος πόλος). Διδασκαλία διαμέσου της επίλυσης προβλήματος(teaching via problem solving). Χρήση προβλημάτων για την εισαγωγή μιας νέας μαθηματικής έννοιας ή διαδικασίας. Η δημιουργία μαθησιακών περιβαλλόντων, σύμφωνα με τη θεωρία των ρεαλιστικών μαθηματικών και τη θεωρία διδακτικών καταστάσεων. (Schroeder and Lester,1989; Κολέζα, 2009) 7
Chapman Olive (1997) Προσωπικές μεταφορές ως βάση για τη σύλληψη των εννοιών διαμέσου των προβλημάτων Έρευνα του τρόπου σκέψης τριών εκπαιδευτικών πάνω στη διδασκαλία ΕΠ (πώς ερμήνευαν, οργάνωναν και διεξήγαγαν την επίλυση προβλήματος) Αν και υπήρχαν ατομικές διαφορές, κατά τη διδασκαλία της επίλυσης προβλήματος υπήρχαν τέσσερα στάδια: (i) παρουσίαση του προβλήματος στους μαθητές, (ii) ανταπόκριση των μαθητών, (iii) συνεργασία των μαθητών, (iv) κλείσιμο (παρουσίαση όλων των στρατηγικών και συζήτηση). Μία εκπαιδευτικός ζητούσε από τα παιδιά να γράψουν το πρόβλημα. Οι εκπαιδευτικοί περιέγραψαν την επίλυση προβλήματος με τρεις μεταφορές: «κοινότητα», «περιπέτεια», «παιχνίδι» Κάθε μία αντανακλούσε τις προσωπικές εμπειρίες των τριών εκπαιδευτικών. 8
Silver E. (1994) Διδασκαλία επίλυσης προβλήματος μέσω problem- posing «Το να θέτεις προβλήματα» (problem posing) ως χαρακτηριστικό ερευνητικά προσανατολισμένης διδασκαλίας. «Το να θέτεις προβλήματα» ως ένας τρόπο για τη βελτίωση της επίλυσης προβλήματος εκ μέρους των μαθητών. «Το να θέτεις προβλήματα» ως ένα παράθυρο της μαθηματικής κατανόησης των μαθητών. «Το να θέτεις προβλήματα» ως ένας τρόπος να βελτιώσεις τη διάθεση των μαθητών έναντι των μαθηματικών. 9
Saenz Ludlow (2006) Διδασκαλία επίλυσης προβλήματος: δημιουργία προβλημάτων- ιστοριών (story problems) Μία εκπαιδευτικός της τρίτης τάξης, θέτει μία ιστορία- πρόβλημα από την προσωπική της ζωή και ζητά από τους μαθητές να το λύσουν κάνοντας νοερούς υπολογισμούς, να παρουσιάσουν τις διαφορετικές στρατηγικές επίλυσης που χρησιμοποίησαν, να θέσουν και άλλες ερωτήσεις με βάση τα δεδομένα που τους δόθηκαν και τέλος να δημιουργήσουν δικά τους παρόμοια προβλήματα. Τα προβλήματα αυτά ήταν πέρα από το επίπεδο ενός καλά ταξινομημένου εγχειριδίου. Παρατηρήθηκε μια σταδιακή κατανόηση, από τους μαθητές, της έννοιας του αριθμού και των κλασμάτων, ικανότητα να ενσωματώνουν φανταστικές και πραγματικές εμπειρίες μέσα σε αριθμητικά πλαίσια και να εγκαθιδρύουν αριθμητικές σχέσεις που ήταν ενδιαφέρουσες για αυτούς. Έδωσε κίνητρο στους μαθητές να επιχειρήσουν να λύσουν περισσότερο απαιτητικά ιστορίες- προβλήματα που τους τέθηκαν στη συνέχεια. Επιτάχυνε τη συμβολική δραστηριότητα των μαθητών και τις διαλογικές αλληλεπιδράσεις μεταξύ τους, αλλά και μεταξύ μαθητών και εκπαιδευτικού. 10
Saenz Ludlow (2006) Διδασκαλία επίλυσης προβλήματος: δημιουργία προβλημάτων- ιστοριών (story problems) Άλλοι τύποι προβλημάτων που αναφέρει η έρευνα είναι τα ακόλουθα: Ιστορίες- προβλήματα πολλαπλών ερωτήσεων (Story- problems with mulsple quessons). Αινίγματα- προβλήματα (riddle problems), τα οποία εισάγουν τους μαθητές στον πολλαπλασιασμό π.χ. Είμαι ένας διψήφιος αριθμός, ανάμεσα στο 25 και το 35 και είμαι πολλαπλάσιο του 3 και του 9. Ποιος αριθμός είμαι; Γιατί; Σχέδια προβλήματα (project problems), που προκαλούν τους μαθητές να σκεφτούν και να αναπτύξουν την αίσθηση του αριθμού και τις σχέσεις μεταξύ των αριθμών αφού η επίλυσή τους δεν περιορίζεται στην εκτέλεση μιας και μόνο πράξης. 11
Leikin Roza (2003) Διδασκαλία επίλυσης προβλήματος - με- διάφορους- τρόπους: μία δραστηριότητα επαγγελματικής ανάπτυξης Η διδασκαλία της επίλυσης προβλήματος, εστιάζοντας στη λύση προβλημάτων με όσο το δυνατό περισσότερους τρόπους, μπορεί να αναπτύξει περισσότερες συνδέσεις πάνω στη μαθηματική γνώση. (NCTM, 2000) Παράλληλα μπορεί να βοηθήσει τους μαθητές να μην τα παρατάνε εύκολα όταν λύνουν προβλήματα. (Schoenfeld, 1985) Η ύπαρξη ή όχι της τάσης των εκπαιδευτικών να δέχονται μόνο τις λύσεις προβλημάτων που έχουν διδάξει, οφείλεται στο βαθμό της γνώσης περιεχομένου και τις πεποιθήσεις που έχουν (τάση προς στερεοτυπικές λύσεις ή πεποιθήσεις επίλυσης προβλήματος). (Thompson, 1992) 12
Leikin Roza (2003) Διδασκαλία επίλυσης προβλήματος - με- διάφορους- τρόπους: μία δραστηριότητα επαγγελματικής ανάπτυξης Προτείνεται η επίλυση προβλήματος με χρήση συμμετρίας, η οποία, κάποιες φορές, δίνει κομψές λύσεις. Αυτός ο τρόπος διδασκαλίας της επίλυσης προβλήματος είναι και μία μέθοδος επαγγελματικής ανάπτυξης των εν- ενεργεία εκπαιδευτικών, αφού καλλιεργεί τον αναστοχασμό εν- δράσει (Schon, 1983) και μετά τη δράση. (Jaworski, 1994) Ο αναστοχασμός μπορεί να αφορά τόσο την προσωπική μαθηματική πρακτική του εκπαιδευτικού, όσο και μαθησιακούς σκοπούς. 13
Ρόλος του Δασκάλου Ο ρόλος του δασκάλου σε μια διδασκαλία εστιασμένη στην επίλυση προβλήματος (Stacey & Groves, 1985) όπως αναφέρει η Κολέζα: Να βοηθάει τα παιδιά να αποδέχονται τις προκλήσεις. Ένα πρόβλημα δεν είναι πρόβλημα έως ότου θελήσει κάποιος να το λύσει. Να δημιουργεί μια ενθαρρυντική ατμόσφαιρα στην τάξη. Τα παιδιά να αντιμετωπίζουν το άγνωστο χωρίς να αισθάνονται ότι απειλούνται. Να επιτρέψει στα παιδιά να εφαρμόσουν τις στρατηγικές τους. Να τα βοηθάει όταν είναι απαραίτητο χωρίς να δίνει τις απαντήσεις. Να συζητήσει με τα παιδιά για το τι σημαίνει «κάνω Μαθηματικά». Τα παιδιά μαθαίνουν αποτελεσματικότερα όταν ο δάσκαλος εφιστά την προσοχή τους ρητά σε σχετικές στρατηγικές και διαδικασίες. 14
Βιβλιογραφία Balacheff, N. (1990). Towards a ProblémaŠque for Research on MathemaŠcs. Journal for Research in MathemaŠcs EducaŠon, 21(4), 258 272. Cai, J. (2010). Helping elementary school students become successful mathemašcal problem solvers. In D. Lambdin (Ed.), Teaching and learning mathema/cs: Transla/ng research to the classroom (pp. 9 14). Reston, VA: NCTM. Retrieved from hdp://sjepd.wikispaces.com/file/view/teaching+and+learning+research+for+elem+(chapter+6)+.pdf Chapman, O. (1997). Metaphors In the Teaching of MathemaŠcal Problemsolving. Educa/onal Studies In Mathema/cs,32:201 228. De Walle, J.A., Karp, K.S., Bay- Williams, J.M. (2007). Διδάσκοντας Μαθηματικά για Δημοτικό και Γυμνάσιο Μια αναπτυξιακή διαδικασία (6 η Έκδ.). Αθήνα: Επίκεντρο. Κολέζα, Ε. (2009). Θεωρία και Πράξη στη Διδασκαλία των Μαθηματικών (στ έκδοση). Αθήνα: Εκδόσεις Τόπος. Leikin, R. (2003). Problem- Solving Preferences of MathemaŠcs Teachers: Focusing on Symmetry. JournalofMathema/csTeacherEduca/on,6:297 329 Polya, G. (1963). On Learning, Teaching, and Learning Teaching George Polya, 70(6), 605 619. Saenz- Ludlow, A. (2006). A teacher's method to introduce story- problems: Student- generated problems. In J. Novotna & H. Moraova& M. Kratka& N. Stehlikova (Eds.), Proceedings of 30th Interna/onal Group of Psychology of Mathema/cs Educa/on, Vol. 5, pp. 9-16. Prague: PME. Schroeder, T. L., & Lester, F. K., Jr. (1989). Developing understanding in mathemašcs via problem solving. In P. R. Tra on (Ed.), New direc/ons for elementary school mathema/cs (pp. 31 42). Reston, VA: NCTM Silver, E. A. (1994). On mathemašcal problem posing. For the Learning of Mathema/cs, 14(1): 19-28. Yackel, E., Cobb, P., & Wood, T. (1991). Small- Group InteracŠons as a Source of Learning OpportuniŠes in Second- Grade MathemaŠcs. Journal for Research in MathemaŠcs EducaŠon, 22(5), 390 408. 15
Is Teaching an Art or a Science? Ευχαριστούμε!!! Γιούρση Ιωάννα, Κουκουλάκης Χαράλαμπος Πηλιανίδης Νίκος, Σαραφούδη Ευφροσύνη 16