Ασκήσεις στους Γράφους 1 ο Σετ Ασκήσεων Βαθμός Μονοπάτια Κύκλος Euler Κύκλος Hamilton Συνεκτικότητα
Ασκηση 1 η Να αποδείξετε ότι κάθε γράφημα περιέχει μια διαδρομή από μια κορυφή u σε μια κορυφή w αν και μόνο αν περιέχει ένα μονοπάτι από την u στην w. Λύση: Η μια κατεύθυνση είναι προφανής γιατί κάθε μονοπάτι είναι εξ ορισμού διαδρομή. Για το αντίστροφο, παρατηρώ ότι αν η διαφρομή μεταξύ u και w δεν αντιστοιχεί σε μονοπάτι, τότε αυτή πρέπει να περιέχει κορυφές που επαναλαμβάνονται. Το τμήμα της διαδρομής ανάμεσα σε δυο διαφορετικές εμφανίσεις της ίδιας κορυφής είναι ένας κύκλος. Αφαιρώντας όλους αυτούς τους κύκλους καταλήγω σε ένα μονοπάτι από το u και w. Με παρόμοιο τρόπο μπορείτε να αποδείξετε ότι ένα γράφημα περιέχει μια κλειστή διαδρομή αν και μόνο αν περιέχει έναν απλό κύκλο.
Ασκηση 2 η (βαθμός κορυφής) Να αποδείξετε ότι δε μπορεί να υπάρξει απλό γράφημα με (α) 6 κορυφές με βαθμό 2,3,3,4,4, και 5 αντίστοιχα, (β) 5 κορυφές με βαθμό 2,3,3, 4 και 5, (γ) 4 κορυφές με βαθμό 1,3,3 και 3 αντίστοιχα (δ) 7 κορυφές με βαθμό 1,3,3,4, 5,6 και 6 αντίστοιχα. (α) το άθροισμα των βαθμών είναι περιττός (β) ο μέγιστος βαθμός είναι ίσος με τον αριθμό των κορυφών (γ) και οι 3 κορυφές βαθμού 3 πρέπει να συνδέονται στην τέταρτη που έχει βαθμό 1. (δ) Οι δυο κορυφές βαθμού 6 πρέπει να συνδέονται με όλες τις κορυφές άρα και με αυτή που έχει βαθμό 1.
Ασκηση 3 η Εστω ένα απλό μη-κατευθυνόμενο γράφημα με n κορυφές και m ακμές που αποτελείται απο n1 κορυφές με βαθμό k και n2 κορυφές με βαθμό k+1. Να αποδείξετε οτι n1=n(k+1)-2m και n2=2m-nk. Λύση: Από την εκφώνηση έχουμε n1+n2=n, n1=n-n2. Αφού το άθροισμα του βαθμού των κορυφών ισούται με το διπλάσιο τςν ακμών του, έχουμε: n1k+n2(k+1)=2m, nk-n2k+n2(k+1)=2m, n2=2m-nk Χρησιμοποιώντας τα παραπάνω γεγονότα προκύπτει ότι: n1=n(k+1)-2m
Ασκηση 4η Δείξτε ότι ένας γραμμικός γράφος n κορυφών, χωρίς βρόχους, δεν είναι διμερής εάν έχει περισσότερες από n 2 /4 ακμές. Λύση: Ειναι γνωστό ότι ο μέγιστος διμερής γράφος με n κορυφές είναι ο πλήρης διμερής γράφος στον οποίο κάθε σύνολο της διαμέρισής του V σε υποσύνολα V1 και V2 έχει n/2 κορυφές, για n άρτιο, ή [n/2] και {n/2} για n περιττό. Αρα ο μέγιστος αριθμός ακμών είναι (n/2)* (n/2)= n 2 /4 για n άρτιο [n/2]* {n/2} =(n-1)(n+1)/4=(n 2-1)/4= n 2 /4 για n περιττό. Αρα σε κάθε περίπτωση, αν ο αριθμός των ακμών είναι > n 2 /4 ο γράφος δε μπορεί να είναι διμερής.
Ασκηση 5η Υπάρχουν γράφοι με 5 κορυφές και βαθμούς 1,2,2,3,3? Λύση: Για ένα τέτοιο γράφο θα είχαμε: i deg( u ) 1 2 2 3 3 11 i Ομως από το θεώρημα του Euler γνωρίζουμε ότι το άθροισμα του βαθμού των κορυφών ui είναι άρτιο για κάθε γράφο G (και ίσο με 2q, όπου q ο αριθμός των ακμών του G). Και συνεπώς δεν υπάρχει τέτοιος γράφος.
Ασκηση 6η Εστω ένας συνεκτικός γράφος με 2 τουλάχιστον κορυφές. Να δειχθεί ότι εάν ο γράφος έχει λογότερες ακμές από τις κορυφές, τότε θα υπάρχει κορυφή βαθμού 1. Λύση: Εστω ένας (p,q) συνεκτικός γράφος G με p>q και p>=2. ας υποθέσουμε ότι για κάθε κορυφή ui ισχύει deg(ui)>=2. Ετσι θα έχουμε: deg( ui ) u1 u2... u p 2 2... 2 2 p i Επίσης από το θεώρημα του Euler ισχύει: i deg( u ) 2q Από τις προηγούμενες σχέσεις προκύπτει ότι 2q>=2p, αρα q>=p, που είναι άτοπο. Αρα ο G έχει μια τουλάχιστον κορυφή u με deg(u)<2. i
Ασκηση 7η Εστω G ένας (p,q) γράφος, του οποίου όλες οι κορυφές έχουν βαθμό k ή k+1. Εαν ο G, έχει p k >0 κορυφές βαθμού k και p k+1 κορυφές βαθμού k+1, τότε να δειχθεί ότι p k =(k+1)p-2q. Λύση: Από την υπόθεσή μας έχουμε: p k + p k+1 =p, p k+1 =p-p k Από το θεώρημα του Euler έχουμε: i deg( u ) 2 q p k p ( k 1) 2q i k k 1 Οπότε με τη βοήθεια της προηγούμενης σχέσης παίρνουμε: p k ( p p )( k 1) 2 q p k p( k 1) p k 2 q p ( k 1) p 2q k k k k k
Ασκήσεις σε κύκλο Euler & kύκλο Hamilton
Ασκηση 1η Να αποδείξετε ότι κάθε απλό μη κατευθυνόμενο γράφημα με 11 κορυφές και 53 ακμές δεν έχει κύκλο Euler αλλά έχει κύκλο Hamilton. Λύση: Το πλήρες γράφημα με 11 κορυφές έχει 55 ακμές. Κάθε απλό γράφημα με 11 κορυφές έχει 53 ακμές προκύπτει από το Κ11 με την αφαίρεση 2 ακμών. Για να αποκλείσουμε την ύπαρξη του Κύκλου Euler θα πρέπει να διακρίνουμε δυο περιπτώσεις: 1 η περίπτωση:οι δυο ακμές που αφαιρέθηκαν από το Κ11 προσπίπτουν στην ίδια κορυφή. Επειδή το γράφημα είναι απλό, οι δυο ακμές μπορούν να έχουν μόνο το ένα άκρο τους κοινό. Το γράφημα έχει μια κορυφή βαθμού 8, δυο κορυφές βαθμού 9 και 8 κορυφές με βαθμό 10. συνεπώς δε μπορεί να έχει κύκλο Euler, αφού περιέχει κάποιες κορυφές με περιττό βαθμό. 2 η περίπτωση: αν οι δυο ακμές που αφαιρέθηκαν από το Κ11 προσπίπτουν σε 4 διαφορετικές κορυφές, το γράφημα με 11 κορυφές έχει 53 ακμές πρέπει να έχει 4 κορυφές βαθμού 9 και 7 κορυφές βαθμού 10. και σε αυτή την περίπτωση το γράφημα δεν μπορεί να έχει κύκλο Euler. Σημείωση: Η ύπαρξη κύκλου Η προκύπτει από το θεώρημα του Ore, αφού το άθροισμα των βαθμών κάθε ζεύγους κορυφών είναι τουλάχιστον 17>11.
Ασκηση 2η Να χαρακτηρίσετε την κλάση των γραφημάτων στα οποία κάθε κύκλος Euler είναι και κύκλος Hamilton. Λύση: κάθε κύκλος ο οποίος είναι Euler και Hamilton πρέπει να διέρχεται από κάθε κορυφή του γραφήματος ακριβώς μια φορά (επειδή είναι κύκλος Hamilton) και απο κάθε ακμή ακριβώς μια φορά (επειδή είναι κύκλος Euler). Αυτό μπορεί να συμβεί μόνο αν το γράφημα είναι ένας απλός κύκλος Cn, με n κορυφές και n ακμές (n>=3). Αν το γράφημα περιείχε n+1 ή περισσότερες ακμές, ο κύκλος Euler δεν θα ήταν κύκλος Hamilton (θα περιείχε περισσότερες από n ακμές και θα διερχόταν από κάποια κορυφή περισσότερες από n φορές) Αν το γράφημα περιείχε n-1 ή λιγότερες ακμές, είτε δεν θα περιείχε κανένα κύκλο είτε δεν θα ήταν συνεκτικό, και δεν θα είχε ούτε κύκλο Euler ούτε κύκλο Hamilton.
Ασκηση 3η Μια ακμή ονομάζεται γέφυρα αν δεν υπάρχει κύκλος που την περιέχει. Δείξετ ότι αν ένα απλό γράφημα έχει κύκλο Hamilton, τότε δεν μπορεί να περιέχει γέφυρα. Ισχύει το ίδιο συμπέρασμα, εάν αντί για κύκλο Hamilton υποθέσουμε ότι έχει κύκλο Euler? Λύση: Μια ακμή περιέχεται σε κύκλο αν είναι απλός κύκλος. Αν ο κύκλος δεν είναι απλός αποτελείται από την ένωση απλών κύκλων. Ετσι μπορούμε να κρατήσουμε τον απλό κύκλο που περιέχει τη γέφυρα που μας ενδιαφέρει. Επίσης, γνωρίζουμε ότι ο κύκλος Hamilton διέρχεται από κάθε κορυφή του γραφήματος ακριβώς μια φορά. Ο κύκλος Euler διέρχεται από κάθε ακμή του γραφήματος ακριβώς μια φορά και κάθε κορυφή του γραφήματος τουλάχιστον μια φορά. Εστω G(V,E) ένα οποιδήποτε γράφημα με κύκλο Η. Αφού το γράφημα έχει κύκλο Η, υπάρχει μονοπάτι π μεταξύ των u και v που δεν διέρχεται από την ακμή {u,v}. Το μονοπάτι π μαζί με την ακμή {u,v} σχηματίζει κύκλο. Συνεπώς, καμιά ακμή του γραφήματος G δεν μπορεί να είναι γέφυρα. Σημείωση: με το ίδιο σκεπτικό, μια ακμή {u,v} δε μπορεί να είναι γέφυρα ακόμη και στην περίπτωση που απλός υπάρχει κάποιος κύκλος που διέρχεται από τις u και v. Οσο για τον κύκλο Euler αυτός διέρχεται από όλες τις ακμές του γραφήματος. Συνεπώς κάθε γράφημα με κύκλο Euler δεν μπορεί να περιέχει γέφυρα.
Ασκηση 4η Εαν ο (p,q) γράφος G, με p>=3, είναι τέτοιος ώστε για όλες τις μη γειτονικές του κορυφές u και v να ισχύει deg(u)+deg(v)>=p, τότε να δειχθεί ότι ο G είναι γράφος Hamilton. Λύση: Έστω ο G είναι ένας μη Hamiltonian γράφος. Για κάθε δυο μη γειτονικές κορυφές ω 1 και ω 2 του G, ο G+ω 1 ω 2 είναι Hamiltonian. Έστω u, v δυο μη γειτονικές κορυφές του G. Αφού ο G+uv είναι Hamiltonian, κάθε κύκλος στον G+uv περιέχει την ακμή uv. Έτσι ο G περιέχει ένα u-v μονοπάτι P, που περιέχει όλες τις κορυφές του, έστω το u u 1 u 2 u 3.u p u. Εάν u 1 u 2 ακμή του G, 2 i p, τότε η u i-1 u p δεν ανήκει στο G διότι τότε ο u 1 u i u i+1 u p u i-1 u i-2 u 1 θα ήταν ένας Hamiltonian κύκλος στον G. Άρα για κάθε κορυφή στο {u 1, u2,,u p-1 }, μη γειτονική με την u p, και έτσι degu p (p -1) - degu 1 degu + degv p 1. Άτοπο. Άρα ο G Hamiltonian.
Ασκηση 5η Υπάρχουν γράφοι στους οποίους ένα μονοπάτι Euler να είναι και μονοπάτι Hamilton? Χαρακτηρίστε αυτή την κατηγορία γράφων. Επίλυση: Έστω ο γράφος έχει μονοπάτι Euler. Τότε ο γράφος συνεκτικός. Αν το μονοπάτι είναι και Hamilton, τότε κάθε κορυφή άρτιου βαθμού θα έχει βαθμό υποχρεωτικά 2, (διότι αν είχε βαθμό 0 ο γράφος δεν θα ήταν συνεκτικός, ενώ αν είχε βαθμό >2 τότε για να καλυφθούν οι προσπίπτουσες σε αυτήν ακμές, θα έπρεπε να περάσουμε τουλάχιστον δυο φορές από την κορυφή, Άτοπο.) Όμοια, κάθε κορυφή περιττού βαθμού θα είχε βαθμό 1. Επομένως ο γράφος είτε είναι κύκλος Cn, είτε είναι ένα μονοπάτι Pn. Αντιστρόφως, ισχύει προφανώς ότι στον Cn και στον Pn, ένας κύκλος (μονοπάτι) Euler είναι αντιστοίχως και κύκλος (μονοπάτι) Hamilton.
Άσκηση 6η Έντεκα φοιτητές σχεδιάζουν να γευματίσουν μαζί για κάμποσες μέρες. Θα κάθονται σε ένα κυκλικό τραπέζι και το σχέδιο προβλέπει ότι κάθε φοιτητής θα έχει διαφορετικούς γείτονες σε κάθε γεύμα. Για πόσες μέρες μπορούν να διαρκέσουν τα γεύματα;
Επίλυση 6ης Θεωρούμε τον τρόπο που θα καθίσουν οι φοιτητές σαν ένας κύκλος Hamilton στον πλήρη γράφο K 11 όπου οι 11 κορυφές αναπαριστούν τους φοιτητές και μια ακμή, που ενώνει δυο κορυφές συμβολίζει τη δυνατότητα να κάθονται σε διπλανές θέσεις στο γεύμα οι αντίστοιχοι φοιτητές. Στο γράφο υπάρχουν (11/2)=55 ακμές και σε κάθε κύκλο Hamilton χρησιμοποιούνται 11 ακμές, από τις οποίες 2 ξεκινούν από κάθε κορυφή. Οι ίδιες ακμές δεν επιτρέπεται να χρησιμοποιηθούν σε άλλο κύκλο Hamilton, που δίνει λύση στο πρόβλημα, διότι τότε ένας φοιτητής θα είχε ίδιο γείτονα και σε άλλο γεύμα στο τραπέζι. Αρα τα γεύματα μπορεί να διαρκέσουν το πολύ για 5=55/11 μέρες.
Ασκήσεις σε Συνεκτικότητα Μελετήστε την 7 η Διάλεξη που αναφέρεται στη συνεκτικότητα
Ασκηση 1 Αν ένας γράφος έχει 2n κορυφές βαθμού n, τότε ο γράφος είναι συνεκτικός. Λύση: Εστω ένας γράφος G με 2n κορυφές βαθμού n και ας υποθέσουμε ότι είναι μη συνεκτικός. Τότε υπάρχουν τουλάχιστον 2 συνεκτικές συνιστώσες στον G και σύμφωνα με την Αρχή της Περιστεροφωλιάς μια από αυτές τις συνιστώσες έχει το πολύ n κορυφές. Κάθε κορυφή αυτής της συνιστώσας θα είναι (από τον ορισμό της συνεκτικότητας) γειτονική μόνο με κορυφές της ίδιας συνιστώσας και συνεπώς θα είναι βαθμού το πολύ n-1, άτοπο. Αρα η αρχική υπόθεσή μας είναι λανθασμένη και ο γράφος G είναι συνεκτικός.
Ασκηση 2 Εάν ο βαθμός κάθε κορυφής σε ένα γράφο είναι μεγαλύτερος ή ίσος του 2, τότε να δειχθεί ότι ο γράφος περιέχει τουλάχιστον ένα κύκλο. Λύση: Υποθέτουμε ότι ο γράφος είναι συνεκτικός, αλλιώς δουλεύουμε με μια τυχαία συνιστώσα του. Εστω μια τυχαία κορυφή u γειτονική με τις κορυφές u 1,u 2,.u n, u 2. Εαν υπάρχει στον G μια ακμή u i u j τότε θα υπάρχει κύκλος uu i u j u. Διαφορετικά επιλέγουμε την u έτσι ώστε να μην είναι σημείο αποκοπής του G. Μια κορυφή u με αυτή την ιδιότητα υπάρχει, διότι σύμφωνα με γνωστό θεώρημα, σε κάθε μη τετριμμένο συνεκτικό γράφο G, υπάρχουν τουλάχιστον δυο κορυφές, που δεν είναι σημεία αποκοπής. Αφού η u δεν είναι σημείο αποκοπής υπάρχει μονοπάτι που ενώνει τις κορυφές u 1, u 2 και δεν περιέχει την u. Το μονοπάτι αυτό, έστω u 1. u 2, μαζί με τις ακμές u 2 u και uu 1 είναι ένας κύκλος στον G. Ετσι αποδείχθηκε το ζητούμενο.