Παράδειγµα roller coaster ΦΥΣ 131 - Διαλ.13 1 Ποια πρέπει να είναι η ελάχιστη ταχύτητα που θα πρέπει να έχει το τρενάκι ώστε να µη χάσει επαφή µε τη τροχιά στο υψηλότερο σηµείο της κίνησης; y-διεύθυνση: F = ma = "m # 2 "F N " mg = "m # 2 Όταν είναι να χάσει επαφή F N = 0: "mg = "m # 2 g = " 2 " = g mg F N α=υ 2 /
Τ Παράδειγμα Μετακίνηση αλά Tarzan Kάποιοι ριψοκίνδυνοι είχαν µια καταπληκτική ιδέα: mg v = 2gl ΦΥΣ 131 - Διαλ.13 2 Nα δέσουν το ένα άκρο ενός σχοινιού σε µια γέφυρα, και κρατώντας το άλλο άκρο να προσπαθήσουν να περάσουν απέναντι γέφυρα Το σχοινί ήταν περίπου 50m και υπήρχαν περίπου 5-6 άτοµα που ήθελαν να περάσουν όλοι µαζί (~500Κgr). l Πήραν ένα σχοινί το οποίο άντεχε 2 φορές το βάρος τους. Τι έγινε? Η διατήρηση της ενέργειας λέει ότι: ταχύτητα στο χαµηλότερο σηµείο είναι Άρα η κεντροµόλος επιτάχυνση είναι v 2 2gl a = = = 2g F = r l ma και στο χαµηλότερο σηµείο έχουµε τις δυνάµεις: T " mg = ma T " mg = m( 2g) T = 3mg Αποτέλεσµα; Το σχοινί έσπασε. (περισσότερα την άλλη βδοµάδα) Στο χαμηλότερο σημείο, η τάση είναι 3 φορές μεγαλύτερη του βάρους
Αυτοκίνητο σε δρόµο µε κλίση προς ορίζοντα ΛΥΣΗ N α f θ mg Δυνάμεις Ν f mgcosθ mg mgsinθ H συνθήκη f μ Ν γίνεται: Διαλέγω το δεύτερο σύστηµα για το πρόβληµα. H επιτάχυνση είναι: Δεν υπάρχει άνω όριο στην ταχύτητα αν cosθ<μsinθ v 2 αsinθ cos " gsin # µ(v2 sin + gcos) $ v2 # ΦΥΣ 131 - Διαλ.13 3 Αυτοκίνητο παίρνει στροφή σε δρόµο που σχηµατίζει γωνία µε τον ορίζοντα. Η στροφή αντιστοιχεί σε κυκλική τροχιά ακτίνας. και ο συντελεστής τριβής είναι µ Ποια η µέγιστη ταχύτητα του αυτοκινήτου για την οποία το αυτοκίνητο παραµένει στο δρόµο χωρίς να γλυστρήσει; Οι δυνάµεις που ενεργούν είναι mg, f και N Βρίσκουµε πρώτα την f µε την προϋπόθεση f µν Ποιους άξονες θα πρέπει να διαλέξουµε? Τους αρχικούς x και y? Αυτούς που είναι κάθετος και παράλληλος προς το επίπεδο? Και τα 2 συστήµατα είναι κατάλληλα. // F = ma : f + mgsin = macos = mv2 cos F = ma : N - mgcos" = masin" = mv2 sin" a = v2 f = mv2 " = mv2 αcosθ cos" # mgsin" sin# + mgcos# g(sin + µcos) (cos " µsin)
Κυκλική κίνηση ΦΥΣ 131 - Διαλ.13 4 Ορίζουµε τα ακόλουθα 2 µοναδιαία διανύσµατα: ˆr βρίσκεται κατά µήκος του διανύσµατος της ακτίνας ˆ είναι εφαπτόµενο του κύκλου Μετρούµε την γωνιακή θέση σε ακτίνια (rad): 2π (rad) = 360 0 Χρησιµοποιώντας rad, το µήκος τόξου είναι: θ Ορίζουµε σα γωνιακή ταχύτητα ω, ένα διάνυσµα το µέτρο του οποίου είναι ίσο µε το ρυθµό µεταβολής της γωνιακής συντεταγµένης του σώµατος. (t) = d"(t) Η φορά του διανύσµατος ω ορίζεται σύµφωνα µε το κανόνα δεξιόχειρης κυκλικής κίνησης: Ο αντίχειρας δείχνει τη διεύθυνση του διανύσµατος ω. Είναι κάθετο στο επίπεδο της κίνησης και κατά µήκος του άξονα που περνά από το κέντρο της κυκλικής τροχιάς. ˆ d ( t) " = " zk # " z =
Κυκλική κίνηση - ταχύτητα Μπορούµε να γράψουµε το διάνυσµα της θέσης r = x t ( )î + y t ( ) ĵ = cos ( t) ( ) " # $% î + " # sin t $% ĵ ΦΥΣ 131 - Διαλ.13 5 Προσοχή η θ µεταβάλλεται µε χρόνο Άρα η ταχύτητα του σώµατος θα είναι: ( ) v = d r t = d " # cos ( t)î + sin ( t) ĵ $ % d Από παραγώγους: cos t ( ( )) = d cos ( ) d d # v = %sin" t $ ( ) d" ( t) î + cos" t ( ) d" ( t) & ĵ ( ' Το µέτρο της ταχύτητας δίνεται από τη σχέση: 2 d(t) = 2 sin 2 d 2 " % = # $ 2 & ' + cos 2 d 2 ( " % + v 2 = v v = v 2 2 x + v y # $ & ' )*,- 2 d" ( t) v 2 = 2 v = d" ( t) v = " t Το διάνυσµα της γωνιακής ταχύτητας, ω, είναι κάθετο στο επίπεδο της τροχιάς και εποµένως στην ακτίνα Το διάνυσµα της γραµµικής ταχύτητας, v, είναι κάθετο στην ακτίνα ( cos 2 + sin 2 ) ( ) v = " ( t) #
ΦΥΣ 131 - Διαλ.13 6 Κυκλική κίνηση - επιτάχυνση Μπορούµε να βρούµε την επιτάχυνση από τη σχέση: v = " r " = d v(t) % # $ & ' = d = d " r + " d r Ορίζουµε σα γωνιακή επιτάχυνση a, το διάνυσµα που δίνει το ρυθµό µεταβολής της γωνιακής ταχύτητας ω. a = d Η (1) γράφεται (( ) r ) " = d # Η διεύθυνση του είναι παράλληλη µε αυτή του = a " r + # " v $ r + # $ v (1) Εφαπτοµενική επιτάχυνση Κεντροµόλος επιτάχυνση Για οµαλή κυκλική κίνηση ω=σταθ. και a=0 = " # v v = " r a b c ( ) = b a " c ( ) # c a " b = " # " # r ( ) = " " $ r ( ) % r " $ " ( ) ( ) " = #$ 2 r κεντροµόλος επιτάχυνση
Κυκλική κίνηση ΦΥΣ 131 - Διαλ.13 7 Γωνιακή µετατόπιση: " = " 2 # " 1 Πόσο έχει περιστραφεί Γωνιακή ταχύτητα: = d" Πόσο γρήγορα περιστρέφεται Μονάδες µέτρησης rad/sec - 2π rad = 1 περιστροφή Γωνιακή επιτάχυνση: = d" Ρυθµός µεταβολής της γωνιακής ταχύτητας Περίοδος = 1/συχνότητα = 1 / f = 2" # Χρόνος για να συµπληρώσει µια περιστροφή Από κυκλική κίνηση σε γραµµική Μετατόπιση: S = " (η γωνία µετράται σε ακτίνια) Γραµµική ταχύτητα: v = ds = d v = d" = # Διεύθυνση της ταχύτητας εφαπτόµενη στη τροχιά
ΦΥΣ 131 - Διαλ.13 8 Αναλογία γραµµικής και κυκλικής κίνησης Κυκλική Γραµµική =σταθ. a=σταθ. = 0 + "t = 0 + "t + 1 2 #t 2 v = v 0 + t x = x 0 + v 0 t + 1 2 t 2 Όλα τα σηµεία σε ένα σώµα που περιστρέφεται έχουν την ίδια γωνιακή επιτάχυνση
Παράδειγµα ΦΥΣ 131 - Διαλ.13 Πόσο λιγότερο ζυγίζει ένα άτοµο 70kg στον ισηµερινό εξαιτίας της περιστροφής της γης; 9 Βόρειος πόλος F g Ν Η ένδειξη της ζυγαριάς είναι η δύναµη που ασκεί η ζυγαριά Στο σώµα ασκείται η βαρυτική έλξη Το σώµα περιστρέφεται µαζί µε τη γη η κάθετη δύναµη Ν βάρος, F g Κεντροµόλος δύναµη F g " N = mv2 N = F g " mv2 r r N = F g " m# 2 r Αλλά 2 2" r = ( 86400 )2 (6.37 #10 6 ) = 0.033m /s 2 N = F g " 70 # 0.033 To μετρούμενο g στον ισημερινό είναι g ισ =9.78m/s 2 F g = N + mv2 r Η κεντροµόλος είναι η συνισταµένη των άλλων δυνάµεων F = ma N = mg "# Περιέχει περιστροφή F g = m(g "# + v2 r ) = m(9.78 + 0.03) F g = m( 9.81m /s 2 ) Τιμή του g αν η γη δεν γύριζε και είχε το ίδιο σχήμα
Παράδειγµα Δύο ράβδοι συνδέουν την µάζα m σε ένα στύλο. Η µάζα m περιστρέφεται κυκλικά σε ένα οριζόντιο κύκλο µε σταθερή ταχύτητα v. Ποιες είναι οι τάσεις Τ 1 και Τ 2? 60 0 60 0 Παρατηρήσεις l l T 1 T 2 < 0 g m Αναλύουµε τις δυνάµεις σε άξονες F x : F y : F x = (T 1 + T 2 )cos30 0 = ma 3 4 (2T mv2 2 + 2mg) = l 3 4 (T 1 + T 2 ) = mv2 l a = v2 r = v 2 lcos30 0 T 1 sin30 0 = T 2 sin30 0 + mg T 1 = T 2 + 2mg T 2 = 2 mv 2 " mg 3 l ΦΥΣ 131 - Διαλ.13 T 1 = 2 mv 2 + mg 3 l Ø Η Τ 1 > 0 πάντα è Η πάνω ράβδος είναι πάντα τεντωµένη > 0 è τεντωµένη µόνο όταν v > 3 2 gl Ø Η Τ 2 = 0 è δεν παίζει ρόλο, δηλαδή δεν χρειάζεται όταν v = 3 2 gl è συµπεσµένη, η ταχύτητα µικρή και η µάζα στηρίζεται T 1 30 o 30 o T 2 y mg x 10