«Ανακαλύπτοντας» Εκ Νέου Τεχνικές για τον Υπολογισμό του Εμβαδού μη Κανονικών Σχημάτων. Aπό τον 18 ο Αι. στη Σύγχρονη Τάξη

«Ανακαλύπτοντας» Εκ Νέου Τεχνικές για τον Υπολογισμό του Εμβαδού μη Κανονικών Σχημάτων. Aπό τον 18 ο Αι. στη Σύγχρονη Τάξη Παπαδόπουλος Ιωάννης Πρωτοβάθμια Εκπαίδευση Περίληψη Στην εργασία αυτή υποστηρίζουμε ότι όταν οι μαθητές ασχοληθούν για ικανό χρονικό διάστημα με προσεκτικά σχεδιασμένες δραστηριότητες επίλυσης προβλήματος που συνδέονται με την έννοια του εμβαδού μη κανονικών σχημάτων τότε «ανακαλύπτουν» εκ νέου τεχνικές για τον υπολογισμό του εμβαδού τους χωρίς να έχει προηγηθεί σχετική διδασκαλία σχετικά με τα σχήματα αυτά. ΛΕΞΕΙΣ ΚΛΕΙΔΙΑ: εμβαδό μη κανονικών σχημάτων, τεχνικές επίλυσης προβλήματος 1. Εισαγωγή Φαίνεται ότι η ενασχόληση με την επίλυση προβλήματος που συνδέεται με το εμβαδόν μη κανονικών σχημάτων από τη μια μεριά εξασφαλίζει την κατανόηση από μέρους των μαθητών της έννοιας του εμβαδού και των παραμέτρων του (μονάδες, υπομονάδες, διατήρηση εμβαδού) και από την άλλη υποστηρίζει τους μαθητές στην ανάπτυξη τεχνικών για τον υπολογισμό του εμβαδού τέτοιων σχημάτων (Mamona-Downs & Papadopoulos, 2006). Από αυτήν την οπτική γωνία η μελέτη τέτοιων σχημάτων θα μπορούσε να θεωρηθεί ως σημαντική συνιστώσα του αναλυτικού προγράμματος στα μαθηματικά κατά μήκος όλων των βαθμίδων εκπαίδευσης συμπεριλαμβανομένης της πρωτοβάθμιας. Τα ερευνητικά δεδομένα μας δείχνουν πως η μελέτη μη κανονικών σχημάτων συνδέεται άμεσα με μια σειρά από παραμέτρους που σχετίζονται με το εμβαδόν όπως η ανάπτυξη τεχνικών υπολογισμού του (Zacharos, 2007), η χρήση μονάδων και υπομονάδων (Baturo & Nasons, 1996), η χρήση του πλέγματος (Clements & Stephan, 2004). Στα σχολικά μας εγχειρίδια δυστυχώς υπάρχουν ελάχιστες αναφορές σε τέτοια σχήματα που περιορίζονται στη διαίρεση ενός μη κανονικού πολυγώνου σε γνωστά υποσχήματα. Ήδη σε άλλες χώρες (ΗΠΑ, Καναδάς, Ην. Βασίλειο, Αυστραλία) η μελέτη των σχημάτων αυτών περιλαμβάνεται στη σχολική ύλη πράγμα το οποίο σημαίνει ότι οι μαθητές διδάσκονται το πως να υπολογίζουν το εμβαδόν τέτοιων σχημάτων με συγκεκριμένες χειροπιαστές τεχνικές. Τι γίνεται όμως αν οι μαθητές δεν έχουν ποτέ Μαθηματική Εκπαίδευση και Οικογενειακές Πρακτικές ΕΝΕΔΙΜ, Πανεπιστήμιο Αιγαίου, 2009

268 3 ο Συνέδριο ΕΝΕΔΙΜ διδαχθεί κάτι παρόμοιο; Πιστεύουμε ότι αν οι μαθητές εκτεθούν για μια επαρκή χρονική περίοδο σε μια σειρά από προσεκτικά σχεδιασμένες δραστηριότητες επίλυσης προβλήματος με κοινό εννοιολογικό υπόβαθρο (στην περίπτωσή μας αυτό του εμβαδού μη κανονικών σχημάτων) τότε «ανακαλύπτουν» αντίστοιχες τεχνικές. Στην επόμενη ενότητα θα παρουσιάσουμε το πως διαχειρίστηκαν το συγκεκριμένο θέμα τα εγχειρίδια μαθηματικών γραμμένα για εκπαιδευτικούς σκοπούς από γνωστούς Έλληνες λόγιους από το 1749 μέχρι τα τέλη περίπου του 20 ου αι. Αυτό γίνεται για να επιχειρηθεί μια εξέταση της όποιας ομοιότητας μεταξύ των τεχνικών που πρότειναν τα επίσημα εγχειρίδια και αυτών που «ανακαλύφθηκαν» από τους μαθητές. Στη συνέχεια περιγράφουμε το σκηνικό της έρευνας και παρουσιάζουμε τα αποτελέσματα ενώ η εργασία κλείνει με την παρουσίαση των συμπερασμάτων. 2. Τα Μη Κανονικά Σχήματα στα Μαθηματικά Εγχειρίδια Σε μια ανασκόπηση των σχετικών βιβλίων που έχουν εκδοθεί από το 18 ο αι. και που είναι γραμμένα από γνωστούς Έλληνες λόγιους-επιστήμονες, ο Papadopoulos (2008) κατέγραψε μια σειρά από διαφορετικές προσεγγίσεις που πρότειναν κατά καιρούς τα εγχειρίδια αυτά σχετικά με το εμβαδόν μη κανονικών σχημάτων. Κατηγοριοποίησε τις μεθόδους αυτές ανάλογα με το αν το περίγραμμά του σχήματος αποτελούνταν αποκλειστικά από ευθ. τμήματα ή όχι. Για την πρώτη περίπτωση κατέγραψε τρεις διαφορετικές μεθόδους που προτείνονταν από τους συγγραφείς των εγχειριδίων: 2.1 Διαίρεση ενός σχήματος σε υποσχήματα Η μέθοδος αυτή σύμφωνα με τα εγχειρίδια μπορεί να υλοποιηθεί κατά τέσσερις διαφορετικούς τρόπους: α) Δημιουργία τριγώνων φέροντας όλες τις διαγωνίους από μια κορυφή (Εικ.1 αριστερά). β) Δημιουργία τριγώνων φέροντας διαγώνιες από περισσότερες της μιας κορυφών (εικ.1, δεξιά). γ) Δημιουργία τριγώνων χρησιμοποιώντας ένα σημείο εσωτερικά του μη κανονικού πολυγώνου (εικ. 2, α) και δ) η μέθοδος της μεγαλύτερης διαγωνίου. Χαράσσουμε τη μεγαλύτερη διαγώνιο και μετά φέρουμε κάθετες σε αυτήν από τις κορυφές του πολυγώνου δημιουργώντας έτσι τρίγωνα και ορθογώνια τραπέζια (εικ. 2, β). Εικ. 1. Χωρισμός σε υποσχήματα με χρήση διαγωνίων

Παπαδόπουλος Ιωάννης 269 Εικ 2α,β,γ,δ. Χωρισμός σε υποσχήματα (α,β) και περιγεγραμμένο ορθογ. (γ,δ) 2.2 Περιγράφοντας ένα ορθογώνιο Σύμφωνα με τη μέθοδο σχεδιάζουμε ένα ορθογώνιο περιγεγραμμένο του πολυγώνου και στη συνέχεια διαιρούμε το μέρος του ορθογωνίου που είναι εξωτερικά του πολυγώνου σε τρίγωνα ή ορθογώνια τραπέζια. Υπολογίζουμε τα εμβαδά αυτών των υποσχημάτων και τα αφαιρούμε από το εμβαδόν του ορθογωνίου (εικ. 2, γ-δ). 2.3 Δημιουργώντας τραπέζια με χάραξη παραλλήλων Σύμφωνα με τη μέθοδο αυτή χαράσσουμε παράλληλες ευθείες που να διέρχονται από τις κορυφές του πολυγώνου το οποίο έτσι διαιρείται σε μια σειρά από τρίγωνα και κυρίως τραπέζια. Προσθέτοντας τα εμβαδά των επιμέρους σχημάτων υπολογίζουμε το εμβαδόν του αρχικού σχήματος (εικ. 4, α).

270 3 ο Συνέδριο ΕΝΕΔΙΜ Εικ 3 α,β,γ. Χρήση «λωρίδων» (α), πλέγματος (β), αγνοώντας μικροδιαφορές (γ) Στην περίπτωση που το περίγραμμα του μη κανονικού σχήματος δεν αποτελείται μόνο από ευθύγραμμα τμήματα αλλά περιέχει καμπύλες και επομένως δεν μπορεί να διαιρεθεί σε υποσχήματα τα εγχειρίδια προτείνουν τις εξής τρεις μεθόδους: 2.4 Η μέθοδος του πλέγματος Πρόκειται για τη γνωστή μέθοδο του τετραγωνικού πλέγματος όπου η χρήση τόσο των πλήρων μονάδων μέτρησης όσο και ο συνδυασμός ελλιπών χωρίων προκειμένου να αλληλοσυμπληρωθούν και να δημιουργήσουν πλήρεις, οδηγεί σε μια προσέγγιση του εμβαδού του σχήματος (εικ. 4, β). 2.5 Αγνοώντας ή διευθετώντας μικρές διαφορές Στην περίπτωση αυτή δημιουργούμε ένα περιγεγραμμένο στο σχήμα μας ορθογώνιο αγνοώντας μικρές αποκλίσεις ή διευθετώντας τες προσθέτοντας ή αφαιρώντας τις μικρές περιοχές ανάλογα. Το εμβαδόν του μέρους του ορθογωνίου που είναι εκτός του αρχικού σχήματος είτε διαιρείται σε επιμέρους υπο-περιοχές είτε κάποια από τα μέρη του αγνοούνται γιατί θεωρούμενα ανά δύο (ένα εσωτερικά και ένα εξωτερικά) φαίνεται να «αλληλοεξουδετερώνονται» και ως ζεύγος να μη συμβάλουν στο συνολικό εμβαδόν (εικ. 4,δ). 2.6 Δημιουργώντας τραπέζια με χάραξη παραλλήλων αντικαθιστώντας τις καμπύλες γραμμές με ευθύγραμμα τμήματα Πρόκειται για μια επέκταση της ανάλογης μεθόδου που αναφέρθηκε παραπάνω. Το μη κανονικό σχήμα χωρίζεται σε «λωρίδες» με τη χάραξη των παραλλήλων. Κάθε «λωρίδα» κατά προσέγγιση θεωρείται ως ένα τραπέζιο αν αντικαταστήσουμε τις καμπύλες γραμμές με ευθ. τμήματα (ως οι μη-παράλληλες πλευρές του τραπεζίου). 3. Περιγραφή της Έρευνας Το ερώτημα στο οποίο προσπαθούμε να δώσουμε απάντηση είναι: Κατά πόσο μια συσσωρευμένη εμπειρία στην επίλυση προβλήματος σχετικά με το εμβαδόν μη κανονικών σχημάτων μπορεί να οδηγήσει σε μια εκ νέου «ανακάλυψη» των γνω-

Παπαδόπουλος Ιωάννης 271 στών (στους μαθηματικούς αλλά όχι στους μαθητές) τεχνικών για τον υπολογισμό των εμβαδών τους. Στην έρευνα αυτή συμμετείχαν 20 μαθητές της Στ Δημοτικού ενός σχολείου της Θεσσαλονίκης. Εννέα από αυτούς εργάστηκαν στο υπολογιστικό περιβάλλον και 11 στο παραδοσιακό περιβάλλον χαρτί-μολύβι. Οι μαθητές γνώριζαν μέσω των κανονικών διδασκαλιών στα μαθηματικά την έννοια του εμβαδού όπως επίσης και τους τύπους υπολογισμού του εμβαδού γνωστών σχημάτων. Στο υπολογιστικό περιβάλλον χρησιμοποιήθηκαν δυο εφαρμογές: το Cabri Geometer (Λογισμικό Δυναμικής Γεωμετρίας) και το γνωστό πρόγραμμα ζωγραφικής (MS Paint) των Windows. Τέσσερα από τα σχήματα που αντιμετώπισαν οι μαθητές κατά τη διάρκεια της έρευνάς μας φαίνονται στην Εικόνα 5. Οι συνεδρίες (45 λεπτών) ήταν ξεχωριστές για κάθε πρόβλημα και οι μαθητές εργάστηκαν ατομικά. Δεν υπήρχαν παρεμβάσεις από τον ερευνητή όσον αφορά την πορεία της επίλυσης προβλήματος. Τα δεδομένα απετέλεσαν για μεν το περιβάλλον χαρτί-μολύβι τα φύλλα εργασίας των μαθητών ενώ για το υπολογιστικό περιβάλλον τα βίντεο που με τη βοήθεια ενός λογισμικού (Camtasia Studio) κατέγραψαν ότι λάμβανε χώρα στην επιφάνεια εργασίας του κάθε υπολογιστή. Μετά το πέρας κάθε συνεδρίας οι μαθητές κλήθηκαν σε ατομικές συνεντεύξεις προκειμένου να διευκρινιστούν κάποια σημεία της πορείας επίλυσης που ενδιέφεραν από ερευνητικής σκοπιάς. Αφού συγκεντρώθηκαν τα δεδομένα κωδικοποιήθηκαν σύμφωνα με τρεις άξονες: προσδιορισμός τεχνικών επίλυσης α) όμοιων με τους υπάρχοντες σε τυπωμένα εγχειρίδια, β) ελαφρά τροποποιημένων και γ) εντελώς νέων. Εικ. 5. Σχήματα (από προβλήματα 1, 2, 3, 4 ) που χρησιμοποιήθηκαν στην έρευνα 4. Αποτελέσματα Στην ενότητα αυτή θα σχολιάσουμε τις ποικίλες τεχνικές που εφάρμοσαν οι μαθητές προσπαθώντας ταυτόχρονα να εντοπίσουμε την όποια αντιστοιχία (όποτε αυτό είναι δυνατόν) με τις «τυπικές» τεχνικές που έχουν αναφερθεί. Πρόβλημα 1 Το ζητούμενο σε αυτό το πρόβλημα ήταν το εμβαδόν της περιοχής του κύκλου που βρίσκεται εκτός του πολυγώνου. Σχεδόν όλοι οι μαθητές εφάρμοσαν την τεχνική της διαίρεσης σε υποσχήματα προκειμένου να υπολογίσουν το εμβαδόν του πολυ-

272 3 ο Συνέδριο ΕΝΕΔΙΜ γώνου. Το κριτήριό τους ήταν πάντα η δημιουργία γνωστών σχημάτων. Αυτό υλοποιήθηκε σε κάποιες περιπτώσεις με την επιλογή ενός εσωτερικού σημείου του πολυγώνου και τη χάραξη μετά των ευθυγράμμων τμημάτων που ένωναν το σημείο αυτό με τις κορυφές του πολυγώνου ( σε αντιστοιχία με την 2.1 γ τεχνική) (εικ. 6, α). Εικ 6α, β, γ, δ. Χωρισμός σε υποσχήματα από τους μαθητές Άλλοι μαθητές προτίμησαν να φέρουν τη μεγαλύτερη διαγώνιο του πολυγώνου. Μετά χάραξαν τα κάθετα ευθ. τμήματα από τις κορυφές του πολυγώνου προς τη διαγώνιο δημιουργώντας έτσι τρίγωνα και ορθογώνια. Έτσι ήταν εύκολο πια να υπολογίσουν το εμβαδόν του πολυγώνου (εικ. 6, β) (αντιστοιχία με την 2.1 δ). Τέλος κάποιοι εργάστηκαν κατά τρόπο όμοιο (ή περίπου όμοιο) της τεχνικής 2.1 β (εικ. 6, γ). Προτίμησαν να φέρουν διαγώνιες από περισσότερες της μιας κορυφές χωρίζοντας έτσι το πολύγωνο σε μια σειρά από τρίγωνα. Αξίζει να αναφερθεί εδώ ότι καταγράφηκαν και άλλοι τρόποι διαίρεσης του πολυγώνου που δεν ταιριάζουν σε καμιά από τις προαναφερθείσες τεχνικές όπως η περίπτωση στην εικ. 6, δ. Πρόβλημα 2 Εικ 7α, β. Χωρισμός σε υποσχήματα (α) και χρήση πλέγματος (β) Και εδώ οι περισσότεροι μαθητές επέλεξαν την διαίρεση σε υποσχήματα (εικ. 7, α). Υπήρξαν όμως και κάποιοι που εργάστηκαν διαφορετικά. Στο πλαίσιο του προβλήματος δεν υπήρχε καμιά υπόδειξη (ρητή ή υπονοούμενη) προς την κατεύθυνση της δημιουργίας πλέγματος. Αντίθετα το ίδιο το σχήμα ευνοούσε το χωρισμό σε υποσχήματα. Όμως κάποιοι μαθητές αντί του χωρισμού προτίμησαν τη δημιουργία ενός «προσωπικού» πλέγματος (εικ. 7, β). Έτσι ήταν πια εύκολο να υπολογίσουν το εμβαδόν της τετραγωνικής μονάδας μετρώντας το μήκος της πλευράς και χρησιμοποιώντας τύπους (ή όμοια να υπολογίσουν το εμβαδόν των τριγώνων που προέκυψαν). Θα μπορούσε να θεωρηθεί η τεχνική αυτή συναφής της 2.4, αν

Παπαδόπουλος Ιωάννης 273 και σε κάποιες περιπτώσεις οι μαθητές όχι απλά εφάρμοσαν την τεχνική του πλέγματος αλλά και την επέκτειναν όπως θα φανεί πιο κάτω. Πρόβλημα 3 Το σχήμα στο πρόβλημα αυτό έχει περίγραμμά που αποτελείται αποκλειστικά από καμπύλες γραμμές πράγμα που δημιουργεί δυσκολίες και προκαλεί συγκεκριμένες τεχνικές για τον υπερκερασμό τους (Papadopoulos, 2008a). Το σχήμα είναι προσαρμοσμένο σε τετραγωνικό πλέγμα που αποτελεί σημαντικό εργαλείο σε δραστηριότητες μέτρησης εμβαδού. Στην περίπτωσή μας όμως η πολυπλοκότητα του σχήματος οδήγησε σε μια ποικιλία προσεγγίσεων πέρα από τη χρήση πλέγματος. Το σχήμα δεν μπορούσε να καλυφθεί με ακέραιο αριθμό πλήρων τετραγωνικών μονάδων. Έτσι κάποιοι συνδύασαν τα ελλιπή χωρία ανά δύο υποθέτοντας ότι αυτά σχηματίζουν μια πλήρη μονάδα. Άλλοι διαίρεσαν τη μονάδα σε υπομονάδες δημιουργώντας ένα πιο λεπτομερές πλέγμα προκειμένου να πετύχουν μεγαλύτερη προσέγγιση και εκτιμώντας πόσα ελλιπή χωρία τώρα πρέπει να συνδυαστούν κάθε φορά προκειμένου να δημιουργηθεί μια πλήρης μονάδα (εικ. 8α). Η προσέγγιση αυτή αν και σχετίζεται με την 2.4 εν τούτοις αποτελεί κάτι παραπάνω. Εικ 8α, β. Επέκταση του πλέγματος (α) και σύγκριση μέσα στη μονάδα (β) Ένας από τους μαθητές στο περιβάλλον χαρτί-μολύβι βασίστηκε για τους υπολογισμούς του στο αποτέλεσμα μιας σύγκρισης. Συνέκρινε το μέρος της τετραγωνικής μονάδας που καταλάμβανε το σχήμα με αυτό που υπολειπόταν. Αν το πρώτο ήταν μεγαλύτερο από το δεύτερο τότε μετρούσε το ελλιπές χωρίο ως πλήρες (το αναπαριστά με Χ, εικ. 8 β). Στην αντίθετη περίπτωση το αγνοούσε εντελώς (το αναπαριστά με, εικ. 8 β). Εδώ έχουμε μια ομοιότητα με την τεχνική 2.5 (αγνοώντας ή διευθετώντας μικρές διαφορές).

274 3 ο Συνέδριο ΕΝΕΔΙΜ Εικ 9α,β. Χρήση του συμπληρώματος(α) και αντικατάσταση των καμπύλων(β) Είναι επίσης ενδιαφέρων (ή ακριβέστερα κάπως παράδοξος) ο υπολογισμός από έναν άλλο μαθητή του εμβαδού του σχήματος με βάση το «συμπλήρωμά» του. Ο μαθητής θεωρεί ότι το ορθογώνιο πλέγμα το αποτελούν το σχήμα και το χωρίο το εκτός του σχήματος (αλλά μέσα στο πλέγμα). Έτσι προσπαθεί να προσεγγίσει το εμβαδόν του χωρίου αυτού (εικ. 9α) και στη συνέχεια με αφαίρεση από το εμβαδόν όλου του ορθογωνίου πλέγματος να προσεγγίσει το εμβαδόν του αρχικού σχήματος. Αν και δεν είναι ακριβώς αντίστοιχη της τεχνικής 2.2 εν τούτοις είναι σε συμφωνία μαζί της μιας που η ιδέα που τη διέπει παραμένει η ίδια. Τέλος, στο ίδιο πρόβλημα, κάποιοι μαθητές επέλεξαν να ξεπεράσουν τη δυσκολία των καμπύλων γραμμών με το να αντικαταστήσουν τα καμπύλα τμήματα με ευθύγραμμα, με τη μικρότερη δυνατή απόκλιση (εικ. 9β). Αυτό τους επέτρεψε να α- σχοληθούν με τα ελλιπή χωρία αφού τώρα αυτά έχουν μετατραπεί σε σχήματα γνωστά για τα οποία μπορούν να εφαρμόσουν γνωστούς τύπους. Βέβαια ακόμη και σε αυτήν την περίπτωση κάποιες φορές το σχήμα που προέκυπτε ήταν πάλι μη κανονικό πολύγωνο, όμως αυτό ήταν κάτι που πια μπορούσαν να το αντιμετωπίσουν. Σίγουρα η τεχνική αυτή με μια πρώτη ματιά δε φαίνεται να συνδέεται με την 2.6 (λωρίδες και τραπέζια). Όμως το γεγονός ότι οι μαθητές αντικαθιστούν τις καμπύλες γραμμές με ευθ. τμήματα αποκαλύπτει ότι η κεντρική ιδέα είναι η ίδια. Πρόβλημα 4 Το συγκεκριμένο πρόβλημα παρουσιάζεται για να δοθεί έμφαση στο ότι ήταν το πλαίσιο του προβλήματος κάθε φορά που ευνοούσε μια συγκεκριμένη τεχνική και γι αυτό μιλάμε για μια εκ νέου «ανακάλυψη» εννοώντας ότι εν μέρει αυτή η ανακάλυψη όπως την βιώνουν οι ίδιοι οι μαθητές για το μαθηματικό είναι μια ψευδαίσθηση. Ακόμη κι έτσι όμως υπήρχαν προβλήματα που επέτρεψαν ούτως ή άλλως τους μαθητές να πάνε ακόμη πιο πέρα από τις συγκεκριμένες τεχνικές. Για παράδειγμα η λύση του συγκεκριμένου προβλήματος ήταν προσανατολισμένη προς τη χρήση πλέγματος και σε κάποιες περιπτώσεις προς έναν συνδυασμό ελλιπών χωρίων και όντως η πλειοψηφία των μαθητών εργάστηκε έτσι. Ήταν όμως εντυπωσιακό το ότι κάποιοι μαθητές (και στα δυο περιβάλλοντα) δοκίμασαν να μετασχηματίσουν μέσω «αποκοπής-επικόλλησης» το αρχικό σχήμα σε γνωστό (διατήρηση του εμβαδού) προκειμένου να εφαρμόσουν από κει και πέρα κάποιον τύπο για τον

Παπαδόπουλος Ιωάννης 275 υπολογισμό του εμβαδού του. Βέβαια το σχήμα ήταν σχεδιασμένο έτσι που να είναι εφικτός ο μετασχηματισμός του είτε σε τετράγωνο είτε σε ορθογώνιο (εικ. 10). Εικ 10. Μετασχηματίζοντας ένα μη κανονικό σχήμα 5. Συζήτηση - Συμπεράσματα Βασική επιδίωξη της εργασίας ήταν να δείξει πως στο πλαίσιο της επίλυσης προβλήματος και σε σχέση με την έννοια του εμβαδού οι μαθητές μπορούν να «ανακαλύψουν» εκ νέου τεχνικές για τον υπολογισμό του εμβαδού μη κανονικών σχημάτων δεδομένου ότι δεν έχουν διδαχθεί κάτι σχετικό. Έτσι σχεδιάσαμε σκόπιμα μια σειρά από δραστηριότητες προς την κατεύθυνση αυτή. Οι δραστηριότητες 1 και 2 προωθούν την ιδέα του χωρισμού του σχήματος σε υποσχήματα. Η δραστηριότητα 3 επιτρέπει την αξιοποίηση του πλέγματος και η 4 υποστηρίζει την ιδέα ενός μετασχηματισμού του σχήματος σε κάποιο άλλο του ιδίου εμβαδού. Τα ευρήματα από τη δουλειά των μαθητών μας δείχνουν ότι σε μερικές περιπτώσεις οι μαθητές ακολούθησαν τεχνικές όμοιες με αυτές που έχουν καταγραφεί ως προτεινόμενες σε εγχειρίδια μαθηματικών για εκπαιδευτική χρήση από το 18 ο μέχρι τον 20 ο αι (βλ. Πίνακα 1). Πίνακας 1: Αντιστοιχία μεταξύ τεχνικών υπολογισμού του εμβαδού Μέθοδοι προτεινόμενοι από τα παλαιά μαθηματικά εγχειρίδια 1a. Χωρισμός-Διαγώνιοι από μια κορυφή Εκ νέου «ανακάλυψή» τους από τους μαθητές 1b. Χωρισμός Διαγώνιοι από περισσότερες κορυφές 1c. Χωρισμός Χρήση εσωτερικού σημείου 1d. Χωρισμός η μεγαλύτερη διαγώνιος

276 3 ο Συνέδριο ΕΝΕΔΙΜ 2a. Περιγεγραμμένο ορθογώνιο 2b. Αγνοώντας-διευθετώντας μικροδιαφορές 3. Πλέγμα 4. Λωρίδες αντικατάσταση καμπύλων με ευθ. τμήματα Σε άλλες πάλι οι μαθητές εφάρμοσαν τεχνικές που θα μπορούσαν να θεωρηθούν τροποποιήσεις ή επεκτάσεις των προηγουμένων όπως για παράδειγμα η χρήση υ- πομονάδων και ο συνδυασμός ελλιπών χωρίων ανά δύο ή ανά ομάδες. Στην ίδια γραμμή σκέψης θα μπορούσαμε να θεωρήσουμε τροποποιημένη την εκδοχή της τεχνικής των «λωρίδων». Αν και οι μαθητές μας δε φέρουν παράλληλες που να χωρίζουν το σχήμα σε «λωρίδες», όμως αντικαθιστούν τα καμπύλα μέρη με ευθ. τμήματα, επεμβαίνοντας έτσι στο πλαίσιο του προβλήματος και καθιστώντας το πιο πρόσφορο και διαχειρίσιμο. Φυσικά αξίζει να θυμίσουμε εδώ και το ότι οι μαθητές εφάρμοσαν και τεχνικές όπως αυτή του μετασχηματισμού που δεν σχετίζεται με καμιά από τις παραπάνω. Πρόκειται για μια απαιτητική τεχνική ειδικά για το περιβάλλον χαρτί-μολύβι αφού ο μαθητής πρέπει συνεχώς να έχει στο νου του «ποιο» κομμάτι μεταφέρθηκε και «που». Η προοπτική που περιγράφουμε εδώ μιας τέτοιας προσέγγισης στην επίλυση προβλήματος θα μπορούσε να συμβάλλει στην αντιμετώπιση ενός υπαρκτού προβλήματος στη μαθηματική εκπαίδευση. Η απουσία πρόσβασης σε προϋπάρχουσα μεθοδολογία οδηγεί πολλούς μαθητές στο να μην είναι καν σε θέση να ξεκινήσουν να δουλεύουν πάνω σε ένα πρόβλημα που σχετίζεται με μια συγκεκριμένη έννοια. Η προοπτική που προτείναμε της διαδοχής μιας σειράς από κατάλληλα σχεδιασμένα προβλήματα με κοινό εννοιολογικό υπόβαθρο θα πρόσφερε στους μαθητές τη δυνατότητα να εφαρμόσουν τεχνικές και σταδιακά να αναπτύξουν μια συλλογή από διαθέσιμες τέτοιες τεχνικές που θα αποτελούν όταν η περίσταση το απαιτεί μια αφετηρία για πειραματισμό πάνω σε ένα πρόβλημα. 6. Βιβλιογραφικές Αναφορές Baturo, A., & R. Nason. (1996). Student Teachers Subject Matter within the Domain of Area Measurement. Educational Studies in Mathematics, 31, 235-268. Clements, D., & M. Stephan. (2004). Measurement in Pre-K to Grade 2 Mathematics. In D. Clements, J. Sarama and A. Dibiase (Eds.), Engaging Young Children in Mathematics: Standards for Early Childhood Mathematics Education (pp. 299-320). Mahwah, NJ, Lawrence Erlbaum Associates Mamona-Downs, J., & I. Papadopoulos. (2006). The Problem-Solving Element in Young Students Work Related to the Concept of Area. In J. Novotna et al (Eds.), Proceedings of the 30 th PME Conference, (v.iv, pp. 121-128). Prague.

Παπαδόπουλος Ιωάννης 277 Papadopoulos, I. (2008). Complex and Non-Regular Shapes: Their Evolution in Greek Textbooks (1749-1971). Science and Education, 17(1), 115-129 Papadopoulos, I. (2008a). Developing problem-solving strategies via estimating the area of irregular shapes. In Swoboda (Ed.)Supporting Independent Thinking Through Mathematical Education, (pp.95, 101), Poland Zacharos, K. (2006). Prevailing educational practices for area measurement and students failure in measuring areas. The Journal of Mathematical Behavior, 25(3), 224-239.