ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΔΙΑΓΩΝΙΟΥ. Εξετάζουμε ενδεικτικά ορισμένες περιπτώσεις: 1 ο 2 ο. 3 ο 4 ο

Transcript

1 ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΔΙΑΓΩΝΙΟΥ Δίνεται ορθογώνιο παραλληλόγραμμο διάστασης m n όπου m,n φυσικοί αριθμοί, το οποίο είναι διαιρεμένο σε τετράγωνα που το καθένα ισούται με την μονάδα μέτρησης του εμβαδού του. Να βρεθεί το πλήθος των τετραγώνων από τα οποία θα διέλθει μια διαγώνιός του. Εξετάζουμε ενδεικτικά ορισμένες περιπτώσεις: 1 ο ο 3 ο 4 ο Στο 1 ο ορθογώνιο διάστασης 3 το πλήθος των τετραγώνων από τα οποία διέρχεται η διαγώνιος είναι 4. Στο ο με διάσταση 6 4 το ζητούμενο πλήθος είναι 8. Στο 3 ο και 4 ο με διαστάσεις 4 1 και 6 3, το πλήθος είναι 4 και 6 αντίστοιχα. Τα σκιαγραφημένα τετράγωνα δείχνουν την διαδρομή της διαγωνίου. Δυνατοί τρόποι κίνησης: Αν θεωρήσουμε ότι βρισκόμαστε στο κάτω αριστερά τετράγωνο από το οποίο ξεκινά η διαγώνιος και θέλουμε να κατευθυνθούμε προς το πάνω δεξιά στο οποίο καταλήγει, διατρέχοντας τα σκιαγραφημένα τετράγωνα, διαπιστώνουμε ότι οι δυνατοί τρόποι μετάβασης από οποιοδήποτε σκιαγραφημένο τετράγωνο στο επόμενο σκιαγραφημένο είναι τρεις. 1

2 1) Κίνηση προς τα δεξιά ) Κίνηση προς τα πάνω 3) Κίνηση διαγώνια. Παρατηρούμε ότι στο 1 ο και 3 ο ορθογώνιο οι κινήσεις γίνονται μόνο με τους δυο πρώτους τρόπους, απουσιάζει δηλαδή η διαγώνια κίνηση. Δηλαδή, η διαγώνιος δεν διέρχεται από κορυφή κάποιου τετραγώνου στο εσωτερικό του ορθογωνίου. Αυτό εξηγείται από τον επόμενο ισχυρισμό: Ισχυρισμός 1: Αν οι αριθμοί m,n είναι πρώτοι μεταξύ τους, τότε η διαγώνιος δεν διέρχεται από καμία κορυφή τετραγώνου στο εσωτερικό του ορθογωνίου. Θεωρώντας ότι διέρχεται τουλάχιστον από μία, θα δείξουμε ότι τότε οι m,n δεν είναι πρώτοι μεταξύ τους, καταλήγοντας έτσι σε άτοπο. Σε ένα ορθοκανονικό σύστημα αξόνων, ταυτίζουμε την κάτω αριστερή κορυφή του ορθογωνίου με την αρχή των αξόνων και τις δυο πλευρές του με τους άξονες όπως δείχνει το σχήμα 1. n q p m Σχήμα 1 Έστω ότι η διαγώνιος διέρχεται από την κορυφή κάποιου τετραγώνου στο εσωτερικό του ορθογωνίου. Θα πρέπει τότε οι συντεταγμένες της κορυφής αυτής να είναι φυσικοί αριθμοί. Άρα p,q φυσικοί με p<m και q<n. Η κλίση της διαγωνίου είναι ίση με n m αλλά και ίση με q p.

3 m Αφού m,n πρώτοι μεταξύ τους θα πρέπει το κλάσμα να είναι ανάγωγο. Άτοπο n m p αφού και p<m, q<n άρα οι m,n δεν είναι πρώτοι μεταξύ τους. n q Ισχυρισμός : Αν οι m,n είναι πρώτοι μεταξύ τους, τότε το πλήθος των τετραγώνων από τα οποία θα διέλθει η διαγώνιος θα ισούται με m n 1. Η μετάβαση από το κάτω αριστερά τετράγωνο στο πάνω δεξιά για το συγκεκριμένο ορθογώνιο, λόγω του ισχυρισμού 1, γίνεται μόνο με τους δυο πρώτους τρόπους κίνησης, δηλαδή ή προς τα δεξιά ή προς τα πάνω. Οπότε το πλήθος των τετραγώνων απ τα οποία θα διέλθουμε, θα είναι ίσο με το πλήθος των τετραγώνων απ τα οποία θα διέλθουμε αν ακολουθήσουμε την εξής διαδρομή: από το τετράγωνο (i) προς το τετράγωνο (ii), κινούμενοι συνεχώς προς τα δεξιά και κατόπιν προς το τετράγωνο (iii) κινούμενοι συνεχώς προς τα πάνω όπως φαίνεται στο σχήμα. iii i Σχήμα ii Επειδή οι διαστάσεις του ορθογωνίου είναι m,n το πλήθος των σκιαγραφημένων τετραγώνων θα ισούται με m (οριζόντια) + n (κάθετα) 1 (αφού το τετράγωνο ii το μετρήσαμε δυο φορές). Άρα, το πλήθος των τετραγώνων ισούται με m n 1. 3

4 Ισχυρισμός 3: Αν ορίσουμε ως μονάδα εμβαδού το ορθογώνιο D με διαστάσεις m n, όπου d=(m,n) τότε το ορθογώνιο μετατρέπεται σε τετράγωνο πλευράς d και εμβαδού d. m n Έστω p και q. Αν m είναι το μήκος του ορθογωνίου και n το ύψος του τότε m d p, και n d q. Θεωρούμε ως μονάδα μήκους το p, ως μονάδα ύψους το q και ως μονάδα εμβαδού το ορθογώνιο διάστασης p q, δηλαδή το D. Τότε το ορθογώνιο έχει μήκος d p και ύψος d q. Άρα, έχει μετατραπεί σε τετράγωνο πλευράς d, οπότε το εμβαδόν του ισούται με d D. Ο παραπάνω ισχυρισμός ισχύει και στην περίπτωση που οι m,n είναι πρώτοι μεταξύ τους, αφού τότε θα έχουμε d=1, p=m, q=n και το D θα ταυτίζεται με το ίδιο το ορθογώνιο. Άμεση συνέπεια του παραπάνω ισχυρισμού είναι ότι, θεωρώντας ως μονάδα εμβαδού το D, το ορθογώνιο μετατρέπεται σε τετράγωνο πλευράς d. Η δε διαγώνιός του θα είναι και διαγώνιος του κάθε ορθογωνίου D απ το οποίο διέρχεται. Το πλήθος των ορθογωνίων κατά μήκος της διαγωνίου είναι d (σχήμα 3). Σχήμα 3 4

5 Πρόταση: Το πλήθος των τετραγώνων από τα οποία διέρχεται η διαγώνιος ισούται με m n (m,n) Έστω ότι,n d m. Τότε, λόγω του ισχυρισμού 3, το ορθογώνιο μετατρέπεται σε τετράγωνο πλευράς d και εμβαδού ίσου με d, αν θεωρήσουμε ως μονάδα μέτρησης του μήκους του το m n, ως μονάδα μέτρησης του ύψους του το και ως μονάδα d d μέτρησης του εμβαδού του το ορθογώνιο D με διαστάσεις d m, d n. Όπως ήδη έχουμε πει η διαγώνιος είναι και διαγώνιος καθενός από τα ορθογώνια D από τα οποία διέρχεται, το πλήθος των οποίων είναι d. Άρα το πλήθος που ζητάμε θα είναι d (πλήθος τετραγώνων από τα οποία διέρχεται η διαγώνιος του D) Οι διαστάσεις όμως του ορθογωνίου D είναι αριθμοί πρώτοι μεταξύ τους, άρα, λόγω του ισχυρισμού, το πλήθος των τετραγώνων θα είναι m n 1 Συνεπώς, το συνολικό πλήθος των τετραγώνων θα είναι m n d 1 m n d m n m,n Βασίλης Καραγιάννης 5