Διαγώνισμα: Μηχανική Στερεού Σώματος Θέμα Α Στις ημιτελείς προτάσεις Α1-Α4 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της πρότασης και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη φράση η οποία τη συμπληρώνει σωστά Α1. Ένας τροχός ακτίνας R κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει. Η ταχύτητα ενός οποιουδήποτε σημείου της περιφέρειας του τροχού είναι ίση με: α) τη ταχύτητα του κέντρου μάζας Κ του τροχού β) τη συνισταμένη των ταχυτήτων που έχει το σημείο αυτό εξαιτίας της μεταφορικής και της περιστροφικής κίνησης του τροχού γ) τη γραμμική ταχύτητα που έχει το σημείο αυτό εξαιτίας της περιστροφής του τροχού δ) τη ταχύτητα που έχει κάθε ενδιάμεσο σημείο του τροχού Α2. Για να μην αρχίσει να στρέφεται ένα αρχικά ακίνητο στερεό σώμα στο οποίο ασκούνται δυνάμεις, πρέπει: α) οι φορείς των δυνάμεων που δέχεται να μη τέμνουν τον άξονα περιστροφής και να μην είναι παράλληλοι με αυτόν β) οι ροπές που δέχεται το στερεό σώμα να οφείλονται σε ζεύγη δυνάμεων γ) η συνισταμένη ροπή των δυνάμεων να είναι ίση με μηδέν δ) το διάνυσμα της συνισταμένης δύναμης να έχει αντίθετη φορά από το διάνυσμα της συνισταμένης ροπής Α3. Η ροπή αδράνειας ενός στερεού σώματος μάζας m ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας του είναι ίση με Ιcm. Η ροπή αδράνειας ΙΑ ως προς άξονα που είναι παράλληλος με τον πρώτο και απέχει απόσταση d από αυτόν, υπολογίζεται από το τύπο: α) ΙΑ=Ιcm+md 2 β) ΙΑ=Ιcm+md 1
γ) ΙΑ=Ιcm δ) ΙΑ=Ιcm/md 2 Α4. Ένας κύλινδρος ρίχνεται από τη βάση πλάγιου επιπέδου προς τα πάνω και ανέρχεται κυλιόμενος (χωρίς να ολισθαίνει). Κατά τη διάρκεια της ανόδου το διάνυσμα της συνολικής ροπής που ασκείται στον κύλινδρο και α) και της γωνιακής του ταχύτητας έχουν την ίδια φορά β) και της στροφορμής του έχουν την ίδια φορά γ) και της γωνιακής επιτάχυνσης έχουν αντίθετη φορά δ) και της γωνιακής επιτάχυνσης έχουν ίδια φορά Α5. Να γράψετε στο τετράδιό σας το γράμμα κάθε πρότασης και δίπλα σε κάθε γράμμα τη λέξη Σωστό, για τη σωστή πρόταση, και τη λέξη Λάθος, για τη λανθασμένη. α) Για ένα στερεό σώμα που περιστρέφεται γύρω από κατακόρυφο ακλόνητο άξονα, η στροφορμή του σώματος θα μεταβληθεί αν μεταβληθεί η ροπή αδράνειάς του λόγω εσωτερικών δυνάμεων β) Η ροπή αδράνειας ενός στερεού σώματος έχει πάντα την ίδια τιμή ως προς οποιοδήποτε άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας του σώματος γ) Για ένα στερεό σώμα που ισορροπεί, το αλγεβρικό άθροισμα των ροπών όλων των ομοεπίπεδων δυνάμεων που ασκούνται σε αυτό είναι ίσο με μηδέν, μόνο αν υπολογίζεται ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας του σώματος δ) Η ισχύς μιας δύναμης σε μια στροφική κίνηση είναι ανάλογη με τη γωνιακή ταχύτητα ε) Μια αθλήτρια του καλλιτεχνικού πατινάζ αν συμπτύξει τα χέρια της πιο κοντά στο σώμα της, θα ελαττώσει το μέτρο της γωνιακής της ταχύτητας, καθώς και το μέτρο της στροφορμής της 2
Θέμα Β Β1. O δίσκος και o δακτύλιος του σχήματος είναι αρχικά ακίνητοι και έχουν ίσες μάζες και ίσες ακτίνες. Με τη βοήθεια νημάτων που είναι τυλιγμένα στις περιφέρειές τους ασκούμε εφαπτομενικά την ίδια δύναμη F μέχρι να ξετυλιχτεί νήμα ίδιου μήκους d και στα δύο σώματα. Το πηλίκο των κινητικών ενεργειών K 1 K 2 που θα αποκτήσουν ο δίσκος και ο δακτύλιος αντίστοιχα είναι: α. 1 β. 1/2 γ. 2 Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας Β2. Σε κεκλιμένο επίπεδο αφήνεται ελεύθερη ομογενής σφαίρα μάζας m και ακτίνας R. Η σφαίρα κατέρχεται κυλιόμενη (χωρίς ολίσθηση) στο πλάγιο επίπεδο. Η ροπή αδράνειας της σφαίρας ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο της υπολογίζεται από την σχέση Ι = 2 5 ΜR2. Σε κάθε θέση του κεκλιμένου επιπέδου η κινητική της ενέργεια λόγω της μεταφορικής κίνησής της είναι ίση με α. Το 1/2 της συνολικής κινητικής ενέργειας που έχει στην θέση αυτή. β. Τα 2/5 της συνολικής κινητικής ενέργειας που έχει στην θέση αυτή. γ. Τα 5/7 της συνολικής κινητικής ενέργειας που έχει στην θέση αυτή. Να αιτιολογήσετε την επιλογή σας Β3. Μία ομογενής ράβδος μήκους l που μπορεί να περιστρέφεται γύρω από κατακόρυφο άξονα που διέρχεται από το άκρο της Α, βρίσκεται ακίνητη σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Στη ράβδο ασκούνται ταυτόχρονα δύο οριζόντιες δυνάμεις F με το ίδιο μέτρο. Η μία δύναμη ασκείται στο κέντρο της ράβδου, ενώ η άλλη στο άκρο της, όπως στο σχήμα. 3
Η ράβδος θα α. περιστραφεί σε φορά όπως οι δείκτες του ρολογιού. β. περιστραφεί σε φορά αντίθετη των δεικτών του ρολογιού. γ. παραμείνει ακίνητη. Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας Θέμα Γ Δύο κατακόρυφοι δίσκοι (1) και (2) με μάζες m1=0,4kg και m2=0,5kg και ακτίνες R1=1m και R2=0,5m αντίστοιχα, μπορούν να περιστρέφονται, χωρίς τριβές, γύρω από ακλόνητους άξονες, κάθετους στο επίπεδό τους. Οι δίσκοι αρχικά είναι ακίνητοι. Στην περιφέρεια του δίσκου (1) είναι τυλιγμένο πολλές φορές αβαρές, μη εκτατό νήμα, το οποίο διέρχεται από τη περιφέρεια του δίσκου (2), όπως απεικονίζεται στο σχήμα. Το τμήμα του νήματος μεταξύ των δύο δίσκων είναι οριζόντιο και τεντωμένο. Τη χρονική στιγμή t0=0 ασκούμε στο ελεύθερο άκρο Κ του νήματος σταθερή κατακόρυφη δύναμη F, οπότε οι δίσκοι αρχίζουν ταυτόχρονα να περιστρέφονται, χωρίς το νήμα να ολισθαίνει στην περιφέρειά τους. Ο δίσκος (1) στρέφεται με γωνιακή επιτάχυνση μέτρου αγων(1)=15rad/s 2. Γ1. Να υπολογίσετε τη ροπή της τάσης του νήματος που ασκείται στο δίσκο (1), καθώς και τη δύναμη που ασκεί ο άξονας περιστροφής του Γ2. Να αποδείξετε ότι τα μέτρα των γωνιακών επιταχύνσεων των δύο δίσκων ικανοποιούν τη σχέση αγων(2)=2αγων(1) και να υπολογίσετε το μέτρο της δύναμης F Γ3. Να βρείτε τη στροφορμή του δίσκου (1) ως προς τον άξονα του και τον ρυθμό μεταβολής της κινητικής ενέργειας του δίσκου (2) την χρονική στιγμή t1=2s 4
Γ4. Να υπολογίσετε το έργο της δύναμης F από την χρονική στιγμή t0=0 μέχρι τη χρονική στιγμή t1 (Μονάδες 7) Δίνεται ότι η ροπή αδράνειας δίσκου ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο του υπολογίζεται από το τύπο I = 1 2 mr2 και ότι η επιτάχυνση της βαρύτητας είναι g=10m/s 2 Θέμα Δ Ο λεπτός ομογενής δίσκος του σχήματος (α) έχει μάζα Μ=9kg, ακτίνα R = 1 m και μπορεί να 30 περιστρέφεται σε κατακόρυφο επίπεδο, γύρω από οριζόντιο σταθερό άξονα που διέρχεται από το σημείο Ο της περιφέρειάς του. Αρχικά ο δίσκος βρίσκεται σε τέτοια θέση, ώστε η ακτίνα ΟΚ που συνδέει το σημείο Ο με το κέντρο μάζας Κ του δίσκου (που συμπίπτει με το κέντρο του δίσκου), να είναι οριζόντια. Από αυτή τη θέση αφήνουμε το δίσκο να στραφεί. Η γωνιακή επιτάχυνση με την οποία ο δίσκος ξεκινά τη στροφική του κίνηση έχει μέτρο αγων=200 rad/s 2. Δ1. Τη ροπή αδράνειας Ι(Ο) του δίσκου ως προς τον άξονα περιστροφής του που διέρχεται από το σημείο Ο. Τυλίγουμε πολλές φορές ένα αβαρές, μη εκτατό νήμα γύρω από έναν ίδιο δίσκο και την ελεύθερη άκρη του νήματος τη στερεώνουμε στην οροφή, σχηματίζοντας ένα γιο-γιο, όπως φαίνεται στο σχήμα (β). Αφήνουμε ελεύθερο το δίσκο και αυτός ξεκινά να κατέρχεται με το νήμα διαρκώς κατακόρυφο και χωρίς αυτό να γλιστρά ως προς το δίσκο. 5
Δ2. Να βρείτε τη ροπή αδράνειας Ιcm του δίσκου ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας του και είναι κάθετος στο επίπεδό του. Δ3. Να δείξετε ότι η τάση του νήματος που ασκείται στο δίσκο δε μεταβάλλει την συνολική κινητική του ενέργεια. Δ4. Να βρείτε το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας ω του δίσκου όταν έχει ξετυλιχθεί νήμα με μήκος ίσο με την ακτίνα του δίσκου. Δ5. Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής της στροφικής κινητικής ενέργειας του δίσκου όταν έχει ξετυλιχθεί νήμα με μήκος ίσο με την ακτίνα του δίσκου. Δίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας: g=10m/s 2. Επίσης δεν θεωρείται γνωστός ο τύπος της ροπής αδράνειας ομογενή δίσκου για άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας του. 6