Πανεπιστήμιο Στερεάς Ελλάδας Τμήμα Πληροφορικής Εξάμηνο ΣΤ ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ 3 η Διάλεξη Μονοπάτια και Κύκλοι Μήκη και αποστάσεις Κέντρο και μέσο γράφου. Ακτίνα και Διάμετρος Δυνάμεις Γραφημάτων Γράφοι Euler. Βασικές Έννοιες και Χαρακτηρισμός
Εισαγωγή Γειτονικές: δυο κορυφές που συνδέονται με ακμή Βρόχος: μια ακμή που τα δύο άκρα της ταυτίζονται Δυο ακμές με κοινά άκρα ονομάζονται παράλληλες. Ενα γράφημα ονομάζεται κλίκα (ή πλήρες γράφημα) αν κάθε ζευγάρι κορυφών του συνδέεται με ακμή. Η κλίκα n κορυφών συμβολίζεται με Kn και έχει ακριβώς n(n-1)/2. Διμερές: αν οι κορυφές του μπορούν να διαχωρισθούν σε δυο σύνολα ανεξαρτησίας. Το πλήρες διμερές γράφημα με n κορυφές από τη μια πλευρά και m κορυφές από την άλλη, συμβολίζεται με Κn,m και έχει n.m ακμές
Κλίκα Κλίκα: κάθε πλήρες υπογράφημα του G Παράδειγμα:
Περίπατος-Μονοπάτι Περίπατος ή δρόμος: μια ακολουθία v o, v 1,, v n από κορυφές έτσι ώστε οποιεσδήποτε δυο διαδοχικές από αυτές να είναι γειτονικές. Εάν v 0 =v n, ο περίπατος καλείται κλειστός. Περίπατος (walk): ακολουθία από κορυφές και ακμές, που αρχίζει και τελειώνει με κορυφή, έτσι ώστε η ακμή e j να προσπίπτει στις κορυφές v j και v j+1, για 1<=j<i Ίχνος (trail): περίπατος που μια ακμή δεν εμφανίζεται πάνω από μία φορά. Μονοπάτι (path): ίχνος που μια κορυφή δεν εμφανίζεται πάνω από μία φορά (δεν τέμνεται με τον εαυτό του και δεν περιέχει βρόχους). Αρχή-τέρμα περιπάτου, ίχνους, μονοπατιού Τερματικές και εσωτερικές κορυφές
Παράδειγμα v 1 e 7 e 8 e 1 e 6 v 2 v 5 e 5 e 4 e 2 Περίπατος Ίχνος Μονοπάτι v 4 v 3 e 3
Παράδειγμα
Μονοκονδυλιά Μια διαδρομή ονομάζεται μονοκονδυλιά (trail) όταν όλες οι ακμές της είναι διαφορετικές και ονομάζεται μονοπάτι (path) όταν όλες οι κορυφές από τις οποίες διέρχεται είναι διαφορετικές. Μονοπάτι για τη μονοκονδυλιά: διαδρομή διαφορετικών ακμών Απλό μονοπάτι: διαδρομή με διαφορετικές κορυφές Κλειστή διαδρομή: όταν η αρχική και η τελική της κορυφή συμπίπτουν
Κύκλος Αρχή=τέρμα: κλειστό ίχνος (κύκλωμα), κλειστό μονοπάτι (κύκλος) Αρχή<>τέρμα: ανοικτό ίχνος, μονοπάτι Κάθε κλειστή διαδρομή ονομάζεται κύκλος (ή κύκλωμα) όταν όλες οι ακμές της είναι διαφορετικές. Κάθε κύκλος είναι κύκλωμα, ενώ κάθε κύκλωμα δεν είναι απαραίτητα κύκλος Τα δένδρα είναι άκυκλοι συνδεδεμένοι γράφοι, ενώ δάσος είναι ένας γράφος που έχει ως συνιστώσες δένδρα
Παράδειγμα-Κύκλος v 1 e 7 e 8 e 1 e 6 v 2 v 5 e 5 e 4 e 2 v 4 v 3 e 3 Κύκλωμα Κύκλος
Συνεκτικό Γράφημα-Συνιστώσα Ενα γράφημα λέγεται συνεκτικό αν για οποιουσδήποτε δύο κόμβους του, υπάρχει μονοπάτι που τους ενώνει. Συνεκτικά Γραφήματα Μη Συνεκτικά Συνιστώσα ονομάζεται κάθε μεγιστικό (maximal) συνεκτικό υπογράφημα του G (δηλ. κάθε συνεκτικό υπογράφημά του που δεν είναι υπογράφημα κάποιου άλλου συνεκτικού υπογραφήματος του G).
Σημείο κοπής Σημείο κοπής ενός συνεκτικού γραφήματος G λέγεται κάθε κορυφή u, τέτοια ώστε G-u: μη συνεκτικό. (Η αφαίρεση της κορυφής αίρει τη συνεκτικότητα του γραφήματος).
Γέφυρα Γέφυρα ενός συνεκτικού γραφήματος λέγεται κάθε ακμή e τέτοια ώστε G-e: μη συνεκτικό. (Η αφαίρεση της γέφυρας αίρει τη συνεκτικότητα του γραφήματος). Ο {υ3,υ4} είναι γέφυρα αφού το γράφημα είναι μη συνεκτικό
Μονοπάτια ξένα ως προς τις ακμές Δύο μονοπάτια λέγονται ξένα ως προς τις ακμές, αν δεν έχουν καμία κοινή ακμή (παρότι μπορεί να τέμνονται). Δύο κορυφές ονομάζονται συνδεδεμένες αν υπάρχει κάποιο μονοπάτι από τη μια κορυφή στην άλλη. Δεχόμαστε ότι κάθε κορυφή είναι συνδεδεμένη με τον εαυτό της. v 1 e 7 e 8 e 1 e 6 v 2 v 5 e 5 e 4 e 2 v 4 v 3 e 3 Μονοπάτια ξένα ως προς τις ακμές και
Αποστάσεις (Ι) Απόσταση dist(u,v): είναι το μήκος του συντομότερου μονοπατιού που ενώνει τις δυο κορυφές Μη αρνητικότητα: dist(u,v)>0 (dist(u,v)=0, αν u=v) Συμμετρική: dist(u,v)=dist(v,u) Ανισοϊσότητα τριγώνου: dist(u,v)+dist(v,z)>=dist(u,z) Μήκος περιπάτου, ίχνους, μονοπατιού: αριθμός ακμών που περιέχονται Μονοπάτι μήκους n: P n Ένας κύκλος μήκους k λέγεται άρτιος ή περιττός αν το k είναι άρτιο ή περιττό αντίστοιχα
Αποστάσεις (ΙΙ) Εκκεντρικότητα (eccentricity) μιας κορυφής v: η απόσταση από την κορυφή v προς την πλέον απομακρυσμένη κορυφή του γράφου Κέντρο ενός συνδεδεμένου γράφου G ονομάζεται ο υπογράφος που επηρεάζεται από το σύνολο των κορυφών του G με την ελάχιστη εκκεντρικότητα
Αποστάσεις (ΙΙΙ) Θεώρημα: κάθε γράφος είναι κέντρο ενός συνδεδεμένου γράφου u 1 v 1 v 2 u 2 Δοθέντος γράφου Η, κατασκευάζουμε υπεργράφο G, όπου οι v1 και v2 ενώνονται προς όλες τις κορυφές του H. Στο γράφο G, η εκκεντρικότητα κάθε κορυφής v είναι Ε(v)=2, ενώ ακόμη ισχύει Ε(v1)=Ε(v2)=3 και Ε(u1)=Ε(u2)=4. Συνεπώς ο υπογράφος H είναι κέντρο του γράφου G.
Αποστάσεις (ΙV) Ακτίνα: η εκκεντρικότητα των κορυφών του κέντρου (rad(g)=min(e(v))) Διάμετρος: η μέγιστη απόσταση μεταξύ δύο κορυφών (diam(g)=max(e(v))) Ποια η διάμετρος των K n, K m,n?
Αποστάσεις (V) 3 3 3 3 2 3 3 2 Κέντρο Γράφου: 2 κορυφές Ακτίνα: 2 Διάμετρος: 3 3 3
Αποστάσεις (VΙΙ) Θεώρημα: rad(g) <= diam(g) <= 2rad(G) Η αριστερή ανισοϊσότητα είναι προφανής από τους ορισμούς της ακτίνας και της διαμέτρου. Για να αποδείξουμε τη δεξιά ανισοϊσότητα ας θεωρήσουμε δύο κορυφές έτσι ώστε Επιπλέον, έστω ότι z είναι μία κορυφή έτσι ώστε το μεγαλύτερο γεωδεσικό μονοπάτι από την z να έχει ακτίνα rad(g). Με βάση την ανισοϊσότητα τριγώνου
Αποστάσεις (VΙΙΙ) Εφαρμογή: Από το κεντρικό ταχυδρομείο μιας πόλης η αλληλογραφία μεταφέρεται στα περιφερειακά γραφεία με ένα όχημα, ενώ από εκεί μεταφέρεται με τους διανομείς στις κατοικίες. Το όχημα μπορεί να μεταφέρει την αλληλογραφία ενός μόνο περιφερειακού γραφείου κάθε φορά. Στόχος είναι η ελαχιστοποίηση του αθροίσματος των αποστάσεων που το όχημα πρέπει να καλύψει από το κεντρικό προς το σύνολο των περιφερειακών ταχυδρομείων. Απόσταση μιας κορυφής v, dist(v), ζυγισμένου γράφου G ονομάζουμε το άθροισμα των αποστάσεων της κορυφής v από όλες τις υπόλοιπες κορυφές του G. Μέσο ενός γράφου είναι ο υπογράφος που επηρεάζεται από το σύνολο των κορυφών με ελάχιστη απόσταση.
Αποστάσεις Η n-οστή δύναμη ενός γράφου G(V,E) είναι ένας γράφος που συμβολίζεται με και αποτελείται από το ίδιο σύνολο κορυφών V, ενώ δύο κορυφές u και v ενώνονται με μία ακμή στον, αν για τις κορυφές αυτές στο γράφο G ισχύει η σχέση:
Γράφοι Euler Leonard Euler, πατέρας Θεωρίας Γράφων, 1736 πρόβλημα γεφυρών Koenigsburg Πρόβλημα: είναι δυνατόν σε κάθε γράφο να βρεθεί κύκλωμα (=κλειστό ίχνος) που να περνά από όλες τις ακμές? Γράφος Euler: περιέχει γραμμή Euler Γράφος ημι-euler: περιέχει ανοικτό ίχνος Euler
Γράφοι Euler όχι γράφος Euler ημι-euler γράφος Euler ή ημι-euler
Γράφοι Euler Θεώρημα: Ένας συνδεδεμένος απλός γράφος G(V,E) είναι γράφος Euler αν και μόνο αν δεν έχει κορυφές περιττού βαθμού. Είναι γράφος ημι-euler αν και μόνο αν έχει ακριβώς δύο κορυφές περιττού βαθμού. Οι συνθήκες είναι αναγκαίες γιατί προφανώς αν υπάρχει ένα ίχνος Euler, τότε ο γράφος πρέπει να είναι συνδεδεμένος και ο αριθμός των κορυφών περιττού βαθμού να είναι 0 (αντίστοιχα 2). Σε διαφορετική περίπτωση δε θα υπήρχε δυνατότητα να περάσει ένα ίχνος από όλες τις ακμές (από μία τουλάχιστο θα περνούσε δύο φορές, οπότε δε θα ήταν ίχνος).
Γράφοι Euler Οι συνθήκες είναι και ικανές γιατί: Ισχύουν προφανώς για Ε =2 Έστω ότι ισχύουν και για Ε >2 Ας θεωρήσουμε έναν περίπατο W ξεκινώντας από μία κορυφή v i. Έστω ότι ο περίπατος W θέλουμε να περνά από διάφορες κορυφές, έως ότου φτάσει σε μία κορυφή v j χωρίς αχρησιμοποιήτες ακμές (θεωρούμε v i = v j αν δεν υπάρχει κορυφή περιττού βαθμού). Έστω λοιπόν ότι υπάρχουν αχρησιμοποίητες ακμές. Αν οι χρησιμοποιημένες ακμές αγνοηθούν, τότε απομένει ένας υπογράφος G που δεν είναι απαραίτητα συνδεδεμένος. Συνάγεται ότι ο υπογράφος G περιέχει μόνο κορυφές άρτιου βαθμού και σύμφωνα με την υπόθεση της επαγωγής κάθε συνιστώσα του περιέχει ένα ίχνος Euler. Εφόσον ο γράφος G είναι συνδεδεμένος πρέπει ο περίπατος W να περνά τουλάχιστον από μία κορυφή κάθε συνιστώσας του G. Συνεπώς, μπορεί να κατασκευασθεί ένα ίχνος Euler για το γράφο G εισάγοντας στον περίπατο και τα ίχνη των συνιστωσών του υπογράφου.
Γράφοι Euler
Γράφοι Euler Για να ελέγξουμε αν ένας γράφος είναι γράφος Euler ελέγχουμε πρώτα αν είναι συνδεδεμένος (με μία αναζήτηση προτεραιότητας πλάτους) και μετά αν όλες οι κορυφές έχουν άρτιο βαθμό (Ο( Ε )). Θεώρημα: Ένας συνδεδεμένος απλός γράφος G(V,E) είναι γράφος Euler αν και μόνο αν κάθε ακμή ανήκει σε περιττό αριθμό κύκλων.
Αλγόριθμοι εύρεσης ίχνους Euler (1) Απλοϊκή μέθοδος: Ξεκινάμε από οποιαδήποτε κορυφή και προχωράμε λαμβάνοντας οποιαδήποτε ακμή δεν έχει ακόμη εξετασθεί. Δεν υπάρχει εγγύηση ότι με τη μέθοδο αυτή μπορούμε πάντα να βρούμε ένα ίχνος Euler. Ένας γράφος ονομάζεται αυθαίρετα εξιχνιάσιμος από την κορυφή v αν είναι βέβαιο ότι μπορούμε να σχηματίσουμε ένα ίχνος Euler από την κορυφή αυτή.
Αλγόριθμοι εύρεσης ίχνους Euler (2) Αυθαίρετα αυθαίρετα δεν είναι αυθαίρετα εξιχνιάσιμος εξιχνιάσιμος εξιχνιάσιμος από μόνο από την από κάθε κορυφή κάθε κορυφή κεντρική κορυφή
Αλγόριθμοι εύρεσης ίχνους Euler (3) Αλγόριθμοι: Fleury (<1921): με σταδιακή επέκταση του ίχνους Τ αποφεύγοντας τις γέφυρες (αποκόπτουσες ακμές) στον υπογράφο G-T, εκτός αν δεν υπάρχει άλλη επιλογή Hierholtzer (1873): με συγκόλληση από επιμέρους ίχνη Tucker (1976): με διάσπαση κορυφών ώστε να σχηματιστούν ξένοι επιμέρους κύκλοι, και συγκόλληση κύκλων
Αλγόριθμοι εύρεσης ίχνους Euler (4) Αλγόριθμος Fleury 1. Επιλέγουμε μία κορυφή ως πρώτη κορυφή του ίχνους. Θέτουμε και 2. Έστω το ίχνος Από την κορυφή v i επιλέγεται τυχαία μία ακμή που δεν είναι αποκόπτουσα στον υπογράφο εκτός αν δεν υπάρχει άλλη επιλογή. Ορίζεται το ίχνος Θέτουμε 3. Αν i= E, τότε C=T i, είναι ένα ίχνος Euler, αλλιώς πήγαινε στο βήμα 2.
Αλγόριθμοι εύρεσης ίχνους Euler (5) Παράδειγμα Αλγόριθμου Fleury Βήμα 1ο: 1 Βήμα 2ο: επιλέγεται τυχαία η 2. Ίχνος 1, 2 Βήμα 3ο: επιλέγεται τυχαία η 6. Ίχνος 1, 2, 6 Βήμα 4ο-5ο: δεν μπορεί να επιλεγεί η 1 γιατί στον υπογράφο G-(1,2)-(2,6) είναι αποκόπτουσα Ίχνος 1, 2, 6, 5, 3 Βήμα 6ο-9ο: δεν μπορεί να επιλεγεί η 6 γιατί στον υπογράφο G-(1,2)-(2,6)-(6,5)-(5,3) η (3,6) είναι αποκόπτουσα Ίχνος 1,2,6,5,3,4,5,2,3 Βήμα 10ο: επιλέγεται αναγκαστικά η 6 Ίχνος 1,2,6,5,3,4,5,2,3,6 Βήμα 11ο: επιλέγεται η 1 αναγκαστικά. Ίχνος 1,2,6,5,3,4,5,2,3,6,1
Αλγόριθμοι εύρεσης ίχνους Euler (6) Αλγόριθμος Hierholtzer 1. Επιλέγουμε μία κορυφή και δημιουργείται ένα ίχνος C 0 λαμβάνοντας κάθε φορά οποιαδήποτε ακμή Θέτουμε 2. Αν, τότε είναι ένα ίχνος Euler αλλιώς επιλέγεται μία κορυφή v i του C i που είναι προσκείμενη σε ακμή και η διαδικασία προχωρεί κτίζοντας ένα άλλο ίχνος C i με αρχή την κορυφή v i και μέσα στον υπογράφο 3. Από τα ίχνη C i, C i δημιουργείται ένα υπερ-ίχνος C i+1 ξεκινώντας από την κορυφή v i-1, διασχίζοντας το ίχνος C i, συνεχίζοντας στο ίχνος C i και τελειώνοντας στην κορυφή v i Θέτουμε Πηγαίνουμε στο βήμα 2.
Αλγόριθμοι εύρεσης ίχνους Euler (7) Παράδειγμα αλγορίθμου Hierholtzer Αρχικά: 1 2 6 1 2 3 6 5 2 3 5 4 3 Ενώνουμε διαδοχικά 2 πρωτα: 1 2 3 6 5 2 6 1 Τελικά: 1 2 3 5 4 3 6 5 2 6 1
Αλγόριθμοι εύρεσης ίχνους Euler (8) Αλγόριθμος Tucker 1. Διασπούμε τις κορυφές του G μέχρι να υπάρξουν κορυφές βαθμού 2 Ο γράφος που προκύπτει ονομάζεται G 1. Θέτουμε Έστω ότι c i είναι ο αριθμός των συνιστωσών του γράφου G i. 2. Αν c i =1, τότε C=G i είναι ένα ίχνος Euler, αλλιώς αναζητώνται δύο συνιστώσες Τ και T του G i με κοινή την κορυφή v i. Σχηματίζεται το ίχνος C i+1 αρχίζοντας από την κορυφή v i, διασχίζοντας τις συνιστώσες Τ και Τ και καταλήγοντας πάλι στην v i. 1. Ορίζεται ο γράφος Θεωρείται ότι το ίχνος C i+1 είναι συνιστώσα του υπογράφου G i+1 Θέτουμε Τ=C i+1 και Έστω ότι c i είναι ο αριθμός των συνιστωσών του υπογράφου G i Πηγαίνουμε στο Βήμα 2
Αλγόριθμοι εύρεσης ίχνους Euler (9) Παράδειγμα για τον αλγόριθμό Tucker
Αλγόριθμοι εύρεσης ίχνους Euler (10) Αρχικά: 1 2 5 1 5 4 6 5 2 3 4 2 Τελικά: 1 2 3 4 2 5 4 6 5 1
Πρόβλημα Κινέζου Ταχυδρόμου (1) Τέθηκε από κινέζο μαθηματικό (1962) Πρόβλημα: ένας ταχυδρόμος ξεκινάει από το γραφείο του, επισκέπτεται όλους τους δρόμους και επιστρέφει στο γραφείο του. Ποια είναι η συντομότερη διαδρομή? Θεωρούμε απλό γράφο και αναζητούμε ένα ίχνος Euler. Αν ο γράφος δεν είναι Euler, τότε πρέπει κάποιες γραμμές να διασχισθούν περισσότερο από μία φορές. Πόσες? Το μήκος l της βέλτιστης λύσης είναι Ε <= l <= 2 Ε
Ασκηση 1 η Να αποδείξετε ότι αν ένα γράφημα έχει κ κορυφές με περιττό βαθμό, το σύνολο των ακμών του μπορεί να διαμεριστεί σε k/2 μονοπάτια (k άρτιος). Λύση: Υπάρχει μια λύση με μαθηματική επάγωγή. Μια δεύτερη λύση είναι να ζευγαρώσετε τις κορυφές περιττού βαθμού χρησιμοποιώντας k/2 νέες ακμές. Τώρα όλες οι κορυφές έχουν άρτιο βαθμό και το γράφημα έχει κύκλο Euler. Αφαιρώντας τις ακμές που προσθέσαμε σπάμε τον κύκλο σε k/2 μονοπάτια. Σημείωση: Για να υπάρχει κύκλος Euler, πρέπει όλες οι κορυφές να έχουν άρτιο βαθμό.
Ασκηση 2η Ποιος είναι ο μέγιστος αριθμός ακμών ενός απλού μηκατευθυνόμενου γραφήματος με n κορυφές που έχει κύκλο Euler? Λύση:αν n περιττός το n-1 είναι άρτιο. Σε αυτή την περίπτωση, το πλήρες γράφημα Kn έχει κύκλο Euler και ο μέγιστος αριθμός ακμών είναι n(n-1)/2. Αν το n είναι άρτιος, το γράφημα όπου όλες οι ακμές έχουν βαθμό n-2 υπάρχει, είναι συνεκτικό, και έχει κύκλο Euler. (αφαιρούμε την ακμή που συνδέει κάθε ζευγάρι κορυφών). Το γράφημα αυτό έχει n(n-2)/2 ακμές. Κάθε γράφημα με n κορυφές και περισσότερες ακμές, θα πρέπει να έχει μια τουλάχιστον κορυφή με βαθμό n-1 (περιττός) και συνεπώς δεν θα έχει κύκλο Euler. Αν το n είναι άρτιος ο μέγιστος αριθμός ακμών είναι n(n-2)/2. Σημείωση: Ενα συνεκτικό κατευθυνόμενο γράφημα έχει κύκλο Euler αν σε κάθε κορυφή, ο βαθμός εισόδου είναι ίσος με το βαθμό εξόδου. Ο βαθμός εισόδου και ο βαθμός εξόδου κάθε κορυφής στο κατευθυνόμενο γράφημα είναι ίσος με το βαθμό της κορυφής στο αρχικό (μη-κατευθυνόμενο γράφημα).
Ασκηση 3η Να αποδείξετε ότι κάθε απλό μη κατευθυνόμενο γράφημα με 11 κορυφές και 53 ακμές δεν έχει κύκλο Euler αλλά έχει κύκλο Hamilton. Λύση: Το πλήρες γράφημα με 11 κορυφές έχει 55 ακμές. Κάθε απλό γράφημα με 11 κορυφές έχει 53 ακμές προκύπτει από το Κ11 με την αφαίρεση 2 ακμών. Για να αποκλείσουμε την ύπαρξη του Κύκλου Euler θα πρέπει να διακρίνουμε δυο περιπτώσεις: 1 η περίπτωση:οι δυο ακμές που αφαιρέθηκαν από το Κ11 προσπίπτουν στην ίδια κορυφή. Επειδή το γράφημα είναι απλό, οι δυο ακμές μπορούν να έχουν μόνο το ένα άκρο τους κοινό. Το γράφημα έχει μια κορυφή βαθμού 8, δυο κορυφές βαθμού 9 και 8 κορυφές με βαθμό 10. συνεπώς δε μπορεί να έχει κύκλο Euler, αφού περιέχει κάποιες κορυφές με περιττό βαθμό. 2 η περίπτωση: αν οι δυο ακμές που αφαιρέθηκαν από το Κ11 προσπίπτουν σε 4 διαφορετικές κορυφές, το γράφημα με 11 κορυφές έχει 53 ακμές πρέπει να έχει 4 κορυφές βαθμού 9 και 7 κορυφές βαθμού 10. και σε αυτή την περίπτωση το γράφημα δεν μπορεί να έχει κύκλο Euler. Σημείωση: Η ύπαρξη κύκλου Η προκύπτει από το θεώρημα του Ore, αφού το άθροισμα των βαθμών κάθε ζεύγους κορυφών είναι τουλάχιστον 17>11.
Ασκηση 4η Να χαρακτηρίσετε την κλάση των γραφημάτων στα οποία κάθε κύκλος Euler είναι και κύκλος Hamilton. Λύση: κάθε κύκλος ο οποίος είναι Euler και Η. πρέπει να διέρχεται από κάθε κορυφή του γραφήματος ακριβώς μια φορά (επειδή είναι κύκλος Hamilton) και απο κάθε ακμή ακριβώς μια φορά (επειδή είναι κύκλος Euler). Αυτό μπορεί να συμβεί μόνο αν το γράφημα είναι ένας απλός κύκλος Cn, με n κορυφές και n ακμές (n>=3). Αν το γράφημα περιείχε n+1 ή περισσότερες ακμές, ο κύκλος Euler δεν θα ήταν κύκλος Hamilton ( θα περιέιχε περισσότερες από n ακμές και θα διερχόταν από κάποια κορυφή περισσότερες από n φορές) Αν το γράφημα περιείχε n-1 ή λιγότερες ακμές, είτε δεν θα περιείχε κανένα κύκλο είτε δεν θα ήταν συνεκτικό, και δεν θα είχε ούτε κύκλο Euler ούτε κύκλο Hamilton.
Ασκηση 5η Μια ακμή ονομάζεται γέφυρα αν δεν υπάρχει κύκλος που την περιέχει. Δείξετ ότι αν ένα απλό γράφημα έχει κύκλο Hamilton, τότε δεν μπορεί να περιέχει γέφυρα. Ισχύει το ίδιο συμπέρασμα, εάν αντί για κύκλο Hamilton υποθέσουμε ότι έχει κύκλο Euler? Λύση: Μια ακμή περιέχεται σε κύκλο αν είναι απλός κύκλος. Αν ο κύκλος δεν είναι απλός αποτελείται από την ένωση απλών κύκλων. Ετσι μπορούμε να κρατήσουμε τον απλό κύκλο που περιέχει τη γέφυρα που μας ενδιαφέρει. Επίσης, γνωρίζουμε ότι ο κύκλος Hamilton διέρχεται από κάθε κορυφή του γραφήματος ακριβώς μια φορά. Ο κύκλος Euler διέρχεται από κάθε ακμή του γραφήματος ακριβώς μια φορά και κάθε κορυφή του γραφήματος τουλάχιστον μια φορά. Εστω G(V,E) ένα οποιδήποτε γράφημα με κύκλο Η. Αφού το γράφημα έχει κύκλο Η, υπάρχει μονοπάτι π μεταξύ των μεταξύ των u και v που δεν διέρχεται από την ακμή {u,v}. Το μονοπάτι π μαζί με την ακμή {u,v} σχηματίζει κύκλο. Συνεπώς, καμιά ακμή του γραφήματος G δεν μπορεί να είναι γέφυρα. Σημείωση: με το ίδιο σκεπτικό, μια ακμή {u,v} δε μπορεί να είναι γέφυρα ακόμη και στην περίπτωση που απλός υπάρχει κάποιος κύκλος που διέρχεται από τις u και v. Οσο για τον κύκλο Euler αυτός διέρχεται από όλες τις ακμές του γραφήματος. Συνεπώς κάθε γράφημα με κύκλο Euler δεν μπορεί να περιέχει γέφυρα.