ΦΥΣ 131 - Διάλ. 4 1 Άλγεβρα a 1 a a ( ± y) a a ± y log a a 10 log a ± logb log( ab ± 1 ) log( a n ) n log( a) ln a a e ln a ± ln b ln( ab ± 1 ) ln( a n ) nln( a) Άσκηση για το σπίτι: Διαβάστε το παράρτημα Β του βιβλίου
Διαφορικός λογισμός ΦΥΣ 131 - Διάλ. 4 2 Έστω y f() μια συναρτησιακή σχέση της μεταβλητής y ως προς την μεταβλητή : y f() a 3 + b 2 + c + d H παράγωγος του y ως προς το χ ορίζεται ως το όριο των κλίσεων των χορδών που φέρονται μεταξύ 2 σημείων στην γραφική παράσταση του y ως προς το καθώς το τείνει στο μηδέν y 2 Δy dy d lim "y d 0 " lim d 0 y( + ") # y() " y 1 Δ 1 0 2
ΦΥΣ 131 - Διάλ. 4 3 Διαφορικός λογισμός ιδιότητες παραγώγων q Η παράγωγος του αθροίσματος 2 συναρτήσεων είναι d d f () d d [ g() + h() ] d d g() + d d h() q Η παράγωγος του γινομένου 2 συναρτήσεων είναι d d f () d d g()h() [ ] h dg q Πηλίκο δύο συναρτήσεων? d + g dh d q Αν y f() και είναι συνάρτηση μιας άλλης μεταβλητής z τότε dy d dz d dy dz d d g() $ h h() % & q Η δεύτερη παράγωγος της y ως προς ορίζεται " # dg d ' g dh d h 2 d 2 y d d 2 d " # dy$ d% &
ΦΥΣ 131 - Διάλ. 4 4 Διαφορικός λογισμός - τυπολόγιο d d a n na n1 d d ( sin a) acosa d d cosa ( ) asin a d d ea ( ) ae a d ln ( a ) d a
ΦΥΣ 131 - Διάλ. 4 5 Ολοκληρωτικός λογισμός q Θεωρούμε την ολοκλήρωση ως το αντίστροφο της διαφόρισης: f () dy dy f ()d d Μπορούμε να βρούμε την y() αθροίζοντας για όλες τις τιμές του. Αυτή η αντίστροφη πράξη γράφεται y( ) f ()d π.χ. για μιά συνάρτηση f() 3a 2 + b η παραπάνω ολοκλήρωση δίνει y( ) ( 3a 2 + b)d a 3 + b + c Το ολοκλήρωμα ονομάζεται αόριστο ολοκλήρωμα επειδή η τιμή του εξαρτάται από τη τιμή της σταθεράς c. To αόριστο ολοκλήρωμα ορίζεται ως I ( ) f ()d Η συνάρτηση f() ονομάζεται ολοκληρωτέα συνάρτηση: f () di() d Για μια συνεχή συνάρτηση το ολοκλήρωμα μπορεί να περιγραφεί σα το εμβαδό που ορίζεται από την καμπύλη της f() και του άξονα, μεταξύ 2 ορισμένων τιμών 1 και 2 Οριμένο ολοκλήρωμα
ΦΥΣ 131 - Διάλ. 4 6 Ολοκληρωτικός λογισμός q Ένα από τα πιο χρήσιμα ολοκληρώματα που συναντιούνται είναι: n d n +1 n +1 + c Διαφόριση του δεξιού μέλους δίνει f() n. Aν τα όρια της ολοκλήρωσης είναι γνωστά τότε το ολοκλήρωμα δίνει: n d n +1 n +1 2 n +1 n +1 2 " 1 n +1 q q Μερικοί τρόποι ολοκληρώσεως Ø Ολοκλήρωση κατά παράγοντες: udv uv vdu Για παράδειγμα: u v Επαναλαμβάνοντας στο δεύτερο όρο έχουμε " I() 2 e d 2 d(e ) 2 e " 2 e d + c 1 " " 2 e d 2e + 2 e d 2e + 2e + c " 2
ΦΥΣ 131 - Διάλ. 4 7 Ολοκληρωτικός λογισμός Ø Τέλειο διαφορικό προσπαθούμε με αλλαγή της μεταβλητής ολοκλήρωσης το διαφορικό της συνάρτησης να είναι διαφορικό της ανεξάρτητης μεταβλητής που εμφανίζεται στην ολοκληρωτέα συνάρτηση π.χ I ( ) cos 2 sin d d( cos ) sin d Μερικά χρήσιμα ολοκληρώματα d "1 d ln d 1 ln a + b a + b b " sin( a)d 1 cos( a) cos a a ( ) d ( a + b) 2 ( )d 1 sin a a I() " cos 2 d ( cos ) " 1 b a + b ( ) d " a 2 2 e a d ea a " 1 a 2 2 a 2 ( ) I() 1 3 cos3 ( ) ( )
ΦΥΣ 131 - Διάλ. 4 8 Αναπτύγματα σε σειρές n n n n 1 n( n 1) n 2 2 n( n 1)( n 2) n 3 3 ( a + b) a + a b + a b + a b + 1 2 3 n( n 1) 2 ( 1+ ) n 1+ n + + 2 Για <<1 (1 + ) n 1 + n 2 3 e 1+ + + + 2 3 2 3 4 ln(1 ± ) ± ± + 2 3 4 Για <<1 Για <<1 e 1 + ln(1± ) ± 2 4 6 cos 1 + + 2 4 6 3 5 7 sin + + 3 5 7 3 5 7 2 17 an + + + + 3 15 315 < 2 σε ακτίνια
Κινηµατική
ΦΥΣ 131 - Διάλ. 4 10 Σύνοψη εννοιών Κινηµατική: Περιγραφή της κίνησης ενός σώµατος Θέση και µετατόπιση Ταχύτητα Μέση Στιγµιαία Επιτάχυνση Μέση Στιγµιαία
Κίνηση - Τροχιές ΦΥΣ 131 - Διάλ. 4 11 q Πετάξετε ένα αντικείµενο στον αέρα και µετρήστε την θέση του σε πολλές διαδοχικές χρονικές στιγµές Θέλουµε ένα ρολόι για µέτρηση χρόνου και µια µονάδα µήκους για µέτρηση του Σύστηµα συντεταγµένων άξονας (χρόνος) - άξονας y (θέση) y 4 y 3 2 Γράφημα θέσης-χρόνου y µετατόπιση Αρχικός χρόνος: i Τελικός χρόνος: f Αρχική θέση: y i Τελική θέση: y f y 1 Το γράφηµα δίνει τη θέση συναρτήσει του χρόνου Μετατόπιση αλλαγή στη θέση του σώµατος (0,0) 1 2 3 4 Ανεξάρτητη της διαδροµής y y f " y i Διαφορετική ως προς το διάστηµα, d, που κάλυψε το σώµα
Μέση ταχύτητα ΦΥΣ 131 - Διάλ. 4 12 f H κλίση του διανύσματος ΑΒ δίνει τη μέση ταχύτητα v Μέση ταχύτητα πηγαίνοντας από το f à i : Ø διανυσµατικό µέγεθος [ L] Μονάδες μέτρησης [ T ] m /s Ø Σε αντίθεση µε < v > "#$%µ& ' Β B που είναι βαθµωτό C Δ C i Α D O A D i Δ f i f H τροχιά πρέπει να ναι συνεχής, ομαλή και μονότιμη
ΦΥΣ 131 - Διάλ. 4 13 Στιγμιαία ταχύτητα Ορίζεται ως v lim "0 d d Διαφορικός και oλοκληρωτικός λογισμός v είναι η κλίση της εφαπτομένης τoυ γραφήματος θέση-χρόνος στα διάφορα σημεία. B C Στο Α d d > 0 v A > 0 A Στο B d d 0 v B 0 Στο C d d < 0 v B < 0 Ø Η στιγμιαία ταχύτητα έχει ίδιο πρόσημο με το πρόσημο του Δ
ΦΥΣ 131 - Διάλ. 4 14 Εύρεση της ταχύτητας σε ένα - γράφημα Ø Μεταξύ των σημείων Α και Β < 0 αλλά αυξάνει Ø H κλίση αυξάνει συνεχώς και άρα το σώμα κινείται με αυξάνουσα ταχύτητα προς θετικά Ø Στο Β η κλίση και επομένως η ταχύτητα έχουν τις μέγιστες τιμές Ø Μεταξύ Β και C η κλίση καi ταχύτητα ελαττώνονται αλλά εξακολουθεί να κινείται στην + διεύθυνση Ø Στο σημείο C η κλίση και ταχύτητα είναι μηδέν Ø Από το σημείο C μέχρι το Ε, >0 αλλά ελαττώνεται και επομένως η κλίση και ταχύτητα ειναι αρνητικές Ø Στο σημείο Ε, η κλίση και ταχύτητα è 0 καθώς το è 0
Μέση επιτάχυνση ΦΥΣ 131 - Διάλ. 4 15 0 Σταθερή κλίση φ Δ Δ V σταθ. v an " " # 0 $ v # 0 # 0 0 + v q Στην πραγματικότητα () μπορεί να μην είναι γραμμική: ()f() a 2 +b Tότε v δεν είναι σταθερή αλλά εξαρτάται από το χρόνο Ø Πόσο γρήγορα όμως μεταβάλλεται η ταχύτητα με το χρόνο? Η μέση τιμή της μεταβολής από i à f a v() v( + ) " v() ( + ) " H κλίση είναι η μέση επιτάχυνση v( + ) " v() Η μέση επιτάχυνση είναι διάνυσμα v f i + v( i ) Δv v( f ) Δ i f
ΦΥΣ 131 - Διάλ. 4 16 Στιγμιαία επιτάχυνση Όταν Δè 0 a() lim "0 v( + ) # v() dv() d με μονάδες: [ L] [ T ] m 2 /s2 v< 0 v>0 α > 0 v0 α < 0 v>0 v< 0 v0
ΦΥΣ 131 - Διάλ. 4 17 Εύρεση της επιτάχυνσης σε ένα v- γράφημα Ø Από το Α στο Β, v < 0 αλλά αυξάνει και η κλίση άρα και επιτάχυνση είναι θετικές Ø Το σωματίδιο φρενάρει μέχρι το Β οπότε v 0 (σταματά στιγμιαία) αλλά εξακολουθεί να επιταχύνεται αφου η κλίση είναι μη μηδενική Ø Από το Β στο C, v > 0 και αυξάνει, η κλίση και επιτάχυνση είναι θετικές Ø Στο C, v ma αλλά η επιτάχυνση είναι 0 Ø Από το C στο D, v > 0 αλλά ελαττώνεται και η επιτάχυνση είναι αρνητική. To σώμα επιβραδύνει Ø Στο D, v 0 και σταματά αλλά δέχεται επιτάχυνση Ø Από το D στο Ε, v < 0 και συνεχίζει να ελαττώνεται και η επιτάχυνση είναι αρνητική. Το σώμα επιταχύνεται
Κίνηση σε μία διάσταση ΦΥΣ 131 - Διάλ. 4 18 q Ανακεφαλαιώνοντας θέσης τροχιάς μετατόπισης Δ f - i, χρονικού διαστήματος Δ f i, μέση ταχύτητα v στιγμιαία ταχύτητα v lim "0 d d παράγωγος μέση επιτάχυνση a v() v( + ) " v() στιγμιαία επιτάχυνση a() lim "0 v( + ) # v() d v() d
ΦΥΣ 131 - Διάλ. 4 19 q Αν ξέρουμε την επιτάχυνση α, μπορούμε να βρούμε από τις προηγούμενες εξισώσεις την v και την τη στιγμή Ø Πώς? q Χρησιμοποιώντας την έννοια του ολοκληρώματος q Γραφικά πρώτα α() α n Χωρίζουμε το χρονικό διάστημα σε πολλά ισόχρονα διαστήματα Δ n. Ξέρουμε ότι n "v n /" # "v n n " n Εμβαδό Αθροίζοντας όλα τα εμβαδά απο i à f έχουμε: v " n n # n i Δ n f Στο όριο nà, δηλαδή Δ n à 0 η μεταβολή της ταχύτητας δίνεται από το εμβαδό της επιφάνειας κάτω από την καμπύλη επιτάχυνσης - χρόνου v lim n "# % n $ n n Στιγμιαία και όχι μέση τιμή α
ΦΥΣ 131 - Διάλ. 4 20 q Αν είναι γνωστή η καμπύλη επιτάχυνσης χρόνου, η μεταβολή της ταχύτητας βρίσκεται από το εμβαδό της επιφάνειας. To παραπάνω ορισμένο ολοκλήρωμα γράφεται lim n" a % n a n # n ( ) dv( ) d $ i f a( )d q Γνωρίζοντας τη συνάρτηση α() μπορούμε υπολογίσουμε το ολοκλήρωμα για τυχαία χρονική στιγμή. a( )d dv ( ) a v ( )d + v i i ( ) a v " ( )d " dv v # v i v Επομένως σε μια χρονική στιγμή η ταχύτητα είναι i ( ) v i ( ) ( ) v i Αν i 0 συνήθως γράφουμε v( i ) v 0 ( ) a v ( )d + v 0 0
ΦΥΣ 131 - Διάλ. 4 21 q Κατά τον ίδιο τρόπο γνωρίζοντας την ταχύτητα μπορούμε να βρούμε την μετατόπιση v( ) d d Δύο εξισώσεις κίνησης ανάλογα με το πρόβλημα που δίνεται ( ) a v ( )d + v 0 (Α) 0 " v( )d " d # i 0 i ( ) ( i ) ( ) 0 ( ) 0 + v " 0 ( )d ( ) 0 + v 0 ( )d (Β) Αν v() είναι σταθερή π.χ. v v 0 (Β) ( ) 0 + v 0
Κίνηση σε μία διάσταση - Ανακεφαλαίωση Διάνυσμα θέσης τροχιάς: Μετατόπιση: Χρονικό διάστημα Μέση ταχύτητα Στιγμιαία ταχύτητα Μέση επιτάχυνση Στιγμιαία επιτάχυνση r iˆ " r rf ri " f i v r î v a lim " 0 a() ( f )ˆ i " r dr d iˆ d d v( ) v( + ) " v( ) v( + ) " v( ) lim # 0 i ΦΥΣ 131 - Διάλ. 4 22 (για >1-διαστάσεις: r ˆ i + yˆ j + zk ˆ ) διαδρομή Προσοχή dv( ) d Δύο εξισώσεις κίνησης ανάλογα με το πρόβλημα που δίνεται v d a Βαθμωτό μέγεθος παράγωγος v() a()d + v 0 (Α) 0 + v()d 0 (Β) 0
Σημαντικά σημεία Ø Από τον ορισμό της στιγμιαίας ταχύτητας Αλλαγή μέτρου Αλλαγή κατεύθυνσης r () r () r ( ) r ( + ) r + r () r ( + ) r ( ) Αλλαγή και μέτρου και κατεύθυνσης v r () r () r ( + ) ΦΥΣ 131 - Διάλ. 4 23 dr d Αλλαγή ταχύτητας Ø Από τον ορισμό της στιγμιαίας επιτάχυνσης d v d Αλλαγή στο μέτρο ή διεύθυνση ή και στα δυό μαζί της ταχύτητας ενός σώματος έχει σαν αποτέλεσμα την επιτάχυνση του σώματος Αν v > 0 τότε το σώμα επιταχύνεται a a ˆ i Αν v < 0 τότε το σώμα επιβραδύνεται a a î
ΦΥΣ 131 - Διάλ. 4 24 Κίνηση με σταθερή επιτάχυνση, α() σταθ. Από την εξίσωση κίνησης v a( )d + v 0 Αντικαθιστώντας στην 0 + v( )d 0 + (a + v 0 )d 0 + (a)d + v 0 d 0 0 + 1 2 a 2 + v 0 (2) 0 0 0 0 v a + v 0 (1) Λύνοντας ως προς στην εξίσωση (1) και αντικαθιστώντας στην (2): 2 2 a ( 0) v - v0 (3) 2 Λύνοντας ως προς α (επιτάχυνση) στην (1) και αντικαθιστώντας στην (2) 0 1 2 (v + v 0 ) (4)
Γεωμετρική ερμηνεία ΦΥΣ 131 - Διάλ. 4 25 v v Εμβαδό v 0 Κλίσηα v 0 E 1 1 ( 2 v v 0 ) 1 2 " 2 E 2 v 0 Ολική επιφάνεια κάτω από την καμπύλη E E 1 + E 2 1 2 a 2 + v 0
ΦΥΣ 131 - Διάλ. 4 26 Πιο εύκολα... -0 " 0 + v (1) - v 0 0 v-v0 a a v v0 + v v + 2 v 0 Αντικαθιστώντας την (3) στην (1) έχουμε 0 + v 0 + v + v 0 " # 2 a (2) αφού η v γραμμική (3) $ % & 0 + " # v 0 + v 0 + a 2 $ % & ' 0 + v 0 + 1 2 a 2
Θέση συναρτήσει χρόνου - Παράδειγµα Ποια η θέση του σώµατος για 3s? (3) 1m Ποια η µετατόπιση του σώµατος στο χρονικό διάστηµα µεταξύ 5 και 1s? (5) 1m (1) 2m Ποια η µέση ταχύτητα του σώµατος στο χρονικό διάστηµα 5 και 1s? v "1 4 "0.25m / s Μετατόπιση Δ 1 2-1m ΦΥΣ 131 - Διάλ. 4 27 (m) 3-3 4
Ταχύτητα συναρτήσει χρόνου - Παράδειγµα ΦΥΣ 131 - Διάλ. 4 28 Ποια η ταχύτητα του σώµατος για 2s? υ(2) 3m/s Ποια η µετατόπιση του σώµατος στο χρονικό διάστηµα µεταξύ 3 και 0s? 0è 1: E 1 0.5(1s)(3m/s)1.5m Εύρεση εµβαδού: 1è 3: E 2 (2s)(3m/s)6.0m v (m/s) 3 1.5 6 4 Μετατόπιση: Ε ολ E 1 + Ε 2 1.5 + 6 è Δ 7.5m Ποια η µέση ταχύτητα στο χρονικό διάστηµα µεταξύ 0 και 3s? 7.5 3 2.5m / s Ποια η µεταβολή της ταχύτητας στο χρονικό διάστηµα µεταξύ 3 και 5s? -3 ( 5) "( 3) " 2 " 3 "5m / s Ποια η µέση επιτάχυνση στο χρονικό διάστηµα µεταξύ 3 και 5s? a "5m / s # a "2.5m / s 2 2
Επιτάχυνση συναρτήσει χρόνου - Παράδειγµα ΦΥΣ 131 - Διάλ. 4 29 Ποια η επιτάχυνση του σώµατος για 4s? (4) -2m/s 2 Ποια η µεταβολή της ταχύτητας του σώµατος στο χρονικό διάστηµα µεταξύ 4 και 1s? Μεταβολή ταχύτητας Εµβαδό κάτω από τη καµπύλη: Εύρεση εµβαδού: 1è 3: E 1 (2s)(3m/s 2 )6.0m/s 3è 4: E 2 (1s)(-2m/s 2 )-2.0m/s Ε ολ E 1 + Ε 2 6.0 2.0 è Δυ 4.0m/s 3 α (m/s 2 ) -3 6 4 2
Ερώτηση: ΦΥΣ 131 - Διάλ. 4 30 Είναι δυνατό ένα σώµα να έχει θετική ταχύτητα και την ίδια χρονική στιγµή να έχει αρνητική επιτάχυνση? ΝΑΙ Ναι γιατί µπορεί να έχει θετική ταχύτητα καθώς επιβραδύνεται OXI Αν η ταχύτητα του σώµατος δεν είναι µηδέν µπορεί η επιτάχυνσή του να είναι κάποτε µηδέν ΝΑΙ Μηδενική επιτάχυνση σηµαίνει σταθερή ταχύτητα OXI Αν η µέση ταχύτητα ενός σώµατος που εκτελεί µονοδιάστατη κίνηση είναι θετική µπορεί η στιγµιαία ταχύτητα του σώµατος για κάποιο χρονικό διάστηµα να είναι αρνητική? ΝΑΙ OXI Φανταστείτε ότι κινήστε 5Km προς τη θετική διεύθυνση, κατόπιν σταµατάτε και κινείστε 3Km προς το µηδέν (αρνητική διεύθυνση) Η µέση ταχύτητα είναι θετική
Παράδειγμα ΦΥΣ 131 - Διάλ. 4 31 Ένα σώμα κινείται σε 1-διάσταση Αρχικές συνθήκες: για 0, 0 10m, v 0 15m/s, α-5m/sec 2, ως προς ˆ Ποια η ταχύτητα v και διάνυσµα θέσης του σώµατος µετά από 8 sec v 0 α ˆ Το σώµα µε v 0 > 0 ελαττώνει ταχύτητα αφού α < 0 v( ) v 0 + a v( 8) 15 + (5) " 8 25m / s Η ταχύτητα του σώµατος ελαττώνεται µέχρι να µηδενιστεί και κατόπιν αλλάζει φορά κίνησης (προς τη - διεύθυνση) 1 2 1 2 ( ) 0 + a + v ( 8s) 10 + ( 5) " 8 + 15 " 8 30m 2 2 0
ΦΥΣ 131 - Διάλ. 4 32 Παράδειγμα (συνέχεια) Μερικές ερωτήσεις Πότε το σώµα περνά από 0? 10m 1 2 ( ) 0 + a + v0 2 5 2 ( ) 10 + 15 0 2 Δευτεροβάθµια εξίσωση µε λύσεις -0.6sec 6.6 sec 1,2 " b 1,2 3 ± ± b 2 2a 13 " 4a 1 6. 6s 2 0. 6s Ποια από τις 2 απαντήσεις είναι φυσική? Εξαρτάται από το πρόβληµα. Τι συνέβη τη χρονική στιγµή -0.6 sec; Πιθανόν να ρίξαµε το σώµα προς τα πάνω. Εποµένως 2-0.6s είναι ο χρόνος που χρειάστηκε για να αποκτήσει την αρχική ταχύτητα υ 0 15m/s και να βρεθεί στην αρχική θέση 0 10m.