ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ 4. bt (γιατί;).
|
|
- Οἰδίπους Βασιλικός
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΦΥΕ 1 Τμήμα Α Ακ.Έτος: 6-7 Διδάσκων Σ.Ε.Π. : Τρύφων Δάρας ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ 4 ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΣΤΟ ΧΩΡΟ Μία συνάρτηση της μορφής r ():[ aβ, ] (αντίστοιχα r ():[, ] aβ ) λέμε ότι παριστάνει μία καμπύλη C στο χώρο (αντίστοιχα στο επίπεδο). r () = x (), y (), z (), [ α, β ] και οι εξισώσεις Η συνάρτηση x = x() y = y(), [ α, β ] z = z() καλούνται παραμετρικές εξισώσεις της καμπύλης C, η δε μορφή της καμπύλης r () = ( x (), y (), z ()) καλείται διανυσματική παραμετρική μορφή. Η μεταβλητή καλείται παράμετρος. Παρατήρηση 1. Μέχρι τώρα έχουμε συναντήσει καμπύλες στο επίπεδο, σε λυμένη (καρτεσιανή) μορφή y = f( x) (π.χ y = x ) ή σε πεπλεγμένη μορφή F( x, y ) = ( π.χ. η υπερβολή x y 16 9 = 1). Στο χώρο συνήθως προτιμάμε την διανυσματική παραμετρική μορφή.. Οι παραμετρικές εξισώσεις μιάς καμπύλης δεν είναι μονοσήμαντα ορισμένες π.χ. η x y υπερβολή = 1 έχει παραμετρικές εξισώσεις τις x = acsh, y = bsinh, a b αλλά και τις a (1 + ) x =, y = b (γιατί;) (α) Αν μία καμπύλη C δίνεται σε καρτεσιανή μορφή, για να βρούμε την παραμετρική της μορφή συνήθως θέτουμε μία από τις μεταβλητές (x,y ή z) ίσον με και εκφράζουμε τις άλλες συναρτήσει του (η παραμετρικοποίηση αυτή, και πάλι, δεν είναι η μοναδική και πολλές φορές δεν είναι η καλύτερη δυνατή). (β) Αν μία καμπύλη C δίνεται σε διανυσματική παραμετρική μορφή, για να βρούμε την καρτεσιανή της μορφή (εφόσον είναι δυνατόν) απαλείφουμε το από τις παραμετρικές εξισώσεις. 157
2 4. (Ιδιότητες μιάς καμπύλης) Έστω ότι μιά καμπύλη C δίνεται σε παραμετρική μορφή r () = x (), y (), z (), Εάν ra = rβ η καμπύλη καλείται κλειστή. ( ) dx( ) dy( ) dz( ) Η παράγωγος =,, στο σημείο, είναι ένα διάνυσμα εφαπτόμενο στην καμπύλη C στο σημείο r ( ).. Ερμηνεία (της παραγώγου) Αν = χρόνος και r = θέση ενός κινητού στην C υ () = =στιγμιαία ταχύτητα και γ () = =επιτάχυνση του κινητού (κανόνες παραγώγισης) Αν r(),r() 1 είναι δυό διανυσματικές συναρτήσεις (καμπύλες) και f() συνάρτηση μιάς πραγματικής μεταβλητής, τότε ισχύουν οι παρακάτω κανόνες παραγώγισης: d d d r() 1 r() = r() 1 r()+r() 1 r() ) (παράγωγος εσωτερικού γινομένου) (α) ( ) ( d d d r() 1 r() = r() 1 r()+r() 1 r() ) (παράγωγος εξωτερικού γινομένου) (β) ( ) ( d d d r () = f() r +f r ()) (παράγωγος γινομένου βαθμωτής συνάρτησης με διανυσματική) (γ) ( f ) ( Η καμπύλη έχει ένα διπλό σημείο εάν υπάρχουν δυό σημεία γ, δ [α,β]:r(γ)=r(δ). διπλό σημείο 158
3 Ανάλογα ορίζουμε το τριπλό, τετραπλό κ.λ.π. σημείο. Όλα αυτά τα σημεία καλούνται πολλαπλά σημεία. Εάν η καμπύλη δεν έχει πολλαπλά σημεία καλείται απλή. 5. Οι παραμετρικές εξισώσεις μιάς ευθείας στο χώρο, που διέρχεται από το σημείο ( x, y, z ) και είναι παράλληλη στο διάνυσμα a=(a,a,a ) είναι οι: x = x + a 1 y = y + a, z = z + a 1 Συνήθως η ευθεία συναντάται στην μορφή (απαλλοίφοντας το ): x x y y z z = = a a a 1 6. Οι (παραμετρικές) εξισώσεις της εφαπτομένης στο σημείο ( x, y, z ) στην καμπύλη r () = x (), y (), z () είναι οι x x y y z z = = ή x( ) y ( ) z ( ) ' ' ' ' x = x + x ' y y y ( ), = + ' z = z + z όπου το είναι τέτοιο ώστε r = ( x, y, z ) = ( x, y, z ). (πράγματι, χρησιμοποιώντας το 5 και το γεγονός ότι το διάνυσμα ( x( ' ' ' ), ( ), ( ) ) y z είναι εφαπτόμενο στην καμπύλη στο σημείο ( x, y, z ), και άρα παράλληλο στην εφαπτομένη). Εφαρμογή 1 Δίνεται η καμπύλη C: x y + = 1(έλλειψη) α) Να παραμετρικοποιηθεί η καμπύλη C β) Να βρεθεί ένα διάνυσμα εφαπτόμενο στην C στο σημείο (-,) 159
4 α) Μία παραμετρικοποίηση της C είναι : x = x () = cs C: y = y( ) = 4sin π Το σημείο ( xy=, ) (,) αντιστοιχεί στο σημείο = π Η διανυσματική παραμετρική εξίσωση της καμπύλης είναι r = r() = (cs,4sin ), π β) Ένα διάνυσμα εφαπτόμενο στην C στο σημείο r ( ) είναι το ( ) = r ( ) Εδώ r ( ) = (cs,4sin ) = ( sin,4cs ) r ( π ) = ( sin π,4cs π) = (, 4). Εφαρμογή Δίνεται η καμπύλη C με παραμετρικές εξισώσεις: x() = 1+ sin y () = + cs π α) Μπορεί να περιγραφεί η C με τη βοήθεια καρτεσιανών συντεταγμένων («καρτεσιανή μορφή»); β) Να γίνει η γραφική παράσταση της C. (α) Για την «καρτεσιανή μορφή» απαλείφουμε το από τις παραμετρικές εξισώσεις: ( x ) x= 1+ sin x 1= sin y = + cs y+ = cs y cs 1 = sin ( + ) + = x 1 + y+ = sin + cs x 1 + y+ = 1 Άρα η καμπύλη είναι κύκλος με κέντρο (1,-) και ακτίνα r =1 β) H γραφική παράσταση της C είναι : 16
5 Εφαρμογή Να γραφεί η εξίσωση της ευθείας C: y = x+ 5σε παραμετρική μορφή. Θέτουμε x = y = + 5 και η παραμετρική μορφή της C είναι Εφαρμογή 4 C: r( ) = ( x( ), y( )) = (,+ 5) Να βρεθούν οι εξισώσεις της εφαπτομένης της καμπύλης στο σημείο (4,4,). Το σημείο (4,4,) αντιστοιχεί στην τιμή C r x y z : () = ( (), (), ()) = (4,4, ) =1 της παραμέτρου, γιατί 4 = 4 = = = = (4, 4, ) (4, 4,) Ακόμα το εφαπτόμενο,στην καμπύλη, διάνυσμα είναι το ( x(), ' y ' (), z ' () ) ( 8,4,9 ) = και για =1, είναι το (8,4,9). Άρα η εξίσωση της εφαπτομένης είναι, σύμφωνα με τα παραπάνω, η x 4 y 4 z = = (είναι η ευθεία που διέρχεται από το σημείο (4,4,) και είναι παράλληλη στο διάνυσμα (8,4,9)). 161
6 ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ Α. Μία συνάρτηση δύο μεταβλητών z= f( xy, ), ( xy, ) D λέμε ότι παριστάνει μία επιφάνεια στον χώρο ( καρτεσιανή μορφή επιφάνειας). Β. Aν r= ruv (, ) = ( xuv (, ), yuv (, ), zuv (, )), δηλαδή η r είναι διανυσματική συνάρτηση που εξαρτάται από τα uv,, τότε η r παριστάνει επίσης μία επιφάνεια ( διανυσματική μορφή επιφάνειας) Οι παραμετρικές εξισώσεις της επιφάνειας σ αυτή την περίπτωση είναι : x = xuv (, ) y = y( u, v) z = z( u, v) Παρατήρηση 1. Εάν η επιφάνεια δίνεται σε διανυσματική μορφή r= ruv (, ) = ( xuv (, ), yuv (, ), zuv (, )) 16
7 ru rv Το διάνυσμα n = ή το n είναι το μοναδιαίο κάθετο διάνυσμα στην ru rv επιφάνεια r = r( u, v) στο σημείο ru (, v ) (όπου ru = ru( u, v), rv = rv( u, v) και r r ru =, rv = u v ). Το επίπεδο που καθορίζουν τα διανύσματα r, r και περνά από το σημείο ru (, v) καλείται εφαπτόμενο επίπεδο της r = r( u, v) στο ru (, v) και έχει εξίσωση : ( ruv (, ) ru (, v) ) n= (εσωτερικό γινόμενο) u v. Αν η επιφάνεια δίνεται σε καρτεσιανή μορφή: z = f ( x, y) και P = ( x, y, z) ένα σημείο της, Το κάθετο διάνυσμα στην επιφάνεια στο σημείο ( x, y, z ) είναι το ( fx, fy, 1) n= ( fx( x, y), fy( x, y), 1) ( n = ( fx, fy, 1) ή το n = ( fx( x, y), fy( x, y),1) για μοναδιαίο ), το εφαπτόμενο επίπεδο στην z = f ( x, y), στο σημείο P = ( x, y, z) δίνεται από την εξίσωση: x x f ( x, y ) + y y f ( x, y ) z z = ή n P = x y P Η κάθετος ευθεία, στην επιφάνεια, στο σημείο ( x, y, z ) έχει παραμετρικές εξισώσεις x = x + λn1 y = y + λn z = z + λn αν n= ( n, n, n ) 1 και n= ( fx( x, y), fy( x, y), 1). Αν η επιφάνεια δίνεται σε πεπλεγμένη μορφή: F( x, y, z ) = και P = ( x, y, z) ένα σημείο της, Το κάθετο, στην επιφάνεια,διάνυσμα στο σημείο ( x, y, z ) είναι : 16
8 F F F n = ( x, y, z), ( x, y, z), ( x, y, z) x y z ή το - n το εφαπτόμενο επίπεδο στην επιφάνεια, στο σημείο P = ( x, y, z) δίνεται από την εξίσωση: F F F x x ( x, y, z) y y ( x, y, z) z z ( x, y, z) = x y z ( ) + ( ) + ( ) Η κάθετος ευθεία, στην επιφάνεια, στο σημείο ( x, y, z ) έχει παραμετρικές εξισώσεις : x = x + λn1 y = y + λn z = z + λn και n= ( n, n, n ) 1 F F F = (,, ) x y z 4. (α) Αν μία επιφάνεια δίνεται σε καρτεσιανή μορφή z = f ( x, y), για να βρούμε μιά παραμετρική της μορφή συνήθως θέτουμε x =u, y =v οπότε η παραμετρική της μορφή είναι η r= ruv (, ) = uv,, f( uv, ). (β) Αν η επιφάνεια δίνεται σε παραμετρική μορφή r ruv (, ) ( xuv (, ), yuv (, ), zuv (, )) = =, για να βρούμε την καρτεσιανή (εφόσον είναι δυνατόν) απαλείφουμε τα u,v από τις παραμετρικές εξισώσεις. Εφαρμογή 1 Δίνεται η επιφάνεια S με παραμετρική μορφή ruv (, ) = ( u+ vu, vu, + v).να βρεθεί η εξίσωση της S σε καρτεσιανή μορφή. Οι παραμετρικές εξισώσεις είναι : x = u+ v y = u v z = u + v απαλείφουμε τα u,v x y = u+ v u+ v x y = u+ v= z x y = z x y z = επίπεδο Εφαρμογή Δίνεται η επιφάνεια S σε καρτεσιανή μορφή z x y 11 =
9 α) Να βρεθεί (μία) παραμετρική μορφή της S. β) Να βρεθεί το κάθετο διάνυσμα στην S στο σημείο P = (,1,). γ) Να βρεθεί το εφαπτόμενο επίπεδο στην S στο σημείο P = (,1,). α) Θέτουμε x = u & y = v οπότε η z = u + v 11 και η παραμετρική μορφή της επιφάνειας είναι: ruv xuv yuv zuv uv u v (, ) = ( (, ), (, ), (, )) = (,, + 11) ruv = uv u + v (, ) (,, 11)) β) Για το κάθετο διάνυσμα στην S στο σημείο P = (,1,) έχουμε: r ru = = u, v, ( u + v 11 ) = (1,,6u) και r u (,1) = (1,,1) u u u u r rv = = u, v, ( u + v 11 ) = (,1,4v) και r v (,1) = (,1,4) v v v v Επομένως u v iˆ ˆj kˆ 1 4 r r = 1 1 = 1, 4,1 r u r = + + = v ( 1) ( 4) Άρα το κάθετο (μοναδιαίο) διάνυσμα στο σημείο P = (,1,) είναι το ru rv ( 1, 4,1) n = = r r 161 u v Παρατήρηση ( ος τρόπος εύρεσης του κάθετου διανύσματος) Επειδή η επιφάνεια είναι της μορφής z = f ( x, y), ένα καθετο διάανυσμα στο σημείο της (,1,), είναι σύμφωνα με τα παραπάνω το n= f ( x, y ), f ( x, y ), 1. Αλλά P = ( x y ) f ( x, y) = 6 x, f ( x, y) = 4 y f (,1) = 1, f (,1) = 4 x y x y επιφάνεια διάνυσμα στο σημείο P = (,1,) είναι το n = f (,1), f (,1), 1 = (1,4, 1) ή το n = ( 1, 4,1) ( x y ) (που συμφωνεί με τον πρώτο υπολογισμό) Άρα ένα κάθετο στην 165
10 γ) Για το εφαπτόμενο επίπεδο στην S στο σημείο P = (,1,) ruv (, ) ru (, v) n= (( xyz,, ) (,1,)) ( 1, 4,1) = 1x+ 4y z 5 = Παρατήρηση Η παραπάνω εφαρμογή μπορεί να δινόταν στην εξής μορφή Εφαρμογή α Δίνεται η επιφάνεια S με παραμετρική μορφή ruv (, ) = ( uv,,u + v 11)). α) Να βρεθεί το κάθετο διάνυσμα στην S στο σημείο P = (,1,). β) Να βρεθεί το εφαπτόμενο επίπεδο στην S στο σημείο P = (,1,). α) Ίδια με το β της εφαρμογής β) Ίδια με το γ της εφαρμογής Εφαρμογή Να βρεθούν οι εξισώσεις του εφαπτόμενου επιπέδου και της καθέτου (ευθείας) στην επιφάνεια z= f( xy, ) = xyστο σημείο (,1,4). Εδώ έχουμε f ( xy, ) = xy οπότε f (, ) x xy= xy = xyάρα f (,1) = 1 = 4 f y ( xy, ) xy x = = άρα x f = = y (,1) 4 Άρα το εφαπτόμενο επίπεδο στο σημείο (,1,4) έχει εξίσωση : x 4+ y 1 4 z 4 = 4x 8+ 4y 4 z+ 4= 4x+ 4y z = 8 Το κάθετο στην επιφάνεια διάνυσμα n στο σημείο (,1,4) είναι : n= n, n, n = f (,1), f (,1), 1 = (4,4, 1) ( 1 ) ( x y ) και η κάθετος, στην επιφάνεια, ευθεία στο σημείο (,1,4) έχει παραμετρικές εξισώσεις : 166
11 x = x + n1 x = + 4 y = y + n y = 1+ 4 z z z n = + = 4 Εφαρμογή 4 Δείξτε ότι το εφαπτόμενο επίπεδο στην επιφάνεια xx yy zz δίνεται από την = 1. a b c x y z = 1 στο σημείο ( x, y, z ) a b c Η επιφάνεια μπορεί να θεωρηθεί ότι δίνεται στην εξής πεπλεγμένη μορφή Ακόμα F( x, y, z) = x y z 1= a b c F x F y F z =, =, = x a y b z c F x F y F z ( x, y, z) =, ( x,, ), (,, ) y z = x y z = x a y b z c οπότε, το εφαπτόμενο επίπεδο στην επιφάνεια, στο σημείο P = ( x, y, z) δίνεται από την εξίσωση: ( ) + ( ) + ( ) F F F x x ( x, y, z) y y ( x, y, z) z z ( x, y, z) = x y z x y z + + = a b c ( x x ) ( y y ) ( z z ) xx yy zz x y z = = 1 a b c a b c γιατί το σημείο P = ( x, y, z) είναι σημείο της επιφάνειας (άρα ικανοποιεί την εξίσωσή της). 167
12 ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΜΠΥΛΗΣ (από μήκος τόξου) Εάν r r(), [ a, β ] = είναι μία καμπύλη, πολλές φορές η καλύτερη παράμετρος (s) για να παραστήσουμε την C (παραμετρικά) είναι το μήκος τόξου, που μετριέται κατά μήκος της καμπύλης από κάποιο σταθερό σημείο αναφοράς. Αν λοιπόν r r(), [ a, β ] = τότε για να την παραμετρικοποιήσουμε, χρησιμοποιώντας σαν παράμετρο το μήκος τόξου s, χρησιμοποιούμε τη σχέση: s = du du (όπου είναι το σημείο αναφοράς και... = μέτρο διανύσματος). Εφαρμογή 1 Δίνεται η καμπύλη C με εξίσωση x + y = a (κύκλος με κέντρο το (,) και ακτίνα a ). Να εκφραστεί (παραμετρικοποιηθεί) η καμπύλη με παράμετρο το μήκος τόξου s. Μιά παραμετρικοποίηση του κύκλου είναι και η [ ] r = r() = acs, asin,,π Το σημείο αναφοράς είναι = οπότε : s = du du 168
13 d d Αλλά = ( acs ), ( asin ) = ( asin, acs ) και ( sin ) ( cs ) sin cs (sin cs ) = a + a = a + a = a + = a s Άρα s = adu = au s = a = a και αντικαθιστώντας στην r = r() το με (με παράμετρο τώρα το μήκος τόξου s). s a, έχουμε την παραμετρικοποίηση: s s r = r( s) = a cs, a sin, s, a a [ πα ] Εφαρμογή Δίνεται η καμπύλη C με διανυσματική παραμετρική εξίσωση [ ] r = r() = e cs, e sin, e,, π. Να παραμετρικοποιηθεί η καμπύλη με παράμετρο το μήκος τόξου s. Το σημείο αναφοράς είναι = οπότε: s = du du Αλλά ( e cs e sin, e sin e cs, e ) = + και = e cs e sin + e sin + e cs + e = e s Άρα s = e du = e s = ( e οπότε = ln + 1 u u 1) s και αντικαθιστώντας στην r = r() το με ln + 1 έχουμε την παραμετρικοποίηση: s s s s s r = r( s) = ln + 1 cs ln + 1, ln + 1 sin ln + 1, ln
14 ΤΡΙΕΔΡΟ ΤΟΥ FRENET Εάν r = r() s είναι μία καμπύλη C παραμετρικοποιημένη με παράμετρο το μήκος τόξου s, το διάνυσμα T() s = είναι εφαπτόμενο στην ds καμπύλη στο σημείο s και καλείται μοναδιαίο εφαπτόμενο διάνυσμα Το διάνυσμα είναι κάθετο στο διάνυσμα είναι κάθετο στα T() s T, N Ns () = και καλείται μοναδιαίο και καλείται μοναδιαίο dt() s ds dt() s ds B() s = T() s N() s κάθετο διάνυσμα (πρώτη κάθετος), ενώ το διάνυσμα δεύτερης καθέτου. 17
15 Η τριάδα ( T, N, B) καλείται Τρίεδρο του Frene ή συνοδεύων τρίεδρο (της C) στο σημείο s, αποτελεί δε ένα δεξιόστροφο τρισορθογώνιο σύστημα μοναδιαίων διανυσμάτων σε κάθε σημείο της καμπυλης Αποδεικνύονται οι σχέσεις: (*) dt = κ N ds d Β = τ N ds όπου ο αριθμός κ = κ() s ονομάζεται καμπυλότητα της C στο s και τ = τ () s ονομάζεται στρέψη της C στο s Ο αριθμός Παρατήρηση 1. 1 ρ = καλείται ακτίνα καμπυλότητας ενώ ο αριθμός k 1 r = ακτίνα στρέψης. τ Α. (καμπυλότητα) Η καμπυλότητα είναι πάντοτε ποσότητα μη-αρνητική. Είναι μηδέν (δηλ. κ = κ() s =) μόνον όταν η καμπύλη είναι ευθεία. Είναι ένα μέτρο του πόσο η καμπύλη «απέχει» από το να είναι ευθεία. Β. (στρέψη) Η στρέψη είναι ένας πραγματικός αριθμός (όχι απαραίτητα θετικός). Είναι μηδέν (δηλ. τ = τ () s =) όταν και μόνον όταν η καμπύλη είναι επίπεδη. Είναι ένα μέτρο του πόσο η καμπύλη «απέχει» από το ν ανήκει σε ένα επίπεδο. Τόσο η καμπυλότητα όσο και η στρέψη, υπολογίζονται από τις σχέσεις (*) παραπάνω: dt dt dt ds N = 1 dt = κn κ N = κ = κ = και όμοια ds ds N ds τ = db ds. 171
16 . Εάν η καμπύλη έχει παραμετρική μορφή r = r() (δηλαδή η παράμετρος δεν είναι το μήκος τόξου), τότε τα κ,τ υπολογίζονται συνήθως από τις σχέσεις : d r () () κ() =, () τ() = d r d r (), (), () () d r (). Αν η καμπύλη είναι επίπεδη (οπότε η στρέψη της είναι μηδέν), και έχει εξίσωση y = f(x), θέτοντας x =, παίρνουμε τις παραμετρικές εξισώσεις x =, y=f() και ο τύπος της καμπυλότητας γίνεται σ αυτή την περίπτωση κ() = ' ' f () ' 1+ f () Εφαρμογή 1 Να δειχθεί ότι ο κύκλος x + y = a (κύκλος με κέντρο το (,) έχει σταθερή καμπυλότητα σε κάθε σημείο του (ίση με το αντίστροφο της ακτίνας του). Μιά παραμετρικοποίηση του κύκλου είναι και η [ ] r = r() = acs, asin,,,π d d Αλλά = ( acs ), ( asin ), = ( asin, acs,) Επίσης = ( asin ) + ( acs ) = a sin + a cs = a (sin + cs ) = a = ( acs, as in,), = ( asin, acs,) και x 1 x x d r d r =-asin acs =(,, a ) = + + ( a ) = a -acs -asin Η καμπυλότητα του κύκλου λοιπόν είναι ίση με d r () () 1 a κ() = = = a a () και 17
17 Εφαρρμογή Να βρεθεί η καμπυλότητα της καμπύλης Εδώ έχουμε οπότε y = f(x)=x-x ' '' f (x)=-x, f (x)=-6x ' ' f (1) 6 κ() = = = f (1) ' Εφαρρμογή Δίνεται η καμπύλη C με διανυσματική παραμετρική εξίσωση r = r()= ( acs, asin, b ), a>. Να βρεθεί η καμπυλότητα στο τυχόν σημείο της. Εδώ έχουμε οπότε Επίσης d r ()= -asin, acs, b, ()= -acs, asin, ( ) x 1 x x d r d r = -asin acs b = ( absin,-abcs, a ) = a a +b -acs -asin Τέλος = (-asin) +(acs) +b = a sin +a cs +b = a + b d r () () a a +b a κ() = = = a +b () ( a +b ) Εφαρρμογή 4 (παραμετρικοποίηση με παράμετρο το μήκος τόξου s) Δίνεται η καμπύλη C με διανυσματική παραμετρική εξίσωση 17
18 ( ) [ ] r = r() = e cs, e sin, e,, π. (α) Να παραμετρικοποιηθεί η καμπύλη με παράμετρο το μήκος τόξου s. (β) Να υπολογισθούν: Α) το μοναδιαίο εφαπτόμενο διάνυσμα T Β) η πρώτη κάθετος N και η καμπυλότητα κ Γ) η δεύτερη κάθετος B και η στρέψη τ Είδαμε παραπάνω (εφαρμογή, σελ. 1) ότι η παραμετρικοποίηση της καμπύλης με παράμετρο το μήκος τόξου s, είναι η s s s s s r = r( s) = ln + 1 cs ln + 1, ln + 1 sin ln + 1, ln + 1 Το μοναδιαίο εφαπτόμενο διάνυσμα ˆT ( s) ισούται με : Tˆ ( s) s = = ds s+ π s+ π cs ln +, sin ln +, 4 4 1, π π χρησιμοποιώντας ότι : cs sin = cs + και sin + cs = sin Για την καμπυλότητα, χρησιμοποιούμε την σχεση dt dt dt ds N = 1 dt = κn κ N = κ = κ = ds ds N ds Τώρα d ˆ T ()= s s + π 1 sin ln + + ds i 4 s + s + π 1 + cs ln + = j 4 s + s + π = sin ln + + ( + ) i s 4 s + π cs ln + j + 4 ( s ) 174
19 Οπότε η καμπυλότητα είναι ίση με dtˆ k(s)= = =. ds + s ( s + ) Το μοναδιαίο κάθετο διάνυσμα είναι το dtˆ () ds ˆ N s = s + π i s + π = sin ln j dtˆ cs ln 4 4 ds Το μοναδιαίο διάνυσμα δεύτερης καθέτου είναι ίσο με i j k B ˆ s + π 4 s + π sin ln + 4 s + π 4 s + π cs ln + 4 () s = Tˆ () s Nˆ () s = cs ln + sin ln + = 1 = 1 s cs + π ln + i 4 1 s sin + π ln + j + 4 k. Ακόμα dβ = ds 1 s+ π 1 s+ π = sin ln, cs ln, ( s ) + 4 ( s ) Τέλος η στρέψη υπολογίζεται από την σχέση dβ dβ dβ = τn = τ N = τ τ = ds ds ds Δηλαδή τ = dβ ds = 1 ( s + ) 175
20 176
Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 2ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανυσματικές Συναρτήσεις Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος
Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανυσματικές Συναρτήσεις Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος. Ποιες από τις επόμενες καμπύλες παριστάνουν ευθείες γραμμές; r ( ) 8,, ˆ ˆ r ˆ () i 7 j+ k r ( )
Διαβάστε περισσότεραΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΠΟΛΙΤΙΚΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ 2/2012
ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΠΟΛΙΤΙΚΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ /0 Έστω r rx, y, z, I a, b συνάρτηση C τάξης και r r r x y z Nα αποδείξετε ότι: d dr r (α) r r, I r r r d dr d r (β) r r, I dr (γ) Αν r 0, για κάθε I κάθε I d (δ)
Διαβάστε περισσότερα6. Κεφάλαιο Διανύσματα, Διανυσματικές εξισώσεις, Διανυσματικά Πεδία.
6. Κεφάλαιο Διανύσματα, Διανυσματικές εξισώσεις, Διανυσματικά Πεδία. 6.1 Διανύσματα στον χώρο. 6.1.1 Ορισμοί Οι μαθηματικές ποσότητες μπορεί να είναι βαθμωτές, όταν είναι αριθμοί οι οποίοι ανήκουν σε ένα
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Διανύσματα - Διανυσματικές Συναρτήσεις
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Διανύσματα - Διανυσματικές Συναρτήσεις Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος a) Να βρεθεί η ευθεία που διέρχεται από το σημείο P (5,,3) και είναι παράλληλη προς το διάνυσμα iˆ+ 4ˆj kˆ
Διαβάστε περισσότεραΕργασία 2. Παράδοση 20/1/08 Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες
Εργασία Παράδοση 0/1/08 Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες 1. Υπολογίστε τα παρακάτω όρια: Α. Β. Γ. όπου x> 0, y > 0 Δ. όπου Κάνετε απευθείας τις πράξεις χωρίς να χρησιμοποιήσετε παραγώγους. Επιβεβαιώστε
Διαβάστε περισσότεραds ds ds = τ b k t (3)
Γενικά Μαθηματικά ΙΙΙ Πρώτο σετ ασκήσεων, Λύσεις Άσκηση 1 Γνωρίζουμε ότι το εφαπτόμενο διάνυσμα ( t), ορίζεται ως: t = r = d r ds (1) και επιπλέον το διάνυσμα της καμπυλότητας ( k), ορίζεται ως: d t k
Διαβάστε περισσότεραb proj a b είναι κάθετο στο
ΦΥΛΛΑ ΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. Βρείτε όλα τα σηµεία P τέτοια ώστε η απόσταση του P από το A(, 5, 3) είναι διπλάσια από την απόσταση του P από το B(6, 2, 2). είξτε ότι το σύνολο όλων αυτών των σηµείων είναι σφαίρα.
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 1ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανύσματα, Ευθείες Επίπεδα, Επιφάνειες 2ου βαθμού Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος
Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανύσματα, Ευθείες Επίπεδα, Επιφάνειες ου βαθμού Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος. Βρείτε το διάνυσμα με άκρα το Α(3,-,5) και Β(5,,-) ΑΒ=< 5 3, ( ), 5 >=
Διαβάστε περισσότεραΛΥΣΕΙΣ 6. a2 x 2 y 2. = y
ΛΥΣΕΙΣ 6. Οι ασκήσεις από το βιβλίο των Marsden - romba. 7.5. Θεωρούμε την παραμετρικοποίηση rx, y = x, y, a 2 x 2 y 2, όπου το x, y διατρέχει τον δίσκο στο xy-επίπεδο που ορίζεται από την x 2 +y 2 a 2.
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά για μηχανικούς ΙΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ
Μαθηματικά για μηχανικούς ΙΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο 1 1 Να βρείτε (και να σχεδιάσετε) το πεδίο ορισμού των πιο κάτω συναρτήσεων f (, ) 9 4 (γ) f (, ) f (, ) 16 4 1 Να υπολογίσετε το κάθε όριο αν υπάρχει ή να
Διαβάστε περισσότεραΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ Ορισμός. Αν τα και είναι τα μοναδιαία διανύσματα των αξόνων και αντίστοιχα η συνάρτηση που ορίζεται από τη σχέση όπου (συνιστώσες) είναι
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ
Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Βαθμωτές Συναρτήσεις Πολλών Μεταβλητών Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Βαθμωτές Συναρτήσεις Πολλών Μεταβλητών :
Διαβάστε περισσότεραΣυστήματα συντεταγμένων
Συστήματα συντεταγμένων Χρησιμοποιούνται για την περιγραφή της θέσης ενός σημείου στον χώρο. Κοινά συστήματα συντεταγμένων: Καρτεσιανό (x, y, z) Πολικό (r, θ) Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων Οι άξονες
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά για μηχανικούς ΙΙ ΛΥΣΕΙΣ/ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ
Μαθηματικά για μηχανικούς ΙΙ ΛΥΣΕΙΣ/ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Κεφάλαιο 1 1 Να βρείτε (και να σχεδιάσετε) το πεδίο ορισμού των πιο κάτω συναρτήσεων f (, ) 9 4 (γ) f (, ) f (, ) 16 4 1 D (, ) :9 0, 4 0 (, ) :
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Πρόοδος 18/4/2018 Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος
Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Πρόοδος 8/4/8 Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος Άσκηση (Μονάδες ) Να εξετάσετε ως προς τα τοπικά ακρότατα τη συνάρτηση: f x x x (,
Διαβάστε περισσότερα( () () ()) () () ()
ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΠΟΛΙΤΙΚΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ /011 1 Έστω r = r( t = ( x( t ( t z( t t I = [ a b] συνάρτηση C τάξης και r = r( t = r ( t = x ( t + ( t z ( t είναι μία διανυσματική + Nα αποδείξετε ότι: d 1 1
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΠΟ ΤΗ ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΠΟ ΤΗ ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ 1.1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Γράφημα μιας πραγματικής συνάρτησης : ή ( )/ σύνολο: f Οι θέσεις του κινητού σημείου G ( x, y)/ y f( x), xa. f A y f x A είναι το M x, y, ώστε
Διαβάστε περισσότεραΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΔΥΟ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ
ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΔΥΟ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Έννοια συνάρτησης Παραγώγιση Ακρότατα Ασκήσεις Βασικές έννοιες Στην Οικονομία, τα περισσότερα από τα μετρούμενα μεγέθη, εξαρτώνται από άλλα μεγέθη. Π.χ η ζήτηση από την τιμή,
Διαβάστε περισσότεραΔιάνυσμα: έχει μέτρο, διεύθυνση και φορά
Διάνυσμα: έχει μέτρο, διεύθυνση και φορά Πολλά φυσικά μεγέθη είναι διανυσματικά (π.χ. δύναμη, ταχύτητα, επιτάχυνση, γωνιακή ταχύτητα, ροπή, στροφορμή ) Συμβολισμός του διανύσματος: Συμβολισμός του μέτρου
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. Ημερομηνία: Πέμπτη 12 Απριλίου 2018 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ
ΑΠΟ 0/04/018 ΕΩΣ 14/04/018 ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Ημερομηνία: Πέμπτη 1 Απριλίου 018 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α1. Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη ε του κύκλου
Διαβάστε περισσότεραΗ Επιτάχυνση. η τα- χύτητά του ( Σχήμα 1 ). Από τον ορισμό της ταχύτητας θα ισχύει (3)
Η Επιτάχυνση η τα- Έστω r ( t ) ( t ) i ( t ) j z ( t ) k το διάνυσμα θέσης του κινητού Μ και ( t ) χύτητά του ( Σχήμα 1 ). Από τον ορισμό της ταχύτητας θα ισχύει r ( t ) r ( t ) ή πιο απλά (1) t t Άρα
Διαβάστε περισσότεραΦΥΣ Διάλ Άλγεβρα. 1 a. Άσκηση για το σπίτι: Διαβάστε το παράρτημα Β του βιβλίου
ΦΥΣ 131 - Διάλ. 4 1 Άλγεβρα a 1 a a ( ± y) a a ± y log a a 10 log a ± logb log( ab ± 1 ) log( a n ) n log( a) ln a a e ln a ± ln b ln( ab ± 1 ) ln( a n ) nln( a) Άσκηση για το σπίτι: Διαβάστε το παράρτημα
Διαβάστε περισσότεραf f 2 0 B f f 0 1 B 10.3 Ακρότατα υπό συνθήκες Πολλαπλασιαστές του Lagrange
Μέγιστα και ελάχιστα 39 f f B f f yx y x xy Οι ιδιοτιμές του πίνακα Β είναι λ =-, λ =- και οι δυο αρνητικές, άρα το κρίσιμο σημείο (,) είναι σημείο τοπικού μεγίστου. Εφαρμογή 6: Στο παράδειγμα 3 ο αντίστοιχος
Διαβάστε περισσότερα2 η ΕΡΓΑΣΙΑ Παράδοση
η ΕΡΓΑΣΙΑ Παράδοση --8 Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες Άσκηση η Υπολογίστε τα κάτωθι όρια: cos α) β) γ) δ) ε) sin 5 α) Εφαρμόζουμε τον κανόνα L Hospital μια φορά (απροσδιοριστία της μορφής /)
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ
Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Βαθμωτές Συναρτήσεις Πολλών Μεταβλητών Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Βαθμωτές Συναρτήσεις Πολλών Μεταβλητών :
Διαβάστε περισσότεραΗλεκτρομαγνητισμός. Χρήσιμες μαθηματικές έννοιες. Νίκος Ν. Αρπατζάνης
Ηλεκτρομαγνητισμός Χρήσιμες μαθηματικές έννοιες Νίκος Ν. Αρπατζάνης Παράγωγος ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ y y = f(x) x φ y y y = f(x) x φ y y y = f(x) φ x 1 x 1 + х x x 1 x 1 + х x x 1 x tanϕ = y x tanϕ = dy dx
Διαβάστε περισσότεραΓΕΩΔΑΙΣΙΑΚΕΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΣΕ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΜΕΣΩ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ CLAIRAUT
ΓΕΩΔΑΙΣΙΑΚΕΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΣΕ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΜΕΣΩ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ CLAIRAUT Αρβανιτογεώργος Ανδρέας Πατέρας Ιωάννης ΓΕΩΔΑΙΣΙΑΚΕΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ Στόχος Εργασίας Η εύρεση των γεωδαισιακών καμπυλών πάνω σε μια επιφάνεια.
Διαβάστε περισσότεραΣημειώσεις Μαθηματικών 1
Σημειώσεις Μαθηματικών 1 Αναλυτική Γεωμετρία Ραφαήλ Φάνης Μαθηματικός 1 Κεφάλαιο 4 Αναλυτική Γεωμετρία 4.1 Εξίσωση Καμπύλης Έστω C μια καμπύλη στο R. H C αποτελείται από άπειρα σημεία Μ(x,y). Έξίσωση μιας
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΪΟΣ ΙΟΥΝΙΟΣ
ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΪΟΣ ΙΟΥΝΙΟΣ ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Β MΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΜΑ Α Α1. Αν Α(x 1, y 1 ) και Β(x, y ) είναι σημεία του καρτεσιανού επιπέδου και (x, y) οι συντεταγμένες
Διαβάστε περισσότερα = 1 A A = A A. A A + A2 y. A = (A x, A y ) = A x î + A y ĵ. z A. 2 A + A2 z
Οκτώβριος 2017 Ν. Τράκας ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΒΟΗΘΗΜΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Διάνυσμα: κατεύθυνση (διεύθυνση και ϕορά) και μέτρο. Συμβολισμός: A ή A. Αναπαράσταση μέσω των συνιστωσών του: A = (A x, A y ) σε 2-διαστάσεις και
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματική Ανάλυση ΙI
Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Μαθηματική Ανάλυση ΙI Ενότητα 6: Παράγωγος κατά κατεύθυνση, κλίση, εφαπτόμενα επίπεδα Επίκουρος Καθηγητής Θ. Ζυγκιρίδης e-mail: tzygiridis@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Συναρτήσεις Πολλών Μεταβλητών
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Συναρτήσεις Πολλών Μεταβλητών Να βρεθούν τα όρια, αν υπάρχουν: lim i) (,) (0,0) + ii) lim (,) (0,0) + iii) 3 lim 3 (,) (0,0) 6 + lim iv) (,) (0,0) + + lim sin + sin v) (,) (0,0)
Διαβάστε περισσότεραΑνασκόπηση-Μάθημα 12 Συναρτήσεις πολλών μεταβλητών-καμπύλες-πολικές συντεταγμένες
Τμήμα Μηχανικών Οικονομίας και Διοίκησης Απειροστικός Λογισμός ΙΙ Γ. Καραγιώργος ykarag@aegean.gr Ανασκόπηση-Μάθημα 12 Συναρτήσεις πολλών μεταβλητών-καμπύλες-πολικές συντεταγμένες Στο δωδέκατο μάθημα (24/10/2018)
Διαβάστε περισσότεραd dx ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ α) Η παράγωγος μιας συνάρτησης = f() σε ένα σημείο 0 εκφράζει το ρυθμό μεταβολής της συνάρτησης (ή τον παράγωγο αριθμό) στο σημείο 0. β) Γραφικά, η παράγωγος της συνάρτησης στο σημείο
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 3 Κίνηση σε 2 και 3 Διαστάσεις
Κεφάλαιο 3 Κίνηση σε και 3 Διαστάσεις Κίνηση υλικού σημείου στο επίπεδο ( -D) και στο χώρο (3 -D). Ορισμός διανυσμάτων για την μελέτη της -D 3-D κίνησης: Θέση, Μετατόπιση Μέση και στιγμιαία ταχύτητα Μέση
Διαβάστε περισσότεραB ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. Ημερομηνία: Τετάρτη 12 Απριλίου 2017 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ
ΑΠΟ 10/4/017 ΕΩΣ /4/017 ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: B ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Ημερομηνία: Τετάρτη 1 Απριλίου 017 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α1. Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη του
Διαβάστε περισσότεραAuthor : Πιθανώς έχει κάποιο λάθος Supervisor : Πιθανώς έχει καποιο λάθος.
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ Τμήμα Φυσικής 1ο Σετ Ασκήσεων Γενικών Μαθηματικών ΙΙ Author : Βρετινάρης Γεώργιος Πιθανώς έχει κάποιο λάθος Supervisor : Χ.Τσάγκας 19 Φεβρουαρίου 217 ΑΕΜ: 14638 Πιθανώς
Διαβάστε περισσότεραΓ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες
Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΦΥΕ10 (Γενικά Μαθηματικά Ι) ΠΕΡΙΕΧΕΙ ΤΙΣ
Διαβάστε περισσότερα1 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΣΤΟΝ ΤΡΙΣΔΙΑΣΤΑΤΟ ΧΩΡΟ
1 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΣΤΟΝ ΤΡΙΣΔΙΑΣΤΑΤΟ ΧΩΡΟ Προσανατολισμένο Ευθύγραμμο Τμήμα (π.ε.τ.) είναι το ευθύγραμμο τμήμα PQ στο οποίο ορίζουμε το άκρο Ρ αυτού να είναι η αρχή του π.ε.τ. και το άκρο Q αυτού να είναι το
Διαβάστε περισσότερα14 η εβδομάδα (26/01/2017) Έγιναν οι ασκήσεις 28, 29 και 30. Έγινε επανάληψη στη Θεωρία Καμπυλών και στη Θεωρία Επιφανειών.
14 η εβδομάδα (26/01/2017) Έγιναν οι ασκήσεις 28, 29 και 30. Έγινε επανάληψη στη Θεωρία Καμπυλών και στη Θεωρία Επιφανειών. 13 η εβδομάδα (16/01/2017 & 19/01/2017) Ασυμπτωτική διεύθυνση και ασυμπτωτικό
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ
Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Βαθμωτές Συναρτήσεις Πολλών Μεταβλητών Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Βαθμωτές Συναρτήσεις Πολλών Μεταβλητών f
Διαβάστε περισσότεραΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ
ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σκοπός της κινηματικής είναι η περιγραφή της κίνησης του ρευστού Τα αίτια που δημιούργησαν την κίνηση και η αναζήτηση των δυνάμεων που την διατηρούν είναι αντικείμενο της
Διαβάστε περισσότεραΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ. 5 ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ 7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΙΣΟΣΤΑΘΜΙΚΕΣ ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ 35
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ. 5 ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ 7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 15 1. Γενικά.. 15 Επιφάνεια 15 Ευθειογενεί επιφάνειε. 15 Επιφάνειε δευτέρου βαθμού.. 16 2. Μερικέ επιφάνειε δευτέρου
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο Χώρος, Διανύσματα, Διανυσματικές εξισώσεις, Συστήματα Συντεταγμένων.
Χώρος Διανύσματα Κεφάλαιο Χώρος, Διανύσματα, Διανυσματικές εξισώσεις, Συστήματα Συντεταγμένων. Καρτεσιανές συντεταγμένες και διανύσματα στο χώρο. Στο σύστημα καρτεσιανών (ή ορθογώνιων) συντεταγμένων κάθε
Διαβάστε περισσότεραa ) a ) = lim f( a + h u ) f( a ) = lim (2) h = 0 f( a + h u ) f( a ) hdf( a )( u ) lim = 0 lim u ) f( a + h lim = 0 u ) = 0 lim = Df( a )( u ) lim
1 ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ Κατευθυνόμενη Παράγωγος Κατευθυνόμενη Παράγωγος: Ορισμός 1: Εστω f : U R 2 R μία πραγματική συνάρτηση δύο μεταβλητών με U ανοικτό, a = (a, b) U και u = (u, v) μία κατεύθυνση του R 2 (δηλαδή
Διαβάστε περισσότεραΚαµπύλες στον R. σ τελικό σηµείο της σ. Το σ. σ =. Η σ λέγεται διαφορίσιµη ( αντιστοίχως
Καµπύλες στον R 9. Ορισµός Μια καµπύλη στον R είναι µια συνεχής συνάρτηση σ : Ι R R όπου Ι διάστηµα ( συνήθως κλειστό και φραγµένο ) στον R. Συνήθως φανταζόµαστε την µεταβλητή t Ι ως τον χρόνο και την
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ
Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Διανυσματικά Πεδία Επικαμπύλια Ολοκληρώματα Θεώρημα Green Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Επικαμπύλιο Ολοκλήρωμα
Διαβάστε περισσότεραΤάξη B. Μάθημα: Η Θεωρία σε Ερωτήσεις. Επαναληπτικά Θέματα. Επαναληπτικά Διαγωνίσματα. Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης. α Ε
Ν β K C Ε -α Ο α Ε Τάξη B Μ -β Λ Μάθημα: Η Θεωρία σε Ερωτήσεις Επαναληπτικά Θέματα Επαναληπτικά Διαγωνίσματα Επιμέλεια: Διανύσματα Ερωτήσεις θεωρίας 1. Πως ορίζεται το διάνυσμα;. Τι λέγεται μηδενικό διάνυσμα;
Διαβάστε περισσότεραπ (α,β). Έστω τα διανύσματα π (α,β) να βρεθούν:
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Β ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 1. Για τα διανύσματα α, β δίνεται ότι α =1, β = και u α β, v α - β.να υπολογίσετε: π (α,β). Έστω τα διανύσματα α. το εσωτερικό γινόμενο α β β. τα μέτρα u, v των διανυσμάτων
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΙΙ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΙΙ Ακρότατα Δρ. Ιωάννης Ε. Λιβιέρης Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Τ.Ε. TEI Δυτικής Ελλάδας 2 Ακρότατα συνάρτησης Έστω συνάρτηση f A R 2 R και ένα σημείο P(x, y ) A. Η τιμή f(x, y )
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΣΑΝΑΤΛΙΣΜΥ Β ΛΥΚΕΙΥ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΥ Να δώσετε τους ορισμούς: διάνυσμα, μηδενικό διάνυσμα, μέτρο διανύσματος, μοναδιαίο διάνυσμα Διάνυσμα AB ονομάζεται ένα ευθύγραμμο
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ Παραδείγματα Στις Μερικές Παραγώγους Και τον Κανόνα Αλυσιδωτής Παραγώγισης
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ Παραδείγματα Στις Μερικές Παραγώγους Και τον Κανόνα Αλυσιδωτής Παραγώγισης Άσκηση Αν t ( ) < cos t,sin( t) > δύο τρόπους και gt () 3t 4 d gt να υπολογισθεί η παράγωγος ( ()) με Λύση 1 ος
Διαβάστε περισσότεραΓραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα
Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Ενότητα: Πραγματικές Συναρτήσεις Πολλών Μεταβλητών (μέρος 1) Ανδριανός Ε Τσεκρέκος Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ
Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Διανύσματα Ευθείες - Επίπεδα Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Διάνυσμα ή Διανυσματικό μέγεθος (Vector) Μέγεθος που
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ
Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Διανυσματικά Πεδία Επικαμπύλια Ολοκληρώματα Θεώρημα Green Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Επικαμπύλιο Ολοκλήρωμα
Διαβάστε περισσότεραΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΔΥΟ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ
ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΔΥΟ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Έννοια συνάρτησης δύο μεταβλητών Ισουψείς καμπύλες Παραγώγιση Μερικές παράγωγοι πρώτου και δευτέρου βαθμού Ασκήσεις Βασικές έννοιες Στην Οικονομία, τα περισσότερα από τα μετρούμενα
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ
Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Διανυσματικά Πεδία Επικαμπύλια Ολοκληρώματα Θεώρημα Green Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Επικαμπύλιο Ολοκλήρωμα
Διαβάστε περισσότεραΛύσεις στο επαναληπτικό διαγώνισμα 3
Τμήμα Μηχανικών Οικονομίας και Διοίκησης Απειροστικός Λογισμός ΙΙ Γ. Καραγιώργος ykarag@aegean.gr Λύσεις στο επαναληπτικό διαγώνισμα Διπλά Ολοκληρώματα Άσκηση (Υπολογισμός διπλού ολοκληρώματος- Αλλαγή
Διαβάστε περισσότερα5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών
Κεφάλαιο 5 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Οταν ένα µεταβλητό µέγεθος εξαρτάται αποκλειστικά από τις µεταβολές ενός άλλου µεγέθους, τότε η σχέση που συνδέει
Διαβάστε περισσότερα(a) = lim. f y (a, b) = lim. (b) = lim. f y (x, y) = lim. g g(a + h) g(a) h g(b + h) g(b)
1 ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ Μερική Παράγωγος Μερικές Παράγωγοι Ορισμός 1: a) Εστω f(x y) : U R R μία συνάρτηση δύο μεταβλητών και (a b) ένα σημείο του U. Θεωρούμε ότι μεταβάλλεται μόνο το x ένω το y παραμένει σταθερό
Διαβάστε περισσότερα10. Παραγώγιση διανυσµάτων
Κ Χριστοδουλίδης: Μαθηµατικό Συµπλήρωµα για τα Εισαγωγικά Μαθήµατα Φυσικής 51 10 Παραγώγιση διανυσµάτων 101 Παράγωγος διανυσµατικής συνάρτησης Αν οι συνιστώσες ενός διανύσµατος = είναι συνεχείς συναρτήσεις
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 5ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανυσματικά Πεδία Επικαμπύλια Ολοκληρώματα Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος
Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 5ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανυσματικά Πεδία Επικαμπύλια Ολοκληρώματα Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος. Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα I = x ds, όπου c το δεξιό ημικύκλιο x + = 6 α) κινούνοι
Διαβάστε περισσότεραΑΣΚΗΣΕΙΣ. 4. Να βρεθεί η κάθετη καμπυλότητα του υπερβολικού παραβολειδούς. 5. Να βρεθεί η κάθετη καμπυλότητα της ελικοειδούς επιφάνειας.
ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Α.Π.Θ. ΜΑΘΗΜΑ: ΚΛΑΣΙΚΗ ΔΙΑΦΟΡΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΙΙ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2018 19 Kαθηγητής Στυλιανός Σταματάκης URL: http://stamata.webpages.auth.gr/geometry/ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να εξεταστεί πώς αλλάζει
Διαβάστε περισσότερα( ) Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης. x + y + z = κ ορίζει την επιφάνεια µιας σφαίρας κέντρου ( ) κ > τότε η
Έστω Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης ανοικτό και σταθερά ( µε κ f ( ) ορίζει µια επιφάνεια S στον f : ) τότε η εξίσωση, ονοµάζεται συνήθως επιφάνεια στάθµης της f. εξίσωση, C συνάρτηση. Αν
Διαβάστε περισσότεραΛύσεις στο Επαναληπτικό Διαγώνισμα 2
Τμήμα Μηχανικών Οικονομίας και Διοίκησης Απειροστικός Λογισμός ΙΙ Γ. Καραγιώργος ykarag@aegean.gr Λύσεις στο Επαναληπτικό Διαγώνισμα 2 Για τυχόν παρατηρήσεις, απορίες ή λάθη που θα βρείτε, στείλτε μου
Διαβάστε περισσότεραΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 2. Σταύρος Παπαϊωάννου
ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ Μαθηματικά Σταύρος Παπαϊωάννου Ιούνιος 015 Τίτλος Μαθήματος Περιεχόμενα Χρηματοδότηση... Error! Bookmark not defined. Σκοποί Μαθήματος (Επικεφαλίδα
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ, ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ( FUNCTIONS,TRIGONOMETRY)
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ, ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ( FUNCTIONS,TRIGONOMETRY) 3.1 ΘΕΩΡΙΑ-ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ-ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Συνάρτηση, ή απεικόνιση όπως ονομάζεται διαφορετικά, είναι μια αντιστοίχιση μεταξύ δύο συνόλων,
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8
ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματική Εισαγωγή Συναρτήσεις
Φυσικός Ραδιοηλεκτρολόγος (MSc) ο Γενικό Λύκειο Καστοριάς A. Μαθηματική Εισαγωγή Πράξεις με αριθμούς σε εκθετική μορφή Επίλυση βασικών μορφών εξισώσεων Συναρτήσεις Στοιχεία τριγωνομετρίας Διανύσματα Καστοριά,
Διαβάστε περισσότεραΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ
ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ? Εύρεση εφαπτόμενης της γνωστό σημείο (, ( )) με την βοήθεια του ορισμού: Εάν το σημείο αλλαγής τύπου η σημείο μηδενισμού της ύπαρξης ποσότητας, εξετάζω αν η είναι παραγωγισιμη
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΒΑΣΙΚΟΙ ΤΥΠΟΙ ΑΠΟ ΤΗΝ ΘΕΩΡΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Αρχή και Πέρας Φορέας Διεύθυνση (Συγγραμμικά διανύσματα) Μέτρο Κατεύθυνση (Ομόρροπα Αντίρροπα διανύσματα)
Διαβάστε περισσότεραΚΥΚΛΟΣ. Μ(x,y) Ο C ΘΕΩΡΙΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΣΩΣΤΟ-ΛΑΘΟΣ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 3ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΕΝΤΡΙΚΟ Ν. ΣΜΥΡΝΗΣ
Φ3 ΚΥΚΛΟΣ y Μ(x,y) A(x,y) ε Ο C x ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΣΩΣΤΟ-ΛΑΘΟΣ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΝΤΡΙΚΟ 3ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ Ν. ΣΜΥΡΝΗΣ 0-0 ΘΕΩΡΙΑ. Τι ονομάζεται κύκλος με κέντρο το σημείο K( x0,
Διαβάστε περισσότερα1,y 1) είναι η C : xx yy 0.
ΘΕΜΑ Α ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα Α. Αν α, β δύο διανύσματα του επιπέδου με συντελεστές διεύθυνσης λ και λ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι α β λ λ.
Διαβάστε περισσότεραΠαράδειγμα/πρόβλημα ( ) = y 1. O x. V = y 2. Να βρεθούν οι συντεταγμένες (x,y) συναρτήσει των ( x, y ) του περιστρεφόμενου συστήματος συντεταγμένων Y
y Διανύσματα R y V y ĵ î R V î ( 1,0 ) ĵ ( 0,1) R + V (R + V )î + (R y + V y ) ĵ R + V H κατεύυνση του διανύσματος (( R + V ) 2 + ( R y + V y ) 2 ) R + V ϕ rc(tnϕ) rc Ανάλογες σχέσεις ισχύουν και για 3
Διαβάστε περισσότεραΑκτίνα καμπυλότητας - Ανάλυση επιτάχυνσης σε εφαπτομενική και κεντρομόλο συνιστώσα
Ακτίνα καμπυλότητας - Ανάλυση επιτάχυνσης σε εφαπτομενική και κεντρομόλο συνιστώσα Εξ ορισμού, ένας κύκλος έχει συγκεκριμένη και σταθερή καμπυλότητα σε όλα τα σημεία του ίση με 1/R όπου R η ακτίνα του.
Διαβάστε περισσότεραΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Γ. Επικαμπύλια και Επιφανειακά Ολοκληρώματα. Γ.1 Επικαμπύλιο Ολοκλήρωμα
ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Γ Επικαμπύλια και Επιφανειακά Ολοκληρώματα Η αναγκαιότητα για τον ορισμό και την περιγραφή των ολοκληρωμάτων που θα περιγράψουμε στο Παράρτημα αυτό προκύπτει από το γεγονός ότι τα μεγέθη που
Διαβάστε περισσότεραΑπειροστικός Λογισμός ΙΙ, εαρινό εξάμηνο Φυλλάδιο ασκήσεων επανάληψης.
Απειροστικός Λογισμός ΙΙ, εαρινό εξάμηνο 2016-17. Φυλλάδιο ασκήσεων επανάληψης. 1. Για καθεμία από τις παρακάτω συναρτήσεις ελέγξτε βάσει του ορισμού της παραγωγισιμότητας αν είναι παραγωγίσιμη στο αντίστοιχο
Διαβάστε περισσότεραΔιανύσματα. x = rcos! y = rsin! r = x 2 + y 2 x. q Ο απλούστερος ορισμός διανύσματος είναι ότι μετρά μετατοπίσεις
Διανύσματα ΦΥΣ 131 - Διάλ. 2 1 q Ο απλούστερος ορισμός διανύσματος είναι ότι μετρά μετατοπίσεις q Διανύσματα περιγράφουν μέτρο αλλά και κατεύυνση q Αντίετα, βαμωτά μεγέη περιγράφονται μόνο από το μέτρο
Διαβάστε περισσότεραΕπιχειρησιακά Μαθηματικά (1)
Τηλ:10.93.4.450 ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΔΕΟ 13 ΤΟΜΟΣ Α Επιχειρησιακά Μαθηματικά (1) ΑΘΗΝΑ ΟΚΤΩΒΡΙΟΣ 01 Τηλ:10.93.4.450 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο Συνάρτηση μιας πραγματικής μεταβλητής Ορισμός : Συνάρτηση f μιας πραγματικής
Διαβάστε περισσότεραΜηχανολογικό Σχέδιο με τη Βοήθεια Υπολογιστή. Αφφινικοί Μετασχηματισμοί Αναπαράσταση Γεωμετρικών Μορφών
Μηχανολογικό Σχέδιο με τη Βοήθεια Υπολογιστή Γεωμετρικός Πυρήνας Γεωμετρικός Πυρήνας Αφφινικοί Μετασχηματισμοί Αναπαράσταση Γεωμετρικών Μορφών Γεωμετρικός Πυρήνας Εξομάλυνση Σημεία Καμπύλες Επιφάνειες
Διαβάστε περισσότεραΚΙΝΗΣΗ ΣΤΟ ΧΩΡΟ ΚΑΙ ΕΞΕΛΙΞΗ ΣΤΟ ΧΩΡΟ-ΧΡΟΝΟ
ΜΑΘΗΜΑ : ΚΙΝΗΣΗ ΣΤΟ ΧΩΡΟ ΚΑΙ ΕΞΕΛΙΞΗ ΣΤΟ ΧΩΡΟ-ΧΡΟΝΟ Πρώτα απ όλα θέλουμε να βρούμε και να εξηγήσουμε έναν ορισμό που να ταιριάζει όσο το δυνατό καλύτερα στα φυσικά φαινόμενα Και η πεποίθησή μας θα ενισχυθεί
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις Διανυσματικής Ανάλυσης
Ασκήσεις Διανυσματικής Ανάλυσης ) Το ύψος h σε χιλιόμετρα ενός βουνού δίνεται από την σχέση h 4 == 4. α) Ένας πεζοπόρος βρίσκεται στο σημείο (,,) και κινείται προς την διεύθυνση της μεγίστης κατάβασης.
Διαβάστε περισσότεραΒ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. Ημερομηνία: Πέμπτη 2 Μαΐου 2019 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες
ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Ημερομηνία: Πέμπτη Μαΐου 019 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α Α1. Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη του κύκλου c: x + y = ρ στο σημείο του
Διαβάστε περισσότεραΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ Ερώτηση θεωρίας 1 ΘΕΜΑ Α Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση
Διαβάστε περισσότεραΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «ΠΡΟΟΔΟΣ» ΚΥΡΙΑΚΗ 22 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 2015 ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ» Γ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «ΠΡΟΟΔΟΣ» ΚΥΡΙΑΚΗ ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 5 ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ» Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο A. Να δώσετε τον ορισμό της συνέχειας μιας συνάρτησης στο πεδίο ορισμού της. ( Μονάδες)
Διαβάστε περισσότεραΦΥΣΙΚΗ (ΜΗΧΑΝΙΚΗ-ΚΥΜΑΤΙΚΗ)
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΑΤΤΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ- ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΦΥΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ-ΚΥΜΑΤΙΚΗ ΤΜΗΜΑ Α. ΚΑΘΗΓ. ΖΑΧΑΡΙΑΔΟΥ ΚΑΤΕΡΙΝΑ ΓΡΑΦΕΙΟ ΖΒ114 ΡΑΓΚΟΥΣΗ-ΖΑΧΑΡΙΑΔΟΥ E-mil: zchri@niw.gr Βιβλιογραφία
Διαβάστε περισσότεραα) f(x(t), y(t)) = 0,
Ρητές καμπύλες Μια επίπεδη αλγεβρική καμπύλη V (f) είναι το σύνολο όλων των σημείων του επιπέδου K 2 που μηδενίζουν κάποιο συγκεκριμένο ανάγωγο πολυώνυμο f K[x, y], δηλαδή V (f) = {(x 0, y 0 ) K 2 f(x
Διαβάστε περισσότερα1. Κινηµατική. x dt (1.1) η ταχύτητα είναι. και η επιτάχυνση ax = lim = =. (1.2) Ο δεύτερος νόµος του Νεύτωνα παίρνει τη µορφή: (1.
1. Κινηµατική Βιβλιογραφία C. Kittel W. D. Knight M. A. Rueman A. C. Helmholz και B. J. Moe Μηχανική. Πανεπιστηµιακές Εκδόσεις Ε.Μ.Π. 1998. Κεφ.. {Μαθηµατικό Συµπλήρωµα Μ1 Παράγωγος} {Μαθηµατικό Συµπλήρωµα
Διαβάστε περισσότερα2.1 2.2 ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΕΝΟΤΗΤΕΣ :.... ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟ & ΦΑΝΤΑΣΤΙΚΟ ΜΕΡΟΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Έστω ένας μιγαδικός αριθμός,
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στις Φυσικές Επιστήμες (ΦΥΕ14) Περίοδος ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η. Τότε r r b c. και ( )
Εισαγωγή στις Φυσικές Επιστήμες (ΦΥΕ4) Περίοδος 8-9 ΕΡΓΑΣΙΑ η Θέμα (μονάδες ) i. Δείξτε ότι ( a b) c a ( b c ) + b( a c ). a b c+ c a b+ b c a ii. Δείξτε την ταυτότητα Jacobi : ( ) ( ) ( ) Απάντηση i.
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματική Εισαγωγή Συναρτήσεις
Φυσικός Ραδιοηλεκτρολόγος (MSc) ο Γενικό Λύκειο Καστοριάς Καστοριά, Ιούλιος 14 A. Μαθηματική Εισαγωγή Πράξεις με αριθμούς σε εκθετική μορφή Επίλυση βασικών μορφών εξισώσεων Συναρτήσεις Στοιχεία τριγωνομετρίας
Διαβάστε περισσότερα< F ( σ(h(t))), σ (h(t)) > h (t)dt.
ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΑΠΕΙΡΟΣΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ IV, /6/9 Θέμα 1. Εστω : a 1, β 1 ] R μια C 1 καμπύλη. Μια C 1 καμπύλη ρ : a, β] R λέγεται αναπαραμετρικοποίηση της αν υπάρχει h : a, β] a 1, β 1 ], 1 1 επί και
Διαβάστε περισσότεραdv 2 dx v2 m z Β Ο Γ
Μηχανική Ι Εργασία #2 Χειμερινό εξάμηνο 218-219 Ν Βλαχάκης 1 Στην άσκηση 4 της εργασίας #1 αρχικά για t = είναι φ = και η ταχύτητα του σώματος είναι v με φορά κάθετη στο νήμα ώστε αυτό να τυλίγεται στον
Διαβάστε περισσότεραΓενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B
151 Θέματα εξετάσεων περιόδου Μαΐου - Ιουνίου στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης Τάξη - B Λυκείου 15 Α. Αν α, β, γ ακέραιοι ώστε α/β και α/γ, να δείξετε ότι α/(β + γ). Μονάδες 13 Β. α. Δώστε τον ορισμό της παραβολής.
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος )
ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Ερωτήσεις Θεωρίας Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε
Διαβάστε περισσότεραΠαράγωγος συνάρτησης. Έννοια παραγώγου Υπολογισμός Χρήση παραγώγου. ελαστικότητα Οριακές συναρτήσεις
Παράγωγος συνάρτησης Έννοια παραγώγου Υπολογισμός Χρήση παραγώγου ελαστικότητα Οριακές συναρτήσεις Έννοια Στην οικονομική επιστήμη μας ενδιαφέρει πολλές φορές να προσδιορίσουμε την καλύτερη επιλογή, π.χ
Διαβάστε περισσότεραΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ
6 KΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Η θεωρία μεγίστων και ελαχίστων μιας πραγματικής συνάρτησης με μια μεταβλητή είναι γνωστή Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε τη θεωρία μεγίστων και ελαχίστων
Διαβάστε περισσότεραKεφάλαιο 4. Συστήματα διαφορικών εξισώσεων. F : : F = F r, όπου r xy
4 Εισαγωγή Kεφάλαιο 4 Συστήματα διαφορικών εξισώσεων Εστω διανυσματικό πεδίο F : : F = Fr, όπου r x, και είναι η ταχύτητα στο σημείο πχ ενός ρευστού στο επίπεδο Εστω ότι ψάχνουμε τις τροχιές κίνησης των
Διαβάστε περισσότεραΓενικά Μαθηματικά (Φυλλάδιο 1 ο )
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ Γενικά Μαθηματικά (Φυλλάδιο 1 ο ) Επιμέλεια Φυλλαδίου : Δρ. Σ. Σκλάβος Περιλαμβάνει: ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ
Διαβάστε περισσότερα1.1. Διαφορική Εξίσωση και λύση αυτής
Εισαγωγή στις συνήθεις διαφορικές εξισώσεις 9 Διαφορική Εξίσωση και λύση αυτής Σε ότι ακολουθεί με τον όρο συνάρτηση θα εννοούμε μια πραγματική συνάρτηση μιας πραγματικής μεταβλητής, ορισμένη σε ένα διάστημα
Διαβάστε περισσότερα