VERIFYING THE LOCATION OF THE OPTIMUM TORSION AXIS OF MULTI-STORY BUILDINGS USING DYNAMIC ANALYSIS

13 th World Conference on Earthquake Engineering Vancouver, B.C., Canada August 1-6, 004 Paper No. 833 VERIFYING THE LOCATION OF THE OPTIMUM TORSION AXIS OF MULTI-STORY BUILDINGS USING DYNAMIC ANALYSIS T. MAKARIOS 1, C. XENIDIS, C. KARAKOSTAS 1, V. LEKIDIS 1 SUMMARY Η εύρεση του άξονα βέλτιστης στρέψης, των κύριων διευθύνσεων και των ακτίνων δυστρεψίας των πολυώροφων κτιρίων είναι καθοριστικής σηµασίας για την εφαρµογή των απλοποιηµένων µεθόδων αντισεισµικού υπολογισµού. Οι παραπάνω έννοιες ορίσθηκαν σε προηγούµενα άρθρα (Makarios and Anastassiadis, 1998a,b). Στην παρούσα εργασία γίνεται η αριθµητική επαλήθευση των παραπάνω εννοιών χρησιµοποιώντας κατά σειρά την στατική µέθοδο, την ιδιοµορφική ανάλυση, την δυναµική φασµατική µέθοδο και τέλος την δυναµική γραµµική χρονολογική ανάλυση µε επιταχυνσιογραφήµατα διαφορετικού συχνοτικού περιεχοµένου. INTRODUCTION Η στατική εκκεντρότητα, οι κύριοι άξονες ελαστικότητας Ι και ΙΙ και οι ακτίνες δυστρεψίας ρi, ρii ενός συστήµατος ορίζονται στα µονώροφα και σε ειδικές κατηγορίες πολυωρόφων όπως ισότροπα, ορθο-ισότροπα, διατµητικά και συστήµατα αποτελούµενα από την σύνθεση οµοαξονικών ισότροπων υποσυστηµάτων (Riddell and Vasquez, 1984; Anastassiadis, 1985; Makarios and Anastassiadis, 1998a,b). Οι παραπάνω έννοιες αποτελούν χαρακτηριστικά γνωρίσµατα της κατασκευής που εξαρτώνται αποκλειστικά από τα ελαστικά και γεωµετρικά χαρακτηριστικά του συστήµατος. Η στατική εκκεντρότητα, οι κύριοι άξονες ελαστικότητας Ι και ΙΙ και οι ακτίνες δυστρεψίας ενός συστήµατος παίζουν κυρίαρχο ρόλο για την τεκµηριωµένη εφαρµογή της απλοποιηµένης µεθόδου αντισεισµικού υπολογισµού που προτείνεται από τους σύγχρονους αντισεισµικούς κανονισµούς (Ελληνικός Αντισεισµικός Κανονισµός (ΕΑΚ-003), Eurocode No8, NBCC-95). Επίσης η δυναµική συµπεριφορά των χωρικών συστηµάτων εξαρτάται από τα παραπάνω χαρακτηριστικά. Πράγµατι, τα κτίρια που έχουν µηδενική στατική εκκεντρότητα (σύµπτωση του κέντρου µάζας CM µε το ελαστικό κέντρο CR) παρουσιάζουν κατά τις κύριες διευθύνσεις Ι και ΙΙ του συστήµατος πλήρη αποσύζευξη των µεταφορικών ταλαντώσεων από τις στρεπτικές ταλαντώσεις των διαφραγµάτων, ενώ κτίρια µε µικρή ακτίνα 1 Researcher of Institute of Engineering Seismology and Earthquake Engineering, Greece, e-mails: makarios@itsak.gr, christos@itsak.gr, lekidis@itsak.gr Assistant Professor, Department of Civil Engineering, Aristotle University of Thessaloniki, Greece, e- mail: xharis@civil.auth.gr

δυστρεψίας και µικρή στατική εκκεντρότητα παρουσιάζουν ισχυρή κυριαρχία των στρεπτικών ταλαντώσεων των ορόφων έναντι των µεταφορικών (Anastassiadis et.al., 1998). Οι ερευνητικές προσπάθειες για την επέκταση των παραπάνω εννοιών στα πολυώροφα συστήµατα κατέληξαν στα εξής: α. Αποδείχθηκε ότι τα πολυώροφα συστήµατα δεν διαθέτουν γενικά (εκτός των ειδικών περιπτώσεων που αναφέρθηκαν) κατακόρυφο ελαστικό άξονα ή κύρια κατακόρυφα επίπεδα κάµψης και κατά συνέπεια δεν είναι δυνατό να ορισθεί η ακτίνα δυστρεψίας τους. Ο ορισµός των κέντρων δυσκαµψίας, διάτµησης και στρέψης των ορόφων αποδείχθηκε ότι εξαρτάται από την εξωτερική στατική φόρτιση (Cheung and Tso,1986; Hejal and Chopra, 1987). β. Σε κάθε πολυώροφο ασύµµετρο σύστηµα, το οποίο διαθέτει την απαιτούµενη από τους κανονισµούς κανονικότητα καθύψος, ορίζεται ο άξονας βέλτιστης στρέψης, δηλαδή ένας κατακόρυφος άξονας που όταν τοποθετηθεί σ αυτόν το κατακόρυφο φορτιστικό επίπεδο των οριζόντιων στατικών σεισµικών δυνάµεων τότε η στρέψη σε ολόκληρο το σύστηµα ελαχιστοποιείται (Makarios and Anastassiadis, 1998a, b). Στην περίπτωση αυτή, οι στροφές των ορόφων γίνονται αµελητέες και κατά συνέπεια, µέσα στο πλαίσιο των συνήθων προσεγγίσεων που δέχονται οι απλοποιηµένες µέθοδοι αντισεισµικού υπολογισµού, µπορεί να θεωρηθεί ότι το σύστηµα υφίσταται µεταφορά χωρίς στροφή. Επίσης, είναι δυνατό να ευρεθούν δύο οριζόντιες διευθύνσεις του κτιρίου, κάθετες µεταξύ τους, οι οποίες προσεγγίζουν στον µέγιστο δυνατό βαθµό τις ιδιότητες των κύριων αξόνων Ι και ΙΙ. Συνεπώς, στα µικτά πολυώροφα ασύµµετρα συστήµατα ο άξονας βέλτιστης στρέψης µπορεί να θεωρηθεί ότι παίζει τον ρόλο του ελαστικού άξονα κατά την τεκµηριωµένη εφαρµογή της απλοποιηµένης φασµατικής µεθόδου αντισεισµικού σχεδιασµού. METHODOLOGY Για τις ανάγκες της παρούσας εργασίας και από το πλήθος των διερευνηθεισών περιπτώσεων, επιλέχτηκε για παρουσίαση το δεκαώροφο µικτό µονοσυµµετρικό σύστηµα του σχήµατος 1. Στη συνέχεια υπολογίζονται η θέση στην κάτοψη του κατακόρυφου άξονα βέλτιστης στρέψης P o, III, οι κύριες διευθύνσεις καθώς και οι ακτίνες δυστρεψίας του συστήµατος. Ακολουθεί η αριθµητική επαλήθευση της κατάστασης της βέλτιστης στρέψης χρησιµοποιώντας τέσσερις διαφορετικές µεθοδολογίες. Στην πρώτη µεθοδολογία χρησιµοποιείται η στατική ανάλυση και επαληθεύεται παραµετρικά ότι η στρέψη του συστήµατος ελαχιστοποιείται µε την τοποθέτηση της στατικής φόρτισης των οριζόντιων στατικών δυνάµεων των ορόφων επάνω στον άξονα βέλτιστης στρέψης P o, III. Στη δεύτερη µεθοδολογία διενεργείται ιδιοµορφική ανάλυση του συστήµατος και υπολογίζονται τα σηµεία εφαρµογής των σεισµικών αδρανειακών δυνάµεων των ορόφων κατά την θεµελιώδη συζευγµένη ιδιοµορφή του συστήµατος. Τα σηµεία εφαρµογής των οριζόντιων αδρανειακών σεισµικών δυνάµεων δικαιολογούν την θέση της σεισµικής φόρτισης µε χρήση των ισοδύναµων στατικών εκκεντροτήτων (δυναµικές εκκεντρότητες) η οποία καθορίζεται από τις απλοποιηµένες µεθόδους αντισεισµικού υπολογισµού (NBCC-95, EAK-003, Anastassiadis et.al., 1998). Επίσης, επαληθεύεται αριθµητικά ότι όταν τα κέντρα µάζας CM όλων των ορόφων συµπίπτουν µε τον σηµείο P o της κάτοψης, από το οποίο διέρχεται ο κατακόρυφος άξονας βέλτιστης στρέψης, τότε εµφανίζεται πολύ ασθενής σύζευξη των στρεπτικών ταλαντώσεων των ορόφων µε τις µεταφορικές ταλαντώσεις, δηλαδή το σύστηµα ταλαντώνεται κυρίως µεταφορικά. Στην τρίτη µεθοδολογία, χρησιµοποιείται η δυναµική φασµατική µέθοδος µε επίπεδο φάσµα σχεδιασµού επιταχύνσεων του ΕΑΚ-003. Τα προκύπτοντα διαγράµµατα των µέγιστων (µη ταυτόχρονων) δυναµικών µετατοπίσεων των ορόφων δικαιολογούν πλήρως την θέση του άξονα βέλτιστης στρέψης P o, III.

Τέλος, στην τέταρτη µεθοδολογία, διενεργείται ο δυναµική γραµµική χρονολογική ανάλυση µε τρία επιταχυνσιογραφήµατα διαφορετικού συχνοτικού περιεχοµένου. Λαµβάνονται τα µέγιστα αποτελέσµατα των αναλύσεων από τις επιλύσεις αυτές σύµφωνα µε την παραγρ. 1631.6.1 του UBC-1997. Τα προκύπτοντα διαγράµµατα των µέγιστων (µη ταυτόχρονων) δυναµικών χρονολογικών µετατοπίσεων των ορόφων δικαιολογούν επίσης την θέση του άξονα βέλτιστης στρέψης P o, III. ANALYSIS General Το δεκαώροφο µονοσυµµετρικό σύστηµα του σχήµατος 1 έχει τα κάτωθι γεωµετρικά και ελαστικά χαρακτηριστικά (µονάδες S.I.): Σχήµα 1: Κάτοψη δεκαώροφου συστήµατος. Ύψος κτιρίου Η=10 x 3.00m=30.0m, υποστυλώµατα σταθερής διατοµής σε όλους τους ορόφους: (0.50m)x(0.50m), τοιχώµατα σταθερής διατοµής σε όλους τους ορόφους (0.5m)x(4.50m), ροπή αδράνειας δοκών I = 0.006m 4, µέτρο ελαστικότητας E=9 Gpa, σεισµική επιτάχυνση σχεδιασµού b R (T) = 0.171 g για κάθε ιδιοπερίοδο T (επίπεδο φάσµα σχεδιασµού), µάζα ορόφου M=375.0 t (SI) d και µαζική ροπή αδράνειας J m γύρω από κατακόρυφο άξονα που διέρχεται από το κέντρο µάζας CM J m = 356.5 t m. Το κέντρο µάζας CM των ορόφων δεν συµπίπτει µε το γεωµετρικό κέντρο του διαφράγµατος αλλά έχει συντεταγµένες (8.50, 0.00) στο σύστηµα Oxyz (σχ.1). Το µικτό µονοσυµµετρικό δεκαώροφο σύστηµα του σχήµατος 1 θεωρείται ότι προέρχεται από την επαλληλία δύο χωρικών υποσυστηµάτων, του καµπτικού και του διατµητικού, που συνεργάζονται µεταξύ τους µέσω της διαφραγµατικής λειτουργίας των ορόφων του. Θεωρώντας ότι τα υποσυστήµατα αυτά διατηρούν αµετάβλητα καθύψος τα ελαστικά και γεωµετρικά τους χαρακτηριστικά, τότε µπορούµε πάντοτε να ορίσουµε σ αυτά τα αντίστοιχα ελαστικά τους κέντρα CR και CS. 3

Ο άξονας βέλτιστης στρέψης, υπολογίζεται από τη στατική ανάλυση του συστήµατος. Θεωρούµε ότι όλες οι οριζόντιες εξωτερικές στατικές δυνάµεις βρίσκονται στο ίδιο κατακόρυφο φορτιστικό επίπεδο και ακολουθούν τριγωνική κατανοµή κατά την έννοια του ύψους. Από παλαιότερες διερευνήσεις έχει διαπιστωθεί ότι η καθύψος κατανοµή των οριζόντιων στατικών δυνάµεων (τριγωνική ή οµοιόµορφη ή κατά την θεµελιώδη ιδιοµορφή), ελάχιστα επηρεάζει την θέση στην κάτοψη του άξονα βέλτιστης στρέψης P o, III (Makarios and Anastassiadis, 1998a, b). Τοποθετώντας το υπόψη φορτιστικό επίπεδο του διανύσµατος F των δυνάµεων F i µέσα στο διάστηµα ( CR)( CS) = D, κάθετα στον άξονα συµµετρίας x του συστήµατος, προκύπτει ότι οι στροφές των ορόφων του καµπτικού υποσυστήµατος γύρω από το CR έχουν αντίθετη φορά από τις στροφές των ορόφων του διατµητικού υποσυστήµατος γύρω από το CS (σχ.). Έτσι υπάρχει στον µέγιστο δυνατό βαθµό ανταγωνιστική λειτουργία των δύο υποσυστηµάτων κατά τη στρέψη του συστήµατος. Η ανταγωνιστική αυτή λειτουργία συνίσταται αφενός στον διαφορετικό τύπο στρέψης (καµπτικό έναντι διατµητικού) των δύο υποσυστηµάτων και αφετέρου στις στροφές αντιθέτου φοράς του ενός έναντι του άλλου. Στην περίπτωση αυτή έχει αποδειχθεί ότι είναι πάντοτε δυνατός ο µηδενισµός της στροφής περί κατακόρυφο άξονα σε µία στάθµη και κατά συνέπεια οι στάθµες που ευρίσκονται υψηλότερα από την στάθµη µηδενισµού της στροφής στρέφονται αντίθετα από τις υπόλοιπες στάθµες του συστήµατος (Makarios and Anastassiadis, 1998a). Για την ελαχιστοποίηση της στρέψης του συστήµατος, δηλαδή την εµφάνιση της κατάστασης βέλτιστης στρέψης, έχει προταθεί ως καταλληλότερο κριτήριο η ελαχιστοποίηση του µεγέθους θ (Makarios and Anastassiadis, 1998): θ = θ + θ +... + θ N N (1) ( 1 ) όπου (θi = η στροφή της στάθµης i, Ν=αριθµός των ορόφων). Η σχέση (1) ικανοποιείται προσεγγιστικά όταν ο µηδενισµός της στροφής γίνεται στη στάθµη z o =080. Hτου συστήµατος. Η θέση του άξονα βέλτιστης στρέψης βρίσκεται πάντοτε µέσα στο διάστηµα D. Όσο µικρότερο είναι το διάστηµα D τόσο η κατάσταση της βέλτιστης στρέψης πλησιάζει προς την κατάσταση της µηδενικής στρέψης, η οποία και εµφανίζεται στην οριακή περίπτωση που το CR συµπίπτει µε το CS. Σχήµα : Η ανταγωνιστική στρέψη των δύο υποσυστηµάτων. Ο άξονας βέλτιστης στρέψης ικανοποιεί τις κάτωθι οριακές συνθήκες: α. Η θέση του στην κάτοψη ολοένα και πλησιάζει προς το ελαστικό κέντρο CR του αντίστοιχου ως προς την κάτοψη µονώροφου συστήµατος (δηλ. όταν από το κανονικό καθύψος µικτό πολυώροφο σύστηµα µειώνεται προοδευτικά ο αριθµός των τυπικών ορόφων) και συµπίπτει µε το CR στην οριακή περίπτωση που το πολυώροφο µεταπίπτει σε µονώροφο. β. Η θέση του στην κάτοψη ολοένα και πλησιάζει προς το ελαστικό κέντρο CR του αντίστοιχου καµπτικού υποσυστήµατος µε την αύξηση των τοιχωµάτων στο µικτό πολυώροφο σύστηµα και συµπίπτει µε το CR όταν το σύστηµα µετατραπεί σε αµιγές καµπτικό (ισότροπο). γ. Η θέση του στην κάτοψη ολοένα και πλησιάζει προς το ελαστικό κέντρο CS του αντίστοιχου διατµητικού υποσυστήµατος µε την διαδοχική αφαίρεση των τοιχωµάτων από το µικτό πολυώροφο σύστηµα και συµπίπτει µε το CS όταν το κτίριο µετατραπεί σε αµιγές διατµητικό (ισότροπο). 4

δ. Με την αύξηση του αριθµού των ορόφων η θέση του άξονα βέλτιστης στρέψης πλησιάζει προς το ελαστικό κέντρο CS του διατµητικού υποσυστήµατος διότι υπερισχύει ολοένα και περισσότερο το διατµητικό υποσύστηµα έναντι του καµπτικού. Εύρεση του άξονα βέλτιστης στρέψης. Στην αρχή του υπολογισµού οι κύριες διευθύνσεις του κτιρίου και οι αντίστοιχες τέµνουσες βάσης είναι άγνωστες. Για τον λόγο αυτόν εκλέγουµε τυχαίο δεξιόστροφο σύστηµα αναφοράς Oxyz και θέτουµε προσωρινά ως τέµνουσα βάσης µία αυθαίρετη τιµή π.χ. V o =10000. kn την οποία κατανέµουµε τριγωνικά καθύψος υπολογίζοντας τις δυνάµεις F i των ορόφων. Στη συνέχεια δηµιουργείται το διάνυσµα Μ των οµόσηµων στρεπτικών ροπών που προκύπτουν ως ζεύγη των παραπάνω δυνάµεων F i µε µοναδιαίο µοχλοβραχίονα ( Mi = 1 Fi): M10 = 1 F10 = 181818. kn m M5 = 1 F5 = 909. 09 kn m M9 = 1 F9 = 1636. 36 kn m M4 = 1 F4 = 77. 7 kn m M8 = 1 F8 = 1454. 55 kn m M3 = 1 F3 = 54545. kn m M7 = 1 F7 = 17. 73 kn m M = 1 F = 363. 64 kn m M6 = 1 F6 = 109091. kn m M1= 1 F1= 1818. kn m Σχήµα 3: Πόλοι συστροφής των ορόφων για το διάνυσµα φόρτισης Μ. Από την φόρτιση του χωρικού συστήµατος µε το διάνυσµα Μ προκύπτουν οι µετακινήσεις του σηµείου Ο(0.0, 0.0, 4.0), δηλ. στον 8 ο όροφο ( zo =080. H): u x8 0.0 m u y8-0.0136415 m 0.0009756 rad θ z8 5

Ο κατακόρυφος άξονας βέλτιστης στρέψης του κτιρίου διέρχεται από τον πόλο συστροφής µε συντεταγµένες P o(x P,Y P) της στάθµης zo =080. H: uy8 0.0136415 u X x8 p = = =+ 13.9867733m, Yp =+ =+ 0.0 m () θz8 0.0009756 θz8 Στο σχήµα 3 φαίνονται οι πόλοι συστροφής των ορόφων για την φόρτιση του συστήµατος µε το διάνυσµα Μ. Παρατηρούµε ότι οι πόλοι δεν βρίσκονται σε µία κατακόρυφη ευθεία, επειδή το σύστηµα δεν διαθέτει πραγµατικό ελαστικό άξονα, βρίσκονται όµως πάντοτε µέσα στο διάστηµα D. Αν το σύστηµα διαθέτει πραγµατικό ελαστικό άξονα τότε οι υπόψη πόλοι συστροφής θα βρίσκονται επάνω στον ίδιο άξονα. Φόρτιση κατά την διεύθυνση x-x. Οι δυνάµεις F i τοποθετούνται πάνω στον κατακόρυφο άξονα που διέρχεται από το Po( XP, YP) µε κατεύθυνση x-x. Οι µετατοπίσεις του σηµείου P o της στάθµης z o =080H. λόγω της φόρτισης αυτής είναι: u = 0.100371 m, u = 0.0 m xx Φόρτιση κατά την διεύθυνση y-y. Οι δυνάµεις F i τοποθετούνται πάνω στον κατακόρυφο άξονα που διέρχεται από το Po( XP, YP) µε κατεύθυνση y-y. Οι µετατοπίσεις του σηµείου P o της στάθµης z o =080H. λόγω της φόρτισης αυτής είναι: yy yx u = 0.1166308 m, u = 0.0 m Κύριες διευθύνσεις του κτιρίου. Η γωνία α που σχηµατίζει ο κύριος άξονας Ι µε τον άξονα x-x του γενικού συστήµατος Oxyz δίδεται από τη σχέση: uxy εϕα = = 0 α=0 o (3) u u xx yy ηλαδή, ο κύριος άξονας Ι συµπίπτει µε τον άξονα x και αυτό είναι αναµενόµενο αφού ο άξονας x-x είναι άξονας συµµετρίας του συστήµατος. Η στατική εκκεντρότητα του κτιρίου κατά την κύρια διεύθυνση Ι προκύπτει γεωµετρικά ίση µε e = x P xm = 13.98 8.50 = 5.48 m Ακτίνες δυστρεψίας ρ ρ. I, II (σχ.1). Οι δύο ακτίνες δυστρεψίας του δεκαώροφου συστήµατος υπολογίζονται κατά τις κύριες διευθύνσεις Ι και ΙΙ. Από την φόρτιση µε τις δυνάµεις F i κατά την διεύθυνση Ι, η στάθµη z o =080. H υφίσταται απλή µεταφορά ίση µε u I ( ξ= 0.8) = 0.100371 m κατά την διεύθυνση Ι. Από την φόρτιση µε τις δυνάµεις F i κατά την διεύθυνση ΙΙ, η στάθµη z o =080. H υφίσταται απλή µεταφορά ίση µε u II ( ξ= 0.8) = 0.1166308 m κατά την διεύθυνση ΙΙ. Επίσης από την αρχική φόρτιση του συστήµατος µε το διάνυσµα Μ, η στάθµη zo =080. H περιστρέφεται κατά θz ( ξ= 0.8) = 0.0009756 rad. Εποµένως, οι δύο ακτίνες δυστρεψίας ρ, ρ του κτιρίου κατά τις κύριες διευθύνσεις Ι και ΙΙ είναι: I II xy ρ I = u II ( ξ = 08. ) θz( ξ = 08. ) 01166308. = = 10. 93 m (4α) 0. 0009756 ρ II = u I ( ξ = 08. ) θz( ξ = 08. ) 0100371. = = 1014. m (4b) 0. 0009756 6

Για την διερεύνηση της στρεπτικής ευαισθησίας του κτιρίου εκφράζουµε τις ακτίνες δυστρεψίας στο κέντρο µάζας CM του κτιρίου και τις συγκρίνουµε µε την ακτίνα αδράνειας r του διαφράγµατος (Anastassiadis et. al., 1998): ρi, m= ρ I + e x = 10. 93 + 5. 48 = 1. 3> r = 9. 3 (5a) ρii, m= ρ II + e y = 1014. + 0. = 1014. > r = 9. 3 (5b) όπου r = Jm m = 356. 5 375 = 9. 3 m. Επειδή οι δύο ακτίνες δυστρεψίας εκφρασµένες ως προς το κέντρο µάζας είναι µεγαλύτερες από την ακτίνα αδρανείας του διαφράγµατος, προκύπτει ότι το κτίριο είναι δύστρεπτο. Ασύζευκτες ιδιοπερίοδοι. Γενικά, για τον υπολογισµό της τέµνουσας βάσης για κάθε κύρια διεύθυνση απαιτείται η εύρεση των αντίστοιχων ασύζευκτων θεµελιωδών ιδιοπεριόδων T I, T II του συστήµατος. Για το λόγο αυτό παγιώνονται όλες οι ελευθερίες κίνησης των ορόφων πλην της µεταφορικής κατά την εξεταζόµενη διεύθυνση. Έτσι προκύπτουν αντίστοιχα ότι T I =099. 8sec και T II =1010. sec. Στο υπόψη παράδειγµα λαµβάνουµε φασµατική σεισµική επιτάχυνση σχεδιασµού R d ( T) = 0171. g φάσµα) και κατά συνέπεια οι τέµνουσες βάσεις κατά τις κύριες διευθύνσεις είναι: Vo, I = mολ R d ( TI ) = ( 10 375 )( 01719.. 81 ) = 690. 66 kn για κάθε ιδιοπερίοδο (επίπεδο Vo II = mολ R d TII = ( 10 375 )( 01719.. 81 ) = 690. 66 kn (6b) Κατανέµοντας τις τέµνουσες βάσης τριγωνικά (εξ.7) προκύπτουν οι συνιστώσες F i του διανύσµατος F των στατικών σεισµικών δυνάµεων, που είναι ίδιες και για τις δύο κύριες διευθύνσεις. z F = V i i o i= N z i 1 όπου z είναι η απόσταση του ορόφου i από το έδαφος, δηλ.: i F10 = 1143. 76 kn m F9 = 109. 38 kn m F8 = 915. 01 kn m F7 = 800. 63 kn m F6 = 686. 5 kn m F5 = 57188. kn m F4 = 457. 50 kn m F3 = 3431. kn m F = 8. 75 kn m F1 = 114. 38 kn m (6a) (7) Επαλήθευση της βέλτιστης στρέψης. Όταν οι οριζόντιες στατικές σεισµικές δυνάµεις οι οποίες βρίσκονται στο ίδιο κατακόρυφο φορτιστικό επίπεδο διέρχονται από το P o, τότε πραγµατοποιείται η κατάσταση της βέλτιστης στρέψης του Ν-ώροφου κτιρίου διότι ελαχιστοποιείται το µέγεθος θ σύµφωνα µε την εξ. 1. Για διάφορες θέσεις των φορτιστικών επιπέδων του διανύσµατος F κάθετα στον άξονα x, οι στροφές µεγαλώνουν υπερβολικά, µε συνέπεια την αύξηση του µεγέθους µεταβολή του µεγέθους θ x για το συγκεκριµένο κτίριο. θ i των ορόφων θ x (εξ.1). Στο σχήµα 4 φαίνεται η 7

Σχήµα 4: Κατανοµή του µεγέθους θ x. H ελαχιστοποίηση του µεγέθους θ x συµβαίνει πράγµατι στην εγγύτερη περιοχή του φορτιστικό επίπεδο του διανύσµατος F τοποθετηθεί στο κέντρο µάζας CM τότε το µέγεθος πλασιάζεται διότι ισχύει (σχ.4): x log θ = 1.51 θ x = 33. (min θ ) min θ P o. Έτσι όταν το θ x 33- Η µέγιστη απόκλιση του µεγέθους θ x εµφανίζεται µε την τοποθέτηση του φορτιστικού επιπέδου του διανύσµατος F στην περίµετρο της εύκαµπτης πλευράς του κτιρίου όπου και λαµβάνει τιµή 10 περίπου φορές µεγαλύτερη από την ελάχιστη, διότι ισχύει (σχ.4): x log θ =.3 θ x = 09.89 (min θ ) min θ Βέλτιστη µεταφορική ταλάντωση. Η ασθενέστερη σύζευξη των µεταφορικών ταλαντώσεων µε τις στρεπτικές ταλαντώσεις των ορόφων πραγµατοποιείται όταν ελαχιστοποιείται το µέγεθος ϕ z, x : ϕ z1 +ϕ z +... +ϕ zn ϕ z, x = (8) N 8

όπου ϕ zi είναι η στρεπτική συνιστώσα της θεµελιώδους ιδιοµορφής του ορόφου (i) και Ν ο αριθµός των ορόφων του κτιρίου. Στο σχήµα 5 φαίνεται η µεταβολή του µεγέθους ϕ z, x για διάφορες θέσεις x του κατακόρυφου µαζικού άξονα. Το µέγεθος ϕ z, x γίνεται ελάχιστο όταν ο κατακόρυφος µαζικός άξονας του κτιρίου συµπίπτει µε τον άξονα βέλτιστης στρέψης P o, III. Στην περίπτωση αυτή εµφανίζεται η κατάσταση της βέλτιστης µεταφορικής ταλάντωσης και τα αποτελέσµατα βρίσκονται σε πλήρη αναλογία µε τα ισχύοντα στο µονώροφο (όταν το ελαστικό κέντρο CR συµπίπτει µε το κέντρο µάζας CM τότε έχουµε αποσύζευξη των µεταφορικών ταλαντώσεων από τις στρεπτικές). Η εµφάνιση της βέλτιστης µεταφορικής ταλάντωσης στην περίπτωση αυτή δικαιολογεί πλήρως τον ορισµό της στατικής εκκεντρότητας στα πολυώροφα συστήµατα που ορίζεται ως η οριζόντια απόσταση του µαζικού άξονα από τον άξονα βέλτιστης στρέψης. Σχήµα 5: Μεταβολή του µεγέθους ϕ z, x. Θέσεις εφαρµογής των ιδιοµορφικών σεισµικών δυνάµεων. Οι ιδιοµορφικές σεισµικές δυνάµεις για κάθε ιδιοµορφή (i) δίδονται από την σχέση: FxN m ϕxn F yn m ϕyn M zn Jm ϕ zn Pi =νi ( Mφ ) Sai = =νi S ai, i=1,,..3n (9)...... F y1 m ϕ y1 M z1 J m ϕz1 M Κατά συνέπεια ο λόγος zk ϕ e zk ik = = r δίδει την θέση των ιδιοµορφικών δυνάµεων στον k όροφο Fyk ϕyk του συστήµατος, (1,,...k,...N). 9

a. b. Σχήµα 6a: Θέσεις των ιδιοµορφικών σεισµικών δυνάµεων κατά την θεµελιώδη (1 η ) συζευγµένη ιδιοµορφή. 6b: Θέση των στατικών σεισµικών δυνάµεων κατά NBCC-95, EAK-003. Στο σχήµα 6 φαίνονται οι θέσεις των ιδιοµορφικών σεισµικών δυνάµεων της θεµελιώδους (1 ης ) συζευγµένης ιδιοµορφής οι οποίες βρίσκονται αριστερά του κέντρου µάζας CM και προσεγγιστικά επάνω σε µία κατακόρυφη ευθεία (σχ.6a). Το γεγονός αυτό δικαιολογεί την τοποθέτηση των σεισµικών στατικών δυνάµεων σε απόσταση e f = 1.50 e από το ελαστικό κέντρο (σχ.6b) σύµφωνα µε την απλοποιηµένη φασµατική µέθοδο (NBCC-95, EAK-003, Anastassiadis et.al., 1998). Προκύπτει επίσης ότι για όλους τους ορόφους, η εύκαµπτη πλευρά του κτιρίου είναι η αριστερή παρά το γεγονός ότι στην πλευρά αυτή βρίσκονται συγκεντρωµένα όλα τα τοιχώµατα. Το γεγονός αυτό οφείλεται στη σχετική δυσκαµψία του καµπτικού από το διατµητικό υποσύστηµα του κτιρίου. υναµική φασµατική µέθοδος. Στο κτίριο του σχήµατος 1 διενεργήθηκε δυναµική φασµατική ανάλυση για µεταφορική διέγερση της βάσης κάθετα στον άξονα συµµετρίας του συστήµατος και υπολογίσθηκαν οι πιθανές µέγιστες ελαστικές µετατοπίσεις των ορόφων (CQC), χρησιµοποιώντας επίπεδο φάσµα σχεδιασµού επιταχύνσεων που προέρχεται από τον ΕΑΚ-003. Στο σχήµα 7 δίδονται τα διαγράµµατα των µετατοπίσεων u y σε κάθε σηµείο της κάτοψης για δύο διαφορετικές θέσεις των κέντρων µάζας CM των ορόφων. 1 η περίπτωση: Τα κέντρα µάζας CM των ορόφων βρίσκονται στη θέση (8.50, 0.0) (διαγραµµισµένη περιοχή στο σχήµα 7). Η µεταφορική µάζα των ορόφων είναι M = 375.0 t (SI) ενώ η µαζική ροπή αδράνειας γύρω από κατακόρυφο άξονα που διέρχεται από το κέντρο µάζας CM είναι J = 356.5 t m. Παρατηρούµε ότι η αριστερή πλευρά όλων των ορόφων παρουσιάζει µεγαλύτερη m 10

µετατόπιση από την δεξιά και γι αυτό χαρακτηρίζεται ως εύκαµπτη ενώ η δεξιά ως δύσκαµπτη. Το συµπέρασµα αυτό είναι απόλυτα συµβατό µε την θέση του άξονα βέλτιστης στρέψης. Σχήµα 7: ιαγράµµατα µέγιστων πιθανών µετατοπίσεων ορόφων (σε m) από δυναµική φασµατική ανάλυση. η περίπτωση: Τα κέντρα µάζας CM των ορόφων συµπίπτουν µε τον άξονα βέλτιστης στρέψης στο σηµείο P o (τιµές εντός παρένθεσης στο σχήµα 7). Η µεταφορική µάζα των ορόφων είναι M = 375.0 t ενώ τώρα η µαζική ροπή αδράνειας γύρω από κατακόρυφο άξονα που διέρχεται από το κέντρο µάζας CM είναι Jm = 7386.88 t m. Παρατηρούµε ότι στην περίπτωση αυτή υπάρχει κυρίως µεταφορική ταλάντωση χωρίς σηµαντικές στροφές στους ορόφους. Το συµπέρασµα αυτό αποδεικνύει την αντιστοιχία της θέσης P o του άξονα βέλτιστης στρέψης µε το ελαστικό κέντρο CR του µονώροφου κτιρίου και άρα συµπεραίνουµε ότι ο άξονας βέλτιστης στρέψης δύναται να χρησιµοποιηθεί για τον ορισµό της στατικής εκκεντρότητας στα πολυώροφα κτίρια παίζοντας τον ρόλο του πραγµατικού ελαστικού άξονα κατά την εφαρµογή της απλοποιηµένης φασµατικής µεθόδου αντισεισµικού σχεδιασµού. υναµική γραµµική χρονολογική ανάλυση. Για τις ανάγκες του παρόντος άρθρου διενεργήθηκε επίσης δυναµική γραµµική χρονολογική ανάλυση χρησιµοποιώντας τρία διαφορετικά επιταχυνσιογραφήµατα, διαφορετικού συχνοτικού περιεχοµένου, που φαίνονται στον πίνακα 1. Τα αποτελέσµατα των µετακινήσεων που παρουσιάζονται στο σχ.8 αποτελούν τις µέγιστες εµφανιζόµενες τιµές από τους τρεις χρονολογικούς γραµµικούς δυναµικούς υπολογισµούς σύµφωνα µε την παραγρ. 1631.6.1 του UBC-1997. Και τα τρία επιταχυνσιογραφήµατα προσανατολίσθηκαν κατά την y-οριζόντια διεύθυνση και διενεργήθηκαν οι χρονολογικές επιλύσεις, ενώ για λόγους σύγκρισης δεν χρησιµοποιήθηκε δεύτερη σεισµική συνιστώσα ταυτόχρονα προς την άλλη διεύθυνση του κτιρίου. Οι έτσι προκύπτουσες µετακινήσεις των ορόφων από κάθε χρονολογική επίλυση κανονικοποιήθηκαν ως προς την µέγιστη µετακίνηση του άξονα βέλτιστης στρέψης P o στην κορυφή του κτιρίου. Στο σχήµα 8 παρουσιάζονται για τις δύο διαφορετικές περιπτώσεις της θέσης του κατακόρυφου µαζικού άξονα (όπως είδαµε ήδη στην προηγούµενη παράγραφο της «δυναµικής φασµατικής ανάλυσης») οι µέγιστες οριζόντιες κανονικοποιηµένες µετατοπίσεις των ορόφων. Μέσα σε παρένθεση φαίνονται οι 11

κανονικοποιηµένες µέγιστες µετακινήσεις των ορόφων στην περίπτωση που ο κατακόρυφος µαζικός άξονας συµπίπτει µε τον άξονα βέλτιστης στρέψης, ενώ µε διαγράµµιση, τιµές χωρίς παρένθεση, φαίνονται οι αντίστοιχες κανονικοποιηµένες µέγιστες µετακινήσεις στην περίπτωση που ο κατακόρυφος µαζικός άξονας βρίσκεται στην θέση (8.50, 0.00). Πίνακας 1: Επιταχυνσιογραφήµατα. Σεισµός, Τοποθεσία, Χρονολογία, Μέγεθος. 1 Λευκάδα, Ελλάδα, 14.08.003, M=6.4 Kobe, Japan, 16.01.1995, M=6.9 3 Northridge, USA, 17.01.1994, M=6.7 Σταθµός καταγραφής κύριου σεισµού Μέγιστη επιτάχυνση εδάφους Νοσοκοµείο max PGA=0.416g Ν335Ε Λευκάδας OKJMA max PGA=0.81g h0 478 Castaic-Old Ridge Route max PGA=0.514g Προσανατολισµός οριζόντιας σεισµικής συνιστώσας h360 Σχήµα 8: ιαγράµµατα (σε m) µέγιστων µετατοπίσεων ορόφων από δυναµική γραµµική χρονολογική ανάλυση µε τρία διαφορετικά επιταχυνσιογραφήµατα. (α) Στην πρώτη περίπτωση, ο µαζικός άξονας βρίσκεται τοποθετηµένος στην θέση (8.50, 0.00), (περιβάλλουσα µετατοπίσεων µε διαγράµµιση του σχ.8 και τιµές χωρίς παρένθεση). Παρατηρούµε ότι η αριστερή πλευρά των ορόφων που βρίσκονται πάνω από τη στάθµη (β) z o = 0.8 H παρουσιάζει µεγαλύτερη µετατόπιση από την δεξιά πλευρά. Στην δεύτερη περίπτωση, ο κατακόρυφος µαζικός άξονας συµπίπτει µε τον άξονα βέλτιστης στρέψης P o, III (τιµές σε παρένθεση του σχ.8). Από την εικόνα των µετατοπίσεων παρατηρούµε 1

ότι στην περίπτωση αυτή το κτίριο υφίσταται κυρίως µεταφορά, χωρίς έντονες στρεπτικές ταλαντώσεις. Με άλλα λόγια στην περίπτωση που ο κατακόρυφος µαζικός άξονας συµπίπτει µε τον άξονα βέλτιστης στρέψης τότε πλησιάζουµε στην βέλτιστη µεταφορική ταλάντωση του κτιρίου συνολικά. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ. Στο άρθρο αυτό έγινε η επαλήθευση των ιδιοτήτων του άξονα βέλτιστης στρέψης και των κύριων διευθύνσεων του πολυωρόφου συστήµατος χρησιµοποιώντας την στατική µέθοδο, την ιδιοµορφική ανάλυση, την δυναµική φασµατική µέθοδο και την δυναµική γραµµική χρονολογική ανάλυση. Παρουσιάσθηκε ένα παράδειγµα, από ένα µεγάλο αριθµό εξετασθέντων κτιρίων, στο οποίο υπολογίσθηκαν η θέση του άξονα βέλτιστης στρέψης και οι ακτίνες δυστρεψίας του πολυώροφου συστήµατος. Ακολούθως έγινε η επαλήθευση της κατάστασης βέλτιστης στρέψης διενεργώντας πολλές στατικές επιλύσεις για διάφορες θέσεις του φορτιστικού επιπέδου του διανύσµατος F. Επιβεβαιώθηκε ότι στην περίπτωση σύµπτωσης των κέντρων µάζας CM µε τον άξονα βέλτιστης στρέψης P o, III εµφανίζεται η βέλτιστη µεταφορική ταλάντωση του συστήµατος τόσο µε την δυναµική φασµατική µέθοδο όσο και µε την δυναµική γραµµική χρονολογική ανάλυση. Η θέση των ιδιοµορφικών σεισµικών δυνάµεων κατά την θεµελιώδη (1 η ) συζευγµένη ιδιοµορφή δικαιολογεί την χρήση των ισοδύναµων στατικών εκκεντροτήτων που χρησιµοποιούνται κατά την απλοποιηµένη µέθοδο αντισεισµικού υπολογισµού. Εποµένως, µέσα στο πλαίσιο των συνήθων προσεγγίσεων που δέχονται οι απλοποιηµένες µέθοδοι αντισεισµικού υπολογισµού, µπορεί να ορισθεί η στατική εκκεντρότητα του κτιρίου ως η οριζόντια απόσταση του κατακόρυφου µαζικού άξονα από τον κατακόρυφο άξονα βέλτιστης στρέψης για όλα τα πολυώροφα ασύµµετρα κτίρια που διαθέτουν την απαιτούµενη από τους κανονισµούς κανονικότητα καθύψος. REFERENCES 1. Anastassiadis, K. (1985): "Caracteristiques Elastiques Spatiales des Batiments a' Etages", Annales de I' I.T.B.T.P., No 435.. Anastassiadis, K. - Athanatopoulou, A. - Makarios, T. (1998): Equivalent Static Eccentricities In the Simplified Methods of Seismic Analysis of Buildings, Earthquake Spectra the Profes. Jour. of the Earth. Engin. Research Inst., vol. 14, Number 1. 3. Cheung, V.W.T. - Tso, W.K. (1986): Eccentricity in irregular multistorey buildings, Can. J.Civ. Eng. 13 p.p.46-5. 4. Hejal, R.-Chopra, A.K.(1987): Earthquake response of torsionally-coupled buildings, report No UCB/e.e.r.c.-87/0, Berkeley. 5. Makarios, T. - Anastassiadis, K.(1998a): Real and Fictitious Elastic Axis of Multi-Storey Buildings: Theory., The Structural Design of Tall Buildings, Vol. 7, Number 1, p.p. 33-45. 6. Makarios, T. - Anastassiadis, K.(1998b): Real and Fictitious Elastic Axis of Multi-Storey Buildings: Applications., The Structural Design of Tall Buildings, Vol. 7, Number 1, p.p. 57-71. 7. Riddell, R.- Vasquez, J. (1984).: Existence of Centers of Resistance and Torsional Uncoupling of Earthquake Response of Buildings", proc. 8th World Conf. on Earthquake Eng., 4, p.p. 187-194. 13