Κεφάλαιο 9: Προσομοίωση Συμβατικών Κτιριακών Κατασκευών

Transcript

1 Κεφάλαιο 9: Προσομοίωση Συμβατικών Κτιριακών Κατασκευών 9. Εισαγωγή Το μονώροφο κτίριο τυχαίας κάτοψης είναι ένα δομικό σύστημα που λόγω της σχετικής απλότητάς του βοηθαεί στην κατανόηση της διαδικασίας προσομοίωσης πολυώροφων κτιρίων. Παρ όλο που τα στοιχεία που απαρτίζουν ένα συμβατικό κτίριο είναι τρισδιάστατα, στην πράξη διαιρούνται σε γραμμικά (δοκοί, στύλοι), επιφανειακά (τοιχεία, πλάκες) και χωρικά (πυρήνες, κελύφη). Μερικές φορές η διάκριση αυτή δεν είναι απολύτως σαφής. Ως παράδειγμα αναφέρουμε την περίπτωση στύλων και τοιχείων, των οποίων η διαφορά εντοπίζεται στο πλάτος της διατομής. Πιο συγκεκριμένα, στο Σχήμα 9. έχουμε έναν στύλο και ένα τοιχείο κοινού ύψους l που λειτουργούν ως πρόβολοι, με αντίστοιχες διατομές και Η δύναμη που αναπτύσσεται στον στύλο για μοναδιαία μετακίνηση της κεφαλής κατά x είναι Fx 3I y l 3b h l l, στο δε τοιχείο είναι Fx 3I y l 3b h l 9.375l. Ομοίως, οι δυνάμεις κατά y για μοναδιαία μετακίνηση Fy 3I x l 3h b l l είναι και Fy 3I x l 3h b l l, αντίστοιχα. Ο λόγος δυνάμεων της ισχυρής προς την ασθενή διεύθυνση του κάθε στοιχείου είναι F xυ /F yυ =.89 για το υποστύλωμα και F xτ /F yτ =77.78 για το τοιχείο, που σημαίνει πως το τοιχείο ουσιαστικά κάμπεται μόνο κατά τη διεύθυνση x. Σχήμα 9. Γεωμετρία διατομών στύλου και τοιχείου. Οι πλάκες δαπέδων θεωρούνται απαραμόρφωτες εντός του επιπέδου τους και εύκαμπτες στην κάθετη διεύθυνση. Η πρώτη παραδοχή οδηγεί στη διαφραγματική λειτουργία της πλάκας (μετακίνηση στερεού δίσκου), ενώ η δεύτερη στη θεώρηση αρθρωτής σύνδεσης των κεφαλών των κατακόρυφων στοιχείων στο σώμα στης πλάκας, ώστε ο σύνδεσμος να παρουσιάζει μόνο στροφή και όχι επιπλέον στρέψη. Στο παρόν κεφάλαιο, που πραγματεύεται τη δυναμική συμπεριφορά των κτιριακών κατασκευών, πρώτα θα μελετηθεί η περίπτωση προσομοίωσης του μονώροφου συστήματος του Σχήματος 9.. Ακολούθως, θα γίνει επέκταση των παραπάνω εννοιών σε πολυώροφες, πλαισιακού-τύπου κατασκευές με ή χωρίς πυρήνα. 9. Προσομοίωση Μονώροφων Πλαισίων Στο Σχήμα 9. εικονίζεται η κάτοψη μονώροφης πλαισιακής κατασκευής που θα μελετηθεί για δυο περιπτώσεις u g φόρτισης, () εξωτερικό φορτίο στο σημείο Ρ και () σεισμική επιταχύνσεις. Η πλάκα οροφής στηρίζεται σε Ν υποστυλώματα και η κάτοψή της είναι μία πολυγραμμική καμπύλη. Επιλέγουμε πρώτα το ορθογώνιο καρτεσιανό σύστημα Ο-x-y που χρησιμεύει ως το καθολικό καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων (ΚΣΣ). Επίσης, θεωρούμε πως τα υποστυλώματα είναι συμμετρικής διατομής με το κέντρο βάρους να συμπίπτει με το ελαστικό τους κέντρο. Στο Σχήμα 9.3 ορίζεται η θέση ενός τυπικού υποστυλώματος στο σημείο, οι συντεταγμένες του, το κεντροβαρικό τοπικό σύστημα συντεταγμένων (ΤΣΣ) και η γωνία φ που σχηματίζει ο τοπικός άξονας x με τον καθολικό άξονα x. 59

2 Σχήμα 9. Γενική κάτοψη μονώροφου πλαισίου Ακολούθως εξετάζουμε την κίνηση της πλάκας ως προς το σημείο Ο και ορίζουμε με u, v τις μετατοπίσεις ως προς το ΚΣΣ και με ψ ο τη στροφή περί τον κάθετο άξονα στο Ο. Λόγω της διαφραγματικής λειτουργίας της πλάκας, τα άκρα των στύλων υφίστανται μετακινήσεις μόνο ως προς τη βάση τους και ταυτόχρονα αναπτύσσονται δυνάμεις που δρούν στην πλάκα στα σημεία επαφής με τους στύλους. Οι συνιστώσες των μετακινήσεων και των δυνάμεων του στύλου δίδονται στο ΤΣΣ ως u, v,, Fx, Fy, M και στο ΚΣΣ ως u, v,, Fx, Fy, M D u, v,, D u, v, F F,, x Fy M. Ορίζουμε τα διανύσματα και ως τις μετακινήσεις του σημείου Ο και τις μετακινήσεων και δυνάμεις του στύλου στο ΚΣΣ. Τα αντίστοιχα διανύσματα D u, v, F F, F, M x y μετακινήσεων και δυνάμεων του στύλου στο ΤΣΣ είναι και. Οι μετακινήσεις των άνω άκρων των Ν στύλων λόγω της διαφραγματικής λειτουργίας της πλάκας δεν είναι ανεξάρτητες μεταξύ τους, αλλά συνδέονται με τις μετακινήσεις του σημείου Ο. Η κίνηση της πλάκας αναλύεται τώρα σε δυο συνιστώσες, τη μεταφορική κίνηση στο σημείο Ο εξ αιτίας των μετακινήσεων u, v του σημείου όπου ισχύει ( u ) u, ( v ) v (9.) και τη στροφή ψ ο περί Ο, όπως φαίνεται στο Σχήμα 9.3. Σχήμα 9.3 Μετακινήσεις στύλου ως προς το κέντρο Ο του ΚΣΣ. 60

3 Ορίζοντας ως r τη σχετική απόσταση μεταξύ κέντρου Ο και στύλου, έχουμε πως ( u ) r sn( a ) y ( v ) r cs( a ) x με χρήση των σχέσεων cs( a) = x / r, sn( a) = y / r. Συνεπώς, u ( u ) ( u ) u y v ( v ) ( v ) v x Οι παραπάνω σχέσεις μπορούν να διατυπωθούν σε μητρωική μορφή ως u 0 y u v 0 x v D e D 0 0 και (9.) (9.3) (9.4) D e D και e, όπου e είναι το μητρώο εκκεντρότητας και είναι το αντίστροφό του. Ενας ακόμα μετασχηματισμός που πρέπει να διατυπωθεί εδώ είναι η σχέση του ΚΣΣ με το ΤΣΣ, που ορίζεται με βάση το μητρώο περιστροφής ως Το μητρώο u cs( ) sn( ) 0 u v sn( ) cs( ) 0 v D D 0 0 είναι ορθογωνικό, οπότε ισχύει η σχέση μεταξύ αντίστροφου και ανάστροφου ως D D. Συνεπώς, η αντίστροφη σχέση της Εξίσωσης (9.5) είναι η. Τέλος, ο ίδιος ακριβώς μετασχηματισμός ισχύει για τις δυνάμεις που αναπτύσσονται στον στύλο, δηλαδή F F και F F 9.. Ελαστικές Δυνάμεις του Μονώροφου Πλαισίου Για τον υπολογισμό των ελαστικών δυνάμεων που ασκούνται από το άνω άκρο του στύλου στην πλάκα, εφαρμόζεται η μέθοδος ευκαμψίας που για αρθρωτή σύνδεση δίνει τις μετακινήσεις ως (9.5) (9.6) u 3 h h F 3 I G y x 3 h h v Fy 3 I G x y u h G I t M x (9.7) όπου h είναι το ύψος του στύλου, και G είναι τα μέτρα ελαστικότητας και διάτμησης, I είναι η ροπή αδράνειας της διατομής (κατά x ή κατά y), Α είναι το εμβαδόν σε διάτμηση (για ορθογωνικές διατομές έχουμε την 6

4 τιμή ( 56) ), και τέλος Ιt είναι η δυστρεψία κατά Sant Venant της διατομής, και υπό την προϋπόθεση ότι αγνοείται η στρεβλωτική δυσκαμψία κατά Vlassv. Οι Εξισώσεις (9.7) μπορούν να διατυπωθούν σε μητρωική μορφή ως εξής: 3 h h I G u v F D f D M h 0 0 G I t y x Fx 3 h h 0 0 y 3I G x y f με το μητρώο ευκαμψίας του στύλου στο ΤΣΣ. Η αντίστροφη σχέση γράφεται ως k, όπου είναι το ανάλογο μητρώο δυσκαμψίας του στύλου και έχει την εξής μορφή: D f D k D 3 GI x y Gh 3hI x y 3 GI y x k 0 0 (9.9) 3 Gh 3h y I x G It 0 0 h Τα μητρώα ευκαμψίας και δυσκαμψίας απλοποιούνται αν αγνοηθεί η διατμητική παραμόρφωση, που είναι μία συνήθης παραδοχή, και συνεπώς έχουμε: h 3I y I 3 y h 3 h 3I x 0 0 k I h x f h G I t G I h t Για τον μετασχηματισμό του μητρώου δυσκαμψίας από το ΤΣΣ κάθε στύλου στο ΚΣΣ, χρησιμοποιείται η ενεργειακή πρόταση του αναλλοίωτου της ελαστικής ενέργειας ι του στύλου ως εξής: D k D D k D D k D D k D k k (9.) (9.8) (9.0) 6

5 Εκτελώντας τις παραπάνω πράξεις, τα εννέα στοιχεία του μητρώου δυσκαμψίας στο ΚΣΣ υπολογίζονται ως εξής: 33 k k cs ( ) k sn ( ) k cs( ) sn( ) k k sn ( ) k cs ( ) k cs( ) sn( ) ( ) cs( ) sn( ) [cs ( ) sn ( )] k k k k k k k k k k k 3 0 (9.) Τέλος, αν θέλουμε να εκφράσουμε το μητρώο δυσκαμψίας του στύλου ι ως προς το ΚΣΣ που περνά από το σημείο Ο, μπορούμε να ακολουθήσουμε την ίδια πορεία που έδωσε την Εξίσωση (9.): D k D D k D D k D D k D D k D D e k e D k e k e Συνεπώς, το μητρώο δυσκαμψίας του μονώροφου συστήματος με τρείς ΒΕ είναι απλώς το άθροισμα των μητρώων των επιμέρους κατακόρυφων στοιχείων: 9.. Αδρανειακές Δυνάμεις του Μονώροφου Πλαισίου Οσον αφορά τον υπολογισμό αδρανειακών μεγεθών του μονόρωφου πλαισίου, γίνεται ο διαχωρισμός σε κίνηση συστήματος συνεπίπεδων διακριτών μαζών, οι οποίες μετακινούνται χωρίς να αλλάζουν οι μεταξύ τους αποστάσεις, και σε κίνηση στερεού (επιπέδου) σώματος. Για την πρώτη περίπτωση, θεωρούμε ότι έχουμε Ν διακριτά σώματα μάζας στο σύστημα αναφοράς Ο-x-y. Η συνολική μάζα του συστήματος είναι το άθροισμα K k e k e (9.3) (9.4) των μαζών, δηλαδή. Το κέντρο μάζας είναι το σημείο στο οποίο υπάρχει ένα σώμα που έχει την ίδια μάζα και ορμή με το αρχικό σύστημα των διακριτών μαζών και με τις εξής συντεταγμένες: x x, y y c c Τέλος, ορίζουμε ως ροπή αδράνειας του συστήματος την ροπή που θα ενεργούσε στο σημείο αναφοράς Ο για μοναδιαία γωνιακή ταχύτητα του σημείου αυτού, δηλαδή Στην περίπτωση κίνησης στερεού σώματος, θεωρούμε πως το σώμα αποτελείται από άπειρο αριθμό διακριτών μαζών Δ 0, =,.., και συνεπώς τα παραπάνω αθροίσματα αντικαθίστανται από ολοκληρώματα. Η πλάκα θεωρείται ως ένα επίπεδο σώμα με κατανεμημένη μάζα, πάχους t και πυκνότητας. Η συνολική μάζα (9.5) [ ] J x y (9.6) 63

6 της πλάκας είναι t d, το δε κέντρο της έχει συντεταγμένες xc t xd, yc t yd και η ροπή αδράνειας της μάζας είναι (9.7) J t ( x y ) d (9.8) Για τις περιπτώσεις ορθογωνικής διατομής (πλευρές a,b) και κυκλικής διατομής (ακτίνας r) αντίστοιχα, οι ροπές αδράνειας ως προς το κέντρο μάζας δίνονται αναλυτικά ως a b a b J abt r r J r t (9.9) Για τον υπολογισμό των αδρανειακών χαρακτηριστικών μεγεθών ενός σύνθετου σώματος, απαιτείται ο συγκερασμός των παραπάνω εννοιών. Πιο συγκεκριμένα, εξετάζουμε ένα συνεχές στερεό σώμα που αποτελείται από L διαφορετικούς επίπεδους δίσκους πυκνότητας ρ και πάχους t (=,..,L) και από Ν διακριτές μάζες (=,..,Ν). Για το σύνθετο αυτό σώμα ορίζουμε τα εξής αδρανειακά χαρακτηριστικά L p t d L x [ x p t d x ] c c c L y [ y p t d y ] c c c L J p t ( x y ) d ( x y ) (9.0) (9.0) Το θεώρημα του Stener δίδει τη ροπή αδρανείας ως προς ένα τυχαίο σημείο Β που βρίσκεται σε απόσταση r από το κέντρο μάζας C ως εξής: J J r J [( x x ) ( y y ) ] (9.) B C C C B C B Oσον αφορά τον υπολογισμό των παραπάνω ολοκληρωμάτων, ορίζουμε ως n τον αριθμό των επί μέρους ευθειών μίας πολυγραμμικής καμπύλης που απαρτίζει το περίγραμμα του σώματος. Οι παρακάτω τύποι είναι ακριβείς για πολυγραμμικές διατομές, ενώ είναι προσεγγιστικοί για καμπυλόμορφων διατομές και αποδίδουν την πραγματική τιμή καθώς n : 64

7 n d ( xy xy) Με βάση τα παραπάνω αποτελέσματα, μπορούμε τώρα να υπολογίσουμε το κέντρο μάζας C(x c, y c ) του μονώροφου πλαισίου του Σχήματος 9. ως προς το σημείο Ο, του οποίου οι μετακινήσεις συνδέονται με τις μετακινήσεις του Ο από τη σχέση c D c e c D c D e D (και αντίστροφα ως ). Οι αδρανειακές δυνάμεις που δρούν στο κέντρο μάζας C είναι οι εξής: Το παραπάνω μητρώο είναι το μητρώο μάζας, η δε αναγωγή του από το κεντροβαρικό σύστημα στο ΚΣΣ Ο-x-y απαιτεί τη χρήση ενεργειακή πρότασης για διατήρηση της κινητικής ενέργειας k ως εξής: Τέλος, τα στοιχεία που απαρτίζουν το μητρώο μάζας στο ΚΣΣ είναι n xd [( xy xy) ( x x )] 6 n yd [( xy xy) ( y y )] 6 ( x y ) d ( x y x y ) [( y y ) y y ] n n ( xy xy) [( x x ) x x] c Fx 0 0 u c F y 0 0 v c M 0 0 J c c c c c k k D M D D M D c c c D e M e D D M D c c c M e M e 0 yc 0 yc M 0 x c 0 x c yc xc Jc xc yc yc xc J (9.5) όπου για τον όρο M 33 έγινε χρήση του θεωρήματος του Stener. (9.3) (9.4) (9.) 9..3 Εξωτερική Σημειακή Φόρτιση Για να διατυπωθεί η εξίσωση κίνησης της πλάκας του Σχήματος 9. ως προς το σημείο Ο λόγω εξωτερικής φόρτισης στο σημείο P, πρέπει να γίνει μεταφορά της δύναμης στο Ο. Η διαδικασία αυτή εισάγει μία πρόσθετη ροπή στο Ο ως εξής: P x 0 0 Px P y 0 0 Py M yp xp M (9.6) 65

8 P P e και συνολικά έχουμε πως P κίνησης διατυπώνεται ως 9..4 Εδαφική Επιτάχυνση υπό Γωνία Πρόσπτωσης β. Εφαρμόζοντας την αρχή του D lebert, η παραπάνω εξίσωση ( ) M D k D P M D K D P (9.7) Ακολουθώντας την ανάλυση του Κεφαλαίου 3, η εξίσωση κίνησης για εδαφική επιτάχυνση που σχηματίζει γωνία β ως προς τον άξονα x, είναι ug με διεύθυνση ( ) 0 M D k D tt 0 tt 0 g M D K D M D D K D M D K D M D cs( ) M sn( ) ug M ug, xy, 0 g (9.8) όπου 0 0,, u cs( ) u, u sn( ) u 0 0 x y xg g yg g (9.9) 9..5 Ελαστικό Κέντρο και Κύριοι Αξονες Μονώροφου Χωρικού Πλαισίου Το ελαστικό κέντρο Ε του μονώροφου πλαισίου διαθέτει τρεις χαρακτηριστικές ιδιότητες: () αποτελεί κέντρο δυσκαμψίας (center f rgdty) του πλαισίου, διότι η εφαρμογή στο σημείο αυτό μίας οριζόντιας στατικής δύναμης με τυχαία διεύθυνση δεν προκαλεί στροφή περί κατακόρυφο άξονα, αλλά μόνο μεταφορική κίνηση της πλάκας, () αποτελεί κέντρο συστροφής (center f twst) του πλαισίου, διότι η εφαρμογή μίας στατικής ροπής περί κατακόρυφο άξονα προκαλεί περιστροφή του διαφράγματος γύρω από το κέντρο αυτό, και () αποτελεί κέντρο διάτμησης (center f shear), διότι για οποιαδήποτε οριζόντια στατική δύναμη που εφαρμόζεται σε ένα τυχόν σημείο του διαφράγματος, η συνισταμένη όλων των τεμνουσών δυνάμεων των κατακόρυφων στοιχείων δυσκαμψίας διέρχεται επίσης από το κέντρο αυτό (εφ όσον βέβαια παγιωθεί η στροφή του διαφράγματος περί κατακόρυφο άξονα). Επειδή λοιπόν το εν λόγω κέντρο διάθέτει ταυτόχρονα τις τρεις παραπάνω ιδιότητες ονομάζεται ελαστικό κέντρο (elastc center r center f stffness) του πλαισίου. Πιο συγκεκριμένα, είναι το σημείο στο οποίο τα μη-διαγώνια στοιχεία του μητρώου δυσκαμψίας k3, k3, ( =, ) μηδενίζονται. Εάν το σημείο αυτό έχει συντεταγμένες ( x, ) y, και το μητρώο δυσκαμψίας του πλαισίου έχει υπολογισθεί ως προς σημείο Ο, χρήση της πρότασης της διατήρησης ελαστικής ενέργειας s επιτρέπει τη διατύπωση του μητρώου αυτού ως προς το σημείο Ε: s s D K D D K D D e K e D D K D K e K e (9.30) 66

9 Εκτελώντας τις παραπάνω πράξεις καταλήγουμε στην εξής μορφή για το μητρώο δυσκαμψίας: k k k y k x k K k k k y k x k k y k x k3 k y k x k3 k3 y k3 x k33 (9.3) Μηδενίζοντας τώρα τους μη-διαγώνιους όρους, έχουμε ένα σύστημα δύο εξισώσεων, η επίλυση του οποίου δίδει τις συντεταγμένες του σημείου Ε ως εξής: x k k k k k k k k k k k k k k k k , y Το μητρώο δυσκαμψίας ως προς το ελαστικό κέντρο συνεπώς απλοποιείται σε 0 0 k k K k k k3 y k3 x k 33 (9.3) (9.33) Για να επιτευχθεί η περαιτέρω αποσύζευξη των μεταφορικών κινήσεων στο μητρώο [ K ], πρέπει να ευρεθεί ένα νέο σύστημα αξόνων -x -y, που έχει στραφεί σε σχέση με το αρχικό σύστημα -x-y, ώστε να μηδενίζονται οι διαγώνιοι όροι k, k. Οι νέοι αυτοί άξονες ονομάζονται κύριοι άξονες και έχουν την ιδιότητα πως εάν το κτίριο φορτιστεί με μία οριζόντια στατική δύναμη που εφαρμόζεται στο ελαστικό κέντρο και είναι προσανατολισμένη κατά μήκος κάποιου κύριου άξονα, τότε το διάφραγμα μετατοπίζεται επίσης κατά τη διεύθυνση της φόρτισης, χωρίς στροφή περί κατακόρυφο άξονα. Αν όμως η στατική αυτή δύναμη προσανατολιστεί προς άλλη τυχαία διεύθυνση, τότε το διάφραγμα εξακολουθεί να μην έχει στροφή αλλά δεν μετατοπίζεται συνευθειακά με τη φόρτιση. Εαν η γωνία στροφής των δύο συστημάτων είναι θ, τότε έχουμε σύμφωνα με την αρχή διατήρησης της ελαστικής ενέργειας πως ' ' ' ' s s D K D D K D ' ' ' ' ' D K D D K D (9.34) ' K K όπου [ ] είναι το μητρώο περιστροφής της Εξίσωσης (9.5). Υστερα από εκτέλεση των πράξεων, το μητρώο στο νέο σύστημα -x -y παίρνει τη μορφή k k cs ( ) k sn ( ) k sn( ) ' k k sn ( ) k cs ( ) k sn( ) ' ' ' k k 0 k k sn( ) k cs( ) k k y k x k ' k k k k 0 ' ' ' ' (9.35) Από τη συνθήκη μηδενισμού των μη-διαγώνιων όρων του παραπάνω μητρώου προκύπτει η τιμή της γωνίας στροφής των αξόνων ως 67

10 k k y k x k ' ' ' ' ' k k k k Από τη συνθήκη μηδενισμού των μη-διαγώνιων όρων του παραπάνω μητρώου προκύπτει η τιμή της γωνίας στροφής των αξόνων ως arctan k k k (9.36) Συνοψίζοντας, η συμπεριφορά του μονώροφου κτιρίου μπορεί να μελετηθεί σε τρία Συνοψίζοντας, η συμπεριφορά του μονώροφου κτιρίου μπορεί να μελετηθεί σε τρία διαφορετικά συστήματα διαφορετικά συστήματα συντεταγμένων, () το καθολικό (ή τυχαίο) σύστημα Ο-x-y όπου συντεταγμένων, () το καθολικό (ή τυχαίο) σύστημα Ο-x-y όπου υπάρχει πλήρης σύζευξη των αδρανειακών και υπάρχει ελαστικών πλήρης σύζευξη δυνάμεων των (κανένα αδρανειακών από τα σχετικά και ελαστικών μητρώα δεν δυνάμεων είναι διαγώνιο), (κανένα () από το τα κεντροβαρικό σχετικά σύστημα C-x-y όπου μητρώα έχουμε δεν είναι διαγώνιο διαγώνιο), μητρώο () μάζας το κεντροβαρικό με αποσύζευξη σύστημα των αδρανειακών C-x-y όπου δυνάμεων έχουμε και διαγώνιο () το κύριο ελαστικό σύστημα μητρώο Ε-x -y μάζας με αποσύζευξη διαγώνιο μητρώο των αδρανειακών δυσκαμψίας και δυνάμεων αποσύζευξη και () των το ελαστικών κύριο ελαστικό δυνάμεων. Για να έχουμε τώρα την πλήρη αποσύζευξη ως προς τις τρείς συνιστώσες του πεδίου μετακινήσεων (, uv, σύστημα Ε-x -y με διαγώνιο μητρώο δυσκαμψίας και αποσύζευξη των ελαστικών δυνάμεων. ), Για θα πρέπει να τα δυο τελευταία συστήματα συντεταγμένων (το κεντροβαρικό και το κύριο ελαστικό) να έχουν την ίδια αρχή, δηλαδή να υπάρχει σύμπτωση του κέντρου μάζας με το ελαστικό κέντρο. Οπως γίνεται φανερό από την παραπάνω ανάλυση, η πιο πολύ- έχουμε τώρα την πλήρη αποσύζευξη ως προς τις τρείς συνιστώσες του πεδίου των μετακινήσεων πλοκη διαδικασία (, uv, ), αφορά θα πρέπει τον υπολογισμό τα δυο τελευταία του μητρώου συστήματα δυσκαμψίας, συντεταγμένων που στη γενική (το 9..6 Παράδειγμα Εφαρμογής Ι περίπτωση συζευγμένων κεντροβαρικό κατακόρυφων και Στο το παράδειγμα στοιχείων, κύριο ελαστικό) αλλά του Σχήματος και να χωρικών έχουν 9.4 την στοιχείων σημειώνονται ίδια αρχή, όπως δηλαδή οι οι πυρήνες, διαστάσεις να υπάρχει γίνεται και ακόμα το σύμπτωση κέντρο δυσκολότερη. βάρους C Η ενός μέθοδος των πεπερασμένων στοιχείων (ΜΠΣ) αυτοματοποιεί τον υπολογισμό του μητρώου δυσκαμψίας που αναφέρεται στους 9..6 του κέντρου Παράδειγμα μάζας μονώροφου με το Εφαρμογής ελαστικό ορθογωνικού κέντρο. Ι πλαισίου. Οπως γίνεται Το πρώτο φανερό βήμα από αφορά την παραπάνω την προσομοίωση ανάλυση, του δυναμικού Στο ενεργούς αδρανειακούς βαθμούς ελευθερίας (ΒΕ), δηλαδή σ αυτούς που αντιστοιχεί η μάζα του συστήματος. η πιο παράδειγμα πολύπλοκη αυτού του διαδικασία Σχήματος συστήματος, αφορά 9.4 σημειώνονται που τον υπολογισμό έχει τρείς οι ενεργούς του διαστάσεις μητρώου ΒΕ. και Το δυσκαμψίας, το επόμενο κέντρο βήμα βάρους που στη αφορά C γενική ενός την επίλυση (που μονώροφου περίπτωση συζευγμένων ορθογωνικού στην πράξη πλαισίου. κατακόρυφων γίνεται με Το προγράμματα πρώτο στοιχείων, βήμα Η/Υ αφορά αλλά που και την βασίζονται προσομοίωση χωρικών στη στοιχείων ΜΠΣ) του δυναμικού για όπως τις εξής οι περιπτώσεις αυτού 9..6 Παράδειγμα Εφαρμογής Ι πυρήνες, συστήματος, γίνεται φόρτισης: ακόμα που έχει () δυσκολότερη. τρείς ενεργούς δύναμη F Η x aμέθοδος ΒΕ. Το επόμενο, () δύναμη των πεπερασμένων βήμα αφορά Fy a και () στοιχείων την επίλυση ροπή M(ΜΠΣ) (που z a (σε συμβατές στην αυτοματοποιεί πράξη Στο παράδειγμα γίνεται τον με υπολογισμό προγράμματα του Σχήματος του Η/Υ μητρώου 9.4 που σημειώνονται βασίζονται δυσκαμψίας οι στη διαστάσεις που ΜΠΣ) αναφέρεται για και τις το εξής κέντρο στους περιπτώσεις βάρους ενεργούς C ενός μονώροφου ορθογωνικού μονάδες). πλαισίου. Το Οι πρώτο αντίστοιχες βήμα αφορά μετακινήσεις την προσομοίωση που θα του υπολογισθούν δυναμικού αυτού είναι συστήματος, για () δύναμη που έχει τρείς φόρτισης: αδρανειακούς () δύναμη βαθμούς Fελευθερίας x a, () δύναμη (ΒΕ), δηλαδή F ενεργούς FΒΕ. Το επόμενο βήμα αφορά την y aσ και αυτούς () ροπή που αντιστοιχεί Mz a (σε η μάζα συμβατές του επίλυση (που στην πράξη γίνεται με προγράμματα Η/Υ που βασίζονται Οι στη αντίστοιχες ΜΠΣ) για τις μετακινήσεις εξής περιπτώσεις που θα φόρτισης: υπολογισθούν () δύναμη είναι Fx = για a, () () δύναμη Fy = a x u, v,, () δύναμη Fy u, v, και () ροπή Mz u3, v3, 3. Το μητρώο των μονάδες). συστήματος. και () ροπή Mz = aμετακινήσεων, ομαλοποιημένο ως προς το μέγεθος a, αποτελεί το μητρώο ευκαμψίας του F (σε συμβατές μονάδες). Οι αντίστοιχες μετακινήσεις που θα υπολογισθούν είναι για () δύναμη x u, v,, () δύναμη Fy u, v, και () ροπή Mz u3, v3, 3. Το μητρώο των Fx uσυστήματος, v, Fy u, v, M, () δύναμη και () ροπή z u3, v3, 3. μετακινήσεων, ομαλοποιημένο ως προς το μέγεθος a, αποτελεί το μητρώο ευκαμψίας Το μητρώο του των μετακινήσεων, ομαλοποιημένο ως προς το μέγεθος a, 04 αποτελεί το uμητρώο v ευκαμψίας του συστήματος συστήματος F u v a (9.37) u v u3 v3 3 F u v και το μητρώο δυσκαμψίας a (9.37) u υπολογίζεται από τη σχέση K F. 3 v3 3 και το μητρώο και το μητρώο δυσκαμψίας () Δεδομένα δυσκαμψίας υπολογίζεται του προβλήματος: υπολογίζεται από τη Ζητείται σχέση από τη Kσχέση ο προσδιορισμός F K. F. των μέγιστων εντατικών μεγεθών. Δεδομένα στο κέντρο του βάρους προβλήματος: της πλάκας Ζητείται οροφής ο προσδιορισμός και στη βάση των του μέγιστων στύλου εντατικών Σ του μεγεθών μονώροφου στο κέντρο () Δεδομένα βάρους του της πλάκας οροφής και στη βάση του στύλου Σ του μονώροφου ορθογωνικού πλαισίου του ορθογωνικού προβλήματος: πλαισίου Ζητείται του ο Σχήματος προσδιορισμός 9.4 για των μέγιστων εντατικών μεγεθών Σχήματος 9.4 για στο κέντρο βάρους της πλάκας οροφής και στη βάση του στύλου Σ του μονώροφου () εξωτερικές δυνάμεις Px Py 50 sn(0 t) k, M 0. εξωτερικές δυνάμεις z στο σημείο και ορθογωνικού πλαισίου του Σχήματος 9.4 για στο σημείο P και () για σεισμικές επιταχύνσεις u g () g tt υπό γωνία 30 ο ως προς τον άξονα x. () εξωτερικές. δυνάμεις για σεισμικές P επιταχύνσεις υπό γωνία 30 ο ως προς τον άξονα x. x Py 50 sn(0 t) k, M z 0 στο σημείο P και Τα δεδομένα Τα δεδομένα του προβλήματος του προβλήματος είναι το είναι μέτρο το ελαστικότητας μέτρο ελαστικότητας Ε=.0*0 Ε=.00 7 k/ 7, k/ το πάχος, το της πάχος πλάκας της t=0. () για σεισμικές, οι διαστάσεις επιταχύνσεις των δοκών ug () t 5/50 υπό γωνία c, οι 30διαστάσεις ο ως προς τον των άξονα στύλων x. 30/30 c, το ύψος του πλαισίου 3.0, το πλάκας t=0., οι διαστάσεις των δοκών 5/50 c, οι διαστάσεις των στύλων 30/30 c, το ειδικό βάρος του σκυροδέματος γ=4.0 k/ 3 και το ομοιόμορφο φορτίο επί της πλάκας q=0.0 k/. Επίσης, Τα δεδομένα του η κατασκευή ύψος προβλήματος του παρουσιάζει πλαισίου είναι ποσοστό 3.0 το, μέτρο το απόσβεσης ειδικό ελαστικότητας βάρος ξ=5 του %. σκυροδέματος Ε=.00 7 k/ γ=4.0, το k/ πάχος 3 και της το ομοιόμορφο πλάκας t=0. φορτίο, οι διαστάσεις επί της πλάκας των δοκών q=0.0 5/50 k/. c, Επίσης, οι διαστάσεις η κατασκευή των στύλων παρουσιάζει 30/30 c, ποσοστό το απόσβεσης ύψος του πλαισίου ξ=5 3.0 %., το ειδικό βάρος του σκυροδέματος γ=4.0 k/ 3 και το ομοιόμορφο φορτίο επί της πλάκας q=0.0 k/. Επίσης, η κατασκευή παρουσιάζει ποσοστό απόσβεσης ξ=5 %. 68

11 Σχήμα 9.4 Μονώροφο ορθογωνικό πλαίσιο ως παράδειγμα εφαρμογής (9.8) (9.8).376t.. Αδρανειακές Δυνάμεις: Για να μελετηθεί η δυναμική απόκριση του συστήματος ως προς το κέντρο μάζας C, πρέπει να υπολογισθούν οι συντεταγμένες του C. Η συνολική μάζα στο επίπεδο της οροφής του πλαισίου αποτελείται από τη μάζα της πλάκας, τη μάζα που αντιστοιχεί στο ομοιόμορφο φορτίο q, και τη μισή μάζα κάθε στύλου και δοκού, συγκεντρωμένη στην τομή στύλου-δοκού-πλάκας. Η πυκνότητα μάζας της 3 3 πλάκας υπολογίζεται ως g 4 k / 9.8 / sec.446 t /, ενώ το ομοιόμορφο φορτίο 3 ισοδυναμεί με σώμα μοναδιαίου πάχους t q και πυκνότητας βάρους q q t 0 k / k / 3 3, που ισοδυναμεί με πυκνότητα μάζας q q g 0.0 k / 9.8 / sec.09 t /. Οι διακριτές μάζες στις κεφάλες στύλων h0.3 ( g) 50.5 ( ) 4 ( g) 40.5 ( ) 4 ( g) τέλος αθροίζονται σε Η πλάκα, το ομοιόμορφο φορτίο και οι διακριτές μάζες στις κεφαλές των στύλων αποτελούν ένα σύνθετο σώμα του οποίου τα αδρανειακά χαρακτηριστικά υπολογίζονται με τον τρόπο που παρουσιάσθηκε πριν. Στην περίπτωση του παρόντος παραδείγματος, ο υπολογισμός των γεωμετρικών και αδρανειακών μεγεθών είναι εύκολος επειδή η κάτοψη είναι ορθογωνική και τα υποστυλώματα είναι συμμετρικά διατεταγμένα. Θεωρούμε αρχικά το παραπάνω σύστημα ως ανεξάρτητο, και μετά γίνεται η σύνθεση του συζευγμένου συστήματος. Οσον αφορά τις διακριτές μάζες, το σημείο αναφοράς είναι το κέντρο μάζας, που λόγω συμμετρίας της παρούσης κατασκευής είναι γνωστό εξ αρχής. Επειδή αυτό συνήθως δεν ισχύει για κατασκευές με τυχαία κάτοψη, επιλέγουμε εδώ τον κάτω αριστερό στύλο ως το κέντρο των συντεταγμένων Ο. Η συνολική μάζα, το κέντρο μάζας για τις διακριτές μάζες και οι ροπές αδράνειας είναι τώρα οι εξής: t 4 x x.376 ( ) c 4 y y.376 ( ) c 4 [ ].376 [(0 0 ) (5 0 ) (5 4 ) (0 4 )].8 J x y t J J r J [( x x ) ( y y ) ] J c c c c (.5 ) t (9.38) 69

12 Για τον υπολογισμό των αδρανειακών χαρακτηριστικών της πλάκας, απαιτείται ο υπολογισμός των ολοκληρωμάτων των Εξισώσεων (9.). Για τον σκοπό αυτό, χρησιμοποιείται ο Πίνακας 9., οι στήλες του οποίου έχουν τις εξής ιδιότητες: Σ = x, Σ = y, Σ3 = x y +, Σ4 = x + y, Σ5 = Σ3- Σ4, Σ6 = x + x +, Σ7 = y + y +, Σ8 = Σ5 Σ7, Σ9 = Σ5 Σ6, Σ0 = Σ5 ( Σ7 - y y + ), Σ = Σ5 ( Σ6 - x x + ),Σ = Σ0 - Σ. Στην τελευταία γραμμή της Σ5 έχουμε το / του αθροίσματος της στήλης αυτής, στις τελευταίες γραμμές των Σ8 και Σ9 έχουμε το /6 των αθροίσμάτων των στηλών αυτών αντίστοιχα, και τέλος στην τελευταία γραμμή της Σ έχουμε το / του αθροίσματος της στήλης αυτής. Επίσης, η τελευταία γραμμή της d Σ5 αντιστοιχεί στο ολοκλήρωμα που είναι το εμβαδόν της πλάκας Α=0, ενώ στην τελευταία yd xd ( x y ) d γραμμή των Σ8, Σ9 και Σ δίδονται τα ολοκλήρωματα, και, αντίστοιχα. Συνοψίζοντας, δίδουμε παρακάτω τη μάζα της πλάκας, τις συντεταγμένες του κέντρου μάζας C ως προς το σημείο Ο, και τέλος τις ροπές αδράνειας μάζας της πλάκας ως προς τα σημεία O και C με χρήση του θεωρήματος Stener: Σημείο Σ Σ Σ3 Σ4 Σ5 Σ6 Σ7 Σ8 Σ9 Σ0 Σ Σ Σύνολ ο Σύνολο Τελικά Τελικά Μεγέθ Μεγέθη η Πίνακας 9. Υπολογισμός αδρανειακών παραμέτρων του μονώροφου πλαισίου. Πίνακας 9. Υπολογισμός αδρανειακών παραμέτρων του μονώροφου πλαισίου. p t d t x ( p t ) xd c y ( p t ) yd c ( ) (9.39) J p t x y d t J J r J [( x x ) ( y y ) ] t c c c Οπως και με την πλάκα, έτσι και για το ομοιόμορφο φορτίο q υπολογίζουμε με τον ίδιο τρόπο τα παρακάτω μεγέθη: Οπως και με την πλάκα, έτσι και για το ομοιόμορφο φορτίο q υπολογίζουμε με τον ίδιο τρόπο τα παρακάτω μεγέθη: p t d t q q q pqtq xcq xd q pqtq ycq yd q J p t ( x y ) d t (9.40)

13 p t d t q q q pqtq xcq xd q pqtq ycq yd 0.38 q q q q ( ) (9.40) J p t x y d t J J r J [( x x ) ( y y ) ] t cq q q q q cq cq Η σύνθεση όλων των πάνω αδρανειακών μεγεθών για το μονώροφο πλαίσιο δίδει, q 4 p t d t 4 c [ c c ].5 x x p t d x 4 c [ c c ] y y p t d y (9.4) 4, q J p t ( x y ) d ( x y ) J J [( x x ) ( y y ) ] (.5 ) 46.08t c c c Τελικά, το μητρώο μάζας ως προς το κεντροβαρικό σύστημα είναι το εξής: [ M] (9.4) 0 0 J c Ελαστικές Δυνάμεις: Το σύστημα των κατακόρυφων στατικών στοιχείων αποτελείται από δυο όμοια πλαίσια κατά τις διευθύνσεις x και y. Ο υπολογισμός του μητρώου δυσκαμψίας του συστήματος ως προς το κέντρο μάζας ακολουθεί τη μεθοδολογία που αναπτύχθηκε πριν. Ξεκινώντας με το μητρώο ευκαμψίας, βρίσκουμε το μητρώο δυσκαμψίας με αντιστροφή, [ F] [ K] (9.43) (σε / k και σε k /, αντίστοιχα). Ενας προσεγγιστικός τρόπος εύρεσης του μητρώου δυσκαμψίας των παραπάνω πλαισίων ως προς το κεντροβαρικό σύστημα είναι η θεώρηση τους ως καθαρά επίπεδοι 7

14 φορείς. Με τόν τρόπο αυτό όμως δεν συνυπολογίζεται ο μηχανισμός παραλαβής δυνάμεων μέσω της στρέψης των διατομών των πλαισίων. Ετσι, αντίσταση στην μετακίνηση υφίσταται μόνο στον αξονικό βαθμό ελευθερίας, ενώ τα υπόλοιπα στοιχεία του μητρώου είναι μηδέν. Το μητρώο δυσκαμψίας συνεπώς θα έχει την εξής μορφή: k 0 0 K (9.44) Η διαδικασία υπολογισμού μητρώου δυσκαμψίας για το επίπεδο πλαίσιο συνοψίζεται στον Πίνακα 9. με δυο μεθόδους της στατικής (Νιτσιώτας, 980).. Μέθοδος Ευκαμψίας. Μέθοδος Δυσκαμψίας Επιβολή δυνάμεων f και f με την παραδοχή της ατένειας (u =u ). Επίλυση και υπολογισμός της μετακίνησης u =u. Συντελεστής ευκαμψίας f = u, και ανάκτηση του συντελεστή k = ( f + f ) u δυσκαμψίας ως Επιβολή μετακινήσεων u =u. Επίλυση και υπολογισμός τεμνουσών Q και Q. Υπολογισμός συντελεστή δυσκαμψίας ως k = ( Q + Q ) u Πίνακας 9. Υπολογισμός συντελεστών ευκαμψίας και δυσκαμψίας για μονώροφο πλαίσιο Η μεταφορά του [ K] από το ΤΣΣ στο κεντροβαρικό σύστημα αναφοράς ακολουθεί τις Εξισώσεις (9.) και (9.). Πιο συγκεκριμένα, εάν (x, y ) είναι οι συντεταγμένες του κόμβου του πλαισίου, και θ είναι η γωνία που σχηματίζει ο άξονας x του ΚΣΣ με τον ανάλογο τοπικό άξονα του πλαισίου όπως φαίνεται στο Σχήμα 9.5 (με c=cs(θ), s=sn(θ)), τότε k c k cs k c (s x cy ) K k cs k s k s(s x cy) k c (s x c y) k s (s x c y) k (s x cy) (9.45) Εδώ θα αποδείξουμε πως το μητρώο δυσκαμψίας είναι ανεξάρτητο από την επιλογή του συγκεκριμένου κόμβου (x, y ) επί του άξονα του πλαισίου και εξαρτάται μόνο από την απόσταση d του σημείου αναφοράς από τον άξονα του πλαισίου. Η εξίσωση της ευθείας του άξονα του πλαισίου είναι ytan( ) x, και συνεπώς sn( ) x cs( ) y sn( ) x cs( ) tan( ) x cs( ) cs( ) d. Το μητρώο δυσκαμψίας παίρνει τώρα την εξής τελική μορφή: k c k cs k cd K k cs k s k sd k c d k sd k d (9.46) 7

15 Στα πλαίσια του παρόντος παραδείγματος, λαμβάνουμε υπ όψη και τα τέσσαρα επίπεδα πλαίσια του φορέα, σημειώνωντας πως η γωνία θ έχει αντί-ωρολογιακή φορά. Έχουμε πως Σχήμα 9.5 Γεωμετρία του άξονα ενός δομικού στοιχείου του μονώροφου πλαισίου.. θ=0 ο, cs(θ)=, sn(θ)=0, d=.0 και k = K x (9.47). θ=80 ο, cs(θ)=-, sn(θ)=0, d=.0 και k = K x θ=90 ο, cs(θ)=0, sn(θ)=, d=.5 και k = K y (9.48) (9.49) v. θ=70 ο, cs(θ)=0, sn(θ)=-, d=.5 και k = K y (9.50) Τέλος, το συνολικό μητρώο δυσκαμψίας ως προς το κέντρο μάζας είναι το άθροισμα των επιμέρους μητρώων που υπολογίσθηκαν παραπάνω: K Kx Kx K y K y (9.5) 73

16 3. Δυνάμεις Απόσβεσης: Είδαμε πως τα μητρώα μάζας και δυσκαμψίας του συστήματος είναι διαγώνια, που σημαίνει πως οι τρεις μετακινήσεις (δύο μεταφορικές και μία στρεπτική) είναι ανεξάρτητες μεταξύ τους. Συνεπώς, μπορούμε να διατυπώσουμε το μητρώο απόσβεσης ώστε οι τρεις αυτές μετακινήσεις να έχουν το ζητούμενο ποσοστό κρίσιμης απόσβεσης. Πρώτα όμως πρέπει να υπολογισθούν οι ιδιοσυχνότητες του συστήματος (χρησιμοποιώντας το ακριβές μητρώο δυσκαμψίας), οι οποίες είναι ω =5.3 rad/sec, ω =5.67 rad/sec και ω 3 =39.58rad/sec. Έχουμε τώρα πως C M (9.5) 4. Εξωτερική Φόρτιση: Η μεταφορά του διανύσματος του εξωτερικού φορτίου που δρα σε τυχαίο σημείο P του επιπέδου της πλάκας στο σημείο αναφοράς, που είναι το κέντρο βάρους C, απαιτεί πολλαπλασιασμό με το ανάστροφο του μητρώου εκκεντρότητας ως εξής: C P x sn(0 t) 50sn(0 t) C P C P e P P y sn(0 t) 50sn(0 t) C M sn(0 t) (9.53) Παρατηρούμε πως η μεταφορά αυτή εισάγει στο διάνυσμα φόρτισης τη στρεπτική ροπή. 5. Επιτάχυνση εδάφους: Η ισοδύναμη φόρτιση που αναπτύσσεται στο κέντρο βάρους C όταν παρουσιάζονται εδαφικές επιταχύνσεις ug () t είναι η εξής: cs( ) cs( ) P M sn( ) ug( t) sn( ) ug( t) 0 0 C (9.54) Σημειώνουμε πως σε αντίθεση με την περίπτωση της εξωτερικής φόρτισης, εδώ δεν εμφανίζονται στρεπτικές ροπές στο διάνυσμα του ισοδύναμου φορτίου. 9.3 Προσομοίωση Πολυώροφων Πλαισίων Η μελέτη πολυωρόφων κτιρίων πλαισιακού τύπου προϋποθέτει την επιλογή ενός κατακόρυφου άξονα Ζ, ο οποίος τέμνει το επίπεδο κάθε ορόφου στο σημείο Ο, από το οποίο ορίζονται δυο κάθετοι άξονες X - Y, όπως φαίνεται στο Σχήμα 9.6. Οι κάθετοι άξονες αναφοράς που επιλέγονται για κάθε όροφο έχουν την ίδια διεύθυνση και φορά. Ακολούθως, με φ συμβολίζουμε τη γωνία μεταξύ του τοπικού άξονα x του κατακόρυφου στοιχείου και του άξονα αναφοράς X. Κάθε όροφος =,,..., επαυξάνει τον συνολικό αριθμό των ΒΕ κατά τρείς, δηλαδή δύο μεταφορικούς και έναν στροφικό. Συνεπώς, σε κάθε όροφο ορίζεται το διάνυσμα των μετατοπίσεων ως D { u, v, }. Συνολικά μπορούμε να ορίσουμε τα διανύσματα των μετατοπίσεων του Ν-ώροφου πλαισίου σε κάθε διεύ- θυνση ως Dx { u, u,..., u }, Dy { v, v,..., v } D {,,..., } και. Το πλήρες διάνυσμα των μετατοπίσεων έχει δύο βασικές μορφές που προκύπτουν χρησιμοποιώντας είτε διάταξη ανά ΒΕ, είτε διάταξη ανά διεύθυνση: 74

17 D u, v, u, v,,..., u, v, D D D,..., D,,...,,,...,,,..., Da u u u v v v Da Dx Dy D (9.55) Σχήμα 9.6 Πολυώροφο πλαίσιο ως παράδειγμα εφαρμογής. Τα δυο παραπάνω διανύσματα έχουν φυσικά τις ίδιες συνιστώσες και συνδέονται μεταξύ τους με την σχέση D D a, όπου το μητρώο [ ] είναι τύπου Βlean και απλώς ανακατατάσσει τη μορφή των διανυσμάτων ως εξής: (9.56) Τέλος, το μητρώο που συνδέει τις μετακινήσεις δυο σημείων με τις ίδιες συντεταγμένες στο επίπεδο X Y X Y, αλλά σε δύο υπερκείμενους ορόφους και { D } με το διάνυσμα, δίδεται 75

18 από την εξής σχέση: 9.3. Ελαστικές Δυνάμεις Πολυωρόφου Πλαισίου Το μητρώο δυσκαμψίας ενός κατακόρυφου στοιχείου που συνδέει δυο συνεχόμενους ορόφους - και, είναι μεγέθους 6x6. Για τον μετασχηματισμό του μητρώου αυτού από το ΤΣΣ κάθε στύλου στο ΚΣΣ, χρησιμοποιείται η ενεργειακή πρόταση του αναλλοίωτου της ελαστικής ενέργειας ως εξής: όπου έχουμε πως και τελικά D D D D e ,, e D e,,, D Ξεκινώντας από την παραπάνω μορφή και εκτελώντας όλες τις σχετικές πράξεις, το μητρώο του κατακόρυφου στοιχείου που προκύπτει έχει διαστάσεις 3x3. Το συνολικό μητρώο δυσκαμψίας του πολυωρόφου πλαισίου είναι το άθροισμα των μητρώων δυσκαμψίας των επιμέρους κατακόρυφων στοιχείων, δηλαδή δίδεται ως K k και απαρτίζεται από τα παρακάτω υπο-μητρώα:,, D D Da k Da k,, D D,, D 0 0 D a a,, (9.58) D k D k D 0 0 D 0 0 Da e, k e, 0 0 D a k 0 0 e,, 0 k 0 e k xx k xy k x K xx K xy K x K kyx kyy k y Kyx Kyy K y (9.60) k x k y k K x K y K (9.57) (9.59) 76

19 9.3. Αδρανειακές Δυνάμεις Πολυωρόφου Πλαισίου Το μητρώο μάζας του πολυωρόφου πλαισίου αντιπροσωπεύει τις αδρανειακές δυνάμεις που ορίζονται σε σχέση με τον άξονα που διέρχεται από τα σημεία O και είναι το εξής: Mt 0 MtYc 0 t t c M Y M X J M M M X t c t c Τα υπομητρώα που απαρτίζουν το μητρώο μάζας είναι της μορφής (9.6) M t ,Y c y 0. 0 c 0 yc yc, J J J J (9.6) J J x y όπου οι ροπές αδράνειας μάζας είναι c c c μορφή με το [ c ] Y Εξίσωση Κίνησης για Εδαφικές Επιταχύνσεις,,.., το δε μητρώο X c ] έχει την ίδια Ακολουθώντας τις αναλύσεις του Κεφαλαίου 3 και της προηγούμενης ενότητας, η εξίσωση κίνησης για εδαφική επιτάχυνση g u, η διεύθυνση της οποίας σχηματίζει γωνία β με τους άξονες X, είναι η εξής: όπου είναι το μοναδιαίο διάνυσμα μεγέθους. (9.63) Ελαστικά Κέντρα Στροφής και Ελαστικός Αξονας Έχει αποδειχθεί πως σε πολυώροφα, ασύμμετρα κτίρια, δε μπορεί να προσδιοριστεί ούτε πραγματικός ελαστικός άξονας, ούτε κύριες διευθύνσεις. Σύμφωνα με τις σχετικές εργασίες των Μακαρίου και Αναστασιάδη (998a,b), Cheung and s (986), Hegal and Chpra (987) και άλλων, σε ένα τυχόν πολυώροφο κτίριο οι τρεις χαρακτηριστικές ιδιότητες του ελαστικού κέντρου του μονωρόφου διασπώνται σε διαφορετικά κέντρα. Συνεπώς, σε διαφορετικά σημεία βρίσκονται τα κέντρα δυσκαμψίας, τα κέντρα συστροφής (center f twst) και τέλος τα κέντρα διάτμησης των διαφόρων ορόφων. Επίσης, τα παραπάνω κέντρα δεν βρίσκονται στην ίδια κα- 0 D x Kxx Kxy K x D Mt Mt Yc x 0 Mt Mt Xc D y Kyx Kyy K y Dy Mt Yc Mt Xc J D K x K y K D Mt 0 MtYc cs( ) 0 Mt Mt Xc sn( ) u g MtYc Mt Xc J 0 Mt cs( ) ug Mt sn( ) ug Mt Yc cs( ) ug Mt Xc cs( ) u g 77

20 τακόρυφο ευθεία, ακόμα και στην περίπτωση ύπαρξης τυπικών ορόφων. Επιπρόσθετα, όλα τα παραπάνω αυτά κέντρα αποδείχθηκε ότι εξαρτώνται από την εξωτερική στατική φόρτιση (σε αντίθεση με το ελαστικό κέντρο του μονωρόφου που εξαρτάται αποκλειστικά από τα ελαστικά και γεωμετρικά χαρασκτηριστικά του κτιρίου) και κατά συνέπεια είναι ακατάλληλα για χρήση στον αντισεισμικό σχεδιασμό των κατασκευών. Υπάρχουν όμως ειδικές κατηγορίες πολυώροφων ασύμμετρων κτιρίων, όπως τα αμιγή καμπτικά/τοιχωματικά συστήματα, τα αναλογικά (prprtnal) συστήματα, τα αμιγή διατμητικά συστήματα καθώς επίσης και κάποια ειδικά πολυώροφα κτίρια, στα οποία το ελαστικό σύστημα του καμπτικού υποσυστήματος συμπίπτει με το ελαστικό σύστημα του διατμητικού υποσυστήματος. Επίσης, πολυώροφα κτίρια με τουλάχιστον δύο άξονες συμμετρίας στην κάτοψή τους διαθέτουν πραγματικό ελαστικό άξονα. Σε όλες τις παραπάνω περιπτώσεις (πλην της περίπτωσης των αμιγώς διατμητικών κτιρίων), ο ελαστικός άξονας του πολυωρόφου πλαισίου, δηλαδή ο άξονας όπου εφαρμογή δυνάμεων με κάθετη διεύθυνση δεν προξενεί στρεπτικές παραμορφώσεις, υπολογίζεται με την διαδικασία της Ενότητας Ξεκινώντας με τη διαδικασία μετασχηματισμού, μπορούμε να εκφράσουμε το μητρώο δυσκαμψίας της Εξίσωσης (9.60) ως προς τα σημεία ( X, Y ), και ακολούθως να το φέρουμε στην εξής μορφή: K K K xx xy x K Kyx Kyy K y K x K y K (9.64) όπου x y Y K Y K X K K x K x Kxx Y K yx X K x K y K y K xy Y K yy X K y K K K Y K X X K yx X K yy X K y xx xy x (9.65) Μηδενίζοντας τώρα τους μη-διαγώνιους όρους, έχουμε ένα σύστημα δύο εξισώσεων σε δύο αγνώστους, η επίλυση του οποίου δίδει τις συντεταγμένες του σημείου Ε ως yy yx xx xy y yx xx x X K K K K K K K K Y K K K K K K K K xx xy yy yx x xy yy y (9.66) Η ύπαρξη ελαστικών κέντρων των ορόφων προϋποθέτει πως οι παραπάνω σχέσεις θα δώσουν διαγώνια μητρώα, σύμφωνα με την αρχική υπόθεση. Επιπλέον, η ύπαρξη ενός μοναδικού ελαστικού άξονα για το πολυώροφο πλάισιο σημαίνει πως τα διαγώνια μητρώα που θα προκύψουν θα πρέπει να είναι της μορφής X xi, Y yi. Τέλος, το μητρώο δυσκαμψίας της εξίσωσης (9.64) ως προς τα ελαστικά κέντρα των ορόφων απλοποιείται, και παίρνει την εξής μορφή: K xx K xy 0 yx yy K K K K (9.67) 78

21 Σημειώνεται ότι στην περίπτωση του ασύμμετρου πολυώροφου κτιρίου, είναι δυνατός ο ορισμός του πλασματικού ελαστικού άξονας που αποτελεί τον άξονα βέλτιστης στρέψης (Μακάριος 994). Η κατάσταση της βέλτιστης στρέψης εμφανίζεται στο κτίριο όταν το διάνυσμα των οριζόντιων στατικών δυνάμεων των ορόφων τοποθετηθεί πάνω στον πλασματικό ελαστικό άξονα. Τότε, η στρέψη του κτιρίου περί κατακόρυφο άξονα ελαχιστοποιείται, οπότε για τις συνήθεις προσεγγίσεις που γίνονται κατά την εφαρμογή της ισοδύναμης στατικής μεθόδου αντισεισμικού υπολογισμού, η στρέψη αγνοείται. Επιπρόσθετα, ο πλασματικός ελαστικός άξονας ικανοποιεί πλήρως τις οριακές συνθήκες. Δηλσδή, όταν το πολυώροφο κτίριο χάνει σταδιακά τους ορόφους του και μετατρέπεται τελικά σε μονώροφο, τότε η θέση του ελαστικού άξονα συνεχώς πλησιάζει, και στο τέλος συμπίπτει, με το πραγματικό ελαστικό κέντρο του μονωρόφου. Επίσης, όταν το πολυώροφο καμπτικο-διατμητικό χωρικό πλαίσιο χάνει σταδιακά τα τοιχώματά του και μετατρέπεται σε διατμητικό, τότε ο πλασματικός ελαστικός άξονας συμπίπτει με τον πραγματικό ελαστικό άξονα του αμιγούς διατμητικού κτιρίου. Το ίδιο ισχύει όταν το κτίριο γίνεται ολοένα και περισσότερο καμπτικό, χάνοντας σταδιακά τα πλαίσια. Τέλος, ο πλασματικός ελαστικός άξονας δεν εξαρτάται από την εξωτερική φόρτιση, αλλά μόνο από τα ελαστικά και γεωμετρικά χαρακτηριστικά της κατασκευής. Για τον λόγο αυτό μπορεί να παίξει τον ρόλο του πραγματικού ελαστικού άξονα στο πλαίσιο του αντισεισμικού σχεδιασμού, όπως αναφέρεται στον ΕΑΚ (003) και στο Ελληνικό Εθνικό Προσάρτημα του Ευρωκώδικα (ΕΝ 998-). 79