Κεφάλαιο 3 ΑΜΦΙΕΡΕΙΣΤΗ ΟΚΟΣ Σύµφωνα µε τα όσα αναπτύχθηκαν στην ενότητα 1.3, ως αµφιέρειστη δοκός θα µπορούσε να χαρακτηριστεί το τµήµα κάθε οριζόντιου γραµµικού φορέα που εκτείνεται µεταξύ δύο διαδοχικών σηµείων µηδενικής ροπής (απλών στηρίξεων ή σηµείων καµπής). Όσον αφορά το εξωτερικό φορτίο, µία δοκός θα µπορούσε γενικά να υπόκειται, εκτός από εγκάρσια, και σε αξονικά φορτία. Στα επόµενα, όµως, τα αξονικά φορτία θα αγνοηθούν για δύο λόγους: (α) διότι συνήθως είναι µικρά (θεωρώντας ως µικρό κάθε αξονικό φορτίο το οποίο, διαιρούµενο µε το εµβαδόν της διατοµής όπου ασκείται, δίνει τιµές µικρότερες από το 10% της θλιπτικής αντοχής του σκυροδέµατος) και (β) επειδή ο κύριος ρόλος µίας δοκού είναι η µεταφορά εγκάρσιων φορτίων στις στηρίξεις της. Η συνδυασµένη δράση εγκάρσιων και αξονικών φορτίων θα εξεταστεί στο επόµενο κεφάλαιο. 3.1 Γραµµικά ελαστική δοκός Σύµφωνα µε την απλουστευµένη θεωρία της γραµµικά ελαστικής δοκού, 28,29 η εντατική κατάσταση σε τυχόν σηµείο Α µιας αµφιέρειστης δοκού ορθογωνικής διατοµής, που υπόκειται σε εγκάρσιο (διπλό σηµειακό) φορτίο, συµµετρικά διατεταγµένο ως προς τη µεσαία διατοµή της, είναι συνάρτηση των τιµών της καµπτικής ροπής (Μ) και της τέµνουσας δύναµης (V) στη διατοµή που διέρχεται από το σηµείο Α (βλ. σχήµα 3.1) και δίνεται από τις ακόλουθες σχέσεις:
σ = (Μ/Ι)y τ = VS/(bI) 3.1(α) 3.1(β) όπου Ι η ροπή αδράνειας της διατοµής, y η απόσταση του σηµείου Α από την ουδετέρα γραµµή, S η στατική ροπή του γραµµοσκιασµένου τµήµατος της διατοµής και b το πλάτος της διατοµής στη θέση του σηµείου Α (Βλ. Σχήµα 3.1) h b Ουδετέρα γραµµή y τ= VS bi σ = M I y ιατοµή 1-1 (α) x 1 V V V 1 A V M M+ Μ (β) V Σχήµα 3.1 Aµφιέρειστη δοκός υπό εγκάρσιο (διπλό σηµειακό) φορτίο, συµµετρικά διατεταγµένο ως προς τη µεσαία διατοµή (α) ιανοµή ορθών (σ) και διατµητικών (τ) τάσεων στη διατοµή 1-1 και (β) ιαγράµµατα ροπών κάµψεως και τεµνουσών δυνάµεων. Στο σχήµα 3.2 φαίνονται οι τροχιές των κυρίων τάσεων, θλιπτικών µε συνεχή γραµµή και εφελκυστικών µε διακεκοµµένη γραµµή, που προκύπτουν εκφράζοντας 54
την εντατική κατάσταση (σ, τ) µε τη µορφή κυρίων τάσεων (σ 1, σ 2 ) και υπολογίζοντας τις κύριες τάσεις σε ένα ικανό αριθµό σηµείων της δοκού. Σχήµα 3.2 Σχηµατική απεικόνιση των τροχιών των θλιπτικών (συνεχείς γραµµές) και εφελκυστικών (διακεκοµένες γραµµές) κυρίων τάσεων που αναπτύσσονται στη δοκό του σχήµατος 3.1. Εάν από το τµήµα της δοκού του σχήµατος 3.1 που ορίζεται µεταξύ του ενός από τα σηµειακά φορτία και της πλησιέστερης προς αυτό στήριξης (διατµητικό µήκος) αποκοπεί ένα στοιχειώδες τµήµα µήκους x, τότε το τµήµα αυτό ισορροπεί υπό τη δράση των εσωτερικών δυνάµεων (ροπών κάµψης και τεµνουσών δυνάµεων) που απεικονίζονται στο σχήµα 3.3. Η συνθήκη ισορροπίας των ροπών των δυνάµεων που δρουν στο στοιχειώδες αυτό τµήµα ως προς το γεωµετρικό κέντρο του εκφράζεται από τη σχέση Μ=V x 3.2 Η σχέση αυτή περιγράφει το µηχανισµό µε τον οποίο πραγµατοποιείται η µεταφορά τέµνουσας δύναµης - και συνεπώς του εξωτερικού φορτίου - από τη δεξιά στην αριστερή εγκάρσια πλευρά του στοιχειώδους τµήµατος, όπως απεικονίζεται στο σχήµα 3.3. x M V Μ+ Μ V V Σχήµα 3.3 Μηχανισµός µεταφοράς εξωτερικού φορτίου, µε τη µορφή τέµνουσας δύναµης, από τη δεξιά στην αριστερή πλευρά ενός στοιχειώδους τµήµατος του διατµητικού µήκους της δοκού του σχήµατος 3.1. V 55
3.2 οκός από οπλισµένο σκυρόδεµα Εξετάζουµε την περίπτωση που η δοκός του σχήµατος 3.1 είναι κατασκευασµένη από σκυρόδεµα. Σύµφωνα µε τη θεωρία της γραµµικά ελαστικής δοκού, η φέρουσα ικανότητα της δοκού (µέγιστη καµπτική ροπή) αντιστοιχεί στη µέγιστη τάση (αντοχή) που µπορεί να αναπτυχθεί (βλ. σχήµα 3.1). Επειδή όµως η εφελκυστική αντοχή του σκυροδέµατος είναι πολύ µικρότερη της θλιπτικής αντοχής του, η φέρουσα ικανότητα της δοκού θα αντιστοιχεί στην εφελκυστική αντοχή του σκυροδέµατος και η υψηλή θλιπτική αντοχή του θα παραµένει ανεκµετάλλευτη. (Η αστοχία της δοκού προκαλείται από ρωγµές κατά τη διεύθυνση των τροχιών των θλιπτικών τάσεων, τις οποίες προκαλούν οι κάθετες σ' αυτές εφελκυστικές τάσεις (βλ. σχήµα 3.4).) Σχήµα 3.4 Σχηµατική απεικόνιση ρωγµών που οδηγούν σε αστοχία δοκό σκυροδέµατος Για να αυξηθεί η φέρουσα ικανότητα της δοκού έτσι ώστε, όχι µόνο να υπερβαίνει κατά πολύ την τιµή που της υπαγορεύει η εφελκυστική αντοχή του σκυροδέµατος, αλλά και να εξαντλείται η θλιπτική αντοχή του υλικού, τοποθετείται στην εφελκυόµενη περιοχή της δοκού οπλισµός µε τη µορφή ράβδων χάλυβα, των οποίων η σηµαντική αντοχή σε εφελκυσµό αντισταθµίζει την αδυναµία του σκυροδέµατος να αναλάβει εφελκυστικές τάσεις. Η τοποθέτηση οπλισµού, που µετατρέπει το σκυρόδεµα από άοπλο σκυρόδεµα σε οπλισµένο σκυρόδεµα (Ο.Σ.), θα µπορούσε να γίνει κατά τη διεύθυνση των τροχιών των εφελκυστικών τάσεων, όπως φαίνεται στο σχήµα 3.5, έτσι ώστε ο οπλισµός να µπορεί να αναλάβει άµεσα τις εφελκυστικές τάσεις είτε στο σύνολό τους, είτε το τµήµα τους που δεν µπορεί να αναλάβει το (άοπλο) σκυρόδεµα. 56
Σχήµα 3.5 Θεωρητική διάταξη οπλισµού για την καθυστέρηση της αστοχίας της δοκού του σχήµατος 3.4 µέχρι την εξάντληση της θλιπτικής αντοχής του σκυροδέµατος Ο παραπάνω τρόπος όπλισης είναι κατασκευαστικά δυσχερής και αντ αυτού ο οπλισµός που χρησιµοποιείται συνήθως αποτελείται από ευθύγραµµες διαµήκεις και εγκάρσιες (µε τη µορφή συνδετήρων) ράβδους από χάλυβα, οι οποίες τοποθετούνται µε τον τρόπο που απεικονίζεται στο σχήµα 3.6. Όπως φαίνεται στο σχήµα, οι διαµήκεις ράβδοι τοποθετούνται σε µικρή απόσταση από το εφελκυόµενο πέλµα της δοκού, ενώ οι εγκάρσιες ράβδοι κατανέµονται στα διατµητικά µήκη της δοκού. Θεωρώντας µηδενική την εφελκυστική αντοχή του σκυροδέµατος, οι διαµήκεις ράβδοι υπολογίζονται να αναλαµβάνουν τη συνολική εφελκυστική δύναµη που αναπτύσσεται λόγω της καµπτικής ροπής. Οι εγκάρσιες ράβδοι αναλαµβάνουν τις εγκάρσιες συνιστώσες των κεκλιµένων εφελκυστικών τάσεων (που αναπτύσσεται στα διατµητικά µήκη), µέρος των οποίων θεωρείται ότι αναλαµβάνεται από το (άοπλο) σκυρόδεµα µέσω της διατµητικής αντοχής του. 1 γ α v 45 ο 1 s β α γ β α α : διαµήκεις εφελκυόµενες ράβδοι χάλυβα β : συνδετήρες γ : διαµήκεις ράβδοι για σχηµατισµό κλωβού οπλισµού ιατοµή 1-1 Σχήµα 3.6 Πρακτική διάταξη οπλισµού δοκού σκυροδέµατος. 57
3.3 Συµπεριφορά δοκού από Ο.Σ. µε την αύξηση της επιπόνησης Όταν µε την αύξηση του φορτίου οι αναπτυσσόµενες εφελκυστικές και διατµητικές τάσεις υπερβούν την εφελκυστική και διατµητική, αντίστοιχα, αντοχή του σκυροδέµατος, η δοκός αρχίζει να ρηγµατώνεται, παρά την τοποθέτηση του οπλισµού (βλ. σχήµα 3.6). Οι εµφανιζόµενες ρωγµές, που είναι κάθετες στις τροχιές των εφελκυστικών τάσεων και συνεπώς ακολουθούν τη διεύθυνση των τροχιών των θλιπτικών τάσεων (βλ. σχήµα 3.4), στο καµπτόµενο τµήµα της δοκού (τµήµα µεταξύ των δύο σηµειακών φορτίων (βλ. σχήµα 3.6) είναι κάθετες στον κεντροβαρικό άξονα της δοκού (καµπτικές ρωγµές), ενώ στα διατµητικά µήκη είναι διαγώνιες µε κλίση περίπου 45 ο. Λόγω της πολύ µικρής τιµής της εφελκυστικής αντοχής του σκυροδέµατος, οι καµπτικές ρωγµές εµφανίζονται για πολύ µικρή στάθµη του φορτίου (µικρό ποσοστό της φέρουσας ικανότητας της δοκού). Με την αύξηση του φορτίου, όµως, οι αρχικά αόρατες ρωγµές διευρύνονται και για στάθµη φορτίου 30% περίπου της φέρουσας ικανότητας γίνονται ορατές. Με περαιτέρω αύξηση του φορτίου και µέχρι τη στάθµη 50 έως 60% της φέρουσας ικανότητας, το άνοιγµα και το µήκος των ρωγµών παραµένουν περίπου σταθερά (λόγω και της ενδεχόµενης εµφάνισης νέων ρωγµών). Πέρα από τη στάθµη αυτή, περαιτέρω αύξηση του φορτίου επιταχύνει το ρυθµό εξέλιξης των ρωγµών µε συνέπεια την αστοχία της δοκού. 3.4 Οριακές καταστάσεις και φυσικά προσοµοιώµατα δοκού από Ο.Σ. Η κατάσταση της δοκού στη στάθµη 50 έως 60% της φέρουσας ικανότητας που αντιστοιχεί στο φορτίο λειτουργίας της δοκού περιγράφεται ως οριακή κατάσταση λειτουργικότητας και, όπως αναφέρθηκε στην προηγούµενη ενότητα, χαρακτηρίζεται από ελεγχόµενη ρηγµάτωση. Η κατάσταση της δοκού λίγο πριν αστοχήσει, περιγράφεται ως οριακή κατάσταση αστοχίας και συνήθως χαρακτηρίζεται από την ύπαρξη τόσο κεκλιµένων όσο και καµπτικών ρωγµών, το 58
εύρος των οποίων έχει µέγεθος της τάξης χιλιοστών, ενώ το µήκος τους εκτείνεται σχεδόν µέχρι το θλιβόµενο πέλµα. Μετά το σχηµατισµό κεκλιµένων ρωγµών το διατµητικό µήκος της δοκού θεωρείται ότι λειτουργεί ως δικτύωµα. Στο δικτύωµα αυτό, η θλιβόµενη ζώνη και ο διαµήκης εφελκυόµενος οπλισµός σχηµατίζουν τους διαµήκεις θλιπτήρες και ελκυστήρες του δικτυώµατος, αντίστοιχα, ενώ οι εγκάρσιες ράβδοι αποτελούν τους εγκάρσιους ελκυστήρες και το διαγώνια ρηγµατωµένο σκυρόδεµα στην εφελκυόµενη ζώνη της δοκού επιτρέπει τη δηµιουργία διαγώνιων (δηλ. µε κλίση περίπου 45 ο ) θλιπτήρων (βλ. σχήµα 3.6). Σε αντίθεση µε τους εγκάρσιους ελκυστήρες του δικτυώµατος που θεωρούνται ότι λειτουργούν ως ράβδοι, η λειτουργία των θλιπτήρων και των διαµήκων ελκυστήρων χαρακτηρίζεται από ιδιοτυπίες οι οποίες, χωρίς να επηρεάζουν την ανάληψη αξονικών δυνάµεων, επιτρέπουν την ανάπτυξη πρόσθετων µηχανισµών που συνεπικουρούν το δικτύωµα στην ανάληψη τεµνουσών δυνάµεων. Τέτοιοι µηχανισµοί αντιστοιχούν (α) στην ανάπτυξη διατµητικών τάσεων στο διαµήκη θλιπτήρα, (β) στη διατµητική αντίσταση που προβάλλει η τριβή που αναπτύσσεται στις επιφάνειες των διαγωνίων ρωγµών λόγω της τραχύτητάς τους κατά τη σχετική µετατόπιση των παρειών τους και (γ) στη διατµητική αντίσταση του διαµήκους ελκυστήρα θεωρούµενου ως βλήτρου αντιστεκόµενου στη διατµητική µετατόπιση των παρειών των διαγωνίων ρωγµών. (Από τους παραπάνω µηχανισµούς αντοχής στη δράση τέµνουσας δύναµης, ο µηχανισµός (β) συνήθως αναφέρεται ως αντοχή σε τέµνουσα λόγω εµπλοκής αδρανών, όπου ο όρος εµπλοκή αδρανών χρησιµοποιείται για να δώσει µια φυσική περιγραφή αυτού του τρόπου αντίστασης, ενώ ο µηχανισµός (γ) είναι γνωστός ως δράση βλήτρου.) Και ενώ τα διατµητικά µήκη θεωρούνται ότι λειτουργούν ως δικτυώµατα, το τµήµα της δοκού µεταξύ των δύο σηµειακών φορτίων, όπου η τιµή της καµπτικής ροπής παραµένει σταθερή, θεωρείται ότι εξακολουθεί να λειτουργεί ως ολόσωµη δοκός, η συµπεριφορά της οποίας περιγράφεται µε κατάλληλη τροποποίηση της απλουστευµένης θεωρίας της γραµµικά ελαστικής δοκού, έτσι ώστε να λαµβάνει 59
υπόψη τη µη γραµµικότητα που διέπει τη συµπεριφορά των υλικών (σκυροδέµατος και χάλυβα) στην οριακή κατάσταση αστοχίας της δοκού. Στην οριακή κατάσταση λειτουργικότητας, η διαγώνια ρηγµάτωση, παρά την ανακατανοµή των τάσεων που προκαλεί, δεν ενεργοποιεί το χάλυβα σε βαθµό που να επιβάλει τη συµβολή του στη µεταφορά τεµνουσών δυνάµεων στις στηρίξεις της δοκού. Συνεπώς, δεν απαιτείται τροποποίηση της απλουστευµένης θεωρίας της γραµµικά ελαστικής δοκού που να λαµβάνει υπόψη την επίδραση των διαγώνιων ρωγµών. (Όπως θα αναπτυχθεί σε επόµενη ενότητα, τροποποίηση της απλουστευµένης θεωρίας της γραµµικά ελαστικής δοκού δεν απαιτείται επίσης στην περίπτωση που η µετάβαση από την οριακή κατάσταση λειτουργικότητας στην οριακή κατάσταση αστοχίας δεν µεταβάλλει αισθητά τη διαγώνια ρηγµάτωση στο διατµητικό τµήµα της δοκού στην οριακή κατάσταση αστοχίας της.) Αντίθετα, η µεταφορά εφελκυστικών δυνάµεων από το σκυρόδεµα στο χάλυβα, που προκαλούν οι καµπτικές ρωγµές, είναι αυτή που διατηρεί τη δυνατότητα ανάληψης καµπτικών ροπών από τη δοκό. Στην περίπτωση αυτή, λοιπόν, η θεωρία της γραµµικά ελαστικής δοκού θα πρέπει να τροποποιηθεί έτσι ώστε να περιγράφει τη συµβολή του χάλυβα στην ανάληψη ροπών κάµψης (προσοµοίωµα της ρηγµατωµένης δοκού). Τα παραπάνω προσοµοιώµατα ρηγµατωµένης ελαστικής δοκού (για την οριακή κατάσταση λειτουργικότητας) και συνδυασµού δικτυώµατος και ανελαστικής δοκού (για την οριακή κατάσταση αστοχίας) - αποτελούν τη βάση των µεθόδων σχεδιασµού των κατασκευών από Ο.Σ. Θεωρούνται ότι περιγράφουν ρεαλιστικά την εντατική κατάσταση της δοκού σε όλο το φάσµα των τιµών του ασκούµενου φορτίου και ιδιαίτερα στις οριακές καταστάσεις λειτουργικότητας και αστοχίας. Μέχρι και την οριακή κατάσταση λειτουργικότητας, η σχέση µεταξύ των µεγεθών εσωτερικής έντασης (τάσεων και αντίστοιχων ανηγµένων παραµορφώσεων) θεωρείται ότι παραµένει γραµµική, ενώ στην οριακή κατάσταση της αστοχίας η δοκός χαρακτηρίζεται από έντονα µη-γραµµική συµπεριφορά των υλικών. Ο προσδιορισµός της εσωτερικής έντασης στις παραπάνω δύο οριακές καταστάσεις της δοκού µπορεί να γίνει όπως περιγράφεται παρακάτω. 60
3.5 Εντατική κατάσταση στην οριακή κατάσταση λειτουργικότητας 3.5.1 Καµπτική επιπόνηση Στην εγκάρσια διατοµή 1-1 µεταξύ των σηµειακών φορτίων που ασκούνται στη δοκό από Ο.Σ. του σχήµατος 3.7(α), η εσωτερική ένταση απεικονίζεται στο σχήµα 3.7(β). Όπως φαίνεται στο σχήµα, για την περιγραφή δεν αρκεί µόνον η υιοθέτηση της υπόθεσης Bernoulli (δηλαδή η παραδοχή ότι επίπεδες διατοµές παραµένουν επίπεδες κατά την κάµψη της δοκού), στην οποία στηρίζεται η θεωρία της γραµµικά ελαστικής δοκού, αλλά απαιτείται και η πρόσθετη παραδοχή της πλήρους συνάφειας µεταξύ σκυροδέµατος και χάλυβα, που εκφράζεται µε τη σχέση ε σκυροδέµατος =ε χάλυβα (όπου ε είναι η ανηγµένη παραµόρφωση των υλικών) στη στάθµη του οπλισµού. α V C L 1 M d b A V h x εc (α) x 3 σc 1 F c = (1/2) bx σ c = (1/2) bx ε c Ε c z = d - x 3 ιατοµή 1-1 ε s = ε c (d-x)/x (β) F s = Aσ s = A s ε s Ε s Σχήµα 3.7 Aµφιέρειστη δοκός στην οριακή κατάσταση λειτουργικότητας. (α) Φυσική κατάσταση δοκού. (β) Εσωτερική ένταση διατοµής υπό καµπτική επιπόνηση. 61
Το βάθος της θλιβόµενης ζώνης στη δοκό του σχήµατος 3.7, σε αντίθεση µε τη δοκό του σχήµατος 3.1 όπου ισούται µε h/2, προσδιορίζεται από τις σχέσεις ισοδυναµίας εσωτερικής και εξωτερικής αξονικής δύναµης (θεωρώντας δεδοµένα τα γεωµετρικά χαρακτηριστικά και τις ιδιότητες των υλικών). Για µηδενική εξωτερική αξονική δύναµη, ισχύει: F c = F s....... 3.3 Xρησιµοποιώντας τις αναλυτικές σχέσεις που δίδονται στο σχήµα, προκύπτει: (1/2)bxε c E c = A s ε s E s, όπου οι παράµετροι F c,f s, b, d, ε c, ε s ορίζονται στο σχήµα 3.7, ενώ E c και E s είναι τα µέτρα ελαστικότητας σκυροδέµατος και χάλυβα, αντίστοιχα. Θέτοντας στη σχέση αυτή A s =ρbd, E s =µe c και ε s =ε c (d-x)/x (παραδοχή πλήρους συνάφειας) προκύπτει η σχέση (1/2)x=µρd(d-x)/x. ιαιρώντας µε d 2 προκύπτει η σχέση (x/d) 2 =2µρ[1-(x/d)] κι από αυτήν υπολογίζεται το βάθος της θλιβόµενης ζώνης x: x = dµρ+d (µρ) 2 +2µρ..... 3.4 Γνωρίζοντας το βάθος της θλιβόµενης ζώνης x, ο µοχλοβραχίονας z του ζεύγους των δυνάµεων F c F s προκύπτει από τη σχέση z = d x/3 και οι τιµές των δυνάµεων F c και F s από τη σχέση: F c F s = M/z....... 3.5 Οι τιµές αυτές µπορούν να χρησιµοποιηθούν στις σχέσεις που περιέχονται στο σχήµα 3.7 για να υπολογιστούν οι τάσεις και οι αντίστοιχες ανηγµένες παραµορφώσεις που αναπτύσσονται στη διατοµή για δεδοµένη τιµή του εξωτερικού φορτίου (και συνεπώς της καµπτικής ροπής Μ). 62
3.5.2 Καµπτοδιατµητική επιπόνηση Στο σχήµα 3.8 φαίνονται οι εσωτερικές διαµήκεις και τέµνουσες δυνάµεις που αναπτύσσονται στις δύο πλευρές στοιχειώδους τµήµατος µήκους α µεταξύ δύο διαδοχικών ρωγµών στο διατµητικό µήκος της δοκού του σχήµατος 3.7 (µε την παραδοχή ύπαρξης συνάφειας µεταξύ σκυροδέµατος και χάλυβα). Εκφράζοντας τη συνθήκη ισορροπίας των ροπών των δυνάµεων αυτών και αγνοώντας τους όρους δευτέρας τάξεως προκύπτει η σχέση: M= F c z (= F s z)=va.... 3.6 Όπως και στην περίπτωση της γραµµικά ελαστικής δοκού του σχήµατος 3.1 και 3.3, η σχέση αυτή περιγράφει τον µηχανισµό µεταφοράς της τέµνουσας δύναµης - και συνεπώς του εξωτερικού φορτίου - από τη δεξιά στην αριστερή πλευρά του στοιχειώδους τµήµατος στο διατµητικό µήκος της δοκού. Σύµφωνα µε το µηχανισµό αυτό θα πρέπει οι ροπές που ασκούνται στις πλευρές του στοιχειώδους τµήµατος να διαφέρουν κατά M, γεγονός που είναι δυνατό µόνο όταν οι δυνάµεις που αναλαµβάνονται από τον οπλισµό στις πλευρές αυτές διαφέρουν κατά F s. Η τελευταία αυτή συνθήκη είναι δυνατή µόνο όταν υπάρχει συνάφεια µεταξύ σκυροδέµατος και χάλυβα. Η ύπαρξη συνάφειας µεταξύ σκυροδέµατος και χάλυβα αποτελεί, λοιπόν, αναγκαία συνθήκη για τη λειτουργία µιας δοκού από Ο.Σ. µε τον τρόπο που περιγράφεται από τη απλουστευµένη θεωρία της γραµµικά ελαστικής δοκού. α F C F C + F C z V V z+ z F C F S + F S Σχήµα 3.8 Eσωτερική ένταση στοιχειώδους τµήµατος µεταξύ διαδοχικών ρωγµών στο διατµητικό µήκος της δοκού του σχήµατος 3.7 63
3.6 Εντατική κατάσταση στην οριακή κατάσταση αστοχίας 3.6.1 Καµπτική επιπόνηση Για το τµήµα του προσοµοιώµατος που λειτουργεί ως δοκός, οι παραδοχές Bernoulli και πλήρους συνάφειας µεταξύ σκυροδέµατος και χάλυβα θεωρούνται ότι ισχύουν και στην οριακή κατάσταση αστοχίας. Εποµένως, όπως και στην περίπτωση της οριακής κατάστασης λειτουργικότητας, η µεταβολή των ανηγµένων παραµορφώσεων (που απεικονίζεται στο σχήµα 3.9) είναι γραµµική καθ ύψος της ορθογωνικής διατοµής (που επίσης απεικονίζεται στο ίδιο σχήµα), ενώ οι ανηγµένες παραµορφώσεις σκυροδέµατος και χάλυβα είναι ίσες στη στάθµη του οπλισµού. Στο παραπάνω σχήµα, που επίσης απεικονίζει τις εσωτερικές δράσεις που αναπτύσσονται στη διατοµή, η ανηγµένη παραµόρφωση του σκυροδέµατος στην ακραία θλιβόµενη ίνα της διατοµής, ε c, και η ανηγµένη παραµόρφωση του χάλυβα, ε s, αποτελούν τη βάση του κριτηρίου αστοχίας της διατοµής, µε συνηθέστερο κριτήριο αστοχίας να αποτελεί η σχέση ε c = ε cu = 0.0035. ( ηλαδή, η διατοµή θεωρείται ότι αστοχεί όταν η ε c λάβει την τιµή ε cu = 0.0035). b ε c 0.85 f c F c =0.68bxf c x 0.8 x 0.4 x d A h z = d-0.4 x ε s F s =A s f y Σχήµα 3.9 Eσωτερική ένταση στην οριακή κατάσταση αστοχίας διατοµής υπό καµπτική επιπόνηση Παρά την απλή γραµµική κατανοµή των παραµορφώσεων, η εντατική κατάσταση στη θλιβόµενη ζώνη προκύπτει πολύπλοκη λόγω της µη γραµµικής συµπεριφοράς του σκυροδέµατος και της συνεπαγόµενης µη γραµµικής διανοµής των ορθών τάσεων στη θλιβόµενη ζώνη. Από πειραµατικά αποτελέσµατα προκύπτει 64
ότι η τιµή της θλιπτικής δύναµης που αντιστοιχεί σε ε c = ε cu = 0.0035 είναι ισοδύναµη µε αυτή που προκύπτει από το γινόµενο µιας µέσης τάσης µεγέθους 0.85f c (όπου f c είναι η αντοχή του σκυροδέµατος σε µονοαξονική θλίψη) και του εµβαδού του τµήµατος της θλιβόµενης ζώνης που εκτείνεται σε βάθος ίσο µε 0.8x από την ακραία θλιβόµενη ίνα (όπου x το συνολικό βάθος της θλιβόµενης ζώνης). 4 Έτσι, όπως φαίνεται στο σχήµα 3.9, η δύναµη που µπορεί να αναλάβει η θλιβόµενη ζώνη όταν ε c = ε cu = 0.0035 είναι F c =0.68bxf c (όπου b είναι το πλάτος της ορθογωνικής διατοµής της δοκού) και ασκείται σε απόσταση ίση µε 0.4x από την ακραία θλιβόµενη ίνα. Η εφελκυστική δύναµη που αναλαµβάνει ο οπλισµός λαµβάνεται ίση µε F s =A s f y (όπου f y είναι η τάση διαρροής του χάλυβα, υποθέτοντας (για λόγους απλότητας) ελαστοπλαστική συµπεριφορά του υλικού. (Ο λόγος για τον οποίο η τάση του χάλυβα λαµβάνεται ίση µε f y θα διευκρινιστεί σε επόµενη ενότητα.) Όπως και στην περίπτωση της οριακής κατάστασης λειτουργικότητας, το βάθος της θλιβόµενης ζώνης προσδιορίζεται από τις σχέσεις ισοδυναµίας των εσωτερικών και εξωτερικών αξονικών δυνάµεων, θεωρώντας ως δεδοµένα τόσο τα γεωµετρικά χαρακτηριστικά όσο και τις ιδιότητες των υλικών. Λόγω της µηδενικής εξωτερικής αξονικής δύναµης, ισχύει F c = F s. Αντικαθιστώντας τα µεγέθη των F c και F s που εδόθησαν παραπάνω, προκύπτει η σχέση 0.68bxf c =A s f y από την οποία προκύπτει η τιµή του βάθους της θλιβόµενης ζώνης : x= A s f y /(0.68bf c )..... 3.7 Έχοντας υπολογίσει το βάθος της θλιβόµενης ζώνης x, ο µοχλοβραχίονας z του ζεύγους των δυνάµεων F c = F s προκύπτει από τη σχέση z=d-0.4x και συνεπώς η µέγιστη ροπή που µπορεί να αναλάβει η διατοµή (καµπτική αντοχή) είναι: M f = F s z = A s f y (d 0.4x)..... 3.8 65
3.6.2 Καµπτοδιατµητική επιπόνηση Για την περιοχή του διατµητικού µήκους της δοκού του σχήµατος 3.6 (περίπτωση καµπτοδιατµητικής επιπόνησης), µια σχηµατική παράσταση του δικτυώµατος που το προσοµοιάζει δίνεται στο σχήµα 3.10 το οποίο περιλαµβάνει, επίσης, και τα αντίστοιχα διαγράµµατα ροπών κάµψης και τεµνουσών δυνάµεων. Το διάγραµµα ροπών κάµψης στην περίπτωση αυτή προκύπτει διαφορετικό από το αντίστοιχο διάγραµµα της ολόσωµης δοκού που φαίνεται στο σχήµα 3.1. Στην περίπτωση του δικτυώµατος, η ροπή κάµψης µεταξύ δύο διαδοχικών (κατά την οριζόντια διεύθυνση) κόµβων, ίση µε F s z, δεν µπορεί παρά να παραµένει σταθερή, επειδή η οριζόντια δύναµη F s που µεταφέρεται µεταξύ δύο διαδοχικών κόµβων παραµένει σταθερή. Θα πρέπει επίσης να σηµειωθεί ότι από τις ασκούµενες τέµνουσες δυνάµεις που απεικονίζει το διάγραµµα τεµνουσών δυνάµεων, ένα τµήµα τους, V c, µπορούν να το αναλάβουν οι επικουρικοί µηχανισµοί αντίστασης σε δράση τέµνουσας δύναµης που περιγράφηκαν στην ενότητα 3.4. Συνεπώς, οι τέµνουσες δυνάµεις που µπορεί να αναλάβει το δικτύωµα θα πρέπει να έχουν τιµές µικρότερες από αυτές του διαγράµµατος τεµνουσών δυνάµεων της ολόσωµης δοκού τουλάχιστον κατά V c. 1 2 z/2 C L F c x z 1 2 z V F s Τ ΡΚ M=F s z=f c z Σχήµα 3.10 Προσοµοίωση αµφιέρειστης δοκού στην οριακή κατάσταση αστοχίας της ως δικτύωµα και διαγράµµατα εσωτερικών δυνάµεων για την περίπτωση διπλού σηµειακού φορτίου. 66
Οι διατοµές της διαµήκους εφελκυστικής και θλιπτικής ράβδου του δικτυώµατος αντιστοιχούν σ αυτές του διαµήκη οπλισµού της δοκού και της θλιβόµενης ζώνης, αντίστοιχα. Για το διαγώνιο θλιπτήρα, το ενεργό πλάτος του κατά τη διαµήκη διεύθυνση της δοκού (δηλ. το πλάτος του που συµµετέχει στην ανάληψη φορτίου) θεωρείται ότι είναι ίσο µε το ήµισυ του γεωµετρικού πλάτους, που ισούται µε την απόσταση µεταξύ δύο διαδοχικών (κατά την ίδια διεύθυνση) κόµβων, ενώ το εγκάρσιο πλάτος του είναι ίσο µε το πλάτος της δοκού. Τέλος, η διατοµή ενός εγκάρσιου ελκυστήρα ισούται µε το άθροισµα των διατοµών των συνδετήρων που είναι τοποθετηµένοι µεταξύ δύο διαδοχικών κόµβων. Εάν η απόσταση µεταξύ των συνδετήρων είναι s (βλ. σχήµα 3.6), τότε ο αριθµός των συνδετήρων που θεωρούνται ότι σχηµατίζουν ένα εγκάρσιο ελκυστήρα του δικτυώµατος είναι n=z/s, όπου z είναι η απόσταση µεταξύ δύο διαδοχικών κόµβων (βλ. σχήµα 3.10). Έτσι, για την περίπτωση δίτµητων συνδετήρων, το συνολικό εµβαδόν των συνδετήρων που σχηµατίζουν έναν εγκάρσιο ελκυστήρα είναι A sv =2nA σ, όπου A σ είναι η διατοµή του ενός σκέλους του συνδετήρα. Εκφράζοντας τις συνθήκες ισορροπίας στο τµήµα του προσοµοιώµατος αριστερά της τοµής 1-1 του σχήµατος 3.10 (βλ. σχήµα 3.11(α)), προκύπτει ότι η δύναµη που θα πρέπει να µπορούν να αναλάβουν οι εγκάρσιοι ελκυστήρες V s ισούται µε: V s =V-V c....... 3.9 (όπου V c είναι, όπως προαναφέρθηκε, η τέµνουσα δύναµη που αναλαµβάνουν οι «επικουρικοί» µηχανισµοί αντίστασης σε δράση τέµνουσας που περιγράφηκαν στην ενότητα 3.4). Από την ισοδυναµία εσωτερικής και εξωτερικής ροπής M = F c z = F s z..... 3.10 67
προκύπτουν οι τιµές των F c και F s. Επίσης, από τις συνθήκες ισορροπίας του κόµβου Α, που έχει αποµονωθεί στο σχήµα 3.11(β) από το δικτύωµα του σχήµατος 3.11(α), προκύπτει τόσο η τιµή της δύναµης F D που αναλαµβάνει ο διαγώνιος θλιπτήρας (F D =V 2), όσο και η µεταβολή F c της δύναµης F c µεταξύ δύο διαδοχικών οριζόντιων θλιπτήρων ( F c =V). Μία εκτίµηση της συµβολής V c των επικουρικών µηχανισµών αντίστασης της δοκού σε τέµνουσα δύναµη θα µπορούσε να βασιστεί στην παρατήρηση ότι εάν η συµβολή αυτή εκφραστεί µε τη µορφή της συµβατικής διατµητικής τάσης v c =V c /bd (όπου b και d είναι το πλάτος και το στατικό ύψος, αντίστοιχα, της διατοµής), τότε η µέγιστη τιµή της v c θα πρέπει να είναι ίση µε την εφελκυστική αντοχή f ct του σκυροδέµατος. Συνεπώς, θέτοντας v c = f ct, η V c προκύπτει από τη σχέση V c =bdf ct....... 3.11 (Όπως θα συζητηθεί σε επόµενη ενότητα, για τις ανάγκες του σχεδιασµού θεωρείται επαρκής η υπόθεση ότι f ct =1 MPa.) Α F c M z/2 V s V c z V F s 2z (α) F c - F c F c F c - F c F s - F s V V F c z F D (β) V=V c +V s Σχήµα 3.11 Συνθήκες ισορροπίας δικτυώµατος. (α) Ισοδυναµία εσωτερικών και εξωτερικών δυνάµεων. (β) Ισορροπία κόµβου Α. (γ) Ισορροπία διαγώνιας ράβδου (µηχανισµός µεταφοράς τέµνουσας από άνω δεξιό σε κάτω αριστερό άκρο της ράβδου). F s z (γ) 68
Ο τρόπος µεταφοράς του εξωτερικού φορτίου στις στηρίξεις γίνεται εµφανής θεωρώντας την ισορροπία του στοιχειώδους τµήµατος (βλ. σχήµα 3.11(γ)), το οποίο περιλαµβάνει τουλάχιστον µια διαγώνια ράβδο (µε τους κόµβους της) µεταξύ δύο διαδοχικών τοµών 1-1 και 2-2, που τέµνουν τόσο τις οριζόντιες όσο και τις εγκάρσιες ράβδους του δικτυώµατος. Για την ισορροπία του τµήµατος αυτού απαιτείται η ροπή (Μ- Μ= (F c - F c )z=(f s - F s )z) του ζεύγους των οριζόντιων δυνάµεων που δρα στην αριστερή πλευρά του να είναι µεγαλύτερη από τη ροπή (Μ= F c z=f s z) του ζεύγους των οριζόντιων δυνάµεων που δρα στη δεξιά πλευρά του κατά Μ= F c z= F s z, για να αντισταθµίσει τη δράση (Vz) του ζεύγους των δυνάµεων (V) που αναλαµβάνουν οι εγκάρσιοι ελκυστήρες. Η απαίτηση αυτή, όπως νωρίτερα διαπιστώθηκε, ικανοποιείται διότι F c = F s =V. Συνεπώς, όπως και στην περίπτωση της ολόσωµης δοκού, το δικτύωµα επιτυγχάνει τη µεταφορά του εξωτερικού φορτίου στις στηρίξεις µέσω της µεταβολής της καµπτικής ροπής η οποία, όµως, σε αντίθεση µε την ολόσωµη δοκό, πραγµατοποιείται κλιµακωτά από κόµβο σε κόµβο κατά µήκος του δικτυώµατος µε τη συµβολή των εγκάρσιων ελκυστήρων και διαγώνιων θλιπτήρων. 3.7 Σχεδιασµός δοκών από Ο.Σ. 3.7.1 Γενικές αρχές Ο σχεδιασµός ενός δοµικού στοιχείου από Ο.Σ. αποβλέπει στον προσδιορισµό των γεωµετρικών χαρακτηριστικών που εξασφαλίζουν για το στοιχείο: (α) δεδοµένη φέρουσα ικανότητα, (β) επαρκή προειδοποίηση στην περίπτωση επικείµενης αστοχίας και (γ) συµπεριφορά που δεν επηρεάζει δυσµενώς τη λειτουργία για την οποία προορίζεται η κατασκευή. Οι παραπάνω απαιτήσεις συνδέονται άµεσα µε τις γενικότερες απαιτήσεις του δοµοστατικού σχεδιασµού που περιγράφηκαν στην ενότητα 1.2.1. Οι δύο πρώτες απαιτήσεις αντιστοιχούν στην οριακή κατάσταση αστοχίας και αφορούν την ασφάλεια της κατασκευής, ενώ η τρίτη αντιστοιχεί στην οριακή κατάσταση 69
λειτουργικότητας και αφορά την καλή λειτουργία της κατασκευής. Η ικανοποίηση των απαιτήσεων (β) και (γ) ποικίλλει ανάλογα µε τον τύπο του δοµικού στοιχείου και τη χρήση για την οποία προορίζεται η κατασκευή. Ο συνήθης τρόπος ικανοποίησής τους στην περίπτωση δοκών είναι η εξασφάλιση ελαστοπλαστικής συµπεριφοράς, ώστε να εξασφαλίζεται επαρκής προειδοποίηση σε περίπτωση επικείµενης αστοχίας, µέσω µιας απότοµης και σηµαντικής αύξησης του βέλους κάµψης όταν η τιµή του φορτίου πλησιάσει τη φέρουσα ικανότητα. Αντίθετα, υπό συνθήκες λειτουργίας, το βέλος κάµψης περιορίζεται ώστε να µη επηρεάζεται δυσµενώς η λειτουργία της κατασκευής. 3.7.2 Υπολογισµός φέρουσας ικανότητας Παρουσιάζεται ένας απλός τρόπος υπολογισµού της φέρουσας ικανότητας που εξασφαλίζει επιθυµητές τιµές του βέλους κάµψης στις οριακές καταστάσεις λειτουργικότητας και αστοχίας µιας δοκού υπό εγκάρσιο φορτίο, όπως αυτή που απεικονίζεται στο σχήµα 3.6. Αν και η περιγραφή του τρόπου αυτού υπολογισµού διευκολύνεται µε την αναφορά στην περίπτωση διπλού σηµειακού φορτίου, ο τρόπος αυτός υπολογισµού έχει γενική εφαρµογή για κάθε µορφή επίπεδης έντασης, αρκεί οι όροι διατµητικό µήκος και τµήµα καθαρής κάµψης να αντιστοιχηθούν µε το τµήµα της δοκού όπου αναπτύσσονται υψηλές τιµές τέµνουσας δύναµης και τη διατοµή µέγιστης ροπής κάµψης, αντίστοιχα. Φέρουσα ικανότητα µιας δοκού µε δεδοµένα γεωµετρικά χαρακτηριστικά είναι η µεγαλύτερη τιµή των φορτίων που µπορεί να φέρει η δοκός χωρίς να αστοχήσει. Αστοχία της δοκού προκαλείται όταν τουλάχιστον ένα από τα µέλη του φυσικού προσοµοιώµατος της δοκού (δηλ. διαµήκης θλιπτήρας ή διαγώνιοι θλιπτήρες ή διαµήκεις ελκυστήρες και εγκάρσιοι ελκυστήρες) αστοχήσει υπό τη δράση του εξωτερικού φορτίου (λόγω εξάντλησης της αντοχής του). Η αντοχή των µελών του φυσικού προσοµοιώµατος για δεδοµένα γεωµετρικά χαρακτηριστικά εξαρτάται από την αντοχή των υλικών, σκυροδέµατος και χάλυβα. Σύµφωνα µε όσα αναπτύχθηκαν στην ενότητα 1.2.2.3, η τιµή της αντοχής ενός 70
υλικού προκύπτει από στατιστική επεξεργασία πειραµατικών αποτελεσµάτων τα οποία, παρά το γεγονός ότι προκύπτουν υπό ελεγχόµενες συνθήκες εργαστηρίου, παρουσιάζουν σηµαντική διασπορά που ποικίλει ανάλογα µε το υλικό και την ποιότητά του. Η τιµή αυτή της αντοχής, οριζόµενη ως χαρακτηριστική (f k ), εκφράζει την τιµή για την οποία η πιθανότητα να υπάρχουν µικρότερες τιµές είναι το πολύ 5%. Εντούτοις, για λόγους ασφαλείας, κατά τον υπολογισµό της αντοχής των µελών του φυσικού προσοµοιώµατος της δοκού, αντί των χαρακτηριστικών τιµών της αντοχής των υλικών χρησιµοποιούνται οι τιµές της αντοχής σχεδιασµού (f d ). Οι τιµές αυτές προκύπτουν διαιρώντας τις χαρακτηριστικές τιµές µε κατάλληλες τιµές των συντελεστών ασφαλείας (γ m ). Για το σκυρόδεµα και το χάλυβα, οι τιµές των συντελεστών ασφαλείας γ m είναι 1.5 και 1.15, αντίστοιχα. Επειδή εν γένει δεν είναι γνωστό εκ των προτέρων ποιο από τα µέλη του φυσικού προσοµοιώµατος θα αστοχήσει πρώτο λόγω εξάντλησης της αντοχής του, εξετάζεται ξεχωριστά η αστοχία καθενός µέλους του φυσικού προσοµοιώµατος. Σε κάθε µία από αυτές τις αστοχίες αντιστοιχεί µία τιµή του εξωτερικού φορτίου, η µικρότερη από τις οποίες θα αποτελεί τη φέρουσα ικανότητα της δοκού. Ο υπολογισµός των αντοχών των στοιχείων του φυσικού προσοµοιώµατος και οι τιµές του εξωτερικού φορτίου που αντιστοιχούν σ αυτές γίνεται όπως περιγράφεται στα επόµενα. 3.7.2.1 Αντοχή διαµήκη θλιπτήρα και διαµήκη ελκυστήρα Σύµφωνα µε τα όσα αναπτύχθηκαν στην ενότητα 3.6.2, ο διαµήκης θλιπτήρας και ο διαµήκης ελκυστήρας του δικτυώµατος του σχήµατος 3.10 έχουν τις διαστάσεις της θλιβόµενης ζώνης και του διαµήκη οπλισµού στο τµήµα της δοκού µεταξύ των δύο σηµειακών φορτίων. Το τµήµα αυτό της δοκού επιπονείται σε καθαρή κάµψη αναπτύσσοντας ένα ζεύγος εσωτερικών δυνάµεων οι οποίες, όπως φαίνεται στο σχήµα 3.9, αναλαµβάνονται από τη θλιβόµενη ζώνη και τον εφελκυόµενο χάλυβα. Αστοχία της δοκού στο τµήµα αυτό θα µπορούσε να συµβεί λόγω αστοχίας είτε της θλιβόµενης ζώνης είτε του χάλυβα. Από πειράµατα σε δοκούς έχει διαπιστωθεί ότι αστοχία της θλιβόµενης ζώνης συµβαίνει όταν η 71
ανηγµένη παραµόρφωση (ε c ) του σκυροδέµατος στην ακραία θλιβόµενη ίνα λαµβάνει τιµή µεγαλύτερη από 0.0035. Η τιµή ε cu =0.0035, λοιπόν, υιοθετείται ως κριτήριο αστοχίας της θλιβόµενης ζώνης. Αντίστοιχα, η αστοχία του οπλισµού συµβαίνει όταν η ανηγµένη παραµόρφωσή του λάβει µια τιµή µεγαλύτερη από µια οριακή τιµή η οποία προκύπτει από το διάγραµµα τάσεων-ανηγµένων παραµορφώσεων που προσδιορίζεται πειραµατικά. Παρά το γεγονός ότι σ ένα τέτοιο διάγραµµα η ελαστική συµπεριφορά του χάλυβα ακολουθείται από σηµαντική κράτυνση µέχρι την εξάντληση της αντοχής του υλικού, για απλοποίηση του σχεδιασµού γίνεται η παραδοχή της ελαστοπλαστικής συµπεριφοράς του χάλυβα (σύµφωνα µε την οποία η φέρουσα ικανότητα παραµένει σταθερή µετά τη διαρροή του υλικού και µέχρι µια οριακή τιµή που λαµβάνεται ίση µε 0.02). Μια σχηµατική απεικόνιση της ελαστοπλαστικής συµπεριφοράς του χάλυβα που υιοθετείται για τις ανάγκες του σχεδιασµού δίνεται στο σχήµα 3.12, σε αντιστοιχία µε το διάγραµµα που προκύπτει πειραµατικά. σ πραγµατική συµπεριφορά f u f y E s ~ 2 x 10 6 MPα 0 ε y 0.02 ελαστοπλαστική συµπεριφορά ε Σχήµα 3.12 Σχηµατική απεικόνιση ελαστοπλαστικής και πραγµατικής συµπεριφοράς χάλυβα υπό µονοαξονική ένταση. 72
Επαρκής προειδοποίηση επικείµενης αστοχίας της δοκού, που αποτελεί έναν από τους στόχους του σχεδιασµού που περιγράφηκαν στην ενότητα 3.7.1, επιτυγχάνεται µε απότοµη, µεγάλη αύξηση του βέλους, όταν η δοκός αρχίσει να πλησιάζει στην οριακή κατάσταση αστοχίας της (βλ. σχήµα 3.13). εδοµένου ότι το βέλος κάµψης είναι συνάρτηση της παραµόρφωσης του χάλυβα, η αύξηση αυτή του βέλους κάµψης εξασφαλίζεται µε την απαίτηση για διαρροή του χάλυβα πριν αστοχήσει η δοκός. Θα πρέπει, όµως, η αστοχία της δοκού να προκαλείται από αστοχία της θλιβόµενης ζώνης, διότι µόνον η συµπεριφορά που σχετίζεται µ αυτόν τον τρόπο αστοχίας µπορεί επίσης να εξασφαλίσει και µικρά βέλη κάµψης στη φάση λειτουργίας της δοκού (βλ. επίσης σχήµα 3.13), που αποτελούν πρόσθετη απαίτηση του σχεδιασµού (βλ. ενότητα 3.7.1). Αντίθετα, ο τύπος συµπεριφοράς στον οποίο η αστοχία της δοκού προκαλείται από την αστοχία του χάλυβα δεν εξασφαλίζει ένα µικρό βέλος κάµψης στην κατάσταση λειτουργίας της δοκού, όπως επίσης είναι ενδεχόµενο να µην εξασφαλίζει και επαρκή προειδοποίηση επικείµενης αστοχίας (βλ. επίσης σχήµα 3.13). P α β P/2 P/2 δ 0 δ Σχήµα 3.13 Καµπύλες φορτίου-βέλους κάµψης για τις περιπτώσεις αστοχίας δοκού λόγω : (α) εξάντλησης της θλιπτικής αντοχής του σκυροδέµατος µετά από διαρροή του εφελκυόµενου διαµήκη χάλυβα. (β) εξάντλησης της αντοχής του εφελκυόµενου διαµήκη χάλυβα πριν την εξάντληση της θλιπτικής αντοχής του σκυροδέµατος. 73
Σύµφωνα µε τα παραπάνω, λοιπόν, στην οριακή κατάσταση αστοχίας η εσωτερική ένταση στο τµήµα της δοκού µεταξύ των σηµειακών φορτίων χαρακτηρίζεται, όπως απεικονίζεται στο σχήµα 3.9, από ε c =0.0035 και ε y =f yd /E s <ε s <0.02 (όπου ε y και f yd είναι η ανηγµένη παραµόρφωση και αντίστοιχη τάση διαρροής σχεδιασµού του χάλυβα). Σύµφωνα µε τα όσα αναπτύχθηκαν στην ενότητα 3.6.1, οι δυνάµεις που αναλαµβάνονται από τη θλιβόµενη ζώνη και τον εφελκυόµενο οπλισµό είναι F c =F s =A s f yd οι οποίες, έχοντας µοχλοβραχίονα z=d- 0.4A s f yd /(0.68bf cd ), εξασφαλίζουν στο υπό καθαρή κάµψη τµήµα της δοκού καµπτική αντοχή M f =A s f yd [d-0.4a s f yd /(0.68bf cd )] που, για τη διάταξη του φορτίου του σχήµατος 3.6, αντιστοιχεί σε µια τιµή της φέρουσας ικανότητας της δοκού που δίδεται από τη σχέση P f = 2M f /a v = (2/a v )A s f yd [d-0.4a s f yd /(0.68bf cd )]. (Θα πρέπει να σηµειωθεί ότι στις σχέσεις που µεταφέρθηκαν από την ενότητα 3.6.1, f y και f c αντικαταστάθηκαν µε f yd και f cd, αντίστοιχα.) Σε περίπτωση που απαιτείται αύξηση των παραπάνω τιµών καµπτικής αντοχής και φέρουσας ικανότητας, η αύξηση αυτή θα µπορούσε να προκύψει από την τοποθέτηση ισόποσου πρόσθετου οπλισµού A s στη θλιβόµενη και εφελκυόµενη ζώνη της δοκού σε απόσταση d' και d, αντίστοιχα, από την ακραία θλιβόµενη ίνα (βλ. σχήµα 3.14). Θεωρώντας ότι ο οπλισµός αυτός ευρίσκεται σε κατάσταση διαρροής στην οριακή κατάσταση αστοχίας της δοκού, η ροπή του ζεύγους των δυνάµεων που αναλαµβάνει θα είναι M= A s f yd (d-d ). Από τη σχέση αυτή υπολογίζεται η ποσότητα του οπλισµού που χρειάζεται έτσι ώστε η ροπή M να ισούται µε την απαιτούµενη αύξηση της καµπτικής ροπής από την οποία θα προκύψει και η αντίστοιχη αύξηση της φέρουσας ικανότητας. Θα πρέπει να σηµειωθεί, ακόµα, ότι η δοκός µε τον πρόσθετο οπλισµό εξακολουθεί να πληροί τις απαιτήσεις σχεδιασµού που αφορούν το µέγεθος του βέλους κάµψης, όχι µόνο στην οριακή κατάσταση αστοχίας όπου είναι προφανής η δυνατότητα ανάπτυξης µεγάλου βέλους κάµψης λόγω της διαρροής του πρόσθετου οπλισµού, αλλά και στην οριακή κατάσταση λειτουργικότητας όπου η αύξηση της ακαµψίας που προκαλεί η προσθήκη πρόσθετου οπλισµού οδηγεί σε µείωση του βέλους κάµψης στην ελαστική περιοχή συµπεριφοράς της δοκού. 74
d' d A s A s F c = A s f y F s = A s f y d-d' Σχήµα 3.14 Πρόσθετος θλιβόµενος και εφελκυόµενος διαµήκης οπλισµός δοκού για την αύξηση της καµπτικής αντοχής Ο ακριβής υπολογισµός της καµπτικής αντοχής της παραπάνω διατοµής, στην οποία επιτεύχθηκε η αύξηση της καµπτικής αντοχής µε την προσθήκη πρόσθετου ισόποσου θλιβόµενου και εφελκυόµενου οπλισµού, µπορεί να γίνει µε µια µικρή παραλλαγή της µεθόδου που αναπτύχθηκε στην ενότητα 3.6.1 για τον υπολογισµό της καµπτικής αντοχής της διατοµής του σχήµατος 3.9, στην οποία υπάρχει µόνον εφελκυόµενος οπλισµός. Το σχήµα 3.15 περιγράφει την εντατική κατάσταση και την αντίστοιχη παραµόρφωση της ίδιας διατοµής, αλλά µε διπλό (θλιβόµενο και εφελκυόµενο σε αποστάσεις d και d, αντίστοιχα, από την ακραία θλιβόµενη ίνα) οπλισµό. Από το σχήµα φαίνεται ότι ο θλιβόµενος οπλισµός (A s ) αναλαµβάνει ένα µέρος (F s ) της εσωτερικής δύναµης που ασκείται στη θλιβόµενη ζώνη. Λόγω της παραδοχής της πλήρους συνάφειας, οι ανηγµένες παραµορφώσεις του θλιβόµενου οπλισµού και του σκυροδέµατος, στη στάθµη του οπλισµού, είναι ίσες και, συνεπώς υποθέτοντας ελαστική συµπεριφορά του θλιβόµενου οπλισµού, F s =A s ε s E s (όπου ε s =[(x-d )/x]0.0035 και Ε s =200000 MPa είναι η ανηγµένη παραµόρφωση και το µέτρο ελαστικότητας, αντίστοιχα, του χάλυβα). Έτσι, από την ισοδυναµία των εσωτερικών και εξωτερικών δράσεων κατά τη διαµήκη διεύθυνση (F c +F s -F s =0) προκύπτει 0.68bf cd x+700a s (x-d )/x-a s f yd =0 (όπου F c και F s είναι οι δυνάµεις που αναλαµβάνονται από το σκυρόδεµα της θλιβόµενης ζώνης και τον εφελκυόµενο οπλισµό, αντίστοιχα) από την οποία υπολογίζεται το βάθος της θλιβόµενης ζώνης x. (Έχοντας υπολογίσει το x, γίνεται έλεγχος για να διαπιστωθεί εάν πράγµατι ε s =[(x-d )/x]0.0035<ε y =f yd /E s. Εάν βρεθεί ότι ε s >ε y, τότε τίθεται 75
F s =A s f y και επαναπροσδιορίζεται το x από τη σχέση F c +F s -F s =0). H καµπτική αντοχή της διατοµής ευρίσκεται από τη σχέση M f = F c z+f s (d-d ) (όπου z=d-0.4x) που εκφράζει το άθροισµα των ροπών των διαµηκών δυνάµεων ως προς τη στάθµη του εφελκυστικού οπλισµού. b ε c = 0.0035 0.85 f cd d' F' s d A s ' A s 0.8 x x-d' ε s ' = 0.0035 x F c F s ε s =0.0035(d-x)/x>ε y = f y /E s Σχήµα 3.15 Eσωτερική ένταση διατοµής µε εφελκυόµενο και θλιβόµενο οπλισµό υπο καµπτική επιπόνηση στην οριακή κατάσταση αστοχίας. 3.7.2.2 Κρίσιµη αντοχή των διαγώνιων θλιπτήρων ή εγκάρσιων ελκυστήρων Όπως και στην περίπτωση του διαµήκη ελκυστήρα, στην οριακή κατάσταση αστοχίας της δοκού, ο εγκάρσιος ελκυστήρας θεωρείται ότι λειτουργεί στην κατάσταση διαρροής του, διότι έτσι απαιτείται η µικρότερη δυνατή ποσότητα χάλυβα για την ανάληψη τέµνουσας δύναµης µε δεδοµένη τιµή. Εάν, λοιπόν, A sv και f yvd είναι το εµβαδόν της διατοµής και η τάση διαρροής σχεδιασµού, αντίστοιχα, του εγκάρσιου ελκυστήρα, τότε η τέµνουσα δύναµη που µπορεί να αναληφθεί από αυτόν είναι V s =A sv f yvd. Προσθέτοντας στην τιµή αυτή την τιµή της τέµνουσας δύναµης V c =bdf ct, που αναλαµβάνουν οι «επικουρικοί» µηχανισµοί αντοχής που αναπτύχθηκαν στην ενότητα 3.4, προκύπτει η αντοχή σε τέµνουσα δύναµη V R =V s +V c και η αντίστοιχη φέρουσα ικανότητα της P V =2V R. Όπως αναφέρθηκε στην ενότητα 3.6.2, για τον υπολογισµό της V c θεωρείται επαρκής η παραδοχή f ct =1 76
MPa, από την οποία προκύπτει η τιµή σχεδιασµού f ctd = f ct /γ c, όπου γ c =1.5 είναι ο συντελεστής ασφαλείας για το σκυρόδεµα. Η αντοχή του διαγώνιου θλιπτήρα (που θεωρείται ότι υπόκειται σε κεντρική θλίψη F D (βλ. Σχήµα 3.11)) είναι ίση µε το γινόµενο της αντοχής του σκυροδέµατος σε µονοαξονική θλίψη f c και του εµβαδού του θλιπτήρα εγκάρσια στην F D. Aπό το σχήµα 3.11 φαίνεται ότι το εµβαδόν της διατοµής είναι b(z/2)( 2/2)=( 2/4)bz και συνεπώς F D =( 2/4)bzf cd, ενώ η τέµνουσα δύναµη που αντιστοιχεί στην F D είναι: V max =( 2/2)F D = (1/4)bzf cd..... 3.12 Εδώ θα πρέπει να σηµειωθεί ότι η εξάντληση της αντοχής της δοκού σε τέµνουσα, ανεξάρτητα από το εάν προκαλείται από αστοχία εγκάρσιου ελκυστήρα ή διαγώνιου θλιπτήρα, δεν δίνει προειδοποίηση της επικείµενης αστοχίας της δοκού, διότι η αστοχία αυτή είναι ψαθυρή, δηλαδή χαρακτηρίζεται από ξαφνική και πλήρη απώλεια της φέρουσας ικανότητας της δοκού αµέσως µόλις εξαντληθεί η αντοχή της. Μια τέτοια µορφή αστοχίας είναι ανεπιθύµητη. Όπως αναλύθηκε στην ενότητα 3.7.2.1 η δοκός πρέπει να σχεδιάζεται ώστε να προηγηθεί αστοχία της δοκού λόγω αστοχίας της θλιβόµενης ζώνης της (δηλ. του οριζόντιου θλιπτήρα του προσοµοιώµατός της). Με τον τρόπο αυτό αστοχίας εξασφαλίζεται επαρκής προειδοποίηση αρκεί να προηγηθεί της αστοχίας διαρροή του διαµήκη οπλισµού (δηλ. του διαµήκη ελκυστήρα του προσοµοιώµατος). 3.7.3 Υπολογισµός βέλους κάµψης Το βέλος κάµψης της δοκού σε ένα σηµείο κατά µήκος του άξονά της στη φάση λειτουργίας της δίνεται, όπως φαίνεται στο σχήµα 3.16, από τη σχέση w =1/r, σύµφωνα µε την οποία η δεύτερη παράγωγος του βέλους κάµψης στη θέση αυτή είναι ίση µε την καµπυλότητα της δοκού στην ίδια θέση. 28 Επειδή µέχρι και την οριακή κατάσταση λειτουργικότητας η δοκός θεωρείται ότι συµπεριφέρεται 77
γραµµικά, θα µπορούσε να χρησιµοποιηθεί η αρχή της επαλληλίας για να αναλυθεί η καµπυλότητα στις επιµέρους συνιστώσες της, όπως φαίνεται στο σχήµα 3.16. 30 o Απαραµόρφωτη δοκός r 2 d w 1 1 1 1 1 w" = = = + + dx r r 2 p r it r l ip r cs Παραµορφωµένη δοκός x w =1/r w 1 όπου rl p 1 1 r it r ip 1, 1 r it r ip 1 r cs η µακροχρόνια καµπυλότητα λόγω µονίµου φορτίου η στιγµιαία καµπυλότητα λόγω µη µονίµων φορτίων οι στιγµιαίες καµπυλότητες λόγω του συνολικού και του µόνιµου φορτίου αντίστοιχα η καµπυλότητα λόγω συστολής ξήρανσης Σχ. : 3.16 Καµπυλότητα δοκού σε δεδοµένη απόσταση από τη στήριξη. Ο τρόπος µε τον οποίο η καµπυλότητα σε µία θέση της δοκού συνδέεται µε τα γεωµετρικά χαρακτηριστικά και την εντατική κατάσταση της διατοµής στο υπόψη σηµείο περιγράφεται στο σχήµα 3.17. Το σχήµα απεικονίζει ένα στοιχειώδες τµήµα της δοκού µεταξύ δύο διαδοχικών διατοµών 1-1 και 2-2, πριν και µετά την κάµψη της δοκού. Λόγω της κάµψης της δοκού, η διατοµή 2-2 στρέφεται σε σχέση µε τη διατοµή 1-1 κατά γωνία φ. Η γωνία αυτή, όπως φαίνεται στο σχήµα, µπορεί να εκφραστεί ως συνάρτηση των ανηγµένων παραµορφώσεων της ακραίας θλιβόµενης ίνας της διατοµής και του εφελκυόµενου οπλισµού µε τη σχέση φ=(ε s +ε c ) x/d=ε c x/y. Εάν, µετά την κάµψη της δοκού, η ουδετέρα γραµµή του στοιχειώδους αυτού τµήµατος θεωρηθεί τόξο κύκλου µε κέντρο το σηµείο τοµής των ευθειών 1-1 και 2-2 και ακτίνα r, όπου 1/r εκφράζει την καµπυλότητα της δοκού στην περιοχή του στοιχειώδους τµήµατος, τότε η γωνία φ µπορεί να εκφραστεί και ως συνάρτηση της καµπυλότητας µε τη σχέση φ= x/r. Απαλείφοντας από τις παραπάνω σχέσεις το λόγο φ/ x προκύπτει ότι 1/r=(ε s +ε c )/d=ε c /y. Επειδή όµως 78
ε c =σ c /E c και σ c =My/Ι, η καµπυλότητα µπορεί να εκφραστεί και µε τη µορφή 1/r=M/(E c Ι). O φ = x r 1 2 x x b A' s A s d r 1 1 ε c x 2' 2 x 2 x φ 2' 1 2 ( ) φ = ε c + ε s x 1 r d = φ x = ε c + ε s d ε s x Σχήµα 3.17 Σχέση µεταξύ καµπυλότητας και εντατικής κατάστασης δοκού σε απόσταση x από τη στήριξη. Mια σχηµατική παράσταση της µορφής της δοκού στην οριακή κατάσταση λειτουργικότητας απεικονίζεται στο σχήµα 3.18, που δείχνει δοκό αποτελούµενη από δύο περιοχές, µια αρηγµάτωτη και µια ρηγµατωµένη. Α : Αρηγµάτωτο τµήµα Β : Ρηγµατωµένο τµήµα Α Β Α Σχήµα 3.18 Σχηµατική απεικόνιση δοκού (µε µεγενθυµένο βέλος κάµψης) στην οριακή κατάσταση λειτουργικότητας. 79
Εάν οι ροπές αδρανείας των διατοµών στις παραπάνω περιοχές συµβολιστούν µε I g και I cr, αντίστοιχα, τότε µια συµβατική µέση ροπή αδρανείας, που θα µπορούσε να χρησιµοποιηθεί για απλοποίηση του σχεδιασµού σε όλο το µήκος της δοκού, δίνεται από τη σχέση: 31 Ι e =(M cr /M α ) 3 Ι g +[1-(M cr /M α ) 3 ]Ι cr... 3.13 όπου Μ α η ροπή κάµψης που προκαλεί το ζητούµενο βέλος, M cr =(f ct,fl I g )/(h-x) η ροπή που αντιστοιχεί στην αντοχή του σκυροδέµατος σε καµπτικό εφελκυσµό f ct,fl (h-x είναι η απόσταση της ακραίας εφελκυόµενης ίνας από την ουδετέρα γραµµή). Η ροπή αδρανείας (I g ) της αρηγµάτωτης διατοµής προκύπτει όπως περιγράφεται στο σχήµα 3.19 σύµφωνα µε τις αρχές των οµογενών διατοµών (αγνοώντας, συνήθως, την ύπαρξη οπλισµού). Ο προσδιορισµός της ροπής αδρανείας (Ι cr ) της ρηγµατωµένης διατοµής γίνεται µε τον τρόπο που περιγράφεται στο σχήµα 3.20, µε βάση τις παραδοχές επιπεδότητας της διατοµής και πλήρους συνάφειας µεταξύ σκυροδέµατος και χάλυβα. d' µa' s h d A' s A c x A c A' s Jg = bh 12 b Αρηγµάτωτη διατοµή bh x - h + + µ A' s x-d' + µ As d-x 2 όπου x προκύπτει από τη σχέση : A 3 x- h + µ A' s x-d' µ As d-x 2 c = 2 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) Ισοδύναµη διατοµή 2 µa s Σχήµα 3.19 Ροπή αδρανείας αρηγµάτωτης διατοµής 80
d' b µa' s h d A' s A c x A c A s µa s Ρηγµατωµένη διατοµή Ισοδύναµη διατοµή 3 J x µ ρ 1 - x 2 2 cr 1 x d' = + + µ ρ' - 3 bd 3 d d d d όπου x προκύπτει από τη σχέση : x d 2 2 = - µ ( ρ+ρ' ) + µ ( ρ + ρ' ) + 2µ ρ+ρ' d' d Σχήµα 3.20 Ροπή αδρανείας ρηγµατωµένης διατοµής 3.7.4 ιαδικασία σχεδιασµού ίνονται τα διαδοχικά στάδια σχεδιασµού µίας δοκού από Ο.Σ. µε βάση τις αρχές και τις θεωρήσεις που διατυπώθηκαν στις ενότητες 3.7.1 έως 3.7.3. 3.7.4.1 Αρχική εκτίµηση γεωµετρικών χαρακτηριστικών Ο σχεδιασµός είναι µια επαναληπτική διαδικασία που βασίζεται σε µια αρχική εκτίµηση των γεωµετρικών χαρακτηριστικών του δοµικού στοιχείου, µε τον αριθµό των επαναλήψεων να εξαρτάται από την επιτυχία της αρχικής εκτίµησης. Για την περίπτωση µίας κατασκευής µε πλαισιακό φέροντα οργανισµό, η εκτίµηση των γεωµετρικών χαρακτηριστικών µιας αµφιέρειστης δοκού (δηλ. του τµήµατος του φορέα µεταξύ δύο διαδοχικών σηµείων µηδενικής καµπτικής ροπής) στηρίζεται στο µήκος της δοκού που είναι γνωστό από τη µορφή του φέροντος οργανισµού. Η 81
πρακτική εµπειρία έχει δείξει ότι το στατικό ύψος d της δοκού θα µπορούσε να ληφθεί ίσο µε l/12, όπου l είναι το µήκος της αµφιέρειστης δοκού, ενώ στο πλάτος b του κορµού της θα µπορούσε να δοθεί µια τιµή µεταξύ (1/3)d και (2/3)d. Σύµφωνα µε όσα αναπτύχθηκαν στην ενότητα 3.6.1, στην οριακή κατάσταση αστοχίας της δοκού ο εφελκυόµενος οπλισµός, στο µεσαίο τµήµα της δοκού, θεωρείται ότι ευρίσκεται σε κατάσταση διαρροής. Εάν δε υποτεθεί ότι ο µοχλοβραχίονας z των εσωτερικών δυνάµεων (βλ. σχήµα 3.9) είναι ίσος µε 0.9d, τότε ο οπλισµός Α s που απαιτείται για να αναλάβει τη ροπή σχεδιασµού M d ευρίσκεται από τη σχέση Μ d =F s z=a s f yd z ή Α s =M d /(f yd z). 3.7.4.2 Yπολογισµός καµπτικής αντοχής Έχοντας προσδιορίσει πλήρως τα γεωµετρικά χαρακτηριστικά µε τον τρόπο που περιγράφηκε παραπάνω, επακολουθεί ο υπολογισµός της καµπτικής αντοχής M f του µεσαίου τµήµατος της δοκού, όπως περιγράφεται στην ενότητα 3.6.1. (Εάν βρεθεί ότι M f <M d, ενισχύεται η δοκός µε πρόσθετο ισόποσο εφελκυόµενο και θλιβόµενο οπλισµό µε τον τρόπο που περιγράφεται στην ενότητα 3.7.2.1 έτσι ώστε να ικανοποιηθεί η συνθήκη M f >M d ). Με την καµπτική αντοχή της δοκού γνωστή, εύκολα υπολογίζεται η φέρουσα ικανότητα της δοκού και κατασκευάζεται το διάγραµµα τεµνουσών δυνάµεων V f που αντιστοιχεί στη διάταξη του φορτίου που ασκείται στη δοκό. Εδώ θα πρέπει να γίνει η υπενθύµιση ότι η καµπτική αντοχή, που υπολογίστηκε σύµφωνα µε τα όσα αναπτύχθηκαν στην ενότητα 3.7.2.1, αντιστοιχεί όχι µόνο σε µια τιµή της φέρουσας ικανότητας τουλάχιστον ίση µε αυτή που απαιτείται, αλλά, ταυτόχρονα, µετά τη διαρροή του διαµήκη εφελκυόµενου χάλυβα, οδηγεί σε µεγάλη αύξηση του βέλους κάµψης, ικανή να δώσει έγκαιρη προειδοποίηση στο µικρής πιθανότητας ενδεχόµενο καµπτικής αστοχίας της δοκού, σύµφωνα µε τις απαιτήσεις που περιγράφηκαν στην ενότητα 3.7.1. Αλλά για να εξασφαλισθούν οι παραπάνω απαιτήσεις για δεδοµένη φέρουσα ικανότητα και 82
έγκαιρη προειδοποίηση επικείµενης αστοχίας, θα πρέπει να αποκλεισθεί το ενδεχόµενο κάθε µορφής αστοχίας της δοκού πλην της καµπτικής. 3.7.4.3 Eξασφάλιση καµπτικής αστοχίας Η διαδικασία υπολογισµού της καµπτικής ροπής και της αντίστοιχης φέρουσας ικανότητας, που αναπτύχθηκε παραπάνω, εξασφαλίζει επάρκεια αντοχής τόσο στο διαµήκη θλιπτήρα όσο και στο διαµήκη ελκυστήρα του δικτώµατος που αποτελεί το προσοµοίωµα του διατµητικού µήκους της δοκού. Αποµένει να ελεγχθεί η επάρκεια των διαγώνιων θλιπτήρων και να υπολογιστεί ο απαιτούµενος οπλισµός που θα αποτελέσει τους εγκάρσιους ελκυστήρες του δικτυώµατος, έτσι ώστε να αποκλεισθεί το ενδεχόµενο αστοχίας σε τέµνουσα, πριν να εξαντληθεί η καµπτική αντοχή της δοκού. Σύµφωνα µε όσα αναπτύχθηκαν στην ενότητα 3.7.2.2, η τέµνουσα δύναµη που αντιστοιχεί στην αντοχή του διαγώνιου θλιπτήρα είναι V max =( 2/2)F D =(1/4)bzf cd. Για να αποκλειστεί το ενδεχόµενο αστοχίας του θλιπτήρα αυτού πριν την καµπτική αστοχία, θα πρέπει να ικανοποιείται η συνθήκη V max >V f. Εάν V max <V f, θα πρέπει να αυξηθεί το πλάτος b της δοκού µέχρις ότου αλλάξει η φορά της ανισότητας. Όµως, η ικανοποίηση της παραπάνω συνθήκης δεν αρκεί για να αποκλειστεί το ενδεχόµενο αστοχίας σε τέµνουσα πριν να εξαντληθεί η καµπτική αστοχία. Για να συµβεί αυτό θα πρέπει ο οπλισµός που απαιτείται για να σχηµατιστεί ένας εγκάρσιος ελκυστήρας να µπορεί να αναλάβει µια δύναµη V s ίση µε V f -V c, όπου V c είναι η τέµνουσα δύναµη που αναλαµβάνουν οι επικουρικοί µηχανισµοί αστοχίας που αναπτύχθηκαν στην ενότητα 3.4 (βλ. επίσης ενότητα 3.7.2.2). Σύµφωνα µε όσα αναπτύχθηκαν στην ενότητα 3.7.2.2, ο απαιτούµενος οπλισµός είναι A sv =(V f -V c )/f yd. O οπλισµός αυτός, που απαιτείται σε µήκος z, κατανέµεται οµοιόµορφα έτσι ώστε να καλύπτει όλο το τµήµα του διατµητικού µήκους που εκτείνεται µεταξύ της διατοµής που απέχει απόσταση z από τη στήριξη και της διατοµής που περιέχει το σηµείο φόρτισης. 83
Υπάρχει όµως το ενδεχόµενο να ισχύει V c >V f. Στην περίπτωση αυτή η µεταφορά του φορτίου στις στηρίξεις δεν απαιτεί τη λειτουργία της δοκού ως δικτύωµα. Παρά ταύτα και στην περίπτωση αυτή κρίνεται ως απαραίτητη η τοποθέτηση εγκάρσιου οπλισµού, µε τη µορφή συνδετήρων, ικανού να αναλάβει µια εφελκυστική τάση ίση µε f ctd =f ct /γ c =1/1.5=0.67. Ο ελάχιστος αυτός οπλισµός χρησιµοποιείται διότι προκαλεί ανακατανοµή των συγκεντρώσεων των εσωτερικών τάσεων, που αναπτύσσονται λόγω της µεγάλης ανοµοιογένειας του σκυροδέµατος, συµβάλλοντας κατ αυτόν τον τρόπο στην «προσαρµογή» της εσωτερικής έντασης στις παραδοχές σχεδιασµού. Όπως και στην περίπτωση των συνδετήρων που αποτελούν τους εγκάρσιους ελκυστήρες του δικτυώµατος, η ελάχιστη απόσταση των συνδετήρων που αποτελούν τον ελάχιστο εγκάρσιο οπλισµό θα πρέπει να είναι µικρότερη από τον µοχλοβραχίονα z των εσωτερικών διαµηκών δυνάµεων. 3.7.4.4 Έλεγχος βέλους κάµψης στην οριακή κατάσταση λειτουργικότητας Έχοντας ήδη ικανοποιήσει τις απαιτήσεις του δοµοστατικού σχεδιασµού για επαρκές περιθώριο ασφάλειας έναντι αστοχίας υπό δεδοµένο φορτίο και επαρκή προειδοποίηση στην περίπτωση του µικρής πιθανότητας ενδεχόµενου αστοχίας, θα πρέπει να εξασφαλισθεί και ικανοποιητική συµπεριφορά του δοµικού στοιχείου υπό συνθήκες λειτουργίας. Στην περίπτωση της δοκού, η τελευταία από τις παραπάνω απαιτήσεις ικανοποιείται συνήθως όταν το βέλος κάµψης είναι µικρότερο από µια οριακή τιµή που λαµβάνεται ίση µε l/300, όπου l είναι το άνοιγµα της δοκού. Ο υπολογισµός του βέλους κάµψης γίνεται µε τον τρόπο που περιγράφεται στην ενότητα 3.7.3 και απαιτεί να ληφθούν υπόψη τόσο οι στιγµιαίες όσο και οι χρόνιες παραµορφώσεις της δοκού υπό τα φορτία που περιγράφονται στο σχήµα 3.16. Η τιµή του βέλους κάµψης που προκύπτει συγκρίνεται µε την προαναφερθείσα οριακή τιµή και, εάν βρεθεί ότι είναι µεγαλύτερη, θα πρέπει να γίνει κατάλληλη προσαρµογή των γεωµετρικών χαρακτηριστικών της δοκού, ώστε να αλλάξει η φορά της ανισότητας. Η προσαρµογή αυτή συνήθως ικανοποιείται µε την αύξηση του στατικού ύψους της διατοµής, αλλά σπανίως υπάρχει ανάγκη να γίνει, διότι η αρχική 84
εκτίµηση του στατικού ύψους βασίζεται σε εµπειρία που λαµβάνει υπόψη την ανάγκη για µικρά βέλη κάµψης υπό συνθήκες λειτουργίας. Η εµπειρία αυτή έχει ενσωµατωθεί στους ισχύοντες κανονισµούς υπό µορφή πινάκων που διευκολύνουν την αρχική επιλογή του στατικού ύψους της δοκού. 3.7.5 Παράδειγµα σχεδιασµού αµφιέρειστης δοκού Σχεδιάζεται δοκός ορθογωνικής διατοµής, ανοίγµατος 6 m, ικανή να αναλάβει οµοιόµορφα κατανεµηµένο φορτίο (σχεδιασµού) έντασης q=70 kn/m, χρησιµοποιώντας σκυρόδεµα και χάλυβα µε χαρακτηριστικές τιµές της θλιπτικής αντοχής (κυλίνδρου) και τάσης διαρροής, αντίστοιχα, f ck =26 MPa και f yk =500 MPa, µε αντίστοιχους µερικούς συντελεστές ασφαλείας γ c =1.5 και γ s =1.15. ίνονται επίσης η εφελκυστική αντοχή του σκυροδέµατος σε κάµψη f ct,fl =4 MPa, ο συντελεστής ερπυσµού φ=1.2, το µέτρο ελαστικότητας του σκυροδέµατος E c =31000 MPa και το µέτρο ελαστικότητας του χάλυβα Ε s =200000 MPa. (α) Αρχική επιλογή γεωµετρικών χαρακτηριστικών (βλ. ενότητα 3.7.4.1) Λαµβάνονται d=l/12=6000/12=500 mm, b=d/2=500/2=250 mm και A s =M d /(0.9df yd ) = (ql 2 /8)/(0.9df yd ) = (70 6 2 /8) 10 6 /(0.9 500 500/1.15) = 1610 mm 2. (β) Έλεγχος αρχικής επιλογής και τελικός προσδιορισµός γεωµετρικών χαρακτηριστικών (βλ. ενότητα 3.7.4.2) Τα γεωµετρικά χαρακτηριστικά της διατοµής µαζί µε µια σχηµατική παράσταση της εσωτερικής έντασης και των εσωτερικών και εξωτερικών δράσεων απεικονίζονται στο σχήµα 3.21. Από το σχήµα φαίνεται ότι αντικαθιστώντας F c =0.68f cd bx=0.68 (26/1.5) 250x = 2946.67x και F s =A s f yd =1610 500/1.15= 700000 N στη σχέση F c F s =0, που εκφράζει την ισοδυναµία των εσωτερικών και εξωτερικών αξονικών δυνάµεων, προκύπτει x=700000/2946.67~237 mm. 85