ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΚΑΙ ΤΙΜΟΛΟΓΗΣΗ ΑΣΦΑΛΙΣΤΗΡΙΩΝ ΖΩΗΣ ΜΕ ΕΓΓΥΗΜΕΝΕΣ ΑΠΟΔΟΣΕΙΣ - ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΚΙΝΔΥΝΟΥ ΕΠΙΤΟΚΙΩΝ ΚΑΙ ΘΝΗΣΙΜΟΤΗΤΑΣ Κωνσταντίνος Παπαγιαννόπουλος ΕΡΓΑΣΙΑ Που υποβλήθηκε στο Τμήμα Στατιστικής του Οικονομικού Πανεπιστημίου ΑΘηνών ως μέρος των απαιτήσεων για την απόκτηση Μεταπτυχιακού Διπλώματος Συμπληρωματικής Ειδίκευσης στη Στατιστική Μερικής Παρακολούθησης (Part-time) Αθήνα Σεπτέμβριος 2014

Στην Οικογένειά μου. ΑΦΙΕΡΩΣΗ

ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ Αισθάνομαι την ανάγκη να ευχαριστήσω τον επιβλέποντα της διπλωματικής Επίκουρο Καθηγητή κύριο Αλέξανδρο Ζυμπίδη για την πολύτιμη βοήθειά του, την συνεργασία του καθ όλη τη διάρκεια συγγραφής της παρούσης καθώς και για το ενδιαφέρον και την υποστήριξη του. Επιθυμώ επίσης να ευχαριστήσω την οικογένειά μου για την αμέριστη στήριξή τους χωρίς την οποία θα ήταν αδύνατη η ολοκλήρωση των σπουδών μου. I

II

ΒΙΟΓΡΑΦΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ Ο Κωνσταντίνος Παπαγιαννόπουλος είναι απόφοιτος του Μαθηματικού Τμήματος του Εθνικού και Καποδιστριακού Πανεπιστημίου Αθηνών. Τα τελευταία δέκα και πλέον χρόνια εργάζεται αδιάλειπτα στην Ελλάδα στην Αμερικανική Ασφαλιστική Εταιρεία MetLife στο Τμήμα Μηχανογράφησης με κύριο ρόλο την λειτουργική μηχανογραφική υποστήριξη των χωρών της Κεντρικής και Ανατολικής και Νοτιοανατολικής Ευρώπης που αποτελούν και τις περιοχές περιφερικής διοικητικής ευθύνης. III

IV

ABSTRACT Konstantinos Papagiannopoulos VALUATION AND PRICING OF LIFE INSURANCE PRODUCTS WITH GUARANTEED RETURNS - MODELING INTEREST RATES AND MORTALITY RISK September 2014 This thesis presents the basic types of life insurance and annuities products, their uses as well as their analytical pricing models. We also focus on modelling modern life insurance Equity Linked products and Participating life insurance products that are characterized by a minimum interest rate guarantee. We describe and analyse the main risks associated with these types of products. Additionally we present the most widely used stochastic models for modelling interest rates. Finally, under the risk modeling and projection framework particular reference is made to the mortality model proposed by Lee- Carter. This model is one of the most popular methods for forecasting mortality and is widely used in both academic literature and in practical applications. V

VI

ΠΕΡΙΛΗΨΗ Κωνσταντίνος Παπαγιαννόπουλος ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΚΑΙ ΤΙΜΟΛΟΓΗΣΗ ΑΣΦΑΛΙΣΤΗΡΙΩΝ ΖΩΗΣ ΜΕ ΕΓΓΥΗΜΕΝΕΣ ΑΠΟΔΟΣΕΙΣ - ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΚΙΝΔΥΝΟΥ ΕΠΙΤΟΚΙΩΝ ΚΑΙ ΘΝΗΣΙΜΟΤΗΤΑΣ Σεπτέμβριος 2014 Στην παρούσα διπλωματική εργασία παρατίθενται οι βασικότεροι τύποι ασφαλιστηρίων ζωής και προσόδων, οι αναλυτικές περιγραφές και χρήσεις τους καθώς και τα αναλυτικά μοντέλα τιμολόγησης τους. Ειδικότερα επικεντρωνόμαστε και παραθέτουμε τους τρόπους μοντελοποίησης σύγχρονων προϊόντων ζωής συνδεδεμένων με μετοχικούς δείκτες και προϊόντων με συμμέτοχη που παρέχουν πρόσθετες ενσώματες εγγυήσεις. Ακολούθως περιγράφουμε τους κύριους κινδύνους που ενέχουν τα παραπάνω προϊόντα και παραθέτουμε τα πιο διαδεδομένα στοχαστικά μοντέλα που χρησιμοποιούνται για την μοντελοποίηση των επιτοκίων. Τέλος στα πλαίσια περιγραφής και της ανάγκης πρόβλεψης του ασφαλιστικού κίνδυνου περιγράφεται αναλυτικά το μοντέλο θνησιμότητας που προτάθηκε από τους Lee-Carter. Το μοντέλο αυτό αποτελεί μία από τις πιο δημοφιλείς μεθόδους πρόβλεψης της θνησιμότητας και χρησιμοποιείται ευρέως τόσο σε ακαδημαϊκή βιβλιογραφία όσο και σε πρακτικές εφαρμογές. VII

VIII

ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ 1 ΠΡΟΪΟΝ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΟΣ ΚΙΝΔΥΝΟΣ ΖΩΗΣ ΤΑ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΟΥ ΚΛΑΔΟΥ ΖΩΗΣ... 5 1.1 ΑΠΛΗ Η ΠΡΟΣΚΑΙΡΗ ΑΣΦΑΛΙΣΗ ΖΩΗΣ (TERM INSURANCE)... 7 1.2 ΑΝΑΝΕΩΣΙΜΗ ΑΠΛΗ ΑΣΦΑΛΕΙΑ ΖΩΗΣ... 8 1.3 ΜΕΤΑΤΡΕΠΟΜΕΝΗ ΠΡΟΣΚΑΙΡΗ ΑΣΦΑΛΙΣΗ ΘΑΝΑΤΟΥ (CONVERTIBLE TERM ASSURANCE)... 9 1.4 Η ΦΘΙΝΟΥΣΑ ΑΠΛΗ ΑΣΦΑΛΙΣΗ... 9 1.5 ΠΑΡΑΛΛΑΓΕΣ ΑΠΛΩΝ ΑΣΦΑΛΕΙΩΝ... 10 1.6 ΠΛΕΟΝΕΚΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΜΕΙΟΝΕΚΤΗΜΑΤΑ ΑΠΛΩΝ ΑΣΦΑΛΕΙΩΝ.... 10 1.7 IΣΟΒΙΑ ΑΣΦΑΛΙΣΗ (WHOLE LIFE ASSURΑNCE)... 10 1.8 ΙΣΟΒΙΑ ΑΣΦΑΛΙΣΗ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΕΝΩΝ ΚΑΤΑΒΟΛΩΝ... 12 1.9 ΑΣΦΑΛΙΣΗ ΕΠΙΒΙΩΣΗΣ (PURE ENDOWMENT)... 12 1.10 ΜΙΚΤΗ ΑΣΦΑΛΙΣΗ (ENDOWMENT)... 14 2 ΠΡΟΣΟΔΟΙ ΚΑΙ ΣΥΝΤΑΞΕΙΣ ΡΑΝΤΕΣ ΖΩΗΣ (ANNUITIES)... 15 2.1 ΓΕΝΙΚΑ... 15 2.2 ΡΑΝΤΕΣ-ΣΥΝΤΑΞΕΙΣ (ANNUITIES)... 17 2.3 ΤΥΠΟΙ ΡΑΝΤΩΝ... 18 2.3.1 Άμεση ράντα... 18 2.3.2 Αναβαλλόμενη ράντα... 19 2.3.3 Ισόβια ράντα (life annuity)... 20 2.3.4 Ισόβια ράντα με εγγυημένες καταβολές (life annuity with guaranteed payments)... 20 2.3.5 Ράντα δύο ή περισσοτέρων κεφαλών (joint and survivor annuity)... 20 2.3.6 Σταθερή ράντα (fied annuity)... 21 2.3.7 Μεταβλητή ράντα (variable annuity)... 21 2.4 ΜΕΡΙΚΕΣ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ... 21 2.4.1 Αρχή της ισοδυναμίας... 21 2.4.2 Ενιαία Καθαρά Ασφάλιστρα... 22 2.4.3 Συναρτήσεις Επιτοκίου... 23 2.4.4 Υπολειπόμενος χρόνος ζωής ενός ατόμου ηλικίας χ, συνάρτηση κατανομής και συνάρτηση επιβίωσης... 24 2.4.5 Ένταση θνησιμότητας... 24 2.4.6 Υπολειπόμενος χρόνος ζωής... 25 2.4.7 Υπολειπόμενος ακέραιος χρόνος ζωής... 26 3 ΤΙΜΟΛΟΓΗΣΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΑΣΦΑΛΙΣΕΩΝ ΖΩΗΣ... 27 3.1 ΑΣΦΑΛΙΣΕΙΣ ΖΩΗΣ ΠΛΗΡΩΤΕΕΣ ΤΗ ΣΤΙΓΜΗ ΤΟΥ ΘΑΝΑΤΟΥ (ΣΥΝΕΧΗΣ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ)... 27 3.1.1 Ισόβια Ασφάλιση Θανάτου ατόμου ηλικίας ετών (Whole Life Assurance)... 27 1

3.1.2 Πρόσκαιρη Ασφάλιση Θανάτου με διάρκεια n ετών (n-year term life insurance)... 28 3.1.3 Μικτή ασφάλιση n ετών (n-year endowment insurance)... 30 3.1.4 Ασφάλιση Επιβίωσης ή Προικοδότησης (n- pure Εndowment Ιnsurance)... 31 3.2 ΑΣΦΑΛΙΣΕΙΣ ΖΩΗΣ ΠΛΗΡΩΤΕΕΣ ΣΤΟ ΤΕΛΟΣ ΤΟΥ ΕΤΟΥΣ ΘΑΝΑΤΟΥ (ΔΙΑΚΡΙΤΗ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ)... 32 3.2.1 Ισόβια Ασφάλιση Θανάτου ατόμου ηλικίας ετών (Whole Life Assurance)... 32 3.2.2 Πρόσκαιρη Ασφάλιση Θανάτου με διάρκεια n ετών (n-year term life insurance)... 34 3.2.3 Μικτή Ασφάλιση n ετών (n-year endowment insurance)... 35 4 ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΗΣ ΡΑΝΤΕΣ ΖΩΗΣ (LIFE ANNUITIES)... 37 4.1 ΕΤΗΣΙΕΣ ΙΣΟΒΙΕΣ ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΡΑΝΤΕΣ ΣΤΑΘΕΡΟΥ ΠΟΣΟΥ... 37 4.1.1 Ισόβια προκαταβλητέα ράντα ζωής (whole life annuity-due)... 37 4.1.2 Ληξιπρόθεσμη ισόβια ράντα ζωή (Whole Life immediate annuity)... 38 4.2 ΠΡΟΣΚΑΙΡΗ ΡΑΝΤΑ ΖΩΗΣ Η ΕΤΩΝ (Ν- YEAR TEMPORARY LIFE ANNUITY)... 39 4.2.1 Προσωρινή προκαταβλητέα ράντα ζωής n ετών (n-year temporary life annuity-due)... 39 4.2.2 ληξιπρόθεσμη πρόσκαιρη ράντα ζωής n ετών... 39 4.3 ΑΝΑΒΑΛΛΟΜΕΝΕΣ ΡΑΝΤΕΣ ΖΩΗΣ N -ΕΤΩΝ (DEFERRED LIFE ANNUITY)... 40 4.3.1 προκαταβλητέας αναβαλλόμενης ράντας ζωής n ετών,... 40 4.3.2 ληξιπρόθεσμη αναβαλλόμενη ράντα ζωής n ετών... 41 5 ΣΥΓΧΡΟΝΑ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΑ ΠΡΟΪΟΝΤΑ... 43 5.1 ΠΡΟΪΟΝΤΑ ΚΑΘΟΛΙΚΗΣ ΖΩΗΣ (UNIVERSAL LIFE)... 43 5.2 ΠΡΟΪΟΝΤΑ ΣΥΝΔΕΔΕΜΕΝΑ ΜΕ ΜΕΡΙΔΙΑ (UNIT LINKED / VARIABLE LIFE)... 44 5.3 ΑΣΦΑΛΙΣΕΙΣ ΖΩΗΣ ΜΕ ΣΥΜΜΕΤΟΧΗ (PARTICIPATING LIFE INSURANCE, PROFIT-SHARE)... 47 5.4 ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΡΑΝΤΕΣ/ΠΡΟΣΟΔΟΙ (VARIABLE ANNUITIES)... 49 5.5 ΤΙΜΟΛΟΓΗΣΗ UNIT LINKED ΠΡΟΪΟΝΤΩΝ ΚΑΙ ΠΡΟΪΟΝΤΩΝ ΣΥΝΔΕΔΕΜΕΝΩΝ ΜΕ ΜΕΤΟΧΙΚΟΥΣ ΔΕΙΚΤΕΣ (EQUITY LINKED)... 50 5.6 ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΠΡΟΪΟΝΤΩΝ ΑΣΦΑΛΙΣΗΣ ΖΩΗΣ ΣΥΝΔΕΔΕΜΕΝΩΝ ΜΕ ΜΕΤΟΧΙΚΟΥΣ ΔΕΙΚΤΕΣ ΜΕ ΕΛΑΧΙΣΤΕΣ ΕΓΓΥΗΜΕΝΕΣ ΑΠΟΔΟΣΕΙΣ... 51 5.7 ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΠΡΟΪΟΝΤΩΝ ΑΣΦΑΛΙΣΗΣ ΖΩΗΣ ΜΕ ΣΥΜΜΕΤΟΧΗ PARTICIPATING OR WITH PROFIT ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΕΣ ΕΓΓΥΗΜΕΝΕΣ ΑΠΟΔΟΣΕΙΣ... 53 5.8 ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΡΑΝΤΩΝ... 56 6 ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΗ ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΙΝΔΥΝΩΝ... 57 6.1.1 Κίνδυνος Αγοράς... 57 Κίνδυνος Επιτοκίων... 57 Κίνδυνος Μετοχών... 57 Κίνδυνος Πληθωρισμού... 58 6.2 ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΕΠΙΤΟΚΙΩΝ... 59 6.2.1 Μοντέλο Vasicek... 60 6.2.2 Μοντέλο Co, Ingersoll & Ross... 61 6.2.3 Μοντελοποίηση Τιμών Μετοχών... 62 7 ΑΣΦΑΛΙΣΤΗΡΙΑ ΣΥΜΒΟΛΑΙΑ ΚΑΙ ΘΝΗΣΙΜΟΤΗΤΑ... 63 7.1 ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΟΣ ΚΙΝΔΥΝΟΣ ΖΩΗΣ... 63 2

7.1.1 Ορισμός ασφαλιστικού κινδύνου ζωής.... 64 Κίνδυνος μεταβλητότητας... 64 Κίνδυνος τάσης... 64 Κίνδυνος Καταστροφών... 64 7.1.2 Τρόποι Έλεγχου των Ασφαλιστικών Κινδύνων Ζωής... 65 7.1.3 Μέτρηση Ασφαλιστικού Κινδύνου... 65 7.1.4 Οικονομικό Κεφάλαιο... 66 7.2 ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ ΚΙΝΔΥΝΟΥ ΘΝΗΣΙΜΟΤΗΤΑΣ... 68 7.2.1 Η Mέθοδος Lee - Carter (1992)... 69 7.2.2 Περιγραφή του μοντέλου... 71 7.2.3 Διαδικασία επίλυσης του μοντέλου Lee-Carter... 73 Βήμα 1 ο... 74 Βήμα 2 ο... 76 7.2.4 Εναλλακτικές Μέθοδοι Του Μοντέλου... 77 Μέθοδος Newton-Raphson... 77 Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας Poisson... 77 Μέθοδος Wilmoth... 77 8 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... 79 3

4

1 ΠΡΟΪΟΝΤΑ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΟΥ ΚΛΑΔΟΥ ΖΩΗΣ Οι ασφάλειες του κλάδου ζωής είναι συμβάσεις μεταξύ του ασφαλιστή και του ασφαλιζόμενου σύμφωνα με τις οποίες ένα συγκεκριμένο ύψος αποζημίωσης πρόκειται να καταβληθεί στον ασφαλισμένο (η στους δικαιούχους που έχει αυτός ορίσει) στην περίπτωση έλευσης του ασφαλισμένου κινδύνου (Θάνατο). Όπως και κάθε άλλο είδος ασφάλισης, σε αντάλλαγμα για μια συγκεκριμένη σειρά πληρωμών (ασφάλιστρα), οι ασφάλειες ζωής έχουν σχεδιαστεί για να αποζημιώσουν σε περίπτωση που υπάρξει οικονομική απώλεια στο μέλλον. Για να χαρακτηριστεί μια ασφάλεια «ασφάλεια ζωής» θα πρέπει ο ασφαλιστικός κίνδυνος που καλύπτει να βρίσκεται σε άμεση εξάρτηση με την ζωή ενός ή περισσότερων ατόμων, όπως αυτά αναγράφονται στο ασφαλιστήριο συμβόλαιο. Γίνεται λοιπόν αντιληπτό ότι οι ασφάλειες του κλάδου ζωής συνδέονται άμεσα με την θνησιμότητα ενός προσώπου. Στην ασφαλιστική αγορά διατίθεται μια πληθώρα από ασφαλιστικά προϊόντα. Τα ασφαλιστικά αυτά προϊόντα μπορούμε να τα κατατάξουμε σε δυο βασικές κατηγορίες. Αυτά που παρέχουν καθαρή ασφάλιση, δηλαδή οικονομική προστασία για τη ζωή και αυτά που παράλληλα με την προστασία προσφέρουν και την δυνατότητα επένδυσης. Παρακάτω παρατίθενται ενδεικτικά τα κυριότερα από αυτά 5

Ασφαλιστικό Πρόγραμμα Ύψος Ασφαλίστρων Αποζημίωση σε Θάνατο Συσσώρευση Κεφαλαίου Επιλογή Επένδυσης LEVEL TERM INSURANCE Σχετικά χαμηλό, σταθερό Σταθερό σε όλη την διάρκεια, μετά μηδέν Όχι Όχι RENEWABLE TERM INSURANCE Σχετικά χαμηλό, αυξανόμενο Σταθερό Όχι Όχι DECREASING TERM INSURANCE Σχετικά χαμηλό, μειούμενο Μειούμενο σε όλη την διάρκεια, μετά μηδέν Όχι Όχι WHOLE LIFE INSURANCE Σχετικά υψηλό, σταθερό Σταθερό εγγυημένο, μικρές αποδόσεις Ναι Όχι UNIVERSAL LIFE INSURANCE Σχετικά υψηλό, ευέλικτο Κυμαινόμενο Ναι Όχι VARIABLE LIFE / UNIT-LINKED Σχετικά υψηλό, ευέλικτο Κυμαίνεται ανάλογα με την απόδοση της επένδυσης Ναι Ναι 6

1.1 ΑΠΛΗ Η ΠΡΟΣΚΑΙΡΗ ΑΣΦΑΛΙΣΗ ΖΩΗΣ (TERM INSURANCE) H Aπλή ή Πρόσκαιρη Ασφάλιση Ζωής παρέχει στον ασφαλισμένο, όπως υποδηλώνει άλλωστε και το όνομα της, προστασία για περιορισμένο χρονικό διάστημα. Η ασφαλιστική προστασία των προγραμμάτων αυτών είναι προσωρινή και παρέχεται είτε για ορισμένη χρονική διάρκεια 1,5,10,20 χρόνια είτε μέχρι κάποια συγκεκριμένη ηλικία π.χ. 65 ή 70 ετών. Στην περίπτωση που ο ασφαλισμένος αποβιώσει μέσα στο καθορημένο αυτό χρονικό διάστημα το ασφαλισμένο κεφάλαιο καταβάλλεται στους δικαιούχους που έχουν ορίσει, συνήθως με μια εφάπαξ καταβολή. Στην περίπτωση επιβίωσης ο ασφαλιστής δεν βαρύνεται με καμία πρόσθετη υποχρέωση προς τον ασφαλισμένο. Τα ασφάλιστρα καταβάλλονται σε όλη τη διάρκεια της ασφάλισης, εφόσον ο Ασφαλισμένος είναι στη ζωή. Τα συμβόλαια πρόσκαιρης ή απλής ασφάλισης χρησιμοποιούνται κυρίως για να καλύψουν πρόσκαιρες ανάγκες όπως ένα δάνεια, ταξίδια, κάποια οικογενειακή υποχρέωση. Επιπρόσθετα δύναται να χρησιμοποιηθεί όταν τα διαθέσιμα κεφάλαια για ασφάλιση είναι περιορισμένα και απαιτείτε προστασία τουλάχιστον για κάποιο διάστημα ή έως μια ηλικία.. Η αποζημίωση, στην πρόσκαιρη ασφάλιση, μπορεί να καταβληθεί υπό την μορφή σύνταξης, π.χ. για τις σπουδές των παιδιών ως την ενηλικίωσή τους. Προσφέρεται επίσης και ως εξασφάλιση για τη λήψη δανείου και γενικά, λόγω του μικρού κόστους της, είναι ιδιαίτερα προσιτή. Τα συμβόλαια απλής ασφάλισης διαφοροποιούνται και κατατάσσονται κυρίως με βάση επιπρόσθετες διατάξεις που περιλαμβάνονται στους ορούς των συμβολαίων. Οι διατάξεις που συμπεριλαμβάνουν αφορούν είτε την δυνατότητα ανανέωσης του συμβολαίου ασφάλισης είτε την δυνατότητα μετατροπής του συμβολαίου σε αλλού τύπου ασφαλιστηρίου ζωής. 7

1.2 ΑΝΑΝΕΩΣΙΜΗ ΑΠΛΗ ΑΣΦΑΛΕΙΑ ΖΩΗΣ Η Ανανεώσιμη Απλή Ασφάλεια Ζωής προσφέρει στους ασφαλισμένους την δυνατότητα ανανέωσης χωρίς πρόσθετα αποδεικτικά ασφαλισιμότητας. Ο ασφαλισμένος διατηρεί το δικαίωμα ανανέωσης για έναν περιορισμένο και προκαθορισμένο αριθμό πρόσθετων περιόδων συνηθέστερα της ίδιας διάρκειας με την αρχική. Το περιοδικά καταβαλλόμενο ασφάλιστρο αυξάνετε σε κάθε ανανέωση βάσει της ηλικίας του ασφαλισμένου. Ο όρος για τη δυνατότητα ανανέωσης προστατεύει τον ασφαλισμένο ως προς την ασφαλισιμότητά του, αλλά μπορεί να οδηγήσει σε αντιεπιλογή κατά της εταιρείας. (Η αντιεπιλογή είναι η ενέργεια που ασκεί αυτός που επιθυμεί την ασφάλιση και αθέμιτα εκμεταλλεύεται τη γνώση που έχει για τον κίνδυνο). Εφόσον τα ασφάλιστρα αυξάνουν με την ηλικία, ασφαλισμένοι με καλή υγεία είναι πιθανόν να αποχωρούν από το πρόγραμμα, ενώ θα παραμένουν οι προβληματικοί. Για τον περιορισμό του προβλήματος της αντιεπιλογής, οι ασφαλιστικές εταιρείες ανά τον κόσμο θέτουν όρια στην ηλικία, μέχρι την οποία επιτρέπεται η ανανέωση. Οι ετησίως ανανεούμενες απλές ασφαλίσεις ζωής (Yearly Renewable Term Insurance) είναι ιδιαίτερα διαδεδομένες στην αγορά κάτω από τις οποίες η ασφαλισιμοτητα είναι εγγυημένη για ένα ορισμένο χρονικό διάστημα ενώ το συμβόλαιο έχει ετήσια ισχύ. 8

1.3 ΜΕΤΑΤΡΕΠΟΜΕΝΗ ΠΡΟΣΚΑΙΡΗ ΑΣΦΑΛΙΣΗ ΘΑΝΑΤΟΥ (CONVERTIBLE TERM ASSURANCE) Η Μετατρεπόμενη Πρόσκαιρη Ασφάλιση Θανάτου παρέχει στον ασφαλισμένο το δικαίωμα της δυνατότητας μετατροπής της απλής ασφάλισης ζωής σε κάποιου αλλού προκαθορισμένου τύπου ασφάλεια ζωής όπως είναι η ισόβια, η μικτή κλπ. χωρίς να χρειάζεται να προσκομίσει αποδεικτικά στοιχεία της ασφαλισιμότητας του. Ο ασφαλισμένος όπως και στις περιπτώσεις των ανανεώσιμων απλών συμβολαίων ζωής είναι καλυμμένος απέναντι στον κίνδυνο της μη ασφαλισιμότητας. Παλιότερα το προνόμιο της μετατροπής συναντιόνταν στα περισσότερα των απλών συμβολαίων ζωής κάτι που όμως τα τελευταία χρόνια τείνει για λογούς χαμηλότερης και ελκυστικότερης τιμολόγησης να απουσιάζει η να περιορίζετε στα πρώτα χρόνια της ασφάλισης. 1.4 Η ΦΘΙΝΟΥΣΑ ΑΠΛΗ ΑΣΦΑΛΙΣΗ Η φθίνουσα απλή ασφάλιση είναι μια μορφή της απλής ασφάλισης, όπου το κεφάλαιο μειώνεται σταδιακά στη διάρκεια του συμβολαίου, ενώ τα ασφάλιστρα παραμένουν σταθερά. Σε ορισμένους τύπους της ασφάλισης αυτής, ο συμβαλλόμενος δεν χρειάζεται να καταβάλλει ασφάλιστρα για όλη την περίοδο. Δηλαδή μπορεί η διάρκεια της ασφάλισης να είναι 20 χρόνια και η περίοδος καταβολής ασφαλίστρων 15 χρόνια.. Αυτό γίνεται, για να αποφευχθεί η καταβολή ασφαλίστρων, όταν το ασφαλισμένο κεφάλαιο έχει μειωθεί αισθητά και η περίοδο της ασφάλισης βρίσκεται πριν το τέλος της. Σε άλλους τύπους πάλι τα ασφάλιστρα επίσης βαίνουν μειούμενα. Αυτού του τύπου ασφάλισης προσφέρετε συνήθως μαζί με στεγαστικά δάνεια. 9

1.5 ΠΑΡΑΛΛΑΓΕΣ ΑΠΛΩΝ ΑΣΦΑΛΕΙΩΝ Τα προνομία και κριτήρια ανανέωσης και μετατροπής καθώς και η δομή των ασφάλιστρων μπορούν να συνδυαστούν με ποικίλους τρόπους δημιουργώντας μια γκάμα ασφαλιστικών προϊόντων. 1.6 ΠΛΕΟΝΕΚΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΜΕΙΟΝΕΚΤΗΜΑΤΑ ΑΠΛΩΝ ΑΣΦΑΛΕΙΩΝ. Οι πρόσκαιρες ασφαλίσεις έχουν το πλεονέκτημα ότι μπορούν να συμφωνούνται για μικρό χρονικό διάστημα ακόμη και για ένα μόνο έτος και έχουν χαμηλό κόστος. Από την άλλη όμως έχουν το μειονέκτημα ότι στην ανανέωση ισχύει το ασφάλιστρο της μεγαλύτερης ηλικίας και τον κίνδυνο το άτομο μετά τη λήξη της προσωρινής ασφάλισης να μην είναι ασφαλισμένο.to ασφάλιστρο στις πρόσκαιρες ασφαλίσεις ζωής αποτελείται μόνο από ασφάλιστρο κινδύνου δηλαδή, δεν υπάρχει αποταμίευση και ως εκ τούτου δεν υπάρχει αξία εξαγοράς και δυνατότητα δανείου ούτε δυνατότητα ελευθεροποίησης. 1.7 IΣΟΒΙΑ ΑΣΦΑΛΙΣΗ (WHOLE LIFE ASSURΑNCE) Η ισόβια ασφάλιση προσφέρει προστασία εφ όρου ζωής πέραν δηλαδή των ορίων που θέτει ως περικοσμώ η πρόσκαιρη ασφάλιση. Το κύριο πλεονέκτημα της είναι ακριβώς η ισοβιότητα της σε ότι αφορά την προστασία από τον κίνδυνο του θανάτου και ότι καλύπτει μόνιμες ανάγκες καθ ολη την διάρκεια ζωής του ατόμου. Δεδομένου ότι η κάλυψη είναι ισόβια, η καταβολή του ασφαλισμένου κεφαλαίου είναι βέβαιη. Τα ασφάλιστρα καταβάλλονται, κατά κανόνα με περιοδικές καταβολές, μπορούν όμως να καταβληθούν και εφάπαξ.η αποζημίωση στην ισόβια ασφάλιση είναι βέβαιη. Τα ασφάλιστρα είναι σταθερά, καταβάλλονται κατά κανόνα με περιοδικές καταβολές, μπορούν όμως να καταβληθούν και εφάπαξ και εφ όρου 10

ζωής.επιπρόσθετα δεν αυξάνουν με την ηλικία. Αν ο ασφαλισμενος απωβιωσει πριν συνήθως τα 110 τότε θα καταβληθεί στους δικαιούχους το ασφαλισμένο ποσό. Αν ο ασφαλισμενος ζει στην ηλικια συνηθως των 110 τότε το ασφαλισμένο κεφάλαιο καταβάλλεται στον ίδιο. Τα πρώτα χρόνια ασφάλισης ο ασφαλισμένος πληρώνει για την προστασία που του παρέχεται ακριβότερα από ότι πραγματικά κοστίζει και στα μετέπειτα, φθηνότερε. Τα πλεονάζοντα ασφάλιστρα, τα πρώτα χρόνια, δημιουργούν το νόμιμο απόθεμα, που καθιστά δυνατή την εφ όρου ζωής προστασία. Πέραν της προστασίας που παρέχει η ισόβια ασφάλιση έχει επίσης ένα επενδυτικό, αποταμιευτικό χαρακτήρα αφού δημιουργεί αξίες εξαγοράς. Είναι πρόγραμμα λοιπόν που προσφέρει προστασία αλλά και επένδυση η όποια αναπτύσσεται βεβαία με Αργο ρυθμό. Ο ασφαλισμένος έχει τη δυνατότητα πρόσθετα να ζητήσει την αξία εξαγοράς πρόωρα σε περίπτωση έκτακτης ανάγκης ή να λάβει δάνειο με χρήση της αξία εξαγοράς ως εγγύησης η και να χρησιμοποιήσει την αξία εξαγοράς για να καλύψει μελλοντικά ασφάλιστρα. Από τη άλλη πλευρά ο βασικός περιορισμός ή μειονέκτημα της ισόβιας ασφάλισης είναι ότι ορισμένοι ασφαλισμένοι αγοράζοντας μια ισόβια ασφάλιση είναι υπασφαλισμένοι σε σχέση με τις παροχές μια πρόσκαιρης ασφάλισης. Εξαιτίας του αποταμιευτικού στοιχείου ορισμένοι αγοράζουν ισόβια ασφάλιση, ενώ η απλή ασφάλιση θα ήταν προτιμότερη και καταλληλότερη για την κάλυψη των ασφαλιστικών τους αναγκών. Αυτή η μορφή ασφάλισης προσφέρεται, μεταξύ άλλων, για τις περιπτώσεις μεταβίβασης μεγάλης ακίνητης περιουσίας, προκειμένου να καλυφθούν οι φόροι μεταβίβασης. 11

1.8 ΙΣΟΒΙΑ ΑΣΦΑΛΙΣΗ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΕΝΩΝ ΚΑΤΑΒΟΛΩΝ Αυτή είναι η δεύτερη μορφή της ισόβιας ασφάλισης. Πρακτικά είναι μια παραλλαγή της ισόβιας ασφάλισης η όποια διαφοροποιείται ουσιαστικά μονό στον τρόπο τον οποίο ο ασφαλισμένος καλείται να καταβάλει τα ασφάλιστρα. Ο ασφαλισμένος έχει εφ όρου ζωής προστασία και τα ασφάλιστρα είναι μεν σταθερά, αλλά καταβάλλονται μόνο για συγκεκριμένη περίοδο. Στην συνηθέστερη μορφή της μια «ισόβια ασφάλιση περιορισμένων καταβολών» έχει περιορισμένη περίοδο πληρωμής ασφαλίστρων 10, 20, 25 ή 30 χρόνια ή έχει λήξη στα 65 ή 70. Δεδομένου ότι τα ασφάλιστρα στην ισόβια ασφάλιση περιορισμένων καταβολών είναι υψηλότερα από ότι στη συνήθη ισόβια ασφάλιση, η «αξία εξαγοράς» είναι επίσης υψηλότερη. Η ισόβια ασφάλιση περιορισμένων καταβολών πρέπει να χρησιμοποιείται με προσοχή. Είναι δύσκολο, άνθρωπος με μέτριο εισόδημα, να ασφαλίσει επαρκώς τη ζωή του με ισόβια ασφάλιση περιορισμένων καταβολών. Εξαιτίας των σχετικά υψηλών ασφαλίστρων, το ποσό της ασφάλειας ζωής, που αγοράζει, είναι σημαντικά χαμηλότερο από το αντίστοιχο της συνήθους ισόβιας ασφάλισης. Για τους περισσότερους η συνήθης ισόβια ασφάλιση αποτελεί καλύτερη λύση. 1.9 ΑΣΦΑΛΙΣΗ ΕΠΙΒΙΩΣΗΣ (PURE ENDOWMENT) Αυτός ο τύπος ασφάλισης προβλέπει την καταβολή στον ασφαλισμένο ενός συμφωνημένου κεφαλαίου, μετά την παρέλευση μιας καθορισμένης προκαταβολικά χρονικής περιόδου, υπό την προϋπόθεση ότι ο ασφαλισμένος βρίσκεται ακόμη εν ζωή. Το ενδιαφέρον που παρουσιάζει αυτό το είδος ασφάλισης έγκειται στο γεγονός ότι το υπό σχηματισμόν ασφαλιζόμενο κεφάλαιο αυξάνει από την 12

επίδραση δύο παραγόντων, κατά πρώτο λόγο από τον ανατοκισμό και κατά δεύτερο λόγο από τις πιθανότητες έλευσης του ασφαλιζομένου κινδύνου (θάνατος) προ της λήξης της ασφαλιστικής περιόδου. Τα προγράμματα επιβίωσης είναι καθαρά αποταμιευτικά προγράμματα. Ο ασφαλισμένος εισπράττει το ασφαλισμένο κεφάλαιο στην λήξη της ασφάλισης και εφ' όσον βρίσκεται εν ζωή. Αν κατά τη διάρκεια της ασφάλισης ο ασφαλισμένος πεθάνει τότε οι δικαιούχοι εισπράττουν τα καθαρά ασφάλιστρα που καταβλήθηκαν μέχρι εκείνη την στιγμή καθώς και τα συσσωρευμένα κέρδη που προέρχονται από την επένδυση των μαθηματικών αποθεμάτων τους. Ο Ασφαλισμένος έχει το δικαίωμα να εξαγοράσει το συμβόλαιό του, πριν τη λήξη της ασφάλισης, εισπράττοντας μέρος από τα αποθέματά του. Τα συμβόλαια αυτά δίνουν τη δυνατότητα για δανεισμό με ευνοϊκό επιτόκιο και με κεφάλαιο που δεν θα είναι μεγαλύτερο από τα αντίστοιχα αποθέματά του. Την ασφάλιση αυτή πραγματοποιούν πρόσωπα που, φυσιολογικά, έχουν πιθανότητες επιβίωσης της χρονικής διάρκειας της ασφάλισης Είναι φυσικό ότι όσο η ηλικία εισόδου στην ασφάλιση είναι μεγαλύτερη, τόσο το ασφάλιστρο είναι χαμηλότερο, γιατί υπάρχει μεγαλύτερη πιθανότητα θανάτου και, κατά συνέπεια, μικρότερη πιθανότητα να κληθεί η επιχείρηση να πληρώσει στη λήξη. Για την ασφάλιση αυτή δε χρειάζεται έλεγχος της κατασταση ςυγειας του ατομου. Και της ασφαλίσεως επιβίωσης υπάρχουν διάφορες παραλλαγές. Μπορεί, π.χ., να συμφωνηθεί ότι με το θάνατο του ασφαλισμένου θα σταματά η υποχρέωση καταβολής του ασφαλίστρου, το κεφάλαιο όμως θα καταβάλλεται στους δικαιούχους κατά τη λήξη (Ασφάλιση Ορισμένης Λήξεως) ή θα επιστρέφονται τα καταβληθέντα, μέχρι το θάνατο του ασφαλισμένου ασφάλιστρα, με ή χωρίς τόκο. 13

1.10 ΜΙΚΤΗ ΑΣΦΑΛΙΣΗ (ENDOWMENT) Το συγκεκριμένο είδος ασφάλισης αποτελεί ένα συνδυασμό της «πρόσκαιρης» και της ασφάλισης «συμφωνημένου κεφαλαίου», στην περίπτωση επιβίωσης που περιγράψαμε παραπάνω. Αυτός ο τύπος ασφάλισης προβλέπει την καταβολή ενός κεφαλαίου, είτε στον ασφαλισμένο, αν βρίσκεται στη ζωή με τη λήξη του ασφαλιστηρίου, είτε σε κάποιον δικαιούχο, ο οποίος ορίζεται στην περίπτωση που ο ασφαλισμένος αποβιώσει προ της λήξεως του ασφαλιστηρίου συμβολαίου. Οι μικτές ασφαλίσεις είναι προγράμματα που προσφέρουν ένα μοναδικό συνδυασμό ασφαλιστικής κάλυψης και αποταμίευσης. Ο Ασφαλισμένος έχει το δικαίωμα να εξαγοράσει το συμβόλαιό του, πριν τη λήξη της ασφάλισης, εισπράττοντας μέρος από τα αποθέματά του. Τα συμβόλαια αυτά δίνουν τη δυνατότητα για δανεισμό με ευνοϊκό επιτόκιο και με κεφάλαιο που δεν θα είναι μεγαλύτερο από την αξία εξαγοράς του συμβολαίου Τα συμβόλαια αυτά από τη φύση τους απαιτούν υψηλά ασφάλιστρα και είναι κατά κανόνα πολυετούς διάρκειας, με αποτέλεσμα να μην είναι πάντα εύκολο να γνωρίζει κανείς τι πραγματικά θα αντιπροσωπεύει σε πραγματικές τιμές το καταβαλλόμενο κεφάλαιο, το οποίο, όπως είναι φυσικό, υφίσταται την επίδραση του πληθωρισμού. 14

2 ΠΡΟΣΟΔΟΙ ΚΑΙ ΣΥΝΤΑΞΕΙΣ ΡΑΝΤΕΣ ΖΩΗΣ (ANNUITIES) 2.1 ΓΕΝΙΚΑ Άλλοι τύποι ασφαλιστικών συμβάσεων που συνδέονται άμεσα με την ζωή ενός ατόμου (μακροζωία) είναι οι πρόσοδοι και οι συντάξεις, οπού και παρουσιάζονται συνοπτικά παρακάτω. Οι παροχές και στους δυο τύπους αυτών των συμβάσεων παρέχονται είτε εφάπαξ είτε με την μορφή τακτικών πληρωμών από την στιγμή της θεμελίωσης του δικαιώματος της παροχής και για όσο ο δικαιούχος βρίσκεται εν ζωή. Η πρόσοδος μπορεί να οριστεί ως μια σύμβαση μεταξύ ενός ατόμου και μιας ασφαλιστικής εταιρείας, η οποία παρέχει μια ροή εσόδων (πληρωμών) σε αντάλλαγμα μιας αρχικής πληρωμής. Η σειρά πληρωμών από τον εκδότη (ασφαλιστικής εταιρεία) προς τον αγοραστή έχει συνήθως άγνωστη διάρκεια και βασίζεται στο προσδόκιμο ζωής των αγοραστή. Ανάλογα με την δομή της προσόδου είναι πιθανόν να επιτρέπονται και πληρωμές μετά τον θάνατο του ασφαλισμένου προς τους δικαιούχους που έχει ορίσει, είτε ισόβιες μέχρι των θάνατο τους είτε για μια συγκεκριμένη χρονική διάρκεια. Η σύνταξη αποτελεί μια σύμβαση μεταξύ Ασφαλιστικής Εταιρίας & Εργοδότη υπέρ τρίτων (εργαζόμενοι). Ο εργοδότης «πληρώνει» εισφορές στην Ασφαλιστική Εταιρία που με την σειρά της «πληρώνει» παροχές στους ασφαλισμένους. Οι συντάξεις είναι κατά κανόνα οι πληρωμές που πραγματοποιούνται υπό τη μορφή μιας εγγυημένης ισόβιας προσόδου από τους εργοδότες προς τους συνταξιούχος ή ανίκανους να εργαστούν υπαλλήλους. Υπάρχει μια τεραστία γκάμα συνταξιοδοτικών σχημάτων, για τον σχεδιασμό τους χρησιμοποιείται μια ποικιλία μηχανισμών τόσο συσσώρευσης κεφαλαίου όσο και διάθεσης των κεφαλαίων αυτών προς τους υπάλληλους. 15

Μπορούμε ωστόσο να κατατάξουμε τα συνταξιοδοτικά προγράμματα σε δυο βασικές κατηγορίες, συνταξιοδοτικά προγράμματα καθορισμένων εισφορών και καθορισμένων παροχών. Τα προγράμματα καθορισμένων παροχών προβλέπουν την ύπαρξη μεμονωμένων λογαριασμών για κάθε μέλος. Οι παροχές στην συνταξιοδότηση διαμορφώνονται αποκλειστικά και μόνο από τις τακτικές και έκτακτες εισφορές στο λογαριασμό των μελών από τους εργοδότες ή τα ίδια τα μέλη, τα κέρδη ή τις ζημίες από τις επενδύσεις και τα έξοδα διαχείρισης του λογαριασμού. Στα συνταξιοδοτικά προγράμματα καθορισμένων παροχών Οι παροχές προσδιορίζονται από μια φόρμουλα που μπορεί να ενσωματώσει τον μισθό του εργαζομένου, τα χρόνια απασχόλησης, την ηλικία συνταξιοδότησης και άλλους παράγοντες. Η παροχή του εργαζόμενου στην συνταξιοδότηση καθορίζεται εξαρχής και αποτελεί συνήθως συνάρτηση των ετών υπηρεσίας και του μισθού του. Στο συγκεκριμένο πλάνο το ποσό των εισφορών αποτελεί την εξηρτημένη μεταβλητή (σε αναλογία με το άλλο στο οποίο το ποσό της παροχής αποτελεί την εξηρτημένη μεταβλητή). Ποσό Παροχής: Ο πλέον συνήθης τύπος υπολογισμού παροχής που χρησιμοποιείται στα συνταξιοδοτικά σχήματα είναι ο τύπος που παρέχει μία μονάδα παροχής για κάθε έτος υπηρεσίας. Υπάρχουν τρεις τύποι παροχών: Σταθερό ποσό παροχής, (π.χ. 10 τον μήνα για κάθε έτος υπηρεσίας αναπροσαρμοσμένο (συνήθως) με τον πληθωρισμό) Μέσος μισθός συνολικής προϋπηρεσίας (career average): Η παροχή ορίζεται συνήθως ως ποσοστό του μέσου μισθού συνολικής προϋπηρεσίας. Μέσος μισθός τελευταίων ετών προϋπηρεσίας (final average): Η παροχή ορίζεται συνήθως ως ποσοστό του μέσου μισθού των τελευταίων ετών (3 με 5 συνήθως) προϋπηρεσίας Σε κάθε περίπτωση λοιπόν παρατηρούμε ότι οι μελλοντικές υποχρεώσεις που αναλαμβάνει μια ασφαλιστική εταιρία δεν είναι δυνατόν να 16

προϋπολογιστούν επακριβώς αφού υπεισέρχεται ο αστάθμητος παράγων της θνησιμότητας ή της μακροζωίας του μεμονωμένου ατόμου. 2.2 ΡΑΝΤΕΣ-ΣΥΝΤΑΞΕΙΣ (ANNUITIES) Οι ράντες σχεδιάστηκαν για να παρέχουν συνταξιοδοτικό εισόδημα και κατ επέκταση αίσθημα ασφάλειας στα άτομα τρίτης ηλικίας. Έννοια της ράντας: Η ράντα ορίζεται ως μια περιοδική καταβολή προς άτομο, που διαρκεί για συγκεκριμένη περίοδο ή για τη διάρκεια μιας συγκεκριμένης ζωής (ή ζωών). Ο βασικός σκοπός μιας ισόβιας ράντας είναι να παρέχει εφ όρου ζωής εισόδημα στον ασφαλισμένο. Η ράντα αποτελεί μια αντίστροφη διαδικασία σε σχέση με την ασφάλιση ζωής. Η ασφάλιση ζωής δημιουργεί μια άμεση περιουσία που παρέχει προστασία έναντι του ενδεχομένου πρόωρου θανάτου, πριν δημιουργηθούν περιουσιακά στοιχεία. Η ράντα είναι έτσι σχεδιασμένη, ώστε να ρευστοποιεί ένα συγκεκριμένο ποσό και να παρέχει προστασία έναντι της μακροζωίας, δηλαδή προστατεύει έναντι της απώλειας εισοδήματος από την υπερβάλλουσα μακροζωία και την εξάντληση των αποταμιεύσεων. Αυτό είναι εφικτό με τις ράντες, γιατί ο κίνδυνος της υπερβάλλουσας μακροζωίας απορροφάται από την ομάδα. Τα μεμονωμένα άτομα δεν μπορεί να είναι ποτέ σίγουρα ότι οι αποταμιεύσεις τους θα επαρκέσουν, όταν αποσυρθούν από την εργασία. Ορισμένοι μπορεί να πεθάνουν νωρίς, πριν εξαντληθούν οι αποταμιεύσεις τους, και άλλοι να ζήσουν πολύ μετά την εξάντλησή τους. Όλοι αυτοί, ενωμένοι σε μια ομάδα, καταθέτουν τις αποταμιεύσεις τους σε μια ασφαλιστική εταιρεία και λαμβάνουν εγγύηση ισοβίου εισοδήματος. Αν ο ασφαλιστής δεν μπορεί να προβλέψει πόσο χρόνο θα ζήσει κάθε μέλος της ομάδας, μπορεί να εκτιμήσει κατά προσέγγιση τον αριθμό των συνταξιοδοτημένων που θα ζουν στο τέλους κάθε έτους. Έτσι η εταιρεία υπολογίζει το απαιτούμενο ποσό της εισφοράς καθενός. Τα συσσωρευμένα κεφάλαια, πριν καταβληθούν, αποδίδουν τόκο. Επίσης τα ανεξάντλητα 17

κεφάλαια όσων πεθάνουν νωρίς χρησιμοποιούνται για την πληρωμή εκείνων που ζήσουν πέραν του μέσου όρου. Δηλαδή η καταβολή μιας τέτοιας προσόδου προκύπτει από τρεις πηγές: Από καταβολές ασφαλίστρων, από την απόδοση τόκων και από ανεξάντλητα κεφάλαια όσων πεθαίνουν νωρίς. Τέλος, σημειώνεται ότι οι συνταξιούχοι είναι συνήθως υγιή άτομα, που ζουν περισσότερο από τους άλλους. Σε αναγνώριση της μακροζωίας τους, χρησιμοποιούνται ειδικοί πίνακες ραντών, για τον υπολογισμό των ασφαλίστρων. 2.3 ΤΥΠΟΙ ΡΑΝΤΩΝ Οι ασφαλιστές παρέχουν ευρεία επιλογή ραντών, οι οποίες σχηματικά μπορεί να σχηματικά να ταξινομηθούν βάσει του χρόνου έναρξης καταβολών (Άμεση ράντα, Αναβαλλόμενη ράντα), της φύσης της ασφαλιστικής υποχρέωσης (Ισόβια ράντα, Ισόβια ράντα με εγγυημένες καταβολές, Ισόβια ράντα επί δύο ή περισσοτέρων κεφαλών) και των σταθερών ή μεταβλητών παροχών που προσφερουν (Σταθερή ράντα, Μεταβλητή ράντα). Οι ράντες μπορεί να ταξινομηθούν ανάλογα με το χρόνο έναρξης των καταβολών. Οι καταβολές μπορεί να είναι μηνιαίες, τριμηνιαίες, εξαμηνιαίες ή ετήσιες, και μπορεί να ξεκινούν άμεσα ή αργότερα, σε κάποια συγκεκριμένη ημερομηνία. Οι εξής περιπτώσεις είναι οι πλέον συνήθεις: 2.3.1 ΆΜΕΣΗ ΡΑΝΤΑ «Άμεση ράντα» είναι εκείνη όπου η πρώτη καταβολή είναι πληρωτέα το αμέσως επόμενο χρονικό διάστημα από την ημερομηνία αγοράς. Αν η πρόσοδος καταβάλλεται μηνιαία, η πρώτη πληρωμή ξεκινά ένα μήνα μετά την ημερομηνία αγοράς ή ένα χρόνο μετά, αν η πρόσοδος καταβάλλεται ετήσια. Συνήθως οι άμεσες ράντες αγοράζονται με εφάπαξ ασφάλιστρο από άτομα κοντά στην ηλικία συνταξιοδότησης 18

2.3.2 ΑΝΑΒΑΛΛΟΜΕΝΗ ΡΑΝΤΑ «Αναβαλλόμενη ράντα» είναι εκείνη όπου η καταβολή της προσόδου ξεκινά σε μια μελλοντική ημερομηνία. Πολλοί τύποι αναβαλλόμενων ραντώ ν πωλούνται σήμερα. Η δημοφιλέστερη μορφή είναι η «ράντα συνταξιοδότησης», που βασικά αποτελεί ένα εργαλείο συσσώρευσης χρημάτων για συνταξιοδοτικούς σκοπούς. Τα ασφάλιστρα συσσωρεύονται και επενδύονται. Στη λήξη της περιόδου «αναβολής» ο ασφαλισμένος έχει διάφορες επιλογές. Οι κυριότερες είναι: να λαμβάνει ισόβια πρόσοδο,να λαμβάνει ισόβια πρόσοδο, με 5, 10, 15 και 20 χρόνια εγγυημένη περίοδο καταβολών, να λάβει την αξία εξαγοράς μετρητοίς Η τελευταία επιλογή οδηγεί σε «αντιεπιλογή», αφού αναμένεται αυτοί που έχουν κακή υγεία να προτιμήσουν τα μετρητά από τη σύνταξη. Αν ο ασφαλισμένος πεθάνει στη διάρκεια της περιόδου αναβολής (περίοδος πληρωμής ασφαλίστρων), καταβάλλεται, σαν παροχή θανάτου, το άθροισμα των καταβληθέντων ασφαλίστρων ή η αξία εξαγοράς, αν είναι μεγαλύτερη. Αν πεθάνει κατά την περίοδο καταβολής της ράντας, η παροχή θανάτου εξαρτάται από την επιλογή που έχει κάνει. Για παράδειγμα: αν έχει επιλέξει ισόβια πρόσοδο, δεν καταβάλλεται τίποτα αν έχει επιλέξει ισόβια πρόσοδο με 10ετή εγγυημένη περίοδο, η καταβολή προσόδου θα συνεχιστεί μέχρι να ολοκληρωθεί η δεκαετία. Κατά την περίοδο «αναβολής» η ράντα δίνει αξία εξαγοράς και δυνατότητα λήψης δανείου. Μια αναβαλλόμενη ράντα μπορεί να αγορασθεί με ενιαίο ασφάλιστρο ή να επιτρέπει μεταβλητά ασφάλιστρα. Στην τελευταία περίπτωση το ποσό της συνταξιοδοτικής προσόδου εξαρτάται από το ποσό που έχει συσσωρευτεί στην ηλικία συνταξιοδότησης. Οι ράντες μπορεί να ταξινομηθούν σε σχέση με τη φύση της ασφαλιστικής υποχρέωσης. Οι εξής περιπτώσεις είναι οι πλέον συνήθεις: 19

2.3.3 ΙΣΟΒΙΑ ΡΑΝΤΑ (LIFE ANNUITY) Η ισόβια ράντα παρέχει πρόσοδο στο συνταξιοδοτημένο μόνο εφόσον ζει. Μετά το θάνατό του δε δίνεται ουδεμία καταβολή. Η ισόβια ράντα δίνει το μεγαλύτερο ύψος προσόδου από τις υπόλοιπες εναλλακτικές. Ταιριάζει σε άτομα που χρειάζονται μεγάλο ετήσιο εισόδημα και δεν έχουν εξαρτώμενα μέλη ή τα έχουν εξασφαλίσει. 2.3.4 ΙΣΟΒΙΑ ΡΑΝΤΑ ΜΕ ΕΓΓΥΗΜΕΝΕΣ ΚΑΤΑΒΟΛΕΣ (LIFE ANNUITY WITH GUARANTEED PAYMENTS) H ισόβια ράντα με εγγυημένες καταβολές παρέχει ισόβια πρόσοδο, αλλά με συγκεκριμένο αριθμό εγγυημένων καταβολών. Αν ο ασφαλισμένος πεθάνει πριν λάβει όλες τις εγγυημένες καταβολές, οι υπόλοιπες θα καταβληθούν στον ορισθέντα ως δικαιούχο. Ταιριάζει σε όσους επιθυμούν ισόβια προστασία, αλλά επίσης επιθυμούν ένα εισόδημα για το δικαιούχο, σε περίπτωση πρόωρου θανάτου τους. Λόγω της ύπαρξης εγγυημένων καταβολών, η προκύπτουσα πρόσοδος είναι σχετικά μικρότερη από την αντίστοιχη της απλής ισόβιας ράντας. 2.3.5 ΡΑΝΤΑ ΔΥΟ Η ΠΕΡΙΣΣΟΤΕΡΩΝ ΚΕΦΑΛΩΝ (JOINT AND SURVIVOR ANNUITY) Η ράντα αυτή στηρίζεται στη ζωή δύο ή περισσοτέρων κεφαλών, όπως, για παράδειγμα, στη ζωή των δύο συζύγων ή δύο αδελφών. Η πρόσοδος καταβάλλεται μέχρι το θάνατο και του τελευταίου. Σε άλλα συμβόλαια καταβάλλεται η ίδια πρόσοδος και στους δύο και σε άλλα ο δεύτερος λαμβάνει ποσοστό της προσόδου του πρώτου συνταξιοδοτούμενου. Οι ράντες μπορούν τέλος να ταξινομηθούν σε σχέση με τις σταθερές ή μεταβλητές παροχές. Οι εξής περιπτώσεις είναι οι πλέον συνήθεις: 20

2.3.6 ΣΤΑΘΕΡΗ ΡΑΝΤΑ (FIXED ANNUITY) Στη σταθερή ράντα η περιοδική καταβολή είναι ένα εγγυημένο σταθερό ποσό. Στη διάρκεια συσσώρευσης ασφαλίστρων τα ασφάλιστρα επενδύονται σε ομόλογα, χρεόγραφα, δάνεια κ.λ.π. επενδύσεις σταθερής απόδοσης. 2.3.7 ΜΕΤΑΒΛΗΤΗ ΡΑΝΤΑ (VARIABLE ANNUITY) Αντίθετα η μεταβλητή ράντα είναι μια ράντα που παρέχει ισόβια πρόσοδο, το ύψος των καταβολών της οποίας εξαρτάται από το επίπεδο του χρηματιστηρίου. Ο βασικός στόχος της μεταβλητής ράντας είναι να παρέχει προστασία έναντι του πληθωρισμού διατηρώντας σταθερή την αγοραστική της αξία. Στηρίζεται βέβαια στην υπόθεση ότι υπάρχει συσχέτιση τιμαρίθμου και δείκτη χρηματιστηρίου, και συναντάται συνήθως στην Αμερική. Θα αναλύσουμε ποιο διεξοδικά αυτού του τύπου τα προϊόντα σε επόμενο κεφάλαιο. 2.4 ΜΕΡΙΚΕΣ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ 2.4.1 ΑΡΧΗ ΤΗΣ ΙΣΟΔΥΝΑΜΙΑΣ Όπως έχουμε εξετάσει, η έννοια της παρούσας αξίας είναι καθαρά οικονομική έννοια που σχετίζεται με βέβαιες καταβολές. Για ενδεχόμενες καταβολές (καταβολές που θα γίνουν με πιθανότητα P < 1) έχουμε την έννοια της αναλογιστικής παρούσας αξίας η οποία μπορεί να χαρακτηρισθεί ως μαθηματική ελπίδα της παρούσας αξίας ενός ποσού. Η έννοια της αναλογιστικής παρούσας αξίας είναι θεμελιώδους σημασίας στην ασφάλιση και αποτελεί τη βάση για τον υπολογισμό ασφαλίστρων και για την εκτίμηση των τηρητέων ασφαλιστικών προβλέψεων (αποθεμάτων). Η έννοια της αναλογιστικής παρούσας αξίας παίζει τον κεντρικό ρόλο στη διατύπωση της αρχής της ισοδυναμίας για τον υπολογισμό των ασφαλίστρων. Το ασφάλιστρο μιας μακροχρόνιας ασφάλισης ζωής σπάνια καταβάλλεται 21

εφάπαξ και συνήθως εξοφλείται με ετήσιες (ή και συχνότερες) δόσεις και οι ασφαλιστικές παροχές (π.χ. συντάξεις) όμως συχνά καταβάλλονται σε διαφορετικές χρονικές στιγμές. Προκειμένου να συγκριθούν, παροχές και (ετήσια) ασφάλιστρα πρέπει να αναχθούν στην ίδια χρονική στιγμή και συγκεκριμένα στο σήμερα, σε χρόνο t = 0. Εκείνο που απαιτείται δηλαδή είναι η παρούσα αξία των ασφαλιστικών παροχών και η παρούσα αξία όλων των ασφαλίστρων. Αυτό δεν είναι αρκετό, κατά κανόνα δεν είναι σίγουρη ούτε η καταβολή των παροχών ούτε η καταβολή των ασφαλίστρων. Καταλήγουμε λοιπόν στην διατύπωση της αρχής της ισοδυναμίας. Η αναλογιστική παρούσα αξία των ασφαλίστρων (πρέπει να) είναι ίση με την παρούσα αναλογιστική αξία των ασφαλιστικών παροχών. Η αρχή μπορεί να επαναδιατυπωθεί και ως ορισμός του ενιαίου (ή εφάπαξ) καθαρού ασφαλίστρου : Το ενιαίο καθαρό ασφάλιστρο μιας ασφάλισης είναι ίσο με την παρούσα αναλογιστική αξία των προβλεπόμενων παροχών (αποζημιώσεων). Για να κάνει κανείς την αρχή της ισοδυναμίας πράξη χρειάζεται δύο πράγματα, ένα τεχνικό επιτόκιο για τον υπολογισμό παρουσών αξιών και πιθανότητες θανάτου/επιβίωσης που λαμβάνονται από έναν πίνακα θνησιμότητας κατάλληλο για τον προς ασφάλιση πληθυσμό. 2.4.2 ΕΝΙΑΙΑ ΚΑΘΑΡΑ ΑΣΦΑΛΙΣΤΡΑ Όπως είδαμε η αρχή της ισοδυναμίας απαιτεί την ισότητα της αναλογιστικής παρούσας αξίας των ασφαλίστρων με την αναλογιστική παρούσα αξία των ασφαλιστικών παροχών. Το ενιαίο ασφάλιστρο καταβάλλεται όλο εφάπαξ όταν συνάπτεται η ασφάλιση και έτσι δεν τίθεται θέμα αναλογιστικής παρούσας αξίας του ασφαλίστρου, υπολογίζεται μια παρούσα αξία, εκείνη των ασφαλιστικών παροχών, και αυτή είναι εξ ορισμού το ενιαίο ασφάλιστρο. 22

Όπως θα διαπιστώσουμε, τα ενιαία καθαρά ασφάλιστρα είναι μαθηματικές ελπίδες ορισμένων οικονομικών συναρτήσεων τ.μ. K ή της τ.μ. Τ (δηλαδή της ακέραιες απομένουσας ζωής ή της απομένουσας ζωής ατόμου ηλικίας ). 2.4.3 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΕΠΙΤΟΚΙΟΥ Οι κυριότερες συναρτήσεις επιτοκίου είναι ο συντελεστής προεξόφλησης το προεξοφλητικό επιτόκιο d 1 1 i, i 1 i και η ένταση ανατοκισμού ln 1 i. Η ποσότητα (1+i) μπορεί να οριστεί σαν Συντελεστής Συσσώρευσης (Accumulating Factor) γιατί πολλαπλασιαζόμενη με ένα κεφάλαιο μας δίνει το συσσωρευμένο κεφάλαιο, ανά μονάδα χρόνου συντελεστής προεξόφλησης υ είναι η παρούσα αξία μιας μιας χρηματικής μονάδας καταβλητέας στο τέλος μιας χρονικής περιόδου ή, ισοδύναμα, το ποσό που πρέπει να τοποθετηθεί σήμερα με επιτόκιο i για να γίνει μια χρηματική μονάδα στο τέλος της χρονικής περιόδου. η ποσότητα d i 1 i μπορεί να οριστεί σαν Συντελεστής Προεξόφλησης (Discounting Factor) γιατί πολλαπλασιαζόμενη με ένα συσσωρευμένο κεφάλαιο μας δίνει την παρούσα αξία του ανά μονάδα χρόνου Το προεξοφλητικό επιτόκιο d είναι η παρούσα αξία ποσού i καταβλητέου μετά από μιας χρονικής περιόδου (έτος) ή, ισοδύναμα, το ποσό που επενδυόμενο σήμερα θα γίνει i στο τέλος μιας χρονικής περιόδου (έτος). Η παρακάτω εξίσωση παρουσιάζει τις σχέσεις μεταξύ του πραγματικού επιτοκίου (effective interest), του σύνθετου τόκου (convertible interest rate), του συντελεστής προεξόφλησης(discount factor),της ένταση ανατοκισμού 23

(force of interest), του προεξοφλητικού επιτοκίου(effective discount rate) και του Ονομαστικό επιτοκίου προεξόφλησης(convertible discount rate). ( m) t ( m) t i t t t d 1 i 1 e (1 d) 1 m m t 2.4.4 ΥΠΟΛΕΙΠΟΜΕΝΟΣ ΧΡΟΝΟΣ ΖΩΗΣ ΕΝΟΣ ΑΤΟΜΟΥ ΗΛΙΚΙΑΣ Χ, ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ ΚΑΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΕΠΙΒΙΩΣΗΣ >0. Έστω ότι το συμβολισμός () υποδηλώνει την ζωή άτομο ηλικίας, με Ο υπολειπόμενος χρόνος ζωής του () είναι μία συνεχής τυχαία μεταβλητή που την συμβολίζουμε με T Ας θεωρήσουμε ότι η F είναι την αθροιστική συνάρτηση κατανομής της τ.μ T και η F (ή S ) η συνάρτηση επιβίωσης. Η σ.κ. F δηλώνει την πιθανότητα να πεθάνει το νεογέννητο άτομο εντός των πρώτων ετών. Η συνάρτηση επιβίωσης S της τ.μ. Χ δίνεται από τη σχέση S( t) 1 F( t) και δηλώνει την πιθανότητα να επιβιώσει το νεογέννητο άτομο τουλάχιστον μέχρι την ηλικία των ετών. F ( t) P( T t)and F ( t) P( T t) 1 F ( t ) 2.4.5 ΈΝΤΑΣΗ ΘΝΗΣΙΜΟΤΗΤΑΣ Έστω ότι ποσότητα συμβολίζει την ένταση θνησιμότητας στην ηλικία Η ποσότητα ονομάζεται ένταση θνησιμότητας στην ηλικία και αποτελεί μέτρο της θνησιμότητας σε κάθε ηλικιακή στιγμή. 24

Για κάθε η ένταση θνησιμότητας θανάτου ενός (). Ορίζεται δε ως δηλώνει τη στιγμιαία πιθανότητα P( T0 h T0 ) lim h 0 h P( T0 h) lim h 0 h 1 d F 0( ) F0( ) d d F d log 0( ) t F 0( t) F (t) e sds F( ). 2.4.6 ΥΠΟΛΕΙΠΟΜΕΝΟΣ ΧΡΟΝΟΣ ΖΩΗΣ Ο υπολειπόμενος χρόνος ζωής του () είναι μία συνεχής τυχαία μεταβλητή που την συμβολίζουμε με T Οι ποσότητες t q και t p, ως συναρτήσεις του t, αποτελούν τη σ.κ. και τη σ.ε. της τ.μ. T(). Θα χρησιμοποιήσουμε τους ακόλουθους συμβολισμούς t p, t q, t h q Η πιθανότητα t q δηλώνει την πιθανότητα το () να πεθάνει πριν φτάσει την ηλικία + t, ή αλλιώς την πιθανότητα ενός () να πεθάνει εντός των επόμενων t ετών. Η πιθανότητα t t q P( T t) F ( t ) p δηλώνει την πιθανότητα το () να επιβιώσει για t χρόνια, ή αλλιώς την πιθανότητα ενός () να φτάσει την ηλικία 25

Η πιθανότητα t h p P( T t) F ( t ) t q που δηλώνει την πιθανότητα ενός () να πεθάνει μεταξύ των ηλικιών + t και + t + h, ή αλλιώς την πιθανότητα ενός () να επιβιώσει για t επιπλέον έτη και να πεθάνει στα επόμενα h έτη. t hq P( t T t h) t p t h p Η πιθανότητα t h q ικανοποιεί τις σχέση t hq t p t h p 2.4.7 ΥΠΟΛΕΙΠΟΜΕΝΟΣ ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΧΡΟΝΟΣ ΖΩΗΣ Η διακριτή τ.μ. που ορίζεται ως K T όπου T συμβολίζει το ακέραιο μέρος του αριθμού T, δηλώνει τον αριθμό των μελλοντικών (ακέραιων) ετών που θα ζήσει το () προτού πεθάνει, και ονομάζεται υπολειπόμενος ακέραιος χρόνος ζωής. Η συνάρτηση πιθανότητας (συντ. σ.π.) της τ.μ. K() ικανοποιεί τη σχέση P( K k) P( k T k 1) P( k T k 1) P( T k 1) - P( T k) q q q k 1 k k 26

3 ΤΙΜΟΛΟΓΗΣΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΑΣΦΑΛΙΣΕΩΝ ΖΩΗΣ 3.1 ΑΣΦΑΛΙΣΕΙΣ ΖΩΗΣ ΠΛΗΡΩΤΕΕΣ ΤΗ ΣΤΙΓΜΗ ΤΟΥ ΘΑΝΑΤΟΥ (ΣΥΝΕΧΗΣ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ) 3.1.1 ΙΣΟΒΙΑ ΑΣΦΑΛΙΣΗ ΘΑΝΑΤΟΥ ΑΤΟΜΟΥ ΗΛΙΚΙΑΣ X ΕΤΩΝ (WHOLE LIFE ASSURANCE) Θεωρούμε ότι ο ασφαλισμένος είναι άτομο ηλικίας ετών. Στην ισόβια ασφάλιση ζωής ο ασφαλιστής παρέχει ασφαλιστική κάλυψη στον ασφαλισμένο για το ενδεχόμενο του θανάτου του. Tο ασφαλισμένο κεφάλαιο πληρώνεται στους δικαιούχους κατά την ημερομηνία θανάτου του ασφαλισμένου. Ο ασφαλιστής καλείται να καταβάλλει το ύψος του ασφαλίσματος η αλλιώς την ασφαλιστική παροχή τη στιγμή της έλευσης του κινδύνου δηλαδή του θανάτου του ασφαλισμένου () (συνεχής περίπτωση). Για λογούς σύμβασης θεωρούμαι το ύψος του ασφαλισμένου κεφαλαίου ίσο με 1 νομισματική μονάδα. Η παρούσα άξια της ασφαλιστικής παροχής είναι ίση με T Z, T 0 Το μέσο κόστος μιας ισόβια ασφάλιση ζωής ορίζεται ως η αναλογιστική παρούσα αξία της τυχαία μεταβλητή Ζ. Επομένως το ενιαίο καθαρό ασφάλιστρο δίνεται από τη σχέση A E Z p dt t t t 0 27

Η έκφραση υπό του ολοκληρώματος εκφράζει την προεξόφληση της αποζημίωσης μιας νομισματικής μονάδας στο χρόνο t = 0 πολλαπλασιασμένη με την πιθανότητα του θανάτου του ασφαλισμένου στο διάστημα [t, t + dt] για μικρό dt. Η παραπάνω με χρήση των συναρτήσεων μετατροπής παίρνει την μορφή A p dt t t t 0 1 D 1 l t 0 k 0 C k l p dt t t t M D Προκειμένου δε να υπολογιστεί η μεταβλητότητα του κόστους ισόβια ασφάλιση ζωής χρειαζόμαστε τη δεύτερη ροπή που εκφράζει το ενιαίο καθαρό ασφάλιστρο μιας ισόβιας ασφάλισης υποθέτοντας ένταση ανατοκισμού 2δ A E Z p dt 2 2 2t t t 0 Η διακύμανση της τμ Ζ δίνεται τέλος από την Var( Z) A ( A ) 2 2 3.1.2 ΠΡΟΣΚΑΙΡΗ ΑΣΦΑΛΙΣΗ ΘΑΝΑΤΟΥ ΜΕ ΔΙΑΡΚΕΙΑ N ΕΤΩΝ (N-YEAR TERM LIFE INSURANCE) Θεωρούμε ότι ο ασφαλισμένος είναι άτομο ηλικίας ετών. Στην πρόσκαιρη ασφάλιση θανάτου με διάρκεια n έτη ο ασφαλιστής παρέχει ασφαλιστική κάλυψη στον ασφαλισμένο για το ενδεχόμενο του θανάτου του κατά την διάρκεια των n πρώτων ετών από την ημερομηνία λήψης της ασφάλισης. 28

Ο ασφαλιστής καλείται να καταβάλλει το ύψος του ασφαλίσματος η αλλιώς την ασφαλιστική παροχή τη στιγμή της έλευσης του κινδύνου δηλαδή του θανάτου () του ασφαλισμένου αν ο θάνατος επέλθει κατά την διάρκεια των n πρώτων ετών από την ημερομηνία λήψης της ασφάλισης, + n). (συνεχής περίπτωση). To ασφαλισμένο κεφάλαιο πληρώνεται στον ασφαλισμένο μετά τη λήξη της περιόδου ασφάλισης και εφόσον αυτός βρίσκεται στη ζωή ή στους δικαιούχους του σε περίπτωση θανάτου toyκατά τη διάρκεια της ισχύος της ασφάλισης. Για λογούς σύμβασης θεωρούμαι το ύψος του ασφαλισμένου κεφαλαίου ίσο με 1 νομισματική μονάδα. Συνεπώς η παρούσα αξία της πληρωμής είναι ίση με Z 0, T, T n T n Το ενιαίο ασφάλιστρο για την ασφάλιση αυτή είναι A 1 n : E Z n t 0 n t 0 p dt 0 p t t n p t t dt. Η παραπάνω με χρήση των συναρτήσεων μετατροπής παίρνει την μορφή n 1 t A : t p n t dt 0 1 D 1 l n t 0 n 1 k 0 C k l t M t M D dt n 29

Προκειμένου δε να υπολογιστεί η μεταβλητότητα του κόστους ισόβια ασφάλιση ζωής χρειαζόμαστε τη δεύτερη ροπή που εκφράζει το ενιαίο καθαρό ασφάλιστρο μιας ισόβιας ασφάλισης υποθέτοντας ένταση ανατοκισμού 2δ n 2 1 2 2t n : 0 A E Z p dt t t Η διακύμανση της τμ Ζ δίνεται τέλος από την Var( Z) A ( A ) 2 1 1 2 : n : n 3.1.3 ΜΙΚΤΗ ΑΣΦΑΛΙΣΗ N ΕΤΩΝ (N-YEAR ENDOWMENT INSURANCE) Θεωρούμε ότι ο ασφαλισμένος είναι άτομο ηλικίας ετών. Στην Μικτή Ασφάλιση ο ασφαλιστής καλείται να καταβάλλει την ασφαλιστική παροχή είτε την στιγμή του θανάτου του ασφαλισμένου αν ο θάνατος επέλθει κατά την διάρκεια των n πρώτων ετών από την ημερομηνία λήψης της ασφάλισης είτε στη λήξη σε περίπτωση επιβίωσης μέχρι τη λήξη δηλαδή τη χρονική στιγμή +n. Για λογούς σύμβασης θεωρούμαι το ύψος του ασφαλισμένου κεφαλαίου ίσο με 1 νομισματική μονάδα. Η παρούσα αξία της πληρωμής είναι ίση με Z T n,, T n n T και το ενιαίο καθαρό ασφάλιστρο δίνεται από τη σχέση 30

A A A 1 1 : n : n : n A 1 : n n t 0 n n t t n n n E p dt p M M D D 3.1.4 ΑΣΦΑΛΙΣΗ ΕΠΙΒΙΩΣΗΣ Η ΠΡΟΙΚΟΔΟΤΗΣΗΣ (N- PURE ΕNDOWMENT ΙNSURANCE) Θεωρούμε ότι ο ασφαλισμένος είναι άτομο ηλικίας ετών. Στην Ασφάλιση Επιβίωσης n ετών, σε αντίθεση με την απλή ασφάλεια θανάτου θα καταβληθεί στον ασφαλισμένο η ασφαλιστική παροχή μετά από n έτη και εφόσον αυτός βρίσκετε εν ζωή. Σε περίπτωση θανάτου του ασφαλισμένου τα n πρώτα έτη δεν προβλέπετε καμία αποζημίωση. Για λογούς σύμβασης θεωρούμαι το ύψος του ασφαλισμένου κεφαλαίου ίσο με 1 νομισματική μονάδα. Η παρούσα αξία της πληρωμής είναι ίση με Z 0, n, T n T n και το ενιαίο καθαρό ασφάλιστρο δίνεται από τη σχέση 1 n : n 0 A E Z p dt p p 0 n n t t n n Η παραπάνω με χρήση των συναρτήσεων μετατροπής παίρνει την μορφή 31

A 1 n : n n l p n n l n l n l n l n n l D D n Προκειμένου δε να υπολογιστεί η μεταβλητότητα του κόστους ισόβια ασφάλιση ζωής χρειαζόμαστε τη δεύτερη ροπή που εκφράζει το ενιαίο καθαρό ασφάλιστρο μιας ισόβιας ασφάλισης υποθέτοντας ένταση ανατοκισμού 2δ A p. 2 2n 1 n : n Η διακύμανση της τμ Ζ δίνεται τέλος από την Var( Z) A ( A ) p ( p ) p q 2 2 2 2 n 2 n 2 n 2 n 1 1 n n n n : n : n 3.2 ΑΣΦΑΛΙΣΕΙΣ ΖΩΗΣ ΠΛΗΡΩΤΕΕΣ ΣΤΟ ΤΕΛΟΣ ΤΟΥ ΕΤΟΥΣ ΘΑΝΑΤΟΥ (ΔΙΑΚΡΙΤΗ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ) Στην συνεχεία θα δούμε πως διαμορφώνονται οι παραπάνω σχέσεις στην περίπτωση που η καταβολή του ασφαλισμένου κεφαλαίου γίνεται στο τέλος του έτους θανάτου. Τα κυριότερα διακριτά μοντέλα είναι τα ακόλουθα. 3.2.1 ΙΣΟΒΙΑ ΑΣΦΑΛΙΣΗ ΘΑΝΑΤΟΥ ΑΤΟΜΟΥ ΗΛΙΚΙΑΣ X ΕΤΩΝ (WHOLE LIFE ASSURANCE) Θεωρούμε ότι ο ασφαλισμένος είναι άτομο ηλικίας ετών. 32

Ο ασφαλιστής καλείται να καταβάλλει το ύψος του ασφαλίσματος η αλλιώς την ασφαλιστική παροχή στο τέλος του έτους έλευσης του κινδύνου δηλαδή του θανάτου του ασφαλισμένου () (συνεχής περίπτωση). Για λογούς σύμβασης θεωρούμαι το ύψος του ασφαλισμένου κεφαλαίου ίσο με 1 νομισματική μονάδα. Η παρούσα άξια της ασφαλιστικής παροχής είναι ίση με Z K 1 Το μέσο κόστος μιας ισόβια ασφάλιση ζωής ορίζεται ως η αναλογιστική παρούσα αξία της τυχαία μεταβλητή Ζ. Επομένως το ενιαίο καθαρό ασφάλιστρο δίνεται από τη σχέση A E Z q p q 1 1 k k 0 0 Η παραπάνω με χρήση των συναρτήσεων μετατροπής παίρνει την μορφή A 1 D 1 l k 0 C k 0 M D 1 d k Προκειμένου δε να υπολογιστεί η μεταβλητότητα του κόστους ισόβια ασφάλιση ζωής χρειαζόμαστε τη δεύτερη ροπή που εκφράζει το ενιαίο καθαρό ασφάλιστρο μιας ισόβιας ασφάλισης υποθέτοντας ένταση ανατοκισμού 2δ A E Z p 2 2 2( 1) k 0 Η διακύμανση της τμ Ζ δίνεται τέλος από την Var( Z) A ( A ) 2 2 33

3.2.2 ΠΡΟΣΚΑΙΡΗ ΑΣΦΑΛΙΣΗ ΘΑΝΑΤΟΥ ΜΕ ΔΙΑΡΚΕΙΑ N ΕΤΩΝ (N-YEAR TERM LIFE INSURANCE) Θεωρούμε ότι ο ασφαλισμένος είναι άτομο ηλικίας ετών. Στην πρόσκαιρη ασφάλιση θανάτου με διάρκεια n έτη ο ασφαλιστής παρέχει ασφαλιστική κάλυψη στον ασφαλισμένο για το ενδεχόμενο του θανάτου του κατά την διάρκεια των n πρώτων ετών από την ημερομηνία λήψης της ασφάλισης. Ο ασφαλιστής καλείται να καταβάλλει το ύψος του ασφαλίσματος η αλλιώς την ασφαλιστική παροχή στο τέλος του έτους έλευσης του κινδύνου δηλαδή του θανάτου () του ασφαλισμένου αν ο θάνατος επέλθει κατά την διάρκεια των n πρώτων ετών από την ημερομηνία λήψης της ασφάλισης, + n). (συνεχής περίπτωση). To ασφαλισμένο κεφάλαιο πληρώνεται στον ασφαλισμένο μετά τη λήξη της περιόδου ασφάλισης και εφόσον αυτός βρίσκεται στη ζωή ή στους δικαιούχους του σε περίπτωση θανάτου κατά τη διάρκεια της ισχύος της ασφάλισης. Για λογούς σύμβασης θεωρούμαι το ύψος του ασφαλισμένου κεφαλαίου ίσο με 1 νομισματική μονάδα. Συνεπώς η παρούσα αξία της πληρωμής είναι ίση με Z K 1, K n 1 0, n K Το ενιαίο ασφάλιστρο για την ασφάλιση αυτή είναι n 1 n 1 1 1 1 0 n : n 0 0 A E Z q p q. 34

Η παραπάνω με χρήση των συναρτήσεων μετατροπής παίρνει την μορφή A 1 n : M M 1 1 n n C k k 0 D D Προκειμένου δε να υπολογιστεί η μεταβλητότητα του κόστους ισόβια ασφάλιση ζωής χρειαζόμαστε τη δεύτερη ροπή που εκφράζει το ενιαίο καθαρό ασφάλιστρο μιας ισόβιας ασφάλισης υποθέτοντας ένταση ανατοκισμού 2δ n 1 2 1 2 1 2 ( ) n : 0 A E Z q Η διακύμανση της τμ Ζ δίνεται τέλος από την Var ( Z ) A ( A ) 2 1 1 2 : n : n 3.2.3 ΜΙΚΤΗ ΑΣΦΑΛΙΣΗ N ΕΤΩΝ (N-YEAR ENDOWMENT INSURANCE) Θεωρούμε ότι ο ασφαλισμένος είναι άτομο ηλικίας ετών. Στην Μικτή Ασφάλιση ο ασφαλιστής καλείται να καταβάλλει την ασφαλιστική παροχή είτε την στιγμή του θανάτου του ασφαλισμένου αν ο θάνατος επέλθει κατά την διάρκεια των n πρώτων ετών από την ημερομηνία λήψης της ασφάλισης είτε στη λήξη σε περίπτωση επιβίωσης μέχρι τη λήξη δηλαδή τη χρονική στιγμή +n. Αν η καταβολή γίνει στο τέλος του έτους του θανάτου έχουμε τα εξής : Για λογούς σύμβασης θεωρούμαι το ύψος του ασφαλισμένου κεφαλαίου ίσο με 1 νομισματική μονάδα. Η παρούσα αξία της πληρωμής είναι ίση με Z K n 1, K n 1, n K 35

και το ενιαίο καθαρό ασφάλιστρο δίνεται από τη σχέση A A A 1 1 : n : n : n A 1 : n n 1 1 0 n q E p n n Η παραπάνω με χρήση των συναρτήσεων μετατροπής παίρνει την μορφή n 1 1 n A q : n n p 0 M M D D n n 36

4 ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΗΣ ΡΑΝΤΕΣ ΖΩΗΣ (LIFE ANNUITIES) Μια ράντα ζωής είναι μια σειρά πληρωμών που καταβάλλονται σε σταθερά χρονικά διαστήματα και για όσο χρονικό διάστημα ένα άτομο ηλικίας βρίσκεται εν ζωή. Συνεπώς η παρούσα αξία Y της ράντας είναι τ.μ. αφού εξαρτάται από την τ.μ. Τ. Η μέση τιμή της τ.μ. Y ονομάζεται ενιαίο καθαρό ασφάλιστρο της ράντας. Οι ράντες ζωής διαφέρουν από τις βέβαιες ράντες που εξετάζονται στα οικονομικά μαθηματικά, διότι οι καταβολές μιας ράντας ζωής εξαρτώνται από την επιβίωση του (), είναι δηλαδή συνάρτηση μιας από τις τ.μ. Τ και Κ. Οι ράντες ζωής μπορούν να διαχωριστούν σε ράντες ζωής σταθερού - μεταβλητού ποσού, σε διακριτές - συνεχείς ράντες ζωής, καθώς και σε ετήσιες μη ετήσιες ράντες ζωής όσο αφορά την συχνότητα των πληρωμών Οι ράντες διακρίνονται σε ληξιπρόθεσμες, προκαταβλητέες και συνεχείς ανάλογα με το αν οι πληρωμές γίνονται στη λήξη των διαστημάτων πληρωμών, στην αρχή των διαστημάτων πληρωμών ή συνεχώς στο χρόνο. Στη συνέχεια παραθέτουμε τις πιο βασικές ράντες ζωής. 4.1 ΕΤΗΣΙΕΣ ΙΣΟΒΙΕΣ ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΡΑΝΤΕΣ ΣΤΑΘΕΡΟΥ ΠΟΣΟΥ 4.1.1 ΙΣΟΒΙΑ ΠΡΟΚΑΤΑΒΛΗΤΕΑ ΡΑΝΤΑ ΖΩΗΣ (WHOLE LIFE ANNUITY- DUE) Θεωρούμε μια ράντα ζωής ισόβια και προκαταβλητέα η οποία καταβάλλει μια χρηματική μονάδα στην αρχή κάθε έτους εφόσον ο () ζει. Οι πληρωμές θα γίνονται στα χρονικά σημεία : 0, 1, 2,. Κ 37

Η παρούσα αξία της ράντας είναι ίση με K 2 3 k k Y 1 v v v... v v K 1 0 Το καθαρό ενιαίο ασφάλιστρο είναι η αναμενόμενη τιμή της Υ, δηλαδή έχουμε : k 1 k k k 0 0 K p q v p Με όρους συναρτήσεων μετατροπής, από τον παραπάνω τύπο έχουμε : N D 4.1.2 ΛΗΞΙΠΡΟΘΕΣΜΗ ΙΣΟΒΙΑ ΡΑΝΤΑ ΖΩΗ (WHOLE LIFE IMMEDIATE ANNUITY) Η αντίστοιχη ληξιπρόθεσμη ισόβια ράντα ζωής παρέχει πληρωμές τις χρονικές στιγμές : 1, 2, 3,, Κ Η παρούσα αξία αυτής της ροής χρημάτων είναι η τ.μ. Υ : K 2 3 k k Y v v v... v v K 1 Το καθαρό ενιαίο ασφάλιστρο είναι η αναμενόμενη τιμή της Υ, δηλαδή έχουμε : k k k k 1 1 k p q v p 1 Με όρους συναρτήσεων μετατροπής, από τον παραπάνω τύπο έχουμε : N D 1 38

4.2 ΠΡΟΣΚΑΙΡΗ ΡΑΝΤΑ ΖΩΗΣ Η ΕΤΩΝ (Ν- YEAR TEMPORARY LIFE ANNUITY) Θεωρούμε ράντα ζωής η ετών η οποία καταβάλλει μια χρηματική μονάδα κάθε έτος σε άτομο που ασφαλίζεται στην ηλικία των ετών εφόσον ότι ο () ζει, και αυτό για το πολύ η έτη. 4.2.1 ΠΡΟΣΩΡΙΝΗ ΠΡΟΚΑΤΑΒΛΗΤΕΑ ΡΑΝΤΑ ΖΩΗΣ N ΕΤΩΝ (N-YEAR TEMPORARY LIFE ANNUITY-DUE) Η παρούσα αξία της ράντας είναι ίση με Y 2 3 k 1 v v v... v, K 1 K 1 n 2 3 n 1 1..., n n 1 v v v v K Το καθαρό ενιαίο ασφάλιστρο είναι η αναμενόμενη τιμή της Υ, δηλαδή έχουμε : n 1 k : 1 k k n n k 0 0 n K p q p v p Με όρους συναρτήσεων μετατροπής, από τον παραπάνω τύπο έχουμε : n : N N D n 4.2.2 ΛΗΞΙΠΡΟΘΕΣΜΗ ΠΡΟΣΚΑΙΡΗ ΡΑΝΤΑ ΖΩΗΣ N ΕΤΩΝ Η παρούσα αξία της ράντας είναι ίση με Y 2 3 k v v v... v, 1< K n K 2 3 n 1 v v v... v, n+1 K n 39