Operational Programme Education and Lifelong Learning Continuing Education Programme for updating Knowledge of University Graduates: Modern Development in Offshore Structures AUTh TUC 7.1.3 ΘΑΛΑΣΣΙΟΙ ΚΥΜΑΤΙΣΜΟΙ Th. V. Karambas Aristotle University of Thessaloniki
Ως κυματισμός ορίζεται: Κάθε περιοδική ή μη περιοδική διαταραχή της επιφάνειας της θάλασσας.
ΠΡΟΕΛΕΥΣΗ ΓΕΝΕΣΗΣ ΤΩΝ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΚΩΝ ΚΥΜΑΤΩΝ Άνεμος (ανεμογενείς κυματισμοί) Αστρονομική παλίρροια Υποβρύχιες κατολισθήσεις κ σεισμοί (tsunami) ιαφοροποιήσεις ατμοσφαιρικής πίεσης ΧΡΟΝΙΚΗ ΚΛΙΜΑΚΑ Η χρονική κλίμακα μεταβολής της στάθμης της επιφάνειας (περίοδος Τ, για τους περιοδικούς κυματισμούς) ποικίλει ανάλογα με την προέλευση γένεσης του κυματισμού, από μερικά sec σε μερικές ώρες. Παλιρροιακά κύματα Τ= 43000 sec Ανεμογενή κύματα Τ= 2-15sec
ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΙ η, ζ = υψόμετρο στάθμης ελεύθερης επιφάνειας πάνω από τη ΜΣΚ (m) d, h = βάθος του νερού από ΜΣΚ ως τον πυθμένα (m) Η = ύψος κύματος (απόσταση κορυφής - κοιλιάς) (m) α = πλάτος κύματος (μισό του ύψους στους απλούς ημιτονοειδείς κυματισμούς) (m) Τ = περίοδος του κύματος (sec) c= ταχύτητα φάσης ή ταχύτητα διάδοσης απλού κυματισμού ( m/sec) L= μήκος του κύματος (απόσταση από κορυφή σε κορυφή) (m) k= 2π/L= κυματικός αριθμός (m -1 ) f= κυκλική συχνότητα = 1/Τ (cycles/sec,hz) σ,ω = γωνιακή συχνότητα =2π/Τ (rad/sec) u,w = συνιστώσες ταχύτητας των μορίων του νερού κατά x,z (m/sec)
ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΜΟΥ ΚΥΜΑΤΟΣ ε = H/d, ο λόγος ύψους κύματος ως προς το βάθος της θάλασσας. ε: διασπορά εύρους κυματισμοί απειροστού πλάτους αν ε < 10-1 πεπερασμένου πλάτους, αν ε > 10-1 σ = d/l, ο λόγος του βάθους της θάλασσας ως προς το μήκος κύματος σ: διασπορά συχνότητας βραχείς κυματισμοί όταν σ > 10-2 μακροί κυματισμοί όταν σ < 10-2 r = Η/L: καμπυλότητα κύματος χαρακτηρίζει την ευστάθεια της ελεύθερης επιφάνειας του νερού
ΓΡΑΜΜΙΚΟΙ ΚΥΜΑΤΙΣΜΟΙ ΑΠΕΙΡΟΣΤΟΥ ΠΛΑΤΟΥΣ ΠΑΡΑ ΟΧΕΣ: 1. Οι παράμετροι χαρακτηρισμού ε=h/d και r=h/l έχουν μικρές τιμές 2. Σταθερό βάθος θάλασσας και διδιάστατο φαινόμενο (μεταβολές μόνο κατά τις κατευθύνσεις Οx και Οz) 3. Τέλειο ρευστό, αμελητέες δυνάμεις ιξώδους, άρα θεώρηση αστρόβιλης ροής rot(v) = 0 4. Ασυμπίεστο ρευστό
x Η ταχύτητα V = (u, w) μπορεί να εκφραστεί με τη χρήση της u = συνάρτησης δυναμικού Φ (m 2 /sec), V = grad(φ) u = w x z Eξίσωση Laplace 2 2 2 divv 0 0 2 2 x z Επιφάνεια: gz ό 0 υναμική συνθήκη Bernoulli t Κινηματική συνθήκη Πυθμένας: z w t z ΚΑΘΟΡΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΥΝΑΜΙΚΟΥ Φ(x,z,t) z Κινηματική συνθήκη w 0 z zd
ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΛΥΣΗ: ΕΞΙΣΩΣΗ ΥΝΑΜΙΚΟΥ Φ g cosh(k(d z)) sin(kx t) 2 cosh(kd) Εξίσωση δυναμικού - χαρακτηριστική επιφανειακού κυματισμού Η η = cos(kx-σt) 2 Εξίσωση ελεύθερης επιφάνειας Απλό ημιτονοειδές κύμα προωθούμενο με ταχύτητα C και περίοδο Τ k = 2π/L, ο αριθμός κύματος σ = 2π/Τ, η γωνιακή συχνότητα
Σχέση «διασποράς» 2 gk tanh(kd) σχέση «διασποράς» Η σχέση «διασποράς» συσχετίζει την ταχύτητα φάσης και το μήκος κύματος με την περίοδο ή την συχνότητα του κύματος C L gt tanh(kd) 2 gt 2 2 tanh(kd) L C T k η φασική ταχύτητα είναι αύξουσα συνάρτηση της περιόδου του κύματος. Επομένως ένας κυματισμός διαδίδεται («διασπείρεται») ταχύτερα από άλλον με μικρότερη περίοδο.
ΣΥΝΙΣΤΩΣΕΣ ΤΗΣ ΤΑΧΥΤΗΤΑΣ ΤΩΝ ΜΟΡΙΩΝ ΤΟΥ ΝΕΡΟΥ Φ H cosh(k(d z)) u = cos(kx-t) x T sinh(kd) Φ H sinh(k(d z)) w = sin (kx-t) z T sinh(kd) z w u x
ΟΙ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΕΙΣ ΤΩΝ ΜΟΡΙΩΝ ΤΟΥ ΝΕΡΟΥ ΓΥΡΩ ΑΠΟ ΤΗ ΘΕΣΗ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ H cosh(k(d z)) ξ = u dt = sin(kx-t) 2 sinh(kd) H sinh(k(d+z)) ζ = w dt = cos(kx-σt) 2 sinh(kd) Οι τροχιές είναι κλειστές Άρα δεν υπάρχει μεταφορά μάζας κατά τη φορά διάδοσης του κυματισμού
Μεταβολή της κίνησης των μορίων του νερού ανάλογα με το βάθος
T=7 sec d= 15 m L=? Μήκος κύματος στα βαθειά: L o 2 2 gt g 7 76.5 2 2 3.14 m
Μήκος κύματος L στα 15 m 2 2 3.14 L Lotanh( kd) Lo tanh( d) 76.5 tanh( 15) L L L 94.25 76.5 tanh( ) L Πρώτη προσέγγιση L p =L o L=67.63 m p L p L 76.5 64.5 64.5 68.69 68.69 67.26 67.26 67.75 67.75 67.58 67.58.. 67.64..
p gz 0 p gz t t υδροστατική ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΤΗΣ ΠΙΕΣΗΣ ΜΕ ΤΟ ΒΑΘΟΣ Η κατανομή της πίεσης στο βάθος βρίσκεται από την εξίσωση του Bernoulli gh cosh(k(d+z)) p = -gz + cos(kx-t) 2 cosh(kd) υδροδυναμική Η υδροδυναμική πίεση μειώνεται από την θαλάσσια επιφάνεια προς τον πυθμένα για να μηδενιστεί σε απόσταση L/2 από την επιφάνεια.
Κινητική ενέργεια L 0 L 2 2 2 d (u w )dzdx g (d E E ) E dx gld 2 2 2 0 d 0 2 2 2 gh L gh L gh L 16 16 8 πυκνότητα ενέργειας: ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ υναμική ενέργεια L _ 2 gh 8 Ως κυματική ισχύς ορίζεται ο μέσος στην περίοδο του κύματος ρυθμός ροής ενέργειας μέσα από κατακόρυφη διατομή από την επιφάνεια ως τον βυθό πλάτους 1m κυματική ισχύς: En 1 2kd P όn = 1 + T 2 sinh(2kd) Βαθιά νερά n=0.5 Ρηχά νερά n=1
ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΙ ΚΥΜΑΤΙΣΜΟΙ ΚΑΙ ΚΥΜΑΤΙΣΜΟΙ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟΥ ΠΛΑΤΟΥΣ Χρήση των εξισώσεων στη μη γραμμικοποιημένη μορφή τους N k k k1 Η B cos(k ), όπου α = και θ η φάση = (kx-σt) 2 STOKES 2 ης ΤΑΞΗΣ για k=2 προκύπτει 2 Η Η cosh(kd) η = cos(kx-σt) + 3 (2+ cos2kd)cos(2(kx-σt)) 2 8 L (sinh(kd))
ΘΕΩΡΙΑ ΡΟΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
ΘΕΩΡΙΑ ΡΟΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ιακριτοποίηση της ελ. επιφάνειας
ΘΕΩΡΙΑ ΡΟΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Σύστημα από 2Μ+1 εξισώσεις με Μ+Ν+6 αγνώστους
ΘΕΩΡΙΑ ΡΟΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ H=5 m, T=8 s, d=50 m
ΘΕΩΡΙΑ ΡΟΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ H=4 m, T=8 s, d=5m
Solitary wave (θεωρία μοναχικού κύματος) Μια απότομη μετατόπιση του στερεού ορίου που περικλείει τη θαλάσσια μάζα προκαλεί μια αντίστοιχη διαταραχή (υπερύψωση ήβωμα) στην ελεύθερη επιφάνεια.
Σχηματική παρουσίαση των κυμάτων των διαφόρων θεωριών
ΘΡΑΥΣΗ ΤΩΝ ΚΥΜΑΤΙΣΜΩΝ L Η Η θραύση οφείλεται στην αύξηση της καμπυλότητας Η/L πέρα από ένα επιτρεπόμενο όριο (εμφάνιση υδροδυναμικής αστάθειας) H 1 2 Ho 1 tanh( d) L 7 L L 7 max o
ΠΕΡΙΘΛΑΣΗ
ΠΕΡΙΘΛΑΣΗ Μαθηματικό μοντέλο Αναλυτική λύση Εξίσωση Laplace: Αναλυτική λύση:
ΠΕΡΙΘΛΑΣΗ Μαθηματικό μοντέλο Αναλυτική λύση
ΠΕΡΙΘΛΑΣΗ
Πλήρης ανάκλαση κυματισμών Η Η η =η I+ η R= cos(kx-σt) + cos(-kx-σt) 2 2 η= Ηcos( kx) cos(σt) I : Incident(προσπίπτων) η R : Reflected(ανακλώμενο) η
Η η = cos(kx-σt) 2 ΣΥΝΘΕΣΗ ΚΥΜΑΤΙΣΜΩΝ Απλός ή μονοχρωματικός κυματισμός Σύνθετοι (μη μονοχρωματικοί) κυματισμοί Η Η k+k σ+σ k-k σ-σ η = cos(kx-σt) + cos(kx-σt)= Ηcos( x- t) cos( x- t) 2 2 2 2 2 2 1 2kd Cg nc C 1 + 2 sinh(2kd) Στα βαθιά νερά (n=0.5) η φασική ταχύτητα της ομάδας είναι η μισή της φασικής ταχύτητας του βασικού κύματος
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ Εξισώσεις ήπιας κλίσης ( mild slope ) υπερβολικής μορφής ζ=ανύψωση της επιφάνειας, U και V = οριζόντιες ταχύτητες, c=ταχύτητα μετάδοσης του κύματος, d το βάθος και n=c g /c : nud nvd 1 1 t n x n y U c 2 n 0 t nd x 0 V c 2 n t nd y 0
0 y d) (nv d) (nv x d) (nu d) (nu t ζ ζ n n i,j w n 1 i,j w n i,j w n 1,j i w n i 1 n i i 0 x (ζn) (ζn) d c n 1 t U U 1 n 1 i 1 n i i 2 i n w i 1 n w i 0 y (ζn) (ζn) d c n 1 t V V 1 n 1 i 1 n i i 2 i n w i 1 n w i Ρητό αριθμητικό σχήμα Πεπερασμένων ιαφορών: Το σύστημα διεγείρεται από μία χρονοσειρά ζ i *(t)=η/2 sin(σt)
Κυματισμοί Λιμένας Ρόδου: Στιγμιαία κυματική ανύψωση της στάθμης θάλασσας
Στιγμιαία κυματική ανύψωση της στάθμης θάλασσας στην περιοχή Μακρυγιάλου Πιερίας
20 15 ιάθλαση Ρηχότητα y (m) 10 5 0 S4 S3 S2 S1-5 -10 Κυματισμοί -15-10 -5 0 5 10 x (m)
Προηγμένα μαθηματικά μοντέλα τύπου Boussinesq t ( d ) U x 0 ε =H/d σ 2 =(d/l) 2 U U g U g (, ) (, ) lntanh x t x t d t x x d x 4 d
Προηγμένα μαθηματικά μοντέλα τύπου Boussinesq Σε δύο διαστάσεις: U U U U V g (,, ) (, ) x x t K d d t x y x x x 1 2 1 2 1 2 V V V U V g (,, ) (, ) x x t K d d t x y y y y 1 2 1 2 1 2 K( x, y) n1 g 1 ( 1) 2 2 d r/ d 2 2 n1 n ( r/ d) /4
Section 1 1 5 Hi ( t) sin( kisin( i) xit) 2 i1 Incident waves
2 Model Linear superposition ζ (m) 1 0-1 -2 0 400 800 1200 y (m)
0.4572 0 x10.67 G 1 d( x, y) 0.4572 (10.67 Gx) 10.67 G x18.29 G 25 0.1524 18.29 G x36.576 Gy y y y 1/2 ( ) ( (6.096 )) 0 6.096 Whalin (1971)