Η Φυσική της Μουσικής Τ.Ε.Ι. Ιονίων Νήσων Διάλεξη 3 Απόσβεση, Μεταβατικά, Φάκελοι Η Αρχή της Υπέρθεσης Ανάκλαση Κυμάτων Διδάσκων: Δρ Διονύσιος Θ. Γ. Κατερέλος (d.katerelos@gmail.com)
Ανασκόπηση της Διάλεξης 2 Εξετάσαμε γρήγορα τα περισσότερα της βασικής φυσικής: Δύναμη και Επιτάχυνση Πρόσθεση Διανυσμάτων Δεύτερος Νόμος του Newton Απλή Αρμονική Κίνηση Κύματα Ήταν δυνατό να καλύψουμε τόσο πολλή ύλη εστιάζοντας περισσότερο στις έννοιες παρά στο πώς να κάνουμε υπολογισμούς και να λύνουμε προβλήματα. Ήδη γνωρίζουμε τα περισσότερα από τα ζητήματα διαισθητικά (π.χ., η επιτάχυνση της Crown Victoria ως προς της Mustang) 2
Μελετήσαμε 3 παραδείγματα Απλής Αρμονικής Κίνησης (ΑΑΚ): Μάζα σε οριζόντιο ελατήριο Εκκρεμές (μάζα σε κάθετη χορδή) Απλή κυκλική κίνηση (π.χ., μάζα σε οριζόντια χορδή ή η κίνηση της Γης γύρω από τον Ήλιο) Η ΑΑΚ είναι κοινό χαρακτηριστικό πολλών διαφορετικών φυσικών διαδικασιών. Η ΑΑΚ ενός στερεού σώματος προκαλεί ηχητικά κύματα με την ίδια συχνότητα και πλάτος στον αέρα που το περιβάλλει. Ο ήχος διαδίδεται ως διάμηκες κύμα με ταχύτητα περίπου 345m/s. 3
Είναι η Απλή Αρμονική Κίνηση Μουσική; 4
Ακούγοντας Απλή Αρμονική Κίνηση Ας ακούσουμε αυτό το παράδειγμα ενός ήχου που δημιουργείται με ΑΑΚ. Θυμίζει κάποιο μουσικό όργανο; Ποιές όψεις του ήχου είναι «αφύσικες» ή «μη μουσικές»; 5
Προς το Μουσικό Ήχο Παρακάτω παρουσιάζεται μια γραφική παράσταση του ήχου που ακούσαμε: Ο ήχος υπολείπεται σε δυο γενικές περιοχές: αρχίζει και τελειώνει απότομα χωρίς κάποιο «σχήμα» ο «τόνος» είναι καθαρός αλλά αφύσικος (και χωρίς ενδιαφέρον) 6
Στη διάρκεια της σημερινής διάλεξης θα μάθουμε τί απαιτείται για τη βελτίωση του ήχου και στις δυο αυτές περιοχές: Η απόσβεση και οι μεταβάσεις δίνουν σε έναν ήχο το «σχήμα» του. Οι ταλαντώσεις που είναι περισσότερο πολύπλοκες από την ΑΑΚ δίνουν σε έναν ήχο το μουσικό του τόνο. Η Αρχή της Υπέρθεσης είναι ένα ισχυρό εργαλείο για την κατανόηση αυτών των περισσότερο πολύπλοκων ταλαντώσεων με όρους της ΑΑΚ. 7
Φάκελος Ήχου Καλούμε το σχήμα ενός ήχου φάκελο. Ένας φάκελος ταιριάζει βολικά γύρω από τη μέγιστη κίνηση των σωματιδίων του αέρα (ή ενός στερεού που υπόκειται ΑΑΚ) κι έτσι ιχνηλατεί το πώς το πλάτος της κίνησης αλλάζει με το χρόνο. Ο ήχος ΑΑΚ που ακούσαμε έχει φάκελο που μοιάζει με κουτί: καμία αλλαγή στον όγκο σιωπή σιωπή απότομη αρχή απότομο σταμάτημα 8
Φάκελος: Παράδειγμα 1 Παρατίθενται μερικά παραδείγματα φακέλων μουσικών ήχων: 9
Φάκελος: Παράδειγμα 2 10
Φάκελος: Παράδειγμα 3 11
Ποιά τα γενικά κοινά χαρακτηριστικά αυτών των φακέλων; Πώς διαφέρουν από την ΑΑΚ; gong marimba piano 12
Απόσβεση και Απαγωγή Το κύριο χαρακτηριστικό που λείπει από το φάκελο της ΑΑΚ είναι η βαθμιαία πτώση του πλάτους καθώς ο ήχος σβήνει. Αυτή η διαδικασία μείωσης καλείται απόσβεση. Η απόσβεση είναι παρούσα στα περισσότερα παραδείγματα της ΑΑΚ. Συνήθως είναι το αποτέλεσμα της τριβής, η οποία απάγει ανεπίστρεπτα ενέργεια από τις ταλαντώσεις (απαγωγή). Η απαγωγή συμβαίνει σε όλες τις φυσικές διαδικασίες. Είναι ο λόγος για τον οποίο μια μπάλα δεν αναπηδά συνέχεια και γιατί απαιτείται να σπρώχνουμε συνέχεια μια κούνια ώστε να κινείται. 13
Παραδείγματα Απόσβεσης Στις προσομοιώσεις (online demonstrations) συγκρίνονται κινήσεις με και χωρίς απόσβεση : μιας μάζας σε οριζόντιο ελατήριο ενός εκκρεμούς 14
Απόσβεση = Εκθετική Μείωση Απόσβεση γενικά σημαίνει ότι το πλάτος των ταλαντώσεων (δηλ., πόσο δυνατός είναι ο ήχος) μειώνεται κατά συγκεκριμένο κλάσμα στη μονάδα του χρόνου: Πλάτος(τώρα) = Κλάσμα x Πλάτος(πριν) Στην περίπτωση αυτή, πόσο χρειάζεται ο ήχος μέχρι να χαθεί εντελώς; Αν μια ποσότητα μειώνεται με σταθερό κλάσμα στη μονάδα του χρόνου, τότε λέμε ότι υπακούει ένα νόμο εκθετικής μείωσης. Η ποσότητα μπορεί να είναι ο,τιδήποτε (όχι μόνο πλάτος ήχου). 15
Εκθετική Μείωση: Παράδειγμα 1 Πώς μπορείς να κάνεις ένα γλυκό να κρατήσει πολύ χρόνο; Δοκίμασε να τρως το 10% του γλυκού κάθε ένα λεπτό 10 9 9 8 8 7 7 6 6 5 5 4 4 3 3 2 2 100% 1 90% 1 81% 73% 66% 59% 53% 48% 43% 39% 35% 31% Λεπτά: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Πόσα λεπτά θα περάσουν μέχρι να τελειώσει το γλυκό; 16
Νόμος Εκθετικής Μείωσης Η εξέλιξη μιας εκθετικής μείωσης περιγράφεται με ένα μοναδικό αριθμό τον οποίο επιλέγουμε ως το κλάσμα που χάνεται στη μονάδα του χρόνου (π.χ., 10%/λεπτό). Ένας άλλος αριθμός που μπορούμε να επιλέξουμε είναι το πόσο χρειάζεται για να χαθεί το μισό. Αυτός ήταν περίπου 6.5 λεπτά στο παράδειγμά μας. Είναι προφανές ότι θα χάνεται ένα μισό κάθε 6.5 λεπτά; Ο χρόνος που απαιτείται για να χαθεί το επόμενο μισό καλείται χρόνος ημίσειας ζωής της μείωσης. 17
Εκθετική Μείωση: Παράδειγμα 2 Η εκθετική μείωση είναι πιο γενική από την απαγωγή, η οποία είναι ήδη αρκετά γενική. Ένα παράδειγμα που δεν έχει να κάνει με την απαγωγή είναι η ραδιενεργή μείωση όπου ο αριθμός των ραδιενεργών σωματιδίων σε ένα δείγμα ακολουθεί εκθετική μείωση. Αυτή η εξέλιξη μας επιτρέπει να μετράμε πόσο καιρό πριν πέθανε ένας ζωντανός οργανισμός. Αυτή είναι η αρχή πίσω από τη χρονολόγηση με άνθρακα-14 (το σώμα μας διατηρεί ένα μικρό σταθερό ποσό ραδιενεργού άνθρακα έως του θανάτου μας). Ο C-14 έχει χρόνο ημίσειας ζωής περίπου 6000 χρόνια. 18
Παραπλεύρως στην Εκθετική Συνάρτηση Η μαθηματική συνάρτηση που περιγράφει την εκθετική μείωση είναι: N(t) = N(0) exp(- c t) 100% 90% 81% 73% 66% 59% 53% 48% 43% 39% 35% 31% Η εκθετική συνάρτηση δεν είναι ευθεία γραμμή! 19
Μεταβατικά Το μεταβατικό είναι μια σύντομη έκρηξη στην κίνηση. Τα μεταβατικά στα φυσικά συστήματα είναι συχνά τα αποτελέσματα εκρηκτικής εξωτερικής διαταραχής. Παραδείγματα: Ένα σφυρί που χρησιμοποιείται για την έναρξη μιας οριζόντιας κίνησης ελατηρίου Η απαιτούμενη αρχική δύναμη για την έναρξη της ταλάντωσης των χειλέων ενός τρομπετίστα Τα μεταβατικά δεν περιγράφονται εύκολα μαθηματικά, αντίθετα με την Απλή Αρμονική Κίνηση (cos, sin) ή την Απόσβεση (exp). 20
Μεταβατικά στους Μουσικούς Ήχους Κοιτάξτε για μεταβατικά σε ένα μουσικό ήχο στην αρχή του φακέλου του: Μεταβατικό! 21
Πεπλεγμένες Ταλαντώσεις Αν μεγεθύνουμε για να εξετάσουμε ένα σύντομο τμήμα μουσικού ήχου, ανακαλύπτουμε ότι οι ταλαντώσεις του είναι περισσότερο πολύπλοκες από το αναμενόμενο από την Απλή Αρμονική Κίνηση: 22
Η Αρχή της Υπέρθεσης Για να μελετήσουμε αυτές τις περισσότερο πεπλεγμένες ταλαντώσεις, θα χρησιμοποιήσουμε ένα πολύ ισχυρό χαρακτηριστικό όλων των γραμμικών συστημάτων γνωστό ως η Αρχή της Υπέρθεσης (ΑτΥ): Η συνδυασμένη επίδραση στην κίνηση ενός συστήματος της εφαρμογής δυο διαταραχών την ίδια στιγμή είναι απλά το άθροισμα των ξεχωριστών κινήσεων αν κάθε διαταραχή εφαρμοζόταν ξεχωριστά. 23
Μπορούμε επίσης να εκφράσουμε την ΑτΥ μαθηματικά: Αποτέλεσμα της διαταραχής B F A+B (t) = F A (t) + F B (t) Συνδυασμένο αποτέλεσμα των διαταραχών A+B Αποτέλεσμα της διαταραχής A Λέμε ότι η συνάρτηση F(t) που περιγράφει το αποτέλεσμα της διαταραχής είναι μια γραμμική συνάρτηση. 24
Παραπλεύρως στις Γραμμικές Συναρτήσεις Όλες οι γραμμικές συναρτήσεις έχουν την ίδια γενική μορφή: F(t) = a + b t Όπου a και b είναι δυο τυχαίες παράμετροι (αριθμοί). Οι περισσότερες μαθηματικές συναρτήσεις είναι μη-γραμμικές. Π.χ., sin(2 ft), exp(-ct) exp(1+1) = 7.389 exp(1) + exp(1) = 5.437 Επομένως, exp(a+b) exp(a) + exp(b) 25
Υπέρθεση: Παράδειγμα 1 Ένα ποτήρι νερό είναι τετριμμένο παράδειγμα γραμμικού συστήματος. Διαταραχή A = γεμίζουμε ένα ποτήρι κατά το 1/4 Διαταραχή B = προσθέτουμε στο ποτήρι άλλο 1/2 Ποιό είναι το αποτέλεσμα του συνδυασμού διαταραχών A+B; Το ποτήρι είναι γεμάτο κατά τα 3/4 (!) 26
Τα περισσότερα φυσικά συστήματα δεν είναι ακριβώς γραμμικά. Παραδείγματα: Ποτήρι νερού γεμάτο πέρα από το χείλος του Ελατήριο συμπιεσμένο σχεδόν στο μηδέν Ελατήριο εκτεταμένο πέρα από το σημείο θραύσης του Αυτά τα συστήματα περιγράφονται από μη-γραμμικές συναρτήσεις. Πάντως, όλα τα συστήματα είναι προσεγγιστικά γραμμικά για αρκούντως μικρές διαταραχές! (Τα μεταβατικά προέρχονται συνήθως από στιγμιαίες υπερβάσεις πέρα από τα όρια των γραμμικών διαταραχών.) 27
Παραπλεύρως στις Μη-Γραμμικές Συναρτήσεις Κάθε λογική μαθηματική συνάρτηση (συμπεριλαμβανομένων των μη-γραμμικών) είναι προσεγγιστικά γραμμική όταν θεωρηθεί σε μια μικρή σχετικά περιοχή: y(x) x 28
Υπέρθεση: Παράδειγμα 2 Ένα σχοινί μεγάλου μήκους παρέχει το μέσο για εγκάρσια κύματα. Διατηρώντας τα πράγματα απλά, μπορούμε να προκαλέσουμε μεμονωμένους παλμούς στο σχοινί και απλά να εστιάζουμε στο μέσο του σχοινιού (δηλ., να αγνοήσουμε το τί γίνεται όταν ο παλμός φθάσει στο άκρο). Διαταραχή A = παλμός προκληθείς στο αριστερό άκρο. Διαταραχή B = παλμός προκληθείς στο δεξιό άκρο. Τί μας λέει η ΑτΥ ότι θα συμβεί όταν παλμοί προκληθούν ταυτόχρονα κι από τα δύο άκρα του σχοινιού (Διαταραχή A+B); 29
Ας δούμε την προσομοίωση (online demonstration) Τί μαθαίνουμε; Δύο παλμοί μπορούν να περάσουν ο ένας μέσα από τον άλλο χωρίς να διαταραχθούν Δυο θετικοί παλμοί συνδυάζονται στιγμιαία σχηματίζοντας ένα παλμό διπλάσιο σε μέγεθος: εποικοδομητική παρεμβολή Ένας θετικός παλμός και ένας αρνητικός παλμός μπορούν ακριβώς να αλληλοαναιρεθούν στιγμιαία: καταστροφική παρεμβολή 30
Υπέρθεση: Παράδειγμα 3 Τί γίνεται αν, αντί παλμών, εφαρμόσουμε μια περιοδική διαταραχή της μορφής ΑΑΚ στο σχοινί; Και πάλι, αγνοούμε τα άκρα του σχοινιού. Διαταραχή A = Κύμα ΑΑΚ οδεύον από δεξιά προς αριστερά Διαταραχή B = Κύμα ΑΑΚ οδεύον από αριστερά προς δεξιά Οι διαταραχές Α και Β μπορεί να έχουν διαφορετικές συχνότητες και πλάτη. Τί μας λέει τώρα η ΑτΥ; 31
Ας δούμε την προσομοίωση (online demonstration) Το παραγόμενο κύμα κινείται μπρος και πίσω μεταξύ καταστροφικής και εποικοδομητικής παρεμβολής. Το παραγόμενο κύμα κινείται επίσης προς τα δεξιά. (Γιατί όχι προς τα αριστερά;) 32
Υπέρθεση περισσότερων από 2 Διαταραχών Εστιάσαμε σε παραδείγματα υπέρθεσης 2 διαταραχών, αλλά η υπέρθεση ισχύει για κάθε τυχαίο αριθμό διαταραχών: F A+B+C+D+ (t) = F A (t) + F B (t) + F C (t) + F D (t) + Μπορούμε ακόμα να φανταστούμε (και συχνά γίνεται!) ένα άπειρο αριθμό διαταραχών που συνδυάζονται. Αυτό είναι σωστό αν οι διαταραχές γίνονται όλο και μικρότερες επαρκώς γρήγορα, π.χ., 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + = 1 33
Πίσω στα Σύνθετα Κύματα Μάθαμε για την Αρχή της Υπέρθεσης ώστε να κατανοήσουμε τα πολύπλοκα κύματα που χαρακτηρίζουν το μουσικό ήχο. Πώς μας βοηθά; Ένας μουσικός ήχος είναι το αποτέλεσμα μιας σύνθετης ταλάντωσης. Η ΑτΥ μας λέει να κατανοήσουμε μια σύνθετη ταλάντωση ως το συνδυασμένο αποτέλεσμα πολλών απλούστερων ταλαντώσεων. 34
Οπλισμένοι με την ΑτΥ, μελετάμε ένα μουσικό ήχο ρωτώντας: Ποιές είναι οι βασικές απλές ταλαντώσεις (μορφές - modes) που συνδυάζονται για να προκύψει η τελική σύνθετη ταλάντωση; Τί καθορίζει τη συνεισφορά κάθε μορφής στον τελικό ήχο; 35
Ανάκλαση των Παλμών Έως τώρα έχουμε αγνοήσει τί συμβαίνει στο άκρο ενός σχοινιού μεγάλου μήκους όταν φθάνει εκεί ο παλμός. Τί συμβαίνει; Ας το δούμε (online demonstration). Ο ανακλώμενος παλμός αντιστρέφεται: ένας θετικός παλμός γίνεται αρνητικός και αντίστροφα. Γιατί; Διότι το στερεωμένο άκρο του σχοινιού δε μπορεί να κινηθεί και αυτός είναι ο μόνος τρόπος να το κάνει. 36
Ανάκλαση και η ΑτΥ Η ανάκλαση είναι μαθηματικά το ίδιο με το να στείλουμε ένα αρνητικό παλμό από το αντίθετο άκρο σχοινιού μεγάλου μήκους και να συναντήσει το θετικό παλμό όπου πρέπει να βρίσκεται το στερεωμένο άκρο. Ας συγκρίνουμε τις προηγούμενες επιδείξεις ανακλάσεων και υπέρθεσης για επιβεβαίωση. 37
Συνοριακές Συνθήκες Το γεγονός ότι το άκρο του σχοινιού είναι στερεωμένο είναι ένα παράδειγμα μιας συνοριακής συνθήκης. Μια άλλη πιθανή συνοριακή συνθήκη είναι ότι το άκρο του σχοινιού είναι ελεύθερο να κινείται. Ποιά είναι η κίνηση στην περίπτωση αυτή; Ας το δούμε (online demonstration). Με αυτή τη νέα συνοριακή συνθήκη, ο ανακλώμενος παλμός δεν αντιστρέφεται πια! 38
Ανάκλαση Κυμάτων Τί γίνεται αν στείλουμε ένα περιοδικό κύμα στο σχοινί αντί για παλμό; Ας το δούμε (online demonstrations). 39
Ανάκλαση: Παράδειγμα 1 Ηχητικά κύματα που συγκρούονται με λείο στερεό (π.χ., ένα μεγάλο κτήριο) ανακλώνται πίσω. Αυτό είναι απλώς ηχώ. Ο ανακλώμενος ήχος είναι το αρνητικό του αρχικού ήχου. Οι ανακλάσεις των ηχητικών κυμάτων στους τοίχους ενός δωματίου έχουν μεγάλη επίδραση στους ήχους που ακούμε. 40
Ανάκλαση: Παράδειγμα 2 Το φως που λάμπει πάνω σε μια λεία λαμπερή επιφάνεια (π.χ., καθρέφτης) ανακλάται πίσω. 41
Πόσο λεία; Η ανάκλαση συμβαίνει από κάθε επιφάνεια, αλλά η ανάκλαση από τραχεία επιφάνεια είναι ασυνάρτητη (ανακλά σε όλες τις διευθύνσεις) ενώ η ανάκλαση από λεία επιφάνεια είναι συνεκτική (ανακλά στην ίδια διεύθυνση). Πόσο λείο είναι το αρκετά λείο για συνεκτικές ανακλάσεις; Το μήκος κύματος ορίζει την κλίμακα. Ας θυμηθούμε ότι ο ήχος έχει μήκη κύματος περίπου 1 m ενώ το φως έχει μήκη κύματος περίπου 1 μm. 42
Περίληψη Αν και η ΑΑΚ ενός στερεού γεννά ήχο, αυτός δεν είναι μουσικός ήχος. Δυο σημεία κλειδιά που λείπουν από τον ήχο που γεννάται από ΑΑΚ είναι ο φάκελος και οι σύνθετες ταλαντώσεις. Η απόσβεση είναι το αποτέλεσμα της απαγωγής και οδηγεί στην εκθετική μείωση ενός φακέλου ήχου. 43
Η ΑτΥ είναι ένα ισχυρό εργαλείο για την κατανόηση των σύνθετων ταλαντώσεων με όρους των απλών μορφών που συνεισφέρουν σε αυτές. Η ανάκλαση είναι ένα γενικό χαρακτηριστικό κάθε κύματος που περνά από ένα μέσο σε ένα άλλο. 44
Επαναληπτικές Ερωτήσεις Πώς μοιάζει ο φάκελος της ΑΑΚ; Για πόσο διάστημα διαρκεί ένας εκθετικά μειούμενος ήχος; Μπορεί μια χορδή να ταλαντώνεται σε δυο διαφορετικές συχνότητες την ίδια στιγμή; Γιατί ο ήχος ανακλάται από ένα κτήριο ενώ το φως όχι; 45
Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο "Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα του ΤΕΙ Ιονίων Νήσων" έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.