3. Τελεστές και κβαντικές πύλες

3. Τελεστές και κβαντικές πύλες Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζονται οι κβαντικές πύλες ως τελεστές του χώρου Hlber. Περιγράφονται οι κβαντικές πύλες που δρουν σε ένα qub. Παρουσιάζονται επίσης οι κβαντικές πύλες που δρουν σε κβαντικούς καταχωρητές των δύο και των τριών qubs. Δίνεται η απόδειξη του θεωρήματος αδυναμίας αντιγραφής κβαντικής κατάστασης. Προαπαιτούμενη γνώση Γραμμική άλγεβρα, το πρώτο και το δεύτερο κεφάλαιο του βιβλίου αυτού. 3. Οι κβαντικές πύλες ως τελεστές του χώρου Hlber Οι επεξεργαστές των κλασικών υπολογιστών αποτελούνται από αγωγούς και λογικές πύλες οι οποίες συγκροτούν κυκλώματα. Οι αγωγοί μεταφέρουν την πληροφορία με τη μορφή τάσης ή ρεύματος από πύλη σε πύλη. Οι λογικές πύλες επεξεργάζονται και μετατρέπουν την πληροφορία που έρχεται στην είσοδό τους, σύμφωνα με τον πίνακα αληθείας τους. Οι λογικές πύλες στους κλασικούς υπολογιστές είναι φυσικά συστήματα κατασκευασμένα από πυρίτιο και, σε όλους σχεδόν τους κλασικούς υπολογιστές, αποτελούνται από τρανζίστορς που ονομάζονται MOSFETs. Δηλαδή, οι πύλες των κλασικών υπολογιστών είναι φυσικά συστήματα και η πληροφορία διέρχεται από μέσα τους. Αντίθετα, στους κβαντικούς υπολογιστές οι κβαντικές πύλες δεν είναι συνήθως φυσικά συστήματα, αλλά αντιπροσωπεύουν δράσεις που ασκούνται σε qubs ή σε κβαντικούς καταχωρητές. Οι δράσεις στα κβαντικά συστήματα αντιπροσωπεύονται από τελεστές του χώρου Hlber που, όπως είδαμε, περιγράφονται από πίνακες (Kaye, Lafflamme & Msa, 7). Η δράση του Quan στο κβαντικό παιχνίδι που είδαμε στο πρώτο κεφάλαιο, είναι μία κβαντική πύλη και συγκεκριμένα η πύλη Hadamard, την οποία θα περιγράψουμε στο κεφάλαιο αυτό. Μία άλλη σημαντική διαφορά είναι ότι η πληροφορία δεν διέρχεται μέσα από τις κβαντικές πύλες. Η πληροφορία βρίσκεται αποθηκευμένη σε qubs ή σε κβαντικούς καταχωρητές και παραμένει εκεί. Αυτό συμβαίνει σε όλες τις υλοποιήσεις στερεάς κατάστασης των κβαντικών κυκλωμάτων, όπως με παγίδες ιόντων ή με NMR. Τα qubs είναι σωματίδια που παραμένουν σταθερά στις θέσεις τους, όσο βέβαια τους το επιτρέπει η αρχή της απροσδιοριστίας. Όπως θα δούμε στο επόμενο κεφάλαιο, οι κβαντικές πύλες δρουν η μία μετά την άλλη στα qubs ή στους κβαντικούς καταχωρητές αλλάζοντας την κατάστασή τους. Οι κβαντικές πύλες είναι δηλαδή, δράσεις πάνω στα σωματίδια με μαγνητικά πεδία ή παλμούς laser. Θυμηθείτε ότι στο κβαντικό μας παιχνίδι το κβαντικό κέρμα που αντιπροσωπεύει το qub ή τον κβαντικό καταχωρητή παραμένει στην ίδια θέση ενώ οι δύο παίκτες δρουν σε αυτό ο ένας μετά τον άλλο. Όπως θα δούμε, το παιχνίδι αυτό είναι ένας κβαντικός υπολογισμός, όπου το κβαντικό κέρμα αντιπροσωπεύει το qub ή τον κβαντικό καταχωρητή και ο Quan τις κβαντικές πύλες. Τώρα μπορούμε να ορίσουμε τις κβαντικές πύλες. Οι καταστάσεις των qubs και των κβαντικών καταχωρητών είναι διανύσματα στον χώρο Hlber. Οι κβαντικές πύλες είναι τελεστές του χώρου Hlber που δρουν σε qubs και σε κβαντικούς καταχωρητές αλλάζοντας την κατάστασή τους. Δηλαδή οι κβαντικές πύλες περιστρέφουν τα διανύσματα κατάστασής των qubs και των κβαντικών καταχωρητών χωρίς να αλλάζουν το μήκος τους, το οποίο είναι πάντα ίσο με τη μονάδα (Keyl ). Όλοι οι τελεστές του χώρου Hlber μπορούν να είναι κβαντικές πύλες; Όχι. Οι κβαντικές πύλες πρέπει να μην μεταβάλλουν το μήκος του διανύσματος κατάστασης και να μην μεταβάλουν τις τιμές των εσωτερικών γινομένων μεταξύ δύο διανυσμάτων κατάστασης. Για τον λόγο αυτό αντιπροσωπεύονται από ορθομοναδιαίους τελεστές και πίνακες. Έστω ότι έχουμε δύο διανύσματα κατάστασης, τα q R και q R. Το εσωτερικό τους γινόμενο διατηρείται, όταν δρα σε αυτά ένας ορθομοναδιαίος τελεστής G : q q q G G q q G G q q q R R R R R R R R (3.) 46

Παρακάτω θα περιγράψουμε τις κβαντικές πύλες και θα δούμε τα αποτελέσματα των δράσεών τους. 3. Κβαντικές πύλες που δρουν σε ένα qub Εδώ θα ασχοληθούμε με κβαντικές πύλες που δρουν σε ένα μόνο qub. Οι πύλες αυτές περιστρέφουν το διάνυσμα κατάστασης ενός qub μέσα στη σφαίρα Blh, δηλαδή μεταβάλουν τις γωνίες θ και φ. Υπάρχουν άπειρες τέτοιες περιστροφές και επομένως, υπάρχουν άπειρες κβαντικές πύλες που δρουν σε ένα qub. Δηλαδή, κάθε ορθομοναδιαίος τελεστής μπορεί να θεωρηθεί ως μία κβαντική πύλη που δρα σε ένα qub. Υπάρχουν λοιπόν άπειρες κβαντικές πύλες που δρουν σε ένα qub, όμως δεν χρησιμοποιούνται όλες. Χρησιμοποιούνται κυρίως τρεις πύλες οι οποίες έχουν ονομαστεί και θα τις δούμε αμέσως παρακάτω. 3.. Η κβαντική πύλη αδρανείας Η πύλη αδρανείας και συμβολίζεται με Ι και περιγράφεται από έναν τελεστή που ονομάζεται τελεστής αδρανείας. Ο πίνακας που αντιστοιχεί στον τελεστή της πύλης αυτής είναι: I (3.) Η κβαντική πύλη αδρανείας, αφήνει αμετάβλητη την κατάσταση του qub: I q q (3.3) Σχήμα 3-. Το σύμβολο της κβαντικής πύλης αδρανείας, Ι. Στο Σχήμα 3- φαίνεται το σύμβολο της πύλης αδρανείας. Ο Πίνακας 3- δείχνει τη δράση της πύλης αυτής στις καταστάσεις ενός qub: Πίνακας 3-. Η δράση της κβαντικής πύλης αδρανείας στις καταστάσεις ενός qub. Στην πρώτη στήλη του πίνακα φαίνονται οι καταστάσεις των qubs πριν τη δράση της πύλης και στη δεύτερη οι καταστάσεις μετά τη δράση της πύλης. Προσοχή στον συμβολισμό. Στο Σχήμα 3- η πληροφορία δεν διέρχεται μέσα από την πύλη, αλλά συμβολίζουμε με q την κατάσταση του qub πριν τη δράση της πύλης και με q την κατάστασή του μετά τη δράση της πύλης. O I 47

3.. Η Κβαντική πύλη μετατόπισης φάσης Η κβαντική πύλη μετατόπισης φάσης περιγράφεται από έναν τελεστή που ονομάζεται Φ. Ο πίνακας που αντιστοιχεί στον τελεστή της πύλης αυτής είναι (Baren, 995): Φ ϕ e (3.4) Ας δούμε τώρα το αποτέλεσμα της δράσης αυτής της πύλης σε ένα qub. Έστω ένα qub οποίου η κατάσταση δίνεται από: q του I a q I a + b (3.5) b Η κβαντική πύλη μετατόπισης φάσης δρα σ αυτό και αλλάζει την κατάστασή του σε υπολογίσουμε τη νέα αυτή κατάσταση: q O. Ας q O Φ q I ϕ e a b a ϕ e b (3.6) Η νέα κατάσταση του qub είναι: q O ϕ a + e b (3.7) Δηλαδή, η δράση της πύλης αυτής άλλαξε μόνο τη γωνία φάσης του qub. Σχήμα 3-. Το σύμβολο της κβαντικής πύλης μετατόπισης φάσης, Φ. Στο Σχήμα 3- φαίνεται το σύμβολο της πύλης Φ και στον Πίνακα 3- οι ιδιότητές της. Στην πρώτη στήλη του πίνακα φαίνονται οι καταστάσεις των qubs πριν τη δράση της πύλης ( q ) και στη δεύτερη οι καταστάσεις μετά τη δράση της πύλης ( q ). O I 48

49 Πίνακας 3-. Η δράση της κβαντικής πύλης μετατόπισης φάσης στις καταστάσεις ενός qub. 3..3 Η κβαντική πύλη Hadamard Η κβαντική πύλη Hadamard περιγράφεται από έναν τελεστή που ονομάζεται H. Ο πίνακας που αντιστοιχεί στον τελεστή της πύλης αυτής είναι: H (3.8) Ας δούμε το αποτέλεσμα της δράσης αυτής της πύλης σε ένα qub που βρίσκεται στη βασική κατάσταση : ( ) + + H (3.9) Ας δούμε και το αποτέλεσμα της δράσης αυτής της πύλης σε ένα qub που βρίσκεται στη βασική κατάσταση : ( ) H (3.) Δηλαδή, όταν η πύλη Hadamard δρα σε qubs που βρίσκονται σε μία από τις δύο βασικές καταστάσεις, τα θέτει σε μία κατάσταση που είναι υπέρθεση των βασικών καταστάσεων. Όταν ένα qub βρίσκεται είτε στην κατάσταση που δίνεται από την (3.9) είτε στην κατάσταση που δίνεται από την (3.), η πιθανότητα να μετρήσουμε και να το βρούμε στην βασική κατάσταση είναι ίση με την πιθανότητα να το βρούμε στην βασική κατάσταση. Φυσικά και οι δύο πιθανότητες είναι ίσες με,5. Ας δούμε τώρα τι αποτέλεσμα θα έχουμε αν η πύλη Hadamard δράσει σε ένα qub που βρίσκεται στην υπέρθεση καταστάσεων που δίνεται από την (3.9):

5 ( ) + H (3.) Ας δούμε τη δράση της πύλης και στο qub που βρίσκεται στην υπέρθεση καταστάσεων που δίνεται από την (3.): ( ) H (3.) Δηλαδή η πύλη Hadamard επιστρέφει τα qubs στις βασικές τους καταστάσεις. Σχήμα 3-3. Το σύμβολο της κβαντικής πύλης Hadamard, H. Πίνακας 3-3. Η δράση της κβαντικής Hadamard στις καταστάσεις ενός qub. Στο Σχήμα 3-3 φαίνεται το σύμβολο της πύλης H και στον Πίνακα 3-3 οι ιδιότητές της. Στην πρώτη στήλη του πίνακα φαίνονται οι καταστάσεις των qubs πριν τη δράση της πύλης ( I q ) και στη δεύτερη οι καταστάσεις μετά τη δράση της πύλης ( O q ). Η πύλη Ηadamard είναι πολύ σημαντική διότι μπορεί να μεταφέρει τα qubs από τις βασικές τους καταστάσεις (οι οποίες γίνονται αντιληπτές από εμάς), σε υπέρθεση καταστάσεων, που είναι χαρακτηριστικό μόνο των κβαντικών συστημάτων. Επίσης, μεταφέρει τα qubs από υπέρθεση καταστάσεων στις βασικές τους καταστάσεις. Αναμένεται ότι οι πύλες Hadamard θα αποτελέσουν το κύριο στοιχείο για τη διασύνδεση κλασικών και κβαντικών υπολογιστών.

3. 3 Κβαντικές πύλες Paul Μία πολύ σημαντική ομάδα κβαντικών πυλών που δρουν σε ένα qub είναι οι κβαντικές πύλες Paul. Αυτές οι κβαντικές πύλες είναι σημαντικές διότι κάθε δυνατή κβαντική πύλη του ενός qub μπορεί να συντεθεί από έναν γραμμικό συνδυασμό των πυλών Paul και της πύλης αδρανείας (Cyben, ). Δηλαδή, με τις πύλες αυτές μπορούμε να εκτελέσουμε όλες τις περιστροφές του διανύσματος κατάστασης ενός qub στη σφαίρα Blh. q I X q O q I Y q O q I Z q O Σχήμα 3-4. Τα σύμβολα των κβαντικών πυλών Paul. Πίνακας 3-4. Οι δράσεις των κβαντικών πυλών Paul στις καταστάσεις ενός qub. Οι κβαντικές πύλες Paul συμβολίζονται με τα γράμματα Χ, Υ και Ζ. Τα σύμβολα των πυλών αυτών φαίνονται στο Σχήμα 3-4. Οι πύλες Paul περιγράφονται αντίστοιχα από τους τελεστές Χ, Υ και Ζ στους οποίους αντιστοιχούν οι παρακάτω πίνακες: Χ Z Υ (3.3) Η δράση της πύλης Χ σε ένα qub είναι: 5

a b Χ qi X( a + b ) b a q + b a O (3.4) Η δράση της πύλης Y σε ένα qub είναι: a b Y qi Y( a + b ) b a q + b a O (3.5) Η δράση της πύλης Z σε ένα qub είναι: a a Z qi Z( a + b ) a b q b b O (3.6) Οι ιδιότητες των κβαντικών πυλών Paul φαίνονται συνοπτικά στον Πίνακα 3-4. 3. 4 Κβαντικές πύλες που δρουν σε δύο qubs Εδώ θα περιγραφούν δύο κβαντικές πύλες που δρουν σε δύο qubs, η κβαντική πύλη ελεγχόμενου OXI και η κβαντική πύλη ελεγχόμενης μετατόπισης φάσης. Μπορεί επίσης να θεωρηθεί ότι οι πύλες αυτές δρουν σε κβαντικούς καταχωρητές των δύο qubs. 3.4. Η κβαντική πύλη ελεγχόμενου ΟΧΙ H πύλη ελεγχόμενου ΟΧΙ δρα σε δύο qubs. O Αγγλικός όρος για την πύλη αυτή είναι Cnrlled- NOT και τελεστής που την περιγράφει συμβολίζεται με CNOT, από το αρχικό της λέξης nrlled και το NOT. Όπως είπαμε, η πύλη αυτή δρα σε δύο qubs, το ένα ονομάζεται qub ελέγχου και συμβολίζεται με και το άλλο qub στόχος και συμβολίζεται με. Οι καταστάσεις των δύο qubs πριν τη δράση της πύλης είναι και. Οι καταστάσεις των qubs μετά τη δράση της πύλης είναι και. Η πύλη CNOT αλλάζει την κατάσταση του qub στόχου, όταν η κατάσταση του qub ελέγχου είναι, ενώ αφήνει την κατάσταση του qub στόχου αναλλοίωτη, όταν η κατάσταση του qub ελέγχου είναι δεν μεταβάλλεται, δηλαδή ισχύει πάντα πίνακα:. Η κατάσταση του qub ελέγχου. Η πύλη CNOT περιγράφεται από τον παρακάτω CNOT (3.7) Ας δούμε τη δράση της πύλης αυτής σε έναν κβαντικό καταχωρητή που αποτελείται από δύο qubs. Η γενική περιγραφή της δράσης της πύλης είναι: CNOT (3.8) Έστω ότι η κατάσταση του κβαντικού καταχωρητή πριν τη δράση της πύλης είναι, τότε: 5

53 CNOT (3.9) Δηλαδή, η κατάσταση του qub στόχου άλλαξε από σε διότι η κατάσταση του qub ελέγχου είναι. Ας δούμε και την περίπτωση : CNOT (3.) Αφού η κατάσταση του qub ελέγχου είναι, η κατάσταση του qub στόχου δεν αλλάζει. Με τον ίδιο τρόπο μπορούμε να δούμε και τις υπόλοιπες δύο περιπτώσεις. Σχήμα 3-5. Το σύμβολο της κβαντικής πύλης ελεγχόμενου ΟΧΙ, CNOT. Πίνακας 3-5. Η δράση της κβαντικής πύλης CNOT στα qubs ελέγχου και στόχου. Στο Σχήμα 3-5 φαίνονται το σύμβολο της πύλης CNOT και στον Πίνακα 3-5 οι ιδιότητές της. Στην πρώτη στήλη του πίνακα φαίνονται οι καταστάσεις των δύο qubs πριν τη δράση της πύλης ( ) και στη δεύτερη οι καταστάσεις τους μετά τη δράση της πύλης ( ).

54 Κάτι πολύ σημαντικό: η πύλη CNOT η πύλη Η και η πύλη Φ αποτελούν ένα γενικευμένο σύνολο κβαντικών πυλών. Δηλαδή, μπορούμε να εκτελέσουμε οποιονδήποτε κβαντικό υπολογισμό χρησιμοποιώντας μόνο αυτές τις πύλες. 3.4. Η κβαντική πύλη ελεγχόμενης μετατόπισης φάσης Η πύλη αυτή δρα σε δύο qubs. Στη βιβλιογραφία ο τελεστής της πύλης αυτής συμβολίζεται με διάφορους τρόπους, αλλά οι πιο συνηθισμένοι είναι οι S, CP και CΦ. Εδώ θα χρησιμοποιήσουμε το CΦ. Όπως και στην πύλη CNOT το ένα qub ονομάζεται qub ελέγχου και συμβολίζεται με και το άλλο qub στόχος και συμβολίζεται με. Με και συμβολίζονται οι καταστάσεις των δύο qubs πριν τη δράση της πύλης, και με και οι καταστάσεις των qubs μετά τη δράση της πύλης. Η πύλη CΦ πολλαπλασιάζει την κατάσταση του qub στόχου με τον παράγοντα φάσης ϕ e μόνο όταν και η κατάσταση του qub ελέγχου και η κατάσταση του qub στόχου είναι. Σε όλες τις άλλες περιπτώσεις δεν μεταβάλλει τις καταστάσεις των qubs. Η πύλη CΦ περιγράφεται από τον παρακάτω πίνακα: Φ φ e C (3.) Η γενική περιγραφή της δράσης της πύλης είναι: C Φ (3.) Ας δούμε τη δράση της πύλης στην κατάσταση ενός κβαντικού καταχωρητή που αποτελείται από δύο qubs. Έστω ότι η κατάσταση του κβαντικού καταχωρητή πριν τη δράση της πύλης είναι, τότε: Φ φ e C (3.3) Ας δούμε και την περίπτωση : φ φ φ φ e e e e C Φ (3.4)

Δηλαδή, αλλάζει η γωνία φάσης της κατάστασης. Με τον ίδιο τρόπο μπορούμε να υπολογίσουμε και τις άλλες δύο περιπτώσεις. Σχήμα 3-6. Το σύμβολο της κβαντικής πύλης ελεγχόμενης μετατόπισης φάσης, CΦ. Πίνακας 3-6. Η δράση της κβαντικής πύλης CΦ στα qubs ελέγχου και στόχου. Στο Σχήμα 3-6 φαίνεται το σύμβολο της πύλης CΦ και στον Πίνακα 3-6 οι ιδιότητές της. Στην πρώτη στήλη του πίνακα φαίνονται οι καταστάσεις των δύο qubs πριν τη δράση της πύλης ( ) και στη δεύτερη οι καταστάσεις τους μετά τη δράση της πύλης ( ). 3. 5 Κβαντικές πύλες που δρουν σε τρία qubs Παρακάτω θα περιγραφούν δύο κβαντικές πύλες που δρουν σε τρία qubs, η κβαντική πύλη διπλά ελεγχόμενου OXI και η κβαντική πύλη Fredkn. Μπορεί επίσης να θεωρηθεί ότι οι πύλες αυτές δρουν σε κβαντικούς καταχωρητές των τριών qubs. 3.5. Η κβαντική πύλη διπλά ελεγχόμενου ΟΧΙ O Αγγλικός όρος για την πύλη αυτή είναι Cnrlled-Cnrlled-NOT και ο τελεστής που την περιγράφει συμβολίζεται με CCNOT. Η πύλη αυτή δρα σε τρία qubs. Τα δύο qubs ονομάζονται qubs ελέγχου, και συμβολίζονται με και και το άλλο qub στόχος και συμβολίζεται με. Οι καταστάσεις των τριών qubs πριν τη δράση της πύλης είναι, και, ενώ οι καταστάσεις των qubs μετά τη δράση της πύλης είναι, και. Η πύλη CCNOT αλλάζει την κατάσταση του qub στόχου, όταν και τα δύο qubs ελέγχου βρίσκονται στην κατάσταση, ενώ δεν αλλάζει την κατάσταση του qub στόχου σε κάθε 55

56 άλλη περίπτωση. Οι καταστάσεις των qubs ελέγχου και δεν μεταβάλλονται, δηλαδή ισχύει πάντα και. Η πύλη CCNOT περιγράφεται από τον παρακάτω πίνακα: CCNOT (3.5) Η γενική περιγραφή της δράσης της πύλης είναι: CCNOT (3.6) Ας δούμε τη δράση αυτής της πύλης σε έναν καταχωρητή που αποτελείται από τρία qubs. Έστω ότι η κατάσταση του κβαντικού καταχωρητή πριν τη δράση της πύλης είναι, τότε: CCNOT (3.7) Ας δούμε και την περίπτωση που η κατάσταση του κβαντικού καταχωρητή πριν τη δράση της πύλης είναι : CCNOT (3.8)

Δηλαδή, η κατάσταση του qub στόχου αλλάζει μόνο όταν και τα δύο qubs ελέγχου βρίσκονται στην κατάσταση. Με τον ίδιο τρόπο υπολογίζουμε και τις άλλες περιπτώσεις. Σχήμα 3-7. Το σύμβολο και οι ιδιότητες της κβαντικής πύλης διπλά ελεγχόμενου ΟΧΙ, CCNOT. Πίνακας 3-7. Η δράση της κβαντικής πύλης CCNOT στα qubs ελέγχου και στόχου. Στο Σχήμα 3-7 φαίνεται το σύμβολο της πύλης CCNOT και στον Πίνακα 3-7 οι ιδιότητές της. Στην πρώτη στήλη του πίνακα φαίνονται οι καταστάσεις των τριών qubs πριν τη δράση της πύλης ( και στη δεύτερη οι καταστάσεις τους μετά τη δράση της πύλης ( ). ) 3.5. Η κβαντική πύλη Fredkn Η κβαντική πύλη Fredkn δρα σε τρία qubs και ο τελεστής της συμβολίζεται με F. Το ένα qub ονομάζεται qub ελέγχου, και συμβολίζεται με, και τα άλλα δύο qubs ονομάζονται qubs στόχοι και συμβολίζονται με και. Οι καταστάσεις των τριών qubs πριν τη δράση της πύλης είναι, και, ενώ οι καταστάσεις των qubs μετά τη δράση της πύλης είναι, και. Η πύλη F εναλλάσσει τις καταστάσεις των qubs στόχων, όταν το qub ελέγχου βρίσκεται στην κατάσταση. Όταν το qub ελέγχου 57

58 βρίσκεται στην κατάσταση, οι καταστάσεις των qubs στόχων δεν αλλάζουν. Η κατάσταση του qub ελέγχου δεν μεταβάλλεται, δηλαδή ισχύει πάντα. Η πύλη F περιγράφεται από τον παρακάτω πίνακα: F (3.9) Η γενική περιγραφή της δράσης της πύλης είναι: F (3.3) Ας δούμε τη δράση αυτής της πύλης F σε έναν καταχωρητή που αποτελείται από τρία qubs. Έστω ότι η κατάσταση του κβαντικού καταχωρητή πριν τη δράση της πύλης είναι, τότε: F (3.3) Ας δούμε και την περίπτωση όπου η κατάσταση του κβαντικού καταχωρητή πριν τη δράση της πύλης είναι, τότε: F (3.3)

Δηλαδή οι καταστάσεις των qubs στόχων εναλλάχθηκαν διότι το qub ελέγχου βρισκόταν στην κατάσταση. Με τον ίδιο τρόπο υπολογίζουμε και τις άλλες περιπτώσεις. Σχήμα 3-8. Το σύμβολο και οι ιδιότητες της κβαντικής πύλης Fredkn, F. Πίνακας 3-8. Η δράση της κβαντικής πύλης Fredkn στα qubs ελέγχου και στόχου. Στο Σχήμα 3-8 φαίνεται το σύμβολο της πύλης F και στον Πίνακα 3-8 οι ιδιότητές της. Στην πρώτη στήλη του πίνακα φαίνονται οι καταστάσεις των τριών qubs πριν τη δράση της πύλης ( ) και στη δεύτερη οι καταστάσεις τους μετά τη δράση της πύλης ( ). 3. 6 Η αδυναμία αντιγραφής της κατάστασης ενός qub Εδώ θα αναφερθούμε σε μία πύλη που δεν υπάρχει. Η διακλάδωση (lnng) ενός b σε δύο ανεξάρτητα bs, δηλαδή η αντιγραφή ενός b, είναι πάρα πολύ εύκολη στους κλασικούς υπολογιστές. Κάτι τέτοιο όμως 59

είναι αδύνατον στους κβαντικούς υπολογιστές, δηλαδή δεν μπορούμε να αντιγράψουμε την άγνωστη κατάσταση ενός qub (Hrvensal, ). Ας δούμε καλύτερα αυτή την αδυναμία. Σχήμα 3-9. Η κατάσταση του άγνωστου qub q διακλαδίζεται (αντιγράφεται) με τη δράση της κβαντικής πύλης C. Μια τέτοια πύλη είναι αδύνατον να υπάρχει. Στο Σχήμα 3-9 φαίνεται μία κβαντική πύλη που τον τελεστή της τον ονομάσαμε C. Η πύλη αυτή δρα σε δύο qubs. Το ένα βρίσκεται στην κατάσταση και το άλλο σε μία άγνωστη κατάσταση q. Η κβαντική αυτή πύλη αλλάζει την κατάσταση του qub που βρίσκεται στην κατάσταση, ώστε να γίνει ίδια με την κατάσταση q. Μετά τη δράση της πύλης και τα δύο qubs βρίσκονται στην ίδια κατάσταση, δηλαδή η κατάσταση του q αντιγράφτηκε στο qub που είχε αρχικά την κατάσταση. Έχει αποδειχθεί ότι μια τέτοια πύλη είναι αδύνατον να υπάρχει. Αυτή η απόδειξη είναι γνωστή ως το θεώρημα αδυναμίας διακλάδωσης (στα Αγγλικά n-lnng herem). Παρακάτω θα διατυπώσουμε και θα αποδείξουμε το θεώρημα αυτό. Θεώρημα της αδυναμίας διακλάδωσης: Δεν μπορεί να υπάρξει μια κβαντική πύλη C τέτοια ώστε: C q q q (3.33) όπου q είναι ένα qub με άγνωστη κατάσταση. Απόδειξη: Υποθέτουμε ότι υπάρχει μία τέτοια κβαντική πύλη. Αυτή η κβαντική πύλη αντιπροσωπεύεται από τον ορθομοναδιαίο τελεστή C. Βάζουμε την πύλη να δράσει σε δύο qubs το q και το b που είναι ορθογώνια μεταξύ τους και να τα αντιγράψει: C q q q (3.34) C b b b Θεωρούμε ένα άλλο qub, το, η κατάσταση του οποίου είναι η υπέρθεση των καταστάσεων των δύο ορθογώνιων qubs q και b : Θεωρούμε τη γραμμική υπέρθεση των δύο qubs: 6

+ ( q b ) (3.35) Δρούμε τώρα με την κβαντική πύλη C στο qub αντιγράφοντας την κατάστασή του: C C ( q + b ) C ( q + b ) ( q q + b b ) C q + C b (3.36) Αλλά πρέπει να ισχύει και: C ( q + b ) ( q + b ) ( q q + q b + b q + b b ) (3.37) Οι εξισώσεις (3.36) και (3.37) έχουν τα αριστερά τους μέλη ίσα μεταξύ τους, όμως τα δεξιά τους μέλη είναι διαφορετικά, επομένως η κβαντική πύλη C δεν είναι δυνατόν να υπάρχει. Η αδυναμία διακλάδωσης, δηλαδή η αδυναμία αντιγραφής των qubs αποτελεί τη βάση της κβαντικής κρυπτογραφίας. Ας υποθέσουμε ότι η Αλίκη θέλει να στείλει στον Βασίλη ένα μήνυμα και το κωδικοποιεί σε qubs. Η Εύα θέλει να υποκλέψει το μήνυμα. Ακόμα και αν το μήνυμα βρεθεί στα χέρια της, δεν μπορεί να το αντιγράψει και να το αποκωδικοποιήσει. Αν το κρατήσει, τότε, για να το διαβάσει πρέπει να καταστρέψει την υπέρθεση των καταστάσεων των qubs. Δεν μπορεί δηλαδή να το διαβάσει και μετά να το στείλει στον Βασίλη. Ο Βασίλης δεν θα λάβει το μήνυμα και θα είναι σίγουρος ότι έχει υποκλαπεί και ότι η Εύα γνωρίζει το περιεχόμενό του, οπότε θα αλλάξει την τακτική ή τη στρατηγική του. Ας συνοψίσουμε: Οι καταστάσεις των qubs και των κβαντικών καταχωρητών είναι διανύσματα στον χώρο Hlber. Οι κβαντικές πύλες είναι ορθομοναδιαίοι τελεστές του χώρου Hlber που δρουν σε qubs και σε κβαντικούς καταχωρητές αλλάζοντας την κατάστασή τους. Δηλαδή, οι κβαντικές πύλες περιστρέφουν τα διανύσματα κατάστασής των qubs και των κβαντικών καταχωρητών χωρίς να αλλάζουν το μήκος τους, το οποίο είναι πάντα ίσο με τη μονάδα. Οι κβαντικές πύλες που δρουν σε ένα qub είναι η πύλη αδρανείας, Ι, η πύλη μετατόπισης φάσης, Φ και η πύλη Hadamard, H. Με τις κβαντικές πύλες Paul μπορούμε να εκτελέσουμε όλες τις περιστροφές του διανύσματος κατάστασης ενός qub στη σφαίρα Blh. Οι κβαντικές πύλες που δρουν σε δύο qubs είναι η πύλη ελεγχόμενου ΟΧΙ, CNOT και η πύλη ελεγχόμενης μετατόπισης φάσης, CΦ. Οι κβαντικές πύλες που δρουν σε τρία qubs είναι η πύλη διπλά ελεγχόμενου ΟΧΙ, CCNOT και η πύλη Fredkn, F. H πύλη CNOT η πύλη Η και η πύλη Φ αποτελούν ένα γενικευμένο σύνολο κβαντικών πυλών. Δηλαδή μπορούμε να εκτελέσουμε οποιονδήποτε κβαντικό υπολογισμό χρησιμοποιώντας μόνο αυτές τις πύλες. Δεν μπορούμε να αντιγράψουμε την άγνωστη κατάσταση ενός qub. 6

Βιβλιογραφία Baren A., Benne Ch. H., Cleve, R. e al., Elemenary Gaes fr Quanum Cmpuan, Physal Revew A, vl. 5, pp. 3457-3467, 995. Cyben G., Redung Quanum Cmpuans Elemenary Unary Operans, IEEE Cmpuers, Marh/Aprl ssue, pp. 7-3,. Hrvensal M., Quanum mpung, Sprnger-Verlag,. Kaye P., Laflamme R., & Msa M., An nrdun quanum mpung, Oxfrd Unversy Press, 7. Keyl M, Fundamenals f Quanum Infrman Thery, Physs Reprs, vl. 369, pp. 43-548,. Άσκηση 3. Ασκήσεις Μία κβαντική πύλη που δρα σε ένα qub, αλλά χρησιμοποιείται ελάχιστα είναι η πύλη συμβολίζεται με U NOT και περιγράφεται από τον πίνακα: NOT. Η πύλη U NOT + + Να δείξετε ότι ο πίνακας αυτός είναι ορθομοναδιαίος. Άσκηση 3. Να εφαρμόσετε την κβαντική πύλη U α. Στη βασική κατάσταση β. Στη βασική κατάσταση NOT δύο φορές σε ένα qub που βρίσκεται: Άσκηση 3.3 Οι πίνακες: I, σ x, σ y, σ z ονομάζονται πίνακες Paul και είναι πολύ χρήσιμοι, γιατί μπορούμε με αυτούς να συνθέσουμε κβαντικές πύλες. (Να τους συγκρίνετε με τις κβαντικές πύλες Paul). Να γράψετε την κβαντική πύλη H ως συνάρτηση των πινάκων Paul πολλαπλασιασμένη επί έναν πραγματικό αριθμό. 6

Άσκηση 3.4 Υποθέστε ότι οι πίνακες Paul περιγράφουν κβαντικές πύλες. Να υπολογίσετε τις δράσεις τους στις βασικές καταστάσεις του qub. Δηλαδή να υπολογίσετε τα: α. σ x, β. σ x γ. σ y, δ. σ y ε. σ z, στ. σ z Άσκηση 3.5 Να υπολογίσετε τη δράση της κβαντικής πύλης CNΟΤ στις παρακάτω βασικές καταστάσεις: α. β. Άσκηση 3.6 Να υπολογίσετε τη δράση της κβαντικής πύλης CΦ στη βασική κατάσταση : Άσκηση 3.7 Να υπολογίσετε τη δράση της κβαντικής πύλης CCNΟΤ στις παρακάτω βασικές καταστάσεις: α. β. Άσκηση 3.8 Να υπολογίσετε τη δράση της κβαντικής πύλης F στις παρακάτω βασικές καταστάσεις: α. β. Άσκηση 3.9 Να υπολογίσετε τη δράση της κβαντικής πύλης Η στο παρακάτω qub που βρίσκεται σε υπέρθεση βασικών καταστάσεων: q a + b Άσκηση 3. 63

Να υπολογίσετε τη δράση της κβαντικής πύλης CNΟΤ στο παρακάτω qub που βρίσκεται σε υπέρθεση βασικών καταστάσεων: q + + + 3 Άσκηση 3. Να υπολογίσετε τη δράση της κβαντικής πύλης CΦ στο παρακάτω qub που βρίσκεται σε υπέρθεση βασικών καταστάσεων: q + + + 3 Άσκηση 3. Να υπολογίσετε τη δράση της κβαντικής πύλης CCNOT στο παρακάτω qub που βρίσκεται σε υπέρθεση βασικών καταστάσεων: q + + + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 Άσκηση 3.3 Να υπολογίσετε τη δράση της κβαντικής πύλης F στο παρακάτω qub που βρίσκεται σε υπέρθεση βασικών καταστάσεων: q + + + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 64