Θέση και Προσανατολισμός
|
|
- Οὐρβανός Αρβανίτης
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Κεφάλαιο 2 Θέση και Προσανατολισμός 2-1 Εισαγωγή Προκειμένου να μπορεί ένα ρομπότ να εκτελέσει κάποιο έργο, πρέπει να διαθέτει τρόπο να περιγράφει τα εξής: Τη θέση και προσανατολισμό του τελικού στοιχείου δράσης Τη θέση και προσανατολισμό του στόχου 2-2 Θέση Σημείου Σύστημα Συντεταγμένων Ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων (ΣΣ) (ή σύστημα αναφοράς, ή πλαίσιο αναφοράς) αποτελείται από τρία μοναδιαία διανύσματα (ˆx,ŷ,ẑ ) με κοινή αρχή το σημείο Ο. Σχήμα 2-1. Ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων Ελεύθερο Διάνυσμα Ορίζεται από μέτρο και κατεύθυνση. Παράδειγμα: Δύναμη, ροπή. Σχήμα 2-2. Ελεύθερο διάνυσμα Διάνυσμα Θέσης Το διάνυσμα θέσης λέγεται και εφαρμοστό διάνυσμα. Είναι ένα μοναδικό διάνυσμα που δείχνει τη θέση ενός σημείου P ως προς κάποια αρχή Ο. 2-1
2 Σχήμα 2-3. Διάνυσμα θέσης του σημείου P ως προς την αρχή Ο. Ένα διάνυσμα θέσης καθορίζεται από δύο σημεία (αρχικό και τελικό). Διαφορετικά διανύσματα θέσης, μπορούν να αντιστοιχούν στο ίδιο σημείο του χώρου. Σχήμα 2-4. Στο σημείο Ρ αντιστοιχούν δύο διαφορετικά διανύσματα θέσης, το κάθε ένα ως προς διαφορετική αρχή. Ένα διάνυσμα θέσης μπορεί να γραφεί ως: p = o p x ˆx + o p y ŷ + o p z ẑ (2-1) όπου o p x = p ˆx o p y = p ŷ o p z = p ẑ Διάνυσμα Στήλης οι προβολές του p στα ˆx,ŷ,ẑ (2-2) Σύνολο τριών (3) αριθμών o p x, o p y, o p z οι οποίοι περιγράφουν ένα διάνυσμα p ως προς ένα ΣΣ {O}. p = o p x o p y o p z, οι συνιστώσες του διανύσματος p ως προς το ΣΣ {O} (2-3) Πρόσθεση Διανυσμάτων Τα διανύσματα προστίθενται σύμφωνα με το νόμο του παραλληλόγραμμου, βλ. Σχ Βέβαια στη ρομποτική χρησιμοποιούμε κυρίως διανύσματα στήλης, έτσι ώστε οι πράξεις να γίνονται από υπολογιστή. Σε αυτή την περίπτωση, γίνεται άθροιση συνιστωσών των διανυσμάτων, που όμως πρέπει να εκφράζονται στο ίδιο ΣΣ. 2-2
3 Σχήμα 2-5. Διανυσματική πρόσθεση σύμφωνα με το νόμο του παραλληλόγραμμου. p+q=s p+ q= s o p x + o q x o p y + o q y o p z + o q z = o s x o s y o s z (2-4) Προσοχή: p+ 1 q = ΛΑΘΟΣ Μέτρο Διανύσματος ( ) 1/2 = ( 1 p 1 p) 1/2 = (2-5) ( ) 1/2 p = ( p.p) 1/2 = p p = o p x 2 + o p y 2 + o p z 2 Το μέτρο ενός διανύσματος είναι αμετάβλητο, δηλαδή δεν εξαρτάται από το ΣΣ (αναλλοίωτη ποσότητα). 2-3 Προσανατολισμός Σώματος Για να περιγράψουμε τον προσανατολισμό ενός σώματος: Προσαρτούμε ένα σωματόδετο ΣΣ σ αυτό. Δίνουμε μια περιγραφή του σωματόδετου ΣΣ ως προς το σύστημα συντεταγμένων. Σχήμα 2-6. Το ΣΣ 1 έχει διαφορετικό προσανατολισμό ως προς το ΣΣ 2. Τα μοναδιαία τους διανύσματα έχουν σχετική γωνία. Για να περιγράψουμε τον προσανατολισμό του μοναδιαίου ˆx 1 ως προς το ΣΣ {}, το προβάλλουμε στα μοναδιαία (ˆx,ŷ,ẑ ) του ΣΣ {}. Με αυτό τον τρόπο, παίρνουμε τις τρεις συντεταγμένες του μοναδιαίου διανύσματος ˆx 1 ως προς το ΣΣ {} και σχηματίζουμε το διάνυσμα στήλης ˆx 1. Επαναλαμβάνουμε τη διαδικασία με τα υπόλοιπα δύο μοναδιαία διανύσματα του ΣΣ {1}. Το αποτέλεσμα είναι τρεις στήλες, ως εξής: 2-3
4 ˆx 1 = ˆx 1 ˆx ˆx 1 ŷ ˆx 1ẑ = cos(ˆx 1, ˆx ) cos(ˆx 1,ŷ ) cos(ˆx 1,ẑ ) = r 11 r 21 r 31 (2-6) ŷ 1 = ŷ 1 ˆx ŷ 1 ŷ ŷ 1ẑ = cos(ŷ 1, ˆx ) cos(ŷ 1,ŷ ) cos(ŷ 1,ẑ ) = r 12 r 22 r 32 (2-7) ẑ 1 = ẑ 1 ˆx ẑ 1 ŷ ẑ 1ẑ = cos(ẑ 1, ˆx ) cos(ẑ 1,ŷ ) cos(ẑ 1,ẑ ) = r 13 r 23 r 33 (2-8) Το σύνολο { ˆx 1, ŷ 1, ẑ 1 } περιγράφει τον προσανατολισμό του σώματος με το σωματόδετο ΣΣ {1}. Τα τρία αυτά μοναδιαία διανύσματα, σχηματίζουν έναν (3x3) πίνακα περιστροφής R 1 = ˆx 1 ŷ 1 ẑ 1 = r 11 r 12 r 13 r 21 r 22 r 23 r 31 r 32 r 33 (2-9) Προσοχή! Τα σημεία ΔΕΝ έχουν προσανατολισμό, εφόσον δεν είναι δυνατή η πρόσδεση σε αυτά σωματόδετου ΣΣ. Επομένως, η έκφραση «η θέση και ο προσανατολισμός του κέντρου μάζας» είναι λάθος. Γιατί; Ιδιότητες του Πίνακα Περιστροφής Ορθογώνιος, διότι ˆx 1 = ŷ 1 = ẑ 1 = 1 ˆx 1 ŷ 1 = ˆx 1 ẑ 1 = ŷ 1 ẑ 1 = έξι (6) συνθήκες (2-1) Μόνο τρεις (3) ανεξάρτητοι αριθμοί. Για την ορίζουσα ισχύει det( R 1 ) =+1 (2-11) Δηλαδή ο πίνακας περιστροφής διατηρεί τα μήκη. Το θετικό πρόσημο οφείλεται στο δεξιόστροφο σύστημα συντεταγμένων που χρησιμοποιείται. Αντιστροφή πίνακα περιστροφής. Δεν χρειάζεται να γίνει αντιστροφή κατά τα συνήθη, διότι ο αντίστροφος είναι ίσος με τον ανάστροφο. 2-4
5 R 1-1 = R 1 (2-12) R 1 R 1 = ˆx 1 ŷ 1 ẑ 1 ˆx 1 ŷ 1 ẑ 1 = I 3 Λέγεται πίνακας περιστροφής διότι περιγράφει την "περιστροφή" του ΣΣ {1} ως προς το ΣΣ {}. Παράδειγμα 2-1 Στοιχειώδης περιστροφή γύρω από τον άξονα - z Το σωματόδετο ΣΣ {1} περιστρέφεται γύρω από τον z-άξονα κατά γωνία θ. Σχήμα 2-7. Κύρια περιστροφή γύρω από τον άξονα z. Εφαρμόζοντας τον ορισμό του πίνακα περιστροφής, Εξ. (2-6)-(2-9), ο πίνακας αυτός δίνεται από: R 1 = ˆx 1 ŷ 1 ẑ 1 cθ sθ = sθ cθ 1 = R z (θ) (2-13) Ο πίνακας αυτός λέγεται και πίνακας κύριας περιστροφής και συμβολίζεται με το R z (θ). 2-4 Χρήσεις του Πίνακα Περιστροφής (α) Περιγράφει τον προσανατολισμό του ΣΣ {1} ως προς το {}. (Έχει ήδη αναφερθεί). (β) Μετασχηματίζει τις συνιστώσες ενός διανύσματος ως προς το ΣΣ {1} στις συνιστώσες του ως προς το ΣΣ {}: p= R 1 1 p (2-14) 1 p : Το διάνυσμα p εκφρασμένο στο ΣΣ {1}. p : Το διάνυσμα p εκφρασμένο στο ΣΣ {}. 2-5
6 Παράδειγμα 2-2 Να βρεθεί το p, δεδομένων των R 1, 1 p. Σχήμα 2-8. Γεωμετρική απεικόνιση των συνιστωσών του διανύσματος p στα ΣΣ {1} και {} και σχέσεις μεταξύ τους. Mε τη βοήθεια του Σχ. 2-8, γράφουμε τις εξής σχέσεις: o p x = cθ 1 p x sθ 1 p y + 1 p z o p y = sθ 1 p x + cθ 1 p y + 1 p z o p z = 1 p x + 1 p y +1 1 p z Αυτές μπορούν να γραφούν σε μητρωϊκή μορφή ως εξής: p x o p y o p z = cθ sθ sθ cθ 1 1 p x 1 p y 1 p z ή ισοδύναμα. p= R 1 1 p. Σημείωση: Αυτή η χρήση του πίνακα περιστροφής λέγεται και παθητική χρήση. Συνδέει τις συνιστώσες του ίδιου διανύσματος εκφρασμένες σε δύο διαφορετικά ΣΣ. (γ) Περιστρέφει ένα διάνυσμα και δίνει τις νέες του συνιστώσες: p =Rp (2-15) p : Οι συνιστώσες του διανύσματος πριν την περιστροφή p : Οι συνιστώσες του διανύσματος μετά την περιστροφή 2-6
7 Παράδειγμα 2-3 Σχήμα 2-9. Περιστροφή διανύσματος κατά γωνία θ. Το αρχικό διάνυσμα δίνεται από p= 1 Αφού περιστραφεί, το νέο διάνυσμα έχει συντεταγμένες που δίνονται από τη σχέση, p = cθ sθ sθ cθ 1 R 1 = p cθ sθ Σημείωση: Αυτή η χρήση του πίνακα περιστροφής λέγεται και ενεργητική χρήση. Συνδέει τις συνιστώσες δύο διαφορετικών διανυσμάτων εκφρασμένων στο ίδιο ΣΣ. Ο πίνακας περιστροφής δρα ως τελεστής και περιστρέφει κάποιο διάνυσμα, αλλάζοντάς του τον προσανατολισμό. Χρήσιμη ιδιότητα για απεικόνιση της κίνησης των σωμάτων με γραφικά. Παρατηρήσεις: Ο πίνακας R δεν περιέχει τη θέση της αρχής. Για διανύσματα θέσης, η θέση της αρχής έχει σημασία. Για το λόγο αυτό επαυξάνουμε τους πίνακες περιστροφής R, (3x3), σε πίνακες, (4x4), (ομογενής μετασχηματισμός). 2-5 Ομογενείς Μετασχηματισμοί Όπως και με τους πίνακες περιστροφής, οι ομογενείς μετασχηματισμοί έχουν τρεις ερμηνείες ή χρήσεις. (α) Περιγράφει τη θέση και τον προσανατολισμό του ΣΣ {1} ως προς το {}. (β) Μετασχηματίζει τις συνιστώσες ενός διανύσματος ΘΕΣΗΣ, εκφρασμένες στο ΣΣ {1}, στις συνιστώσες του εκφρασμένες στο ΣΣ {}. 2-7
8 (γ) Περιστρέφει ένα διάνυσμα θέσης και μετά το μετατοπίζει, δίνοντας τις συνιστώσες του τελικού διανύσματος θέσης. Αναλυτικότερα: (α) Περιγράφει τη θέση και τον προσανατολισμό του ΣΣ {1} ως προς το {}. Σχήμα 2-1. Δύο ΣΣ μετατοπισμένα κατά το διάνυσμα θέσης b και σε διαφορετικούς προσανατολισμούς. Ο ομογενής μετασχηματισμός 1 από το ΣΣ {1} στο ΣΣ {} ορίζεται ως ο πίνακας 4 4 που αποτελείται από τον πίνακα περιστροφής R 1 και το διάνυσμα θέσης b και μία σειρά με τρία μηδέν και μία μονάδα: 1 = R 1 b 1 (2-16) όπου: R 1, ο προσανατολισμός του ΣΣ {1} ως προς το {} b, θέση αρχής του ΣΣ {1} ως προς το {} 1, συντελεστής κλίμακας (β) Ο ομογενής μετασχηματισμός 1 μετασχηματίζει τις συνιστώσες ενός διανύσματος ΘΕΣΗΣ στο ΣΣ {1}, στις συνιστώσες του ως προς το ΣΣ {} 2-8
9 Σχήμα Ορισμός του ομογενούς μετασχηματισμού για το διάνυσμα θέσης του p. Εξετάζουμε τη σχέση που έχει το διάνυσμα θέσης του σημείου p στο ΣΣ {1} με το διάνυσμα θέσης του ίδιου σημείου στο ΣΣ {}. όπου ( O P)= ( O O 1 )+ ( O 1 P) (O P) = (O O 1 ) + (O 1 P) (2-17) O P : Διάνυσμα θέσης του P, ως προς το ΣΣ {} O 1 P : Διάνυσμα θέσης του P, ως προς το ΣΣ {1} Η Εξ. (2-17) γράφεται και ως εξής: p= b+ R 1 1 p (2-18) όπου p : Διάνυσμα θέσης του P ως προς το {}, εκφρασμένο στο {} 1 p : Διάνυσμα θέσης του P ως προς το {1}, εκφρασμένο στο {1} b : Διάνυσμα θέσης του {1} ως προς το {}, εκφρασμένο στο {} Η παραπάνω εξίσωση μπορεί να γραφεί συμπαγώς ως: p= 1 1 p (2-19) όπου τα διανύσματα θέσης έχουν πλέον διάσταση (4x1), με μία μονάδα στην τελευταία θέση: p= o p x o p y o p z 1, 1 p= 1 p x 1 p y 1 p z 1 και όπου ο (4x4) ομογενής μετασχηματισμός είναι 2-9
10 1 = o b x R o 1 b y o b z 1 Σημείωση: Ελεύθερα διανύσματα που μετασχηματίζονται σύμφωνα με τη σχέση p= R 1 1 p, μπορούν να μετασχηματισθούν από ένα πίνακα 1, αν το 1 στην τελευταία γραμμή (4x1), αντικατασταθεί από : 1, p= 1 1 p Παράδειγμα 2-4 Βρείτε τις συντεταγμένες του p στο {}, δεδομένων των συντεταγμένων του στο {1}. Ο πίνακας περιστροφής R 1 και το διάνυσμα θέσης του {1} εκφρασμένο στο {}, b, είναι γνωστά. b= R 1 = R z (45 o ) = p= = 1 (1P) p = (P) = ; Χρησιμοποιώντας τον μετασχηματισμό (4x4), έχουμε: p= 1 1 p p x p y p z 1 = = = p Διαγράφοντας τη μονάδα στην τελευταία θέση, το 3x1 διάνυσμα θέσης στήλης που είναι το p =
11 Σημείωση: Σε αναλογία με τα όσα ισχύουν για τον πίνακα περιστροφής, αυτή είναι η παθητική χρήση του ομογενούς μετασχηματισμού. (γ) Περιστρέφει ένα διάνυσμα θέσης και μετά το μετατοπίζει, δίνοντας έτσι τις συνιστώσες του τελικού διανύσματος θέσης: p = p (2-2) όπου p, p, (4 1). H Eξ. (2-2) είναι ισοδύναμη με: p = R p+b (2-21) όπου εδώ βέβαια είναι p, p, (3 1). Παράδειγμα 2-5 Βρείτε το διάνυσμα θέσης που προκύπτει μετά από περιστροφή (του p) κατά 45 ο και μετατόπισή του κατά b. b= R=R z (45 o ) = p= p =? Χρησιμοποιώντας τον μετασχηματισμό (4x4), έχουμε: p =p p x p y p z 1 = = Σημείωση: Σε αναλογία με τα όσα ισχύουν για τον πίνακα περιστροφής, αυτή είναι η ενεργητική χρήση του ομογενούς μετασχηματισμού. Είναι χρήσιμη όταν χρειάζεται να βρούμε τις συντεταγμένες σημείου που ανήκει σε σώμα το οποίο υφίσταται μετατόπιση και περιστροφή. 2-6 Αντιστροφή Ομογεν. Μετασχηματισμού Ο αντίστροφος του ομογενούς μετασχηματισμού μπορεί να υπολογισθεί αναλυτικά, χωρίς να χρειασθεί πραγματική αντιστροφή του πίνακα. 2-11
12 p = b + R 1 1 p R 1 1 p= p b ( ) -1 { p b} ( ) p ( R 1 ) b 1 p= R 1 1 p= R 1 1 p= 1 p Τότε: 1 = ( 1 ) -1 = R 1 R 1 b 1 = R 1 1 b 1 (2-22) Επομένως, δεν απαιτείται πραγματική αντιστροφή. Παρατηρούμε ότι το τμήμα της περιστροφής περιλαμβάνει τον αντίστροφο του πίνακα περιστροφής, R 1, το δε τμήμα της μετατόπισης, περιλαμβάνει τις συνιστώσες της αντίθετης μετατόπισης, εκφρασμένης στο ΣΣ {1}, 1 b. 2-7 Σύνθεση Μετασχηματισμών Διαδοχικές περιστροφές και μετατοπίσεις μπορούν να συντεθούν σε μία συνολική περιστροφή και μετατόπιση μέσω της σύνθεσης ομογενών μετασχηματισμών. Παρατηρούμε καταρχήν το Σχ που απεικονίζει n διαδοχικές περιστροφές και μετατοπίσεις. Σχήμα διαδοχικές περιστροφές και μετατοπίσεις ενός ΣΣ. Αν είναι γνωστά τα n p, n1 n (n = 1,...), τότε ισχύει: n1 p= n1 n n p n2 p= n2 n1 n1 p p= 1 1 p (2-23) Επομένως, ισχύει p= n1 n n p (2-24) Το πως θα γίνει ο πολλαπλασιασμός των πινάκων έχει σημασία. Για παράδειγμα: 2-12
13 p= 1 1 ( 2 2 p) 32 Πολ/μοί, 24 Προσθέσεις p = ( ) 2 p 8 Πολ/μοί, 6 Προσθέσεις Είναι προτιμότερο λοιπόν να προτιμάται ο πολλαπλασιασμός του πίνακα με κάποιο διάνυσμα στήλης και όχι ο πολλαπλασιασμός όλων των μεταξύ τους. 2-8 Ειδικοί Μετασχηματισμοί Οι στοιχειώδεις ομογενείς μετασχηματισμοί περιλαμβάνουν την καθαρή μετατόπιση και την καθαρή περιστροφή: Μετατόπιση: RANS(b) = I 3 b 1 (2-25) Περιστροφή: RO (θ) = R(θ) 1 (2-26) 2-9 Τρόποι Περιγραφής Προσανατολισμού Υπάρχουν διάφοροι τρόποι για να περιγράψουμε τον προσανατολισμό ενός ΣΣ ή ενός σώματος. Οι κυριότεροι είναι: (α) Με συνημίτονα κατεύθυνσης. Απαιτούνται εννέα (9) αριθμοί. Από αυτούς, μόνο τρεις (3) είναι ανεξάρτητοι. (β) Με γωνίες Euler. Απαιτούνται τρεις (3) αριθμοί, οι οποίοι αντιστοιχούν στις γωνίες τριών διαδοχικών στοιχειωδών περιστροφών γύρω από άξονες του (τρέχοντος) σωματόδετου ΣΣ. Οι τρεις γωνίες συμβολίζονται ως (θ 1, θ 2, θ 3 ) ή (γ, β, α). (γ) Από ζεύγος ισοδύναμης γωνίας άξονα. Απαιτούνται τέσσερις (4) αριθμοί. Οι τρεις (3) αντιστοιχούν στο μοναδιαίο διάνυσμα του άξονα περιστροφής, ˆk = k x,k y,k z και ο τέταρτος στη γωνία περιστροφής γύρω από τον άξονα αυτό, θ. (δ) Από παραμέτρους Euler. Απαιτούνται τέσσερις (4) αριθμοί οι οποίοι όμως δεν έχουν καθαρή φυσική ερμηνεία. Γίνονται κατανοητοί έμμεσα, με τη βοήθεια της προηγούμενης περιγραφής. ε = ε 1 ε 2 ε 3 = ˆksin( θ 2 ), ε 4 = cos( θ 2 ) (2-27) 2-13
14 Οι παραπάνω τρόποι περιγραφής είναι ισοδύναμοι, με εξαίρεση ένα πεπερασμένο σύνολο προσανατολισμών. Σε πολλές περιπτώσεις απαιτείται η μετατροπή της περιγραφής του προσανατολισμού, σε μία άλλη. Στη συνέχεια, εξετάζουμε συνοπτικά αυτό το θέμα Συνημίτονα Κατεύθυνσης Έχει ήδη αναπτυχθεί σε προηγούμενη παράγραφο Γωνίες Euler (z-y-x) Οι γωνίες Euler ορίζονται ως οι γωνίες περιστροφής ενός σώματος γύρω από διαδοχικούς χωρόδετους άξονές του. Ανάλογα με τη διαδοχή περιστροφών και επιλογή αξόνων περιστροφής, μπορούμε να έχουμε δώδεκα τριάδες γωνιών Euler. Από αυτές, μελετάμε εδώ τη διαδοχή περιστροφών z-y-x, που είναι και γνωστές ως roll-pitch-yaw. Όπως φαίνεται στο Σχ. 2-13, η πρώτη περιστροφή γίνεται γύρω από τον άξονα ẑ = ẑ 1. Η δεύτερη περιστροφή γίνεται γύρω από τον άξονα y του σωματόδετου ΣΣ, δηλαδή γύρω από το ŷ 1 = ŷ 2. Η τρίτη περιστροφή γίνεται γύρω από τον άξονα x του σωματόδετου ΣΣ, δηλαδή τον ˆx 2. Σχήμα Πρώτη περιστροφή του σωματόδετου ΣΣ κατά την περιγραφή του προσανατολισμού του με γωνίες Euler z-y-x. Επομένως, η τελική θέση του σωματόδετου ΣΣ προκύπτει από: Περιστροφή του ΣΣ {} κατά R z (θ 3 ) έτσι ώστε να πάρουμε τελικά το ΣΣ {1}. Περιστροφή του ΣΣ {1} κατά R y1 (θ 2 ) έτσι ώστε να πάρουμε τελικά το ΣΣ {2}. Περιστροφή του ΣΣ {2} κατά R x2 (θ 1 ) έτσι ώστε να πάρουμε τελικά το ΣΣ {3}. Ένα διάνυσμα στο τελικό ΣΣ {3} φαίνεται από το ΣΣ {} ως: p= R 1 1 R 2 2 R 3 3 p = = R z (θ 3 )R y1 (θ 2 )R x2 (θ 1 ) 3 p = = R 3 3 p (2-28) 2-14
15 R 3 ( θ 1,θ 2,θ 3 )= c 3 s 3 s 3 c 3 1 c 2 s 2 1 s 2 c 2 1 c 1 s 1 s 1 c 1 (2-29) R 3 ( θ 1,θ 2,θ 3 )= c 3 c 2 s 3 c 1 + c 3 s 2 s 1 s 1 s 3 + c 1 s 2 c 3 s 3 c 2 c 3 c 1 + s 3 s 2 s 1 s 1 c 3 + c 1 s 2 s 3 s 2 c 2 s 1 c 1 c 2 r 11 r 12 r 13 = r 21 r 22 r 23 r 31 r 32 r 33 = (2-3) Ο παραπάνω πίνακας παρέχει τη σχέση μεταξύ των συνημιτόνων κατεύθυνσης r ij και των γωνιών Euler (θ 1,θ 2, θ 3 ). Αν τα θ 1,θ 2, θ 3 είναι γνωστά, τότε τα συνημίτονα κατεύθυνσης r ij υπολογίζονται εύκολα, r 11 = c 3 c 2 r 12 = s 3 c 1 + c 3 s 2 s 1 (2-31)... Αν τα συνημίτονα κατεύθυνσης r ij είναι γνωστά, τότε οι γωνίες Euler υπολογίζονται με αντίστροφη κινηματική. Πράγματι, παρατηρούμε ότι ισχύει r r 21 2 = c 2 2 (2-32) Υποθέτοντας ότι c 2 > θ 2 ( π 2, π 2 ) (2-33) και με χρήση της συνάρτησης θ = A tan2(sinθ,cosθ), προκύπτει ότι ( ) θ 2 = A tan2 r 31, r r 21 2 ( ) ( ) θ 3 = A tan2 r 21 / c 2,r 11 / c 2 θ 1 = A tan2 r 32 / c 2,r 33 / c 2 (2-34) Το πρόβλημα έχει και δεύτερη λύση, που αντιστοιχεί στην επιλογή: c 2 < (2-35) Η λύση αυτή παράγεται από τις εξισώσεις ( ) θ 2 = A tan2 r 31, r r 21 2 ( ) ( ) θ 3 = A tan2 r 21 / c 2,r 11 / c 2 θ 1 = A tan2 r 32 / c 2,r 33 / c 2 (2-36) 2-15
16 Στα παραπάνω υποθέσαμε ότι θ 2 9. Αν όμως θ 2 =9, τότε c 2 = επομένως οι γωνίες περιστροφής θ 1, θ 3, δεν μπορούν να βρεθούν. Σε αυτή την περίπτωση έχουμε ιδιομορφία της συγκεκριμένης μεθόδου περιγραφής του προσανατολισμού, διότι εδώ η περιστροφή γύρω απ' τον άξονα ˆx 2 έχει την ίδια επίδραση με την περιστροφή γύρω απ' τον ẑ και επομένως οι γωνίες θ 1, θ 3, δεν μπορούν να προσδιοριστούν ανεξάρτητα η μία από την άλλη. Για να δούμε πως γίνεται αυτό, ξεκινάμε από την Εξ. (2-3) και θέτουμε c 2 =. Τότε έχουμε R 3 ( θ 1,9,θ 3 )= Άρα, οι γωνίες αυτές υπολογίζονται ως s 3 c 1 + c 3 s 1 s 1 s 3 + c 1 c 3 c 3 c 1 + s 3 s 1 s 1 c 3 + c 1 s 3 1 = s 31 c 31 c 31 s 31 1 (2-37) θ 3 θ 1 = A tan2( r 12,r 22 ) (2-38) Σημείωση 1. Aπό τους δώδεκα ορισμούς γωνιών Euler (12), οι πλέον χρησιμοποιούμενοι είναι οι Ζ-Υ-Ζ γωνίες Euler (η αρχική διατύπωση από τον Euler) Ζ-Υ-Χ γωνίες Euler γωνίες Euler (ισοδύναμο με το προηγούμενο) Roll-Pitch-Yaw (ισοδύναμο με το προηγούμενο) Bryant, ait-bryant Σημείωση 1. Εάν κάπου χρησιμοποιούνται γωνίες α,β,γ τότε η αντιστοιχία των γωνιών είναι θ 3 = α, θ 2 = β, θ 1 = γ Ζεύγος Ισοδύναμης Γωνίας-Άξονα Περιστροφής Στην περίπτωση αυτή, η νέα θέση {1} του σωματόδετου ΣΣ προκύπτει από μία περιστροφή του ΣΣ {} κατά γωνία θ γύρω από κάποιο άξονα ˆk = k x,k y,k z, βλ. Σχ
17 Σχήμα Μετά από κάποια περιστροφή γύρω από τον άξονα ˆk, το σωματόδετο ΣΣ βρίσκεται στη θέση {1}. Εάν είναι γνωρίζουμε τη γωνία και τον άξονα περιστροφής, τότε ο πίνακας περιστροφής δίνεται από την εξίσωση (χωρίς απόδειξη): R 1 = R k (θ) = I 3 cosθ + ˆkˆk Τ (1 cosθ) + όπου I 3 είναι ο μοναδιαίος πίνακας 3 3, συμμετρικος ορος ˆk sinθ (2-39) αντισυμμετρικος ορος και όπου ˆk = k x,k y,k z ˆk = k z k y k z k x k y k x (2-4) Παράδειγμα 2-6 Το ΣΣ {1} λαμβάνεται περιστρέφοντας το {} γύρω απ τον άξονα ẑ κατά γωνία θ. Τότε ισχύει: R k (θ) = ˆk = [,,1] cθ + 1 sθ = 1 cθ sθ sθ cθ 1 (1 cθ) + = R z (θ) Παρατηρούμε ότι χρειάζονται τέσσερις αριθμοί χρειάζονται για να ορισθούν τα ˆk, θ : ˆk = k x,k y,k z, θ. 2-17
18 Όμως, μόνο τρεις μπορούν να είναι ανεξάρτητοι. Επομένως, πρέπει να υπάρχει και κάποιος περιορισμός. Αυτός προκύπτει από το γεγονός ότι το μέτρο του μοναδιαίου κατά τον άξονα περιστροφής πρέπει να είναι πάντοτε 1: k x 2 + k y 2 + k z 2 = 1 (2-41) Αν τα συνημίτονα κατεύθυνσης του R 1 είναι γνωστά, οι παράμετροι που μας ενδιαφέρουν δίνονται από τις ακόλουθες εξισώσεις: r θ = cos r 22 + r r 32 r 23 1 ˆk = r 13 r 31 2sinθ r 21 r 12 (2-42) Παρατηρήσεις Αν θ =,±2π,, το ˆk δεν ορίζεται. Αν θ =±π,±3π,, τότε R = 2 ˆkˆk Τ I Παράμετροι Euler Αυτές ορίζονται ως ένα διάνυσμα ε και μια παράμετρο ε 4 : ε = ε 1 ε 2 ε 3 = ˆksin(θ /2), ε 4 = cos(θ /2) (2-43) Εάν είναι γνωστές οι παράμετροι Euler, τότε ο πίνακας περιστροφής δίνεται από την εξίσωση R ε = ( 2ε 2 4 1)I 3 + 2ε 4 ε + 2ε ε (2-44) Το διάνυσμα στήλης (ε, ε 4 ) = [ ε 1,ε 2,ε 3,ε 4 ] λέγεται μοναδιαίο quaternion (unit quaternion). Τα (ε,ε 4 ), λέγονται και τετραγωνικές αναλλοίωτες (quadratic invariants). Όπως και στην προηγούμενη περίπτωση, έτσι και εδώ υπάρχει ένας περιορισμός μεταξύ των παραμέτρων Euler: ε ε ε ε 4 2 = 1 (2-45) Αν δίνεται ο πίνακας περιστροφής R, τότε οι παράμετροι υπολογίζονται ως εξής: 2-18
19 ε 4 = 1 ( 2 1+ r + r + r ) 1/2 θ π ε = 1 4ε 4 r 32 r 23 r 13 r 31 r 21 r 12 (2-46) Αν ε 4 =, τότε ε = ˆk (2-47) ή ακριβέστερα έχουμε ε =±ˆk. Αυτή η περιγραφή χρησιμοποιείται στην υπολογιστική δυναμική διότι παρουσιάζει τα λιγότερα προβλήματα (ιδιομορφίες). 2-19
Τα ρομπότ στην βιομηχανία
Τεχνολογικό Eκπαιδευτικό Ίδρυμα Kρήτης Διατμηματικό Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα "Προηγμένα συστήματα παραγωγής, αυτοματισμού και ρομποτικής" Βιομηχανική Ρομποτική «Κινηματική στερεών σωμάτων» Δρ. Φασουλάς Γιάννης
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στη θεωρία μετασχηματισμών. Τα ρομπότ στην βιομηχανία
Τεχνολογικό Eκπαιδευτικό Ίδρυμα Kρήτης Διατμηματικό Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα "Προηγμένα συστήματα παραγωγής, αυτοματισμού και ρομποτικής" Βιομηχανική Ρομποτική «Κινηματική στερεών σωμάτων» Τα ρομπότ στην
Διαβάστε περισσότεραΡοµποτική. είτε µε το ανυσµατικό άθροισµα. όπου x = αποτελούν τα µοναδιαία ανύσµατα του
Ροµποτική Ο χειρισµός αντικειµένων και εργαλείων από ένα ροµποτικό βραχίονα σηµαίνει ότι το ροµπότ πρέπει να είναι ικανό να τοποθετεί και να προσανατολίζει κατάλληλα το άκρο του στο χώρο εργασίας π.χ.
Διαβάστε περισσότεραΟµάδα Ασκήσεων #1-Λύσεις
Οµάδα Ασκήσεων #-Λύσεις Πρόβληµα # (α) (β) Τουλάχιστον Β.Ε. (Βαθµοί Ελευθερίας) χρειάζονται για αυθαίρετη τοποθέτηση στο χώρο (x,y,z) και επιπλέον Β.Ε. απαιτούνται για αυθαίρετο προσανατολισµό (στη δεδοµένη
Διαβάστε περισσότεραΧωρικές Περιγραφές και Μετασχηµατισµοί
Χωρικές Περιγραφές και Μετασχηµατισµοί Νίκος Βλάσσης Τµήµα Μηχανικών Παραγωγής και ιοίκησης Πολυτεχνείο Κρητης Ροµποτική, 9ο εξάµηνο ΜΠ, 2007 Ροµπότ SCR 1 Περιεχόµενα Στοιχεία γραµµικής άλγεβρας Χωρικές
Διαβάστε περισσότεραΜηχανισµοί & Εισαγωγή στο Σχεδιασµό Μηχανών Ακαδηµαϊκό έτος: Ε.Μ.Π. Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών - 3.
ΜΗΧΑΝΙΣΜΟΙ & ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟ ΜΗΧΑΝΩΝ - 3.1 - Cpright ΕΜΠ - Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών - 2012. Με επιφύλαξη παντός δικαιώµατος. All rights reserved. Απαγορεύεται
Διαβάστε περισσότεραΜΗΧΑΝΙΣΜΟΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟ ΜΗΧΑΝΩΝ
Μηχανισμοί & Εισαγωγή στο Σχεδιασμό Μηχανών Ακαδημαϊκό έτος: 214-215 ΜΗΧΑΝΙΣΜΟΙ & ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟ ΜΗΧΑΝΩΝ -A.1 - Μηχανισμοί & Εισαγωγή στο Σχεδιασμό Μηχανών Ακαδημαϊκό έτος: 214-215 Copyright ΕΜΠ
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία μετασχηματισμών
Μήτρα Μετασχηματισμού Η γεωμετρία ενός αντικειμένου μπορεί να παρουσιαστεί από ένα σύνολο σημείων κατανεμημένων σε διάφορα επίπεδα. Έτσι λοιπόν ένα πλήθος δεδομένων για κάποιο αντικείμενο μπορεί να αναπαρασταθεί
Διαβάστε περισσότεραΧωρικές Περιγραφές και Ομογενείς Μετασχηματισμοί
Χωρικές Περιγραφές και Ομογενείς Μετασχηματισμοί ΚΕΦΑΛΑΙΟ.. Εισαγωγή Η λειτουργία των ρομποτικών χειριστών είναι συνυφασμένη με τη μετακίνηση υλικών και εργαλείων μέσα στο χώρο με τη βοήθεια κάποιου μηχανισμού
Διαβάστε περισσότεραΣυστήματα συντεταγμένων
Κεφάλαιο. Για να δημιουργήσουμε τρισδιάστατα αντικείμενα, που μπορούν να παρασταθούν στην οθόνη του υπολογιστή ως ένα σύνολο από γραμμές, επίπεδες πολυγωνικές επιφάνειες ή ακόμη και από ένα συνδυασμό από
Διαβάστε περισσότεραΔυναμική Μηχανών I. Επανάληψη: Κινηματική και Δυναμική
Δυναμική Μηχανών I 2 2 Επανάληψη: Κινηματική και Δυναμική 2015 Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. tzeranis@gmail.com Απαγορεύεται οποιαδήποτε αναπαραγωγή χωρίς άδεια Περιεχόμενα
Διαβάστε περισσότεραΓραφικά με υπολογιστές. Διδάσκων: Φοίβος Μυλωνάς. Διαλέξεις #11-#12
Ιόνιο Πανεπιστήμιο Τμήμα Πληροφορικής Χειμερινό εξάμηνο Γραφικά με υπολογιστές Διδάσκων: Φοίβος Μυλωνάς fmlonas@ionio.gr Διαλέξεις #-# Σύνθεση Δ Μετασχηματισμών Ομογενείς Συντεταγμένες Παραδείγματα Μετασχηματισμών
Διαβάστε περισσότεραΣυστήματα συντεταγμένων
Συστήματα συντεταγμένων Χρησιμοποιούνται για την περιγραφή της θέσης ενός σημείου στον χώρο. Κοινά συστήματα συντεταγμένων: Καρτεσιανό (x, y, z) Πολικό (r, θ) Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων Οι άξονες
Διαβάστε περισσότεραΜηχανισµοί & Εισαγωγή στο Σχεδιασµό Μηχανών Ακαδηµαϊκό έτος: Ε.Μ.Π. Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών - 3.
ΜΗΧΑΝΙΣΜΟΙ & ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟ ΜΗΧΑΝΩΝ - 3.1 - Cpright ΕΜΠ - Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών - 1. Με επιφύλαξη παντός δικαιώµατος. All rights reserved. Απαγορεύεται
Διαβάστε περισσότεραΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΠΟΛΥΜΕΣΩΝ ΚΑΙ ΓΡΑΦΙΚΩΝ
ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΠΟΛΥΜΕΣΩΝ ΚΑΙ ΓΡΑΦΙΚΩΝ Εισαγωγή /4 Το σχήμα και το μέγεθος των δισδιάστατων αντικειμένων περιγράφονται με τις καρτεσιανές συντεταγμένες x, y. Με εφαρμογή γεωμετρικών μετασχηματισμών στο μοντέλο
Διαβάστε περισσότεραΦΥΕ 14 Διανύσματα. 1 Περιγραφή διανυσμάτων στο χώρο Γεωμετρική περιγραφή: Τα διανύσματα περιγράφονται σαν προσανατολισμένα ευθύγραμμα
ΦΥΕ 4 Διανύσματα Περιγραφή διανυσμάτων στο χώρο Γεωμετρική περιγραφή: Τα διανύσματα περιγράφονται σαν προσανατολισμένα ευθύγραμμα τμήματα Δύο διανύσματα θα θεωρούμε ότι είναι ίσα, εάν έχουν το ίδιο μήκος
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 2: Διανυσματικός λογισμός συστήματα αναφοράς
Κεφάλαιο 2: Διανυσματικός λογισμός συστήματα αναφοράς 2.1 Η έννοια του διανύσματος Ο τρόπος που παριστάνομε τα διανυσματικά μεγέθη είναι με τη μαθηματική έννοια του διανύσματος. Διάνυσμα δεν είναι τίποτε
Διαβάστε περισσότεραΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΡΟΜΠΟΤΙΚΗ - ΣΥΝΟΨΗ
ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΡΟΜΠΟΤΙΚΗ - Π. ΑΣΒΕΣΤΑΣ E MAIL: pasv@uniwa.gr Εφαρμογές ρομποτικής στην Ιατρική Κλασσική χειρουργική Ορθοπεδικές επεμβάσεις Νευροχειρουργική Ακτινοθεραπεία Αποκατάσταση φυσιοθεραπεία 2 Βασικοί
Διαβάστε περισσότερα2ο Μάθημα Μετασχηματισμοί 2Δ/3Δ και Συστήματα Συντεταγμένων
2ο Μάθημα Μετασχηματισμοί 2Δ/3Δ και Συστήματα Συντεταγμένων Γραφικα Τμήμα Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Ακ Έτος 2016-17 Σύνοψη του σημερινού μαθήματος 1 Εισαγωγή 2 Επανάληψη 3 Συσχετισμένοι 4 Γραμμικοί
Διαβάστε περισσότεραισδιάστατοι μετασχηματισμοί ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: ισδιάστατοι γεωμετρικοί μετασχηματισμοί
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: ισδιάστατοι γεωμετρικοί μετασχηματισμοί Πολλά προβλήματα λύνονται μέσω δισδιάστατων απεικονίσεων ενός μοντέλου. Μεταξύ αυτών και τα προβλήματα κίνησης, όπως η κίνηση ενός συρόμενου μηχανισμού.
Διαβάστε περισσότεραΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο.
ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1 Τελεστές και πίνακες 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. Ανάλογα, τελεστής είναι η απεικόνιση ενός διανύσματος σε ένα
Διαβάστε περισσότεραΑντικείμενα και γεωμετρικοί μετασχηματισμοί
Αντικείμενα και γεωμετρικοί μετασχηματισμοί Τα βασικά γεωμετρικά αντικείμενα και οι μεταξύ τους σχέσεις μπορούν να περιγραφούν με τρεις βασικές γεωμετρικές οντότητες: σημεία, βαθμωτά μεγέθη, διανύσματα
Διαβάστε περισσότεραΜε τη σύμβαση της «κινηματικής αλυσίδας», ο μηχανισμός αποτυπώνεται σε πίνακα παραμέτρων ως εξής:
ΑΝΩΤΑΤΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΠΕΙΡΑΙΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟΥ ΤΟΜΕΑ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΜΟΥ Τ.Ε. ΤΟΜΕΑΣ ΙΙΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Π. Ράλλη & Θηβών 250, 12244 Αθήνα Καθηγητής Γ. Ε. Χαμηλοθώρης αρχείο: θέμα:
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ
Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Διανύσματα Ευθείες - Επίπεδα Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Διάνυσμα ή Διανυσματικό μέγεθος (Vector) Μέγεθος που
Διαβάστε περισσότεραΜετασχηματισμοί Μοντελοποίησης (modeling transformations)
Μετασχηματισμοί Δ Μετασχηματισμοί Μοντελοποίησης (modeling trnformtion) Καθορισμός μετασχηματισμών των αντικειμένων Τα αντικείμενα περιγράφονται στο δικό τους σύστημα συντεταγμένων Επιτρέπει την χρήση
Διαβάστε περισσότεραΔιάλεξη #10. Διδάσκων: Φοίβος Μυλωνάς. Γραφικά με υπολογιστές. Ιόνιο Πανεπιστήμιο Τμήμα Πληροφορικής Χειμερινό εξάμηνο.
Ιόνιο Πανεπιστήμιο Τμήμα Πληροφορικής Χειμερινό εξάμηνο Γραφικά με υπολογιστές Διδάσκων: Φοίβος Μυλωνάς fmlonas@ionio.gr Διάλεξη # Δ Μετασχηματισμοί (γενικά) Γραμμικοί Μετασχηματισμοί Απλοί Συσχετισμένοι
Διαβάστε περισσότερα1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ
34 4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Άξονας Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία Ο και Ι, έτσι ώστε το διάνυσμα OI να έχει μέτρο και να βρίσκεται στην ημιευθεία O Λέμε τότε ότι έχουμε έναν άξονα με αρχή
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 3 ο : Αναπαράσταση θέσης
ΜΗΧΑΝΙΣΜΟΙ & ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟ ΜΗΧΑΝΩΝ Μάθηµα 3 ο Αναπαράσταση θέσης στο επίπεδο (2 ) και στο χώρο (3 ) Οµογενής Μετασχηµατισµός Κεφάλαιο 3 ο : Αναπαράσταση θέσης Μεταφορά αξόνων σε 2 X Ι Ο Ι Y Ι
Διαβάστε περισσότερα1.1 ΟΡΙΣΜΟΙ, ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΗΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ
Κεφάλαιο 1 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ 1.1 ΟΡΙΣΜΟΙ, ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΗΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ Στις θετικές επιστήμες και στις τεχνολογικές τους εφαρμογές συναντάμε συχνά μεγέθη που χαρακτηρίζονται μόνο από το μέτρο τους: τη μάζα,
Διαβάστε περισσότεραΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 1. Σταύρος Παπαϊωάννου
ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ Μαθηματικά Σταύρος Παπαϊωάννου Ιούνιος 05 Τίτλος Μαθήματος Περιεχόμενα Χρηματοδότηση.. Σφάλμα! Δεν έχει οριστεί σελιδοδείκτης. Σκοποί Μαθήματος
Διαβάστε περισσότερα1.1.1 Εσωτερικό και Εξωτερικό Γινόμενο Διανυσμάτων
3 1.1 Διανύσματα 1.1.1 Εσωτερικό και Εξωτερικό Γινόμενο Διανυσμάτων ΑΣΚΗΣΗ 1.1 Να βρεθεί η γωνία που σχηματίζουν τα διανύσματα î + ĵ + ˆk και î + ĵ ˆk. z k i j y x Τα δύο διανύσματα που προκύπτουν από
Διαβάστε περισσότεραΤι είναι βαθμωτό μέγεθος? Ένα μέγεθος που περιγράφεται μόνο με έναν αριθμό (π.χ. πίεση)
TETY Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ενότητα ΙΙ: Γραμμική Άλγεβρα Ύλη: Διανυσματικοί χώροι και διανύσματα, μετασχηματισμοί διανυσμάτων, τελεστές και πίνακες, ιδιοδιανύσματα και ιδιοτιμές πινάκων, επίλυση γραμμικών
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΒΑΣΙΚΟΙ ΤΥΠΟΙ ΑΠΟ ΤΗΝ ΘΕΩΡΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Αρχή και Πέρας Φορέας Διεύθυνση (Συγγραμμικά διανύσματα) Μέτρο Κατεύθυνση (Ομόρροπα Αντίρροπα διανύσματα)
Διαβάστε περισσότεραΜετασχηματισμοί Καταστάσεων και Τελεστών
Μετασχηματισμοί Καταστάσεων και Τελεστών Δομή Διάλεξης Μετασχηματισμοί Καταστάσεων Τελεστής Μετατόπισης Συνεχείς Μετασχηματισμοί και οι Γεννήτορές τους Τελεστής Στροφής Διακριτοί Μετασχηματισμοί: Parity
Διαβάστε περισσότεραΜΗΧΑΝΙΣΜΟΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟ ΜΗΧΑΝΩΝ
ΜΗΧΑΝΙΣΜΟΙ & ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟ ΜΗΧΑΝΩΝ - Β. - Copyright ΕΜΠ - Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο Δυναμικής και Κατασκευών - 06. Με επιφύλαξη παντός δικαιώµατος. All rights reserved. Απαγορεύεται
Διαβάστε περισσότεραΚΑΤΑΣΤΡΩΣΗ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΠΟΛΥΒΑΘΜΙΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 55
ΚΑΤΑΣΤΡΩΣΗ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΠΟΛΥΒΑΘΜΙΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 55 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΚΑΤΑΣΤΡΩΣΗ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΠΟΛΥΒΑΘΜΙΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 3.. Εισαγωγή Αναφέρθηκε ήδη στο ο κεφάλαιο ότι η αναπαράσταση της ταλαντωτικής
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
2 ο ΓΕΛ ΣΤΑΥΡΟΥΠΟΛΗΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2015-2016 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΠΑΥΛΟΣ ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ Διάνυσμα λέγεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα
Διαβάστε περισσότερα1.2 Συντεταγμένες στο Επίπεδο
1 Συντεταγμένες στο Επίπεδο Τι εννοούμε με την έννοια άξονας; ΑΠΑΝΤΗΣΗ Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία και Ι έτσι ώστε το διάνυσμα OI να έχει μέτρο 1 και να βρίσκεται στην ημιευθεία O Λέμε τότε
Διαβάστε περισσότεραΔιανύσματα. (α) μέτρο, (β) διεύθυνση και. (γ) φορά. (κατεύθυνση=διεύθυνση+φορά).
Διανύσματα Βαθμωτή Ποσότητα: αυτή που μπορεί να οριστεί πλήρως με έναν αριθμό και μια μονάδα. Ο αριθμός και η μονάδα συνιστούν το μέτρο της βαθμωτής ποσότητας. Διάνυσμα: είναι η ποσότητα που έχει (α) μέτρο,
Διαβάστε περισσότεραΜε τη σύμβαση της «κινηματικής αλυσίδας», ο μηχανισμός αποτυπώνεται σε πίνακα παραμέτρων ως εξής:
ΑΝΩΤΑΤΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΠΕΙΡΑΙΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟΥ ΤΟΜΕΑ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΜΟΥ Τ.Ε. ΤΟΜΕΑΣ ΙΙΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Π. Ράλλη & Θηβών 250, 12244 Αθήνα Καθηγητής Γ. Ε. Χαμηλοθώρης αρχείο: θέμα:
Διαβάστε περισσότεραΜΗΧΑΝΙΣΜΟΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟ ΜΗΧΑΝΩΝ
Μηχανισμοί & Εισαγωγή στο Σχεδιασμό Μηχανών Ακαδημαϊκό έτος: 214-215 ΜΗΧΑΝΙΣΜΟΙ & ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟ ΜΗΧΑΝΩΝ - 7.1 - Μηχανισμοί & Εισαγωγή στο Σχεδιασμό Μηχανών Ακαδημαϊκό έτος: 214-215 Copyright ΕΜΠ
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 2. Διανύσματα και Συστήματα Συντεταγμένων
Κεφάλαιο 2 Διανύσματα και Συστήματα Συντεταγμένων Διανύσματα Διανυσματικά μεγέθη Φυσικά μεγέθη που έχουν τόσο αριθμητικές ιδιότητες όσο και ιδιότητες κατεύθυνσης. Σε αυτό το κεφάλαιο, θα ασχοληθούμε με
Διαβάστε περισσότεραΚλασικη ιαφορικη Γεωµετρια
Αριστοτελειο Πανεπιστηµιο Θεσσαλονικης Σχολη Θετικων Επιστηµων, Τµηµα Μαθηµατικων, Τοµεας Γεωµετριας Κλασικη ιαφορικη Γεωµετρια Πρώτη Εργασία, 2018-19 1 Προαπαιτούµενες γνώσεις και ϐασική προετοιµασία
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 2. Διανύσματα και Συστήματα Συντεταγμένων
Κεφάλαιο 2 Διανύσματα και Συστήματα Συντεταγμένων Διανύσματα Διανυσματικά μεγέθη Φυσικά μεγέθη που έχουν τόσο αριθμητικές ιδιότητες όσο και ιδιότητες κατεύθυνσης. Σε αυτό το κεφάλαιο, θα ασχοληθούμε με
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΣΑΝΑΤΛΙΣΜΥ Β ΛΥΚΕΙΥ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΥ Να δώσετε τους ορισμούς: διάνυσμα, μηδενικό διάνυσμα, μέτρο διανύσματος, μοναδιαίο διάνυσμα Διάνυσμα AB ονομάζεται ένα ευθύγραμμο
Διαβάστε περισσότεραΟρμή. Απλούστερη περίπτωση: σύστημα δυο σωματίων, μάζας m 1 και m 2 σε αποστάσεις x 1 και x 2, αντίστοιχα, από την αρχή ενός συστήματος συντεταγμένων
Y Ορμή ΚΕΝΤΡΟ ΜΑΖΑΣ Όταν ένα σώμα περιστρέφεται ή ταλαντεύεται κατά την κίνησή του, υπάρχει ένα σημείο του σώματος που λέγεται Κέντρο Μάζας, το οποίο κινείται με τον ίδιο τρόπο με τον οποίο θα κινιόταν
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Επιμέλεια: Άλκης Τζελέπης ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΝΝΟΙΑ - ΠΡΑΞΕΙΣ. Αν τα διανύσματα,, σχηματίζουν τρίγωνο, να αποδείξετε ότι το ίδιο συμβαίνει
Διαβάστε περισσότερα,..., v n. W πεπερασμένα παραγόμενοι και dimv. Τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα f είναι ισομορφιμός. f είναι 1-1. f είναι επί.
Γραμμική Άλγεβρα Ι, 07-8 Ασκήσεις7: Γραμμικές Απεικονίσεις Βασικά σημεία Ορισμός και παραδείγματα γραμμικών απεικονίσεων Σύνθεση γραμμικών απεικονίσεων, ισομορφισμοί Κάθε γραμμική απεικόνιση f : V W, όπου
Διαβάστε περισσότερα3. ΥΝΑΜΙΚΗ ΡΟΜΠΟΤΙΚΩΝ ΒΡΑΧΙΟΝΩΝ
3. ΥΝΑΜΙΚΗ ΡΟΜΠΟΤΙΚΩΝ ΒΡΑΧΙΟΝΩΝ Η δυναµική ασχολείται µε την εξαγωγή και τη µελέτη του δυναµικού µοντέλου ενός ροµποτικού βραχίονα. Το δυναµικό µοντέλο συνίσταται στις διαφορικές εξισώσεις που περιγράφουν
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Διάνυσμα Θέσης ενός σημείου Αν θεωρήσουμε ένα οποιοδήποτε σημείο Ο του επιπέδου ως σημείο αναφοράς (ακόμα
Διαβάστε περισσότεραΕπίλυση Συστήματος Γραμμικών Διαφορικών Εξισώσεων
Επίλυση Συστήματος Γραμμικών Διαφορικών Εξισώσεων. Γραμμικοί Μετασχηματισμοί Ανυσμάτων Θεωρούμε χώρο δύο διαστάσεων και συμβατικά ένα ορθογώνιο σύστημα αξόνων για την περιγραφή κάθε ανύσματος του χώρου
Διαβάστε περισσότεραΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 3//7/2013 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ
ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 3//7/013 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΤΗΣ: ΒΑΡΣΑΜΗΣ ΧΡΗΣΤΟΣ ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΩΡΕΣ ΑΣΚΗΣΗ 1 Σώμα μάζας m=0.1 Kg κινείται σε οριζόντιο δάπεδο ευθύγραμμα με την
Διαβάστε περισσότεραΓΕΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΑ - ΣΤΕΡΕΟΣΤΑΤΙΚΗ. 2. Στερεοστατική. 2.1 Ισοδύναμα συστήματα δυνάμεων Δύναμη
2. Στερεοστατική 2.1 Ισοδύναμα συστήματα δυνάμεων 2.1.1 Δύναμη Στο πλαίσιο της καθημερινής ζωής κάνουμε διάφορες ενέργειες που προκαλούν διάφορα αποτελέσματα. Όταν για παράδειγμα λέμε ότι κάποιος σπρώχνει
Διαβάστε περισσότεραcos ϑ sin ϑ sin ϑ cos ϑ
ΜΕΜ 102 Γεωμετρία και Γραμμική Άλγεβρα Διάλεξη 33 Χρήστος Κουρουνιώτης Πανεπιστήμιο Κρήτης Νοε 2014 Χ.Κουρουνιώτης (Παν.Κρήτης) ΜΕΜ 102-33 Νοε 2014 1 / 11 Μετασχηματισμοί του επιπέδου Πολλοί μετασχηματισμοί
Διαβάστε περισσότεραΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΠΟΛΥΜΕΣΩΝ & ΓΡΑΦΙΚΩΝ. Τρισδιάστατοι γεωμετρικοί μετασχηματισμοί
ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΠΟΛΥΜΕΣΩΝ & ΓΡΑΦΙΚΩΝ Γ Ρ Α Φ Ι Κ Α Τρισδιάστατοι γεωμετρικοί μετασχηματισμοί εξιόστροφο σύστημα Θετικές περιστροφές ως προς τους άξονες συντεταγμένων x, y, z Αριστερόστροφο Σύστημα Αναπαράσταση
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 0 Μιγαδικοί Αριθμοί
Κεφάλαιο 0 Μιγαδικοί Αριθμοί 0 Βασικοί ορισμοί και πράξεις Είναι γνωστό ότι δεν υπάρχει πραγματικός αριθμός που επαληθεύει την εξίσωση x Η ανάγκη επίλυσης τέτοιων εξισώσεων οδηγεί στο σύνολο των μιγαδικών
Διαβάστε περισσότεραΜΗΧΑΝΙΣΜΟΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟ ΜΗΧΑΝΩΝ
ΜΗΧΑΝΙΣΜΟΙ & ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟ ΜΗΧΑΝΩΝ - 8. - opyright ΕΜΠ - Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο Δυναμικής και Κατασκευών - 202. Με επιφύλαξη παντός δικαιώµατος. ll rights reserved. Απαγορεύεται
Διαβάστε περισσότερα = 1 A A = A A. A A + A2 y. A = (A x, A y ) = A x î + A y ĵ. z A. 2 A + A2 z
Οκτώβριος 2017 Ν. Τράκας ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΒΟΗΘΗΜΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Διάνυσμα: κατεύθυνση (διεύθυνση και ϕορά) και μέτρο. Συμβολισμός: A ή A. Αναπαράσταση μέσω των συνιστωσών του: A = (A x, A y ) σε 2-διαστάσεις και
Διαβάστε περισσότεραΘεωρητική μηχανική ΙΙ
ΟΣΑ ΓΡΑΦΟΝΤΑΙ ΕΔΩ ΝΑ ΤΑ ΔΙΑΒΑΖΕΤΕ ΜΕ ΣΚΕΠΤΙΚΟ ΒΛΕΜΜΑ. ΜΠΟΡΕΙ ΝΑ ΠΕΡΙΕΧΟΥΝ ΛΑΘΗ. Θεωρητική μηχανική ΙΙ Να δειχθεί ότι αν L x, L y αποτελούν ολοκληρώματα της κίνησης τότε και η L z αποτελεί ολοκλήρωμα της
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματική Εισαγωγή Συναρτήσεις
Φυσικός Ραδιοηλεκτρολόγος (MSc) ο Γενικό Λύκειο Καστοριάς Καστοριά, Ιούλιος 14 A. Μαθηματική Εισαγωγή Πράξεις με αριθμούς σε εκθετική μορφή Επίλυση βασικών μορφών εξισώσεων Συναρτήσεις Στοιχεία τριγωνομετρίας
Διαβάστε περισσότεραΜιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙΣ Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Κολάσης Χαράλαμπος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται
Διαβάστε περισσότεραΜηχανική Πετρωμάτων Τάσεις
Μηχανική Πετρωμάτων Τάσεις Δρ Παντελής Λιόλιος Σχολή Μηχανικών Ορυκτών Πόρων Πολυτεχνείο Κρήτης http://minelabmredtucgr Τελευταία ενημέρωση: 28 Φεβρουαρίου 2017 Δρ Παντελής Λιόλιος (ΠΚ) Τάσεις 28 Φεβρουαρίου
Διαβάστε περισσότεραΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ- 2018
ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ- 2018 Κώστας Γαλιώτης, καθηγητής Τμήμα Χημικών Μηχανικών galiotis@chemeng.upatras.gr 1 Περιεχόμενα ενότητας Α Βασικές έννοιες Στατική υλικού σημείου Αξιωματικές αρχές Νόμοι Νεύτωνα
Διαβάστε περισσότεραΤετραγωνικά μοντέλα. Τετραγωνικό μοντέλο συνάρτησης. Παράδειγμα τετραγωνικού μοντέλου #1. Παράδειγμα τετραγωνικού μοντέλου #1
Τετραγωνικό μοντέλο συνάρτησης Τετραγωνικά μοντέλα Δ. Γ. Παπαγεωργίου Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων dpapageo@cc.uoi.gr http://pc64.materials.uoi.gr/dpapageo Για συνάρτηση μιας
Διαβάστε περισσότεραΓραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα
Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Ενότητα: Ορθοκανονικοποίηση, Ορίζουσες, Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα Ανδριανός Ε Τσεκρέκος Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής
Διαβάστε περισσότεραΒασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου
Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Αριθμοί 1. ΑΡΙΘΜΟΙ Σύνολο Φυσικών αριθμών: Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Σύνολο Ρητών αριθμών: ακέραιοι με Άρρητοι αριθμοί: είναι οι μη ρητοί π.χ. Το σύνολο Πραγματικών
Διαβάστε περισσότερα2 Η ΠΡΟΟΔΟΣ. Ενδεικτικές λύσεις κάποιων προβλημάτων. Τα νούμερα στις ασκήσεις είναι ΤΥΧΑΙΑ και ΟΧΙ αυτά της εξέταση
2 Η ΠΡΟΟΔΟΣ Ενδεικτικές λύσεις κάποιων προβλημάτων Τα νούμερα στις ασκήσεις είναι ΤΥΧΑΙΑ και ΟΧΙ αυτά της εξέταση Ένας τροχός εκκινεί από την ηρεμία και επιταχύνει με γωνιακή ταχύτητα που δίνεται από την,
Διαβάστε περισσότερααπό t 1 (x) = A 1 x A 1 b.
Σύνοψη Κεφαλαίου 2: Ομοπαραλληλική Γεωμετρία Γεωμετρία και μετασχηματισμοί 1. Μία ισομετρία του R 2 είναι μία απεικόνιση από το R 2 στο R 2 που διατηρεί αποστάσεις. Κάθε ισομετρία του R 2 έχει μία από
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Στάμου Γιάννης
Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Στάμου Γιάννης Αναλυτική θεωρία Λυμένα παραδείγματα Ερωτήσεις κατανόησης Ασκήσεις Επαναληπτικά διαγωνίσματα ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Κεφάλαιο ο : Διανύσματα Ενότητα I: Η έννοια
Διαβάστε περισσότεραΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ
ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Σκοπός Σκοπός του κεφαλαίου είναι η ανασκόπηση βασικών μαθηματικών εργαλείων που αφορούν τη μελέτη διανυσματικών συναρτήσεων [π.χ. E(, t) ]. Τα εργαλεία αυτά είναι
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικό υπόβαθρο. Κεφάλαιο 3. Μαθησιακοί στόχοι. 3.1 Εισαγωγή. 3.2 Σημεία και διανύσματα
Κεφάλαιο 3 Μαθηματικό υπόβαθρο Μαθησιακοί στόχοι Μετά την ολοκλήρωση αυτού του κεφαλαίου, ο αναγνώστης θα είναι σε θέση: Να γνωρίζει τις βασικές ιδιότητες και να πραγματοποιεί πράξεις των σημείων και των
Διαβάστε περισσότεραΜηχανολογικό Σχέδιο με τη Βοήθεια Υπολογιστή. Αφφινικοί Μετασχηματισμοί Αναπαράσταση Γεωμετρικών Μορφών
Μηχανολογικό Σχέδιο με τη Βοήθεια Υπολογιστή Γεωμετρικός Πυρήνας Γεωμετρικός Πυρήνας Αφφινικοί Μετασχηματισμοί Αναπαράσταση Γεωμετρικών Μορφών Γεωμετρικός Πυρήνας Εξομάλυνση Σημεία Καμπύλες Επιφάνειες
Διαβάστε περισσότεραΕΜΒΟΛΙΜΗ ΠΑΡΑΔΟΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. Μερικές βασικές έννοιες διανυσματικού λογισμού
ΕΜΒΟΛΙΜΗ ΠΑΡΑΔΟΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Μερικές βασικές έννοιες διανυσματικού λογισμού ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ 1. Oρισμοί Διάνυσμα ονομάζεται η μαθηματική οντότητα που έχει διεύθυνση φορά και μέτρο.
Διαβάστε περισσότεραΤετραγωνικά μοντέλα. Τετραγωνικό μοντέλο συνάρτησης. Παράδειγμα τετραγωνικού μοντέλου #1. Παράδειγμα τετραγωνικού μοντέλου #1
Τετραγωνικό μοντέλο συνάρτησης Τετραγωνικά μοντέλα Δ. Γ. Παπαγεωργίου Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων dpapageo@cc.uoi.gr http://pc164.materials.uoi.gr/dpapageo Για συνάρτηση μιας
Διαβάστε περισσότεραΤαξινόμηση καμπυλών και επιφανειών με τη βοήθεια των τετραγωνικών μορφών.
Ταξινόμηση καμπυλών και επιφανειών με τη βοήθεια των τετραγωνικών μορφών (βλ ενότητες 8 και 8 από το βιβλίο Εισαγωγή στη Γραμμική Άλγεβρα, Ι Χατζάρας, Θ Γραμμένος, 0) (Δείτε τα παραδείγματα 8 (, ) και
Διαβάστε περισσότεραΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ Ορισμός. Αν τα και είναι τα μοναδιαία διανύσματα των αξόνων και αντίστοιχα η συνάρτηση που ορίζεται από τη σχέση όπου (συνιστώσες) είναι
Διαβάστε περισσότεραΔΥΝΑΜΙΚΗ ΚΑΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΤΗΣΗΣ 3A: ΔΥΝΑΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΚΑΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΤΗΣΗΣ 3A: ΔΥΝΑΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Συστήματα αξόνων του αεροσκάφους Κίνηση αεροσκάφους στην ατμόσφαιρα Απαιτούνται κατάλληλα συστήματα αξόνων για την περιγραφή
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματική Εισαγωγή Συναρτήσεις
Φυσικός Ραδιοηλεκτρολόγος (MSc) ο Γενικό Λύκειο Καστοριάς A. Μαθηματική Εισαγωγή Πράξεις με αριθμούς σε εκθετική μορφή Επίλυση βασικών μορφών εξισώσεων Συναρτήσεις Στοιχεία τριγωνομετρίας Διανύσματα Καστοριά,
Διαβάστε περισσότεραΓραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα
Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Ενότητα: Διανυσματικοί Χώροι και Υπόχωροι: Βάσεις και Διάσταση Ανδριανός Ε Τσεκρέκος Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής
Διαβάστε περισσότεραΜετασχηµατισµοί 2 &3
Μετασχηµατισµοί &3 Περιγράφονται σαν σύνθεση βασικών: µετατόπιση, αλλαγή κλίµακας,περιστροφή, στρέβλωση Χωρίζονται σε γεωµετρικούς (εδώ) και αξόνων (αντίστροφοι) Θέσεις αντικειµένων και φωτεινών πηγών
Διαβάστε περισσότεραΔυναμική Μηχανών I. Επανάληψη: Μαθηματικά
Δυναμική Μηχανών I 2 1 Επανάληψη: Μαθηματικά 2015 Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. tzeranis@gmail.com Απαγορεύεται οποιαδήποτε αναπαραγωγή χωρίς άδεια Συμβολισμοί Μεταβλητών
Διαβάστε περισσότερα( ) ) V(x, y, z) Παραδείγματα. dt + "z ˆk + z d ˆk. v 2 =!x 2 +!y 2 +!z 2. F =! "p. T = 1 2 m (!x2 +!y 2 +!z 2
ΦΥΣ 211 - Διαλ.04 1 Παραδείγματα Κίνηση ενός και μόνο σωματιδίου, χρησιμοποιώντας Καρτεσιανές συντεταγμένες και συντηρητικές δυνάμεις. Οι εξισώσεις Lagrange θα πρέπει να επιστρέφουν τα ίδια αποτελέσματα
Διαβάστε περισσότεραΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ - ΡΟΜΠΟΤΙΚΗ
Τίτλος Μαθήματος ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ - ΡΟΜΠΟΤΙΚΗ Καθηγητής Δρ.Δ.Σαγρής ΣΕΡΡΕΣ, ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΣ
Διαβάστε περισσότεραΟµάδα Ασκήσεων #3-Λύσεις
Οµάδα Ασκήσεων #3-Λύσεις Πρόβληµα # (α) Ο βραχίονας είναι επίπεδος. Μπορούµε να βρούµε τον προσπελάσιµο χώρο εργασίας µε µια βήµα-προς-βήµα προσέγγιση. Πρώτα βρίσκουµε το χώρο που καλύπτεται όταν η άρθρωση-3
Διαβάστε περισσότερα) = Απόσταση σημείου από ευθεία. Υπολογισμός Εμβαδού Τριγώνου. και A
[Επιλογή Ιαν.. Εμβαδόν Τριγώνου ΣΤΟΧΟΙ: Ο µαθητής ϖρέϖει: να είναι ικανός να υϖολογίζει την αϖόσταση σηµείου αϖό ευθεία να είναι ικανός να υϖολογίζει το εµβαδό ενός τριγώνου αϖό τις συντεταγµένες των κορυφών
Διαβάστε περισσότεραΟδηγίες σχεδίασης στο περιβάλλον Blender
Οδηγίες σχεδίασης στο περιβάλλον Blender Στον πραγματικό κόσμο, αντιλαμβανόμαστε τα αντικείμενα σε τρεις κατευθύνσεις ή διαστάσεις. Τυπικά λέμε ότι διαθέτουν ύψος, πλάτος και βάθος. Όταν θέλουμε να αναπαραστήσουμε
Διαβάστε περισσότερα9. ΕΛΕΓΧΟΣ ΑΛΛΗΛΕΠΙ ΡΑΣΗΣ ΜΕ ΤΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ. Εξετάζουµε διάφορα µοντέλα ελέγχου αλληλεπίδρασης του βραχίονα µε το περιβάλλον.
9. ΕΛΕΓΧΟΣ ΑΛΛΗΛΕΠΙ ΡΑΣΗΣ ΜΕ ΤΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ 9.0 Εισαγωγικά Εξετάζουµε διάφορα µοντέλα ελέγχου αλληλεπίδρασης του βραχίονα µε το περιβάλλον. 9.1 Έλεγχος «Συµµόρφωσης» ή «Υποχωρητικότητας» (Comliance Control)
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις Ρομποτικής με την χρήση του MATLAB
Ασκήσεις Ρομποτικής με την χρήση του MATLAB Δρ. Φασουλάς Ιωάννης Επίκουρος Καθηγητής Τ.Ε.Ι. Κρήτης Τµήµα Μηχανολόγων Μηχανικών Τ.Ε. 2 ~Μέρος 1 ο ~ Βασικές Δραστηριότητες με το MATLAB Δραστηριότητα 1: Εξοικείωση
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 3. Κίνηση σε δύο διαστάσεις (επίπεδο)
Κεφάλαιο 3 Κίνηση σε δύο διαστάσεις (επίπεδο) Κινηματική σε δύο διαστάσεις Θα περιγράψουμε τη διανυσματική φύση της θέσης, της ταχύτητας, και της επιτάχυνσης με περισσότερες λεπτομέρειες. Σαν ειδικές περιπτώσεις,
Διαβάστε περισσότεραΦυλλάδιο 1 - Σημεία Προσοχής στις Παραγράφους 1.1, 1.2 και 1.3
Φυλλάδιο 1 - Σημεία Προσοχής στις Παραγράφους 1.1, 1.2 και 1.3 1. Σπάμε ένα Διάνυσμα Έστω ότι έχουμε ένα διάνυσμα. Τότε αυτό μπορούμε να το σπάσουμε σε δύο (ή περισσότερα), παρεμβάλλοντας ανάμεσα στα γράμματα
Διαβάστε περισσότεραΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΓΡΑΦΙΚΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Διδάσκων: Ν. ΝΙΚΟΛΑΙΔΗΣ
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΓΡΑΦΙΚΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Διδάσκων: Ν. ΝΙΚΟΛΑΙΔΗΣ 1 η Σειρά Ασκήσεων Πλαίσια, γεωμετρικοί μετασχηματισμοί και προβολές 1. Y B (-1,2,0) A (-1,1,0) A (1,1,0)
Διαβάστε περισσότερα1,y 1) είναι η C : xx yy 0.
ΘΕΜΑ Α ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα Α. Αν α, β δύο διανύσματα του επιπέδου με συντελεστές διεύθυνσης λ και λ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι α β λ λ.
Διαβάστε περισσότεραΠαραµόρφωση σε Σηµείο Σώµατος. Μεταβολή του σχήµατος του στοιχείου (διατµητική παραµόρφωση)
Παραµόρφωση σε Σηµείο Σώµατος Η ολική παραµόρφωση στερεού σώµατος στη γειτονιά ενός σηµείου, Ο, δηλαδή η συνολική παραµόρφωση ενός µικρού τµήµατος (στοιχείου) του σώµατος γύρω από το σηµείο µπορεί να αναλυθεί
Διαβάστε περισσότεραwebsite:
Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Τμήμα Φυσικής Μηχανική Ρευστών Μαάιτα Τζαμάλ-Οδυσσέας 3 Μαρτίου 2019 1 Τανυστής Παραμόρφωσης Συνοδεύον σύστημα ονομάζεται το σύστημα συντεταγμένων ξ i το οποίο μεταβάλλεται
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 5 Γραμμικοί Μετασχηματισμοί
Κεφάλαιο 5 Γραμμικοί Μετασχηματισμοί 5 Γενικά Γραμμικοί Μετασχηματισμοί Μία σχέση μεταξύ των στοιχείων δύο συνόλων Α,Β αντιστοιχίζει στοιχεία του Α με στοιχεία του Β άλλου μέσω ενός κανόνα που μπορεί να
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ
ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΤΗΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 014-015 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1. ΘΕΜΑ ΚΩΔΙΚΟΣ_18556 Δίνονται τα διανύσματα α και β με ^, και,. α Να
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος )
ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Ερωτήσεις Θεωρίας Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε
Διαβάστε περισσότερα1. Κινηµατική. x dt (1.1) η ταχύτητα είναι. και η επιτάχυνση ax = lim = =. (1.2) Ο δεύτερος νόµος του Νεύτωνα παίρνει τη µορφή: (1.
1. Κινηµατική Βιβλιογραφία C. Kittel W. D. Knight M. A. Rueman A. C. Helmholz και B. J. Moe Μηχανική. Πανεπιστηµιακές Εκδόσεις Ε.Μ.Π. 1998. Κεφ.. {Μαθηµατικό Συµπλήρωµα Μ1 Παράγωγος} {Μαθηµατικό Συµπλήρωµα
Διαβάστε περισσότεραΠολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα
Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Επανάληψη Χριστουγέννων Αφού κάνετε μια επανάληψη στο πρώτο κεφάλαιο και θυμηθείτε όλους τους τύπους και τις μεθοδολογίες, να λύσετε τις παρακάτω ασκήσεις από την τράπεζα
Διαβάστε περισσότερα