Η ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΚΑΙ ΤΗ ΣΤΕΡΕΟΜΕΤΡΙΑ

Η ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΚΑΙ ΤΗ ΣΤΕΡΕΟΜΕΤΡΙΑ Μέσος και άκρος λόγος σε τµήµα Το Φ προκύπτει µαθηµατικά, αλλά απαντάται και στη φύση, µε αρκετούς διαφορετικούς τρόπους. Θεωρείται ότι δίνει αρµονικές αναλογίες και για το λόγο αυτό έχει χρησιµοποιηθεί στην αρχιτεκτονική και τη ζωγραφική, τόσο κατά την αρχαία Ελλάδα όσο και κατά την Αναγέννηση. Στη σηµερινή εποχή, τέτοια άρτια σχήµατα συναντάµε ακόµα και στις πιστωτικές κάρτες! Ο πιο απλός τρόπος για να ορίσει κανείς το Φ επεξηγείται στο παρακάτω σχήµα: Ας υποθέσουµε ότι θέλουµε να χωρίσουµε ένα ευθύγραµµο τµήµα σε δύο άνισα µέρη, κατά τρόπο ώστε ο λόγος του συνολικού του µήκους προς το µήκος του µεγαλύτερου µέρους να ισούται µε το λόγο του µήκους του µεγαλύτερου µέρους προς το µήκος του µικρότερου. Στο σχήµα µας δηλαδή, θέλουµε ο λόγος ΑΓ προς ΑΒ να ισούται µε το λόγο ΑΒ προς ΒΓ. Η τοµή στο Β, η "χρυσή τοµή" δηλαδή, είναι εκείνη η οποία επιτυγχάνει το αποτέλεσµα αυτό, και στη µοναδική αυτή χρυσή τοµή οι λόγοι ΑΓ/ΑΒ και ΑΒ/ΒΓ ισούνται πάντοτε (ανεξάρτητα φυσικά από τα µήκη των εκάστοτε ευθύγραµµων τµηµάτων) µε 1,618..., δηλαδή µε τον αριθµό Φ. Με τη γεωµετρική κατασκευή ενός ευθύγραµµου τµήµατος σε µέσο και άκρο λόγο ασχολείται ο Ευκλείδης στο σύγγραµµά του «ΣΤΟΙΧΕΙΑ» και το θέτει ως εξής: «Nα διαιρεθεί ευθύγραµµο τµήµα σε δύο µέρη τέτοια, ώστε το ορθογώνιο που έχει βάση το δεδοµένο ευθύγραµµο τµήµα και ύψος το µικρότερο από τα δύο τµήµατα, να είναι ισοδύναµο προς το τετράγωνο που έχει πλευρά το άλλο τµήµα». 9

Χρυσό Ορθογώνιο Το ορθογώνιο µε λόγο µικρότερης πλευράς προς µεγαλύτερη 1:Φ ονοµάζεται Χρυσό Ορθογώνιο. Θεωρείται το ωραιότερο αισθητικά από όλα τα ορθογώνια παραλληλόγραµµα κι αυτός είναι ένας λόγος που οι πιστωτικές κάρτες έχουν διαστάσεις χρυσού ορθογωνίου, ακριβώς για να προσελκύουν πελάτες. Αν τοποθετήσουµε δύο ίσα χρυσά ορθογώνια το ένα δίπλα στο άλλο - το ένα σε οριζόντια και το άλλο σε κάθετη θέση - και φέρουµε τη διαγώνιο του οριζόντιου και την προεκτείνουµε, αυτή θα συµπέσει µε την άνω δεξιά γωνία του κάθετου ορθογωνίου. Αυτή είναι µια µοναδική ιδιότητα που έχει το χρυσό ορθογώνιο: µε άλλα λόγια, αν σχεδιαστεί εσωτερικά σε αυτό ένα τετράγωνο (µε πλευρά ίση µε τη µικρότερη πλευρά του ορθογωνίου), το ορθογώνιο που αποµένει έχει λόγο πλευρών πάλι 1:Φ. Η διαδικασία αυτή µπορεί να συνεχίζεται επ' άπειρον, δηµιουργώντας συνεχώς όλο και µικρότερα Χρυσά Ορθογώνια, κάθε φορά µε διαστάσεις µικρότερες, κατά παράγοντα Φ. Οι διαγώνιες σε ένα οποιοδήποτε ζεύγος µητρικού - θυγατρικού ορθογωνίου, διασταυρώνονται πάντα στο ίδιο σηµείο, το οποίο και δεν προσεγγίζεται ποτέ. Ο µαθηµατικός Clifford A. Pickover αναφέρει το σηµείο αυτό, ως «Μάτι του Θεού». Επιπλέον, το τετράγωνο που δηµιουργείται στο µητρικό ορθογώνιο - αν αφαιρέσουµε το θυγατρικό - ονοµάζεται γνώµονας και το Χρυσό Ορθογώνιο είναι το µοναδικό ορθογώνιο στο οποίο ο γνώµονας είναι το τετράγωνο. Επίσης, αν ενωθούν οι απέναντι γωνίες σε κάθε τετράγωνο, µε εφαπτόµενα στις πλευρές τεταρτοκύκλια τόξα, σχηµατίζεται µία κατά προσέγγιση λογαριθµική σπείρα που ονοµάζεται Χρυσή Σπείρα, η οποία 10

αναπτύσσεται γύρω από το σηµείο τοµής των διαγωνίων του αρχικού Χρυσού Ορθογωνίου και των θυγατρικών, διατηρώντας το ίδιο σχήµα. Χρυσή Σπείρα Οι πραγµατικά ενδιαφέρουσες εφαρµογές του Φ ξεκινούν από την κατασκευή ενός άλλου γεωµετρικού σχήµατος, που ονοµάζεται Λογαριθµική Σπείρα. Η κατασκευή αυτή βασίζεται στην ιδιότητα του χρυσού ορθογωνίου. Η µοναδική ιδιότητα της λογαριθµικής σπείρας είναι το γεγονός ότι το σχήµα της δεν αλλάζει όσο κι αν µεγαλώνει το µέγεθός της. Αυτό το χαρακτηριστικό είναι γνωστό ως αυτο-οµοιότητα. Εντυπωσιασµένος από την ιδιότητα αυτή, ο Ιάκωβος Μπερνούλι έγραψε ότι η λογαριθµική σπείρα «µπορεί να χρησιµοποιηθεί ως σύµβολο, είτε της σθεναρότητας είτε της συνέχειας στην εναντιότητα, ή του ανθρώπινου σώµατος, το οποίο µετά από όλες τις αλλαγές, ακόµη και µετά τον θάνατο, θα επανέλθει στον ακριβή και τέλειο εαυτό». Έτσι ζήτησε να χαραχτεί στον τάφο του αυτό το σχήµα µαζί µε την επιγραφή: «Eadem mutato resurgo» (αν και αλλαγµένος, ανυψώνοµαι πάλι ίδιος). Υπάρχει ακόµα µια ιδιότητα στη λογαριθµική σπείρα. Αυξανόµενη µε συσσώρευση από το εσωτερικό της, η λογαριθµική σπείρα αναπτύσσεται, όσο αυξάνεται η απόσταση µεταξύ των «σπειρών» της, καθώς αποµακρύνεται από την πηγή, γνωστή ως πόλος. Πιο συγκεκριµένα, γυρίζοντας σε ίσες γωνίες αυξάνει την απόσταση από τον πόλο σε ίσους λόγους. Εάν µπορούσαµε, µε τη βοήθεια ενός µικροσκοπίου, να µεγεθύνουµε τις σπείρες που είναι αόρατες στο γυµνό µάτι στο µέγεθος του σχήµατος, θα ταίριαζαν απόλυτα στη µεγαλύτερη σπείρα. Η ιδιότητα αυτή την ξεχωρίζει από µια κοινή σπείρα,γνωστή ως Αρχιµήδεια σπείρα. Ονοµάστηκε έτσι από τον µεγάλο Έλληνα µαθηµατικό Αρχιµήδη, ο οποίος την περιέγραψε εκτεταµένα στο βιβλίο του «Περί Ελίκων». Σαν αποτέλεσµα ενός λάθους, το οποίο σίγουρα θα προκαλούσε θλίψη στον Ιάκωβο Μπερνουγί, ο τεχνίτης που κατασκεύασε την ταφόπλακά του, χάραξε πιθανότατα την Αρχιµήδεια σπείρα. Η φύση αγαπάει τις λογαριθµικές σπείρες. Από τους ηλίανθους, τα κοχύλια και τις δίνες, τους ανεµοστρόβιλους και τους τεράστιους σπειροειδείς γαλαξίες, διαπιστώνουµε ότι η Φύση επιλέγει αυτό το όµορφο σχήµα ως το αγαπηµένο της «στολίδι». Για το λόγο αυτό, οι χρυσές σπείρες περιέχονται ακόµα και στο ανθρώπινο σώµα. 11

Κανονικό πεντάγωνο και χρυσή τοµή Η χρυσή τοµή εµφανίζεται σε ένα πλήθος γεωµετρικών στοιχείων του κανονικού πενταγώνου. Θα αναφέρουµε µερικά από αυτά. 1) Ο λόγος µιας οποιασδήποτε διαγωνίου του πενταγώνου (ή αλλιώς βραχίονα του αντίστοιχου πεντάκτινου αστέρα) προς τη πλευρά του είναι ο χρυσός λόγος Φ. 2) Κάθε διαγώνιος του κανονικού πενταγώνου (δηλαδή κάθε βραχίονας του πεντάκτινου αστέρα) τέµνεται από µια άλλη (από ένα άλλο βραχίονα) στη θέση της χρυσής τοµής, δηλαδή κάθε διαγώνιος διαιρεί αυτή που τέµνει και διαιρείται από αυτή σε µέσο και άκρο λόγο. 3) Οι διαγώνιοι του κανονικού πενταγώνου τεµνόµενες γύρω από το κέντρο του πενταγράµµατος σχηµατίζουν ένα άλλο, µικρότερο, κανονικό πεντάγωνο οι διαγώνιοι του οποίου σχηµατίζουν ένα δεύτερο πεντάγραµµα κ.ο.κ. σε µια άπειρη ακολουθία κανονικών πενταγώνων και πενταγραµµάτων το ένα µέσα στο άλλο σα Ρώσικες κούκλες. Οι πλευρές όλων αυτών των πενταγώνων και οι βραχίονες των πενταγραµµάτων θα είναι διαρκώς σε µια ακολουθία χρυσής τοµής µε βάση το Φ. Στο σχήµα έχουµε ένα κανονικό πεντάγωνο πλευράς 1 και στο εσωτερικό του σχηµατίζεται ένα άλλο πεντάγωνο από τα σηµεία τοµής των διαγωνίων του. Το µήκος του µαύρου ευθύγραµµου τµήµατος είναι 1. Το µήκος του κόκκινου ευθύγραµµου τµήµατος a, είναι φ. Tο µήκος του κίτρινου ευθύγραµµου τµήµατος b, είναι 1/φ. Tο µήκος του πράσινου ευθύγραµµου τµήµατος c, είναι 1. Tο µήκος του µπλε ευθύγραµµου τµήµατος d, είναι (1/φ) 2 Επίσης µε φ είναι ίσοι οι λόγοι a/c, 1/b, c/b, b/d. 4) Οι ακτίνες του περιγεγραµµένου και του εγγεγραµµένου κύκλου στο κανονικό πεντάγωνο έχουν σχέση 2:Φ. 12

5) Μια διαγώνιος του πενταγώνου είναι ο γεωµετρικός µέσος του ύψους του πενταγώνου και της διαµέτρου του περιγεγραµµένου κύκλου του. ηλαδή d 2 = (BK) (ZH) όπου d το µήκος των διαγωνίων του, ΒΚ Ε και ΖΗ διάµετρος του κύκλου (Ο, ΟΑ). Χρυσά τρίγωνα Υπάρχουν δύο χρυσά τρίγωνα, και τα δύο ισοσκελή, ένα αµβλυγώνιο και ένα οξυγώνιο. Στο αµβλυγώνιο ο λόγος της βάσης προς την πλευρά είναι ίσος µε το λόγο της χρυσής τοµής, ενώ µε το οξυγώνιο συµβαίνει το αντίθετο. b/c = Φ c/d = Φ Πολύεδρα Τα Πλατωνικά στερεά είναι τα µόνα υπάρχοντα πολύεδρα στα οποία όλες οι έδρες (καθενός συγκεκριµένου στερεού) είναι κανονικά πολύγωνα και καθένα από αυτά τα στερεά µπορεί να περιγραφεί από µια σφαίρα (µε όλες τις κορυφές να ακουµπούν στη σφαίρα). Τα Πλατωνικά στερεά είναι το τετράεδρο (µε τέσσερις τριγωνικές έδρες), ο κύβος (µε έξι τετράγωνες έδρες), το οκτάεδρο (µε οκτώ τριγωνικές έδρες), το δωδεκάεδρο (µε δώδεκα πενταγωνικές έδρες), και το εικοσάεδρο (µε είκοσι τριγωνικές έδρες). 13

Ο Πλάτων συνδύασε τις ιδέες του Εµπεδοκλή (περ. 490-430 π.χ.), ότι τα τέσσερα βασικά στοιχεία της ύλης είναι η γη, το νερό, ο αέρας και το πυρ, µε την «ατοµική» θεωρία της ύλης (την ύπαρξη αδιαίρετων σωµατιδίων) του ηµοκρίτου από τα Άβδηρα (περ. 460 π.χ-περ. 370 π.χ). Η θεωρία του προτείνει ότι καθένα από τα τέσσερα στοιχεία αντιστοιχεί σε ένα διαφορετικό είδος βασικού σωµατιδίου και αναπαριστάται από ένα από τα Πλατωνικά στερεά. Η βασική ιδέα της θεωρίας του Πλάτωνα δεν είναι και πολύ αντίθετη από τη διατύπωση του Τζον Ντάλτον για τη σύγχρονη χηµεία τον δέκατο ένατο αιώνα. Σύµφωνα µε τον Πλάτωνα, η Γη σχετίζεται µε τον σταθερό κύβο, η «διεισδύουσα» ιδιότητα της φωτιάς µε το αιχµηρό και σχετικά απλό τετράεδρο, ο αέρας µε την «ευγενική» εµφάνιση του οκτάεδρου, και το νερό µε το πολυπρόσωπο εικοσάεδρο. Το πέµπτο στερεό, το δωδεκάεδρο αποδόθηκε από τον Πλάτωνα στο σύµπαν συνολικά, ή σύµφωνα µε τα λόγια του, το δωδεκάεδρο είναι εκείνο «που χρησιµοποίησε ο Θεός για να στολίσει τους αστερισµούς σε όλον τον ουρανό». Αυτός είναι ο λόγος που ο ζωγράφος Σαλβαδόρ Νταλί αποφάσισε να συµπεριλάβει ένα τεράστιο δωδεκάεδρο που επιπλέει πάνω από το τραπέζι του είπνου στον πίνακα «Η Θυσία του Μυστικού είπνου». Ο Αριστοτέλης, µαθητής του Πλάτωνα δεχόταν τον αιθέρα, το υλικό των ουράνιων σωµάτων, που θεώρησε ότι διαπερνάει ολόκληρο το σύµπαν, ως την κοσµική πέµπτη ουσία. Ο αιθήρ, εξασφάλιζε την κίνηση και την αλλαγή, σύµφωνα µε τους νόµους της Φύσης. Η ιδέα µιας ουσίας που διεισδύει σε όλον τον χώρο ως απαραίτητο µέσο για την προώθηση του φωτός συνέχισε να επικρατεί έως το 1887, όταν ένα διάσηµο πείραµα του Αµερικανού φυσικού Άλµπερτ Ίµπρααµ Μάικελσον και του χηµικού Έντουαρντ Γουίλιαµς Μόρλι έδειξε ότι αυτό το µέσο δεν υπάρχει (ούτε και απαιτείται σύµφωνα µε τη σύγχρονη θεωρία του φωτός). Ο Χρυσός Λόγος παίζει κρίσιµο ρόλο στις διαστάσεις και στις ιδιότητες συµµετρίας κάποιων Πλατωνικών στερεών. Πιο συγκεκριµένα, ένα δωδεκάεδρο µε µήκος ακµής µία µονάδα, έχει συνολικό εµβαδόν επιφάνειας και όγκο που δίνονται από τους παρακάτω τύπους: 14

Κανονικό δωδεκάεδρο Κανονικό εικοσάεδρο Παροµοίως, ένα εικοσάεδρο µε µήκος ακµής µία µονάδα, έχει όγκο που δίνεται από τον τύπο: Η συµµετρία των Πλατωνικών στερεών οδηγεί και σε άλλες ενδιαφέρουσες ιδιότητες. Για παράδειγµα, ο κύβος και το οκτάεδρο έχουν τον ίδιο αριθµό ακµών (δώδεκα), αλλά ο αριθµός των εδρών και των κορυφών τους αλλάζει (ο κύβος έχει έξι έδρες και οκτώ κορυφές, και το οκτάεδρο οκτώ έδρες και έξι κορυφές). Το ίδιο συµβαίνει και για το δωδεκάεδρο και για το εικοσάεδρο. Και τα δύο έχουν τριάντα ακµές, όµως το δωδεκάεδρο έχει δώδεκα έδρες και είκοσι κορυφές, ενώ ισχύει το αντίθετο για το εικοσάεδρο. Αυτές οι οµοιότητες στις συµµετρίες των Πλατωνικών στερεών επιτρέπουν ενδιαφέρουσες απεικονίσεις ενός στερεού µέσα στο δίδυµο ή συµπληρωµατικό στερεό του. Εάν συνδέσουµε τα κέντρα όλων των εδρών ενός κύβου, λαµβάνουµε ένα εικοσάεδρο, ενώ εάν συνδέσουµε τα κέντρα των εδρών ενός οκτάεδρου λαµβάνουµε ένα κύβο. Η ίδια διαδικασία µπορεί να εφαρµοστεί για την απεικόνιση ενός εικοσάεδρου µέσα σε ένα δωδεκάεδρο και αντιστρόφως, και ο λόγος του µήκους των ακµών τους (ενός εντεταγµένου στο άλλο) που λαµβάνονται, µπορούν πάλι να εκφραστούν σε όρους του Χρυσού Λόγου ως Το τετράεδρο είναι αυτοανταποκρινόµενο - ενώνοντας τα τέσσερα κέντρα των εδρών του τετράεδρου δηµιουργείται ένα άλλο τετράεδρο. 15

Ενώ στην Αρχαιότητα δεν ήταν γνωστές όλες οι ιδιότητες των Πλατωνικών στερεών, ο Πλάτων και οι µαθητές του δεν παρέλειψαν ν αντιληφθούν την καθαρή οµορφιά τους. Σε κάποια έκταση, ακόµη και οι αρχικές δυσκολίες στην κατασκευή αυτών των σχηµάτων θα µπορούσαν να θεωρηθούν µέρος των ιδιοτήτων τους. Τελικά, η τελευταία πρόταση στο «Ιππίας Μείζων» αναφέρει: «Όλα τα όµορφα είναι δύσκολα»! Παράδοξο εµβαδόν Ο Κέπλερ ανακάλυψε ότι ο λόγος των συνεχών αριθµών Φιµπονάτσι συγκλίνει στον Χρυσό Λόγο. Μάλιστα, ανακάλυψε επίσης µια άλλη ενδιαφέρουσα ιδιότητα των αριθµών Φιµπονάτσι: ότι το τετράγωνο κάθε όρου διαφέρει συνήθως κατά 1 από το γινόµενο των δύο γειτονικών όρων στην ακολουθία. Για παράδειγµα, καθώς η ακολουθία είναι: 1,1,2,3,5,8,13,21,34,.., εάν πάρουµε 3 2 =9, διαφέρει κατά 1 µε το γινόµενο των δύο όρων που είναι γειτονικοί του, δηλ. 2 5=10. Παροµοίως, 13 2 =169, που διαφέρει κατά 1 από το 8 21=168, και ούτω καθ εξής. Αυτή η συγκεκριµένη ιδιότητα των αριθµών Φιµπονάτσι αποτελεί τη βάση ενός περίεργου παράδοξου που παρουσιάστηκε για πρώτη φορά από τον µεγάλο δηµιουργό των µαθηµατικών γρίφων, τον Σαµ Λόιντ (Sam Loyd, 1841-1911). Το τετράγωνο και το ορθογώνιο παραλληλόγραµµο που φαίνονται παραπάνω, αποτελούνται από τέσσερα ίσα σχήµατα: δύο τραπέζια µε βάσεις 3 και 5 και ύψος 5 και δύο ορθογώνια τρίγωνα µε κάθετες πλευρές 3 και 8. Θα πρεπε λοιπόν κανονικά να έχουν το ίδιο εµβαδόν. Το τετράγωνο µε πλευρά 8 έχει εµβαδόν 8 2 =64, αλλά το ορθογώνιο µε βάση 13 και ύψος 5, έχει εµβαδόν 5 13=65! Οι παραπάνω αριθµοί (3,5,8,13) είναι όλοι αριθµοί Φιµπονάτσι και το τετράγωνο του 8 (δηλ. το 64) διαφέρει κατά µία µονάδα από το γινόµενο του προηγούµενου επί του επόµενού του (5 13=65). Η λύση του παράδοξου βρίσκεται στο γεγονός ότι τα κοµµάτια δεν ταιριάζουν ακριβώς στη µεγάλη διαγώνιο του ορθογωνίου - υπάρχει ένα στενό τµήµα (ένα µακρύ λεπτό παραλληλόγραµµο) µε εµβαδόν µιας τετραγωνικής µονάδας που είναι κρυµµένο κάτω από τη µακριά διαγώνιο. 16