α β Το ράφημα εισόου ίνεται ως ακολουθία ακμών: ε π.χ. (α,β), (β,), (α,ε), (β,η), (θ,ζ), (η,ε), (ζ,α), (,θ), (θ,β), (ε,ζ), (η,θ), (ζ,η) ζ η θ
Συνυαστική αναπαράσταση επίπεου ραφήματος Για κάθε κορυφή ίνουμε μια κυκλική ιάταξη των ειτονικών της ακμών, π.χ. εξιόστροφα (κατά τη φορά των εικτών του ρολοιού). α β α : (α,β), (α,ε), (α,ζ) ε β : (β,α), (β,), (β,θ), (β,η) : (,β), (,θ) ε : (ε,α), (ε,η), (ε,ζ) ζ η θ ζ : (ζ,α), (ζ,ε), (ζ,η) η : (η,ζ), (η,ε), (η,β), (η,θ) θ : (θ,η), (θ,β), (θ,), (θ,ζ)
Αλόριθμοι ελέχου επιπεότητας Μέθοος των Auslander και Parter (1961), και Goldstein (1963) Γραμμικός αλόριθμος των Hopcroft και Tarjan (1974) Μέθοος Lempel, Even και Cederbaum (1967) Μπορεί να υλοποιηθεί σε ραμμικό χρόνο με τη βοήθεια των παρακάτω αποτελεσμάτων : Γραμμικός αλόριθμος υπολοισμού ισυνεκτικών συνιστωσών [Tarjan 1972], ραμμικός αλόριθμος υπολοισμού st-αρίθμησης [Even και Tarjan 1975], PQ-ένρα [Booth και Lueker 1975]. Άλλοι αλόριθμοι ελέχου που βασίζονται στον LEC : Shih και Hsu (1993), Boyer και Myrvold (1999).
Θα εξετάσουμε τη μέθοο των Lempel, Even και Cederbaum (1967) Δίνει αλόριθμο ραμμικού χρόνου με τη βοήθεια των παρακάτω αποτελεσμάτων : Γραμμικός αλόριθμος υπολοισμού ισυνεκτικών συνιστωσών [Tarjan 1972]. Γραμμικός αλόριθμος υπολοισμού st-αρίθμησης [Even και Tarjan 1975]. PQ-ένρα [Booth και Lueker 1975].
Υποθέτουμε ότι μας ίνεται ένα ράφημα εισόου G με n κόμβους το οποίο έχει τις ακόλουθες ιιότητες : Είναι απλό (εν έχει βρόχους και παράλληλες ακμές). Έχει τουλάχιστον 5 κόμβους. Έχει το πολύ 3n-6 ακμές. Είναι συνεκτικό. Είναι ισυνεκτικό.
Υποθέτουμε ότι μας ίνεται ένα ράφημα εισόου G με n κόμβους το οποίο έχει τις ακόλουθες ιιότητες : Είναι απλό (εν έχει βρόχους και παράλληλες ακμές). Ένας βρόχος (v,v) μπορεί να σχειαστεί πολύ κοντά στον κόμβο v. Οι παράλληλες ακμές μπορούν να σχειαστούν πολύ κοντά μεταξύ τους.
Υποθέτουμε ότι μας ίνεται ένα ράφημα εισόου G με n κόμβους το οποίο έχει τις ακόλουθες ιιότητες : Έχει τουλάχιστον 5 κόμβους. Το πλήρες ράφημα με 4 κόμβους είναι επίπεο. 1 2 3 4
Υποθέτουμε ότι μας ίνεται ένα ράφημα εισόου G με n κόμβους το οποίο έχει τις ακόλουθες ιιότητες : Έχει το πολύ 3n-6 ακμές. Αν και εν υπάρχουν βρόχοι και παράλληλες ακμές τότε
Υποθέτουμε ότι μας ίνεται ένα ράφημα εισόου G με n κόμβους το οποίο έχει τις ακόλουθες ιιότητες : Είναι συνεκτικό. Κάθε συνεκτική συνιστώσα πρέπει να ορίζει επίπεο ράφημα.
Υποθέτουμε ότι μας ίνεται ένα ράφημα εισόου G με n κόμβους το οποίο έχει τις ακόλουθες ιιότητες : Είναι ισυνεκτικό. Ισχύει η ακόλουθη πρόταση : Έστω απλό ράφημα G. Το G είναι επίπεο εάν και μόνο εάν οι ισυνεκτικές του συνιστώσες είναι επίπεα ραφήματα.
Έστω απλό ράφημα G. Το G είναι επίπεο εάν και μόνο εάν οι ισυνεκτικές του συνιστώσες είναι επίπεα ραφήματα. Άρθρωση : κόμβος v του G, η ιαραφή του οποίου αποσυνέει το G, ηλαή το ράφημα G-v εν είναι συνεκτικό. Γέφυρα : ακμή e του G, η ιαραφή της οποίας αποσυνέει το G, ηλαή το ράφημα G-e εν είναι συνεκτικό. Δισυνεκτικό ράφημα : Γράφημα χωρίς αρθρώσεις. Δισυνεκτική συνιστώσα : Μείζον ισυνεκτικό υποράφημα.
Έστω απλό ράφημα G. Το G είναι επίπεο εάν και μόνο εάν οι ισυνεκτικές του συνιστώσες είναι επίπεα ραφήματα. ισυνεκτική συνιστώσα έφυρα άρθρωση
Έστω απλό ράφημα G. Το G είναι επίπεο εάν και μόνο εάν οι ισυνεκτικές του συνιστώσες είναι επίπεα ραφήματα. Απόειξη Αν το G είναι επίπεο τότε προφανώς και οι ισυνεκτικές του συνιστώσες είναι επίπεα ραφήματα. Αρκεί λοιπόν να αποείξουμε το αντίστροφο: Aν οι ισυνεκτικές συνιστώσες του G είναι επίπεα ραφήματα τότε και το G είναι επίπεο. Η απόειξη είναι με επαωή ως προς τον αριθμό α των αρθρώσεων του G. Βάση α=0 : Η πρόταση προφανώς ισχύει αφού το G είναι ισυνεκτικό. Επαωική Υπόθεση : Η πρόταση ισχύει ια κάθε ράφημα με α αρθρώσεις.
Έστω απλό ράφημα G. Το G είναι επίπεο εάν και μόνο εάν οι ισυνεκτικές του συνιστώσες είναι επίπεα ραφήματα. Απόειξη Επαωικό Βήμα : Υποθέτουμε ότι το G έχει α+1 αρθρώσεις. Έστω v μία άρθρωση του G. Το G-v έχει συνεκτικές συνιστώσες G 1, G 2,, G k. Κάθε συνεκτική συνιστώσα G i έχει το πολύ α αρθρώσεις. Συνεπάεται από την επαωική υπόθεση ότι κάθε G i είναι επίπεο ράφημα. Θεωρούμε ένα αυθαίρετο σχέιο του G i στο επίπεο. Επιλέουμε μια όψη που περιέχει τον κόμβο v και την κάνουμε εξωτερική (βλ. προηούμενη ιάλεξη). Με αυτόν τον τρόπο αποκτούμε σχέια των G 1, G 2,, G k όπου ο κόμβος v είναι στην εξωτερική όψη όλων των συνιστωσών.
Έστω απλό ράφημα G. Το G είναι επίπεο εάν και μόνο εάν οι ισυνεκτικές του συνιστώσες είναι επίπεα ραφήματα. Απόειξη β ε β ε β ζ ε v ζ v v ζ
Έστω απλό ράφημα G. Το G είναι επίπεο εάν και μόνο εάν οι ισυνεκτικές του συνιστώσες είναι επίπεα ραφήματα. Απόειξη Με αυτόν τον τρόπο αποκτούμε σχέια των G 1, G 2,, G k όπου ο κόμβος v είναι στην εξωτερική όψη όλων των συνιστωσών. Μπορούμε να συχωνεύσουμε όλα αυτά τα σχέια μέσω του v και να λάβουμε ένα σχέιο στο επίπεο του αρχικού ραφήματος G. G 2 G 1 Συνεπάεται ότι το G είναι επίπεο. G k
st-αρίθμηση Έστω ισυνεκτικό ράφημα G=(V,E) με n= V κόμβους και m= E ακμές και έστω ακμή (s,t) ϵ E. Μια st-αρίθμηση του G είναι μια αρίθμηση των κόμβων π : V {1,,n}, τέτοια ώστε π(s)=1, π(t)=n, και κάθε κόμβος v ϵ V-{s,t} έχει ένα ειτονικό κόμβο με μικρότερη αρίθμηση και ένα ειτονικό κόμβο με μεαλύτερη αρίθμηση, ηλαή υπάρχουν ακμές (u,v) ϵ E και (w,v) ϵ E τέτοιες ώστε π(u)<π(v)<π(w). t 6 2 5 4 s 1 3
st-αρίθμηση Έστω ισυνεκτικό ράφημα G=(V,E) με n= V κόμβους και m= E ακμές και έστω ακμή (s,t) ϵ E. Το G έχει st-αρίθμηση η οποία μπορεί να υπολοιστεί σε Ο(m+n)=Ο(m) χρόνο (m n). Θα αποείξουμε πρώτα την ύπαρξη μιας st-αρίθμησης χρησιμοποιώντας έναν απλό αλόριθμο. Στη συνέχεια θα ώσουμε ένα ραμμικό αλόριθμο με χρήση καθοικής ιερεύνησης.
st-αρίθμηση Έστω ισυνεκτικό ράφημα G=(V,E) με n= V κόμβους και m= E ακμές και έστω ακμή (s,t) ϵ E. Το G έχει st-αρίθμηση η οποία μπορεί να υπολοιστεί σε Ο(m+n)=Ο(m) χρόνο (m n). Η st-αρίθμηση ορίζει μια ραμμική ιάταξη των κόμβων, με πρώτο τον s και τελευταίο τον t. t 6 2 5 4 1 2 3 4 5 6 s 1 3
st-αρίθμηση Έστω ισυνεκτικό ράφημα G=(V,E) με n= V κόμβους και m= E ακμές και έστω ακμή (s,t) ϵ E. Το G έχει st-αρίθμηση η οποία μπορεί να υπολοιστεί σε Ο(m+n)=Ο(m) χρόνο (m n). Η st-αρίθμηση ορίζει μια ραμμική ιάταξη των κόμβων, με πρώτο τον s και τελευταίο τον t. s t Ιέα: Ξεκινάμε με μια ιάταξη που περιλαμβάνει μόνο τους s και t την οποία επεκτείνουμε σε μια ακολουθία βημάτων. Σε κάθε βήμα βρίσκουμε ένα μονοπάτι που συνέει ύο κόμβους που βρίσκονται ήη σε ιάταξη και τοποθετούμε στη ιάταξη τους κόμβους του μονοπατιού.
st-αρίθμηση Έστω ισυνεκτικό ράφημα G=(V,E) με n= V κόμβους και m= E ακμές και έστω ακμή (s,t) ϵ E. Το G έχει st-αρίθμηση η οποία μπορεί να υπολοιστεί σε Ο(m+n)=Ο(m) χρόνο (m n). s v u t s v w u t υποράφημα του G εκτός της τρέχουσας ιάταξης w Έστω ένας κόμβος v που ανήκει στην τρέχουσα ιάταξη αλλά έχει ειτονικό κόμβο w εκτός της ιάταξης. Βρίσκουμε ένα μονοπάτι P από το w προς κάποιο κόμβο u v που ανήκει στην τρέχουσα ιάταξη. (Το P υπάρχει ιατί το G-v είναι συνεκτικό.) Αν ο v προηείται του u στη ιάταξη τότε εισάουμε τους κόμβους του P αμέσως μετά τον v. Διαφορετικά εισάουμε τους κόμβους του P αμέσως πριν τον v.
Υπολοισμός μιας st-αρίθμησης σε Ο(m) χρόνο s α t β ε ζ α α s t α ε ζ ε s t s α β ε ζ t t ζ ε β ε s α β
Υπολοισμός μιας st-αρίθμησης σε Ο(m) χρόνο 2 s α β t s 1 t ε ζ Δένρο καθοικής ιερεύνησης T
Υπολοισμός μιας st-αρίθμησης σε Ο(m) χρόνο 2 s α β t s 3 1 t ε ζ Δένρο καθοικής ιερεύνησης T
Υπολοισμός μιας st-αρίθμησης σε Ο(m) χρόνο 2 s 4 α β t s 3 α 1 t ε ζ Δένρο καθοικής ιερεύνησης T
Υπολοισμός μιας st-αρίθμησης σε Ο(m) χρόνο 2 s 4 α β t s 3 α 1 t 5 ε ζ Δένρο καθοικής ιερεύνησης T
Υπολοισμός μιας st-αρίθμησης σε Ο(m) χρόνο 2 s 4 α β t s 3 α 1 t 5 ε 6 ε ζ Δένρο καθοικής ιερεύνησης T
Υπολοισμός μιας st-αρίθμησης σε Ο(m) χρόνο 2 s 4 α β t s 3 α 1 t 5 ε 6 ε 7 ζ Δένρο καθοικής ιερεύνησης T ζ
Υπολοισμός μιας st-αρίθμησης σε Ο(m) χρόνο 2 s 4 α β 8 t s 3 α 1 t 5 ε 6 ε 7 ζ ζ β Δένρο καθοικής ιερεύνησης T
Υπολοισμός μιας st-αρίθμησης σε Ο(m) χρόνο 2 s 4 α β 8 t s 3 α 1 t 5 ε 6 ενρική ακμή ανιούσα ακμή ε 7 ζ ζ β Δένρο καθοικής ιερεύνησης T
Υπολοισμός μιας st-αρίθμησης σε Ο(m) χρόνο Κατά την καθοική ιερεύνηση αποθηκεύουμε ύο αριθμούς ια κάθε κόμβο v : s(v) = σειρά (χρόνος) ανακάλυψης του v. L(v) = ελάχιστο s(u) τέτοιο ώστε υπάρχει ανιούσα ακμή (w,u) ια κάποιο απόονο w του v L(v)=s(v) αν εν υπάρχει τέτοιος απόονος w του v. p(v) = ονέας του v στο Τ. t 1 2 s 4 3 α s(α)=4, L(α)=1 5 s(ε)=6, L(ε)=4 ε 6 7 ζ β 8
Υπολοισμός μιας st-αρίθμησης σε Ο(m) χρόνο Κατά την καθοική ιερεύνηση αποθηκεύουμε ύο αριθμούς ια κάθε κόμβο v : s(v) = σειρά (χρόνος) ανακάλυψης του v. L(v) = ελάχιστο s(u) τέτοιο ώστε υπάρχει ανιούσα ακμή (w,u) ια κάποιο απόονο w του v L(v)=s(v) αν εν υπάρχει τέτοιος απόονος w του v. p(v) = ονέας του v στο Τ. Ιιότητα: Αν το G είναι ισυνεκτικό τότε L(v)<s(p(v)) ια κάθε κόμβο v τέτοιον ώστε s(p(v)) 1. Αν s(p(v))=1 τότε L(v)=s(p(v))=1.
Υπολοισμός μιας st-αρίθμησης σε Ο(m) χρόνο Μετά την ολοκλήρωση της καθοικής ιερεύνησης και τον υπολοισμό των p(v), s(v) και L(v), ο αλόριθμος χρησιμοποιεί μια βοηθητική ρουτίνα PathFinder η οποία ανακαλύπτει μονοπάτια και σημειώνει τους κόμβους και τις ακμές τους ως εξής: Αρχικά μόνο οι κόμβοι s,t και η ακμή (s,t) είναι σημειωμένοι. Η πρώτη κλήση PathFinder(s) βρίσκει ένα απλό μονοπάτι από τον s στον t που εν περιέχει την ακμή (s,t). Σημειώνει τους κόμβους και τις ακμές του μονοπατιού. Κάθε επόμενη κλήση PathFinder(v) βρίσκει ένα απλό μονοπάτι με νέες (=μη σημειωμένες) ακμές, από σημειωμένο κόμβο v σε σημειωμένο κόμβο w v. Σημειώνει τους κόμβους και τις ακμές του μονοπατιού.
Υπολοισμός μιας st-αρίθμησης σε Ο(m) χρόνο PathFinder(v) (1) αν υπάρχει νέα ανιούσα ακμή (v,w) με τον w πρόονο του v τότε σημείωσε την (v,w) επιστροφή μονοπατιού P = (v,w) (2) ιαφορετικά αν υπάρχει νέα ενρική ακμή (v,w) όπου v=p(w) τότε σημείωσε την (v,w) και αρχικοποίησε P = (v,w) ενόσω ο κόμβος w εν είναι σημειωμένος βρες (νέα) ακμή (w,x) με s(x)=l(w) ή L(x)=L(w) σημείωσε τον w και την (w,x) P = P (w,x) w = x v w w v x
Υπολοισμός μιας st-αρίθμησης σε Ο(m) χρόνο PathFinder(v) (3) ιαφορετικά αν υπάρχει νέα ανιούσα ακμή (v,w) με τον v πρόονο του w τότε σημείωσε την (v,w) και αρχικοποίησε P = (v,w) ενόσω ο κόμβος w εν είναι σημειωμένος βρες (νέα) ακμή (w,x) με x=p(w) σημείωσε τον w και την (w,x) P = P (w,x) w = x (4) ιαφορετικά P = v x w
Υπολοισμός μιας st-αρίθμησης σε Ο(m) χρόνο PathFinder(v) (3) ιαφορετικά αν υπάρχει νέα ανιούσα ακμή (v,w) με τον v πρόονο του w τότε (4) ιαφορετικά σημείωσε την (v,w) και αρχικοποίησε P = (v,w) ενόσω ο κόμβος w εν είναι σημειωμένος P = βρες (νέα) ακμή (w,x) με x=p(w) σημείωσε τον w και την (w,x) P = P (w,x) w = x Παρατήρηση: Στην περίπτωση (3) όλα τα παιιά του v είναι σημειωμένα. Επομένως, το P τερματίζει σε απόονο του w του v όπου w v. v x w
Υπολοισμός μιας st-αρίθμησης σε Ο(m) χρόνο Ο αλόριθμος υπολοίζει μια st-αρίθμηση χρησιμοποιώντας τη βοηθητική ρουτίνα PathFinder μαζί με μία στοίβα Σ: Η στοίβα Σ περιέχει σημειωμένους κόμβους. Αρχικά τοποθετούνται στην Σ οι κόμβοι t και s, με τον s στην κορυφή. Κάθε φορά ιαράφεται ο κόμβος v στην κορυφή της Σ και καλείται η PathFinder(v) η οποία επιστρέφει ένα μονοπάτι P. Αν P= τότε ο v λαμβάνει τον επόμενο ιαθέσιμο αριθμό και εν τοποθετείται ξανά στη στοίβα. Αν P = (v 1,v 2 ) (v 2,v 3 )... (v k-1,v k ), όπου v 1 =v, τότε οι κόμβοι v k-1, v k-2,, v 2 και v 1 τοποθετούνται στην κορυφή της στοίβας.
Υπολοισμός μιας st-αρίθμησης σε Ο(m) χρόνο stnumber σημείωσε τους κόμβους s,t και την ακμή (s,t) Σ.ώθηση(t), Σ.ώθηση(s), i=0 ενόσω η Σ εν είναι κενή v = Σ.απώθηση() P = (v 1,v 2 ) (v 2,v 3 )... (v k-1,v k ) = PathFinder(v) αν P τότε ια j=k-1 έως 1 Σ.ώθηση(v j ) ιαφορετικά αρίθμηση(v)=i+1
Υπολοισμός μιας st-αρίθμησης σε Ο(m) χρόνο t s α ε s t ζ β Σ
Υπολοισμός μιας st-αρίθμησης σε Ο(m) χρόνο t s α ε s t ζ β Σ P = (s,), (,t)
Υπολοισμός μιας st-αρίθμησης σε Ο(m) χρόνο t s α ε s α t ζ β Σ P = (s,α), (α,), (,t)
Υπολοισμός μιας st-αρίθμησης σε Ο(m) χρόνο t αρίθμηση(s)=1 s α ε α t ζ β Σ
Υπολοισμός μιας st-αρίθμησης σε Ο(m) χρόνο t αρίθμηση(s)=1 s α ε α ε t ζ β Σ P = (α,ε), (ε,)
Υπολοισμός μιας st-αρίθμησης σε Ο(m) χρόνο t αρίθμηση(s)=1 s α ε α β ε t ζ β Σ P = (α,β), (β,ε)
Υπολοισμός μιας st-αρίθμησης σε Ο(m) χρόνο t s αρίθμηση(s)=1 αρίθμηση(α)=2 α ε β ε t ζ β Σ
Υπολοισμός μιας st-αρίθμησης σε Ο(m) χρόνο t s αρίθμηση(s)=1 αρίθμηση(α)=2 αρίθμηση(β)=3 α ε ε t ζ β Σ
Υπολοισμός μιας st-αρίθμησης σε Ο(m) χρόνο t s αρίθμηση(s)=1 αρίθμηση(α)=2 αρίθμηση(β)=3 α ε ε ζ t ζ β Σ P = (ε,ζ), (ζ,)
Υπολοισμός μιας st-αρίθμησης σε Ο(m) χρόνο t s α ε ζ t αρίθμηση(s)=1 αρίθμηση(α)=2 αρίθμηση(β)=3 αρίθμηση(ε)=4 ζ β Σ
Υπολοισμός μιας st-αρίθμησης σε Ο(m) χρόνο t s α αρίθμηση(s)=1 αρίθμηση(α)=2 αρίθμηση(β)=3 αρίθμηση(ε)=4 αρίθμηση(ζ)=5 αρίθμηση()=6 αρίθμηση()=7 αρίθμηση(t)=8 ε ζ β Σ
Υπολοισμός μιας st-αρίθμησης σε Ο(m) χρόνο 1 s 2 α β 3 7 8 t 6 ε 4 5 ζ
Υπολοισμός μιας st-αρίθμησης σε Ο(m) χρόνο Ιιότητες: Από τη στιμή που ένας κόμβος v τοποθετείται στη στοίβα Σ, κανένας κόμβος που βρίσκεται κάτω από τον v στη Σ ε λαμβάνει αρίθμηση πριν τον v. Ένας κόμβος ιαράφεται μόνιμα από την Σ μόνο εφόσον όλες οι ακμές που προσπίπτουν σε αυτών έχουν σημειωθεί.
Υπολοισμός μιας st-αρίθμησης σε Ο(m) χρόνο Ιιότητες: Κάθε κόμβος u s,t τοποθετείται στην Σ προτού ιαραφεί ο t. Απόειξη Αφού το G είναι ισυνεκτικό, υπάρχει μονοπάτι s=w 1,...,w k =u το οποίο εν περιέχει τον t. Έστω w j ο κόμβος του μονοπατιού με μέιστο είκτη j που τοποθετείται στην Σ προτού ιαραφεί ο t. Θα είξουμε ότι η υπόθεση w j w k οηεί σε άτοπο. Τότε ο w j ιαράφεται μόνιμα πριν ιαραφεί ο t. Για να συμβεί αυτό πρέπει η ακμή (w j,w j+1 ) να σημειωθεί, ηλαή να τοποθετηθεί ο w j+1 στην Σ, το οποίο όμως αντιβαίνει τον ορισμό του w j.
Υπολοισμός μιας st-αρίθμησης σε Ο(m) χρόνο Ιιότητες: Ο αλόριθμος stnumber παράει έκυρη st-αρίθμηση. Απόειξη Από την προηούμενη ιιότητα προκύπτει ότι όλοι κόμβοι λαμβάνουν αρίθμηση και επιπλέον αρίθμηση(s)=1 και αρίθμηση(t)=n. Έστω αυθαίρετος κόμβος u s,t. Για να τοποθετηθεί ο u στην Σ ια πρώτη φορά, πρέπει μια κλήση PathFinder(v) να επιστρέψει ένα απλό μονοπάτι P που περιέχει τον u. Έστω x ό κόμβος που προηείται του u στο P και έστω y ό κόμβος που έπεται του u στο P. Τότε ο u τοποθετείται πάνω από τον y και κάτω από τον x στην Σ. Άρα θα έχουμε αρίθμηση(x)<αρίθμηση(u)<αρίθμηση(y).
PQ-ένρα Δομή εομένων που αναπαριστά τις μεταθέσεις ενός συνόλου U στις οποίες συκεκριμένα υποσύνολα του U εμφανίζονται ως συνεχόμενες υποακολουθίες. Παράειμα Έστω σύνολο U={α,β,,} και υποσύνολα S 1 ={α,β,}, S 2 ={α,}. Οι έκυρες μεταθέσεις του U είναι οι ακόλουθες: β,,α,,β,α,,α,β,,α,,β
PQ-ένρα Δομή εομένων που αναπαριστά τις μεταθέσεις ενός συνόλου U στις οποίες συκεκριμένα υποσύνολα του U εμφανίζονται ως συνεχόμενες υποακολουθίες. Παράειμα Έστω σύνολο U={α,β,,} και υποσύνολα S 1 ={α,β,}, S 2 ={α,}. Οι έκυρες μεταθέσεις του U είναι οι ακόλουθες: β,,α,,β,α,,α,β,,α,,β Αν είχαμε επιπλέον το υποσύνολο S 3 ={β,} τότε εν υπάρχει καμία έκυρη μετάθεση του U.
PQ-ένρα Ένα PQ-ένρο ια το σύνολο στοιχείων U είναι ένα ιατεταμένο ένρο όπου : Στα φύλλα του ένρου βρίσκονται στοιχεία του U. Οι εσωτερικοί κόμβοι ιακρίνονται σε ύο κατηορίες: στους P-κόμβους και στους Q-κόμβους.
PQ-ένρα Ένα PQ-ένρο ορίζεται αναρομικά ως εξής : 1. Ένα φύλλο v που περιέχει ένα στοιχείο του U είναι ένα PQ-ένρο με ρίζα v. 2. Έστω PQ-ένρα T 1, T 2,..., T k. Ένας P-κόμβος v με παιιά τα Τ i είναι ένα PQένρο με ρίζα v. Αναπαριστά όλες τις μεταθέσεις των T 1, T 2,..., T k.... T 1 T 2 T k 3. Έστω PQ-ένρα T 1, T 2,..., T k. Ένας Q-κόμβος v με παιιά τα Τ i είναι ένα PQένρο με ρίζα v. Αναπαριστά τη ιάταξη T 1, T 2,..., T k ή τη ιάταξη T k, T k-1,..., T 1. T 1 T 2... T k
PQ-ένρα Ένα PQ-ένρο είναι έκυρο όταν : Κάθε στοιχείο του U εμφανίζεται σε ακριβώς ένα φύλλο. Κάθε P-κόμβος έχει τουλάχιστον 2 παιιά. Κάθε Q-κόμβος έχει τουλάχιστον 3 παιιά.
PQ-ένρα Παράειμα Έστω σύνολο U={α,β,,} και υποσύνολα S 1 ={α,β,}, S 2 ={α,}. Οι έκυρες μεταθέσεις του U είναι οι ακόλουθες: β,,α,,β,α,,α,β,,α,,β α β PQ-ένρο
PQ-ένρα Παρατήρηση : Οι Q-κόμβοι είναι απαραίτητοι. Π.χ. οι μεταθέσεις του συνόλου U={α,β,} με υποσύνολα S 1 ={α,β} και S 2 ={β,} εν μπορούν να αναπαρασταθούν από ένρο με μόνο φύλλα και P-κόμβους.
PQ-ένρα Παρατήρηση : Οι Q-κόμβοι είναι απαραίτητοι. Π.χ. οι μεταθέσεις του συνόλου U={α,β,} με υποσύνολα S 1 ={α,β} και S 2 ={β,} εν μπορούν να αναπαρασταθούν από ένρο με μόνο φύλλα και P-κόμβους. Οι έκυρες μεταθέσεις του U είναι οι ακόλουθες: α,β,,β,α α β PQ-ένρο
PQ-ένρα Δύο PQ-ένρα είναι ισούναμα όταν το ένα μπορεί να μετατραπεί στο άλλο με χρήση 0 ή παραπάνω μετασχηματισμούς ισουναμίας. Τύποι μετασχηματισμών ισουναμίας : 1. Αυθαίρετη μετάθεση των παιιών ενός P-κόμβου. T 1 T 2 T 3 T 4 T 2 T 3 T 4 T 1 2. Αντιστροφή των παιιών ενός Q-κόμβου T 1 T 2 T 3 T 4 T 4 T 3 T 2 T 1
PQ-ένρα α β ε ζ η θ κ λ ι ισούναμο με β α θ η κ λ ι ε ζ
PQ-ένρα Δομή εομένων που αναπαριστά τις μεταθέσεις ενός συνόλου U στις οποίες συκεκριμένα υποσύνολα του U εμφανίζονται ως συνεχόμενες υποακολουθίες. Αλόριθμος Έστω U={a 1,a 2,...,a m } και έστω S={S 1, S 2,..., S n }. Ξεκινάμε με ένα αρχικό PQ-ένρο με ρίζα ένα P-κόμβο που έχει ως παιιά m φύλλα με τα στοιχεία του U. a 1 a 2... a m Επεξεραζόμαστε ένα-ένα τα υποσύνολα S j ϵ S. Για κάθε τέτοιο υποσύνολο S j τροποποιούμε κατάλληλα το PQ-ένρο ώστε τα στοιχεία του S j να εμφανίζονται συνεχόμενα. Η επεξερασία του PQ-ένρου ια το υποσύνολο S j ίνεται από κάτω προς τα πάνω και επηρεάζει τους κόμβους που είναι πρόονοι φύλλων που αντιστοιχούν στα στοιχεία του S j.
PQ-ένρα Παράειμα Έστω σύνολο U={α,β,,} και υποσύνολα S 1 ={α,β,}, S 2 ={α,}. α β αρχικό PQ-ένρο
PQ-ένρα Παράειμα Έστω σύνολο U={α,β,,} και υποσύνολα S 1 ={α,β,}, S 2 ={α,}. α β προσθήκη συνόλου S 1 α β αρχικό PQ-ένρο
PQ-ένρα Παράειμα Έστω σύνολο U={α,β,,} και υποσύνολα S 1 ={α,β,}, S 2 ={α,}. προσθήκη συνόλου S 2 α α β β α β
PQ-ένρα Η επεξερασία του PQ-ένρου ια το υποσύνολο S j ίνεται από κάτω προς τα πάνω και επηρεάζει τους κόμβους που είναι πρόονοι φύλλων που αντιστοιχούν στα στοιχεία του S j. Έστω U(v) το σύνολο των στοιχείων του U που είναι αποθηκευμένα στα φύλλα του υποένρου με ρίζα v. Ο κόμβος v είναι : Πλήρης (ια το S j ), όταν U(v) S j. Κενός (ια το S j ), όταν U(v) S j =. Μερικός (ια το S j ), όταν U(v) S j. Ένας πλήρης ή μερικός κόμβος v λέμε ότι είναι σχετικός (ια το S j ).
PQ-ένρα Σε κάθε κόμβο v που επεξεραζόμαστε εφαρμόζουμε ένα κατάλληλο μετασχηματισμό ανάλοα με την κατάσταση των παιιών του. Αν ο κόμβος v είναι πλήρης ή κενός τότε εν πραματοποιείται καμία αλλαή.
PQ-ένρα Σε κάθε κόμβο v που επεξεραζόμαστε εφαρμόζουμε ένα κατάλληλο μετασχηματισμό ανάλοα με την κατάσταση των παιιών του. Αν ο κόμβος v είναι μερικός P-κόμβος τότε ιακρίνουμε περιπτώσεις ανάλοα με το αν (1) ο v είναι ο κοντινότερος κοινός πρόονος όλων των σχετικών φύλλων και (2) αν έχει (1 ή 2) παιιά που είναι μερικά. v S j ={β,ι} α β ε ζ η θ κ λ ι
PQ-ένρα Σε κάθε κόμβο v που επεξεραζόμαστε εφαρμόζουμε ένα κατάλληλο μετασχηματισμό ανάλοα με την κατάσταση των παιιών του. Αν ο κόμβος v είναι μερικός P-κόμβος τότε ιακρίνουμε περιπτώσεις ανάλοα με το αν (1) ο v είναι ο κοντινότερος κοινός πρόονος όλων των σχετικών φύλλων και (2) αν έχει (1 ή 2) παιιά που είναι μερικά. Αν εν μπορεί να εφαρμοστεί κανένας μετασχηματισμός ια τον κόμβο v τότε εν υπάρχει μετάθεση του U που να ικανοποιεί τους περιορισμούς του S.
PQ-ένρα Σε κάθε κόμβο v που επεξεραζόμαστε εφαρμόζουμε ένα κατάλληλο μετασχηματισμό ανάλοα με την κατάσταση των παιιών του. α) Ο v είναι ο κοντινότερος κοινός πρόονος όλων των σχετικών φύλλων και εν έχει κανένα μερικό παιί.......... κενοί πλήρεις...
PQ-ένρα Σε κάθε κόμβο v που επεξεραζόμαστε εφαρμόζουμε ένα κατάλληλο μετασχηματισμό ανάλοα με την κατάσταση των παιιών του. β) Ο v εν είναι ο κοντινότερος κοινός πρόονος όλων των σχετικών φύλλων και εν έχει κανένα μερικό παιί....... κενοί πλήρεις......
PQ-ένρα Σε κάθε κόμβο v που επεξεραζόμαστε εφαρμόζουμε ένα κατάλληλο μετασχηματισμό ανάλοα με την κατάσταση των παιιών του. ) Ο v είναι ο κοντινότερος κοινός πρόονος όλων των σχετικών φύλλων και έχει ακριβώς ένα μερικό παιί.........................
PQ-ένρα Σε κάθε κόμβο v που επεξεραζόμαστε εφαρμόζουμε ένα κατάλληλο μετασχηματισμό ανάλοα με την κατάσταση των παιιών του. ) Ο v εν είναι ο κοντινότερος κοινός πρόονος όλων των σχετικών φύλλων και έχει ακριβώς ένα μερικό παιί.........................
PQ-ένρα Σε κάθε κόμβο v που επεξεραζόμαστε εφαρμόζουμε ένα κατάλληλο μετασχηματισμό ανάλοα με την κατάσταση των παιιών του. ε) Ο v είναι ο κοντινότερος κοινός πρόονος όλων των σχετικών φύλλων και έχει ακριβώς ύο μερικά παιιά.....................................
PQ-ένρα Σε κάθε κόμβο v που επεξεραζόμαστε εφαρμόζουμε ένα κατάλληλο μετασχηματισμό ανάλοα με την κατάσταση των παιιών του. Ανάλοοι μετασχηματισμοί ορίζονται και ια τους Q-κόμβους.
PQ-ένρα Σε κάθε κόμβο v που επεξεραζόμαστε εφαρμόζουμε ένα κατάλληλο μετασχηματισμό ανάλοα με την κατάσταση των παιιών του. ) Ο v έχει ακριβώς ένα μερικό παιί.........................
PQ-ένρα Σε κάθε κόμβο v που επεξεραζόμαστε εφαρμόζουμε ένα κατάλληλο μετασχηματισμό ανάλοα με την κατάσταση των παιιών του. ) Ο v είναι ο κοντινότερος κοινός πρόονος όλων των σχετικών φύλλων και έχει ακριβώς ύο μερικά παιιά...........................................
PQ-ένρα Παράειμα Έστω ότι προσθέτουμε τον περιορισμό (υποσύνολο) S={ε,ι,κ,λ} στο παρακάτω PQ-ένρο. α β ε ζ η θ κ λ ι
PQ-ένρα Παράειμα Έστω ότι προσθέτουμε τον περιορισμό (υποσύνολο) S={ε,ι,κ,λ} στο παρακάτω PQ-ένρο. α β ε (β) ζ η θ κ λ ι
PQ-ένρα Παράειμα Έστω ότι προσθέτουμε τον περιορισμό (υποσύνολο) S={ε,ι,κ,λ} στο παρακάτω PQ-ένρο. α β ε ζ η θ κ λ ι
PQ-ένρα Παράειμα Έστω ότι προσθέτουμε τον περιορισμό (υποσύνολο) S={ε,ι,κ,λ} στο παρακάτω PQ-ένρο. α β ζ ε ι κ λ η θ
PQ-ένρα Παράειμα Έστω ότι προσθέτουμε τον περιορισμό (υποσύνολο) S={ε,ι,κ,λ} στο παρακάτω PQ-ένρο. α β ζ ε ι κ λ η θ ( )
PQ-ένρα Παράειμα Έστω ότι προσθέτουμε τον περιορισμό (υποσύνολο) S={ε,ι,κ,λ} στο παρακάτω PQ-ένρο. α β ζ ε ι κ λ η θ
PQ-ένρα Η αποοτική υλοποίηση των μετασχηματισμών του PQ-ένρου απαιτεί προσοχή! Ένα PQ-ένρο μπορεί να υπολοίσει τις μεταθέσεις ενός συνόλου U με m στοιχεία έτσι ώστε να ικανοποιούνται οι περιορισμοί n υποσυνόλων S 1, S 2,..., S n σε συνολικό χρόνο
Γραμμικός αλόριθμος βασισμένος στην μέθοο Lempel, Even και Cederbaum Έστω G ένα απλό, ισυνεκτικό ράφημα με n 5 κόμβους και m 3n-6 ακμές. Υπολοίζουμε μια st-αρίθμηση του G. Επεξεραζόμαστε τους κόμβους του G σε αύξουσα st-αρίθμηση ως εξής : Έστω G i το υποράφημα του G που περιλαμβάνει τους κόμβους 1, 2,,i και τις μεταξύ τους ακμές. 6 t 4 5 2 s 1 3
Γραμμικός αλόριθμος βασισμένος στην μέθοο Lempel, Even και Cederbaum Έστω G ένα απλό, ισυνεκτικό ράφημα με n 5 κόμβους και m 3n-6 ακμές. Υπολοίζουμε μια st-αρίθμηση του G. Επεξεραζόμαστε τους κόμβους του G σε αύξουσα st-αρίθμηση ως εξής : Έστω G i το υποράφημα του G που περιλαμβάνει τους κόμβους 1, 2,,i και τις μεταξύ τους ακμές. 6 t 4 5 2 s 1 G 3 3
Γραμμικός αλόριθμος βασισμένος στην μέθοο Lempel, Even και Cederbaum Έστω G ένα απλό, ισυνεκτικό ράφημα με n 5 κόμβους και m 3n-6 ακμές. Υπολοίζουμε μια st-αρίθμηση του G. Επεξεραζόμαστε τους κόμβους του G σε αύξουσα st-αρίθμηση ως εξής : Έστω G i το υποράφημα του G που περιλαμβάνει τους κόμβους 1, 2,,i και τις μεταξύ τους ακμές. Για i=2,,n-1, έχουμε μια (έμμεση) αναπαράσταση του G i στο επίπεο την οποία επεκτείνουμε με την προσθήκη του κόμβου i+1.
Γραμμικός αλόριθμος βασισμένος στην μέθοο Lempel, Even και Cederbaum Θεωρούμε ένα σχέιο του G στο επίπεο όπου η ακμή (1,n) βρίσκεται στην εξωτερική όψη. n Στο αντίστοιχο σχέιο του G i, ο κόμβος n βρίσκεται στην εξωτερική όψη. G i
Γραμμικός αλόριθμος βασισμένος στην μέθοο Lempel, Even και Cederbaum Θεωρούμε ένα σχέιο του G στο επίπεο όπου η ακμή (1,n) βρίσκεται στην εξωτερική όψη. Στο αντίστοιχο σχέιο του G i, ο κόμβος n βρίσκεται στην εξωτερική όψη. G i j n Επιπλέον, ια κάθε κόμβο j>i, υπάρχει μονοπάτι από τον j στον n το οποίο εν περιέχει κόμβους του G i (συνεπάεται από την st-αρίθμηση). Άρα όλοι οι κόμβοι j>i πρέπει να βρίσκονται στην εξωτερική όψη του G i.
Γραμμικός αλόριθμος βασισμένος στην μέθοο Lempel, Even και Cederbaum Αρκεί να ελέξουμε αν το G i μπορεί να σχειαστεί έτσι ώστε οι κόμβοι i+1,,n να βρίσκονται στην εξωτερική του όψη. Ορίζουμε ένα βοηθητικό ράφημα B i το οποίο προκύπτει από το G i με την προσθήκη κόμβων και ακμών ως εξής: Για κάθε ακμή (k,j) του G με k i και j>i προσθέτουμε ένα νέο αντίραφο του κόμβου j μαζί με την ακμή (k,j). 6 t 4 5 5 5 4 2 2 6 3 3 s 1 G 3 1 B 3
Γραμμικός αλόριθμος βασισμένος στην μέθοο Lempel, Even και Cederbaum Αρκεί να ελέξουμε αν το G i μπορεί να σχειαστεί έτσι ώστε οι κόμβοι i+1,,n να βρίσκονται στην εξωτερική του όψη. Ορίζουμε ένα βοηθητικό ράφημα B i το οποίο προκύπτει από το G i με την προσθήκη κόμβων και ακμών ως εξής: Για κάθε ακμή (k,j) του G με k i και j>i προσθέτουμε ένα νέο αντίραφο του κόμβου j μαζί με την ακμή (k,j). Τώρα πρέπει να ελέξουμε αν οι νέοι κόμβοι μπορούν να τοποθετηθούν στην εξωτερική όψη : Για το B 1 προφανώς ισχύει. i Έστω ότι ισχύει ια το B i-1. Αρκεί να εξετάσουμε αν υπάρχει αναπαράσταση του B i i όπου οι νέοι ειτονικοί κόμβοι του i μπορούν να τοποθετηθούν σε συνεχόμενες θέσεις.
Γραμμικός αλόριθμος βασισμένος στην μέθοο Lempel, Even και Cederbaum Οι έκυρες αναπαραστάσεις κάθε B i μπορούν να ιατηρηθούν με ένα PQ-ένρο, όπου U=υποσύνολο των ακμών του B i. Παράειμα 5 4 3 1 2
Γραμμικός αλόριθμος βασισμένος στην μέθοο Lempel, Even και Cederbaum Οι έκυρες αναπαραστάσεις κάθε B i μπορούν να ιατηρηθούν με ένα PQ-ένρο, όπου U=υποσύνολο των ακμών του B i. Παράειμα 5 3 (1,2) (1,3) (1,5) 1 B 1 2 Εισάουμε P-κόμβο ια τις ακμές (1,j) με j>1.
Γραμμικός αλόριθμος βασισμένος στην μέθοο Lempel, Even και Cederbaum Οι έκυρες αναπαραστάσεις κάθε B i μπορούν να ιατηρηθούν με ένα PQ-ένρο, όπου U=υποσύνολο των ακμών του B i. Παράειμα 5 3 (1,2) (1,3) (1,5) 1 2 Ομαοποιούμε τις ακμές που προσπίπτουν στον 2. Υπάρχει μόνο η (1,2) οπότε εν αλλάζει κάτι.
Γραμμικός αλόριθμος βασισμένος στην μέθοο Lempel, Even και Cederbaum Οι έκυρες αναπαραστάσεις κάθε B i μπορούν να ιατηρηθούν με ένα PQ-ένρο, όπου U=υποσύνολο των ακμών του B i. Παράειμα 5 4 3 3 5 (1,3) (1,5) 1 2 (2,3) (2,4) (2,5) B 2 Εισάουμε στη θέση της ακμής (1,2) ένα P-κόμβο ια τις ακμές (2,j) με j>2.
Γραμμικός αλόριθμος βασισμένος στην μέθοο Lempel, Even και Cederbaum Οι έκυρες αναπαραστάσεις κάθε B i μπορούν να ιατηρηθούν με ένα PQ-ένρο, όπου U=υποσύνολο των ακμών του B i. Παράειμα 5 4 3 5 (1,3) (1,5) 1 2 (2,3) (2,4) (2,5) Ομαοποιούμε τις ακμές που προσπίπτουν στον 3.
Γραμμικός αλόριθμος βασισμένος στην μέθοο Lempel, Even και Cederbaum Οι έκυρες αναπαραστάσεις κάθε B i μπορούν να ιατηρηθούν με ένα PQ-ένρο, όπου U=υποσύνολο των ακμών του B i. Παράειμα 5 4 3 5 (1,5) (2,3) (1,3) 1 2 (2,4) (2,5) Ομαοποιούμε τις ακμές που προσπίπτουν στον 3.
Γραμμικός αλόριθμος βασισμένος στην μέθοο Lempel, Even και Cederbaum Οι έκυρες αναπαραστάσεις κάθε B i μπορούν να ιατηρηθούν με ένα PQ-ένρο, όπου U=υποσύνολο των ακμών του B i. Παράειμα 5 4 5 4 3 5 (1,5) (2,3) (1,3) 1 2 (2,4) (2,5) B 3
Γραμμικός αλόριθμος βασισμένος στην μέθοο Lempel, Even και Cederbaum Οι έκυρες αναπαραστάσεις κάθε B i μπορούν να ιατηρηθούν με ένα PQ-ένρο, όπου U=υποσύνολο των ακμών του B i. Παράειμα 5 4 5 4 3 5 (1,5) 1 2 (2,4) (2,5) (3,4) (3,5) B 3 Εισάουμε στη θέση των ακμών(1,3) και (2,3) ένα P-κόμβο ια τις ακμές (3,j) με j>3.
Γραμμικός αλόριθμος βασισμένος στην μέθοο Lempel, Even και Cederbaum Οι έκυρες αναπαραστάσεις κάθε B i μπορούν να ιατηρηθούν με ένα PQ-ένρο, όπου U=υποσύνολο των ακμών του B i. Παράειμα 5 5 3 4 5 (1,5) 1 2 (2,4) (2,5) (3,4) (3,5) Ομαοποιούμε τις ακμές που προσπίπτουν στον 4.
Γραμμικός αλόριθμος βασισμένος στην μέθοο Lempel, Even και Cederbaum Οι έκυρες αναπαραστάσεις κάθε B i μπορούν να ιατηρηθούν με ένα PQ-ένρο, όπου U=υποσύνολο των ακμών του B i. Παράειμα 5 5 3 4 5 (1,5) (2,5) (2,4) (3,4) (3,5) 1 2
Γραμμικός αλόριθμος βασισμένος στην μέθοο Lempel, Even και Cederbaum Οι έκυρες αναπαραστάσεις κάθε B i μπορούν να ιατηρηθούν με ένα PQ-ένρο, όπου U=υποσύνολο των ακμών του B i. Παράειμα 5 5 5 3 4 5 (1,5) 1 B 4 2 (2,5) (4,5) (3,5) Εισάουμε στη θέση των ακμών(3,4) και (3,5) ένα φύλλο ια την ακμή (4,5).
Γραμμικός αλόριθμος βασισμένος στην μέθοο Lempel, Even και Cederbaum Οι έκυρες αναπαραστάσεις κάθε B i μπορούν να ιατηρηθούν με ένα PQ-ένρο, όπου U=υποσύνολο των ακμών του B i. Παράειμα 5 3 (1,5) (2,5) (4,5) (3,5) 1 2 Ομαοποιούμε τις ακμές που προσπίπτουν στον 5. Είναι ήη σε συνεχόμενη ιάταξη.