Θεωρι α Γραφημα των 0η Δια λεξη Α. Συμβω νης Ε Μ Π Σ Ε Μ Φ Ε Τ Μ Φεβρουα ριος 05 Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 0η Δια λεξη Φεβρουα ριος 05 99 / 0
Χρωματισμο ς Ακμω ν k-χρωματισμός ακμών: Η ανα θεση χρωμα των απο το χρωματικο συ νολο,..., k στις ακμε ς ενο ς γραφη ματος G νόμιμος χρωματισμός ακμών: Ένας χρωματισμο ς στον οποι ο κα θε ζευ γος γειτονικω ν ακμω ν χρωματι ζεται με διαφορετικα χρω ματα x u 3 v y 4 3 w νο μιμος χρωματισμο ς ακμω ν x u 4 v 3 y 4 w 4-χρωματισμο ς ακμω ν k-χρωματισμός ακμών (εναλλακτικός ορισμός): Μια διαμε ριση {E, E,..., E k } των ακμω ν E(G) ενο ς γραφη ματος G νόμιμος k-χρωματισμός ακμών: Ένας k-χρωματισμο ς ακμω ν {E, E,..., E k } ο που κα θε υποσυ νολο ακμω ν E i, i k ει ναι ε να ται ριασμα στο γρα φημα G. Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 0η Δια λεξη Φεβρουα ριος 05 00 / 0
Ένα γρα φημα G ονομα ζεται k-χρωματίσιμο ως προς τις ακμές, ανν ε χει ε ναν νο μιμο k-χρωματισμο ακμω ν χρωματικός δείκτης χ (G): Έστω γρα φημα G χωρι ς βρο γχους. Ο χρωματικός δείκτης χ (G) ει ναι ο ελα χιστος ακε ραιος k τε τοιος ω στε το G ει ναι νο μιμα k-χρωματι σιμο ως προς τις ακμε ς Σημείωση: Για κα θε γρα φημα G χωρι ς βρο γχους ισχυ ει χ (G) (G) Σημείωση: Έστω γρα φημα G το οποι ο ει ναι α ρτιος κυ κλος. Το τε, χ (G) = Έστω γρα φημα G, ε στω ε νας k-χρωματισμο ς C = {E, E,..., E k } του G και ε στω μια κορυφη u V(G). Λε με ο τι το χρώμα i εκπροσωπείται στην κορυφή u αν υπα ρχει μια ακμη e E i η οποι α προσπι πτει στην κορυφη u C(u): ο αριθμο ς των χρωμα των που εκπτοσωπου νται στην κορυφη u[στον δοθε ντα χρωματισμο ] Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 0η Δια λεξη Φεβρουα ριος 05 0 / 0
Λήμμα 0.: Έστω συνεκτικο γρα φημα G χωρι ς βρο γχους το οποι ο δεν ει ναι περιττο ς κυ κλος. Το τε το G ε χει ε ναν -χρωματισμο ακμω ν στον οποι ο και τα χρω ματα εκπροσωπου νται σε κα θε κορυφη βαθμου Απόδειξη : Περίπτωση : Το γρα φημα ε χει κυ κλο Euler Αν το G ει ναι ε νας α ρτιος κυ κλος, ε νας νο μιμος -χρωματισμο ς του G ε χει την ιδιο τητα Διαφορετικα (Το G δεν ει ναι περιττο ς κυ κλος) το G ε χει τουλα χιστοςν μια κορυφη α ρτιου βαθμου 4, ε στω την u Έστω P = ue v e... e mu ε να μονοπα τι Euler του G ο που m = E(G) Κα θε κορυφη v V(G) εμφανι ζεται ως εσωτερικη στο μονοπα τι Euler P. Αυτο ισχυ ει γιατι για κα θε κορυφη ε χουμε ο τι d(v) v V(G) και d(u) 4 Ο -χρωματισμο ς C = {E, E } ο που E = {e i i περιττο ς} και E = {e i i α ρτιος} ε χει τη ζητου μενη ιδιο τητα Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 0η Δια λεξη Φεβρουα ριος 05 0 / 0
Περίπτωση : Το γρα φημα G δεν ε χει κυ κλο Euler Κατασκευα ζω με βα ση το G γρα φημα G : Προσθε τω νε α κορυφη u Ενω νω την u με τις κορυφε ς περιττου βαθμου του G G G 5 6 7 8 9 u G u E 3 4 0 E Κα θε κορυφη του G ε χει α ρτιο βαθμο Ορι ζουμε τον χρωματισμο C G = {E, E } του G ο πως στην περι πτωση- Ορι ζουμε τον χρωματισμο C G = {E E(G), E E(G)} Ο C G ε χει την ζητου μενη ιδιο τητα c(u): c(u) d(u) Έστω γρα φημα G, χρωματισμο ς C του G και κορυφη u V(G). Με c(u) συμβολι ζουμε τον αριθμο χρωμα των του C που εκπροσωπου νται στην u Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 0η Δια λεξη Φεβρουα ριος 05 03 / 0
Λήμμα 0.: Έστω χρωματισμο ς ακμω ν C ενο ς γραφη ματος G. Ο C ει ναι ε νας νο μιμος χρωματισμο ς του G ανν c(u) = d(u) για κα θε κορυφη u του G βελτιωμένος χρωματισμός ακμών: Έστω δυ ο k-χρωματισμοι ακμω ν, C και C ενο ς γραφη ματος G. Λε με ο τι ο C ει ναι ε νας βελτιωμένος χρωματισμός ακμών ως προς τον C εα ν c (u) > c(u) u V(G) u V(G) ο που c (u) ει ναι ο αριθμο ς των χρωμα των που εκπροσωπου νται στην κορυφη u στην χρωματισμο C Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 0η Δια λεξη Φεβρουα ριος 05 04 / 0
βέλτιστος k-χρωματισμός ακμών: Ένας k-χρωματισμο ς ακμω ν που δεν μπορει να βελτιωθει 3 3 3 3 c(u) = 0 c(u) = βε λτιστος -χρωματισμο ς ακμω ν }{{} 3-χρωματισμο ς ακμω ν Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 0η Δια λεξη Φεβρουα ριος 05 05 / 0
Λήμμα 0.3: Έστω C = {E, d..., E k } ε νας βε λτιστος k-χρωματισμο ς ακμω ν του G. Εα ν υπα ρχει μια κορυφη u του G και χρω ματα i, j τε τοια ω στε το i να μην εκπροσωπει ται στην u και το j να εκπροσωπει ται τουλα χιστον φορε ς στην u, το τε η συνιστω σα του G [ E i E j ] που περιε χει την u ει ναι περιττο ς κυ κλος Απόδειξη [Με άτοπο]: Έστω u μια κορυφη και i, j χρω ματα που ικανοποιου ν την υπο θεση Έστω ο τι η συνιστω σα H του G [ E i E j ] που περιε χει την u δεν ει ναι περιττο ς κυ κλος Απο το Λη μμα 0., η H ε χει ε ναν -χρωματισμο ακμω ν C ο που και τα χρω ματα εκπροσωπου νται σε κα θε κορυφη βαθμου της H Θεωρου με ο τι τα δυ ο χρω ματα του C ει ναι τα i και j Τροποποιου με το χρωματισμο C ε τσι ω στε οι ακμε ς της H να χρωματιστου ν συ μφωνα με τον C Έστω C = { E, E,..., E k} ο νε ος k-χρωματισμο ς ακμω ν του G c (v): ο αριθμο ς χρωμα των που εκπροσωπου νται στην κορυφη v, v V(G), στο C c (u)= c(u) + και c (v) c(v) u v c (v) > c(v) άτοπο γιατι υποθε σαμε ο τι C βε λτιστο v V(G) v V(G) Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 0η Δια λεξη Φεβρουα ριος 05 06 / 0
Θεώρημα 0.4[Koning]: Έστω ε να διμερε ς γρα φημα G. Το τε χ (G) = (G) Απόδειξη : Έστω G ε να διμερε ς γρα φημα με χ (G) > (G) Έστω C = { E, E,..., E (G) } ε νας βε λτιστος χρωματισμο ς ακμω ν του G Έστω κορυφη u: c(u) < d(u) [η κορυφη u πα ντα υπα ρχει. Εα ν για κα θε κορυφη u ι σχυε ο τι c(u) = d(u) το τε θα ει χαμε ε ναν νο μιμο (G)-χρωματισμο ακμω ν [Λη μμα 0.]] Η u ικανοποιει την υπο θεση του Λη μματος 0.3 Άρα το G περιε χει ε ναν περιττο κυ κλο Το G δεν ει ναι διμερε ς. άτοπο Θεώρημα 0.5[Vizing-964,Gupta-966]: Έστω απλο γρα φημα G. Το τε χ (G) = (G) η χ (G) = (G) + Απόδειξη [Fournier-973]: Έστω γρα φημα G. Αρκει να δει ξουμε ο τι χ (G) (G) + Έστω ο τι χ (G) > (G) + [για } να καταλη ξουμε σε α τοπο] Έστω C = {E, E,..., E (G)+ ε νας βε λτιστος ( (G) + )-χρωματισμο ς ακμω ν Έστω u κορυφη : c(u) < d(u) [πα ντα υπα ρχει!! γιατι?] Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 0η Δια λεξη Φεβρουα ριος 05 07 / 0
Υπα ρχουν χρω ματα i 0 και i : το i 0 δεν εκπροσωπει ται στην u ενω το i εκπροσωπει ται τουλα χιστον φορε ς Έστω ο τι οι ακμε ς uv και uv ε χουν χρω μα i d(v ) < (G) + Υπα ρχει χρω μα, ε στω i που δεν εκπροσωπει ται στην v Το χρω μα i εκπροσωπει ται στην u Έστω ο τι η ακμη uv ε χει χρω μα i Συνεχι ζοντας με ο μοιο τρο πο κατασκευα ζουμε ακολουθι α κορυφω ν v, v,... και ακολουθι α χρωμα των i, i,... τε τοια ω στε: v k i k v k i k uv j ε χει χρω μα i j i l v l το χρω μα i j+ δεν εκπροσωπει ται στην v j Λο γω του ο τι ο βαθμο ς της u ει ναι πεπερασμε νος, υπα ρχει μικρο τερος ακε ραιος l: για κα ποιο k < l ισχυ ει i l+ = i k v i i v v i k = i l+ i v l+ Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 0η Δια λεξη Φεβρουα ριος 05 08 / 0
Επαναχρωματι ζουμε το G: Η ακμη uv j χρωματι ζεται με i j+, i k { } Έστω C = E, E,..., E (G)+ ο νε ος χρωματισμο ς c (v) c(v) v V(G) Το C ει ναι βε λτιστος ( (G) + )-χρωματισμο ς ακμω ν του G i 0 v k i 0 v k i k i k u i l v l v i 3 i i v v Η συνιστω σα H του G [ E i 0 E i k ] που περιε χει την u ει ναι περιττο ς κυ κλος [Λη μμα 0.3] Συνεχι ζοντας, επαναχρωματι ζουμε το G: Η ακμη uv j με χρω μα i j+, l Η ακμη uv l με { χρω μα i k } Έστω C = E, E,..., E (G)+ ο νε ος χρωματισμο ς c (v) c(v) v V(G) Το C ει ναι βε λτιστος ( (G) + )-χρωματισμο ς ακμω ν του G Η συνιστω σα H του G [ E i 0, E i k ] που περιε χει την u ει ναι περιττο ς κυ κλος i 0 v k i 0 v k i i k+ u i k v l v i 3 i v v i Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 0η Δια λεξη Φεβρουα ριος 05 09 / 0
Λο γω του ο τι η v k ε χει βαθμο στην H, η v k ε χει βαθμο στην H Άρα, η H δεν ει ναι περιττο ς κυ κλος. άτοπο πολλαπλότητα γραφήματος µ(g): Ο με γιστος αριθμο ς ακμω ν που ενω νει κορυφε ς του G. Συμβολι ζεται με µ(g) Ο Vizing απε δειξε το παρακα τω, πιο γενικο θεω ρημα: Θεώρημα 0.6[Vizing-964]: Έστω γρα φημα G χωρι ς βρο γχους. Το τε, (G) χ (G) (G) + µ(g) Παρα δειγμα: µ µ (G) = µ µ(g) = µ χ (G) = 3µ = (G) + µ(g) µ Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 0η Δια λεξη Φεβρουα ριος 05 0 / 0