Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου ( ) ( ) ( ) α β, παραγωγίσιμη στο ( ) β με. β α β α. f β f α. g ( ξ ) = 0, δηλαδή

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου ( ) ( ) ( ) α β, παραγωγίσιμη στο ( ) β με. β α β α. f β f α. g ( ξ ) = 0, δηλαδή"

Transcript

1 Κεφάλαιο: ιαφορικός Λογισμός Το θεώρημα μέσης τιμής αποτελεί γενίκευση του θεωρήματος Rolle Λόγω όμως των πολλών και σημαντικών εφαρμογών του θεωρείται ένα από τα πλέον θεμελιώδη θεωρήματα της ανάλυσης ΘΕΩΡΗΜΑ Αν για τη συνάρτηση f ισχύουν οι ακόλουθες προϋποθέσεις : Η f είναι συνεχής στο [ α, β ] Η f είναι παραγωγίσιμη στο ( α, β ) Τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ ( αβ, ) ( ξ ) f = f ( β ) f ( α ) Θεωρούμε την συνάρτηση είναι συνεχής στο [, ] και ισχύει, τέτοιο ώστε: ή f ( β ) f ( α) ( β α) f ( ξ) β α = Απόδειξη g x = f x f ( β) f ( α) ( x α ), η οποία β α α, β με f ( β ) f ( α ) g ( x) = f ( x) β α α β, παραγωγίσιμη στο g( α ) = f ( α) = g( β) Επομένως, σύμφωνα με το θεώρημα Rolle υπάρχει ξ ( αβ, ) g ( ξ ) =, δηλαδή f β f α f = ή f f β f α ξ ξ = β α β α τέτοιο ώστε 5 Μουρατίδης Χρ Τζουβάλης Αθ

2 Γεωμετρική ερμηνεία του θεωρήματος Μέσης Τιμής Γεωμετρικά, το θεώρημα της μέσης τιμής σημαίνει ότι αν ισχύουν για τη συνάρτηση f οι παραπάνω προϋποθέσεις, τότε υπάρχει κάποιο ξ ( αβ, ), τέτοιο ώστε η εφαπτόμενη της C f στο σημείο ( ξ, f ( ξ )) να A α, f α και είναι παράλληλη στην ευθεία που ορίζεται από τα σημεία B β, f ( β ) y α x y f ( β ) f ( α ) α εν είναι παραγωγίσιμη η f στο ( α, β ) Μ ( ξ, f ( ξ )) Η ευθεία ΑΒ έχει συντελεστή διεύθυνσης f ( β ) f ( α ) λ = β α β x y α β x x Παρατηρήσεις Αν κάποια από της προϋποθέσεις του θεωρήματος μέσης τιμής δεν ι- σχύει, τότε το θεώρημα δεν εφαρμόζεται εν είναι συνεχής η f στο [ α, β ] β x Το αντίστροφο του θεωρήματος δεν ισχύει ηλαδή μπορεί να μην ισχύουν οι προϋποθέσεις του θεωρήματος αλλά να υπάρχει εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f παράλληλη στην ΑΒ y α x ξ ξ β x 6

3 3 Αν η f παραγωγίσιμη στο [ α, β ] τότε θα είναι και συνεχής στο [ α, β ] άρα το θεώρημα πάλι εφαρμόζεται Λυμένα παραδείγματα Μέθοδος (Προσδιορισμός Παραμέτρων ώστε να ισχύει το ΘΜΤ) Απαιτούμε η f συνεχής στο [ α, β ] Απαιτούμε η f να είναι παραγωγίσιμη στο ( α, β ) ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ ίνεται η συνάρτηση: αx+ β x f ( x) = ln x x> Να βρείτε τα α, β ώστε να ισχύει το θεώρημα της μέσης τιμής για την f στο [, ] Η συνάρτηση f έχει πεδίο ορισμού το A = Η f είναι συνεχής στο [, ) και στο (, ] και για να είναι συνεχής στο [, ] πρέπει να είναι συνεχής και στο x =, δηλαδή πρέπει να ισχύει η σχέση: lim f ( x) = lim = f ( ) () Είναι: x + x + x + x lim f x = lim ln x = lim lim ( x ) x x f ( ) = α + β = α + β = α + β Άρα η () γίνεται : α + β = () Η f είναι παραγωγίσιμη στο (, ) και στο (, ) και για να είναι παραγωγίσιμη και στο (, ) πρέπει να είναι παραγωγίσιμη και στο x =, δηλαδή πρέπει να ισχύει η σχέση : 7 Μουρατίδης Χρ Τζουβάλης Αθ

4 ( ) ( ) f x f f x f lim = lim (3) Είναι: x + x x x f ( x) f ( ) lnx ( α+ β) ln x ( lnx) lim = lim = lim = lim = lim = x + x x + x x + x x + x x + x ( ) αx + β α β α ( ) f x f x lim = lim = lim = α x x x x x x Άρα η (3) γίνεται : α = Με α = από την () έπεται ότι β = Επομένως, μεα = και β = εφαρμόζεται το θεώρημα της μέσης τιμής στη συνάρτηση f στο διάστημα [, ] Ασκήσεις Να βρείτε τα α, β ώστε να ισχύουν οι υποθέσεις του θεωρήματος μέσης τιμής για τη συνάρτηση f στο διάστημα [,5 ] όταν: f ( x) ίνεται η συνάρτηση f ( x) ln x < x e = αx β x > e αx + βx x = x > x Να βρείτε τα α, β ώ- στε να ισχύουν οι υποθέσεις του ΘΜΤ για την f στο [ ] να λύσετε την εξίσωση f ( x) = f f ( ), και μετά Μέθοδος ( ιαχωρισμός του [ α, β ] σε υποδιαστήματα και εφαρμογή του ΘΜΤ) Συνήθως όταν ζητούμε να αποδείξουμε την ύπαρξη δύο τουλάχιστον ση- α, β ώστε να ισχύει κάποια σχέση, διαχωρίζου- μείων του διαστήματος με το διάστημα ( α, β ) σε δύο τουλάχιστον υποδιαστήματα (συνήθως του ίδιου πλάτους) και εφαρμόζουμε το ΘΜΤ 8

5 β α ιαχωρισμός ( α, β ) σε ίσα υποδιαστήματα δύο ( πλάτος) α + β α + β β α α,,, β τρία ( 3 πλάτος) α + β α + β α + β α + β α,,,,, β Αν θέλουμε να δείξουμε μια σχέση της μορφής λ f ( ξ ) + λ f ( ξ ) + + λ f ( ξ ) = λ όπου * λ, λ,, λν και ν ν α β σε ν υποδια- ξ, ξ,, ξν ( α, β), τότε χωρίζουμε το διάστημα [, ] στήματα της μορφής [ α, γ ],[ γ, γ ],,[ γ, β] κ λ β α, λ λ λ λ β α, λ ν + λ λ + + ν β α γ = α + λ λ + λ + + λ ν β α γ = α + λ+ λ λ + λ + + λ ν ( ) β α γν = α + λ+ λ + + λν λ + λ + + λ ν με μήκη το καθένα, β α λ ν λ + λ λ + + ν οπότε,,, και εφαρμόζουμε το Θεώρημα Μέσης Τιμής σε καθένα από τα παραπάνω υποδιαστήματα ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [, ] ( α, β ) να δειχθεί ότι υπάρχει ξ, ξ, ξ του (, ) f ( ξ ) = f ( ξ ) + f ( ξ ) α β και παραγωγίσιμη στο α β ώστε να είναι: Για τη συνάρτηση f ισχύει το ΘΜΤ στα διαστήματα: [ α, β ] α + β Δ = α, και α + β Δ =, β Υπάρχουν ξ, ξ, ξ αντίστοιχα ώστε: β α f ξ = f β f α () α + β α + β α β + Δ=, α f ( ξ ) = f f ( α) ( β α) f ( ξ ) = f f ( α) () 9 Μουρατίδης Χρ Τζουβάλης Αθ

6 α β α β α β β + f ( ξ) f ( β) f + ( β α) f ( ξ) f ( β) f + = = (3) Με την πρόσθεση των () και (3) είναι: ( β α) f ( ξ) + f ( ξ) = ( f ( β) f ( α) ) και λόγω της () ( β α) f ( ξ) + f ( ξ) = ( β α) f ( ξ) f ( ξ) = f ( ξ) + f ( ξ) ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 3 Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [,ν ], ν, ν και παραγωγίσιμη στο (,ν ) Να δείξετε ότι υπάρχουν x, ξ, ξ, ξ3,, ξν (, ν) τέτοια ώστε: f ( ξ ) + f ( ξ ) + f ( ξ ) + + f ( ξ ) = vf ( x ) v 3 Η συνάρτηση f είναι συνεχής στα διαστήματα [, ],[, ],[,3 ],,[ v, v] και παραγωγίσιμη στα διαστήματα (, ),(, ),(,3 ),,( v, v) Επομένως, από το θεώρημα μέσης τιμής έπεται ότι υπάρχουν ξ (, ), ξ (, ), ξ3 (,3 ),, ξ v ( v, v) τέτοιο ώστε να ισχύουν οι σχέσεις: f ( ) f ( ) = f ( ξ ) f f ( ) = f ( ξ ) f ( 3) f = f ( ξ3 ) ( + ) ( ξ ) ( ξ ) ( ξ ) ( ξ ) f v f = f + f + f f f ( v) f ( v ) = f ( ξ v ) Για την f έχουμε: Η f είναι συνεχής στο [,v ] Η f είναι παραγωγίσιμη στο (,v ) Από το θεώρημα της μέσης τιμής έπεται ότι υπάρχει x ( v) ώστε: ( ) f v f = vf x () Επομένως, η () λόγω της () γίνεται: vf x = f ξ + f ξ + f ξ + + f ξ 3 v v (), τέτοιο

7 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 4 Για την συνάρτηση f ισχύουν οι προϋποθέσεις του Θεωρήματος Rolle α β Να δείξετε ότι υπάρχουν ξ, ξ ( α, β) 4f ( ξ ) + 7f ( ξ ) = στο [, ] Η συνάρτηση f Θα είναι συνεχής στο [, ] ( α, β ) και επιπλέων ισχύει ότι f ( α ) f ( β ) σχύει το Θεώρημα Rolle Χωρίζουμε το διάστημα [, ] β α d = τέτοια, ώστε: α β και παραγωγίσιμη στο = αφού για την συνάρτηση ι- α β σε 4+ 7= διαστήματα ίσου πλάτους α β σε Θεωρούμε το σημείο γ τέτοιο, ώστε να χωρίζει το διάστημα [, ] δύο διαστήματα: [ α, γ ] πλάτους 4d και [, ] γ α = 4d και β γ = 7d γ β πλάτους 7d Είναι Εφαρμόζουμε το ΘΜΤ στην f στα διαστήματα [ α, γ ] και [, ] υπάρχουν ξ ( αγ, ) και ξ ( γ, β) τέτοια ώστε: f ( ξ ) = f ( γ) f ( α) f ( γ) f ( α) = 4 f ( ξ ) = f ( γ) f ( α) γ α 4 ( β) ( γ) ( β) ( γ) d γ β Οπότε () και f f f f f ( ξ) = = 7 f ( ξ) = f ( β) f ( γ) () β γ 7 d Προσθέτουμε κατά μέλη τις σχέσεις () και () οπότε θα πάρουμε: f ( β) f ( α) 4f ( ξ) + 7f ( ξ) = = d Ασκήσεις 3 Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [ α, β ] και παραγωγίσιμη στο ( α, β ) Να δείξετε ότι υπάρχουν ξ, ξ ( α, β) τέτοια ώστε f ( ξ ) + f ( ξ ) = 4 Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [ α, β ] και παραγωγίσιμη στο (, ) Να αποδειχθεί ότι υπάρχει ξ, ξ, ξ ( α, β) ώστε να ισχύει: 3 α β Μουρατίδης Χρ Τζουβάλης Αθ

8 ( β ) ( α ) f ( ξ) + f ( ξ) + f ( ξ3) = 3 f f β α 5 ίνεται συνάρτηση f, παραγωγίσιμη στο [, ], με f ( ) = 9 Να αποδείξετε ότι υπάρχουν,, 3 (,) f ( ξ ) + 3f ( ξ ) + 4f ( ξ ) = 5 3 f = 4 και ξ ξ ξ τέτοια, ώστε 6 Έστω μια συνάρτηση f, για την οποία ισχύουν οι προϋποθέσεις του θεωρήματος Rolle στο [, 7 ] Να αποδειχθεί ότι υπάρχουν ξ, ξ, ξ3 (,7) τέτοια, ώστε: f ( ξ ) + f ( ξ ) + 3f ( ξ ) = 3 7 Αν για την συνάρτηση f ισχύουν οι υποθέσεις του θεωρήματος Rolle στο [ α, β ] να δείξετε ότι υπάρχουν ξ, ξ ( α, β) 3f ( ξ ) + f ( ξ ) = τέτοια ώστε: 8 Έστω η συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο [,α ] με α >, για την οποία ισχύει f ( x ) = f ( x) για κάθε x [, α ] Να αποδείξετε ότι υπάρχουν f ( α ) ξ, ξ (, α) τέτοια, ώστε: f ( ξ ) + f ( ξ ) = ( α ) 9 Έστω η συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο [, ] και f ( ) =, Να δείξετε ότι υπάρχουν, (,) + = f ( ξ ) f ( ξ ) f = ξ ξ τέτοια ώστε να ισχύει: Έστω μια συνεχής συνάρτηση f στο [ αα+, 6] και παραγωγίσιμη στο ( α, α + 6) Αν ισχύει ότι f ( α + 6) = f ( α ) + 6, να δείξετε ότι υπάρχουν ξ, ξ ( α, α + 6) τέτοιο, ώστε f ( ξ ) + f ( ξ ) = ίνεται η συνάρτηση f, συνεχής στο [ α, β ] και παραγωγίσιμη στο ( α, β ) με f ( α ) = και f ( β ) =

9 (α) Να αποδείξετε ότι υπάρχει x ( α, β ) (β) Να αποδείξετε ότι υπάρχουν ξ, ξ ( α, β) τέτοιο ώστε f( x ) = β α + = f ( ξ ) f ( ξ ) τέτοια ώστε: Μέθοδος 3 (ΘΜΤ - Θ Bolzano - ΘΕΤ) ξ, ξ α, β τέτοια ώστε να τότε εφαρ- Όταν μας ζητείται να δείξουμε την ύπαρξη ισχύει μια συναρτησιακή σχέση μεταξύ των f ( ξ ) και f ( ξ ) μόζουμε σε δύο διαστήματα [ α, x ] και [, ] x β για την f το Θεώρημα Μέσης Τιμής, όπου το x θα μας δίνεται σε προηγούμενα υποερωτήματα της άσκησης ή θα προκύπτει από το θεώρημα Bolzano ή το Θεώρημα Ενδιαμέσων τιμών ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 5 Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο και f ( α ) f ( β ) = α, (α < β ), να δειχτεί ότι: (α) υπάρχει x ( α β ) ώστε f ( x ) = x, (β) υπάρχουν ξ, ξ ( α, β) ώστε f ( ξ ) f ( ξ ) = = β, (α) Θεωρούμε τη συνάρτηση h( x) = f ( x) x Είναι συνεχής στο [ α, β ] και h( α ) = f ( α) α = β α >, h( β ) = f ( β) β = α β = ( β α) < Έτσι ισχύει το ΘBolzano υπάρχει x ( α, β ) ώστε h x f x x f x = x ( ) = ( ) = και τελικά ( ) (β) Για τη συνάρτηση f ισχύει το ΘΜΤ στα διαστήματα [ α, x ] και [ x β ] Έτσι προκύπτει ότι:, ( α ) f x f x β Υπάρχει ξ ( α, x) ώστε: f ( ξ ) = = () x α x α Υπάρχει ξ ( x, β ) ώστε: f ( β ) f ( x ) α x f ξ = = () β x β x Με πολλαπλασιασμό των () και () κατά μέλη έχουμε: x β α x f ( ξ) f ( ξ) = = x α β x 3 Μουρατίδης Χρ Τζουβάλης Αθ

10 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 6 :,5,5 και δύο παραγωγί- >, Η συνάρτηση f [ ] είναι συνεχής στο [ ] σιμη στο (,5 ) Αν f ( ) = και για κάθε x (, 5) είναι f ( x) να δείξετε ότι η εξίσωση f ( x ) = έχει μόνο μία ρίζα, 5 και παραγωγίσιμη στο(,5 ) Επο- Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [ ] μένως, από το θεώρημα μέσης τιμής έπεται ότι υπάρχει ξ (,5) τέτοιο ώστε: f f <, από το θεώ- f ( 5) f ( ) = ( 5 ) f ( ξ ) f ( 5) + = 4f ( ξ ) () Επειδή η f είναι συνεχής στο [,5 ] και είναι ( ) ( 5) ρημα Bolzano έπεται ότι υπάρχει ξ (,5) τέτοιο ώστε f ( ξ ) = ο ξ (,5) είναι ρίζα της εξίσωσης f ( x ) = Υποθέτουμε ότι η εξίσωση f ( x ) = έχει στο της ξ, τη ρ και πχ ρ<ξ για την f έχουμε:, δηλαδή,5 και άλλη ρίζα εκτός Η f είναι συνεχής στο [ ρ, ξ ] Η f είναι παραγωγίσιμη στο ( ρ, ξ ) f ( ρ ) = f ( ξ ) Από το θεώρημα Rolle έπεται ότι υπάρχει κ ( ρξ, ) στε f ( x) > και για κάθε x (,5) Άρα η εξίσωση f ( x ) = έχει στο ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 7 Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο[, ] και η συνάρτηση f είναι συνεχής στο (, ) f ( γ) f ( β) τέτοιο ώστε : f > f ( γ) f ( α) ( x) = έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο (, ) τέτοιο ώ-,5 μοναδική λύση τον αριθμό ξ α β και παραγωγίσιμη στο ( α, β ) α β Αν υπάρχει γ ( αβ, ) (), να δείξετε ότι η εξίσωση α β 4

11 Η f είναι συνεχής στο [ α, γ ] και παραγωγίσιμη στο(, ) από το θεώρημα μέσης τιμής έπεται ότι υπάρχει ξ ( αγ) στε: α γ Επομένως, τέτοιο ώ-, f ( γ ) f ( α) = ( γ α) f ( ξ ) () Η f είναι συνεχής στο [ γ, β ] και παραγωγίσιμη στο(, ) από το θεώρημα της μέσης τιμής έπεται υπάρχει ξ ( γ β) ώστε: ( γ ) ( β) ( γ β) ( ξ ) f f = f (3) γ β Επομένως, τέτοιο, H () λόγω των () και (3) γίνεται: ( γ β) f ( ξ ) β> γ > ( γ β)( γ α) f ( ξ) f ( ξ) > f ( ξ) f ( ξ) < γ α f ξ γ> α Για την f έχουμε: Η f είναι συνεχής στο [ ξ, ξ ] f ( ξ) f ( ξ) < Από το θεώρημα Bolzano έπεται ότι υπάρχει κ ( ξ, ξ ) ( α, β) ώστε f ( κ ) = που σημαίνει ότι ο αριθμός κ είναι ρίζα της εξίσωσης τέτοιο f x = Ασκήσεις ίνεται συνάρτηση f, με συνεχή πρώτη παράγωγο στο [, ] και f = f ( ) + Να αποδείξετε ότι: (α) Υπάρχουν ξ, ξ (,) τέτοια, ώστε f ( ξ) + f ( ξ) = (β) Υπάρχει ξ (,) τέτοιο, ώστε f ( ξ ) = f ( ξ ) + f ( ξ ) 3 ίνεται συνάρτηση f, παραγωγίσιμη στο [, ], για την οποία ισχύει f ( ) = 4 και f = Να δείξετε ότι: (α) Υπάρχει x (, ) τέτοιο, ώστε f ( x) = 3x (β) Υπάρχουν ξ, ξ (,) τέτοια, ώστε f ( ξ ) f ( ξ ) = 9 4 ίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f :, [ ] [,] με f ( ) = Να αποδείξετε ότι: (α) Υπάρχει γ (,) τέτοιο, ώστε f ( γ ) = γ f = και 5 Μουρατίδης Χρ Τζουβάλης Αθ

12 (β) Υπάρχουν α, β (,) με α β τέτοια, ώστε f ( α ) f ( β ) = 5 Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής στο [ α, β ] με f ( α ) f ( β ) και παραγωγίσιμη στο ( α, β ) Να δείξετε ότι: f ( α ) + 3 f ( β ) (α) Υπάρχει x ( α β ) τέτοια, ώστε f ( x ) =, (β) Υπάρχουν ξ, ξ, ξ ( α, β) 3 τέτοια, ώστε = f ξ f ξ f ξ 6 ίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f στο [, ] με f = 4 Να αποδείξετε ότι: (α) Υπάρχει x (, ) τέτοιο, ώστε f ( x) = 3 ( x) (β) Υπάρχουν ξ, ξ (,) τέτοια, ώστε f ( ξ ) f ( ξ ) = 4 f = και 7 Έστω μια συνάρτηση f :[ αβ, ] με f ( x) για κάθε x ( α, β ) και f ( α ) f ( β ) Να δείξετε ότι: (α) Υπάρχει x ( α, β ) τέτοιο ώστε 3f ( x ) = f ( α ) + f ( β ) (β) Υπάρχουν ξ, ξ ( α, β) τέτοια, ώστε f ( ξ )( x α) = f ( ξ )( β x ) (γ) Υπάρχουν ξ, ξ, ξ 3 τέτοια, ώστε Μέθοδος 4 (Ρίζες της f ) 3 + = f f f ( ξ ) ( ξ ) ( ξ ) 3 Για να δείξουμε ότι υπάρχει ξ ( αβ, ) τέτοιο, ώστε f ( x) τα εξής: = κάνουμε Εφαρμόζουμε το ΘΜΤ για την f σε δύο διαστήματα [ α, x ] και [ x, β ] και βρίσκουμε ξ ( α, x) και ξ ( x, β ) τέτοια, ώστε f ( ξ) = f ( ξ) Εφαρμόζουμε το Θεώρημα Rolle για την f στο [ ξ, ξ ] και βρίσκουμε ένα ξ ( ξ, ξ ) τέτοιο, ώστε f ( ξ ) = 6

13 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 8 Αν η συνάρτηση f : είναι δύο φορές παραγωγίσιμη και ισχύει: f ( ) = 7f ( 7) 6f ( 8) () Να δείξετε ότι υπάρχει ξ τέτοιο ώστε f ξ = Η ( ) f ( ) f ( 7) = 6 f ( 7) f ( 8) () Η f είναι συνεχής στο [, 7 ] και παραγωγίσιμη στο (, 7 ) Επομένως, από το θεώρημα μέσης τιμής έπεται ότι υπάρχει ξ (, 7) τέτοιο ώστε: f ( ) f ( 7) = ( 7) f ( ξ) f ( ) f ( 7) = 6f ( ξ) (3) Η f είναι συνεχής στο [ 7,8 ] και παραγωγίσιμη στο ( 7,8 ) Επομένως, από το θεώρημα της μέσης τιμής έπεται υπάρχει ξ ( 7,8) τέτοιο ώ- στε: f ( 7) f ( 8) = ( 7 8) f ( ξ) f ( 7) f ( 8) = f ( ξ) (4) H () λόγω τον (3) και (4) γίνεται: 6f ( ξ) = 6f ( ξ) f ( ξ) = f ( ξ) Για την f έχουμε: Η f είναι συνεχής στο [ ξ, ξ ] Η f είναι παραγωγίσιμη στο ( ξ, ξ ) f ( ξ) = f ( ξ) Από το θεώρημα Rolle έπεται ότι υπάρχει ξ ( ξ, ξ) τέτοιο ώστε f ξ = ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 9 Αν η συνάρτηση f : είναι δύο φορές παραγωγίσιμη και τα ση- A, f B, f Γ γ, f γ με α < β < γ είναι συνευ- μεία α ( α ), β ( β ), θεϊακά, να δείξετε ότι: (α) Υπάρχουν δύο εφαπτόμενες της C f που είναι παράλληλες (β) Υπάρχει ξ τέτοιο ώστε f ( ξ ) = (α) Έστω (ε) η ευθεία που διέρχεται από τα σημεία Α, Β, Γ Τότε είναι: 7 Μουρατίδης Χρ Τζουβάλης Αθ

14 ( β ) ( α) ( γ) ( β) f f f f λε = = () β α γ β α β και[ β, γ ] και παραγωγίσιμη Επειδή η f είναι συνεχής στο διάστημα [, ] στα ( α, β ) και (, ) ξ ( αβ) και ξ ( βγ, ) f ( β ) f ( α ) f ( ξ ) =, β γ, από τα θεώρημα μέσης τιμής έπεται ότι υπάρχουν τέτοια ώστε: f ξ = β α f ξ = f ξ () και 8 f ( γ ) f ( β ) γ β (3) Επομένως η () γίνεται ( ) Έστω ( ε ) και ( ε ) οι εφαπτόμενες της C f στα σημεία (, f ( ) ) ( ξ, f ( ξ ) ) αντίστοιχα Η ( ε ) έχει συντελεστή διεύθυνσης f ( ξ ) ( ε ) έχει συντελεστή διεύθυνσης f ( ξ ) f ( ξ ) = f ( ξ ) ε // ε (β) Για την f έχουμε: Η f είναι συνεχής στο [ ξ, ξ ] Η f είναι παραγωγίσιμη στο ( ξ, ξ ) f ( ξ) = f ( ξ) Από το θεώρημα Rolle έπεται ότι υπάρχει ξ ( ξ, ξ) f ( ξ ) = ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [, ] στο ( α, β ) Αν είναι f f ( α ) f ( β ) υπάρχει ξ ( αβ, ) τέτοιο ώστε ξ ξ και και Επειδή τέτοιο ώστε α β και δύο φορές παραγωγίσιμη α + β = + () Να δείξετε ότι f ξ = Η ( ) f α + β f ( α) f ( β) f α + β = () α + β Η f είναι συνεχής στο α, και παραγωγίσιμη στο, α + β α Επομένως, από το θεώρημα μέσης τιμής έπεται ότι υπάρχει α + β ξ α, τέτοιο ώστε:

15 α f + β α β α β β α f ( α) + α f ( ξ) f + = f ( α) = f ( ξ) (3) α + β α + β Η f είναι συνεχής στο, β και παραγωγίσιμη στο, β Επομένως, από το θεώρημα της μέσης τιμής έπεται υπάρχει α + β ξ, β τέτοιο ώστε: α β α β α β β α f ( β ) f + β + f ( ξ) f ( β) f + = = f ( ξ) (4) H () λόγω των (3) και (4) γίνεται: β α β α f ( ξ) = f ( ξ) f ( ξ) = f ( ξ) Για την f έχουμε: Η f είναι συνεχής στο [ ξ, ξ ] Η f είναι παραγωγίσιμη στο ( ξ, ξ ) f ( ξ) = f ( ξ) Από το θεώρημα Rolle έπεται ότι υπάρχει ξ ( ξ, ξ ) ( α, β) f ξ = στε Ασκήσεις τέτοιο ώ- 8 Η συνάρτηση f είναι περιττή στο [ α, α ] Να δειχτεί ότι υπάρχει ξ ( αα, ) ώστε να είναι f ( ξ ) και δύο φορές παραγωγίσιμη = 9 ίνεται συνάρτηση f δύο φορές παραγωγίσιμη στο [,3], για την ο- ποία ισχύει f ( ) = f ( ) + f ( 3) Να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ (,3) τέτοιο, ώστε f ( ξ ) = Η συνάρτηση είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο [ 3,3] και ισχύει f ( 3) = 6f 5f ( 3) Να δείξετε ότι: (α) Υπάρχουν εφαπτόμενες στη (β) Υπάρχει ( 3,3) C f που είναι παράλληλες f ξ = ξ τέτοιο ώστε 9 Μουρατίδης Χρ Τζουβάλης Αθ

16 Η συνάρτηση f : είναι δύο φορές παραγωγίσιμη και για κάθε x ισχύει f ( x) Να δείξετε ότι δεν υπάρχουν στη γραφική παράσταση της f τρία σημεία που να είναι συνευθεϊακά Έστω μια συνάρτηση f η οποία είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο [,3 ] με f ( ) + f ( 3) = f + Να δείξετε ότι υπάρχει (,3) f ξ = ξ τέτοιο, ώστε 3 Έστω μια συνάρτηση f η οποία είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο [, ] και η συνάρτηση g :, [ ] για τις οποίες ισχύει: f ( x+ ) f ( x) = ( x x) g( x) + για κάθε x [,] Να δείξετε ότι υπάρχει ξ (,) τέτοιο, ώστε f ( ξ ) = 4 Έστω μια συνάρτηση f η οποία είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο g x = f x f x για κάθε x Να δείξετε και η συνάρτηση ότι υπάρχει ξ (,) τέτοιο, ώστε f ( ξ ) f ( ξ ) = 5 Έστω μια συνάρτηση f η οποία είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο f γ f 4 = γ +, και υπάρχει γ τέτοιο, ώστε = +, f ( 6) 4γ f ( ξ ) = = + Να αποδειχθεί ότι υπάρχει ξ τέτοιο, ώστε 6 Η συνάρτηση f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο [ αα+, ] και ισχύουν f ( α + ) = f ( α) + β, f ( α + ) = f ( α) = β Να δείξετε ότι υπάρχουν ξ, ξ ( α +, β) τέτοια ώστε f ( ξ ) = f ( ξ ) 7 ίνεται η συνάρτηση ( 9 ) π ξ, ξ 3, τέτοια ώστε ξ ξ f x = x συν x Να δείξετε ότι υπάρχουν και f ( ξ ) f ( ξ ) 3 = 8 ίνεται η δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f : ποία ισχύει:, για την ο-

17 (α) Να υπολογίσετε τα ( ) f και f ( ) ξ τέτοιο, ώστε f ( ξ ) = 4 x f x x x για κάθε x (β) Να αποδείξετε ότι υπάρχει (,) 9 ίνεται συνάρτηση f δύο φορές παραγωγίσιμη στο, για την οποία f + f = f + f 3 Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ισχύει f ( x) =, έχει τουλάχιστον μία ρίζα Μέθοδος 5 (Πρόσημο της f και f ) Α Για να δείξουμε ότι υπάρχει τέτοιο, ώστε f ( x) < ή f ( x) > σε ένα διάστημα [ α, β ] αρκεί να εφαρμόσουμε το ΘΜΤ για την f στο [ α, β ] Β Για να δείξουμε ότι υπάρχει ξ ( αβ, ) τέτοιο, ώστε f ( x) < ή ( x) f > κάνουμε τα εξής: Εφαρμόζουμε το ΘΜΤ για την f σε δύο διαστήματα [ α, x ] και [ x, β ] και βρίσκουμε ξ ( α, x) και ξ ( x, β ) τέτοια, ώστε f ( ξ) f ( ξ) Εφαρμόζουμε το ΘΜΤ για την f στο [ ξ, ξ ] και αποδεικνύουμε το ζητούμενο ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Η συνάρτηση f :[ αβ, ] είναι δύο φορές παραγωγίσιμη με f ( α ) > και f ( β ) = f ( β ) = Να δείξετε ότι υπάρχει ξ ( αβ, ) τέτοιο ώστε f ( ξ ) >, Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [ α β ] και παραγωγίσιμη στο (, ) Επομένως, από το θεώρημα μέσης τιμής έπεται ότι υπάρχει ξ ( αβ), α β τέτοιο ώστε: f ( α) f ( β) f ( α) = ( β α) f ( ξ) f ( α) = ( β α) f ( ξ) f ( ξ) = β α 3 Μουρατίδης Χρ Τζουβάλης Αθ

18 Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [ ξ β ] και παραγωγίσιμη στο, ξ β Επομένως, από το θεώρημα μέσης τιμής έπεται ότι υπάρχει ξ ( ξ, β ) ( α, β ) τέτοιο ώστε: f f α ( β ) f ( ξ) = ( β ξ) f ( ξ) = ( β ξ) f ( ξ) β α () Επειδή f α β α > ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ ξ< β, από () έπεται ότι ( β ξ ) f ( ξ) f ( ξ) > > Έστω μια συνάρτηση f συνεχής στο [, ] στο ( α, β ) τέτοια, ώστε f ( α ) = f ( β ) = και υπάρχει γ ( αβ, ) f ( γ ) < Να αποδειχθεί ότι υπάρχει x ( α, β ) f ( x ) > α β, δύο φορές παραγωγίσιμη με τέτοιο, ώστε α, β, δύο φορές παραγωγίσιμη στο γ β Οπό- Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [ ] ( α, β ) Εφαρμόζουμε το ΘΜΤ για την f στα διαστήματα [, ] τε υπάρχουν ξ ( αγ) και ξ ( γ β) τέτοια, ώστε:, ( γ) ( α) ( γ), f f f f ( ξ ) = = < γ α γ α f ( β) f ( γ) f ( γ) f ( ξ ) = = > β γ γ α αφού α γ και [, ] f γ < και γ α > f γ < και β γ > αφού (Αφού η f εί- α β ) Εφαρμόζουμε το ΘΜΤ για την τέτοιο, ώστε: Η f είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο [ ξ, ξ] ( α, β) ναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο (, ) f στο [ ξ, ξ ] Οπότε υπάρχει ένα x ( ξ, ξ) f ( ξ) f ( ξ) f ( x ) = > f ( x ) > >, ιότι f ( ξ ), ξ ξ f ξ > και ξ ξ > ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 3 3

19 Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [ αα, ], α> και είναι f ( α ) f ( a) = a Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο ( α, α ) x ( α, α ) ισχύει f ( x), να δείξετε ότι f ( ) = = α, και για κάθε Η είναι συνεχής στο [ α,] και παραγωγίσιμη στο ( α,) θεώρημα μέσης τιμής έπεται ότι υπάρχει ξ ( α,) f f α f f f + α ξ = ξ = α τέτοιο ώστε: α,α Από το θεώ- Η είναι συνεχής στο [,α ] και παραγωγίσιμη στο ρημα μέσης τιμής έπεται ότι υπάρχει ξ (, α ) f ( α) f α f f ξ f ( ξ ) Από το τέτοιο ώστε: = = α α f x, οπότε και: Για κάθε x ( α, α ) ισχύει f ( ) + α α f α f ( ) f ( ) f ( ) f ξ f + α α α f + α α ξ α α α α α α f ( ) f ( ) = f ( ) ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 4 Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο [ α, β ] και για κάθε x [ α, β ] ισχύει f ( x) M Να δείξετε το: f ( β ) f ( α) + M ( β α) () Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο [ α, β ] έπεται ότι η f είναι συνεχής στο ( α, β ) Επομένως, από το θεώρημα μέσης τιμής έπεται ότι υπάρχει ξ ( αβ, ) τέτοιο ώστε f ( β ) f ( α) = ( β α) f ( ξ) () Η () γίνεται: f ( β) f ( α) + M( β α) f ( β) f ( α) M( β α) ( β α) f ( ξ) M( β α) π f ( ξ) M x α, β f x M ου είναι αληθής γιατί για κάθε [ ] ισχύει 33 Μουρατίδης Χρ Τζουβάλης Αθ

20 Ασκήσεις 3 Η συνάρτηση f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο [ α, β ] με f ( α ) f ( β) = f ( β) f ( α) και f ( x) Να δείξετε ότι υπάρχει ξ ( αβ, ) τέτοιο ώστε f ( ξ ) f ( ξ ) > 3 Η συνάρτηση f :, [ ] είναι παραγωγίσιμη με ( ) f ( x ) > για κάθε x (,) Να δείξετε ότι υπάρχουν, x < x < ξ <, τέτοια ώστε ( ξ ) f ( ξ) = f ( ξ) και ξ f ( x ) f ( ξ ) 3 Η συνάρτηση f :5,6 [ ] είναι συνεχής στο [ ] στο ( 5,6 ) και για κάθε x ( 5,6) ισχύει f ( x) > Αν f δείξετε ότι η εξίσωση f ( x ) = έχει μοναδική ρίζα στο ( 5,6 ) f = και ξ με < 5,6 και παραγωγίσιμη 5 =, να 33 ίνεται συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο [ 6,8 ], με και παραγωγίσιμη στο ( 6,8 ), με f ( x) x ( 6, 8) Να αποδείξετε ότι f ( 8) 4 f 6 =, για κάθε 34 Έστω μια συνάρτηση f η οποία είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο [ α, β ] με f ( x) > για κάθε x [ α, β ] Αν υπάρχει x ( α β ) τέτοιο, ώστε f ( x ) = να δείξετε ότι Μέθοδος 6 (ΘΜΤ-Εφαπτομένη) ( α) f ( β) f + > x α x β, ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 5 Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [,6 ] και παραγωγίσιμη στο (,6 ) και είναι f ( 6) = 3 Να δείξετε ότι υπάρχει ξ (,6) τέτοιο ώστε η εφαπτομένη της C f στο σημείο A( ξ, f ( ξ )) μα είναι κάθετη με την ευθεία ος τρόπος δ : y = x+ 9 34

21 Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [,6 ] και παραγωγίσιμη στο (,6 ) Ε- πομένως, από το θεώρημα μέσης τιμής έπεται ότι υπάρχει ξ (,6) τέτοιο ώστε: f 6 f = 6 f ξ 3 5 = 4f ξ 8= 4f ξ f ξ = ος τρόπος,6 Για θεωρούμε τη συνάρτηση h( x) = f ( x) x η οποία ορίζεται στο [ ] την h έχουμε: Η h είναι συνεχής στο [,6 ] Η h είναι παραγωγίσιμη στο = 6 = 6 = 3 = 9 δηλα-,6 με h ( x) f ( x) h = f 4= 5 4= 9 και h f δή h = h( 6) Από το θεώρημα Rolle έπεται ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (,6) τέτοιο ώστε: ( ξ ) ( ξ) ( ξ) h = f = f = Επειδή η f είναι παραγωγίσιμη στο ξ ορίζεται η εφαπτομένη στη = στο σημείο A ξ, f ( ξ ) η οποία έχει συντελεστή διεύθυνσης f ( ξ ) Επειδή σημείο A f ξ = = έπεται ότι η εφαπτομένη της ξ, f ξ είναι κάθετη με την ευθεία ( δ ): y = x+ 9 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 6 C f C f στο Η συνάρτηση f :,3 [ ] είναι παραγωγίσιμη με f = 4 και f ( 3) = 6 Να δείξετε ότι υπάρχει εφαπτομένη της C f η οποία διέρχεται από την αρχή των αξόνων Επειδή η f είναι παραγωγίσιμη ορίζεται εφαπτομένη σε κάθε σημείο της C f Έστω Α ξ, f ( ξ ) σημείο τηςc f και ( ε ) η εφαπτομένη τηςc f στο Α, η οποία διέρχεται από την αρχή των αξόνων Η ( ε ) έχει εξίσωση: y f ( ξ ) = f ( ξ)( x ξ) () Επειδή το σημείο (,) ε, από την() έπεται ότι: = = O ανήκει στην f ( ξ ) ξ f ( ξ) ξ f ( ξ) f ( ξ) 35 Μουρατίδης Χρ Τζουβάλης Αθ

22 Άρα αρκεί να δείξουμε ότι η εξίσωση xf ( x) f ( x) = έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα [,3 ] f ( x) Θεωρούμε τη συνάρτηση h( x) = η οποία ορίζεται στο [,3 ] Για την h έχουμε: Η h είναι συνεχής στο [,3 ] x xf x f x Η h είναι παραγωγίσιμη στο(,3 ) με h ( x) = x f 4 f ( 3) 6 h = = = και h ( 3) = = = δηλαδή h = h( 3) 3 3 ξ,3 τέ- Από το θεώρημα Rolle έπεται ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ f ( ξ) f ( ξ) τοιο ώστε: h ( ξ) ξ f ( ξ) f ( ξ) = = = που ση- ξ ξ είναι ρίζα της εξίσωσης xf ( x) f ( x) = μαίνει ότι ο αριθμός (,3) Άρα υπάρχει ξ (,3) τέτοιο ώστε η εφαπτομένη στη C f στο σημείο A ξ, f ( ξ ) να διέρχεται από την αρχή των αξόνων Ασκήσεις ξ τέτοιο ώστε η εφαπτο- 35 Η συνάρτηση f :[,6] είναι παραγωγίσιμη με f ( ) = Να δείξετε ότι υπάρχει (,6) μένη στη C f στο σημείο A(, f ) y = x+ 5 f 6 = 8 και ξ ξ να είναι κάθετη στην ευθεία 36 Η συνάρτηση f :[ αβ, ] είναι παραγωγίσιμη στο [, ] f ( α ) = β και f ( β ) = α Να δείξετε ότι υπάρχει ξ ( αβ, ) ώστε η εφαπτομένη στη C f στο σημείο A(, f ) στην ευθεία y = x+ 5 α β με τέτοιο ξ ξ να είναι κάθετη 37 ίνεται συνάρτηση f, παραγωγίσιμη στο [, 3 ], για την οποία ισχύει f ( 3) = και f ( ) = 4 Να αποδείξετε ότι υπάρχει σημείο της γραφι- 36

23 κής παράστασης της f, στο οποίο η εφαπτομένη να είναι παράλληλη στην ευθεία y = 4x Μέθοδος 7 (Εύρεση σχέσης μέσω ΘΜΤ) Όταν μας δίνεται να αποδείξουμε μία σχέση, τότε σχηματίζουμε τον λόγο μεταβολής και εφαρμόζουμε το ΘΜΤ σε κατάλληλο διάστημα ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 7 α β και δύο παραγωγίσιμη στο f x > Να δείξετε ότι υπάρ- Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [, ] ( α, β ) και για κάθε x [ α, β ] ισχύει f ( ξ ) f ( α ) ( α β) f ( ξ ) χει ξ ( αβ, ) τέτοιο ώστε = e f ( β ) Θεωρούμε τη συνάρτηση h( x) = ln f ( x) η οποία ορίζεται στο [ α, β ] Η h f ( x) είναι συνεχής στο [ α, β ] και παραγωγίσιμη στο ( α, β ) με h ( x) = f ( x) Επομένως, από το θεώρημα της μέσης τιμής έπεται ότι υπάρχει ξ αβ, τέτοιο ώστε: ( ξ ) ( ξ ) f h( α) h( β) = ( α β) h ( ξ) ln f ( α) ln f ( β) = ( α β) f f ( ξ ) f α f ξ f α ( α β) f ( ξ ) ln = ( α β) = e f β f ξ f β Ασκήσεις 38 ίνεται ότι η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [ α, β ] και παραγωγίσιμη στο ( α, β ) Να δείξετε ότι υπάρχει ξ ( αβ, ) τέτοιο, ώστε: f( β ) f( α ) f( ξ ) e e = ( β α) f ( ξ) e 37 Μουρατίδης Χρ Τζουβάλης Αθ

24 39 Η συνάρτηση f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο [ α, β ] και για κάθε x [ α, β ] είναι f ( x) Αν f ( α ) = α f ( α), f ( β ) = β f ( β) και f ( x) g( x) =, να δείξετε ότι: f ( x) (α) Υπάρχει ξ ( αβ, ) τέτοιο ώστε g ( ξ ) = (β) f ( ξ) f ( ξ) f ( ξ) f ( ξ) = + Μέθοδος 8 (Απόδειξη διπλών ανισοτήτων) Μετασχηματίζουμε τη διπλή ανισότητα έτσι ώστε στο κέντρο της να f β f α όπου f συνάρτηση που ορίζουμε σχηματιστεί η διαφορά εμείς Εφαρμόζουμε το ΘΜΤ στο (, ) f ( β ) f ( α ) f ( ξ ) = () β α Θέτουμε α ξ β α β και γράφουμε < < και μορφοποιούμε την παράσταση f ( ξ ) σχηματίζεται μία ανισότητα της μορφής Α < f ( ξ ) οπότε <Β (Εδώ μας βοηθάει και η μονοτονία της f )() f ξ από την () και αποδεικνύουμε τη ζητούμενη Θέτουμε στη () το σχέση ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 8 Αν α > β > να δείξετε ότι: (α) α β lnα ln β α < < β () α β ν νβ α β α ν β ν να ν α β (β) ( ) < < ( ) () (α) Θεωρούμε τη συνάρτηση ln [ β, α ] Για την f έχουμε: Η f είναι συνεχής στο [ β, α ] Η f είναι παραγωγίσιμη στο ( β, α ) ν f x = x η οποία ορίζεται στο διάστημα 38

25 Από το θεώρημα της μέσης τιμής έπεται ότι υπάρχει ξ ( βα, ) ώστε: ln ln τέτοιο f α f β = α β f ξ α β = α β (3) ξ Η σχέση () γίνεται: α β ( α β) α β < < < < β < ξ < α αληθής α ξ β α ξ β Επομένως α β lnα ln β α < < β με α > β > α β v (β) Θεωρούμε τη συνάρτηση f ( x) = x η οποία ορίζεται στο[ β, α ] Για την f έχουμε: Η f είναι συνεχής στο [ β, α ] v Η f είναι παραγωγίσιμη στο ( β, α ) με f ( x) = vx Από το θεώρημα της μέσης τιμής έπεται ότι υπάρχει ξ ( βα, ) ώστε: ( α ) ( β) ( α β) ( ξ) α v β v ( α β) ξ v 39 τέτοιο f f = f = v (4) Η σχέση () γίνεται: ν ν ν ν ν ν νβ α β < α β νξ < να α β β < ξ < α ν ν ν ln β < lnξ < lnα ν ln β < ν lnξ < ν lnα ln β < lnξ < lnα β < ξ < α αληθής Επομένως ν ν ν ν νβ α β α β να ( α β) ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 9 Να δείξετε ότι: e (α) < ln< e 5π π 3 (β) συν < < < με α > β > (α) Θεωρούμε τη συνάρτηση ln [,e ] Για την f έχουμε: Η f είναι συνεχής στο [,e ] f x = x η οποία ορίζεται στο διάστημα Μουρατίδης Χρ Τζουβάλης Αθ

26 Η f είναι παραγωγίσιμη στο (,e ) Από το θεώρημα της μέσης τιμής έπεται ότι υπάρχει ξ (,e) τέτοιο ώ- στε: ( ) ln ln ( ) ln e f f e = e f ξ e= e = + () ξ ξ Η σχέση (α) λόγω της () γίνεται: e e e e e e e < + < < < < < ξ e ξ e ξ e < < < ξ < e e ξ αληθής (β) Θεωρούμε τη συνάρτηση Για την f έχουμε: Η f είναι συνεχής στο 5 π π, π π Η f είναι παραγωγίσιμη στο, 8 3 f x = συν x η οποία ορίζεται στο 5 π π, 8 3 με f x = ημx 5 π π Από το θεώρημα της μέσης τιμής έπεται ότι υπάρχει ξ, 8 3 τέτοιο ώστε: 5π π 5π π 5π π π f f = f ( ξ) συν συν = ( ημξ) () 5π π π π συν = ημξ συν = ημξ Η σχέση (β) λόγω της () γίνεται: π ημξ + < + π π ημξ < π ημξ < αληθής, γιατί 5 π π < ξ < 8 3 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ π Αν < α β <, να δείξετε ότι: α β α εφα εφβ β () συν β συν α 4

27 Αν α = β, τότε η () γίνεται που ισχύει π Αν < α < β < θεωρούμε τη συνάρτηση f ( x) = εφx η οποία ορίζεται στο [ αβ, ], π Για την f έχουμε : Η f είναι συνεχής στο[ α, β ] Η f είναι παραγωγίσιμη στο ( α, β ) με f ( x) = συν x ξ αβ, τέτοιο Από το θεώρημα της μέσης τιμής έπεται ότι υπάρχει ώστε: f ( α) f ( β) = ( α β) f ( ξ) εφα εφβ = ( α β) () συν ξ Η σχέση () λόγω της () γίνεται: α β α β ( α β) συν β συν ξ συν α συν β συν ξ συν α συν β συν ξ συν α συν β συν ξ συν α συνβ συνξ συνα π και επειδή < α < ξ < β < συνβ > και συνα > και συνξ > έχουμε: συνβ συνξ συνα α ξ β αληθής ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ α+ β Αν α < β, να δείξετε ότι: e < e + e () α + β α+ β α β e e < e e () Η () x Θεωρούμε τη συνάρτηση f ( x) = e η οποία ορίζεται στο [, ] α β Η f εί- α + β ναι συνεχής στο α, x f ( x) = e α β α + β και παραγωγίσιμη στο α, με 4 Μουρατίδης Χρ Τζουβάλης Αθ

28 α + β Από το θεώρημα μέσης τιμής έπεται ότι υπάρχει ξ α, τέτοιο ώστε: α+ β α + β α + β f f α β α ξ ( α) = α f ( ξ ) e e = e (3) α + β α + β Η f είναι συνεχής στο, β και παραγωγίσιμη στο, β α + β Από το θεώρημα μέσης τιμής έπεται ότι υπάρχει ξ, β τέτοιο ώστε: α+ β α + β α + β β β α f ξ ( β) f = β f ( ξ ) e e = e (4) Η () λόγω των (3) και (4) γίνεται: β α ξ β α e ξ e ξ e ξ < < e ξ < ξ αληθής ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Αν η f είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο με f γνησίως αύ- f + f 4 > f + f 3 ξουσα στο (,+ ) Να αποδείξετε ότι f 4 f 3 > f f Αρκεί αν δείξουμε ότι: Η συνάρτηση f είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο άρα και στα διαστήματα [, ], [ ] 3, 4 Σε κάθε ένα από τα προηγούμενα διαστήματα εφαρμόζουμε το θεώρημα μέσης τιμής, οπότε έχουμε ότι: Στο διάστημα [, ] υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (, ) τέτοιο, ώστε: f f ( ) f ( ξ ) = = f f ( ) Στο διάστημα [ 3, 4 ] υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ ( 3, 4) τέτοιο, ώστε: f ( 4) f ( 3) f ( ξ ) = = f ( 4) f ( 3) 4 3 Το ξ (, ) και το ξ ( 3, 4) άρα: f ξ < ξ f ξ < f ξ f f < f 4 f 3 4

29 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 3 Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [,5 ] και παραγωγίσιμη στο (,5 ) με f ( ) = και για κάθε x (, 5) ισχύει < f ( x) < 3 Να δείξετε ότι: < f ( 5) < 4 () Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [, 5 ] και παραγωγίσιμη στο (,5 ) Επομένως, από το θεώρημα μέσης τιμής έπεται ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (,5) τέτοιο ώστε f ( 5) f ( ) = ( 5 ) f ( ξ ) f ( 5) = 4f ( ξ) f ( 5) = 4f ( ξ) + Η () γίνεται: < 4 f ( ξ ) + < 4 8 < 4 f ( ξ) < < f ( ξ) < 3 που < f x < 3 ισχύει γιατί για κάθε (,5) Ασκήσεις x είναι 4 Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [,5 ] και παραγωγίσιμη στο (,5 ) με f ( ) = Αν για κάθε x (,5) είναι f ( x) <, να δείξετε ότι 5< f ( 5) < 5 4 Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [, 4 ] και παραγωγίσιμη στο (, 4 ) και για κάθε x (, 4) ισχύει < f ( x) < Αν ( ) 5< f ( 4) < 8 4 Να αποδείξετε ότι για κάθε x >, ισχύει: f =, να δείξετε ότι x + < ln < x + x x 43 Αν x, να αποδείξετε ότι: ln < ln( ln ( x + ) ) ln( ln x) < x+ ln x ( x + ) x 44 Έστω f συνεχής και παραγωγίσιμη συνάρτηση στο και έστω ότι η f είναι γνησίως αύξουσα Να αποδείξετε ότι f 4 + f 5 < f 3 + f 6 43 Μουρατίδης Χρ Τζουβάλης Αθ

30 45 Η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα [ α, δ ] και α < β γ < δ με α + δ = β + γ Να αποδείξετε ότι f α + f δ < f β + f γ x x x x 46 Να λύσετε την εξίσωση = π 47 Αν < α < β < να δείξετε ότι: (α) β α β < σφα σφβ < α (γ) εφα < α ημ β ημα εφβ β ln συνα ln συνβ (β) εφα < < εφβ β α 48 Αν α < β, να δείξετε ότι : (α) β α α β ln< < ln β α 49 Για κάθε x, y να δείξετε ότι: (α) ημx ημy x y (β) 5 Για κάθε x, y να δείξετε ότι: (α) x ln y + x y + (β) e α ( β α) < e β e α < e β ( β α) (β) συν x συν y x y x ln e + x y y e + π 5 Αν < x y <, να δείξετε ότι ( y x) συν y ημy ημx ( y x) συν x 5 Αν < x < y <, να δείξετε ότι xσυν x yσυν y < x y 53 Να δείξετε ότι για κάθε x, y ισχύει x + α y + α x y 44

31 Μέθοδος 9 (Συνδυασμός ΘΜΤ με όρια) ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 4 ίνεται η συνάρτηση f, παραγωγίσιμη στο, για την οποία ισχύει f x x lim f x =+ +, για κάθε x Να αποδείξετε ότι x + Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο άρα και στο [, x ] Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο άρα και στο [, x ] Επομένως βάσει του θεωρήματος μέσης τιμής, υπάρχει ξ (, x) τέτοιο, ώστε: f ( x) f ( ) f ( x) f ( ) f ( ξ) = f ( ξ) = x x Επειδή f ( x) x +, για κάθε x, έχουμε: f ( x) f ( ) f ( ξ) ξ + ξ + f x ξ + x+ f x Επειδή ξ + > είναι lim f ( x) = lim ( ξ + ) x+ f ( ) =+ Ασκήσεις x + x + 54 Αν για κάθε x ισχύει f ( x) M <, να αποδείξετε ότι: (α) f ( x) x M + f ( ) αν x > (β) f ( x) x M + f ( ) αν x < (γ) lim f ( x) = x + (δ) lim f ( x) =+ x (ε) η f είναι αντιστρέψιμη 55 Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο [,+ ) με f γνησίως φθίνουσα (α) Να δείξετε ότι: f ( x ) f ( x) f ( x) f ( x) f ( x ) (β) Αν lim να δείξετε ότι lim f ( x) = f x x + < <, x x 45 Μουρατίδης Χρ Τζουβάλης Αθ

32 ιάφορες εφαρμογές στο θεώρημα μέσης τιμής Ασκήσεις 56 Η συνάρτηση f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο Αν υπάρχει ε- φαπτόμενη ( ε ) της C f η οποία έχει με την σημεία, να αποδείξετε ότι: (α) η f δεν είναι ένα προς ένα (β) υπάρχει x με f ( x ) = C f δύο τουλάχιστον κοινά 57 Η συνάρτηση f :, [ ] x (, a) ισχύει f ( x) θ, θ > Αν για κάθε x [, a] f ( x) f ( ξ ) με ξ (,a) να δείξετε ότι f ( ) + f ( α ) αθ a είναι δύο φορές παραγωγίσιμη και για κάθε ισχύει 58 Η συνάρτηση f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο διάστημα [ α, β ] και f ( x) για κάθε x [ α, β ] Αν f ( α ) = α f ( α) και f ( β ) = β f ( β) να αποδείξετε ότι υπάρχει x ( α, β ) τέτοια, ώστε f ( x) f ( x) = ( f ( x) ) + ( f ( x) ) Να αποδείξετε ότι υπάρ- 59 Η συνάρτηση f :, [ ] είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα [ ] f ( ) = και f ( x ) > για κάθε x (,) χουν x και ξ με < x < ξ <, ώστε ( ξ ) f ( ξ) f ( ξ) ξ f ( x ) < f ( ξ ),, με = και 6 Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσημη στο [,5 ] και ισχύει και f ( x) x για κάθε x [, 5], να αποδείξετε ότι: (α) x( x ) + 7 f ( x) x( x ) + 7, (β) 5 f ( 4) 9 f = 7 6 ίνεται η συνάρτηση f, η οποία είναι παραγωγίσιμη στο με f ( x) για κάθε x και της οποίας η γραφική παράσταση C f διέρχεται από τα σημεία A(,) και B(,7) 46

33 (α) Να δειχθεί ότι η f αντιστρέφεται (β) Να λυθεί η εξίσωση f f ( x ) 6+ 8 = (γ) Να αποδειχθεί ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο της C f, στο οποίο η εφαπτομένη της C f είναι κάθετη στην ευθεία x + y 7= 6 Έστω η δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f : < α < β, ώστε f ( α) ότι: = β, f ( β ) και οι αριθμοί = α και f ( α + β ) = Να δείξετε (α) υπάρχει x ( α, β ), ώστε f ( x) = x, (β) υπάρχουν ξ, ξ ( α, β), με ξ < ξ, ώστε f f (γ) η εξίσωση f ( x) = έχει λύση στο ( α, α + β) (ξ ) ξ = ξ >, 63 Η συνάρτηση f :[ αβ, ] είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο ( α, β ) και συνεχής με f ( α ) = f ( β ) = Να αποδείξετε ότι: (α) αν υπάρχει x ( α, β ) με f ( x ) >, τότε υπάρχει ξ ( αβ, ) τέτοιο, ώστε f ( ξ ) < (β) αν υπάρχει x ( α β ) με f ( x ) <, τότε υπάρχει ξ ( αβ, ) τέτοιο, ώστε f 64 Θεωρούμε συνάρτηση f παραγωγίσιμη με συνεχή παράγωγο στο [, ] Για την f ισχύουν: 7 () f () = f () f ( ) > 4 Να αποδείξετε ότι: = (α) Υπάρχει τουλάχιστον ένα x (, ) τέτοιο ώστε f ( x) x (β) Υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ (, ) τέτοιο ώστε f ( ξ ) = 4ξ 65 Θεωρούμε τη συνάρτηση f ( x ), x [,] με τιμές στο [ ] παραγωγίσιμη και ισχύει f ( x) για κάθε x [,] ότι υπάρχει μοναδικό ξ [,] ώστε f ( ξ ) = ξ,4, που είναι Να αποδείξετε 47 Μουρατίδης Χρ Τζουβάλης Αθ

34 66 Μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο [, ] και παραγωγίσιμη στο (, ) με f ( ) = α, α > και f ( ) = (α) Αποδείξτε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα x (,) ώστε f ( x) = α x (β) Αποδείξτε ότι υπάρχει x, x (,), ώστε f ( x ) f ( x ) = α 67 ίνεται συνάρτηση f :[, ] f ( α ) = f ( β ) = και f ( x ) > για κάθε x ( α, β ) υπάρχει x ( α β ) με f ( x ), αβ, δύο φορές παραγωγίσιμη με Να αποδείξετε ότι 68 ίνεται συνάρτηση f δύο φορές παραγωγίσιμη στο [, e ] με f ( e) = e+ και σύνολο τιμών το [, 4] Να αποδείξετε ότι: (α) Υπάρχουν τουλάχιστον δύο τιμές x, x (, e) με x x f ( x) = f ( x) = (β) Υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ (, e) τέτοιο ώστε f ( ξ ) = (γ)υπάρχει τουλάχιστον ένα x (, e) τέτοιο ώστε: 4 f ( x ) f ( x ) 4 f ( x ) = x f =, ώστε (γ) Η ευθεία y = x+ e+ τέμνει την γραφική παράσταση της f σε ένα τουλάχιστον σημείο με τετμημένη c (, e) (δ) Υπάρχουν ξ, ξ (,e ) με ξ ξ τέτοιοι ώστε να ισχύει: f ξ f ξ = 69 Α Υποθέτουμε ότι η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο [ α, β ] και ισχύουν f ( α ) >, f ( β ) < (α) ικαιολογήστε γιατί υπάρχει ξ ( αβ, ) στο οποίο η f παίρνει μέγιστη τιμή = (β) Αποδείξτε ότι f ( ξ ) Β Υποθέστε τώρα ότι η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο [ α, β ] και ισχύει f ( α ) f ( β ) < Αποδείξτε ότι υπάρχει ξ ( αβ, ) τέτοιο ξ = ώστε f 48

35 Γ Αν για μια συνάρτηση f ισχύει f ( x) τα επόμενα: f x (α) > για κάθε x Δ ή f ( x) για κάθε x Δ, αποδείξτε < για κάθε x Δ (β) Η γραφική παράσταση της f τέμνει τον x x άξονα το πολύ σε ένα σημείο 7 Έστω f :(, + ), δύο φορές παραγωγίσιµη στο,+ και υπάρχουν α, βγ>, µε α β γ f ( γ ) = γ Να αποδείξετε ότι: < < τέτοια ώστε f ( α ) = α, f β = β, (α) Υπάρχουν κλ>, τέτοια ώστε f ( κ ) = κ f ( κ), f ( λ ) λf ( λ) (β) Αν η ευθεία που περνά από τα Α κ, f ( κ ), λ, f ( λ ) = Β περνάει και από την αρχή των αξόνων, δείξτε ότι υπάρχει x > τέτοιος ώστε f ( x ) = 7 Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη και παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα της α + με lim f ( x) = λ Να αποδείξετε ότι: μορφής (, ) x + f( x+ ε ) f( x) (α) lim = λ για κάθε ε > x + ε (β) αν επιπλέον ισχύει ότι lim f( x) κ, κ, +, τότε λ = x + = 7 Έστω μια συνάρτηση f δύο φορές παραγωγίσιμη στο [,] με f ( x) για κάθε x [,] Να δείξετε ότι: (α) Υπάρχουν ξ, ξ με ξ ξ και f ( ξ ) (β) Υπάρχει ξ ( ξ, ξ ) τέτοιο, ώστε f ( ξ ) f ξ < < < < και ισχύει ξ ξ 73 ίνεται η παραγωγίσιμη στο διάστημα [ a, β ] συνάρτηση f ώστε: f ( a) f ( β ) + a + β = aβ (α) Να δείξετε ότι υπάρχει x ( a, β ) ώστε: f ( x ) = (β) Να δείξετε ότι υπάρχουν ξ, ξ ( a, β) ξ x ξ με < <, ώστε: 49 Μουρατίδης Χρ Τζουβάλης Αθ

36 f ( ξ) f ( ξ) > (γ) Αν f ( a ) >, να δείξετε ότι υπάρχει ξ ( a, β ) : f ( ξ ) (δ) Υπάρχει περίπτωση να ισχύουν οι προϋποθέσεις του θεωρήματος a, β ; Ισχύει το ίδιο διαστή- Rolle για τη συνάρτηση f στο διάστημα [ ] ματα υποσύνολα του [ a, β ]; 74 Έστω μια συνάρτηση f δύο φορές παραγωγίσιμη στο [, ] με f ( ) + f = f ( ) Να δείξετε ότι: (α) Υπάρχουν ξ, ξ (,) με ξ < ξ τέτοια ώστε f ( ξ) = f ( ξ) + f ( ) (β) Αν f ( x) για κάθε x (,), τότε f ( ) < 5

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.)

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση. ΘΕΜΑ Β Δίνεται

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( )) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

Συνθήκες Θ.Μ.Τ. Τρόπος αντιμετώπισης: 1. Για να ισχύει το Θ.Μ.Τ. για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] (δηλαδή για να υπάρχει ένα τουλάχιστον (, )

Συνθήκες Θ.Μ.Τ. Τρόπος αντιμετώπισης: 1. Για να ισχύει το Θ.Μ.Τ. για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] (δηλαδή για να υπάρχει ένα τουλάχιστον (, ) Κατηγορία η Συνθήκες ΘΜΤ Τρόπος αντιμετώπισης: Για να ισχύει το ΘΜΤ για μια συνάρτηση σε ένα διάστημα [, ] (δηλαδή για να υπάρχει ένα τουλάχιστον (, ) τέτοιο ώστε ( ) ( a) '( ) ) πρέπει: a Η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ

ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ Διατύπωση: Αν μια συνάρτηση είναι: συνεχής στο κλειστό διάστημα [ α β] και παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα ( α β) τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ ( α β) τέτοιο ώστε: ( ( β) ( α) β α Γεωμετρικά αυτό σημαίνει

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ - ΟΡΙΣΜΟΣ

ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ - ΟΡΙΣΜΟΣ ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ - ΟΡΙΣΜΟΣ 3.1. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση: f x = { x e 1/ x,αν x 0 x ημx,αν x 0} είναι παραγωγίσιμη στο 0. 3.2. Δίνεται η συνάρτηση f x = { x 2 αx 1,αν x 1 2x 2, αν x 1 } η οποία

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 10: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 10: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ [Ενότητα Προσδιορισμός των Τοπικών Ακροτάτων - Θεώρημα Εύρεση Τοπικών Ακροτάτων του κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση.

Διαβάστε περισσότερα

θ. Bolzano θ. Ενδιάμεσων τιμών θ. Μεγίστου Ελαχίστου και Εφαρμογές

θ. Bolzano θ. Ενδιάμεσων τιμών θ. Μεγίστου Ελαχίστου και Εφαρμογές Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ΕΜΕ (Τεύχος 35) θ Bolzano θ Ενδιάμεσων τιμών θ Μεγίστου Ελαχίστου και Εφαρμογές Στο άρθρο αυτό επιχειρείται μια προσέγγιση των βασικών αυτών θεωρημάτων με εφαρμογές έ- τσι ώστε να

Διαβάστε περισσότερα

V. Διαφορικός Λογισμός. math-gr

V. Διαφορικός Λογισμός. math-gr V Διαφορικός Λογισμός Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blospotcom, bouboulismyschr ΜΕΡΟΣ Η έννοια της Παραγώγου Α Ορισμός Εφαπτομένη καμπύλης συνάρτησης: Έστω μια συνάρτηση και A, ένα σημείο της C Αν

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Μονοτονία Συνάρτησης Tζουβάλης Αθανάσιος Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Περιεχόμενα Μονοτονία συνάρτησης... Λυμένα παραδείγματα...

Διαβάστε περισσότερα

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης 3 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Θεώρημα Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σ ένα διάστημα Δ, τότε: Αν f ( ) > 0για κάθε εσωτερικό του Δ, η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ. Αν

Διαβάστε περισσότερα

( ) f( x ) ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. Επώνυμο: Όνομα: Τμήμα: Ημερομηνία: Α Βαθ. Β Βαθ. Μ.Ο. (ενδεικτικές λύσεις)

( ) f( x ) ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. Επώνυμο: Όνομα: Τμήμα: Ημερομηνία: Α Βαθ. Β Βαθ. Μ.Ο. (ενδεικτικές λύσεις) Επώνυμο: Όνομα: Τμήμα: ΤΣΙΜΙΣΚΗ & ΚΑΡΟΛΟΥ ΝΤΗΛ ΓΩΝΙΑ ΤΗΛ : 777 594 ΑΡΤΑΚΗΣ Κ. ΤΟΥΜΠΑ ΤΗΛ : 99 9494 www.sygrono.gr Ημερομηνία: Α Βαθ. Β Βαθ. Μ.Ο. ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (ενδεικτικές

Διαβάστε περισσότερα

Καθηγητήσ Μαθηματικών: Κωτςάκησ Γεώργιοσ e-mail: kotsakis @ windowslive. com.

Καθηγητήσ Μαθηματικών: Κωτςάκησ Γεώργιοσ e-mail: kotsakis @ windowslive. com. Καθηγητήσ Μαθηματικών: Κωτςάκησ Γεώργιοσ e-mail: kotsakis @ windowslive. com. A. Οι κανόνες De L Hospital και η αρχική συνάρτηση κάνουν πιο εύκολη τη λύση των προβλημάτων με το Θ. Rolle. B. Η αλγεβρική

Διαβάστε περισσότερα

Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα

Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα 8 Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1 Μια συνάρτηση f θα λέμε ότι είναι: i Συνεχής σε ένα ανοιχτό διάστημα (α,β) όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του διαστήματος (α,β)

Διαβάστε περισσότερα

Φροντιστήρια. Κεφαλά. ( x) = + ( ) ( ) ( )

Φροντιστήρια. Κεφαλά. ( x) = + ( ) ( ) ( ) Ασκήσεις Μαθηµατικών Όρια και Παράγωγος (4 ο θέµα) Έστω συνάρτηση παραγωγίσιµη στο µε ( ) =, η οποία για κάθε, y R * ικανοποιεί τη σχέση ( y) = + ( y) ( ) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι παραγωγίσιµη

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ.2.5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ.2.5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Παράδειγμα. Να εξετάσετε από τις παρακάτω συναρτήσεις ποιές ικανοποιούν

Διαβάστε περισσότερα

A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 8Α ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ A ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πότε μια συνάρτηση λέγεται συνεχής σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού o της ; Απάντηση : ( ΟΜΟΓ, 6 ΟΜΟΓ, 9 Β, ΟΜΟΓ, 5 Έστω μια συνάρτηση και ένα σημείο του πεδίου

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση:

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση: Κατηγορία η Θεώρημα Βolzano Τρόπος αντιμετώπισης:. Όταν μας ζητούν να εξετάσουμε αν ισχύει το θεώρημα Bolzano για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] τότε: Εξετάζουμε την συνέχεια της f στο [, ] (αν η

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Παύλος Βασιλείου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Παύλος Βασιλείου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Παύλος Βασιλείου Σε όλους αυτούς που παλεύουν για έναν καλύτερο κόσμο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΟ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ -ΟΡΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 8Α ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ A ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πότε μια συνάρτηση λέγεται συνεχής σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού o της ; Απάντηση : ( ΟΜΟΓ, 6 ΟΜΟΓ, 9 Β, ΟΜΟΓ, 5 Έστω μια συνάρτηση και ένα σημείο του πεδίου

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE

ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE Αν μια συνάρτηση f είναι : συνεχής στο κλειστό [α,β] παραγωγίσιμη στο ανοιχτό (α,β) f(α)=f(β) f 0 τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον, τέτοιο ώστε ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ : σημαίνει ότι υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Α ΜΕΡΟΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Α ΜΕΡΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 7-8 Α ΜΕΡΟΣ Δίνεται η παραγωγίσιμη στο συνάρτηση f για την οποία ισχύει : f ()+f()=, για κάθε και f()=e+ α) Να δείξετε ότι f()=+e -, β) Να βρείτε το όριο lim ( lim f(y)) y γ) Να δείξετε

Διαβάστε περισσότερα

1o. Θ Ε Μ Α Β Ε. Γ Κ Ο Ρ Α. βρίσκεται ολόκληρη μέσα στο τετράγωνο ΑΒΓΔ.

1o. Θ Ε Μ Α Β Ε. Γ Κ Ο Ρ Α. βρίσκεται ολόκληρη μέσα στο τετράγωνο ΑΒΓΔ. o. Θ Ε Μ Α Β Ε. Γ Κ Ο Ρ Α Δίνεται τετράγωνο με κορυφές τα σημεία Α,, Β,, Γ, και Δ, και μία συνεχής στο, συνάρτηση της οποίας η γραφική παράσταση βρίσκεται ολόκληρη μέσα στο τετράγωνο ΑΒΓΔ. B. Nα βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

3o Επαναληπτικό Διαγώνισμα 2016

3o Επαναληπτικό Διαγώνισμα 2016 3o Επαναληπτικό Διαγώνισμα 6 Διάρκεια: 3 ώρες ΘΕΜΑ A A Έστω μια συνάρτηση παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (α,β), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του,στο οποίο όμως η είναι συνεχής Να αποδείξετε ότι Αν () στο (α,

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδος Α. Β 3. Η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα των xx σε ένα σημείο με τετμημένη ξ [α,β],

Μέθοδος Α. Β 3. Η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα των xx σε ένα σημείο με τετμημένη ξ [α,β], Θωμάς Ραϊκόφτσαλης ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΕ ΚΛΕΙΣΤΟ ΔΙΑΣΤΗΜΑ Μέθοδος Α Αν μας ζητείτε να αποδείξουμε ότι ισχύει ένα από τα εξής: Α. Η εξίσωση f() έχει μια τουλάχιστον ρίζα ξ (α,β), Α. Υπάρχει ξ (α,β) έτσι ώστε f(ξ),

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE. τέτοιο ώστε. στο οποίο η εφαπτομένη είναι παράλληλη στον άξονα χχ. της γραφικής παράστασης της f x με. Κατηγορίες Ασκήσεων

ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE. τέτοιο ώστε. στο οποίο η εφαπτομένη είναι παράλληλη στον άξονα χχ. της γραφικής παράστασης της f x με. Κατηγορίες Ασκήσεων Διατύπωση: Εάν για μια συνάρτηση ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE x ισχύουν Η x συνεχής στο [α,β] Η x παραγωγίσιμη στο (α, β) a τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον, τέτοιο ώστε ' 0 Γεωμετρική Ερμηνεία : Γεωμετρικά το θεώρημα ROLLE

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑ Α. , έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη την x 0.

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑ Α. , έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη την x 0. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑ Α Άσκηση Θεωρούμε τον παρακάτω ισχυρισμό: «Αν η συνάρτηση την» ορίζεται στο τότε δεν μπορεί να έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη ) Να χαρακτηρίσετε τον παραπάνω ισχυρισμό γράφοντας

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE Θ.Μ.Τ. ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ

ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE Θ.Μ.Τ. ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΦΥΛ 14 ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE Θ.Μ.Τ. ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ a, 1 0 1. Δίνεται η συνάρτηση f (), 0 1 Να βρείτε τα α,β,γ έτσι ώστε για την συνάρτηση να ισχύουν οι προϋπόθεσης του θεωρήματος Rolle στο [-1,1]. 4. Δίνεται

Διαβάστε περισσότερα

να είναι παραγωγίσιμη Να ισχύει ότι f Αν μια από τις τρεις παραπάνω συνθήκες δεν ισχύουν τότε δεν ισχύει και το θεώρημα Rolle.

να είναι παραγωγίσιμη Να ισχύει ότι f Αν μια από τις τρεις παραπάνω συνθήκες δεν ισχύουν τότε δεν ισχύει και το θεώρημα Rolle. Κατηγορία η Συνθήκες θεωρήματος Rolle Τρόπος αντιμετώπισης:. Για να ισχύει το θεώρημα Rolle για μια συνάρτηση σε ένα διάστημα [, ] (δηλαδή για να υπάρχει ένα τουλάχιστον (, ) τέτοιο ώστε ( ) ) πρέπει:

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Β κύκλος

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Β κύκλος ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Β κύκλος 6-7 ) Δίνεται η παραγωγίσιμη στο συνάρτηση f για την οποία ισχύει : α) Να δείξετε ότι f()=+e -, f ()+f()=, για κάθε και f()=e+ β) Να βρείτε το όριο ( y f(y)) γ) Να δείξετε

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρημα Bolzano. Γεωμετρική Ερμηνεία του θ.bolzano. Θ. Bolzano και ύπαρξη ρίζας

Θεώρημα Bolzano. Γεωμετρική Ερμηνεία του θ.bolzano. Θ. Bolzano και ύπαρξη ρίζας Θεώρημα Bolzano Έστω μια συνάρτηση f η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α, β]. Αν: Η f είναι συνεχής στο [α, β] και Ισχύει f(a)f(β) < 0, τότε υπάρχει τουλάχιστον ένα x 0 (α, β) τέτοιο ώστε

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΘΕΡΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Το Θεώρημα και το Πόρισμα ισχύουν σε διαστήματα και όχι σε ένωση διαστημάτων.

ΣΤΑΘΕΡΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Το Θεώρημα και το Πόρισμα ισχύουν σε διαστήματα και όχι σε ένωση διαστημάτων. ΣΤΑΘΕΡΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Θεώρημα Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ και ισχύει f () = 0 για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f είναι σταθερή σ' όλο το διάστημα Δ. Πόρισμα Αν δύο συναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρημα Bolzano. ΑΠΑΝΤΗΣΗ. Έστω μια συνάρτηση f, ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [, ]. Αν: η f είναι συνεχής στο [, ] και, επιπλέον, ισχύει

Θεώρημα Bolzano. ΑΠΑΝΤΗΣΗ. Έστω μια συνάρτηση f, ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [, ]. Αν: η f είναι συνεχής στο [, ] και, επιπλέον, ισχύει Θεώρημα Bolzno. ΑΠΑΝΤΗΣΗ Έστω μια συνάρτηση f, ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [, ]. Αν: η f είναι συνεχής στο [, ] και, επιπλέον, ισχύει f f 0, τότε υπάρχει ένα, τουλάχιστον, 0 (, ) τέτοιο, ώστε f( 0

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΟ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΟ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΟ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ -ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο τουr Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μια διαδικασία (κανόνα)

Διαβάστε περισσότερα

Συνέχεια συνάρτησης σε διάστημα. Η θεωρία και τι προσέχουμε. x, ισχύει: lim f (x) f ( ).

Συνέχεια συνάρτησης σε διάστημα. Η θεωρία και τι προσέχουμε. x, ισχύει: lim f (x) f ( ). Κεφάλαιο 4 Συνέχεια συνάρτησης σε διάστημα 411 Ερώτηση θεωρίας 1 Η θεωρία και τι προσέχουμε Πότε μια συνάρτηση f θα λέμε ότι είναι συνεχής σε ένα ανοικτό διάστημα (, ) αβ; Απάντηση Μια συνάρτηση f θα λέμε

Διαβάστε περισσότερα

2.8 ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

2.8 ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 8 ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 49 ΟΡΙΣΜΟΣ 6 4 Πότε μια συνάρτηση λέγεται κυρτή και πότε κοίλη σε ένα διάστημα Δ ; Απάντηση : Έστω μία συνάρτηση σ υ ν ε χ ή ς σ ένα

Διαβάστε περισσότερα

1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ .8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΣΥΝΕΧΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ - ΟΡΙΣΜΟΣ Όταν θέλουμε να εξετάσουμε ως προς τη συνέχεια μια συνάρτηση πολλαπλού τύπου, εργαζόμαστε ως εξής

Διαβάστε περισσότερα

g(x) =α x +β x +γ με α= 1> 0 και

g(x) =α x +β x +γ με α= 1> 0 και ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Κεφ..3: Μονότονες Συναρτήσεις - Αντίστροφη Συνάρτηση σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα.

Διαβάστε περισσότερα

Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α

Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α. Έστω µια συνάρτηση f παραγωγίσιµη σ ένα διάστηµα (α, β), µε εξαίρεση ίσως ένα σηµείο του, στο

Διαβάστε περισσότερα

ln 1. ( ) vii. Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη C f, τον άξονα η οποία είναι συνεχής στο και για την οποία ισχύει

ln 1. ( ) vii. Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη C f, τον άξονα η οποία είναι συνεχής στο και για την οποία ισχύει Μαθηματικά Γ Λυκείου Θέμα 4o Α Δίνεται η συνάρτηση h ( ), η οποία είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο διάστημα [, ] β αβ Να δείξετε ότι h d hαβα Β Δίνεται η συνάρτηση f α ( ) ln i Να βρείτε το πεδίο

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = και στην συνέχεια

f(x) = και στην συνέχεια ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ Ερώτηση. Στις συναρτήσεις μπορούμε να μετασχηματίσουμε πρώτα τον τύπο τους και μετά να βρίσκουμε το πεδίο ορισμού τους; Όχι. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης το βρίσκουμε πριν μετασχηματίσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Διαγώνισμα Προσομοίωσης Εξετάσεων 2017

Διαγώνισμα Προσομοίωσης Εξετάσεων 2017 Ένα διαγώνισμα προετοιμασίας για τους μαθητές της Γ Λυκείου στα Μαθηματικά Προσανατολισμού Διαγώνισμα Προσομοίωσης Εξετάσεων 7 Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κων/νος Παπασταματίου Μαθηματικός Φροντιστήριο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΠΤΥΧΙΟΥΧΟΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΑΘΗΝΩΝ (ΕΚΠΑ) ΔΙΑΔΙΚΤΥΑΚΟ

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΘΕΩΡΙΑ Εστω μια συνάρτηση f και x. του πεδίου ορισμού της. Θα λέμε ότι η f είναι συνεχής στο x., όταν

Α. ΘΕΩΡΙΑ Εστω μια συνάρτηση f και x. του πεδίου ορισμού της. Θα λέμε ότι η f είναι συνεχής στο x., όταν Α ΘΕΩΡΙΑ Εστω μια συνάρτηση και ένα σημείο του πεδίου ορισμού της Θα λέμε ότι η είναι συνεχής στο όταν Για παράδειγμα η συνάρτηση είναι συνεχής στο αφού Σύμφωνα με τον παραπάνω ορισμό μια συνάρτηση δεν

Διαβάστε περισσότερα

2.8 ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

2.8 ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 8 ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 49 ΟΡΙΣΜΟΣ 6 4 Πότε μια συνάρτηση λέγεται κυρτή και πότε κοίλη σε ένα διάστημα Δ ; Απάντηση : Έστω μία συνάρτηση σ υ ν ε χ ή ς σ ένα διάστημα Δ και π α ρ α γ ω γ ί

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑΚΙΑ ΓΕΝΙΚΑ. x 0. 2 x

ΘΕΜΑΤΑΚΙΑ ΓΕΝΙΚΑ. x 0. 2 x ΘΕΜΑ A ΘΕΜΑΤΑΚΙΑ ΓΕΝΙΚΑ. Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο: f ( ) ln,,. Να δείξετε ότι η f είναι αντιστρέψιμη και να βρείτε το πεδίο ορισμού της αντίστροφής της.. Να δικαιολογήσετε ότι η εξίσωση f ( ) a, a,

Διαβάστε περισσότερα

2.6 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ

2.6 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ 6 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΣΤΑΘΕΡΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Αν θέλουμε να δείξουμε ότι μια συνάρτηση είναι σταθερή σε ένα διάστημα Δ αποδεικνύουμε ότι η είναι συνεχής στο Δ και ότι για κάθε

Διαβάστε περισσότερα

x R, να δείξετε ότι: i)

x R, να δείξετε ότι: i) ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο R για την οποία ισχύουν: f ( ), f ( ) για κάθε R και f ( ) f ( ) α) Να βρείτε τον τύπο της f για κάθε R g( ) β) Αν g είναι

Διαβάστε περισσότερα

f κυρτή στο [1,5] f x x f η Επαναληπτική f [ 2,10], επιπλέον για την f ισχύουν lim 2 x f 8 1,0 και

f κυρτή στο [1,5] f x x f η Επαναληπτική f [ 2,10], επιπλέον για την f ισχύουν lim 2 x f 8 1,0 και 13η Επαναληπτική Δίνεται η συνάρτηση, δύο φορές παραγωγίσιμη στο [1,] [,1], επιπλέον για την ισχύουν 8 lim στο [1,] Να αποδείξετε ότι ε1 ε Υπάρχουν, με, ώστε στο οποίο η η, έχει σημείο καμπής ε3 Υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

Α1. Να διατυπωθεί και να δοθεί η γεωµετρική ερµηνεία του θεωρήµατος Μέσης Τιµής του ιαφορικού Λογισµού. (3 µονάδες)

Α1. Να διατυπωθεί και να δοθεί η γεωµετρική ερµηνεία του θεωρήµατος Μέσης Τιµής του ιαφορικού Λογισµού. (3 µονάδες) Α Να διατυπωθεί και να δοθεί η γεωµετρική ερµηνεία του θεωρήµατος Μέσης Τιµής του ιαφορικού Λογισµού Α Έστω µια συνάρτηση ορισµένη σε ένα διάστηµα Αν η είναι συνεχής στο και ( ) = για κάθε εσωτερικό σηµείο

Διαβάστε περισσότερα

ÖÑÏÍÔÉÓÔÇÑÉÏ ÊÏÑÕÖÇ ÓÅÑÑÅÓ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ Α ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 19 ΜΑΪΟΥ 2010 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ÖÑÏÍÔÉÓÔÇÑÉÏ ÊÏÑÕÖÇ ÓÅÑÑÅÓ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ Α ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 19 ΜΑΪΟΥ 2010 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 9 ΜΑΪΟΥ 00 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ A. Έστω f µια συνάρτηση ορισµένη σε ένα διάστηµα. Αν F είναι µια παράγουσα της f στο, τότε να αποδείξετε ότι: όλες οι συναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. 1 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1 ο. ΘΕΜΑ 2 ο. 0, αν x

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. 1 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1 ο. ΘΕΜΑ 2 ο. 0, αν x Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ/ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΘΕΩΡΙΑ. Πότε δύο συναρτήσεις και g είναι ίσες;. Πότε μία συνάρτηση με πεδίο ορισμού Α λέγεται " " ; 3. Πότε μία συνάρτηση λέγεται συνεχής στο σημείο o του πεδίου

Διαβάστε περισσότερα

αβ (, ) τέτοιος ώστε f(x

αβ (, ) τέτοιος ώστε f(x ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Άσκηση α) Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [ αβ., ] Αν η f είναι συνεχής στο [ αβ, ]

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα Πανελλαδικών στις Παραγώγους. Εφαπτομένη

Θέματα Πανελλαδικών στις Παραγώγους. Εφαπτομένη Θέματα Πανελλαδικών 000-04 στις Παραγώγους Εφαπτομένη Έστω η συνάρτηση f :, με f 000 ln Έστω c > 000 και έστω ότι η ευθεία y = c και η C f τέμνονται σε δύο διαφορετικά σημεία Α,Β του επιπέδου Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

1. Θεωρήματα Διαφορικού Λογισμού

1. Θεωρήματα Διαφορικού Λογισμού Θεωρήματα Διαφορικού Λογισμού α Θεώρημα Rolle Αν μία συνάρτηση f είναι: Συνεχής στο κλειστό διάστημα [ αα ] παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα ( αα ) και f( α) = f( ) τότε υπάρχει τουλάχιστον ένα ( α )

Διαβάστε περισσότερα

Θ.Rolle Θ.Μ.T. Συνέπειες Θ.Μ.Τ

Θ.Rolle Θ.Μ.T. Συνέπειες Θ.Μ.Τ Θέματα Πανελλαδικών 000-05 στις Παραγώγους Εφαπτομένη Έστω η συνάρτηση f :, με f 000 ln Έστω η συνάρτηση Έστω c > 000 και έστω ότι η ευθεία y = c και η C f τέμνονται σε δύο διαφορετικά σημεία Α,Β του επιπέδου

Διαβάστε περισσότερα

( x) ( ) ( ) ( ) ( ) Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. f x+ h f x. 5x 3 2. x x 2x. 3 x 2. x 2x. f x = log x. f x = ln x 4. log 9. 2x 7x 15. x x.

( x) ( ) ( ) ( ) ( ) Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. f x+ h f x. 5x 3 2. x x 2x. 3 x 2. x 2x. f x = log x. f x = ln x 4. log 9. 2x 7x 15. x x. Κεφάλαιο - Συναρτήσεις I Πεδίο ορισµού συνάρτησης Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ίνονται οι συναρτήσεις: f( ) = +, (ii) f( ) = Να βρεθούν τα f( 0 ), f( ), f( ), f( α ), f( α+ β), f( α 5) ( ) ( ) f + h f, h Να

Διαβάστε περισσότερα

Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ. Μαθηματικά θετικής τεχνολογικής κατεύθυνσης. Θ. Κουτσανδρέας

Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ. Μαθηματικά θετικής τεχνολογικής κατεύθυνσης. Θ. Κουτσανδρέας Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ Μαθηματικά θετικής τεχνολογικής κατεύθυνσης ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΕΦ. Ο ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Θ. Κουτσανδρέας Γεράσιμος Κεφ. ο Διαφορικός Λογισμός Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ Παράγωγος αριθμός στο o R Έστω συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE

ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE Θεώρημα Rolle Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα [α, β], παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα (α, β) και ισχύει ότι f(α) f(β), τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον

Διαβάστε περισσότερα

Οι ασκήσεις βασίζονται στο αξιόλογο φυλλάδιο του Μαθηματικού Μιλτ. Παπαγρηγοράκη, από τις σημειώσεις του για το 4ο Γενικό Λύκειο Χανίων [ <

Οι ασκήσεις βασίζονται στο αξιόλογο φυλλάδιο του Μαθηματικού Μιλτ. Παπαγρηγοράκη, από τις σημειώσεις του για το 4ο Γενικό Λύκειο Χανίων [ < Οι ασκήσεις βασίζονται στο αξιόλογο φυλλάδιο του Μαθηματικού Μιλτ. Παπαγρηγοράκη, από τις σημειώσεις του για το 4ο Γενικό Λύκειο Χανίων [2008-2009 < Mathematica.gr], τον οποίο κι ευχαριστώ ιδιαίτερα για

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α A Έστω f µια συνάρτηση ορισµένη σε ένα διάστηµα Αν F είναι µια παράγουσα της f στο, τότε να αποδείξετε ότι: όλες οι συναρτήσεις της µορφής G() F() + c, c

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ [Κεφάλαιο 2.1: Πρόβλημα εφαπτομένης του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ [Κεφάλαιο 2.1: Πρόβλημα εφαπτομένης του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ [Κεφάλαιο.: Πρόβλημα εφαπτομένης του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ Β Έστω μια παραγωγίσιμη στο συνάρτηση, τέτοια ώστε για κάθε x

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΙ ΠΟΥ ΧΡΕΙΑΖΟΝΤΑΙ ΜΙΑ ΔΕΥΤΕΡΗ ΜΑΤΙΑ

ΜΕΘΟΔΟΙ ΠΟΥ ΧΡΕΙΑΖΟΝΤΑΙ ΜΙΑ ΔΕΥΤΕΡΗ ΜΑΤΙΑ ΜΕΘΟΔΟΙ ΠΟΥ ΧΡΕΙΑΖΟΝΤΑΙ ΜΙΑ ΔΕΥΤΕΡΗ ΜΑΤΙΑ? Εύρεση πεδίου ορισμού σε συνθέσεις.. Δίνεται η γν. αύξουσα συνάρτηση :[ -, ] R. Α. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της g () = ( + ) + ( + ). Β. Να βρεθεί η μονοτονία

Διαβάστε περισσότερα

2η ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ

2η ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΑΠΟ 3//7 ΕΩΣ 5//8 η ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Ημερομηνία: Παρασκευή 5 Ιανουαρίου 8 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α Α. Αν μία συνάρτηση f είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ Ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτοµένης της γραφικής παράστασης τη f(x) στο σηµείο x ο είναι f x ) (Μονάδες 4)

ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ Ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτοµένης της γραφικής παράστασης τη f(x) στο σηµείο x ο είναι f x ) (Μονάδες 4) Αµυραδάκη, Νίκαια (-493576) ΘΕΜΑ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 3 Α. Πότε µια συνάρτηση f λέγεται παραγωγίσιµη στο ο ; Β. Τι σηµαίνει γεωµετρικά το θεώρηµα Rolle ; Γ. Να αποδείξετε ότι ( ) a = a ln a (Μονάδες 5) (Μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΜΟΣ 2ος ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΤΟΜΟΣ 2ος ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΤΟΜΟΣ 2ος ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Γιώργος Αποστόλου apgeorge2004@yahoo.com Μαθηµατικός Εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις του διαγωνίσματος στις παραγώγους

Λύσεις του διαγωνίσματος στις παραγώγους Λύσεις του διαγωνίσματος στις παραγώγους Θέμα ο Α Έστω ότι f ), για κάθε α, ), β) Επειδή η f είναι συνεχής στο θα είναι γνησίως αύξουσα σε κάθε ένα από τα διαστήματα α, ] και [, β) Επομένως, για ισχύει

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ

ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ Έστω συνάρτηση f για την οποία ισύουν είναι συνεής στο κλειστό [α,β] είναι παραγωγίσιμη στο (α,β) Τότε υπάρει τουλάιστον ένα σημείο ξ του (α,β), τέτοιο ώστε να είναι : f (ξ) = ΑΠΟΔΕΙΞΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ-ΛΑΘΟΥΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ-ΛΑΘΟΥΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ-ΛΑΘΟΥΣ 1. Αν f συνεχής στο [α, β] είναι f ( ) d 0 f ( ) 0 2. Αν f συνεχής και γν. αύξουσα στο [α, β] ισχύει ότι: f ( ) d 0. 3. Αν f ( ) d g( ) d, ό f ( ) g( ) ά [, ]. 4. Το σύνολο τιμών

Διαβάστε περισσότερα

0x2 = 2. = = δηλαδή η f δεν. = 2. Άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [0,3]. Συνεπώς δεν. x 2. lim f (x) = lim (2x 1) = 3 και x 2 x 2

0x2 = 2. = = δηλαδή η f δεν. = 2. Άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [0,3]. Συνεπώς δεν. x 2. lim f (x) = lim (2x 1) = 3 και x 2 x 2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO - ΠΡΟΣΗΜΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΕΝΔΙΑΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ - ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

1. Υπολογίστε, όπου αυτές υπάρχουν, τις παραγώγους των συναρτήσεων:

1. Υπολογίστε, όπου αυτές υπάρχουν, τις παραγώγους των συναρτήσεων: Υπολογίστε, όπου αυτές υπάρχουν, τις παραγώγους των συναρτήσεων:, g, h Απάντηση: Η με έχει παράγωγο 4 Μπορούμε όμως να εργαστούμε ως εξής: Είναι άρα 4 Η g με g έχει παράγωγο : g Η συνάρτηση h με h έχει

Διαβάστε περισσότερα

2. Έστω η συνάρτηση f :[0, 6] με την παρακάτω γραφική παράσταση.

2. Έστω η συνάρτηση f :[0, 6] με την παρακάτω γραφική παράσταση. . Έστω η συνάρτηση f : με την παρακάτω γραφική παράσταση. Α. Να προσδιορίσετε τα διαστήματα στα οποία η f είναι γνησίως αύξουσα, γνησίως φθίνουσα, κυρτή, κοίλη, καθώς και τα τοπικά ακρότατα και τα σημεία

Διαβάστε περισσότερα

<Πεδία ορισμού ισότητα πράξεις σύνθεση>

<Πεδία ορισμού ισότητα πράξεις σύνθεση> Συναρτήσεις 1 A Έστω μία συνάρτηση Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης B Δίνεται η συνάρτηση Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων :, και Γ Να εξετάσετε

Διαβάστε περισσότερα

Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. Ημερομηνία: Τρίτη 10 Απριλίου 2018 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. Ημερομηνία: Τρίτη 10 Απριλίου 2018 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΠΟ /4/8 ΕΩΣ 4/4/8 ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Ημερομηνία: Τρίτη Απριλίου 8 Διάρκεια Εξέτασης: ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α Έστω μία συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αν o

Διαβάστε περισσότερα

********* Β ομάδα Κυρτότητα Σημεία καμπής*********

********* Β ομάδα Κυρτότητα Σημεία καμπής********* ********* Β ομάδα Κυρτότητα Σημεία καμπής********* 5 Για την δύο φορές παραγωγίσιμη στο R συνάρτηση ισχύει: e για κάθε R. Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της δεν παρουσιάζει σημείο καμπής. Υποθέτουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ 5 05/05/2016 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΛΥΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ 5 05/05/2016 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΛΥΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ 5 5/5/6 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΜΑ ο Α. Τι ορίζουμε ως εφαπτομένη (όχι κατακόρυφη) της γραφικής παράστασης C

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Τελική Επανάληψη

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Τελική Επανάληψη Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Τελική Επανάληψη e d g h g h Εκφωνήσεις 65, 6 Δίνονται η συνάρτηση και η σχέση g, 8 α) Να βρεθούν οι τιμές του πραγματικού αριθμού λ ώστε η συνάρτηση να έχει πεδίο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ.2.5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ.2.5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ MICHEL ROLLE Μία μορφή του θεωρήματος Rolle δόθηκε από τον Ινδό αστρονόμο Bhaskara

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( x )

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( x ) () Μονοτονία ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( ) και βρίσκω το πρόσηµό της ii) Αν προκύψει να είναι αύξουσα ή φθίνουσα,

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2017 Α ΦΑΣΗ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2017 Α ΦΑΣΗ Ε_.ΜλΘΟ(ε) ΤΑΞΗ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ: ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ / ΣΠΟΥ ΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ηµεροµηνία: Σάββατο 7 Ιανουαρίου 7 ιάρκεια Εξέτασης: ώρες ΘΕΜΑ Α A. Έστω η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ορισμοί Μία συνάρτηση f λέγεται: 1 γνησίως αύξουσα σ' ένα υποσύνολο Β του πεδίου ορισμού της όταν για κάθε 1, Β με 1 < ισχύει ότι f( 1 ) < f( ) γνησίως φθίνουσα σ' ένα υποσύνολο Β

Διαβάστε περισσότερα

5o Επαναληπτικό Διαγώνισμα 2016

5o Επαναληπτικό Διαγώνισμα 2016 5o Επαναληπτικό Διαγώνισμα 6 Διάρκεια: 3 ώρες ΘΕΜΑ A Α Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Να αποδείξετε ότι αν η f είναι συνεχής στο Δ και f για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση: Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:. Να γνωρίζει τον ορισμό της παραγώγου συνάρτησης σε ένα σημείο και να τον ερμηνεύει ως ρυθμό μεταβολής.. Να γνωρίζει τις έννοιες

Διαβάστε περισσότερα

x x = e, x > 0 έχει ακριβώς δυο Γ4. Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική

x x = e, x > 0 έχει ακριβώς δυο Γ4. Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Γ. Δίνεται η συνάρτηση f() ( )ln, >. Γ. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα Δ (, ] και γνησίως αύξουσα στο διάστημα Δ [, ). Στη συνέχεια να βρείτε το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

( x) β ], παρουσιάζει ελάχιστη τιµή α, δηλαδή υπάρχει. ξ µε g( ξ ) = 0. Το ξ είναι ρίζα της δοσµένης εξίσωσης.

( x) β ], παρουσιάζει ελάχιστη τιµή α, δηλαδή υπάρχει. ξ µε g( ξ ) = 0. Το ξ είναι ρίζα της δοσµένης εξίσωσης. . Έστω συνάρτηση f, δύο φορές παραγωγίσιµη στο R, µε συνεχή δεύτερη παράγωγο και σύνολο τιµών το διάστηµα [, ] a β, όπου a< < β. Να αποδείξετε ότι: i) υπάρχουν δύο τουλάχιστον σηµεία,, µε, ώστε f ( ) =

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ.3.7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ.3.7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β Άσκηση. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. Να εξετάσετε αν είναι ίσες οι συναρτήσεις f, g όταν: x x 2 x x. x x g x. ln x ln x 1 και

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. Να εξετάσετε αν είναι ίσες οι συναρτήσεις f, g όταν: x x 2 x x. x x g x. ln x ln x 1 και Α ΟΜΑΔΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Να εξετάσετε αν είναι ίσες οι συναρτήσεις, όταν: () με R και (). Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Ε Ι Σ Το πεδίο ορισμού της είναι A R. Επομένως A A R Α Θα εξετάσουμε αν για κάθε R ισχύει.

Διαβάστε περισσότερα

Α1. Θεωρία Σελίδες Σχολικού Βιβλίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής& Τεχνολογικής κατεύθυνσης Γ ΛΥΚΕΙΟΥ, ΕΚΔΟΣΗ 2014

Α1. Θεωρία Σελίδες Σχολικού Βιβλίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής& Τεχνολογικής κατεύθυνσης Γ ΛΥΚΕΙΟΥ, ΕΚΔΟΣΗ 2014 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΤΗΣ ΜΑΡΤΗ ΘΕΜΑ Α Α Θεωρία Σελίδες 33-33 Σχολικού Βιβλίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής& Τεχνολογικής κατεύθυνσης Γ ΛΥΚΕΙΟΥ, ΕΚΔΟΣΗ ΑΘεωρία

Διαβάστε περισσότερα

f ( x) x EΠΙΛΕΓΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Συναρτήσεις ( ) 1. Έστω συνάρτηση f γνησίως αύξουσα στο R τέτοια ώστε να ισχύει

f ( x) x EΠΙΛΕΓΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Συναρτήσεις ( ) 1. Έστω συνάρτηση f γνησίως αύξουσα στο R τέτοια ώστε να ισχύει Συναρτήσεις Έστω συνάρτηση γνησίως αύξουσα στο R τέτοια ώστε να ισχύει Να δείξετε ότι (), για κάθε R ( ) +, για κάθε R Έστω συνάρτηση µε πεδίο ορισµού και σύνολο τιµών το R και τέτοια ώστε ( ) ( ) e +,

Διαβάστε περισσότερα

lim lim ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 1. Tι ορίζουμε ως εφαπτομένης της C f στο σημείο της A x, f ( )); Έστω f μια συνάρτηση και A x, f ( )) ένα σημείο της C

lim lim ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 1. Tι ορίζουμε ως εφαπτομένης της C f στο σημείο της A x, f ( )); Έστω f μια συνάρτηση και A x, f ( )) ένα σημείο της C ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. Tι ορίζουμε ως εφαπτομένης της C στο σημείο της A, ( ; ( Έστω μια συνάρτηση και A, ( ένα σημείο της C. Αν υπάρχει το ( ( ( lim και είναι ένας πραγματικός αριθμός λ, τότε ορίζουμε ως

Διαβάστε περισσότερα

f(x 2) 5 x 1 α) Να αποδείξετε ότι: i) f (3) = 5 και ii) f (3) = 6 x 2 f(x)

f(x 2) 5 x 1 α) Να αποδείξετε ότι: i) f (3) = 5 και ii) f (3) = 6 x 2 f(x) . Έστω η συνάρτηση = + e. Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία.. Να λύσετε την εξίσωση e = 3. Θεωρούμε τη γνησίως μονότονη συνάρτηση g : R R η οποία για κάθε R ικανοποιεί τη σχέση g() + e g() = +.

Διαβάστε περισσότερα

4ο Επαναληπτικό διαγώνισμα στα Μαθηματικά προσανατολισμού της Γ Λυκείου

4ο Επαναληπτικό διαγώνισμα στα Μαθηματικά προσανατολισμού της Γ Λυκείου 4ο Επαναληπτικό διαγώνισμα στα Μαθηματικά προσανατολισμού της Γ Λυκείου 8-9 Θέμα A A Αν οι συναρτήσεις,g είναι παραγωγίσιμες στο, να αποδείξετε ότι η συνάρτηση και ισχύει: g g παραγωγίσιμη στο μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Το 1ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Το 1ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις Επιμέλεια Καραγιάννης Β. Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Το ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις Ερωτήσεις+Απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου wwwaskisopolisgr έκδοση 5-6 wwwaskisopolisgr ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

1. Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων με τύπους. 2. Να βρεθεί ο λ R ώστε f(x) = ln ( x 2 +2λx+9) να έχει πεδίο ορισμού Α = R

1. Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων με τύπους. 2. Να βρεθεί ο λ R ώστε f(x) = ln ( x 2 +2λx+9) να έχει πεδίο ορισμού Α = R ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ Α. ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ. Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων με τύπους 4 ι) () = 6 + 6 iv) () = log ( log4(- )) v) () = ii) () = iii) () = log ( + ) 5 log 4 vii) () = 5 + 4 viii) ()

Διαβάστε περισσότερα

ΗΡΑΚΛΕΙΤΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΗΡΑΚΛΕΙΤΟΣ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β') ΔΕΥΤΕΡΑ 28 ΜΑΪΟΥ 2012

ΗΡΑΚΛΕΙΤΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΗΡΑΚΛΕΙΤΟΣ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β') ΔΕΥΤΕΡΑ 28 ΜΑΪΟΥ 2012 ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β') ΔΕΥΤΕΡΑ 28 ΜΑΪΟΥ 2012 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

5ο Επαναληπτικό διαγώνισμα στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Θέμα A

5ο Επαναληπτικό διαγώνισμα στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Θέμα A 5ο Επαναληπτικό διαγώνισμα στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου 7-8 Θέμα A A Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα στο οποίο όμως η f είναι συνεχής Αν η f διατηρεί πρόσημο στο α,,β ότι το

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ορισμός εφαπτομένης καμπύλης Αν μία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο x, τότε ορίζουμε ως εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο Α(x, f(x )) την

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Β ΜΕΡΟΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Β ΜΕΡΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 7-8 Β ΜΕΡΟΣ. Δίνεται η τέσσερις φορές παραγωγίσιμη στο συνάρτηση f τέτοια ώστε : f (4) () + f () () = ημ + συν, για κάθε και f() =, f () =, f () = - και f () () =. α) Να βρείτε τον

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ

ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ? Εύρεση εφαπτόμενης της γνωστό σημείο (, ( )) με την βοήθεια του ορισμού: Εάν το σημείο αλλαγής τύπου η σημείο μηδενισμού της ύπαρξης ποσότητας, εξετάζω αν η είναι παραγωγισιμη

Διαβάστε περισσότερα