Με βάση την ανίσωση ασφαλείας που εισάγαμε στα προηγούμενα, το ζητούμενο στο σχεδιασμό είναι να ικανοποιηθεί η εν λόγω ανίσωση: S d R d Η εν λόγω ανίσωση εφαρμόζεται και ελέγχεται σε κάθε εντατικό μέγεθος που προκύπτει από τη στατική επίλυση του φέροντος οργανισμού, που περιλαμβάνει τις ροπές, την αξονική, την τέμνουσα και τη στρέψη. Όλα τα παραπάνω προκύπτουν από τη στατική και ελέγχονται στους συνδυασμούς τους, εκεί όπου μεγιστοποιούνται (σε απόλυτα μεγέθη) > στις κρίσιμες περιοχές. Για δοκούς ισχύει άρα : M sd M rd, Q sd Q rd 2
Δοκός ανοίγματος L υπό κατανεμημένο φορτίο q q = 1,35*G k + 1,50*Q k (Ν sd = 0) M sd,1 = q L 2 /12 M sd,2 = q L 2 /12 M sd,3 = q L 2 /24 Στην πράξη, επιλύονται όλοι οι βασικοί συνδυασμοί και γίνονται περιβάλλουσες. 3
Τυπική περιβάλλουσα συνεχούς δοκού δύο ανοιγμάτων (Ν sd = 0) -M sd,1 -M sd,5 M sd,2 -M sd,3 M sd,4 Μ sd,4 Ν sd =0 4
Υποστύλωμα καθαρού ύψους h σε σεισμική τέμνουσα V (σεισμικός συνδυασμός) με ταυτόχρονη δράση αξονικής Ν sd. Νsd M sd,2 = V*h/2 Εφόσον η τέμνουσα λόγω σεισμού είναι αμφίσημη, θεωρείται ότι οι οπλισμοί εφελκυσμού θα τοποθετηθούν σε κάθε παρειά. Α Α Μ sd, Ν sd M sd,1 = V*h/2 Τομή ΑΑ 5
Παρακάτω θα μελετηθεί ο υπολογισμός για την παραλαβή εντατικών μεγεθών κάμψης με ή χωρίς ορθή δύναμη. Λέγονται και μεγέθη ορθής έντασης, λόγω του ότι παραλαμβάνονται με ορθές τάσεις (θλίψη / εφελκυσμό) στη διατομή. Δεν αφορά τη διάτμηση. Θλιπτικές τάσεις που παραλαμβάνει το σκυρόδεμα Μ sd, Ν sd Μ sd, Ν sd Εφελκυστικές τάσεις που παραλαμβάνει ο οπλισμός 6
Οι βασικές παράμετροι του προβλήματος: Γεωμετρία Εντατικά μεγέθη στο ΚΒ Μετατόπιση του σημείου εφαρμογής των εξωτερικών δράσεων: Γενική περίπτωση Μας διευκολύνει στην αντιμετώπιση αξονικών με διάφορες εκκεντρότητες e = M/N Η ροπή είναι πάντα με διεύθυνση ώστε να εφελκύεται ο κάτω χάλυβας. Η αξονική είναι θετική όταν εφελκύει. Άρα γίνεται παράλληλη μετατόπιση της αξονικής στη θέση του εφελκυόμενου οπλισμού: M sds = M sd N sd * (h/2 d ) = M sd N sd * z s1 7
Επιπεδότητα διατομής (θεωρία δοκού Bernoulli) Πλήρης συνάφεια χάλυβα με σκυρόδεμα Καταστατικές σχέσεις των υλικών σε ΟΚΛ και ΟΚΑ Ισορροπία εσωτερικών δυνάμεων της διατομής με τις εξωτερικές δράσεις (M sds, N sd ): Αξονική N sd +F cd +F s2d = F s1d Ροπή M sds - F cd *z F s2d *(d-d 2 )=0 ή M sds + F cd *(a-d 2 ) F s1d *(d-d 2 ) = 0 8
Για τα υλικά ισχύουν οι παραδοχές σχεδιασμού: Σκυρόδεμα: Χάλυβας: 9
Οι παραπάνω εξισώσεις (2) μαζί με τη βασική εξίσωση της επιπεδότητας της διατομής είναι οι τρεις εξισώσεις του προβλήματος. Επιλέγουμε κατηγορία υλικά (π.χ., C20, S500). Άρα, είναι καθορισμένα τα f cd, f yd. Λόγω ΟΚΑ, επιλέγουμε ε c2 = 0,0035. Άρα, απομένει να καθορισθεί η θέση του ουδ. άξονα x ώστε να υπολογισθούν οι δυνάμεις (θέση και μέγεθος, βλ, και συντελεστές πλήρωσης) F cd, F s1d, F s2d. Συνήθως είναι γνωστά τα M sd, N sd, b, d (z s1 ), d 2 (z s2 ), οπότε λύνουμε ως προς A s1, A s2, x = ξ*d. Σχεδιασμός. Εναλλακτικά, είναι γνωστά τα A s1, A s2, b, d, d 2, e = M sd /N sd οπότε λύνουμε ως προς M sd, N sd, x = ξ*d. Ανάλυση έλεγχος. Λόγω της συνθετότητας του προβλήματος χρησιμοποιούνται νομογραφήματα. Υπάρχουν πολλαπλές λύσεις : Οικονομικότητα. 10
Η συνισταμένη των θλιπτικών τάσεων του σκυροδέματος (μέγεθος και θέση) μπορεί να εκφρασθεί μονοσήμαντα με βάση Πίνακες για δεδομένη διατομή (π.χ. ορθογωνική) και νόμο υλικού σ-ε. διατομή παραμορ -φώσεις τάσεις δυνάμεις ΟΚΑ 11
Στην ΟΚΑ, η επίλυση των παραπάνω εξισώσεων μπορεί να γίνει με απλή εφαρμογή των εξισώσεων ισορροπίας : Α) Αξονική Β) Ροπή Λόγω ΟΚΑ, ισχύει πάντοτε ότι ε c2 =0,0035 Στην πλέον γενική περίπτωση γίνεται χρήση νομογραφημάτων. 12
Ορθογωνική διατομή b/d/h=25/45/50 C20 S500. M sd = 120 knm. A s F cd = (0,81)*x*(0,85*20.000/1,50 kn/m 2 )*(0,25m) = 2295x kn F sd = A s *(500.000/1,15 kn/m 2 ) = 43,48 A s (cm 2 ) N sd =0 F cd =F sd x=(43,48/2295)*a s (cm 2 ) x=0,018944*a s (cm 2 ) M sd =120 knm F sd *(d-0,416*x)=120 knm 120 knm= 43,48 A s *(0,45-0,416*0,018944*A s ) A s = 7,0 cm 2 13
Όπλιση δοκών με απλό οπλισμό (ΟΚΑ) Χάλυβας S500, σκυρόδεμα οποιοδήποτε Διαδικασία: Δίδονται M sd, N sd, b, d Υπολογισμός μ sds Υπολογισμός ω Υπολογισμός Α s Έλεγχος (ελάχιστα, μέγιστα, τοποθέτηση ράβδων) 14
Δεδομένα M sd = 220 knm, N sd = 150 kn Θλιπτ. Υλικά C20, B500s ( > S500) b = 0,30m, h = 0,60m Διαδικασία d = 0,60m -0,03 m 0,01m 0,01m = 0,55m M sds = 220kNm+150*kN(0,3-0,05)m=257,5 knm. μ sds = 257,5kNm / (0,3m*0,55 2 m 2 *20.000kN/m 2 /1,5) = 0,213 ω = 0,204+(0,0307-0,0204)*(0,213-0,2)/(0,3-0,2) = 0,2053 ε s1 = 20,00 σ sd = 500000/1,15 kν/m 2 Α s = 100 2 *(0,2053 * 0,3m * 0,55m * 20000/1,5 150kN)/500000/1,15 = 6,94 cm 2 τίθενται 3Φ18 (Α s = 7,5 cm 2 ) Έλεγχοι: ρ = 7,5/30/55 = 0,0045 ρ min = (½)*2,2/435 = 0,0025 ρ max = 0,0115 15
Δεδομένα N sd = 350 kn, M sd = 420 knm. Υλικά C20, B500s b = 0,30m, h = 0,60m Διαδικασία d = 0,60-0,04 0,01 = 0,55m. z s2 = 0,3-0,05 = 0,25m M sds = 420 -(-350*0,25) = 507,5 knm. κ d = 55 / 507,5/0,3 = 1,34 < 1,54 = κ * d κ s1 = 2,94, κ s2 = 0,60, ρ 1 = 1,01 Α s1 = 2,94*507,5/55-10*350/(500/1,15) = 19,1 cm 2 Α s2 = 0,60*507,5/55 = 5,5 cm 2 Κάτω: 4Φ25 (Α s1 = 19,6 cm 2 ) Άνω τίθενται 4Φ18 (Α s2 = 10 cm 2 > ½ Α s1 = 9,6 cm 2 ) Έλεγχοι: ρ = 19,1/30/55 = 0,0116 ρ /ρ = 10/19,1 = 0,53 ρ min = (½)*2,2/435 = 0,0025 ρ max = 0,0115 16
Γενικά μία διατομή σε κάμψη είναι οικονομικότερη όταν μπορεί να παραλάβει τις δράσεις με απλό οπλισμό (τότε ελαχιστοποιείται το άθροισμα A s1 + A s2 ). Ο διπλός οπλισμός τίθεται όταν το θλιβόμενο σκυρόδεμα δεν επαρκεί να παραλάβει τη δύναμη άνω πριν ο χάλυβας κάτω έχει διαρρεύσει (x lim ), ή και για οριακά x/d μικρότερα του x lim. Υπολογισμός των x lim, Μ sdslim. H υπέρβαση των παραπάνω ορίων συμβαίνει όταν η ροπή είναι μεγάλη και το στατικό ύψος της δοκού είναι μικρό λόγω περιορισμών στην κρέμαση. 17
Κατά το σχεδιασμό στην ΟΚΑ δεν επιθυμούμε να αστοχεί το σκυρόδεμα πριν ο χάλυβας εφελκυσμού να έχει διαρρεύσει. Για αυτό το λόγο δεν διαστασιολογούμε μια διατομή έτσι ώστε στην αστοχία να έχει μια τιμή x, που προκύπτει από την ισορροπία αξονικών, μεγαλύτερη από την οριακή τιμή x lim και εξαρτάται από τις ιδιότητες των υλικών (ε cu, ε yd ). Υπολογισμός του x lim από όμοια τρίγωνα. Αντίστοιχα υπολογίζονται και τα A s,lim, M sd,lim και ρ lim : 0,0035 0, 0035 0, 00215 1) x d x 2) A 3) M lim s lim s lim f yd A 0, 68 b s lim f lim yd ξ lim x lim f x d cd lim d ( 1 0, 4 x ρ lim 0, 62 lim ) 0, 68 ξ lim f f cd yd ε yd = 0,00217 = 500/1,15/200000 18
ξ lim = x lim / d = 0,0035/(0,0035 + ε yd ). Είναι ιδιότητα που εξαρτάται από το χάλυβα οπλισμού μόνο. π.χ.: S500, x lim / d = 0,62 Προκύπτει από τις εξισώσεις καμπτικής ισορροπίας ότι : M sds,lim = 0,688 (x lim /d) * [1-0,416 (x lim /d)] * bd 2 f cd π.χ.: για x lim / d = 0,62, μ sds,lim = 0,315 Εφόσον, άρα έχουμε ροπές μεγαλύτερες της M sds,lim τότε απαιτείται διπλός οπλισμός. Για αυξημένη πλαστιμότητα της διατομής, θα πρέπει να θεωρούνται και μικρότερα x lim /d (π.χ. x lim /d < 0,35, μ sds,lim = 0,206). 19
Όπλιση δοκών με διπλό οπλισμό (ΟΚΑ) Χάλυβας S500, σκυρόδεμα οποιοδήποτε Διαδικασία: Δίδονται M sd, N sd, b, d, d 2 Επιλέγουμε ξ lim Υπολογισμός μ sds Υπολογισμός ω 1, ω 2 Υπολογισμός Α s1, Α s2 Έλεγχος (ελάχιστα, μέγιστα, τοποθέτηση ράβδων) 20
Όπως αναπτύχθηκε και στην τάξη, δεν είναι απαραίτητο να τεθεί σαν όριο το x lim για ταυτόχρονη διαρροή και αστοχία, αλλά ένα όριο με υψηλότερα τη θέση του ουδέτερου άξονα: Για παράδειγμα, στον Πίνακα δίπλα δίδεται η επιλογή οπλισμών για x lim /d = 0,35. 21
Δεδομένα M sd = 420 knm. Θεωρούμε ουδεμία ανακατανομή (ξ lim = 0,617). Υλικά C20, B500s ( > S500) b = 0,30m, h = 0,60m Διαδικασία d = 0,60-0,04 0,01 = 0,55m. d 2 = 0,05 d 2 /d = 0,10. M sds = 420 knm. μ sds = 420/ (0,3*0,55 2 *20000/1,5) = 0,347 ω 1 = 0,46, ω 2 = 0,065 ε s1 = 20,00 σ sd = 500000/1,15 kν/m 2 Α s1 = 100 2 * 0,46 * 0,3 * 0,55 * (20000/1,5)/500000/1,15 = 23,2 cm 2 Κάτω: 5Φ25 (Α s1 = 24,5 cm 2 ) Απαιτείται άνω: Α s1 = 1,8 cm 2 τίθενται 6Φ20 (ρ > ρ/2!) Έλεγχοι: ρ = 24,5/30/55 = 0,0148 ρ min = (½)*2,2/435 = 0,0025 ρ max = 0,0161 22
ζ ε s1, σ s1d ξ ε s2, σ s2d 23
24
Σε δοκούς από ΟΣ, η μονολιθική σύνδεση της πλάκας με τον κορμό της δοκού μας επιτρέπει να λάβουμε υπόψη το γεγονός ότι οι θλιπτικές τάσεις στην άνω παρειά διαχέονται μέσα στην πλάκα, εκατέρωθεν του κορμού, όταν θλίβεται το άνω πέλμα. Άρα, η συνθήκη ΟΚΑ για ε cu = 0,0035 δεν μπορεί πρακτικά να υλοποιηθεί, και σε αυτή την περίπτωση ουσιαστικά η αστοχία (και ο σχεδιασμός) συμβαίνει για διαρροή του εφελκυόμενου οπλισμού. Είναι άρα οικονομικό να εκμεταλλευτούμε την μείωση της τάσης στο θλιβόμενη παρειά για παραλαβή μίας δεδομένης ροπής. Ισχύει για θετικές ροπές στο άνοιγμα όταν έχουμε ορθή κρέμαση και αρνητικές ροπές στη στήριξη για ανεστραμμένη δοκό. 25
Οι τάσεις στην άνω θλιβόμενη παρειά διαχέονται εγκαρσίως (προσοχή για ακραίες και κοντινές εγκάρσια δοκούς)αλλά δεν είναι σταθερά κατανεμημένες δεν ισχύει πλέον η επιπεδότητα. Η κατανομή τους με βάση ελαστικές επιλύσεις είναι συνάρτηση του είδους του φορτίου, του πάχους της πλάκας και του πάχους του κορμού και της κρέμασης και του ανοίγματος της δοκού. Πρακτικά θεωρείται ένα ισοδύναμο συνεργαζόμενο πλάτος b eff αντί του b w σε όλες τις εξισώσεις ισορροπίας που έχουμε αναπτύξει. Επιλέγεται έτσι ώστε η θλιπτική δύναμη F cd και η μέγιστη θλιπτική τάση στο σκυρόδεμα να είναι ίσες με αυτές που αναπτύσσει η ελαστική κατανομή. 26
Με αυτό τον τρόπο, στο σχεδιασμό / έλεγχο, δεν αλλάζει καθόλου η θεώρηση της διατομής, οι ιδιότητες των υλικών και οι εξισώσεις ισορροπίας. Χρησιμοποιείται η ισοδύναμη F cd. 27
Για συνήθεις περιπτώσεις (περίπου ίσα ανοίγματα) το συνεργαζόμενο πλάτος ισούται με : b eff = l 0 / 5 εσωτερική δοκός, b eff = l 0 / 10, ακραία δοκός Το συνεργαζόμενο πλάτος υπολογίζεται για την περίπτωση της αμφιέρειστης δοκού με ομοιόμορφα κατανεμημένο φορτίο: l 0 = α l, όπου α = 1,0. Για άλλες συνθήκες στήριξης, λαμβάνεται το ισοδύναμο θεωρητικό άνοιγμα του τμήματος που αντιστοιχεί στην αμφιέρειστη δοκό. Πρόκειται για το τμήμα μεταξύ μηδενισμού των ροπών. Γενικά, γίνεται η παραδοχή ότι : l 0 = αl, α = 0,85 l 0 = αl, α = 0,70 l 0 = αl, α = 2,00 l 0 = αl, α = 0,30 μονόπακτη, ακραίο άνοιγμα μεσαίο άνοιγμα συνεχούς δοκού πρόβολος στήριξη 28
Λαμβάνεται b eff = b w + b ef1 + b ef2 29
Περίπτωση 1: Η λύση της δοκού είναι τέτοια ώστε ο ουδέτερος άξονας να ευρίσκεται μέσα στην πλάκα. Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τη γενική λύση (Πίνακες) για ορθογωνικές διατομές, θεωρώντας ότι b w = b eff. Διαδικαστικά, μπορούμε άρα να χρησιμοποιήσουμε τους Πίνακες που έχουμε ήδη αναπτύξει και να ελέγξουμε ότι η λύση ικανοποιεί τη σχέση: x < h f 30
Περίπτωση 2: Η λύση της δοκού είναι τέτοια ώστε ο ουδέτερος άξονας να ευρίσκεται μέσα στον κορμό. Γίνεται χρήση Πινάκων για πλακοδοκούς. Χάλυβας S500, σκυρόδεμα οποιοδήποτε. Διαδικασία: Δίδονται M sd, N sd, b, d, d 2 Επιλέγουμε ξ lim Υπολογισμός b eff, μ sds Υπολογισμός ω Υπολογισμός Α s Έλεγχος (ελάχιστα, μέγιστα, τοποθέτηση ράβδων) 31