Επίλυση γραµµικών φορέων ΟΣ σύµφωνα µε τους EC2 & EC8. Άσκηση 1η ΑΣΚΗΣΗ 1

Transcript

1 Άσκηση 1η ΑΣΚΗΣΗ 1 Να υπολογισθεί ο οπλισµός της παρακάτω διατοµής, χωρίς τη χρήση έτοιµων τύπων ή πινάκων, για ροπή M d = 150 knm ίνεται ότι η κατηγορία σκυροδέµατος είναι C 16/0 και η ποιότητα χάλυβα οπλισµού S500 h = 75 cm b = 0 cm

2 Άσκηση 1η ΕΠΙΛΥΣΗ Η πορεία που ακολουθούµε για την επίλυση της άσκησης είναι η εξής Από ανάλυση διατοµής προσδιορίζουµε τις παραµορφώσεις σκυροδέµατος και χάλυβα, τη συνισταµένη των θλιπτικών τάσεων σκυροδέµατος και την εφελκυστική δύναµη του χάλυβα Στη συνέχεια µέσω εξισώσεων ισορροπίας προσδιορίζουµε το ύψος της θλιβόµενης ζώνης του σκυροδέµατος Ελέγχουµε αν έχουµε τον επιθυµητό τρόπο αστοχίας και προσδιορίζουµε τον οπλισµό Γενικά σκοπός της διαστασιολόγησης είναι να εξασφαλίσει πως το σκυρόδεµα δεν θα αστοχήσει υπό τις ορθές θλιπτικές τάσεις και ότι ο χάλυβας µπορεί να παραλάβει το σύνολο των εφελκυστικών τάσεων της διατοµής χωρίς να φθάσει την οριακή µήκυνση αστοχίας του Όσον αφορά το ύψος της θλιβόµενης ζώνης x, αυτό µπορεί να προσδιοριστεί µέσω κατανοµής θλιπτικών τάσεων σκυροδέµατος είτε αυτή του παραβολικού-ορθογωνικού διαγράµµατος (β) είτε αυτή του απλοποιηµένου ορθογωνικού διαγράµµατος (α), όπως απεικονίζεται στο σχήµα 1-Γ [Α] [Β] [Γ] ε c (β) x OA - 08x - F c h = 75 cm d KA M d N d y s1 + (α) z ε s1 d 1 F s1 b = 0 cm Σχήµα 1- Ανάλυση ορθογωνικής διατοµής, παραµορφώσεις [Β], τάσεις και εσωτερικές δυνάµεις [Γ] Στη γενική περίπτωση όπου ασκούνται στη διατοµή µεγέθη ορθής έντασης (ροπή M d και αξονική N d ) και θεωρώντας τη συνισταµένη των θλιπτικών τάσεων στο σκυρόδεµα F c και η εφελκυστική δύναµη του χάλυβα (πλησιέστερα στο εφελκυόµενο πέλµα) F s1, από ισορροπία προκύπτουν οι παρακάτω σχέσεις: F s1 - F c = N d (1) F c z = M d = N d - y s1 N d () Όπου y s1, είναι η απόσταση του εφελκυόµενου χάλυβα από το κεντροβαρικό άξονα της διατοµής 1 Προσδιορισµός ύψους θλιβόµενης ζώνης Από ανάλυση τάσεων και ισορροπία δυνάµεων στη διατοµή (Σχήµα 1-3) θα υπολογισθεί το ύψος της θλιβόµενης ζώνης του σκυροδέµατος

3 Άσκηση 1η [Α] [Β] [Γ] ε c x OA - 08x - F c h = 75 cm d =71cm KA M d =150kNm y s1 =335cm + z d 1 =4cm ε s1 F s1 b = 0 cm Σχήµα 1-3 Ανάλυση ορθογωνικής διατοµής Έστω ότι d1 = 4 cm Άρα το στατικό ύψος d = h-d1 = 75-4 = 71 cm (1) F s1 - F c = N d = 0 F s1 = F c (3) () F c z = M sd = N d - y s1 N d F c z = 150 (4) F c = cd 08x b z = d 04x cd = 085 ck = 085 = kpa γ 15 c (4) cd 08x b (d-04x) = x 00 (071-04x) = x x+150 = 0 x = 016 m Έλεγχος επιθυµητής αστοχίας x * lim = ξ * lim d = 0493d = = 035 m x< x * lim Προσδιορισµός οπλισµού Αs1 (3) F s1 = F c F s1 = 08x b cd F s1 = = 31 kn F s1 = A s1 yd A s1 = F s1 / yd yd = yk / γ s = / 115 Fs1 31 A s1 = = = m = mm yd Επιλέγω να τοποθετήσω Φ1 + Φ14 = = 534 mm

4 Άσκηση 1η Υπολογισµός x * lim, ξ * lim και µ sd * lim Γνωρίζουµε ότι η χαρακτηριστική τιµή ορίου διαρροής χάλυβα, yk είναι 500 MPa για χάλυβα κατηγορίας S500, (αντίστοιχα, 400 MPa για τον S400) Στην ουσία αυτή η τιµή είναι η ελάχιστα εγγυηµένη τιµή του ορίου διαρροής Στη πραγµατικότητα λόγω µεταβλητότητας της παραγωγής των χαλυβουργείων ως προς την ποιότητα του υλικού και τη πραγµατική διάµετρο των ράβδων, υπάρχει σηµαντική διασπορά των ιδιοτήτων αντοχής του χάλυβα από ράβδο σε ράβδο µιας παρτίδας υλικού, από παρτίδα σε παρτίδα και από χαλυβουργείο σε χαλυβουργείο Αυτή η διακύµανση µπορεί να εκφραστεί µε µία µέγιστη και µε µία µέση τιµή του ορίου διαρροής, ως: Μέγιστη χαρακτηριστική τιµή ορίου διαρροής, max yk = 15 yk Μέση τιµή του ορίου διαρροής ym = 115 yk Οπότε η µέγιστη µέση χαρακτηριστική τιµή του ορίου διαρροής, ym θα ισούται µε: max ym = yk = 144 yk Η αντίστοιχη παραµόρφωση του χάλυβα θα είναι, max ε y = 144 E s yk = = Η οριακή θέση της ουδέτερης γραµµής που αντιστοιχεί σε ταυτόχρονη διαρροή του εφελκυόµενου χάλυβα και αστοχία της περισσότερο θλιβόµενης ίνας του σκυροδέµατος, προκύπτει από την γραµµική κατανοµή των παραµορφώσεων καθ ύψος της διατοµής (Σχήµα 1-Β), όπου από όµοια τρίγωνα: ξ * lim * x lim εc 35 = = = = 0493 d ε + ε c y Οπότε, x * lim = ξ * lim d = 0493d Από τη σχετική θεωρία, γνωρίζουµε ότι ζ = 1-kξ ζ * lim = 1-k ξ * lim = ξ * lim = = 0795 (για S500) µ sd = α ξ ζ µ sd * lim = α ξ * lim ζ * lim = = 0317 (για S500) Τα παραπάνω οριακά µεγέθη, για τις κατηγορίες χάλυβα καθορίζονται ως εξής: ξ * lim ζ * lim * µ sd lim S S S

5 Άσκηση η ΑΣΚΗΣΗ ( ιορθωµένη επίλυση 30/5/017) 1 Η πλάκα πρόβολος του σχήµατος είναι πακτωµένη σε ένα ογκώδες στοιχείο από οπλισµένο σκυρόδεµα και είναι φορτισµένη στο πάνω πέλµα της µε Φ10/100, S500 Θεωρείστε ότι το φορτίο επίστρωσης της πλάκας είναι g επ =13 kn/m A Προσδιορίστε το µέγιστο ωφέλιµο φορτίο (κινητό) που µπορεί να φέρει η πλάκα, ελέγχοντας την σε κάµψη και διάτµηση για τη φόρτιση 135G+15Q B Επίσης να υπολογισθεί το ύψος της θλιβόµενης ζώνης x και οι εσωτερικές δυνάµεις χάλυβα Fs 1 και σκυροδέµατος F c ίνονται ότι l = 170 m, πάχος πλάκας h = 0140 m Στον παραπάνω πρόβολο και για τα φορτία που έχουν προσδιοριστεί, ποιο θα µπορούσε να ήταν το ελάχιστο πάχος της πλάκας έτσι ώστε να βρίσκεται στο όριο για να µην απαιτείται θλιβόµενος οπλισµός; α α Φ 10/100 l κάτοψη l τοµή α-α Σχήµα -1 Πλάκα πρόβολος προς επίλυση

6 Άσκηση η ΕΠΙΛΥΣΗ 1A Προσδιορισµός µέγιστου ωφέλιµο φορτίου (κινητό) που µπορεί να φέρει η πλάκα ελέγχοντας την σε κάµψη και διάτµηση για τη φόρτιση 135G+15Q 1Α1 Υπολογισµός Φόρτισης (λωρίδας) Έστω µία τυπική λωρίδα πλάτους b = 1m q d = 135G + 15Q max α [Α] β α [Β] l τοµή α-α Φ 10/100 1m β [Γ] h l κάτοψη b = 1m Σχήµα - [Α] Αντιπροσωπευτική επαναλαµβανόµενη λωρίδας πλάτους 1m στη πλάκα, [Β] Εξιδανικευµένο µοντέλο της λωρίδας πλάκας µε φορτίο σχεδιασµού, [Γ] ιατοµή εξιδανικευµένης δοκού και ενδεικτική θέση τοποθέτησης υπολογιζόµενου οπλισµού (τοµή β-β) στη λωρίδα G = ίδιο βάρος (G ιβ ) + φορτίο επίστρωσης (G επ ) G ιβ = γ c h = 5 kn/m m = 35 kn/m G επ = 13 kn/m Άρα G = = 48 kn/m Φορτίο Σχεδιασµού q d = 135G + 1 5Q max = Q max = Q max 1Α Υπολογισµός Εντατικών Μεγεθών Από συνθήκες φόρτισης και στήριξης δοκού q dl M sd = q d170 = ()

7 Άσκηση η 1A3 Έλεγχος σε Κάµψη Οπλισµός: (Φ10/100, S500) Α Φ10 = π r 785 mm As 1 = Φ 10/100 (άρα σε 1m) = 10 Α Φ10 = 785 mm S500 yd = yk /γ ς = 500/115 Σκυρόδεµα: Έστω κατηγορία σκυροδέµατος C 0/5 cd = 085 ck /γ c = 085 0/15 = 1133 MPa = kpa (kn/m ) c d1 Έστω επικάλυψη c = 5 mm h d d1 = c + Φ/ = / = 30 mm Στατικό ύψος d = h d1 = = 110 mm ω = = Από Πίνακα 41 (σελ 73) µ sd = 04 < µ * sd,lim (S500) = 0317 Ή από σχέση 40 (σελ 7) µ sd = (ω 1 -ν d ) (1-0514(ω 1 -ν d )) = 08 ( ) = 04 M sd µ sd = Μ sd =µ sd bd cd = = 39 knm bd cd M sd = 39 knm Προσοχή στις µονάδες: b,d σε m, cd σε kn/m q dl q d170 Από () M sd = = = 39 knm q d = 77 kn/m Από (1) q d = Q max = 77 Q max = 1086 kn/m 1Α4 Έλεγχος σε ιάτµηση Πρέπει V sd V Rd,c V Rd,c 180 = max γ c 0 d 0 d ( 100ρ ) 1/ 3 1/ 6 1/ 3 Ed, b d L ck + ck N A c Προσοχή στις µονάδες: b w,d (m), ck (MPa), V Rd,c, N Ed (kn) w

8 Άσκηση η Όπου, ρ L είναι το ποσοστό του διαµήκους οπλισµού που διαπερνά τη διατοµή στη θέση που εξετάζω τη τέµνουσα ρ L = Φ10 /100 bd 790 = = και N Ed είναι το ασκούµενο θλιπτικό φορτίο (θετικό σε θλίψη, 0 στη συγκεκριµένη περίπτωση) / V = max ( ), Rd,c 1/ 6 + V Rd,c = {max[10755, 88] 638} 011 = { } 011 = 7548 kn V Rd, c 7548 V sd = q sd l V Rd,c = 7548 kn q sd = = 444 kn/m l 170 Από (1) q sd = 135G + 15Q max = Q max = Q max 444 Q max = 58 kn/m 1/ 3 Άρα από τους ελέγχους (κάµψης και διάτµησης) προκύπτει ότι το µέγιστο κινητό φορτίο που µπορεί να φέρει η πλάκα είναι 1086 kn/m 1Β Υπολογισµός ύψους θλιβόµενης ζώνης και εσωτερικών δυνάµεων Από Πίνακα 41 (σελ 73), για ω = 0,4 ξ = 0,346 < ξ lim = 0617 (S500), ή από σχέση (σελ 7) ξ = (ω 1 -ν d )/081 = 08/081 = 0346 ξ = x/d x (ύψος θλιβόµενης ζώνης) = d ξ = = 38 mm Η εσωτερική δύναµη σκυροδέµατος F c ασκείται σε απόσταση a=k x = = 158 mm από τη περισσότερη θλιβόµενη ίνα 0 F c = α b x cd = = kn 1 5 Το πλάτος είναι 1000 mm γιατί δουλεύουµε µε λωρίδα 500 πλάτους 1m Από πίνακα 41 (σελ 73), για ω=08 ε s1 (%) = 066 > ε yd = yd /E s = 115 =0% Η εσωτερική δύναµη του χάλυβα F s1 = A s1 yd = 785 = 3413 kn 115 Πρέπει να ισχύει F c =F s Η µικρή διαφορά τους (34884 έναντι 3413) οφείλεται στις προσεγγίσεις των δεκαδικών στα µ sd, ω, κλπ

9 Άσκηση η Εναλλακτικά και ταχύτερα * Επειδή µ <µ ο εφελκυόµενος χάλυβας έχει διαρρεύσει sd Εποµένως sd,lim Fs1 = = 3413 kn Fc = 081 b x cd Fs1 = 3413kN x= = 0037m= 37mm (0 /15) c d1 F s1 h d x a F c Σχήµα -3 Εσωτερικές δυνάµεις στη διατοµή Ελάχιστο πάχος της πλάκας έτσι ώστε να βρίσκεται στο όριο για να µην απαιτείται θλιβόµενος οπλισµός; Για να µην απαιτείται θλιβόµενος οπλισµός πρέπει να ισχύει: µ sd µ * sd/lim = 0317 (για S500) M sd µ sd = bd cd * µ sd / lim bd M sd 0317 (3) cd Έστω επικάλυψη c = 5 mm d1 = c + Φ/ = / = 30 mm h = d+d1 d = h d1 = h 003 qsdl Από συνθήκες φόρτισης και στήριξης δοκού M sd = qsd170 = (4) q sd = 135G + 15Q G = Ίδιο βάρος + φορτίο επίστρωσης = γ c h + 13 = 5 h + 13 Q = 1086 kn/m (όπως υπολογίστηκε προηγουµένως) q sd =135(5 h +13) q sd = 3375 h q l Άρα από (4): M sd = ( 3375h ) sd = = 4877 h Προσοχή στις µονάδες: b,d σε m, cd σε kn/m

10 Άσκηση η Άρα από (3): bd M sd 0317 cd h ( h 003) h 6433 h 85 0 h = 015 m Άρα το ελάχιστο πάχος της πλάκας έτσι ώστε να βρίσκεται στο όριο και να µην απαιτείται θλιβόµενος οπλισµός είναι 015 m = 15 cm

11 Άσκηση 3η ΑΣΚΗΣΗ 3 Ζητείται να γίνει ο υπολογισµός σε κάµψη και ο έλεγχος διάτµησης των πλακών του σχήµατος για φόρτιση 135G+15Q ίνονται: φορτίο επικάλυψης g επ = 130 kn/m Ωφέλιµο φορτίο q = 0 kn/m Επικάλυψη οπλισµού d1 = 0 cm Υλικά C16/0, S0 1 5/50 Π 1 5/50 Π 3 5/50 h = 14 cm h = 14 cm l = 4m l = 4m Σχήµα 3-1 Πλάκες προς επίλυση ΕΠΙΛΥΣΗ Η πλάκα είναι επιφανειακό στοιχείο και όχι γραµµικό στα οποία αναφέρεται το µάθηµα «Σχεδιασµός Γραµµικών Στοιχείων Οπλισµένου Σκυροδέµατος» Παρ όλα αυτά οι αµφιέρειστες πλάκες (και οι πρόβολοι) µπορούν να επιλυθούν στα πλαίσια του µαθήµατος αυτού, σαν γραµµικά στοιχεία Προσεγγίζονται έτσι λόγω του ότι επιλέγω να επιλύσω µία αντιπροσωπευτική-τυπική-επαναλαµβανόµενη λωρίδα Θεωρώ τυπική λωρίδα πλάτους b = 1m, όπως απεικονίζεται στη γραµµοσκιασµένη επιφάνεια του Σχήµατος 3-A (µε τέτοια διεύθυνση ώστε να πατάει στα στηρίγµατα της πλάκας)

12 Άσκηση 3η [A] 1 5/50 Π 1 h = 14 cm 5/50 Π h = 14 cm 3 5/50 α β α b = 1m β l = 4m l = 4m [B] 10 m h = 014 m [Γ] Τοµή α-α 050 m [ ] 05 m q d [Ε] Τοµή β-β b = h = 014 m Σχήµα 3- [Α] Πλάκες προς επίλυση, [Β] Προοπτικό σχεδιάγραµµα αντιπροσωπευτικής λωρίδας [Γ] Τοµή αντιπροσωπευτικής επαναλαµβανόµενης λωρίδας πλάτους 1m, [ ] Εξιδανικευµένο µοντέλο της λωρίδας πλάκας µε φορτίο σχεδιασµού Στατικό σύστηµα, [Ε] ιατοµή εξιδανικευµένης δοκού και ενδεικτική θέση τοποθέτησης υπολογιζόµενου οπλισµού (τοµή β-β) στη λωρίδα Στην ουσία επιλύω τη δοκό του Σχήµατος 3- (µε διατοµή αυτή του Σχήµατος 3-Ε) µε κατανεµηµένο φορτίο το γραµµικό φορτίο σχεδιασµού q d = 135G+15Q

13 Άσκηση 3η 1 Υπολογισµός Φόρτισης (λωρίδας) G = ίδιο βάρος (G ιβ ) + φορτίο επίστρωσης (G επ ) G ιβ = γ c h = 5 kn/m m = 35 kn/m G επ = 13 kn/m Άρα G = = 48 kn/m Φορτίο Σχεδιασµού q d = 135G + 15Q = = 948 kn/m Γραµµικό Φορτίο Σχεδιασµού q d = 948 kn/m 1m = 948 kn/m Υπολογισµός Εντατικών Μεγεθών Το στατικό σύστηµα της λωρίδας της πλάκας (Σχήµα 3-3Α), λόγω συµµετρίας γεωµετρίας και φορτίσεων, µπορεί να απλοποιηθεί περαιτέρω Λόγω αδυναµίας στροφής στη µεσαία στήριξη, η στήριξη αυτή () µπορεί να θεωρηθεί ως πάκτωση Άρα για το προσδιορισµό των ροπών επιλύεται το µονόπακτο στατικό σύστηµα του Σχήµατος 3-3Β q d [Α] 1 3 [Β] q d - Μ στ = + max Μ αν = Σχήµα 3-3 Στατικό Σύστηµα λωρίδας δοκού

14 Άσκηση 3η Εντατικά µεγέθη µονόπακτου Max M = max M 1 = max M 3 = q 9 18 q d l q dl = = = 1067 knm dl M = - = = knm V 1 = -V 3 = qdl= 948 4=14 kn 8 8 V l 5 5 = qdl= = 37 kn 8 8 V παρ bστ 05 = 37- q = d = 5 kn M παρ b 05 = M + min V στ = = - 16 knm [A] V 1 = 14 kn [B] + + V r V l = - 37 kn - - V παρ = 5 kn M = knm M παρ = - 16 knm V 3 = - 14 kn max M 1 = 1067 knm max M 1 = 1067 knm Σχήµα 3-4 ιαγράµµατα τεµνουσών [Α] και καµπτικών ροπών [Β]

15 Άσκηση 3η 3 Έλεγχος ιατοµής Ανοίγµατος σε Κάµψη Στατικό ύψος d = h d 1 = = 01 m M µ sd = bd sd cd max M = = = = ck b d Προσοχή στις µονάδες: b,d σε m, cd σε kn/m 3 3 N 10 kn 10 kn Υπενθυµίζεται ότι : 1MPa = 1 = = 6 mm 10 m m Σηµείωση: το πλάτος b ισούται µε 1 m, λόγω του ότι δουλεύουµε µε λωρίδα πλάτους 1m, και επιλύουµε τη διατοµή του Σχήµατος 3- Ε µ sd = 008 < µ * sd,lim = 0398 (για S0) Σηµειώνεται ότι µ * sd,lim = 0398 (S0), 0343 (S400), 0317 (S500) Από Πίνακα 51 (σελ 73) ω 1 = 0086 µ sd 008 Ή από σχέση 41 ω 1 = νd = =0086 A s1 = ω 1 bd cd yd = = = 489 mm Έλεγχος σύµφωνα µε τις κατασκευαστικές διατάξεις Για τις πλάκες ισχύουν οι κατασκευαστικές διατάξεις του Πίνακα 54 (σελ 18) για ΚΠ Χ Ελάχιστο ποσοστό οπλισµού min ρ 1 = 06 ctm yk Η µέση εφελκυστική αντοχή σκυροδέµατος ctm είναι, / 3 ctm (MPa) = 03 ( (MPa ) Άρα min ρ 1 = 06 ck ) ctm yk = 03 (16) /3 = 190 MPa 190 = 005 = 0005 > min As 1 = min ρ 1 b d = = 70 mm 1000

16 Άσκηση 3η Μέγιστο ποσοστό οπλισµού max ρ 1 = 004 A ρ 1 = s = = < max ρ 1 = 004 bd Στο άνοιγµα, As 1 = 489 mm > min As 1 = 70 mm 4 Έλεγχος ιατοµής Στήριξης σε Κάµψη M sd µ sd = bd cd maxm = ck bd = = = µ sd = 01 < µ * sd,lim = 0398 Από Πίνακα 51 (σελ 73) ω 1 = 013 µ 01 Ή από σχέση 41 ω 1 = sd + = ν d 0973 = 013 A s1 = ω 1 b d cd yd = = = 740 mm Προσοχή στις µονάδες: b,d (mm), cd, yd ( MPa) Στη Στήριξη, As 1 = 740 mm > min As 1 = 70 mm Άρα στο άνοιγµα θέλω As 1 = 489 mm και στη µεσαία στήριξη As 1 = 740 mm Έστω ότι τοποθετώ Φ8 As (Φ8) = 50 mm Άρα στο άνοιγµα χρειάζοµαι: n = 489 = 9 8 σίδερα 50 Στις πλάκες δεν υπολογίζω πλήθος ράβδων, αλλά ράβδους ανά αποστάσεις, λόγω του ότι η λωρίδα πλάτους 1 m είναι ιδεατή Σε πλάτος 1m, οι αποστάσεις µεταξύ των ράβδων Φ8 θα είναι, s = 1000 = 10 mm 98

17 Άσκηση 3η Άρα θεωρητικά τοποθετώ Φ8/100 (Άρα στο άνοιγµα As1 = 500 mm ) Μπορώ να εκµεταλλευτώ τα σίδερα από το άνοιγµα Στο άνοιγµα τα σίδερα τα έχω ανάγκη για τη διατοµή στο σηµείο 0 (ακριβώς στο 0, όχι γύρω από το 0) εκεί που έχω τη µέγιστη ροπή ανοίγµατος Από το 0 έως το σηµείο, η ροπή µειώνεται και κάπου µηδενίζεται Άρα θεωρητικά όσο πάω από το 0 στο δεν χρειάζοµαι όλα τα σίδερα που υπολόγισα στο άνοιγµα και µπορώ να τα µειώσω ή να τα σταµατήσω Αν αυτού από κάποιο σηµείο και πέρα σταµατάω τα µισά και τα στέλνω εκεί που πραγµατικά τα έχω ανάγκη, στο πάνω πέλµα στη στήριξη 1 0 M = knm M παρ = - 16 knm max M 1 = 1067 knm max M 1 = 1067 knm ιάστηµα στο οποίο χρειάζοµαι τα σίδερα στο άνοιγµα Σχήµα 3-5 Απεικόνιση οπλισµού σε κατάκλιση [Α], σχηµατική απεικόνιση [Β] και Οπότε, τα µισά σίδερα από το άνοιγµα συνεχίζονται προς τη δοκό και τα άλλα µισά τα στέλνω στη µεσαία στήριξη A 500 Άρα στη µεσαία στήριξη, έρχονται s1 = = 50 mm από το κάθε άνοιγµα Εν τέλει στη στήριξη θα χρειαστώ επιπλέων = 40 mm n = = 48 σίδερα, s = = 083 mm Τοποθετώ Φ8/05 (Άρα στη στήριξη As1 = 44 mm )

18 Άσκηση 3η [A] Φ8/05 Φ8/100 Φ8/100 Φ8/05 Φ8/100 Φ8/100 [B] [Γ] Φ8/05 Φ8/00 Φ8/00 Φ8/00 Φ8/00 Σχήµα 3-6 Απεικόνιση οπλισµού σε κατάκλιση [Α], σχηµατική απεικόνιση [Β] και ανάπτυγµα οπλισµού [Γ]

19 Άσκηση 3η 5 Έλεγχος ιάτµησης Πρέπει V sd V Rd,c, για να µην απαιτείται οπλισµός διάτµησης Σηµείωση από τη θεωρία Σε σεισµικές περιοχές, ο έλεγχος αυτός γίνεται µόνο για τα δοµικά στοιχεία που δεν «επηρεάζονται» από σεισµό Άρα ελέγχονται µόνο οι πλάκες V Rd,c 180 = max γ c 0 d 0 d 1/ 3 1/ 6 1/ 3 Ed ( 100ρ ), b d L ck + ck N A c Προσοχή στις µονάδες: b w,d (m), ck (MPa), V Rd,c, N Ed (kn) w Όπου, ρ L είναι το ποσοστό του εφελκυόµενου διαµήκους οπλισµού που διαπερνά τη διατοµή στη θέση που εξετάζω τη τέµνουσα (στην παρειά) ρ L = Φ8 / 00 bd 50 = = και N Ed είναι το ασκούµενο θλιπτικό φορτίο (θετικό σε θλίψη) Σηµείωση από τη θεωρία Αν σε ένα στοιχείο αυξάνεται το θλιπτικό φορτίο τότε αυξάνεται και η αντοχή σε τέµνουσα ( VRd,c ), λόγω του ότι το θλιπτικό φορτίο κλείνει τις ρωγµές και αναγκάζει τις παρειές να έρθουν σε επαφή (να αλληλο-εµπλακούν), δηλαδή να παραλάβουν τέµνουσα VRd,c = max , ( ) 1/3 1/ 6 1/3 V Rd,c = {max[713, 841] 577} 01 = { } 01 = 583 kn V sd = V παρ = 5 kn < V Rd,c = 583 kn Άρα ο έλεγχος ικανοποιείται Εποµένως δεν χρειάζεται οπλισµό διάτµησης

20 Άσκηση 5η 4η ΑΣΚΗΣΗ 4 Να υπολογιστεί σε κάµψη η µονοπροέχουσα δοκός του σχήµατος για συνδυασµό φόρτισης 135G+15Q Η δοκός ανήκει σε πολυώροφο, κανονικό καθ ύψος κτίριο µε πολύστυλο πλαισιακό φορέα, που βρίσκεται σε περιβάλλον XC1 Το κτίριο έχει ιδιοπερίοδο T = 05 sec και είναι θεµελιωµένο σε έδαφος κατηγορίας C (βλέπε Βιβλίο µαθήµατος Σχήµα 3, Πίνακα 33, σελ 37) Θα εφαρµοστούν οι κατασκευαστικές διατάξεις για Υψηλή Κατηγορία Πλαστιµότητας (ΚΠΥ) q d [Α] 300 mm 300 mm L 1 = 50 L = V r V l + [Β] b e = 1100 mm c Φ L Φ h 500 mm 100 mm V 1 + max M 1 αν - M 50 mm Σχήµα 4-1 Φορέας προς επίλυση [Α] και διατοµή δοκού [Β] ίνονται: Φορτία: g = 30 kn/m (συµπεριλαµβανοµένου ΙΒ), q = 0 kn/m Υλικά: C 0/5, S500 Πλάτος Υποστυλωµάτων Στήριξης: b = 300 mm Η επίλυση της άσκησης βρίσκεται αναρτηµένη στο αρχείο στο eclass Ασκήσεις λυµένες στη τάξη

21 Άσκηση 5η ΑΣΚΗΣΗ 5 ( ιορθωµένη επίλυση 30/5/017) Να υπολογιστεί σε κάµψη η µονοπροέχουσα δοκός της προηγούµενης άσκησης (Άσκηση 4) για την περίπτωση ορθογωνικής διατοµής 50/500, µε υλικά C16/0 και S400 και µε τα παρακάτω εντατικά µεγέθη q d 300 mm 300 mm l 1 = 50 l = V 1 =16653 kn + max M 1 αν = knm - l V = kn + V r = 54 kn M = M παρειάς = knm Σχήµα 5-1 Φορέας προς επίλυση

22 Άσκηση 5η ΕΠΙΛΥΣΗ ΜΕΡΟΣ Α - ΈΛΕΓΧΟΣ ΣΕ ΚΑΜΨΗ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΟΠΛΙΣΜΟΥ Α1 Έλεγχος ιατοµής Ανοίγµατος cd = 085 ck = 085 = ,7 kpa (kn/m ) Msd µ sd = = = 0410 > µ* sd,lim = 0343 (για S400) b d cd άρα τίθεται διπλός οπλισµός ω 1 = µ ω 1 = ρ 1 * sd lim * lim ζ yd cd + µ sd + νd d = = d 046 cd ρ1 = ω1 yd cd ρ1 = ω1 = 0518 = 0518 = 135 yd As 1 = ρ 1 b d = = mm Υπολογισµός παραµόρφωσης εs ε ε c cu * x lim d * d 004 ξ lim 0549 = d ε d ε 046 c = cu = ε c = 3 * * x lim ξ lim 0549 d 400 ε sy = = 173 ε c > ε sy σ s = yd = = 3478 MPa 115 µ sd ω = = = 0073 d d cd ρ = ω = 0073 = 0073 = 190 yd As = ρ b d = = 188 mm

23 Άσκηση 5η Α Έλεγχος ιατοµής Στήριξης µ sd = M b d sd cd 9517 = = 00 < µ* sd,lim = 0343 (για S400) Από Πίνακα 41 (σελ 73) ω 1 -v d 00 ω 1 = 06 Άρα A s1 = ω 1 b d A s1 = 6774 mm cd yd 085 = = Συνολικά οι απαιτήσεις διαµήκους οπλισµού στο άνοιγµα και στις στηρίξεις προέκυψαν από έλεγχο σε κάµψη, όπως φαίνεται στο σχήµα που ακολουθεί 188 mm 6774 mm mm Σχήµα 5- Ποσότητες διαµήκους οπλισµού (όπως υπολογίσθηκαν)

24 Άσκηση 5η ΜΕΡΟΣ Β - ΤΟΠΟΘΕΤΗΣΗ ΟΠΛΙΣΜΟΥ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΚΑΤΑΣΚΕΥΑΣΤΙΚΩΝ ΙΑΤΑΞΕΩΝ Β1 Υπολογισµός Ελάχιστου Οπλισµού µε Βάση τον Κανονισµό A s,min = Φ14 = 308 mm (όπως υπολογίσθηκε στη προηγούµενη άσκηση) Β Πρώτη Τοποθέτηση Οπλισµού (όπως υπολογίσθηκε) Άνοιγµα: Κάτω πέλµα (εφελκυσµός): A s1 = mm Θα τοποθετηθούνε 4Φ0 + Φ14 = = 1564 mm Άνω πέλµα (θλίψη): A s = 188 mm Θα τοποθετηθούνε Φ14 = 308 mm Στήριξη/πρόβολος: Άνω πέλµα (εφελκυσµός): A s1 = 6774 mm Έχουµε είδη Φ14 = 308 mm (ελάχιστα σύµφωνα µε κανονισµό) Πρόσθετα = = mm Επιλέγεται να τοποθετηθούν πρόσθετα 4Φ1=45 mm (συνολικά Φ14+4Φ1 = 760 mm ) [Μία άλλη επιλογή πιθανόν καλλίτερη θα ήταν να τοποθετηθούν Φ16 αντί για 4Φ1] Κάτω πέλµα (θλίψη): Θα τοποθετηθούνε τα ελάχιστα Φ14 = 308 mm Τοποθετώντας τον οπλισµό όπως υπολογίσθηκε προκύπτει: (4) ΣτΑρπ: 308 mm ( Φ14) (1) ΣτΑρκ: 308 mm (Φ14) (5) Ανπ: 308 mm (Φ14) () Ανκ: 1564 mm (4Φ0 + Φ14) (6) Στ εξπ: 760 mm (Φ14+4Φ1) (3) Στ εξκ: 308 mm (Φ14) Σχήµα η τοποθέτηση διαµήκους οπλισµού

25 Άσκηση 5η Β3 Έλεγχος Κατασκευαστικών ιατάξεων Σύµφωνα µε την Ενότητα 543 & Πίνακα 54 (σελ 18) α) «Σε όλο το µήκος του επάνω πέλµατος της δοκού πρέπει ο οπλισµός να είναι τουλάχιστον ίσος µε το ¼ του µεγαλύτερου πάνω οπλισµού των δύο ακραίων διατοµών στήριξης» A s,min,πάνω ράβδοι άνοιγµα = 05 Α s,top-supports (Πίνακας 54, σελ 18, 5 η γραµµή) Ο µεγαλύτερος πάνω οπλισµός των ακραίων διατοµών στήριξης είναι Φ14 + 4Φ1 (760 mm ) Άρα: A s,min,πάνω ράβδοι άνοιγµα = = 190 mm Έχουν τοποθετηθεί Φ14 = 308 mm > 190 mm Άρα ο έλεγχος ικανοποιείται β) Για τον οπλισµό στο κάτω πέλµα στις ακραίες περιοχές στήριξης πρέπει Αs, κάτω ράβδοι κρίσιµων περιοχών 05 As, πάνω (Πίνακας 54, σελ 18, 6 η γραµµή) Στην αριστερή στήριξη (θέσεις 1 και 4) ο έλεγχος ισχύει αφού έχουν τοποθετηθεί πάνω κάτω τα ελάχιστα Στη δεξιά στήριξη στο πάνω πέλµα (θέση 6) έχουν τοποθετηθεί Φ14+4Φ1 = 760 mm Άρα: As, κάτω = = 380 mm Στο κάτω πέλµα (θέση 3) έχουν τοποθετηθεί Φ14 = 308 mm < 380 mm Άρα ο έλεγχος ΕΝ ικανοποιείται γ) «Το 5% ράβδων κάτω πέλµατος στο άνοιγµα δοκού Κατηγορίας Πλαστιµότητας Υ χρειάζεται να επεκτείνεται µέχρι της δύο στηρίξεις της και να αγκυρώνεται εκεί» Με άλλα λόγια A s,min,κάτω ράβδοι στηρίξεις = 05 Α s,bottom-span (Πίνακας 54, σελ 18, 7 η γραµµή) Με άλλα λόγια οι κάτω ράβδοι στις στηρίξεις (στις παρειές των κρίσιµων περιοχών) (θέσεις 1 και 3) πρέπει να είναι τουλάχιστον ίσες µε το ¼ των κάτω ράβδων στο άνοιγµα (θέση ) Στο άνοιγµα στο κάτω πέλµα έχω 4Φ0 + Φ14 = 1564 mm Άρα: A s,min,κάτω ράβδοι στηρίξεις = = 391 mm Έχουν τοποθετηθεί Φ14 = 308 mm < 391 mm Άρα ο έλεγχος ΕΝ ικανοποιείται Τοποθετούνται λοιπόν στα κάτω πέλµατα των στηρίξεων πρόσθετα 1Φ1 (άρα συνολικά Φ14+1Φ1 = 41 mm )

26 Άσκηση 5η Ελέγχω εκ νέου β) Αs, κάτω ράβδοι κρίσιµων περιοχών 05 As, πάνω Αριστερή στήριξη (θέσεις 1 και 4) Αs, κάτω ράβδοι κρίσιµων περιοχών (Φ14+1Φ1) = 41 mm 05 As, πάνω (Φ14) = mm = 154 mm O έλεγχος ισχύει εξιά στήριξη (θέσεις 5 και 6) Αs, κάτω ράβδοι κρίσιµων περιοχών (Φ14+1Φ1) = 41 mm 05 As, πάνω (Φ14+4Φ1) = = 380 mm O έλεγχος ισχύει γ) A s,min,κάτω ράβδοι στηρίξεις = 05 Α s,bottom-span O έλεγχος ισχύει Με την ολοκλήρωση των άνω ελέγχων ολοκληρώθηκαν οι έλεγχοι των κατασκευαστικών διατάξεων που αφορούν τη πλαστιµότητα Αποµένει να ελέγξουµε το µέγιστο ποσοστό οπλισµού Πρώτα όµως θα προβούµε στη τελική τοποθέτηση του οπλισµού Τελική Τοποθέτηση Οπλισµού Πρώτα τοποθετούµε στο άνω και κάτω πέλµα τα ελάχιστα απαιτούµενα από τον κανονισµό Φ14 Στη συνέχεια τοποθετούµε στο άνοιγµα στο εφελκυόµενο πέλµα 4Φ0 (συνολικά στο άνοιγµα 4Φ0+Φ14) Κανονικά στα σίδερα αυτά (θεωρητικά) θα τα συνεχίζαµε µέχρι το σηµείο µηδενισµού των καµπτικών ροπών στο άνοιγµα (+/- το µήκος αγκύρωσης τους) Στη πράξη όµως τα πάµε µέχρι τις στηρίξεις Τοποθετούµε στο εφελκυόµενο πέλµα στη στήριξη δεξιά πρόσθετα 4Φ1 Και στα θλιβόµενα πέλµατα των στηρίξεων πρόσθετο 1Φ1 (συνολικά Φ14+1Φ1)

27 Άσκηση 5η (4) ΣτΑρπ: 308 mm ( Φ14) (1) ΣτΑρκ: 41 mm (Φ14+1Φ1) (5) Ανπ: 308 mm (Φ14) () Ανκ: 1564 mm (4Φ0 + Φ14 (6) Στ εξπ: 760 mm (Φ14+4Φ1) (3) Στ εξκ: 41 mm Φ14 (4) ΣτΑρκ (5) Ανπ (6) Στ εξπ 4Φ1 (1) ΣτΑρκ () Ανκ 4Φ0 (3) Στ εξκ 1Φ1 Φ14 Σχήµα 5-4 Τελική τοποθέτηση διαµήκους οπλισµού Άρα µε βάση τη τελική τοποθέτηση οπλισµού, µετά τον έλεγχο κατασκευαστικών διατάξεων, οι ποσότητες που έχουν προκύψει είναι ως εξής: Άνοιγµα: Κάτω πέλµα (εφελκυσµός): 4Φ0+Φ14 = 1564 mm (αρχικά mm ) Άνω πέλµα (θλίψη): Φ14 = 308 mm Στήριξη/πρόβολος: Άνω πέλµα (εφελκυσµός): Φ14 + 4Φ1 = 760 mm (αρχικά 677,4 mm ) Κάτω πέλµα (θλίψη): 4Φ0+Φ14+1Φ1 = 1677 mm (αρχικά 308 mm ) Προέκυψε λόγω του ότι ενώ αρχικά στο θλιβόµενο πέλµα στη στήριξη βάλαµε Φ14+1Φ1, στη συνέχεια προεκτείναµε τον οπλισµό από το άνοιγµα (4Φ0) Άρα ο πραγµατικός θλιβόµενος οπλισµός ρ στη στήριξη στο κάτω πέλµα είναι 4Φ0+Φ14+1Φ1

28 Άσκηση 5η Μέγιστο ποσοστό οπλισµού (για ΚΠΥ) Ειδικά για δοκούς µε Κατηγορία Πλαστιµότητας Μ ή Υ: Το µέγιστο επιτρεπόµενο ποσοστό εφελκυόµενου χάλυβα κρισίµων περιοχών δοκών µε αυξηµένες απαιτήσεις πλαστιµότητας δίνεται από τον Ευρωκώδικα 8 από τη σχέση: cd ρ 1,max = + ρ (σελ 130), µ ε Φ yd όπου, ε yd = yd 400 yd = 115 = 0,00174 E s ρ : ποσοστό θλιβόµενου χάλυβα (υπάρχων οπλισµός: 4Φ0+Φ14+1Φ1) µ Φ : δείκτης πλαστιµότητας καµπυλοτήτων = 164 (αναλυτικός υπολογισµός στην Άσκηση ) Αs 4Φ0+ Φ14+ 1Φ ρ = = = = 0015 b d b d w w cd ρ 1,max = + ρ 15 = = 0,0163 µ Φ ε yd yd As 1,max = ρ 1,max b w d = = 1870 mm > 1677 mm Οπότε δεν χρειάζεται αύξηση των διαστάσεων b ή d του κορµού ε) Έλεγχος στις κρίσιµες περιοχές στη στήριξη «Πέραν του µέγιστου ποσοστού εφελκυόµενου οπλισµού κρισίµων περιοχών, ο Ευρωκώδικας επιβάλλει ένα ελάχιστο ποσοστό θλιβόµενου χάλυβα ρ, στο κάτω πέλµα των ακραίων κρισίµων περιοχών στις στηρίξεις δοκών Κατηγορίας Πλαστιµότητας Μ ή Υ ίσο µε το 50% του ποσοστού του εφελκυόµενου οπλισµού ρ1» Με άλλα λόγια στη στήριξη: ρ = 05 ρ 1 4Φ0+ Φ14+ 1Φ1 ρ b w d 1677 Έλεγχος δεξιάς παρειάς: = = = 0> 0 5 ρ1 Φ14+ 4Φ1 760 b d w Άρα έλεγχος ικανοποιείται

29 Άσκηση 5η 4Φ0+ Φ14+ 1Φ13 ρ bw d 1677 Έλεγχος αριστερής παρειάς: = = = 54> 0 5 ρ1 Φ b d Άρα έλεγχος ικανοποιείται w Έλεγχος απόστασης οπλισµών Γίνεται µε παρόµοιο τρόπο, όπως στην Άσκηση 4

30 Άσκηση 6η ΑΣΚΗΣΗ 6 Να επαναληφθεί η Άσκηση 6 µε τις τρείς παρακάτω περιπτώσεις διατοµής πλακοδοκού (I - ΙΙΙ) και να σχεδιαστούν οι οπλισµοί για την περίπτωση III b e = 1100 mm 100 mm 500 mm b e = 600 mm b e = 500 mm 50 mm 50 mm 50 mm Περίπτωση ιατοµής I Περίπτωση ιατοµής II Σχήµα 6-1 Φορείς προς επίλυση Περίπτωση ιατοµής III ΕΠΙΛΥΣΗ Τα εντατικά µεγέθη υπολογίστηκαν προηγούµενος ως: q d 300 mm 300 mm l 1 = 50 l = V 1 =15341 kn + M = max M 1 αν = 166,90 knm l V = kn + r V =1690 kn Σχήµα 6- Εντατικά µεγέθη - Μ παρειάς,δεξ = kn

31 Άσκηση 6η 1 ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΙΑΤΟΜΗΣ I 11 Έλεγχος διατοµής ανοίγµατος (εφελκυσµός κάτω) Έστω ότι έχω θλίψη στη πλάκα Θεωρώ ορθογωνική διατοµή διαστάσεων b e x h µ sd = b e Msd d cd 1669 = = ,08 < µ * sd,lim = 034 (για S400) Από πίνακα 41 (σελ 73) ξ = 0103 x = ξ d = = 474 mm x < h = 100 mm Άρα η ουδέτερη γραµµή είναι µέσα στο πέλµα, οπότε η δοκός θα επιλυθεί σαν ορθογωνική διατοµή διαστάσεων b e x h Από πίνακα 41 (σελ 73) ω = 0084 A s1 = ω 1 b d cd yd = = = 1108 mm Σύµφωνα µε τις κατασκευαστικές διατάξεις (σελ 19), για πλακοδοκούς µε θλίψη στη πλάκα, το µέγιστο ποσοστό οπλισµού 4% αναφέρεται στο σύνολο της διατοµής, περιλαµβανοµένου και του συνεργαζόµενου πλάτους της πλάκας Άρα A smax = ρ max Α c = 004 ( ) = 8400 mm Το ελάχιστο ποσοστό οπλισµού, υπολογίζεται ως εξής: ρ min = A min s = 06 ctm / yk 013% bd / 3 ctm (MPa) = 03 ( (MPa) ck ) 190 ρ min = 06 ctm / yk = = 03 (16) /3 = 190 MPa = < ρ min = As min = ρ min b d = = 1495 mm 1 Έλεγχος διατοµής στήριξης Η πλάκα είναι στην εφελκυόµενη ζώνη, εποµένως η επίλυση γίνεται θεωρώντας ορθογωνική διατοµή διαστάσεων b w x d = Ως εκ τούτου ισχύουν τα αποτελέσµατα της προηγούµενης άσκησης και ο απαιτούµενος οπλισµός είναι: στο πάνω πέλµα A s1 = 6774 mm στο κάτω πέλµα A s = 314 mm (ελάχιστα Φ14)

32 Άσκηση 6η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΙΑΤΟΜΗΣ II 1 Έλεγχος διατοµής ανοίγµατος (εφελκυσµός κάτω) Έστω ότι έχω θλίψη στη πλάκα Θεωρώ ορθογωνική διατοµή διαστάσεων b e x h µ sd = b e Msd d cd 1669 = = 0145 < µ * sd,lim = 034 (για S400) Από πίνακα 41 (σελ 73) ξ = 0195 x = ξ d = = 897 mm x < h = 100 mm Άρα η ουδέτερη γραµµή είναι µέσα στο πέλµα, οπότε η δοκός θα επιλυθεί σαν ορθογωνική διατοµή διαστάσεων b e x h Από πίνακα 41 (σελ 73) ω = cd A s1 = ω 15 1 b e d = = = mm yd Έλεγχος διατοµής στήριξης Η πλάκα είναι στην εφελκυόµενη ζώνη, εποµένως η επίλυση γίνεται θεωρώντας ορθογωνική διατοµή διαστάσεων b w d = Ως εκ τούτου ισχύουν τα αποτελέσµατα της προηγούµενης άσκησης και ο απαιτούµενος οπλισµός είναι: στο πάνω πέλµα A s1 = 6774 mm στο κάτω πέλµα A s = 314 mm (ελάχιστα Φ14) 3 ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΙΑΤΟΜΗΣ III 31 Έλεγχος διατοµής ανοίγµατος (εφελκυσµός κάτω) Έστω ότι έχω θλίψη στη πλάκα Θεωρώ ορθογωνική διατοµή διαστάσεων b e x h µ sd = b e Msd d cd 1669 = = 0174 < µ * sd,lim = 034 (για S400) Από πίνακα 41 (σελ 73) ξ = 038 x=ξ d= = mm x > h = 100 mm Άρα η ουδέτερη γραµµή επεκτείνεται στο κορµό

33 Άσκηση 6η Σηµείωση από την θεωρία Όταν η θλίψη επεκτείνεται στο κορµό Στη συντριπτική πλειονότητα των περιπτώσεων της πράξης (για h /d > 015) ο υπολογισµός του οπλισµού µπορεί να γίνεται σαν σε ορθογωνική διατοµή µε b=b e Για αναλογίες διαστάσεων διατοµών που συνηθίζονται σε πλακαδοκούς οικοδοµικών έργων (h /d µεταξύ 0, και 0,3 και b e /b w µεταξύ 3 και 6), η δυνατή συνεισφορά του τµήµατος του κορµού κάτω από τη πλάκα στην αντοχή της θλιβόµενης ζώνης είναι µικρή, σε σύγκριση µε αυτή του ενεργού πλάτους της πλάκας Αν η ουδέτερη γραµµή τέµνει το κορµό και ο κορµός είναι πολύ λεπτός σε σχέση µε το συνεργαζόµενο πλάτος b e, (πχ b e /b w 5), µπορεί να ανγοηθεί η συµµετοχή του κορµού στη θλιπτική δύναµη F c της θλιβόµενης ζώνης και να θεωρηθεί ότι το σηµείο εφαρµογής της F c είναι στο µέσο του πάχους h της πλάκας Τότε ο µοχλοβραχίονας εσωτερικών δυνάµεων z Msd Nd ισούται µε d-h / και απαιτείται εφελκυόµενος οπλισµός As1 = + h yd d yd Επίσης ελέγχεται ότι η µέση τάση θλίψης του σκυροδέµατος δεν ξεπερνά το cd: Fc Msd = cd be h h d be h σ c = Στην προκειµένη περίπτωση, h /d = 100/460 = 0 >015 b e /b w = 500/50 = 0 Οπότε, Θεωρώ ότι οι θλιπτικές τάσεις εφαρµόζονται µόνο στη πλάκα Η δοκός θα επιλυθεί σαν ορθογωνική διατοµή διαστάσεων b e x h Από πίνακα 41 (σελ 73) ω = cd A s1 = ω 15 1 b e d = = = 1157 mm yd Έλεγχος διατοµής στήριξης Η πλάκα είναι στην εφελκυόµενη ζώνη, εποµένως η επίλυση γίνεται θεωρώντας ορθογωνική διατοµή διαστάσεων b w d = Ως εκ τούτου ισχύουν τα αποτελέσµατα της προηγούµενης άσκησης και ο απαιτούµενος οπλισµός είναι: στο πάνω πέλµα A s1 = 6774 mm, στο κάτω πέλµα A s = 314 mm (ελάχιστα Φ14)

34 Άσκηση 6η Γενικά παρατηρείται ότι το συνεργαζόµενο πλάτος b e έχει µικρή επίδραση στον απαιτούµενο οπλισµό της διατοµής Για b e = 1100 mm απαιτήθηκε οπλισµός 1108 mm, για b e = 600 απαιτήθηκε οπλισµός mm, και για b e = 500 απαιτήθηκε οπλισµός 1157 mm Όµως µείωση του b e αυξάνει τη τιµή του µ sd και δεν αποκλείεται για πολύ µικρή τιµή του b e να ξεπεραστεί η τιµή µ * sd,lim, οπότε θα αυξηθεί η απαίτηση σε εφελκυόµενο οπλισµό (λόγω µικρότερου µοχλοβραχίονα εσωτερικών δυνάµεων) και επιπλέον θα απαιτηθεί θλιβόµενος οπλισµός Αυτό µπορεί να παρατηρηθεί συγκρίνοντας τα παραπάνω αποτελέσµατα µε αυτά της προηγούµενης εφαρµογής όπου εκεί οριακά µπορεί να θεωρηθεί b e = b w = 50 mm Συνδυάζοντας τα παραπάνω αποτελέσµατα στις διατοµές ανοίγµατος και στήριξης, εκλέγονται οι παρακάτω οπλισµοί Στο κάτω πέλµα της δοκού τοποθετούνται Φ0+Φ14 (94+308=150 mm ) εκ των οποίων µόνο τα Φ14 συνεχίζουν και στο κάτω πέλµα του προβόλου Στο πάνω πέλµα της δοκού τοποθετούνται παντού Φ14 (314 mm ) και πρόσθετα στο πρόβολο 4Φ1, έτσι ώστε ο οπλισµός Φ14+4Φ1 (760 mm ) να υπερκαλύπτει την απαίτηση για 6777 mm Φ14 4Φ1 3Φ0 Φ14 Σχήµα 6-3 ιάταξη διαµήκους οπλισµού διατοµής ΙΙΙ Στην συνέχεια ελέγχονται εκ νέου οι κανόνες κατασκευαστικής διαµόρφωσης και όπλισης, σύµφωνα µε την προηγούµενη άσκηση

35 Άσκηση 7η ΑΣΚΗΣΗ 7 ίνεται πλάκα µε κάτοψη αυτή του σχήµατος και υλικά S500, C16/0 Η πλάκα φορτίζεται µε g επικ = 15 kn/m και q = 30 kn/m Το δοκάρι είναι οπλισµένο µε Φ18+Φ16 Ζητείται ο έλεγχος της πλάκας σε κάµψη και διάτµηση και της δοκού, για φόρτιση 135G+15Q β 060 m Π1, h = 150 mm 015 m α Κ1 40x40 α 170 m 1 50/600 50/ m Π, h = 150 mm β 040 m 80 m 80 m 170 m 015 m 060 m Τοµή β-β Τοµή α-α Σχήµα 7-1 Φορέας προς επίλυση

36 Άσκηση 7η ΕΠΙΛΥΣΗ Α Έλεγχος Πλάκας Ελέγχουµε πρώτα τη πλάκα Οι πλάκες Π1 και Π είναι συµµετρικές και η κάθε µία έχει ένα στήριγµα (στη δοκό), άρα µπορούν να θεωρηθούν ως πρόβολοι Επιλέγω λωρίδα πλάτους b = 1m στη διεύθυνση που θα οπλιστεί η πλάκα Στην ουσία θεωρώ τη λωρίδα σε τέτοια διεύθυνση ώστε η λωρίδα να «πατάει» στα στηρίγµατα της πλάκας Επιλέγω τη λωρίδα του Σχήµατος 7-Α Το στατικό σύστηµα το οποίο θα επιλύσω (θεωρώντας τη λωρίδα πλάτους 1 m) προκύπτει κάνοντας τοµή πάνω στη λωρίδα (τοµή γ-γ στο Σχήµα 7-) γ [Α] δ δ Π1, h = 150 mm Κ1 40x m 1 50/600 50/ m γ Π, h = 150 mm 170 m [Β] 015 m 10 m [Γ] 05 m 170 m 170 m [ ] Τοµή δ-δ 015 m 015 m Τοµή γ-γ 10 m [Ε] q d Σχήµα 7- [Α] Αντιπροσωπευτική επαναλαµβανόµενη λωρίδας πλάτους 1m στη πλάκα, [Β] Προοπτικό σχεδιάγραµµα αντιπροσωπευτικής λωρίδας [Γ] Τοµή (γ-γ) αντιπροσωπευτικής επαναλαµβανόµενης λωρίδας πλάτους 1m, [ ] ιατοµή εξιδανικευµένης δοκού (τοµή δ-δ) [Ε] Εξιδανικευµένο µοντέλο της λωρίδας πλάκας µε φορτίο σχεδιασµού

37 Άσκηση 7η Α1 Υπολογισµός Φόρτισης (λωρίδας) G = ίδιο βάρος (G ιβ ) + φορτίο επίστρωσης (G επ ) G ιβ = γ c h = 5 kn/m m = 375 kn/m G επ = 15 kn/m Άρα G = = 55 kn/m Φορτίο Σχεδιασµού q d = 135G + 15Q = = 116 kn/m Γραµµικό Φορτίο Σχεδιασµού q d = 116 kn/m 1m = 116 kn/m Α Υπολογισµός Εντατικών Μεγεθών Επειδή στην ουσία επιλύω πρόβολο, υπολογίζω τα εντατικά µεγέθη στη παρειά της στήριξης Οπότε: q d LΠ M Π = = = knm V Π = q sd l Π = = 197 kn q d = 116 kn/m 170 m [M] Μ Π = 1676 knm [V] _ + V Π = 197 kn Σχήµα 7-3 Εντατικά µεγέθη στη παρειά Σηµείωση: Στον πρόβολο, είναι αρκετά απλό να υπολογίσω κατευθείαν τη ροπή ή τη τέµνουσα στη παρειά Εάν είχα (πχ) συνεχόµενη δοκό θα έπρεπε να υπολογίσω τη µέγιστη ροπή στη στήριξη, και µετά τη ροπή στη παρειά (µέσω της κατάλληλης µείωσης) Α3 Έλεγχος Πλάκας σε Κάµψη Έστω d 1 = 3 cm = 003 m (εάν το d1 δεν καθορίζεται, θεωρώ αντιπροσωπευτική τιµή για πλάκες 3 cm) Στατικό ύψος d = h d 1 = = 01 m

38 Άσκηση 7η Υπενθυµίζεται ότι διαστασιολογούµε τη διατοµή πλάτους 1m και ύψους h (Σχήµα 3- ) M µ sd = bd sd cd ΜΠ 1676 = = = 0183 < µ * sd,lim = 0317 (για S500) ck bd Άρα δεν απαιτείται θλιβόµενος οπλισµός µ sd 0183 Από σχέση 41 ω 1 = νd = = 0138, ή από Πίνακα 51 (σελ 73) ω 1 = 0138 A s1 = ω 1 b d cd yd = = = 345 mm Προσοχή στις µονάδες: b,d (mm), cd, yd ( MPa) Έλεγχος σύµφωνα µε τις κατασκευαστικές διατάξεις Για τις πλάκες ισχύουν οι κατασκευαστικές διατάξεις του Πίνακα 54 (σελ 18) για ΚΠ Χ Ελάχιστο ποσοστό οπλισµού min ρ 1 = 06 ctm yk Η µέση εφελκυστική αντοχή σκυροδέµατος ctm είναι, / 3 ctm (MPa) = 03 ( (MPa ) ck ) min ρ 1 = 06 ctm yk = 03 (16) /3 = 190 MPa 190 = 06 = < min ρ 1 = min As 1 = min ρ 1 b d = = 156 mm < As 1 = 345 mm Μέγιστο ποσοστό οπλισµού max ρ 1 = 004 (κανονικά δεν έχω κρίσιµες περιοχές στο πρόβολο) A ρ 1 = s = = < max ρ 1 = 004 bd Έστω ότι τοποθετώ Φ8 As (Φ8) = 50 mm 345 Άρα στο άνοιγµα χρειάζοµαι: n = = 69 σίδερα 50 Στις πλάκες δεν υπολογίζω πλήθος ράβδων, αλλά ράβδους ανά αποστάσεις, λόγω του ότι η λωρίδα πλάτους 1 m είναι ιδεατή

39 Άσκηση 7η 1000 Σε πλάτος 1m, οι αποστάσεις µεταξύ των ράβδων Φ8 θα είναι, s = = mm 69 Άρα τοποθετώ Φ8/145 στις πλάκες Π1 και Π από τη στήριξη µέχρι την άκρη Α4 Έλεγχος Πλάκας σε ιάτµηση Πρέπει V sd V Rd,c, για να µην απαιτείται οπλισµός διάτµησης Σηµείωση από τη θεωρία Σε σεισµικές περιοχές, ο έλεγχος αυτός γίνεται µόνο για τα δοµικά στοιχεία που δεν «επηρεάζονται» από σεισµό Άρα ελέγχονται µόνο οι πλάκες V Rd,c 180 = max γ c 0 d 0 d 1/ 3 1/ 6 1/3 Ed ( 100ρ ), b d L ck + ck N A c Προσοχή στις µονάδες: b w,d (m), ck (MPa), V Rd,c, N Ed (kn) w Όπου, ρ L είναι το ποσοστό του εφελκυόµενου διαµήκους οπλισµού που διαπερνά τη διατοµή στη θέση που εξετάζω τη τέµνουσα (στην παρειά) ρ L = Φ8 / 145 bd 345 = = = και N Ed είναι το ασκούµενο θλιπτικό φορτίο, όπου στην περίπτωση αυτή ισούται µε / V max ( ), Rd,c = + 1/ 6 + V Rd,c = {max[79, 841] 577} 01 = { } 01 = 583 kn V sd = V Π = 197 kn < V Rd,c = 583 kn Άρα ο έλεγχος ικανοποιείται Εποµένως δεν χρειάζεται οπλισµό διάτµησης Σηµείωση: Προκειµένου να γίνει ο έλεγχος της πλάκας σε διάτµηση θα πρέπει πρώτα να έχουν υπολογισθεί τα σίδερα από κάµψη Αν δεν απαιτείται στην άσκηση έλεγχος σε κάµψη, µπορούµε να υποθέσουµε τον οπλισµό της πλάκας (πάντα σε λογικά πλαίσια) Εάν ο παραπάνω έλεγχος σε διάτµηση δεν ικανοποιούταν θα πρέπει να υπολογίσω οπλισµό διάτµησης (όπως και στα δοκάρια, ακολούθως) 1/ 3 Β Έλεγχος οκού Για να επιλέξω το στατικό σύστηµα της δοκού, κάνω τοµή (α-α) κατά µήκος της δοκού Άρα στην ουσία, πάντα κάνω τοµή επάνω στο στοιχείο που ελέγχω Οι δύο δοκοί ( 1 και ) στηρίζονται στο υποστύλωµα (40 x 40) Άρα επιλύω ένα σύστηµα προβόλων, όπως και στην περίπτωση της πλάκας, µε γραµµικό φορτίο q d

40 Άσκηση 7η Π1, h = 150 mm α Κ1 40x40 α 170 m 1 50/ m 170 m Π, h = 150 mm 040 m 80 m 80 m 015 m 060 m Τοµή α-α Κ1 170 m 170 m Τοµή γ-γ 015 m ιατοµή οκού (πλακοδοκός) 05 m Σχήµα 7-4 Τοµή για τον έλεγχο της δοκού και διατοµή δοκού Β1 Υπολογισµός Φόρτισης (δοκού) G = ίδιο βάρος (G ιβ ) + φορτίο που µεταφέρεται από πλάκες (q πλ ) q πλ = 116 kn/m ( ) = 43 kn/m (συµπεριλαµβάνει και το κινητό φορτίο) G ιβ(κρέµασης) = γ c h οκού καθαρό = 5 kn/m 3 05 (060-h ) = 5 kn/m 3 05 ( ) = 81 kn/m Γραµµικό Φορτίο Σχεδιασµού q d = 43 kn/m kn/m = 4609 kn/m

41 Άσκηση 7η Άλλος τρόπος υπολογισµού (1 ος ) του φορτίου που από την πλάκα µεταφέρεται στη δοκό Ξέρω ότι το γραµµικό φορτίο σχεδιασµού στη λωρίδα της πλάκας είναι 116 kn/m Η δοκός θα «κουβαλήσει» το φορτίο της πλάκας, όλη τη κάτοψη του σχήµατος σε όγκο Από το διάγραµµα τεµνουσών, µε βάση το φορτίο λωρίδας, µπορώ να υπολογίζω το φορτίο που θα µεταφέρει το δοκάρι Από ισορροπία, αθροίζοντας της τέµνουσες δυνάµεις (117 kn και 117 kn) µπορώ να βρω την αντίδραση (σαν συγκεντρωµένο φορτίο) που θα παραλάβει η δοκός (43 kn) Με άλλα λόγια σε κάθε ένα µέτρο κατά µήκος της δοκού θα έχω ένα συγκεντρωµένο φορτίο 43 kn γ Κοιτάω τι φορτίο µου δίνει η λωρίδα πλάκας πλάτους 1m, πάνω στη δοκό α Π1, h = 150 mm Κ1 40x /600 α 170 m 05 m 170 m Π, h = 150 mm γ 185 m 185 m Τοµή γ-γ 015 m ιατοµή οκού (πλακοδοκός) 170 m 05 m 170 m 116 kn/m 185 m 185 m _ 116 kn/m 185m = 117 kn kn/m 185m = 117 kn 117 = 43 kn Σχήµα 7-5 Τοµή για τον έλεγχο της δοκού και διατοµή δοκού

42 Άσκηση 7η Άλλος τρόπος υπολογισµού ( ος ) του φορτίου που από την πλάκα µεταφέρεται στη δοκό Το φορτίο που µεταφέρεται από τη πλάκα στη δοκό θα υπολογιστεί µέσω επιφανειών κατανοµής φορτίου, του φορτίου των πλακών στη δοκό Το εµβαδόν της πλάκας Π1 είναι E Π1 = = 1095 m = E Π Η δοκός (µήκους 6 m) δέχεται όλο το γραµµικό φορτίο σχεδιασµού q sd από τις πλάκες Π1 και Π Άρα το γραµµικό φορτίο σχεδιασµού από πλάκες στη δοκό είναι: q πλ = 116 kn/m E 1+ Ε L δοκού = 116 = 43 kn/m 6 Π Π + Π1, h = 150 mm Κ1 40x m Π, h = 150 mm 185 m 60 m Σχήµα 7-6 Επιφάνειες κατανοµής φορτίων από πλάκες σε δοκό Β Υπολογισµός Εντατικών Μεγεθών Επειδή στην ουσία επιλύω πρόβολο, υπολογίζω τα εντατικά µεγέθη στη παρειά της στήριξης Οπότε (Σχήµα 7-7): q M Π = d LΠ = = knm V Π = q d L Π = = 1905 kn

43 Άσκηση 7η 30 m 30 m 015 m 060 m Κ1 040 m 80 m 80 m q sd = 4614 kn/m [M] [V] _ Μ Π = knm + V Π = 1905 kn Σχήµα 7-7 Εντατικά µεγέθη στη παρειά, για τον έλεγχο δοκού Β3 Έλεγχος οκού σε Κάµψη Επειδή πρόκειται περί πρόβολου, η δοκός έχει εφελκυόµενη ζώνη επάνω Έστω d 1 = 4 cm = 004 m (Εάν το d1 δεν καθορίζεται, θεωρώ αντιπροσωπευτική τιµή για δοκάρια 4-5 cm) Στατικό ύψος d = h d 1 = = 056 m M µ sd = bd sd cd ΜΠ = = = 054 < µ * sd,lim = 0317 (για S500) ck bd Άρα δεν απαιτείται θλιβόµενος οπλισµός

44 Άσκηση 7η µ sd 054 Από σχέση 41 ω 1 = νd = = 0300, ή από Πίνακα 51 (σελ 73) A s1 = ω 1 b d cd 15 = = = 8758 mm yd Έλεγχος σύµφωνα µε τις κατασκευαστικές διατάξεις Λόγω του ότι η δοκός είναι πρόβολος ισχύουν οι διατάξεις για ΚΠ Χ Στους προβόλους, λόγω του ότι δεν υπάρχει πλαισιακή λειτουργία, δεν υπάρχουν κρίσιµες περιοχές Το ελάχιστο ποσοστό οπλισµού min ρ 1 υπολογίστηκε προηγουµένως ως 00013, το οποίο αντιστοιχεί σε min As 1 = 00013x50x560=18 mm Επιλέγω να τοποθετήσω Φ18 + Φ16 = 910 mm Β4 Έλεγχος οκού σε ιάτµηση Β41 Έλεγχος λοξής θλίψης (1 ος Έλεγχος σε ιάτµηση) Πρέπει max V ED V Rd,max, (όπου max V ED η µέγιστη τέµνουσα στις παρειές) Γνωρίζουµε ότι V Rd,max = α n cdλ b w z (cotθ+cotα) sin θ (1) 15 N Όπου α n = min 1+ν d = 1+ bd 5(1-ν d ) d cd cd λ = ck (MPa) cd Προσοχή: στη διάτµηση, το cd = ck /15 (χωρίς α=085) Για θ (γωνία κλίσης ρωγµών) = 45 α (γωνία κλίσης συνδετήρων) = 90 cotθ = = 1 cotα = = 0

45 Άσκηση 7η (1) V Rd,max = 05 α n cdλ b w z () b w (πλάτος κορµού) = 05 m d = h-d1 = = 056 m z = 09d = 0504 m ν d = α n = min 1+ν d = min 1 = 1 5(1-ν d ) () V Rd,max = = 378 kn max V ED = µέγιστη τέµνουσα στις παρειές = 1905 kn V Rd,max = 378 kn Έλεγχος ικανοποιείται Άρα δεν υπάρχει αδυναµία παραλαβής της θλίψης των διαγωνίων Άρα εν απαιτείται αλλαγή διαστάσεων της διατοµής Β4 Έλεγχος για λοξό εφελκυσµό Σύµφωνα µε τη θεωρεία (σελ 178) «Λαµβάνοντας υπόψη ότι ο υπολογισµός των συνδετήρων επιτρέπεται να αρχίζει σε απόσταση d από τη παρειά µιας άµεσης στήριξης ο υπολογισµός της ποσότητας A sw /s των συνδετήρων της κάθε ακραίας περιοχής γίνεται µε βάση τη τέµνουσα στη διατοµή x=d και να τοποθετείται ο ίδιος οπλισµός συνδετήρων σε όλη τη κρίσιµη περιοχή» Πρέπει V ED V Rd,s, (όπου V ED η τέµνουσα σε απόσταση d από τη παρειά) Η τέµνουσα σε απόσταση d από τη παρειά, υπολογίζεται ως εξής: V Π+d = q sd (8 d) = 461 (8-056) = 1033 kn, ή V Π+d = V Π - q sd d = = 1033 kn [V] _ V Π = 19 kn + 8 m V Π+d = 1033 kn Σχήµα 7-8 Υπολογισµός τέµνουσας σε απόσταση d από τη παρειά

46 Άσκηση 7η Σηµείωση: Γενικά, προκειµένου να επιλέξω και να υπολογίσου τι είδους συνδετήρες θα βάλω, ακολουθώ τα εξής βήµατα: 1) Επιλέγω τι ράβδους θα βάλω Άρα, Α) επιλέγω τη κλίση των συνδετήρων, γωνία α = 90⁰ Β) επιλέγω τη διάµετρο των συνδετήρων, έστω Φ8, άρα γνωρίζω το A sw Σηµειώνεται ότι η ποσότητα A sw /s αναφέρεται στο συνολικό εµβαδό της µίας ράβδου που θα τοποθετηθεί Αν επιλεγούν συνδετήρες τύπου «κλειστά τσέρκια» τότε έχουν σκέλη που δουλεύουν παράλληλα Οπότε A sw = A sw σκ n σκ (όπου n σκ το πλήθος των σκελών) Γενικά οι δίτµητοι είναι οι ελάχιστοι συνδετήρες που τοποθετώ Σε πιο πλατιά δοκάρια (b > 300 m) θέλω και τρίτο σκέλος Γ) επιλέγω την ποιότητα υλικού, άρα υπολογίζω το ywd ( ίνεται από την εκφώνηση ότι ο χάλυβας είναι ποιότητας S500) ) Με γνωστά τα παραπάνω υπολογίζω την απόσταση s Από σχέση 618 (σελ 164) Asw VRd,s = ywd z(cot θ+ cotα)sinα s θ (γωνία κλίσης ρωγµών) = 45 α (γωνία κλίσης συνδετήρων) = 90 A s sw = ywd VRd,s = z(cot θ+ cotα)sinα ywd VΠ+ d z(cot θ+ cotα)sinα A sw s = = = (cot 45+ cot 90) sin (1+ 0) A sw = m = 0471 mm s Έστω κλειστούς συνδετήρες Φ8 (δίτµητους) Άρα A sw = A sw σκ n σκ = 50mm = 100 mm s 100 = 13 mm Άρα αρχικά επιλέγονται Φ8/1 0471,

47 Άσκηση 7η Έλεγχος µε βάση Κατασκευαστικές διατάξεις για µη-κρίσιµες περιοχές ιάµετρος, d bw 8mm Απόσταση συνδετήρων, s h 0,75d = = 40 mm A Ελάχιστο ποσοστό εγκαρσίου οπλισµού ρ w,min = b s A 16 ρ w,min = sw = 008 = = 064 b s 500 w h w sw = h 008 ck yk (MPa) (MPa) Τελικά τοποθετούνται Φ8/1 A ρ w = b s w sw h 100 = = > ρ w,min =

48 Άσκηση 8η ΑΣΚΗΣΗ 8 Να προσδιοριστεί η ροπή αντοχής της διατοµής του σχήµατος για τη περίπτωση εφελκυσµού στο άνω πέλµα Επίσης να προσδιοριστεί το µέγεθος και η θέση των εσωτερικών δυνάµεων Υλικά: Σκυρόδεµα C16/0, Χάλυβας S mm 4 Φ mm 3Φ0 + Φ16 40 mm 50 mm Σχήµα 8-1 ιατοµή προς επίλυση ΕΠΙΛΥΣΗ Αγνοώντας αρχικά τον θλιβόµενο οπλισµό προκύπτει ότι: A s1 = A s (4Φ16) = 804 mm d = h-d1 = = 465 mm ω 1 = = = Από Πίνακα 41 (σελ 73) µ sd = 03 < µ * sd,lim (S500) = 0317 Ή από σχέση 40 (σελ 7) µ sd = (ω 1 -ν d ) (1-0514(ω 1 -ν d )) = 065 ( ) = 03 Εποµένως, αν αγνοηθεί η ύπαρξη του θλιβόµενου οπλισµού η ροπή αντοχής προκύπτει: Μ sd = µ sd b d cd = = 117 knm 1 5 M sd = 117 knm Προσοχή στις µονάδες: b,d σε m, cd σε kn/m

49 Άσκηση 8η Από Πίνακα 41 (σελ 73), για ω = 0,65 ξ = 039 ζ = 0863, ή από σχέση (σελ 7) ξ = (ω 1 -ν d )/081 = 066/081 = 039 και από σχέση 414 (σελ 71) ζ = 1-kξ = = 0863 ξ = x/d x (ύψος θλιβόµενης ζώνης) = d ξ = = 153 mm z c (z σκυρ ) = ζ d = = 4013 mm z θλιβοπλ = d-d = = 45 mm z c = 4013 mm < z θλιβοπλ = 45 mm d1 Fs1 Αs1 d d-d z θλοπλ =d-d z c = ζ d 500 mm As d Fs x F c 50 mm Σχήµα 8- Μοχλοβραχίονες και εσωτερικές δυνάµεις στη διατοµή Ως εκ τούτου ο εφελκυόµενος οπλισµός αξιοποιείται καλύτερα όταν συνδυάζεται µε το θλιβόµενο οπλισµό Επειδή µάλιστα ο θλιβόµενος οπλισµός A s = 134 mm είναι µεγαλύτερος από τον εφελκυόµενο A s1 = 804 mm, το σύνολο της εφελκυστικής δύναµης θα συνεργαστεί µε το θλιβόµενο οπλισµό Εποµένως F s1 = F s = A s1 yd = = 797 kn Και τελικά M Rd = A s1 yd (d-d) = = 1188 knm (Να σχολιαστεί το γεγονός ότι από τη παραπάνω ανάλυση φαίνεται να προκύπτει το παράδοξο ότι το σκυρόδεµα δεν παραλαµβάνει τάσεις)

50 Άσκηση 9η ΑΣΚΗΣΗ 9 Να προσδιοριστεί η ροπή αντοχής της διατοµής του σχήµατος αγνοώντας την ύπαρξη του θλιβόµενου οπλισµού για τις εξής δύο περιπτώσεις: 1 εφελκυσµός στο κάτω πέλµα εφελκυσµός στο πάνω πέλµα Προσδιορίστε επίσης για κάθε περίπτωση το µέγεθος και η θέση των εσωτερικών δυνάµεων Υλικά: Σκυρόδεµα C16/0, Χάλυβας S mm b e = 600 Φ16 10 h = 500 3Φ0+Φ16 40 mm 50 mm Σχήµα 9-1 ιατοµή προς επίλυση

51 Άσκηση 9η ΕΠΙΛΥΣΗ 1 Εφελκυσµός κάτω A s1 = A s (3Φ0+Φ16) = 134 mm b = b e = 600 mm, d = = 460 b e = 600 mm d=460 mm d=35 mm d-d A s Φ x=1058 mm F c = 467 kn z c = ζd = 4158 A s1 3Φ0+Φ16 d1 = 40 F s1 = 467 kn 50 mm Σχήµα 9- Μοχλοβραχίονες και εσωτερικές δυνάµεις στη διατοµή (εφελκυσµός κάτω) 0188 ω = = = Από Πίνακα 41 (σελ 73) µ sd = 017 < µ * sd,lim (S400) = 0343 Ή από σχέση 40 (σελ 7) µ sd = (ω 1 -ν d ) (1-0514(ω 1 -ν d )) = 0187 ( ) = 017 Μ sd = µ sd bd cd = = 1957 knm 15 Προσοχή στις µονάδες: b,d σε m, cd σε kn/m Οι εσωτερικές δυνάµεις της διατοµής προκύπτουν: F c = F s1 = A s1 yd = = kn Από Πίνακα 41 (σελ 73), για µ sd = 017 ξ = 03, ζ = 0,903, ή από σχέση (σελ 7) ξ = (ω 1 -ν d )/081 = 0188/081 = 03 και από σχέση 414 (σελ 71) ζ = 1-kξ = = 0903 x (ύψος θλιβόµενης ζώνης) = d ξ = = 1058 mm z=ζ d = = 4158 mm Επαλήθευση: M Rd = = 194 knm

52 Άσκηση 9η Εφελκυσµός πάνω A s1 = A s (Φ16) = 40 mm b = b w = 50 mm d = = ω 1 = = = Από Πίνακα 41 (σελ 73) µ sd = 015 < µ * sd,lim (S400) = 0343 Ή από σχέση 40 (σελ 7) µ sd =(ω 1 -ν d ) (1-0514(ω 1 -ν d )) = 0134 ( ) = 015 Μ sd = µ sd bd cd = = 60 knm 15 Οι εσωτερικές δυνάµεις της διατοµής προκύπτουν: F c = F s1 = A s1 yd = = 140 kn Από Πίνακα 41 (σελ 73), για µ sd = 015 ξ = 0166 ζ = 0931 x (ύψος θλιβόµενης ζώνης) = d ξ = = 764 mm z = ζ d = = 483 mm d1 = 35 mm b e = 600 mm F s1 = 140 kn A s1 Φ16 d=465 mm d-d 500 mm z c = ζd = mm d = 40 mm A s 3Φ0+Φ16 x = 764 mm F c = 140 kn 50 mm Σχήµα 9-3 Μοχλοβραχίονες και εσωτερικές δυνάµεις στη διατοµή (εφελκυσµός επάνω) Επαλήθευση: M Rd = = 60 knm

53 Άσκηση 10η ΑΣΚΗΣΗ 10 Επαναλάβετε τη προηγούµενη εφαρµογή χωρίς να αγνοηθεί ο θλιβόµενος οπλισµός Υλικά: Σκυρόδεµα C16/0, Χάλυβας S mm b e = 600 mm Φ16 10 h = 500 3Φ0+Φ16 40 mm 50 mm Σχήµα 10-1 ιατοµή προς επίλυση

54 Άσκηση 10η ΕΠΙΛΥΣΗ 1 Εφελκυσµός κάτω Έλεγχος µοχλοβραχιόνων z c και z θλιβοπλ z c (z σκυρ ) = ζ d = = 4158 mm z θλιβοπλ = d-d = = 45 mm z c = 4158 mm < z θλιβοπλ = 45 mm b e = 600 mm d d=35 mm z θλιβοπλ = d-d = 45 mm A s Φ mm x=1058 mm F c = 467 kn z c = ζd = 4158 mm d1 = 40 mm A s1 3Φ0+Φ16 F s1 = 467 kn 50 mm Σχήµα 10- Μοχλοβραχίονες και εσωτερικές δυνάµεις στη διατοµή (εφελκυσµός κάτω) Ως εκ τούτου ο εφελκυόµενος χάλυβας αξιοποιείται καλύτερα όταν συνδυάζεται µε το θλιβόµενο χάλυβα, από ότι αν συνδυάζεται µε το σκυρόδεµα ηλαδή, ένα µέρος της εφελκυστικής δύναµης του οπλισµού του A s1, που αντιστοιχεί σε εµβαδόν οπλισµού ίσου προς τον οπλισµό του πάνω πέλµατος Φ16 (A s = 40 mm ) συνδυάζεται µε τη θλιπτική δύναµη που µπορεί να αναληφθεί από τον οπλισµό A s, αναλαµβάνοντας ροπή M Rd,I Η εφελκυστική δύναµη που αντιστοιχεί στον υπόλοιπο οπλισµό του A s1 (134-40=940 mm ) συνδυάζεται µε τη θλιπτική δύναµη του σκυροδέµατος, αναλαµβάνοντας ροπή M Rd,II Υπολογισµός M Rd,I A s = A s (Φ16) = 40 mm M Rd,I = A s yd (d-d) = = 5943 mm Υπολογισµός M Rd,II ω 1 = (A s1 A bd s ) yd cd, ω = = = Από Πίνακα 41 (σελ 73) µ sd = 01 < µ * sd,lim (S400) = 0343

55 Άσκηση 10η Ή από σχέση 40 (σελ 7) µ sd = (ω 1 -ν d ) (1-0514(ω 1 -ν d )) = 0131 ( ) = 01 Από Πίνακα 41 (σελ 73), για µ sd = 01 ξ = 0163, ζ = 0,933 Μ Rd,II = µ sd b d cd = = knm 1 5 M Rd = Μ Rd,I + Μ Rd,II = = knm Οι εσωτερικές δυνάµεις της διατοµής προκύπτουν: F s1 = A s1 yd = = kn F s = A s yd = = 140 kn F c = F s1 -F s = = 37 kn x (ύψος θλιβόµενης ζώνης) = d ξ = = mm z (z c ) = ζd = = 4918 mm x F c = 37 kn z c = 495 mm F s = 140 kn z θλιβοπλ = 45 mm F s1 = 467 kn Σχήµα 10-3 Εσωτερικές δυνάµεις στη διατοµή (εφελκυσµός κάτω) Επαλήθευση: M Rd,I = F s (d-d) = = 595 knm M Rd,II = F c z c = 37 0,495 = 1404 knm