ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μηχανική του Συνεχούς Μέσου Νόμοι Ισοζυγίου Διδάσκων : Καθηγητής Β. Καλπακίδης
Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς.
ÊåöÜëáéï 4 Íüìïé Éóïæõãßïõ ÌÝ ñé ôþñá åéóáãüãáìå êáé áíáëýóáìå äéüöïñåò êéçìáôéêýò ðïóüôçôåò. Óå áõôü ôï êåöüëáéï èá ìéëþóïõìå ãéá ôéò äõíüìåéò êáé óôç óõíý åéá èá åéóüãïõìå áîéùìáôéêü ôéò åîéóþóåéò ðïõ óõíäýïõí ôéò äõíüìåéò ìå ôá áðïôåëýóìáôá ôïõò, äçëáäþ ôéò áíôßóôïé åò êéíçìáôéêýò ìåôáâëçôýò. 4.1 Ç äéáôþñçóç ôçò ìüæáò Ç ìüæá åßíáé Ýíá ìýôñï ðïõ ïñßæåôáé åðé ôïõ óþìáôïò Â, êáèþò êáé åðß ïðïéïõäþðïôå õðïóõíüëïõ ôïõ. ÄçëáäÞ, ôï M(B) åßíáé Ýíáò ìç áñíçôéêüò áñéèìüò ðïõ "ìåôñü" ðüóç ìüæáò "ðåñéý åôáé" óôï óþìá Â. ¼ìïéá, èá ãñüöïõìå M(P ); P B êáé èá åííïïýìå ôçí ìüæá ðïõ áíôéóôïé åß óôï ôìþìá (õðïóýíïëï) ôïõ óþìáôïò Â. óôù P 1 êáé P 2 äýï äéáöïñåôéêü ôìþìáôá ôïõ óþìáôïò ôüôå M(P 1 P 2 ) = M(P 1 ) + M(P 2 ): (4.1) Áí õðïèýóïõìå üôé ç ìüæá ðëçñïß üëåò ôéò ìáèçìáôéêýò éäéüôçôåò ôïõ ìýôñïõ, ôüôå ìðïñåß íá áðïäåßîåé êáíåßò üôé õðüñ åé ç ðõêíüôçôá ìüæáò ñ(x; t), äçëáäþ ìéá óõíüñôçóç ðïõ óå êüèå ñïíéêþ óôéãìþ t ïñßæåôáé åðß ïðïéïõäþðïôå ó çìáôéóìïý Â, Ýôóé þóôå: M(Â) = B ñ(x; t)dv: (4.2)
66 Íüìïé Éóïæõãßïõ Ðñïöáíþò, ìðïñïýìå íá ðüñïõìå ôçí ìüæá åíüò üðïéïõäþðïôå ôìþìáôïò P ùò åîþò M(P ) = ñ(x; t)dv: P Ç ìüæá óôïí ó çìáôéóìü áíáöïñüò Â 0 êáé óå Ýíá ôñý ïíôá ó çìáôéóìü Â t èá äßíïíôáé áíßóôïé á áðü ôéò ó Ýóåéò M(Â 0 ) = ñ 0 (X; t)dv; B 0 M(Â t ) = ñ(x; t)dv: B t (4.3) ÐáñáôçñÞóôå üôé ôüóï ç (4.3á) üóï êáé ç (4.3â), áí ãßíïõí ïé ïëïêëçñþóåò ùò ðñïò ôï þñï, ìåôáôñýðïíôáé óå áðëýò óõíáñôþóåéò ôïõ ñüíïõ. Ãé' áõôü ôï ëüãï Ý åé Ýííïéá íá ãñüöïõìå M(Â 0 ) = M(Â 0 )(t); M(Â t ) = M(Â t )(t) Ç áñ Þ äéáôþñçóçò ôçò ìüæáò ìáò åîáóöáëßæåé üôé ç ìüæá åíüò ôõ áßïõ ôìþìáôïò P 0 ôïõ óþìáôïò ðáñáìýíåé óôáèåñþ êáôü ôç äéüñêåéá ôçò ðáñáìüñöùóçò, äçëáäþ M(P 0 )(t) = M(P t )(t) = óôáèåñü t; (4.4) üðïõ P 0 B 0, P t B t êáé P t = f(p 0 ; t). Éóïäýíáìá, ç (4.4) ãñáöåôáé Ó Þìá 4.1. Ç ìüæá ôïõ ôìþìáôïò P 0 óôçí áðáñáìüñöùôç êáôáóôáóç åßíáé ßäéá ìå ôç ìüæá ôïõ ôìþìáôïò P t = f(p 0 ; t) óôçí ðáñáìïñöùìýíç êáôüóôáóç ñ 0 (X; t)dv = B 0 ñ(x; t)dv; B t (4.5) Ðñï åéñåò Óçìåéþóåéò óôç Ìç áíéêþ ôïõ Óõíå ïýò
4.1 Ç äéáôþñçóç ôçò ìüæáò 67 Ëüãù ôçò (4.4) ç ñïíéêþ ðáñüãùãïò ôïõ M(P 0 )(t) èá ìçäåíßæåôáé: d dt M(P 0) = 0 d ñ 0 (X; t)dv = 0: (4.6) dt P 0 Áí ç åßíáé óõíå þò ðáñáãùãßóéìç ùò ðñïò ôï ñüíï, ç ðáñáðüíù ó Ýóç ìå ôç âïþèåéá ôçò (3.40) ãñüöåôáé d @ñ 0 ñ 0 (X; t)dv = dv = 0: (4.7) dt P 0 P 0 @t ÅðåéäÞ ôï ôåëåõôáßo ïëïêëþñùìá ôçò (4.7) ðñýðåé íá ìçäåíßæåôáé ãéá ïðïéïäþðïôå áõèáßñåôï óõíïëü P 0 Â 0, èá ðñýðåé õðï ñåùôéêü ç õðü ïëïêëþñùóç ðïóüôçôá íá ìçäåíßæåôáé ðáíôïý óôï Â 0 : @ñ 0 @t = 0; X B 0; (4.8) äçëáäþ ç ðõêíïôþôá ìüæáò óôïí ó çìáôéóìü áíáöïñüò ñ 0 äåí åîáñôüôáé áðü ôïí ñüíï t, ðáñü ìüíï áðü ôç èýóç : ñ 0 = ñ 0 (X): (4.9) ÌåôÜ ôçí (4.9), ç áñ Þ äéáôþñçóçò ôçò ìüæáò åðáíáäéáôõðþíåôáé ùò åîþò: Ãéá ïðïéïäþðïôå ôìþìá ôïõ óþìáôïò P 0 éó ýåé 0 (X)dV = (x; t)dv; P 0 P t üðïõ P t = f(p 0 ). Ìðïñïýìå íá áëëüîïõìå ôþñá ôç ìåôáâëçôþ ïëïêëþñùóçò óôï äåýôåñï üëïêëþñùìá ìå ôç âïþèåéá ôçò áðåéêüíéóçò ôçò êßíçóçò, äçëáäþ íá áíôéêáôáóôþóïõìå ôï x ìå þóôå ôá äõï ïëïêëçñþìáôá íá Ý ïõí ôï ßäéï ùñßï ïëïêëþñùóçò (x(x; t); t)jdv = 0 (X)dV P 0 P 0 Þ P 0 ((x(x; t); t)j 0 (X)) dv = 0; P 0 B 0 : (4.10) ÅðåéäÞ ç ðáñáðüíù ó Ýóç éó ýåé ãéá ïðïéïäþðïôå áõèáßñåôï õðïóýíïëï ôïõ ó çìáôéóìïý áíáöïñüò Â 0 êáé ìå äåäïìýíï üôé ç õðü ïëïêëþñùóç ðïóüôçôá åßíáé óõíå Þò, ðñïêýðôåé Þ (x(x; t); t)j 0 (X) = 0; X B 0 ; 0 / = J (4.11) Ç (4.11) áðïôåëåß ìéá Ýêöñáóç ôçò áñ Þò äéáôþñçóçò ôçò ìüæáò óå ôïðéêþ ìïñöþ. ÔìÞìá ÅðéóôÞìçò & Ôå íïëïãßáò Õëéêþí Â. K. Êáëðáêßäçò
68 Íüìïé Éóïæõãßïõ 4.1.1 Ç åîßóùóç ôçò óõíý åéáò Áò åðéóôñýøïõìå ãéá ëßãï óôçí (4.5) êáé áò óõãêåíôñþóïõìå ôçí ðñïóï Þ ìáò óôï äåýôåñï ìýñïò ôçò B t ñ(x; t)dv = óôáèåñü (4.12) áðü ôçí ïðïßá ðáßñíïõìå ìå ôç âïþèåéá ôçò (3.44) ðáßñíïõìå ( ) d D D (x; t)dv = ((x; t)dv) = dt P t Dt Dt + v i;i dv = 0: (4.13) Êáé åðåéäþ (4.13) éó ýåé ãéá ïðïéoäþðïôå P t, ðáßñíïõìå Þ éóïäýíáìá P t P t D Dt + v i;i = 0; x B t ; (4.14) + divv = 0; x B t ; (4.15) Ç (4.14) áðïôåëåß ôçí åîßóùóç ôçò óõíý åéáò ðïõ ðáßæåé ðïëý óçìáíôéêü ñüëï óôç Ìç áíéêþ ôùí ñåõóôþí. Åðßóçò åðéêáëïýìåíïé ôïí ïñéóìü ôçò õëéêþò ðáñáãþãïõ (åî. (3.23)) ìðïñïýìå íá ãñüøïõìå ( @ @t + @ ) v i + v i;i = 0 @ @x i @t + (v i) ;i = 0; (4.16) Þ éóïäýíáìá @ @t + div( v) = 0: (4.17) 4.2 Ôï èåþñçìá ìåôáöïñüò Óôçí ÐáñÜãñáöï 3.4, åßäáìå üôé ç ñïíéêþ ðáñüãùãïò åíüò ïëïêëçñþìáôïò ðïõ ïñßæåôáé åðß åíüò ôñý ïíôïò ó çìáôéóìïý äßíåôáé áðü ôçí (3.44). Óôçí ðåñßðôùóç üìùò ðïõ ç õðü ïëïêëþñùóç ðïóüôçôá ðåñéý åé ôçí ðõêíüôçôá ìüæáò, ôüôå éó ýåé Ýíáò ðïëý êïìøüò ôýðïò üðùò äåß íåé êáé ôï èåþñçìá ðïõ áêïëïõèåß Èåþñçìá ÌåôáöïñÜò óôù ö ìéá ïìáëþ óõíüñôçóç ôïõ þñïõ êáé ôïõ ñüíïõ, ö = ö(x; t); x B t. Ôüôå éó ýåé d ñö(x; t)dv = ñ ö(x; t)dv; (4.18) dt P t P t Ðñï åéñåò Óçìåéþóåéò óôç Ìç áíéêþ ôïõ Óõíå ïýò
4.3 Ïé äõíüìåéò åðß ôùí óõíå þí ìýóùí 69 üðïõ P t Ýíá ôõ áßï õðïóýíïëï ôïõ ôñý ïíôïò ó çìáôéóìïý B t. Áðüäåéîç Îåêéíïýìå áðü ôïí ðñþôï üñï ôçò (4.18), ï ïðïßïò ìå ôç âïþèåéá ôçò (3.44) ãñüöåôáé ( ) ( d D(ñö) ñö(x; t)dv = + (ñö)v i;i dv = ñ Dö dt P t  t Dt  t Dt + Dñ ) Dt ö + ñöv i;i dv: Áí åéóüãïõìå ôçí (4.14) óôïí ôåëåõôáßï üñï öèáíïõìå óôçí áêüëïõèç ó Ýóç ( d ñö(x; t)dv = ñ Dö ) dt P t  t Dt ñv i;iö + ñöv i;i dv = ñ Dö  t Dt dv; ï.å.ä. 4.3 Ïé äõíüìåéò åðß ôùí óõíå þí ìýóùí Ìðïñïýìå íá äéáêñßíïìå óå äýï åßäç ôéò äõíüìåéò ðïõ áóêïýíôáé ðüíù óôá óõíå Þ ìýóá. Ôï ðñþôï åßäïò åßíáé ïé äõíüìåéò ðïõ äñïýí áðü áðüóôáóç, üðùò ãéá ðáñüäåéãìá áõôýò ðïõ áóêïýíôáé åðß åíüò óþìáôïò ëüãù ôïõ âüñïõò ôïõ üðùò öáßíåôáé óôï Ó Þìá 4.2. Ïé äõíüìåéò áðü áðüóôáóç áóêïýíôáé óå üëá ôá óçìåßá ôïõ óþìáôïò ãé' áõôü êáé áðïêáëïýíôáé êáèïëéêýò Þ ìáæéêýò äõíüìåéò. Áðü Üðïøç öõóéêþí äéáóôüóåùí, ïé ìáæéêýò äõíüìåéò åßíáé äõíüìåéò áíü ìïíüäá ìüæáò êáé ðåñéãñüöïíôáé ìáèçìáôéêü áðü Ýíá äéáíõóìáôéêü ðåäßï ðïõ ïñßæåôáé åðß ïëïêëþñïõ ôïõ óþìáôïò, äçëáäþ b = b(x); X B 0 ; [b] = äýíáìç ìüæá : (4.19) Ðñïöáíþò, ç b åßíáé ìéá ðõêíüôçôáò äýíáìçò áíü ìïíüäá ìüæáò, ç ïðïßá ìðïñåß åðßóçò íá ãßíåé ðõêíüôçôá äýíáìçò áíü ìïíüäá üãêïõ áí ðïëëáðëáóéáóôåß ìå ôçí ðõêíüôçôá [ñ 0 b] = äýíáìç üãêïò : ôóé ç ìáæéêþ äýíáìç ðïõ áóêåßôáé åðß ïëïêëþñïõ ôïõ óþìáôïò èá äßíåôáé áðü ôï ïëïêëþñùìá B 0 ñ 0 bdv: (4.20) Ôï äåýôåñï åßäïò åßíáé ïé äõíüìåéò åðáöþò ðïõ áóêïýíôáé áðü Ýíá óþìá åðß åíüò Üëëïõ. Ïé äõíüìåéò áõôýò áóêïýíôáé êáôü ìþêïò ôçò äéá ùñéóôéêþò åðéöüíåéáò ìåôáîý ôùí äýï óùìüôùí ãé'áõôü áíáöýñïíôáé åðßóçò ùò åðéöáíåéáêýò äõíüìåéò. ÔÝôïéá åßíáé ãéá ðáñüäåéãìá ç äýíáìç ðïõ áóêåßôáé åðß åíüò âõèéóìýíïõ óþìáôïò áðü ôï ðåñéñýïí õãñü ÔìÞìá ÅðéóôÞìçò & Ôå íïëïãßáò Õëéêþí Â. K. Êáëðáêßäçò
70 Íüìïé Éóïæõãßïõ Ó Þìá 4.2. Ç äýíáìç ëüãù ôïõ ðåäßïõ âáñýôçôáò áóêåßôáé óå êüèå õëéêü óçìåßï ôïõ óþìáôïò (Ó Þìá 4.3) üðùò åðßóçò êáé ç äýíáìç ðïõ áóêåßôáé áðü ôï áýñéï ðïõ åêôïíþíåôáé ðüíù óôï Ýìâïëï óôï åóùôåñéêü åíüò êõëßíäñïõ (Ó Þìá 4.4). Ïé åðéöáíåéáêýò äõíüìåéò åßíáé äõíüìåéò áíü ìïíüäá åðéöüíåéáò êáé ðåñéãñüöïíôáé áðü Ýíá äéáíõóìáôéêü ðåäßï ðïõ ïñßæåôáé ðüíù óôçí óõíïñéáêþ åðéöüíåéá ôïõ óþìáôïò t = t(x); X @B 0 ; [t] = äýíáìç åðéöüíåéá ; (4.21) üðïõ ôï @B 0 óõìâïëßæåé ôç óõíïñéáêþ åðéöüíåéá ôïõ B 0. Ôï äéáíõóìáôéêü ðåäßï t áíáöýñåôáé ùò äéüíõóìá ôüóçò 1. Óçìåéþíïõìå üôé äåí åßíáé áðáñáßôçôï ôï äéüíõóìá ôüóçò íá äñá åðß ïëüêëçñçò ôçò óõíïñéáêþò åðéöüíåéáò ôïõ óþìáôïò, áíôßèåôá ôï t ìðïñåß íá ïñéóôåß åðß åíüò ôìþìáôïò ôïõ óõíüñïõ à @B 0. ÓõíÞèùò óôçí ðñüîç ôï äéüíõóìá ôüóçò áðïôåëåß Ýíá áðü ôá äåäïìýíá ôïõ ðñïâëþìáôïò, äçëáäþ ìáò åßíáé ãíùóôü ðïéá äýíáìç äñá ðüíù óå Ýíá ôìþìá ôçò åðéöüíåéáò (Ó Þìá 4.5) êáé áíáöýñåôáé ùò öüñôéóç ôïõ óþìáôïò. Óôçí ðåñßðôùóç ðïõ ôï äéüíõóìá ôüóçò ïñßæåôáé åðß ôïõ ôìþìáôïò Ã, ç óõíïëéêþ åðéöáíåéáêþ äýíáìç èá äßíåôáé áðü ôï åðéöáíåéáêü ïëïêëþñùìá tds: (4.22) à 1 "Stress vector" óôá ÁããëéêÜ. Óçìåéþíïõìå üôé óôçí áããëéêþ âéâëéïãñáößá áíáöýñåôáé åðßóçò êáé ùò "traction". Ï É. ÂáñäïõëÜêçò ðñüôåéíå íá áðïäïèåß óôá ÅëëçíéêÜ ùò "åëêõóôþò" ("Óôïé åßá Ìç áíéêþò ôïõ Óõíå ïýò ÌÝóïõ", É. ÂáñäïõëÜêçò, ÁèÞíá, êäïóç ÅÌÐ, 2003) Ðñï åéñåò Óçìåéþóåéò óôç Ìç áíéêþ ôïõ Óõíå ïýò
4.4 Ôï äéüíõóìá ôüóçò óôï åóùôåñéêü ôïõ óþìáôïò 71 Ó Þìá 4.3. Ç äýíáìç ôïõ õãñïý åðß ôïõ âõèéóìýíïõ óþìáôïò áóêåßôáé êáôü ìþêïò ôçò åðéöüíåéáò ôïõ Ó'áõôü ôï óçìåßï óçìåéþíïõìå üôé ôüóï ïé åðéöáíåéáêýò äõíüìåéò üóï êáé ïé ìáæéêýò äõíüìåéò ìðïñïýí íá ïñéóôïýí êáé óôïí ôñý ïíôá ó çìáôéóìü, äçëáäþ ìðïñïýìå íá Ý ïõìå ôéò äéáíõóìáôéêýò óõíáñôþóåéò t = t(x); x @B t êáé b = b(x); x B t Áíôßóôïé á, ç óõíïëéêç åðéöáíåéáêþ êáé ìáæéêþ äýíáìç èá åßíáé: @B t tds êáé @B t ñbdv: 4.4 Ôï äéüíõóìá ôüóçò óôï åóùôåñéêü ôïõ óþìáôïò Óôçí ðñïçãïýìåíç ðáñüãñáöï, áíáöåñüìåíïé óôéò äõíüìåéò åðáöþò, ôïíßóáìå üôé áõôýò áóêïýíôáé óôç óõíïñéáêþ åðéöüíåéá ôïõ óþìáôïò Þ óå ôìþìá áõôþò. Óå áõôþ ôçí ðáñüãñáöï èá äïýìå üôé äåí åßíáé áðáñáßôçôï íá ðåñéïñßóïõìå ôç äñüóç ôùí åðéöáíåéáêþí äõíüìåùí ìüíï åðß ôùí óõíïñéáêþí åðéöáíåéþí, áëëü ìðïñïýìå íá åðåêôáèïýìå êáé óå ïðïéáäþðïôå åóùôåñéêþ åðéöüíåéá ôïõ óþìáôïò. Èåùñïýìå Ýíá óþìá ìå ó çìáôéóìü áíáöïñüò Â 0 åðß ôïõ ïðïßïõ áóêåßôáé ìéá öüñôéóç óå Ýíá ôìþìá ôçò óõíïñéáêþò ôïõ åðéöüíåéáò üðùò öáßíåôáé ÔìÞìá ÅðéóôÞìçò & Ôå íïëïãßáò Õëéêþí Â. K. Êáëðáêßäçò
72 Íüìïé Éóïæõãßïõ Ó Þìá 4.4. Ç äýíáìç ôïõ åêôïíïýìåíïõ áåñßïõ åðß ôçò åðéöüíåéáò ôïõ åìâüëïõ óôï Ó Þìá 4.6. Ëüãù ôùí äõíáìýùí óõíï Þò óôï åóùôåñéêü ôïõ óþìáôïò 2, ç öüñôéóç t èá ãßíåé áéóèçôþ ü é ìüíï óôï ôìþìá ôïõ óõíüñïõ åðß ôïõ ïðïßïõ áóêåßôáé, áëëü óå ïëüêëçñï ôï óþìá ïóïäþðïôå ìáêñéü áðü ôç óõíïñéáêþ ôïõ åðéöüíåéá. èá ëýìå üôé ôï óþìá åßíáé õðü åíôáôéêþ êáôüóôáóç. Ãéá íá ðñïóäéïñßóïõìå ôçí åíôáôéêþ êáôüóôáóç ôïõ óþìáôïò èåùñïýìå ìéá öáíôáóôéêþ ôïìþ S 0 óôï åóùôåñéêü ôïõ óþìáôïò ç ïðïßá ùñßæåé ôï óþìá óå äýï ôìþìáôá. Ìðïñïýìå ëïéðüí íá èåùñþóïõìå üôé Ý ïõìå äýï óþìáôá ôá ïðïßá åßíáé óå åðáöþ êáôü ìþêïò ôçò êïéíþò óõíïñéáêþò ôïõò åðéöüíåéáò S 0. ôóé, êáôü ôá ðñïçãïýìåíá, ôï ôìþìá ÉÉ èá áóêåß ìéá åðéöáíåéáêþ äýíáìç åðß ôïõ ôìþìáôïò É êáôü ìþêïò ôçò åóùôåñéêþò åðéöüíåéáò S 0, üðùò öáßíåôáé óôï áñéóôåñü ìýñïò ôïõ Ó Þìáôïò 4.6. ÁõôÞ ç åðéöáíåéáêþ äýíáìç èá ðåñéãñüöåôáé áðü ôï äéüíõóìá ôüóçò t I ðïõ èá ïñßæåôáé åðß ôçò S 0. ÖõóéêÜ, ôï ôìþìá I ìå ôç óåéñü ôïõ èá áóêåß ìéá áíôßóôïé ç åðéöáíåéáêþ äýíáìç óôï ôìþìá ÉÉ ìå ôï äéüíõóìá ôüóçò t IÉ, üðùò öáßíåôáé óôï äåîéü ìýñïò ôïõ Ó Þìáôïò 4.6. Ôá äéáíýóìáôá ôüóçò t I êáé t IÉ äåí åßíáé áíåîüñôçôá ìåôáîý ôïõò, áíôßèåôá óõíäýïíôáé ìåôáîý ôïõò ìå ôïí Íüìï ôçò äñüóçò êáé áíôßäñáóçò t I (X) = t IÉ (X); X S 0 : (4.23) ôóé, óå êüèå óçìåßï ôçò S 0, ç åíôáôéêþ êáôüóôáóç áñáêôçñßæåôáé áðü ôï äéüíõóìá ôüóçò t I. ÄçëáäÞ ôï äéüíõóìá ôüóçò, åêôüò áðü ôçí áëëçëåðßäñáóç ôïõ óþìáôïò ìå Üëëá óþìáôá ìýóù ôçò óõíïñéáêþò ôïõ åðéöüíåéáò, èá ðåñéãñüöåé åðßóçò êáé ôçí åíôáôéêþ êáôüóôáóç óôï åóùôåñéêü ôïõ óþìáôïò äéá ìýóïõ ïðïéáóäþðïôå åóùôåñéêþò åðéöüíåéáò. Ì'üëá ôáýôá, ôï 2 Áíáöåñüìáóôå óôéò äõíüìåéò ìåôüîý ôùí õëéêþí óçìåßùí ðïõ óõãêñïôïýí ôï óþìá ùò ôýôïéï. Óçìåéþíïõìå üôé Ýíá óþìá äåí åßíáé Ýíá áðëü óýíïëï õëéêþí óçìåßùí, áëëü Ýíá óýíïëï óçìåßùí ôá ïðïßá óõíäýïíôáé ìåôáîý ôïõò ìå ôéò äõíáìåßò óõíï Þò. Ðñï åéñåò Óçìåéþóåéò óôç Ìç áíéêþ ôïõ Óõíå ïýò
4.4 Ôï äéüíõóìá ôüóçò óôï åóùôåñéêü ôïõ óþìáôïò 73 Ó Þìá 4.5. Ç öüñôéóç óå Ýíá ôìþìá ôïõ óõíüñïõ äéüíõóìá ôüóçò äåí áðïôåëåß ôçí êáôüëëçëç Ýííïéá ãéá ôçí ðëþñç êáé áðïôåëåóìáôéêþ ðåñéãñáöþ ôçò åíôáôéêþò êáôüóôáóçò ôïõ óõíå ïýò ìýóïõ. Áõôü óõìâáßíåé ãéáôß ôï äéüíõóìá ôüóçò åîáñôüôáé áðü ôçí åðéöüíåéáò ðïõ åðéëýãïõìå. Áò èåùñþóïõìå Ýíá óçìåßï P óôï åóùôåñéêü ôïõ óþìáôïò. Ãéá íá üñéóïõìå ôï äéüíõóìá ôüóçò óôï óçìåßï P ðñýðåé íá èåùñþóïõìå ìéá åóùôåñéêþ åðéöüíåéá ðïõ íá äéýñ åôáé áðü ôï óçìåßï áõôü. óôù üôé åðéëýãïõìå ôçí åðéöüíåéá S 1, óôçí ïðïßá áíôéóôïé åß ôï äéüíõóìá ôüóçò t 1 (Ó Þìá 4.7, áñéóôåñü). Áí åðéëýãáìå ìéá Üëëç åðéöüíåéá ðïõ íá äéýñ åôáé áðü ôï P, Ýóôù ôçí S 2, ôüôå ôï äéüíõóìá ôüóçò ðïõ áíôéóôïé åß óå áõôþí, ôï t 2 åßíáé äéáöïñåôéêü áðü ôï t 1. ÄåäïìÝíïõ üôé õðüñ ïõí Üðåéñåò åðéöüíåéåò ðïõ äéýñ ïíôáé áðü ôï P, õðüñ ïõí Üðåéñá óôïí áñéèìü äéáíýóìáôá ôüóçò ðïõ áíôéóôïé ïýí üëá óôçí åðéöáíåéáêþ äýíáìç ðïõ áóêåßôáé óôï óçìåßï P. Óôçí åðüìåíç ðáñüãñáöï èá äåßîïõìå üôé áí íá ãíùñßæïõìå ôá äéáíýóìáôá ôüóçò ãéá ôñßá êüèåôá ìåôáîý ôïõò åðßðåäá ðïõ äßåñ ïíôáé áðü ôï óçìåßï P, ìðïñïýìå íá õðïëïãßóïõìå ôï äéüíõóìá ôüóçò ãéá ïðïéïäþðïôå åðßðåäï. 4.4.1 Ï ôáíõóôþò ôüóçò ÎåêéíÜìå ðüëé ìå Ýíá åóùôåñéêü óçìåßï ôïõ óþìáôïò P. Èåùñïýìå ìéá áõèáßñåôç åóùôåñéêþ åðéöüíåéá S ðïõ äéýñ åôáé áðü ôï Ñ ìå ìïíáäéáßï êüèåôï äéüíõóìá n, üðùò öáßíåôáé óôï äåîéü ôìþìá ôïõ Ó Þìáôïò 4.7. óôù t n to äéüíõóìá ôüóçò ðïõ äñü åðß ôçò åðéöüíåéáò S, óôï óçìåßï Ñ. Áò ðåñéïñéóôïýìå ôþñá ãýñù áðü ôï Ñ, óå Ýíá ðïëý ìéêñü ôìþìá ôçò åðéöüíåéáò ðïõ èá ôï ïíïìüóïõìå ds. ÅðåéäÞ ôï ds åßíáé ðïëý ìéêñü, ìðïñåß íá èåùñçèåß üôé åßíáé åðßðåäï êáèþò åðßóçò êáé üôé ôï t n åßíáé óôáèåñü äéüíõóìá. ôóé, ç åðéöáíåéáêþ äýíáìç ðïõ áóêåßôáé óôï ds (ðñáêôéêü, ç åðéöáíåéáêþ äýíáìç ðïõ áóêåßôáé óôï Ñ) èá åßíáé ÔìÞìá ÅðéóôÞìçò & Ôå íïëïãßáò Õëéêþí Â. K. Êáëðáêßäçò
74 Íüìïé Éóïæõãßïõ Ó Þìá 4.6. Ïé äõíüìåéò åðáöþò óôï åóùôåñéêü åíüò óþìáôïò êáôü ìþêïò ìéáò öáíôáóôéêþò ôïìþò df = t n ds: (4.24) Èá ðñï ùñþóïõìå ôþñá èåùñþíôáò Ýíá áðåéñïóôü ðáñáëëçëåðßðåäï óôï óçìåßï P (Ó Þìá 4.8). Ìå áõôü ôïí ôñüðï Ý ïõìå 6 åðßðåäá (áíü äýï ðáñüëëçëá) ðüíù óôá ïðïßá ìðïñïýìå íá ïñßóïõìå äéáíýóìáôá ôüóçò. ÏíïìÜæïõìå t 1 ôï äéüíõóìá ôüóçò åðß ôçò Ýäñáò ðïõ åßíáé êüèåôç óôï ìïíáäéáßï êüèåôï äéüíõóìá e 1. Áíôéóôïß ùò, ìå t 2 êáé t 3 óõìâïëßæïõìå ôá äéáíýóìáôá ôüóçò ðïõ äñïýí óôá åðßðåäá ðïõ åßíáé êüèåôá óôá ìïíáäéáßá äéáíýóìáôá e 2 êáé e 3. Åðßóçò ìå ô 11 ; ô 12 êáé ô 13 óçìâïëßæïõìå ôéò óõíéóôþóåò ôïõ äéáíýóìáôïò ôüóçò t 1. ÄçëáäÞ, ç ôåëåõôáßá áíáëýåôáé ùò åîþò: t 1 = ô 11 e 1 + ô 12 e 2 + ô 13 e 3 (4.25) ñçóéìïðïéþíôáò áíüëïãï óõìâïëéóìü, ôá áëëá äõï äéáíýóìáôá ôüóçò èá ãñüöïíôáé Ïé ó Ýóåéò (4.25){(4.27) ãñüöïíôáé åðßóçò ðéï óýíôïìá ÄçëáäÞ áí ãíùñßæïõìå ôéò 9 óõíéóôþóåò t 2 = ô 21 e 1 + ô 22 e 2 + ô 23 e 3 (4.26) t 3 = ô 31 e 1 + ô 32 e 2 + ô 33 e 3 : (4.27) t i = ô i1 e 1 + ô i2 e 2 + ô i3 e 3 = ô ij e j ; i; j = 1; 2; 3: (4.28) ô ij = ô 11 ô 12 ô 13 ô 21 ô 22 ô 23 ô 31 ô 32 ô 33 ; (4.29) Ðñï åéñåò Óçìåéþóåéò óôç Ìç áíéêþ ôïõ Óõíå ïýò
4.4 Ôï äéüíõóìá ôüóçò óôï åóùôåñéêü ôïõ óþìáôïò 75 Ó Þìá 4.7. Äéáíýóìáôá ôüóçò óôï óçìåßï P. ìðïñïýìå íá ðñïóäéïñßóïõìå ôá äéáíýóìáôá ôüóçò åðß ôùí ôñéþí åäñþí ôïõ ôåôñáýäñïõ. Ëüãù ôçò (4.23) èá ðñïóäéïñßæïõìå åðßóçò ôá äéáíýóìáôá ôüóçò êáé óôéò õðüëïéðåò ôñåéò Ýäñåò. Ìðïñåß íá áðïäåé èåß 3 üôé ïé óõíéóôþóåò ôçò (4.29) áðïôåëïýí Ýíá ôáíõóôþ 2çò ôüîçò, ðïõ óôï åîþò èá ôïí áíáöýñïõìå ùò ôáíõóôþ ôüóçò ôïõ Cauchy. ÐáñáôçñÞóôå üôé ïé óõíéóôþóåò ô 11 ; ô 12 êáé ô 13 áóêïýíôáé óôçí ðëåõñü ðïõ åßíáé êüèåôç óôïí Üîïíá 1, äçëáäþ óôçí Ýäñá dx 2 dx 3. Ç ðñþôç áð' áõôýò, äçëáäþ ç ô 11, åßíáé êüèåôç ãé' áõôü ëýãåôáé ïñèþ ôüóç, Ýíù ïé Üëëåò äýï ðïõ äñïõí åöáðôïìåíéêü óôçí Ýäñá dx 2 dx 3 èá ëýãïíôáé äéáôìçôéêýò ôüóåéò. Ãåíéêþôåñá, ï ðñþôïò äåßêôçò ôïõ ôáíõóôþ ôüóçò äåß íåé ôçí åäñá åðß ôçò ïðïßáò áóêåßôáé, åíþ ï äåýôåñïò äåßêôçò äåß íåé ôç äéåýèõíóç êáôü ôçí ïðïßá áóêåßôáé. Áí ìéá ïðïéáäþðïôå óõíéóôþóá Ý åé ßäéïõò äåßêôåò, äçëáäþ áí âñßóêåôáé óôçí êýñéá äéáãþíéï ôçò (4.29), èá ëýìå üôé åßíáé ìéá ïñèþ óõíéóôþóá ôïõ ôáíõóôþ ôùí ôüóåùí, åíþ áí ïé äåßêôåò åßíáé äéáöïñåôéêïß èá ëýìå üôé åßíáé ìéá äéáôìçôéêþ óõíéóôþóá ôïõ ôáíõóôþ ôùí ôüóåùí. Ïé ðëåõñýò ôïõ ðáñáëëçëåðéðýäïõ ðïõ åîåôüóáìå óå áõôþ ôçí ðáñüãñáöï Þôáí ðñïóáíïáôïëéóìýíåò óýìöùíá ìå ôü óýóôçìá óõíôåôáãìýíùí. Ôé ãßíåôáé üìùò áí Ý ïõìå ìéá ðëåõñü ìå ôõ áßï ðñïóáíáôïëéóìü; 1969 3 "Introduction to the Mechanics of a Continuous Medium", L.E. Malvern, Prentice{Hall, New Jersey, ÔìÞìá ÅðéóôÞìçò & Ôå íïëïãßáò Õëéêþí Â. K. Êáëðáêßäçò
76 Íüìïé Éóïæõãßïõ Ó Þìá 4.8. Ç áíüëõóç ôïõ ôáíõóôþ ôùí ôüóåùí. 4.4.2 Ï ôýðïò ôïõ Cauchy Ó' áõôþ ôçí ðáñüãñáöï èá äåßîïõìå üôé ôï äéüíõóìá ôüóçò ãéá ïðïéáäþðïôå åðéöüíåéá ìå ôõ áßï ðñïóáíáôïëéóìü åîáñôüôáé åðßóçò áðü ôïí ôáíõóôþ ôüóçò êáé áðü ôï ìïíáäéáßï êüèåôï äéüíõóìá ðñïò ôçí åðéöüíåéá. óôù Ýíá áðåéñïóôü ôåôñüåäñï ÏABC óôï åóùôåñéêü åíüò óþìáôïò ðïõ âñßóêåôáé óå éóïññïðßá 4. Ïé ôñåéò ðëåõñýò ôïõ åßíáé ôïðïèåôçìýíåò êáôü ôïõò ôñåéò Üîïíåò êáé ç ôýôáñôç Ý åé ôõ áßï ðñïóáíáôïëéóìü ìå ìïíáäéáßï êüèåôï äéüíõóìá n, üðùò öáßíåôáé óôï Ó Þìá 4.9. óôù üôé óôçí ðëåõñü ìå ôïí ôõ áßï ðñïóáíáôïëéóìü, äçëáäþ óôçí ABC, áóêåßôáé ôï äéüíõóìá ôüóçò t n. ¼ðùò ðáñáðüíù ï Üíù äåßêôçò n óçìáßíåé üôé ôï äéüíõóìá ôüóçò áóêåßôáé óå Ýêåßíç ôçí ðëåõñü ðïõ åßíáé êüèåôç óôï n, äçëáäþ óôçí ABC. Ïé ðñïâïëýò ôïõ t n óôïõò ôñåéò Üîïíåò óõíôåôáãìýíùí óçìåéþíïíôáé ìå t n 1; t n 2 êáé t N 3, áíôéóôïß ùò, äçëáäþ t n = t n 1e 1 + t n 2e 2 + t n 3e 3 : (4.30) Ç Ýäñá ÏÁC åßíáé êüèåôç óôï ìïíáäéáßï êüèåôï äéüíõóìá e 1, åðïìýíùò ôï äéüíõóìá ôüóçò ðïõ åíåñãåß ðüíù ôçò åßíáé ôï t 15. Óôéò Ýäñåò ÏÂC êáé ÏÁ áíôéóôïé ïýí ôá äéáíýóìáôá ôüóçò t 2 êáé t 3. Óôï Ó Þìá 4.9 óçìåéþíïíôáé åðßóçò ïé óõíéóôþóåò ô 11 ; ô 12 êáé ô 13 ôïõ äéáíýóìáôïò t 1 (âëýðå åî. (4.25)). 4 Óçìåéþíåôáé üôé ï ðåñéïñéóìüò óôçí éóïññïðßá äåí åßíáé ïõóéáóôéêüò äåäïìýíïõ üôé ç áðüäåéîç éó ýåé êáé üôáí ôï óþìá ìáò åßíáé óå êßíçóç. Ãéá ôçí ãåíéêþôåñç áðüäåéîç âëýðå "Ðñü åéñåò Óçìåéþóåéò óôç ÌáèçìáôéêÞ Èåùñßá Åëáóôéêüôçôáò", Â. Êáëðáêßäç, Ðáíåðéóôçìéáêü Ôõðïãñáöåßï, ÉùÜííéíá, 1999. 5 Ôï äéüíõóìá áõôü äåí óçìåéþíåôáé óôï Ó Þìá 4.9. Ðñï åéñåò Óçìåéþóåéò óôç Ìç áíéêþ ôïõ Óõíå ïýò
4.4 Ôï äéüíõóìá ôüóçò óôï åóùôåñéêü ôïõ óþìáôïò 77 Ó Þìá 4.9. Ïé ôüóåéò óå Ýíá áðåéñïóôü ôåôñüåäñï. Õðåíèõìßæïõìå ôþñá üôé ôï äéüíõóìá ôüóçò åßíáé äýíáìç áíü ìïíüäá åðéöüíåéáò êáé üôé ôï ôåôñüåäñï åßíáé áðåéñïóôü, Üñá ç äýíáìç ðïõ áóêåßôáé åðß ôçò Ýäñáò ÏÁC èá åßíáé: t 1 ds 1 = (ô 11 e 1 + ô 12 e 2 + ô 13 e 3 ) ds 1 ; (4.31) üðïõ ds 1 = 1 2 dx 2dX 3 åßíáé ôï åìâáäüí ôçò Ýäñáò ÏÁC. Áíôéóôïß ùò, ïé óõíïëéêýò äõíüìåéò åðß ôùí åäñþí ÏÂC êáé ÏÁÂ äßíïíôáé áðü ôéò ó Ýóåéò ÔÝëïò, ç ïëéêþ äýíáìç åðé ôçò Ýäñáò ÁÂC èá åßíáé: üðïõ ìå ds óçìåéþíåôáé ôï åìâáäüí ôçò Ýäñáò ÁÂC. t 2 ds 2 = (ô 21 e 1 + ô 22 e 2 + ô 23 e 3 ) ds 2 ; (4.32) t 3 ds 3 = (ô 31 e 1 + ô 32 e 2 + ô 33 e 3 ) ds 3 : (4.33) t n ds = (t 1 e 1 + t 2 e 2 + t 3 e 3 ) ds; (4.34) Ôá åìâáäü ôùí ôåóóüñùí åäñþí óõíäýïíôáé ìýóù ôïõ ìïíáäéáßïõ êüèåôïõ äéáíýóìáôïò n ìýóù ôùí ó Ýóåùí 6 : ds 1 = (n e 1 ) ds = n 1 ds ds 2 = (n e 2 ) ds = n 2 ds (4.35) ds 3 = (n e 3 ) ds = n 3 ds 6 "Elasticity", R.W. Little, Dover, New York, 1999, Óåë. 48 ÔìÞìá ÅðéóôÞìçò & Ôå íïëïãßáò Õëéêþí Â. K. Êáëðáêßäçò
78 Íüìïé Éóïæõãßïõ ÅðåéäÞ ïëüêëçñï ôï óþìá ìáò, êáôü óõíýðåéá êáé ôï áðåéñïóôü ôåôñüåäñï, åßíáé óå éóïññïðßá èá ðñýðåé ç óõíéóôáìýíç ôùí äõíáìýùí ðïõ áóêïýíôáé åðß ôïõ ôåôñáýäñïõ íá ìçäåíßæåôáé. Ì' Üëëá ëüãéá éó ýåé t 1 ds 1 + t 2 ds 2 + t 3 ds 3 t n ds = 0: (4.36) Áí åéóüãïõìå óôçí ðáñáðüíù åîßóùóç ôéò ó Ýóåéò (4.35), ðáßñíïõìå Þ t n ds = t 1 n 1 ds + t 2 n 2 ds + t 3 n 3 ds; t n = t 1 n 1 + t 2 n 2 + t 3 n 3 : (4.37) Ç (4.37) áðïôåëåß ìéá äéáíõóìáôéêþ åîßóùóç. ÊáôÜ óõíéóôþóåò ãñüöåôáé: t n 1 = ô 11 n 1 + ô 21 n 2 + ô 31 n 3 (4.38) t n 2 = ô 12 n 1 + ô 22 n 2 + ô 32 n 3 (4.39) t n 3 = ô 13 n 1 + ô 23 n 2 + ô 33 n 3 (4.40) Ïé ó Ýóåéò (4.38){(4.40) ìðïñïýí íá ãñáöïýí ðéï êïìøü óå ìçôñùúêþ ìïñöþ t n 1 ô 11 ô 21 ô 31 n 1 t n 2 = ô 12 ô 22 ô 32 n 2 : (4.41) t n 3 ô 13 ô 23 ô 33 n 3 Åðßóçò ìå ôï óõìâïëéóìü ôùí äåéêôþí ãñüöåôáé óôç óõìðáãþ ìïñöþ t n i = ô ji n j ; i; j = 1; 2; 3: (4.42) Ç (4.42) åßíáé ç ó Ýóç ðïõ áíáæçôïýìå êáé áíáöýñåôáé ùò ôýðïò ôïõ Cauchy. Ìáò äßíåé ôéò óõíéóôþóåò ôïõ äéáíýóìáôïò ôüóçò óå Ýíá óçìåßï ãéá ïðïéáäþðïôå åðéöüíåéá äéýñ åôáé áðü áõôü. Ôï âáóéêü óõìðýñáóìá óôï ïðïßï êáôáëþãïõìå åßíáé üôé ôï äéüíõóìá ôüóçò ðñïóäéïñßæåôáé óå üëåò ôéò ðåñéðôþóåéò áñêåß íá åßíáé ãíùóôüò ï ôáíõóôþò ôüóçò óå áõôü ôï óçìåßï. ÄçëáäÞ, ç åíôáôéêþ êáôüóôáóç óå Ýíá óçìåßï óôï åóùôåñéêü ôïõ óþìáôïò êáèïñßæåôáé ðëþñùò áðü ôïí ôáíõóôþ ôüóçò óå áõôü ôï óçìåßï. Áí ñçóéìïðïéþïóõìå ôïí êëáóóéêü óõìâïëéóìü ôçò äéáíõóìáôéêþò áíüëõóçò, ç ó Ýóç (4.42) ãñüöåôáé: t n = ô T n: (4.43) ÐáñáôçñÞóôå üôé ôï ìáíáäéáßï êüèåôï äéüíõóìá ðïëëáðëáóéüæåôáé ìå ôïí áíüóôñïöï ôïõ ôáíõóôþ ôüóçò áðü áñéóôåñü ãéá íá ðñïêýøåé ôï äéüíõóìá ôüóçò. ÓçìáíôéêÞ ðáñáôþñçóç Óçìåéþíïõìå üôé ç áíüëõóç ðïõ ðáñïõóéüóáìå ðáñáðüíù éó ýåé ü é ìüíï ãéá ìéá ôõ áßá åðéöüíåéá óôï åóùôåñéêü ôïõ óþìáôïò, áëëü êáé ãáé ôçí öõóéêþ óõíïñéáêþ åðéöüíåéá ôïõ óþìáôïò. Åóôù Ýíá óþìá óôç óõíïñéáêþ åðéöüíåéá ôïõ ïðïßïõ åðéâüëëïõìå ôçí åðéöáíåéáêþ äýíáìç (öüñôéóç) p (Ó Þìá 4.12). óôù åðßóçò n ôï Ðñï åéñåò Óçìåéþóåéò óôç Ìç áíéêþ ôïõ Óõíå ïýò
4.4 Ôï äéüíõóìá ôüóçò óôï åóùôåñéêü ôïõ óþìáôïò 79 ìïíáäéáßï êüèåôï äéüíõóìá ðñïò ôç óõíïñéáêþ åðéöüíåéá @B t. Ôüôå ç ôéìþ ôïõ ôáíõóôþ ôüóçò óå êüèå óçìåßï ôçò óõíïñéáêþò åðéöüíåéáò óõíäýåôáé ìå ôçí åðéöáíåéáêþ äýíáìç p ìýóù ôïõ ôýðïõ ôïõ Cauchy, äçëáäþ éó ýåé ç ó Ýóç p = ô T n: (4.44) Áí äåí åðéâüëïõìå êáìéü åðéöáíåéáêþ äýíáìç, èá ëýìå üôé ç óõíïñéáêþ åðéöüíåéá åßíáé åëåýèåñç ôüóçò êáé ï ôýðïò ôïõ Cauchy èá ìáò äßíåé ô T n = 0: ÐáñÜäåéãìá 4.1 H åíôáôéêþ êáôüóôáóç óå Ýíá óþìá ðåñéãñüöåôáé áðü ôï óôáèåñü ôáíõóôéêü ðåäßï ó 0 0 ô ij = 0 0 0 ; 0 0 0 üðïõ ó Ýíáò ðñáãìáôéêüò áñéèìüò. èá äåßîïõìå üôé ôï óþìá õößóôáôáé êáèáñþ óõìðßåóç Þ êáèáñü åöåëêõóìü áíüëïãá ìå ôï ðñüóçìï ôïõ ó. Ãéá íá äéåñåõíþóïõìå ôï åßäïò ôçò åíôáôéêþò êáôüóôáóçò óôï åóùôåñéêü ôïõ óþìáôïò èá õðïëïãßóïõìå ôï äéüíõóìá ôüóçò ãéá äéáöïñåôéêýò ôïìýò. Ãéá ôï óêïðü áõôü èåùñïýìå Ýíá ðáñáëëçëåðßðåäï óôï åóùôåñéêü ôïõ óþìáôïò üðùò öáßíåôáé óôï Ó Þìá 4.10. Áò åîåôüóïõìå ôï äéüíõóìá ôüóçò óôçí Ýäñá ABCD ôçò ïðïßáò ôï ìïíáäéáßï êüèåôï äéüíõóìá åßíáé Ó Þìá 4.10. n = e 2 = 0 1 0 : ÔìÞìá ÅðéóôÞìçò & Ôå íïëïãßáò Õëéêþí Â. K. Êáëðáêßäçò
80 Íüìïé Éóïæõãßïõ ðïìýíùò ôï äéüíõóìá ôüóçò åðß ôçò ABCD, óýìöùíá ìå ôïí ôýðï ôïõ Cauchy, èá åßíáé ó 0 0 0 t n = ô Ô n t 2 = 0 0 0 1 = (0; 0; 0): 0 0 0 0 ÄçëáäÞ åðß ôçò Ýäñáò ABCD äåí áóêåßôáé êáìéü åðéöáíåéáêþ äýíáìç. Áò åîåôüóïõìå ôçí Ýäñá CGHD ôçò ïðïßáò ôï ìïíáäéáßï êüèåôï äéüíõóìá åßíáé 1 n = e 1 = 0 : 0 ðïìýíùò ôï äéüíõóìá ôüóçò èá åßíáé ó 0 0 t n = 0 0 0 0 0 0 1 0 0 = (ó; 0; 0) = óe 1 : ÄçëáäÞ ç åðéöáíåéáêþ äýíáìç åðß ôçò CGHD åßíáé óõããñáììéêþ ðñïò ôï äéüíõóìá e 1. ÁíÜëïãá, ìðïñåß íá áðïäåßîåé êáíåßò üôé óôçí áðýíáôé Ýäñá (ôçí ÁÂF E), ãéá ôçí ïðïßá n = e 1, ôï äéüíõóìá ôüóçò åßíáé t n = ( ó; 0; 0) = óe 1 : Áò äïýìå ôþñá ôï äéüíõóìá ôüóçò åðß ôïõ åíäéüìåóïõ åðéðýäïõ ACGE. ðåñßðôùóç, ôï ìïíáäéáßï êüèåôï äéüíõóìá èá åßíáé ôçò ìïñöþò: n 1 n = n 2 ; n 1 0; n 2 0: 0 Óå áõôþ ôçí ôóé ôï äéüíõóìá ôüóçò ãßíåôáé ó 0 0 t n = 0 0 0 0 0 0 n 1 n 2 0 = (n 1 ó; 0; 0) = n 1 óe 1 : Ðáñáôçñïýìå üôé óå ïðïéïäþðïôå åðéðýäïõ, ç åðéöáíåéáêþ äýíáìç åßíáé óôç äéýõèõíóç ôïõ Üîïíá 1. Áí ó > 0 ðñüêåéôáé ãéá åöåëêõóìü åíþ óôçí áíôßèåôç ðåñßðôùóç (ó < 0) Ý ïõìå óõìðßåóç. ÁóêÞóåéò Ðñï åéñåò Óçìåéþóåéò óôç Ìç áíéêþ ôïõ Óõíå ïýò
4.5 Êýñéåò ôüóåéò êáé êýñéåò äéåèýíóåéò 81 1. Ï ôáíõóôþò ôüóçò óôï óçìåßï A, óôï åóùôåñéêü åíüò óþìáôïò åßíáé 7 0 2 ô ij = 0 5 0 : 2 0 4 Íá ðñïóäéïñéóôïýí á) ôï äéüíõóìá ôüóçò óôçí åðßðåäç ôïìþ ðïõ äéýñ åôáé áðü ôï óçìåßï Á êáé Ý åé ìïíáäéáßï êüèåôï äéüíõóìá ( 2 n = 3 ; 2 3 ; 1 ) : 3 â) Ôï ìýôñï ôïõ äéáíýóìáôïò ôüóçò êáèþò êáé ç ãùíßá ðïõ ó çìáôßæåé ìå ôï n. 2. Ç åíôáôéêþ êáôüóôáóç ó' Ýíá óõíå Ýò ìýóï äßíåôáé áðü ôï ôáíõóôéêü ðåäßï 3 1 2 5 2 2 0 ô ij = 5 2 2 0 2 3 : 0 2 3 0 Íá ðñïóäéïñéóôåß ôï äéüíõóìá ôüóçò ðïõ äñá óôï óçìåßï (2; 2; 3 êáé åðß ôïõ åðéðýäïõ ðïõ åßíáé åöáðôüìåíï óôçí êõëéíäñéêþ åðéöüíåéá 2 2 + 2 3 = 4. 3. Áí ï ôáíõóôþò ôüóçò óå Ýíá åóùôåñéêü óçìåßï åíüò óõíå ïýò ìýóïõ åßíáé 0 1 2 ô ij = 1 ô 22 1 ; 2 1 0 íá âñåèåß ç ïñèþ ôüóç ô 22 Ýôóé þóôå ôï äéüíõóìá ôüóçò ðüíù óå êüðïéï åðßðåäï ðïõ äéýñ åôáé áðü ôï óçìåßï íá ìçäåíßæåôáé. 4. Ç åíôáôéêþ êáôüóôáóç óå Ýíá óõíå Ýò ìýóï äéýðåôáé áðü ôï ôáíõóôéêü ðåäßï á 3 á 2 á 1 ô ij = á 2 á 1 á 3 : á 1 á 3 á 2 Íá õðïëïãéóôåß ç óõíïëéêþ åðéöáíåéáêþ äýíáìç ðïõ áóêåßôáé óôï ôåôñüãùíï ÏÂÃÄ ðïõ âñßóêåôáé óôï åðßðåäï 3 = 0 êáé Ý åé ùò êïñõöýò ôá óçìåßá Ï(0; 0), Â(l; 0), Ã(l; l) êáé Ä(0; l). 4.5 Êýñéåò ôüóåéò êáé êýñéåò äéåèýíóåéò óôù ôï äéüíõóìá ôüóçò óå ìéá áõèáßñåôç åðßðåäç åðéöüíåéá ìå ìïíáäéáßï êüèåôï äéüíõóìá n (Ó Þìá 4.11). Áò óçìåéþóïõìå ìå ó n êáé ó t ôéò ðñïâïëýò ôïõ äéáíýóìáôïò ôüóçò óôï n ÔìÞìá ÅðéóôÞìçò & Ôå íïëïãßáò Õëéêþí Â. K. Êáëðáêßäçò
82 Íüìïé Éóïæõãßïõ êáé óôï åðßðåäï, áíôéóôïß ùò. Ôüôå, ôï äéüíõóìá ôüóçò áíáëýåôáé óå ìéá êüèåôç êáé ìéá åöáðôïìåíéêþ óõíéóôþóá: t n = ó n n + ó t t: (4.45) Ç ðñþôç óõíéóôþóá èá áíáöýñåôáé ùò ïñèþ, åíþ ç äåýôåñç ùò åöáðôïìåíéêþ Þ äéáôìçôéêþ. Óçìåéþíïõìå üôé ðñüêåéôáé ãéá åðéöáíåéáêýò äõíüìåéò ðïõ äñïõí ðüíù óôçí ßäéá åðéöüíåéá ìå ôçí t n êáé ðñýðåé íá ôéò äéáêñßíïõìå áðü ôéò ïñèýò êáé äéáôìçôéêýò ôüóåéò ðïõ áöïñïýí óôïí ôáíõóôþ ôüóçò. Ó Þìá 4.11. Ç áíüëõóç ôïõ äéáíýóìáôïò ôüóçò óå ïñèþ êáé äéáôìçôéêþ óõíéóôþóá. Ç ðñïâïëþ ôïõ t n óôïí n äßíåôáé áðï ôç ó Ýóç ó n = t n n = ô T n n = n ô T n: Ãéá íá åðéôý ïõìå ôï ðáñáðüíù áðïôýëåóìá ñçóéìïðïéþóáìå ôïí ôýðï ôïõ Cauchy óôçí ìïñöþ ôçò åî. (4.43) êáé ôçí áíôéìåôáèåôéêüôçôá ôïõ åóùôåñéêïý ãéíïìýíïõ. ÌåôÜ áðü áõôü ç ïñèþ äýíáìç ãñüöåôáé: ó n n = ( n ô T n ) n: (4.46) Åðßóçò, ìå ôçí âïþèåéá ôùí ó Ýóåùí (4.44) êáé(4.46), ìðïñïýìå íá ãñüøïõìå ôçí äéáôìçôéêþ äýíáìç ùò áêïëïýèùò ó t t = t n ó n n = ô T n ( n ô T n ) n: (4.47) Áò åîåôüóïõìå ôþñá ôï áêüëïõèï åñþôçìá: ÄåäïìÝíïõ üôé ôï äéüíõóìá ôüóçò ó' Ýíá óçìåßï åîáñôüôáé áðü ôïí ðñïóáíáôïëéóìü ôçò åðéöüíåéáò óå áõôü ôï óçìåßï (äçëáäþ áðü ôï Ðñï åéñåò Óçìåéþóåéò óôç Ìç áíéêþ ôïõ Óõíå ïýò
4.5 Êýñéåò ôüóåéò êáé êýñéåò äéåèýíóåéò 83 ìïíáäéáßï êüèåôï äéüíõóìá óôï ßäéï óçìåßï), ãéá ðïéï ðñïóáíáôïëéóìü ôçò åðéöüíåéáò ôï äéüíõóìá ôüóçò åßíáé óõããñáììéêü ìå ôï ìïíáäéáßï êüèåôï äéüíõóìá; Ì' Üëëá ëüãéá, ðüôå (äçëáäþ ãéá ðïéï ðñïóáíïôïëéóìü ôçò åðéöüíåéáò) ôï äéüíõóìá ôüóçò ó' Ýíá óçìåßï ôáõôßæåôáé ìå ôçí ïñèþ åðéöáíåéáêþ äýíáìç; Áðü ìáèçìáôéêþ Üðïøç ôï ðáñáðüíù åñþôçìá ôßèåôáé ùò åîþò: Íá âñåèåß Ýíá ìïíáäéáßï äéüíõóìá n êáé Ýíáò ðñáãìáôéêüò áñéèìüò ó Ýôóé þóôå ôï äéüíõóìá ôüóçò íá ãñüöåôáé t n i = ón i : H ðáñáðüíù ó Ýóç, ìå ôç âïþèåéá ôçò (4.42), ãñüöåôáé ô ji n j = ón i ô ji n j = óä ji n j (ô ji óä ji ) n j = 0: (4.48) Ç ðáñáðüíù ó Ýóç åéóüãåé Ýíá ðñüâëçìá éäéïôéìþí ãéá ôïí ôáíõóôþ ô ji. Ãéá íá ôï êáôáëüâïõìå êáëýôåñá, áò áíáðôýîïõìå ôçí ôåëåõôáßá ó Ýóç óôçí (4.48) ç ïðïßá åßíáé éóïäýíáìç ìå ôï ïìïãåíýò óýóôçìá ôùí åîéóþóåùí ùò ðñïò ôá n 1 ; n 2 êáé n 3 : (ô 11 ó)n 1 + ô 21 n 2 + ô 31 n 3 = 0 ô 12 n 1 + (ô 22 ó)n 2 + ô 32 n 3 = 0 (4.49) ô 13 n 1 + ô 23 n 2 + (ô 33 ó)n 3 = 0 Ôï ðñüâëçìá ôùí éäéïôéìþí óõíéóôüôáé óôï íá âñïýìå åêåßíïõò ôïõò ðñáãìáôéêïýò áñéèìïýò ó ãéá ôïõò ïðïßïõò ôï óýóôçìá (4.49) Ý åé ìþ ìçäåíéêþ ëýóç. Ãéá íá Ý åé ôï ðáñáðüíù óýóôçìá ìç ìçäåíéêþ ëýóç èá ðñýðåé ç ïñßæïõóá ôïõ íá åßíáé ìçäýí, äçëáäþ ô 11 ó ô 21 ô 31 ô 12 ô 22 ó ô 32 ô 13 ô 23 ô 33 ó = 0: (4.50) H (4.50) áðïôåëåß ìéá åîßóùóç 3ïõ âáèìïý ùò ðñïò ôï ó ôçí ïðïßá ìðïñïýìå íá ãñüøïõìå ùò åîþò ó 3 É 1 ó 2 + É 2 ó É 3 = 0; (4.51) üðïõ êáé É 1 = tr(ô) = ô ii = ô 11 + ô 22 + ô 33 ; É 2 = 1 ( ) I 2 2 1 ô ij ô ij ; ô 11 ô 21 ô 31 É 3 = det(ô) = ô 12 ô 22 ô 32 ô 13 ô 23 ô 33 : Ïé ðïóüôçôåò É 1, É 2 êáé É 3 ëýãïíôáé áíáëëïéþôåò ôïõ ôáíõóôþ ôüóçò, åðåéäþ ðáñáìýíïõí ßäéåò óå ïðïéïäþðïôå óýóôçìá óõíôåôáãìýíùí. ÔìÞìá ÅðéóôÞìçò & Ôå íïëïãßáò Õëéêþí Â. K. Êáëðáêßäçò
84 Íüìïé Éóïæõãßïõ Ç ôñéôïâüèìéá åîßóùóç (4.51) áíáöýñåôáé ùò áñáêôçñéóôéêþ åîßóùóç ôïõ ôáíõóôþ ôüóçò êáé ïé ñßæåò ôçò ëýãïíôáé éäéïôéìýò ôïõ ôáíõóôþ ôüóçò. Óôç Ìç áíéêþ ôïõ óõíå ïýò, ôéò áðïêáëïýìå êýñéåò ôüóåéò. Ç (4.51) èá Ý åé ôïõëü éóôïí ìéá ðñáãìáôéêþ ñßæá. Åóôù ëïéðüí ó 1 ìéá ðñáãìáôéêþ éäéïôéìþ ôïõ ô ij ôüôå, óýìöùíá ìå ôá ðáñáðüíù, ôï óýóôçìá (ô 11 ó 1 )n 1 + ô 21 n 2 + ô 31 n 3 = 0 ô 12 n 1 + (ô 22 ó 1 )n 2 + ô 32 n 3 = 0 ô 13 n 1 + ô 23 n 2 + (ô 33 ó 1 )n 3 = 0 Ý åé Üðåéñåò ìç ìçäåíéêþ ëýóåéò ïé ïðïßåò üìùò åßíáé ãñáììéêü åîáñôçìýíåò. ÄçëáäÞ õðüñ ïõí Üðåéñá äéáíýóìáôá ôá ïðïßá ðëçñïýí ôï ðáñáðüíù óýóôçìá ðïõ åßíáé üìùò ôï Ýíá åßíáé ðïëëáðëüóéï ôïõ Üëëïõ. Õðåíèõìßæïõìå üôé åìåßò áíáæçôïýìå Ýíá äéüíõóìá ìå ìïíáäéáßï ìýôñï. Áí ðåñéïñéóôïýìå ëïéðüí óôéò ëýóåéò ìå ìïíáäéáßï ìýôñï èá êáôáëþîïõìå óå äýï ìüíï äéáíýóìáôá ðïõ ôï Ýíá èá åßíáé áíôßèåôï ôï Üëëï ðïõ èá ðñïóäéïñßæïõí ðëþñùò ôï áíáæçôïýìåíï åðßðåäï. ÅðéëÝãïíôáò, áõôü ìå ôï èåôéêü ðñïóáíïôïëéóìü êáôáëþãïõìå óå ìéá ìïíáäéêþ ëýóç n 1 1; n 1 2 êáé n 1 3 ðïõ ðëçñïß ôï ðáñáðüíù ïìïãåíýò óýóôçìá. Ôï äéüíõóìá n 1 = ( ) n 1 1; n 1 2; n 1 3 èá ôï ïíáìüæïõìå éäéïäéüíõóìá ôïõ ôáíõóôþ ôüóçò. Óôç Ìç áíéêþ ôï áðïêáëïýìå êýñéá äéåýèõíóç ôïõ ôáíõóôþ ôüóçò. Ôï äéüíõóìá n 1 áðïôåëåß ôçí áðüíôçóç óôï åñþôçìá ðïõ èýóáìå óôçí áñ Þ áõôþò ôçò ðáñáãñüöïõ. Áí åðéèõìïýìå íá ðñïóäéïñßóïõìå åðéöüíåéá óôï åóùôåñéêü åíüò óþìáôïò, åðé ôçò ïðïßá ôï äéüíõóìá ôüóçò åßíáé êüèåôï åð' áõôþò, ôüôå èá ðñýðåé íá áíáæçôþóïõìå ôéò êýñéåò äéåõèýíóåéò ôïõ ôáíõóôþ ôüóçò. ÄçëáäÞ ôï äéüíõóìá ôüóçò ðïõ áóêåßôáé óôçí åðéöüíåéá, ðïõ åßíáé êüèåôç óôï n 1, åßíáé óõãñáììéêü ìå ôï n 1 êáé ìüëéóôá ï ðïëëáðëáóéáóôþò åßíáé ôï ó 1 : t n1 = ó 1 n 1 : (4.52) Ðñïöáíþò, óå êüèå Üëëç ðñáãáìôéêþ ñßæá, äçëáäþ óå êüèå Üëëç êýñéá ôüóç, èá áíôéóôïé åß åðßóçò ìéá êýñéá äéåýèõíóç. ÄçëáäÞ áí Ý ïõìå Üëëåò äõï êýñéåò ôüóåéò 7 ó 2 êáé ó 3 èá Ý ïõìå áíôßóôïé ùò äýï êýñéåò äéåõèýíóåéò n 2 êáé n 3, ãéá ôéò ïðïßåò èá éó ýåé: t n2 = ó 2 n 2 ; t n3 = ó 3 n 3 : (4.53) ÅðïìÝíùò, ìðïñïýìå íá Ý ïõìå ôï ðïëý ôñåéò êýñéåò äéåõèýíóåéò ãéá ôéò ïðïßåò éó ýåé ç áêüëïõèç ðñüôáóç áðü ôç ÃñáììéêÞ ëãåâñá: Ðñüôáóç Áí ï ôáíõóôþò ôüóçò åßíáé óõììåôñéêüò êáé Ý åé ôñåéò äéáöïñåôéêýò ìåôáîý ôïõò éäéïôéìýò, ôüôå ïé êýñéåò äéåõèýíóåéò åßíáé ïñèïãþíéåò ìåôáîý ôïõò. ñßæåò. 7 Õðåíèõìßæïõìå üôé Þ åîßóùóç (4.51) åßíáé 3ïõ âáèìïý, Üñá ìðïñåß íá Ý åé ôï ðïëý ôñåéò ðñáãìáôéêýò Ðñï åéñåò Óçìåéþóåéò óôç Ìç áíéêþ ôïõ Óõíå ïýò
4.5 Êýñéåò ôüóåéò êáé êýñéåò äéåèýíóåéò 85 Áðüäåéîç óôù üôé ó 1 ó 2 êáé ó 3 åßíáé ïé êýñéåò ôüóåéò ôïõ ô ij êáé n 1, n 2 êáé n 3 ïé áíôßóôïé åò êýñéåò äéåèýíóåéò. Ôüôå ìå ôçí âïþèåéá ôçò (4.43) êáé ôùí (4.52){(4.53á) t n1 = ô Ô n 1 = ó 1 n 1 t n2 = ô Ô n 2 = ó 2 n 2 : ÐïëëáðëïóéÜæïõìå åóùôåñéêü ôéò ðáñáðüíù ó Ýóåéò ìå n 1 êáé n 2, áíôéóôïé ùò. ÅðåéäÞ ï ôáíõóôþò ô åßíáé óõììåôñéêüò èá éó ýåé n 2 ô Ô n 1 = ó 1 n 2 n 1 n 1 ô Ô n 2 = ó 2 n 1 n 2 (4.54) n 2 ô Ô n 1 = n 1 ô Ô n 2 : ÄçëáäÞ ôá ðñþôá ìýñç ôçò (4.54) åßíáé ßóá, êáôü óõíýðåéá êáé ôá äåýôåñá ìýñç ôçò èá åßíáé åðßóçò ßóá: ó 1 n 2 n 1 = ó 2 n 1 n 2 (ó 1 ó 2 ) n 1 n 2 = 0 êáé åðåéäþ ó 1 ó 2 ðñïêýðôåé üôé n 1 n 2 = 0; äçëáäþ n 1 êáé n 2 åßíáé ïñèïãþíéá. Ðáñüìïéá, ìðïñïýìå íá áðïäåßîïõìå üôé êáé ç n 3 åßíáé ïñèïãþíéá ðñïò ôéò n 1 êáé n 2. Åöüóïí ôá ðáñáðüíù éäéïäéáíýóìáôá åßíáé ôñéü ïñèïãþíéá ìåôáîý ôïõò êáé ìïíáäéáßá äéáíýóìáôá, èá ìðïñïýóáí íá ñçóéìïðïéçèïýí ùò âüóç ãéá Ýíá íýï óýóôçìá óõíôåôáãìýíùí. ÄçëáäÞ íá èåùñþóïõìå e 1 = n 1 ; e 2 = n 2 ; e 3 = n 3 : (4.55) Áò åðéóôñýøïõìå ðñïò óôéãìþ óôçí áíüëõóç ôçò ðáñáãñüöïõ (4.4.1), êáé óôï áðåéñïóôü ðáñáëëçëåðßðåäï ôïõ Ó Þìáôïò 4.8. Ôüôå ôï äéüíõóìá ôüóçò t n1 ìðïñïýìå íá ôï ãñüøïõìå t 1, åðåéäþ ï Üîïíáò 1 åßíáé ôïðïèåôçìýíïò êáôü ôç äéåýèõíóç ôïõ n 1. ôóé, ìðïñïýìå íá ãñüøïõìå ôéò åîéóþóåéò (4.52){(4.53) t 1 = ó 1 e 1 + 0e 2 + 0e 3 ; (4.56) t 2 = 0e 1 + ó 2 e 2 + 0e 3 ; (4.57) t 3 = 0e 1 + 0e 2 + ó 3 e 3 ; (4.58) Áí óõãêñßíïõìå ôéò ó Ýóåéò (4.56){(4.58) ìå ôéò ó Ýóåéò (4.25){(4.27), êáôáëþãïõìå óôï óõìðýñáóìá ó 1 0 0 ô ij = 0 ó 2 0 : (4.59) 0 0 ó 3 ÔìÞìá ÅðéóôÞìçò & Ôå íïëïãßáò Õëéêþí Â. K. Êáëðáêßäçò
86 Íüìïé Éóïæõãßïõ Ðáñáôçñïýìå üôé óôï óýóôçìá ôùí êõñßùí áîüíùí ï ôáíõóôþò ôüóçò ðáßñíåé ìéá åîáéñåôéêü áðëþ ìïñöþ, óôçí ïðïßá üëåò ïé äéáôìçôéêýò óõíéóôþóåò åßíáé ìçäýí êáé ïé ïñèýò óõíéóôþóåò ôáõôßæïíôáé ìå ôéò êýñéåò ôüóåéò. ÐáñÜäåéãìá 4.2 Ï ôáíõóôþò ôüóçò óå Ýíá óçìåßï óôï åóùôåñéêü åíüò óõíå ïýò ìýóïõ åßíáé 3 4 0 ô ij = 4 3 0 : 0 0 1 Íá õðïëïãéóôïýí ïé êýñéåò ôüóåéò êáé ïé êýñéåò äéåõèýíóåéò. Îåêéíïýìå áðü ôç ó Ýóç (4.50) ðïõ ãéá ôï ðáñüäåéãìá ðïõ åîåôüæïõìå ãßíåôáé 3 ó 4 0 4 3 ó 0 0 0 1 ó = 0: Áíáðôýóïíôáò ôçí ðáñáðüíù ïñßæïõóá, êáôáëþãïõìå óôçí ôñéôïâüèìéá åîßóùóç áðü ôçí ïðïßá ðáßñíïõìå ôéò ñßæåò (1 ó)[ (3 ó)(3 + ó) 16] = (1 ó) ( ó 2 25 ) = 0; ó 1 = 1; ó 2 = 5; ó 3 = 5: Ìðïñïýìå ôþñá íá õðïëïãßóïõìå ôþí êýñéá äéåýèõíóç ðïõ áíôéóôïé Þ óôçí êýñéá ôüóç ó 1 = 1. Èá ðñýðåé íá ëýóïõìå ôï óýóôçìá Þ Ïé ëýóåéò ôïõ ðáñáðüíù óõóôþìáôïò åßíáé ( 3 ó 1 )n 1 + 4n 2 + 0n 3 = 0 4n 1 + (3 ó 1 )n 2 + 0n 3 = 0 0n 1 + 0n 2 + (1 ó 1 )n 3 = 0 4n 1 + 4n 2 = 0 4n 1 + 2)n 2 = 0 0n 3 = 0 n 1 = 0; n 2 = 0; n 3 áõèáßñåôïò ðñáãìáôéêüò: ÄçëáäÞ, êüèå äéüíõóìá ôçò ìïñöþò u = (0; 0; ë) (ìå ë áõèáßñåôï) áðïôåëåß ëýóç ôïõ ðáñáðüíù óõóôþìáôïò. Õðåíèõìßæïõìå üìùò üôé ïé êýñéåò äéåõèýíóåéò åßíáé ìïíáäéáßá äéáíýóìôá, åðïìýíùò ðñýðåé u = 1 0 2 + 0 2 + ë 2 = 1 ë = ±1: Ðñï åéñåò Óçìåéþóåéò óôç Ìç áíéêþ ôïõ Óõíå ïýò
4.6 Tï éóïæýãéï ôçò ïñìþò. Ç åîßóùóç Euler 87 ôóé, ç êýñéá äéåýèõíóç ðïõ áíôéóôïé åß óôçí êýñéá ôüóç, ó 1 = 1, åßíáé: n 1 = (0; 0; 1): Ïìïßùò, óôçí êýñéá ôüóç ó 2 = 5, áíôéóôïé åß ôï ãñáììéêü óýóôçìá ôïõ ïðïßïõ ïé ëýóåéò åßíáé 8n 1 + 4n 2 = 0 4n 1 + 2n 2 = 0 4n 3 = 0 (n 1 ; n 2 ; n 3 ) = (ë; 2ë; 0); ë áõèáßñåôïò: Ôï ìáíáäéáßï äéüíõóìá ðïõ áíôéóôïé Ýß óôçí ðáñáðüíù ëýóç åßíáé ( n 2 = 1= 5; 2= ) 5; 0 : ÔÝëïò, óôçí êýñéá ôüóç ó 3 = 5 áíôéóôïé åß ôï óýóôçìá 2n 1 + 4n 2 = 0 4n 1 + 8n 2 = 0 6n 3 = 0 ôïõ ïðïßïõ ïé ëýóåéò åßíáé (n 1 ; n 2 ; n 3 ) = ( 2ë; ë; 0); ë áõèáßñåôïò; ìå n 3 = ( 2= 5; 2= ) 5; 0 : Åßíáé åýêïëï íá åðéâåâáéþóïõìå üôé éó ýåé n 1 n 2 = 0; n 1 n 3 = 0 êáé n 2 n 3 = 0. 4.6 Tï éóïæýãéï ôçò ïñìþò. Ç åîßóùóç Euler Óå áõôþ ôçí ðáñüãñáöï, èá åîåôüóïõìå ôï éóïæýãéï ôçò ïñìþò êáé èá áðáéôþóïõìå áîéùìáôéêü íá éó ýåé üôé ï ñõèìüò ìåôáâïëþò ôçò ïñìþò óå Ýíá óõíå Ýò óþìá éóïýôáé ìå ôéò åðéâáëëüìåíåò åðß ôïõ óþìáôïò åîùôåñéêýò äõíüìåéò. ÏõóéáóôéêÜ ðñüêåéôáé ãéá ìéá ãåíßêåõóç ôïõ 2ïõ íüìïõ ôïõ Íåýôùíá ãáé ôï óõíå Ýò óþìá. ÔìÞìá ÅðéóôÞìçò & Ôå íïëïãßáò Õëéêþí Â. K. Êáëðáêßäçò
88 Íüìïé Éóïæõãßïõ Áò èåùñþóïõìå ôï ó çìáôéóìü áíáöïñüò B t åíüò óþìáôïò êáé áò áñ ßóïõìå ðñþôá áðü ôéò åîùôåñéêýò äõíüìåéò ðïõ áóêïýíôáé åðüíù ôïõ. Áò õðïèýóïõìå üôé óôçí óõíïñéáêþ åðéöüíåéá ôïõ óþìáôïò äñá ìéá êáôáíïìþ åðéöáíåéáêþí äõíüìåùí p êáé üôé óå ïëüêëçñï ôï óþìá äñá ìéá êáôáíïìþ ìáæéêþí äõíüìåùí b. ÅðïìÝíùò ç ïëéêþ äýíáìç ðïõ áóêåßôáé åðß ôïõ óþìáôïò  t èá äßíåôáé áðü ôç ó Ýóç: F( t ) = ñbdv + P t pds; @ t Óçìåéþóôå üôé óôçí ïëéêþ äýíáìç äåí óõíõðïëïãßæïõìå ôéò ôüóåéò ïé ïðïßåò åßíáé åóùôåñéêýò äõíüìåéò êáé áëëçëïåîïõäåôåñþíïíôáé. Áò ðåñéïñéóôïýìå ôþñá ó' Ýíá ôõ áßï ôìþìá ôïõ óþìáôïò P t (P t B t ). Ðñïöáíþò, ôï P t äåí "áéóèüíåôáé" Üìåóá ôçí êáôáíïìþ ôùí åðéöáíåéáêþí äõíüìåùí p (Ó Þìá 4.12). Ç äýíáìç p üìùò åðéäñü óôï ôìþìá P t ìýóù ôùí ôüóåùí ðïõ èá áíáðôõ èïýí óôï åóùôåñéêü ôïõ óþìáôïò. Ðéï óõãêåêñéìýíá, ëüãù ôùí ôüóåùí, èá áóêåßôáé ç äýíáìç t n êáôü ìþêïò Ó Þìá 4.12. Ôï äéüíõóìá ôüóçò t n áðïôåëåß ôçí åîùôåñéêþ åðéöáíåéáêþ äýíáìç ãéá ôï ôìþìá P t. ôïõ óõíüñïõ @P t, ôçí ïðïßá ôï ôìþìá P t èá áéóèüíåôáé ùò åîùôåñéêþ åðéöáíåéáêþ äýíáìç 8. ÅðïìÝíùò ç ïëéêþ äýíáìç ðïõ áóêåßôáé åðß ôïõ ôìþìáôïò P t èá äßíåôáé áðü ôç ó Ýóç: F(P t ) = ñbdv + P t t n ds; @P t (4.60) 8 ÏõóéáóôéêÜ ðñüêåéôáé ãéá ôçí äýíáìç ðïõ áóêåß ôï õðüëïéðï óþìá åðß ôïõ P t. Ðñï åéñåò Óçìåéþóåéò óôç Ìç áíéêþ ôïõ Óõíå ïýò
4.6 Tï éóïæýãéï ôçò ïñìþò. Ç åîßóùóç Euler 89 üðïõ ìå t n óõìâïëßæïõìå ôçí êáôáíïìþ ôçò åðéöáíåéáêþò äýíáìçò åðß ôçò åóùôåñéêþò åðéöüíåéáò @P t. ÐåñíÜìå ôþñá óôçí Ýííïéá ïñìþò. Ç ïñìþ óôïí ó çìáôéóìü áíáöïñüò  0 ïñßæåôáé ùò åîþò P(B 0 ) = ñ 0 VdV; (4.61) B 0 üðïõ V = V( ; t) ç ôá ýôçôá óå ðåñéãñáöþ Lagrange (âëýðå ó Ýóç (3.14)). Óôïí ôñý ïíôá ó çìáôéóìü ç ïñìþ äßíåôáé áðü ôç ó Ýóç P(B t ) = ñvdv; (4.62) B t üðïõ v = v(x; t) ç ôá ýôçôá óå ðåñéãñáöþ Euler. Áíôßóôïé á ïñßæåôáé ç ïñìþ ãéá ïðïéïäþðïôå ôìþìá ôïõ óþìáôïò óôïí ó çìáôéóìü áíáöïñüò Þ óôïí ôñý ïíôá ó çìáôéóìü. Óýìöùíá ìå ôïí Íüìï Éóïæõãßïõ ôçò ÏñìÞò (äåýôåñïò íüìïò ôïõ Íåýôùíá) ï ñõèìüò ìåôáâïëþò ôçò ïñìþò ôïõ P t éóïýôáé ìå ôçí ïëéêþ äýíáìç ðïõ äñá åðß ôïõ ôìþìáôïò P t. Ì' Üëëá ëüãéá éó ýåé áîéùìáôéêü: Ãéá ïðïéïäþðïôå ôìþìá P t ôïõ óþìáôïò óôïí ôñý ïíôá ó çìáôéóìü áðáéôïýìå íá éó ýåé Þ d dt P(P t) = F(P t ): (4.63) d ñvdv = ñbdv + t n ds: (4.64) dt P t P t @P t Èá åîåôüóïõìå ôþñá ôéò óõíýðåéåò ôçò ó Ýóçò (4.64). Áñ ßæïõìå áðü ôïí ðñþôï üñï ôçò, ï ïðïßïò ìå ôç âïþèåéá ôïõ èåùñþìáôïò ìåôáöïñüò ãñüöåôáé d ñvdv = ñ vdv: (4.65) dt P t P t O ôåëåõôáßïò üñïò ôçò (4.64) ìðïñåß íá ãñáöåß ìå ôç âïþèåéá ôïõ èåùñþìáôïò Gauss (âëýðå ó Ýóç (2.50)) t n ds = t n i ds = ô ji n j ds = ô ji;j dv: (4.66) @P t @P t @P t P t ÅéóÜãïõìå ôéò (4.65) êáé (4.66) óôçí åîßóùóç (4.64): ñ v i dv = P t ñb i dv + P t ô ji;j dv P t (ñh i + ô ji;j ñ v i ) dv = 0: P t (4.67) ÔìÞìá ÅðéóôÞìçò & Ôå íïëïãßáò Õëéêþí Â. K. Êáëðáêßäçò
90 Íüìïé Éóïæõãßïõ ÅðåéäÞ ç (4.67) éó ýåé ãéá êüèå ôìþìá P t, èá ðñýðåé ç õðü ïëïêëþñùóç ðïóüôçôá íá åßíáé ìþäåí ðáíôïý óôïí ôñý ïíôá ó çìáôéóìü  t : Þ ìå ôïí óõìâïëéóìü ôçò äéáíõóìáôéêþò áíüëõóçò ô ji;j + ñb i ñ v i = 0; óôï B t (4.68) div ô T + ñb ñ v = 0; x B t : (4.69) H åîßóùóç (4.68) (Þ éóïäýíáìá (4.69)) áðïôåëåß ôç èåìåëéþäç åîßóùóç êßíçóçò óôç Ìç áíéêþ ôïõ Óõíå ïýò êáé áíáöýñåôáé åðßóçò ùò åîßóùóç Euler. Ìðïñïýìå ôþñá åýêïëá íá åîåôüóïõìå êáé ôçí ðåñßðôùóç ôçò éóïññïðßáò, êáôü ôçí ïðïßá ç ôá ýôçôá åßíáé åî' ïñéóìïý ìçäýí óå êüèå óçìåßï ôïõ óþìáôïò. ôóé, ç åî. (4.68) ãñüöåôáé: ô ji;j + ñb i = 0; x j B t ; Þ div ô T + ñb = 0; x B t : (4.70) Ç ðáñáðüíù áíáöýñåôáé ùò åîßóùóç ôçò éóïññïðßáò, áðïôåëåß äçëáäþ ôçí åîßóùóç ðïõ äéýðåé ôçí éóïññïðßá åíüò óõíå ïýò óþìáôïò. ÐáñáôÞñçóç ÐáñáôçñÞóôå üôé óôçí ðáñáðüíù åîßóùóç äåí õðåéóýñ åôáé ç åîùôåñéêþ åðéöáíåéáêþ äýíáìç p, ç ïðïßá áðïôåëåß Ýíá áðü ôá äåäïìýíá ôïõ ðñïâëþìáôïò 9. Ïìùò ç p, ùò åðéöáíåéáêþ äýíáìç, ðñýðåé íá ðëçñåß ôïí ôýðï ôïõ Cauchy 10, äçëáäþ p = ô Ô n Þ p i = ô ji n j ; åðß ôçò @B t ; (4.71) üðïõ n ôï ìïíáäéáßï êüèåôï äéüíõóìá ðñïò ôçí öõóéêþ óõíïñéáêþ åðéöüíåéá. Èá ðñýðåé ëïéðüí ç åîßóùóç (4.69) íá óõíïäåýåôáé áðü ôçí (4.71), ç ïðïßá üðùò èá äïýìå áñãüôåñá ðáßæåé ôï ñüëï ôçò óõíïñéáêþò óõíèþêçò. ÐáñÜäåéãìá 4.3 Èá äéáôõðþóïõìå ôþñá ôçí åîßóùóç êßíçóçò ãéá Ýíá éäáíéêü ñåõóôü ùñßò éîþäåò. 11 Ôï ìýóï ó' áõôþ ôçí ðåñßðôùóç äåí ìðïñåé íá Ý åé äéáôìçôéêýò ôüóåéò êáé ï ôáíõóôþò ôüóçò åßíáé ðëþñùò õäñïóôáôéêüò, äçëáäþ Ý åé ôç ìïñöþ: ô ij = ðä ij : Óçìåéþíïõìå üôé åäþ ç óõíüñôçóç ð = ð(x i ; t) áíôéðñïóùðåýåé ôçí õäñïóôáôéêþ ðßåóç ðïõ ïñßæåôáé óå ïëüêëçñï ôï óþìá. Èá îåêéíþóïõìå áðü ôç ãåíéêþ åîßóùóç êßíçóçò, äçëáäþ áðü ôçí åî. (4.68), óôçí ïðïßá èá åéóüãïõìå ôïí ðáñáðüíù ôáíõóôþ ôüóçò: ( ðä ij ) ;j + ñb i ñ v i = 0 ( @vi @x j ð ;j ä ij + ñb i ñ @x j @t + @v ) i = 0 @t 1 @ð + b i = @v i ñ @x i @t + @v i v j : @x j 9 Ôï Üëëï äåäïìýíï åßíáé ïé ìáæéêýò äõíüìåéò ïé ïðïßåò üìùò åìöáíßæïíôáé óôçí åîßóùóç (4.69). 10 ÂëÝðå åðßóçò 4.4 êáé ôç ó Ýóç (4.44). 11 Óôï åðüìåíï êåöüëáéï èá óõæçôþóïõìå áíáëõôéêþôåñá ôçí Ýííïéá ôïõ éäáíéêïý ñåõóôïý êáé ôïõ éîþäïõò. Ðñï åéñåò Óçìåéþóåéò óôç Ìç áíéêþ ôïõ Óõíå ïýò
4.7 Ôï éóïæýãéï óôñïöïñìþò. Ç óõììåôñßá ôïõ ôáíõóôþ ôüóçò 91 H ðáñáðüíù åîßóùóç ìðïñåß íá ãñáöåß åðßóçò ìå ôïí óõìâïëéóìü ôçò äéáíõóìáôéêþò áíüëõóçò 1 @v grad ð + b = + (grad v)v; ñ @t Þ åíáëëáêôéêü 1 @v ð + b = + v v: ñ @t 4.7 Ôï éóïæýãéï óôñïöïñìþò. Ç óõììåôñßá ôïõ ôáíõóôþ ôüóçò H óôñïöïñìþ ôïõ ôìþìáôïò P t ùò ðñïò ôçí áñ Þ ôïõ óõóôþìáôïò óõíôåôáãìýíùí ïñßæåôáé ùò áêïëïýèùò: L(P t ) = x ñvdv: (4.72) P t Åðßóçò, ç ïëéêþ ñïðþ ôùí åîùôåñéêþí äõíüìåùí ôïõ ôìþìáôïò P t ùò ðñïò ôçí áñ Þ ôïõ óõóôþìáôïò óõíôåôáãìýíùí äßíåôáé áðü ôç ó Ýóç N (P t ) = x ñbdv + P t x t n ds: @P t (4.73) Ï Íüìïò Éóïæõãßïõ ôçò ÓôñïöïñìÞò ìáò åîáóöáëßæåé üôé ï ñõèìüò ìåôáâïëþò ôçò óôñïöïñìþò ôïõ ôìþìáôïò P t éóïýôáé ìå ôçí ïëéêþ ñïðþ ôùí åîùôåñéêþí äõíüìåùí ðïõ äñïõí åðé ôïõ ôìþìáôïò P t. Ãéá ïðïéïäþðïôå ôìþìá P t ôïõ óþìáôïò óôïí ôñý ïíôá ó çìáôéóìü éó ýåé d dt L(P t) = N (P t ): (4.74) Þ d x ñvdv = x ñbdv + x t n ds: (4.75) dt P t P t @P t Ç åîßóùóç (4.75) ãñüöåôáé åðßóçò ìå ôï óõìâïëéóìü ôùí äåéêôþí d ñe ijk x j v k dv = ñe ijk x j b k dv + e ijk x j t n dt kds; (4.76) P t P t @P t ÔìÞìá ÅðéóôÞìçò & Ôå íïëïãßáò Õëéêþí Â. K. Êáëðáêßäçò
92 Íüìïé Éóïæõãßïõ üðïõ ãéá íá åðéôåõxèåß ç ðáñáðüíù Ýêöñáóç Ýãéíå ñþóç ôçò ó Ýóçò (2.15). Ôï ðñþôï ðëïêëþñùìá ôçò (4.76) ìå ôç âïþèåéá ôïõ èåùñþìáôïò ìåôáöïñüò ãßíåôáé d ñe ijk x j v k dv = ñ D dt P t P t Dt e ijk (x j v k ) dv = ñe ijk (ẋ j v k + x j v k ) dv P t = ñe ijk (v j v k + x j v k ) dv P t = ñe ijk x j v k dv P t Åðßóçò, ìå ôç âïþèåéá ôïõ ôýðïõ ôïõ Cauchy êáé ôïõ èåùñþìáôïò Gauss ôï ôåëåõôáßï ïëïêëþñùìá ôçò (4.76) ãñüöåôáé: e ijk x j t n kds = e ijk x j ô lk n l ds @P t @P t = e ijk (x j ô lk ) ;l dv P t = e ijk (x j;l ô lk + x j ô lk;l )dv P t = e ijk (äjlô lk + x j ô lk;l )dv P t = e ijk (ô jk + x j ô lk;l )dv: P t ÅéóÜãïõìå ôþñá ôá äõï ôåëåõôáßá áðïôåëýóìáôá óôçí (4.76): ñe ijk x j v k dv = ñe ijk x j b k dv + e ijk (ô jk + x j ô lk;l )dv P t P t P t e ijk x j ( ñ v k + ñb k + ô lk;l ) dv + e ijk ô jk dv = 0: P t P t Áðü ôçí åî. (4.68) ðñïêýðôåé åýêïëá üôé ôï ðñþôï ïëïêëþñùìá ôçò ðáñáðüíù åîßóùóçò åßíáé ìçäýí, êáôü óõíýðåéá áõôü ðïõ áðïìýíåé åßíáé P t e ijk ô jk dv = 0: (4.77) Óõíïøßæïíôáò, ìðïñïýìå íá éó õñéóôïýìå üôé ç áðáßôçóç ìáò íá éó ýåé ôï éóïæýãéï ôçò óôñïöïñìþò ãéá êüèå ôìþìá ôïõ óþìáôïò åßíáé éóïäýíáìç ìå ôçí áðáßôçóç íá éó ýåé ç (4.77) ãéá êüèå P t. Áõôü ìå ôç óåéñü ôïõ óçìáßíåé üôé e ijk ô jk = 0; x j B t ; Ðñï åéñåò Óçìåéþóåéò óôç Ìç áíéêþ ôïõ Óõíå ïýò
4.7 Ôï éóïæýãéï óôñïöïñìþò. Ç óõììåôñßá ôïõ ôáíõóôþ ôüóçò 93 ôï ïðïßï ìáò ïäçãåß óôï óõìðýñáóìá üôé (âëýðå 2.4, Üóêçóç 2) ô jk = ô kj ; x j B t : (4.78) Ì' Üëëá ëüãéá, ç áðáßôçóç íá éó ýåé ï íüìïò ôïõ éóïæõãßïõ ôçò óôñïöïñìçò ìáò åîáóöáëßæåé üôé ï ôáíõóôþò ôüóåùí ôïõ Cauchy åßíáé Ýíá óõììåôñéêü ôáíõóôéêü ðåäßï. 4.7.1 Ç ìïíïáîïíéêþ åíôáôéêþ êáôüóôáóç Óôï åîþò üôáí áíáöåñüìáóôå óôïí ôáíõóôþ ôüóçò ôïõ Cauchy èá Ý ïõìå ðüíôá óôï ìõáëü ìáò üôé åßíáé Ýíáò óõììåôñéêüò ôáíõóôþò, ùñßò íá åßíáé áðáñáßôçôï íá åðéêáëïýìáóôå ôï íüìï ãéá ôï éóïæýãéï ôçò óôñïöïñìþò 12. ôóé, ìðïñïýìå íá "ôñïðïðïéþóïõìå" åëáöñþò ìåñéêü âáóéêü áðïôåëýóìáôá ðïõ Ý ïõìå Þäç äþóåé, Ýôóé þóôå íá åíóùìáôþíïõí ôçí ðëçñïöïñßá üôé ï ôáíõóôþò ôüóçò åßíáé óõììåôñéêüò. Ãéá ðáñüäåéãìá, ãéá ôïí ôýðï ôïõ Cauchy áíôß ãéá ôç ó Ýóç (4.42) Þ (4.43) ìðïñïýìå íá ãñüöïõìå: t n i = ô ij n j ; Þ t n = ô n: (4.79) Åðßóçò, ç åîßóùóç êßíçóçò èá ãñüöåôáé Þ ô ij;j + ñb i ñ v i = 0; x j B t (4.80) div ô + ñb ñ v = 0; x B t : Óçìåéþíïõìå üôé óôçí ðáñáðüíù Ýêöñáóç åíóùìáôþíïíôáé óôçí ïõóßá ôñåéò åîéóþóåéò ðïõ ãéá ôçí ðåñßðôùóç ôçò éóïññïðßáò ãñüöïíôáé: @ô 11 + @ô 12 + @ô 13 + ñb 1 = 0; @x 1 @x 2 @x 3 @ô 21 + @ô 22 + @ô 23 + ñb 2 = 0; @x 1 @x 2 @x 3 x B t (4.81) @ô 31 + @ô 32 + @ô 33 + ñb 3 = 0: @x 1 @x 2 @x 3 Ïé ðáñáðüíù åîéóþóåéò áðïôåëïýí Ýíá óýóôçìá ìåñéêþí äéáöïñéêþí åîéóþóåùí ðñþôçò ôüîçò óôï ïðïßï èá ðñýðåé íá ðñïóáñôþóïõìå ôç óõíïñéáêþ óõíèþêç (4.71). Ïé Üãíùóôåò óõíáñþóåéò åßíáé ïé óõíéóôþóåò ôïõ ôáíõóôþ ôüóçò, åíù ôï äéüíõóìá ôùí ìáæéêþí äõíüìåùí ñb i êáé ç öüñôéóç óôç óõíïñéáêþ åðéöüíåéá p i áðïôåëïýí ôá äåäïìýíá ôïõ ðñïâëþìáôïò. ÊïíôïëïãÞò, ãíùñßæïõìå ðùò ôï ðåñéâüëëïí åðéäñü åðß ôïõ óõóôþìáôïò ìýóù ôùí äõíüìåùí 12 Èá èåùñïýìå äçëáäþ ðüíôá ùò äåäïìýíï üôé ï íüìïò ãéá ôï éóïæýãéï ôçò óôñïöïñìþò éó ýåé. ÔìÞìá ÅðéóôÞìçò & Ôå íïëïãßáò Õëéêþí Â. K. Êáëðáêßäçò
94 Íüìïé Éóïæõãßïõ åðáöþò êáé ôùí ðåäéáêþí äõíüìåùí êáé áíáæçôïýìå ôçí åíôáôéêþ êáôüóôáóç ôïõ óþìáôïò ðïõ óõíéóôü ôçí áíôßäñáóç ôïõ óôçí åîùôåñéêþ åðßäñáóç. ÏõóéáóôéêÜ, ðñýðåé íá ðñïóäéïñßóïõìå Ýîé Üãíùóôåò óõíáñôþóåéò ãéá íá ãíùñßæïõìå ðëþñùò ôçí åíôáôéêþ êáôáüóôáóç ôïõ óþìáôïò. Äåí ìðïñïýìå üìùò íá ôï ðåôý ïõìå ìå ôéò ôñåéò åîéóþóåéò ðïõ Ý ïõìå óôç äéüèåóç ìáò. Ãåíéêþôåñá, ï ðñïóäéïñéóìüò ôçò êáôáíïìþò ôùí ôüóåùí óå Ýíá ôñéáóäéüóôáôï óþìá åßíáé ìéá áðáéôçôéêþ õðüèåóç. Ðïëý óõ íü üìùò ìðïñïýìå íá áíôéìåôùðßóïõìå ôï ôñéóäéüóôáôï ðñüâëçìá ëýíïíôáò Ýíá ðñïóåããéóôéêü, áðëïðïéçìýíï äõäéüóôáôü Þ ìïíïäéüóôáôï ðñüâëçìá. Ôü óþìá ìðïñåß íá èåùñçèåß äõäéüóôáôï üôáí ç ìßá äéüóôáóç ôïõ óþìáôïò åßíáé ðïëý ìéêñüôåñç áðü ôéò õðüëïéðåò. Êëáóóéêü ðáñüäåéãìá áðïôåëïýí ïé ðëüêåò êáé ôá êåëýöç. Åðßóçò ôï óþìá èá èåùñåßôáé ìïíïäéüóôáôï üôáí ç äõï äéáóôüóåéò åßíáé ðïëý ìéêñüôåñåò óå óýãêñéóç ìå ôçí ôñßôç üðùò ãéá ðáñüäåéãìá óõìâáßíåé ìå ôéò äïêïýò êáé ôéò ñüâäïõò. Ãéá íá ðåôý ïõìå üìùò äõäéüóôáôç Þ ìïíïäéüóôáôç åíôáôéêþ êáôüóôáóç ñåéüæïìáóôå åðéðëýïí õðïèýóåéò ó åôéêü ìå ôçí êáôáíïìþ ôçò öüñôéóçò åðß ôïõ óþìáôïò. Ïé áðëïðïéçìýíåò áõôýò èåùñþóåéò åßíáé ãíùóôýò ùò ôå íéêýò èåùñßåò ðëáêþí, äïêþí êôë. ÐáñÜäåéãìá 4.4 Èåùñïýìå ìéá äïêü ïñèïãùíéêþò äéáôïìþò ç ïðïßá öïñôßæåôáé óôï áñéóôåñü ôçò Üêñï áðü ìéá åðéöáíåéáêþ äýíáìç P êáôü ôç äéåýèõíóç ôïõ 3 Üîïíá åíþ ôï äåîéü ôçò Üêñï êñáôåßôáé óôáèåñü üðùò öáßíåôáé óôï Ó Þìá 4.13. Ïé äéáóôüóåéò ôçò äïêïý åßíáé 0 x 1 L; h=2 x 2 h=2; 0 x 3 a: Èåùñïýìå üôé ôï ìþêïò L åßíáé ðïëý ìåãáëýôåñï áðü ôï ýøïò h êáé áðü ôï ðëüôïò a. Óôï Ó Þìá 4.13. ÁîïíéêÞ öüñôéóç ìéáò äïêïý ïñèïãùíéêþò äéáôïìþò. Ó Þìá 4.14 âëýðïõìå ìéá 2-Ä áðåéêüíéóç ôïõ ßäéïõ ðñïâëþìáôïò ðïõ ðñïêýðôåé áí ðüñïõìå ìéá ôïìþ óôï åðßðåäï x 3 = 0: Ìïëïíüôé ôï ðñüâëçìá óôçí ïõóßá ôïõ åßíáé ìïíïäéüóôáôï åðéëýãïõìå íá åñãáóôïýìå êáô' áñ Þí óôéò äýï äéáóôüóåéò ãéá íá Ý ïõìå êáëõôåñç åðïðôåßá. Áí õðïèýóïõìå üôé ôï âüñïò ôçò äïêïý äåí åßíáé óçìáíôéêü ìðïñïýìå íá áãíïþóïõìå ôéò Ðñï åéñåò Óçìåéþóåéò óôç Ìç áíéêþ ôïõ Óõíå ïýò
4.7 Ôï éóïæýãéï óôñïöïñìþò. Ç óõììåôñßá ôïõ ôáíõóôþ ôüóçò 95 Ó Þìá 4.14. 2{ä áðåéêüíéóç ôïõ ðñïâëþìáôïò. ìáæéêýò äõíüìåéò, ôüôå ïé åîéóùóåéò éóïññïðßáò (4.81) ãñüöïíôáé @ô 11 + @ô 12 = 0; @x 1 @x 2 (4.82) @ô 21 + @ô 22 = 0; @x 1 @x 2 (4.83) ãéá üëá ôá x 1 [0; L] êáé ôá x 2 [ h=2; h=2]. ÅðéðëÝïí, óôï áñéóôåñü Üêñï èá ðñýðåé íá ðëçñåßôáé ï ôýðïò ôïõ Cauchy ãéá ôç äïóìýíç öüñôéóç P = (P; 0). ËáìâÜíïíôáò õðüøç üôé ôï ìïíáäéáßï êüèåôï äéüíõóìá óôï áñéóôåñü Üêñï åßíáé n = ( 1; 0), èá éó ýåé óôï x 1 = 0: ( ) ( ) ( ) P ô11 ô = 12 1 0 ô 21 ô 22 0 Þ éóïäýíáìá ô 11 (x 1 = 0) = P; ô 21 (x 1 = 0) = 0: (4.84) Ìå äåäïìýíï üôé ç öüñôéóç ôïõ óþìáôïò ãßíåôáé óôç äéåýèõíóç ôïõ Üîïíá 1, ðïõ åßíáé êáé ç ìåãáëýôåñç äéüóôáóç ôïõ óþìáôïò, ìðïñïýìå íá èåùñþóïõìå üôé ìüíï ç óõíéóôþóá ô 11 ôïõ ôáíõóôþ ôüóçò èá åßíáé ìç{ìçäåíéêþ êáé ìüëéóôá èá åîáñôüôáé ìüíï áðï ôï x 1. ÄçëáäÞ èá Ý ïõìå ô 12 = ô 22 = 0 êáé ô 11 = ô 11 (x 1 ): ôóé, ç ïé äéáöïñéêýò åîéóþóåéò (4.82{4.83) êáé ç óõíïñéáêþ óõíèþêç (4.84) ãßíïíôáé dô 11 dx 1 = 0; x 1 (0; L) êáé ô 11 (0) = P (4.85) ÔìÞìá ÅðéóôÞìçò & Ôå íïëïãßáò Õëéêþí Â. K. Êáëðáêßäçò
96 Íüìïé Éóïæõãßïõ Ç ëýóç ôï ðñïâëþìáôïò (4.85) åßíáé ô 11 = P; x 1 [0; L]: (4.86) ÅðïìÝíùò ï ôáíõóôþò ôüóçò åßíáé óôáèåñüò êáé óå êüèå óçìåßï ôïõ óþìáôïò åßíáé ßóïò ìå ( ) P 0 ô ij = : (4.87) 0 0 Ãíùñßæïíôáò ôçí åíôáôéêþ êáôüóôáóç óå ïëüêëçñï ôï óþìá ìðïñïýìå íá õðïëïãßóïõìå ôï äéüíõóìá ôüóçò ãéá ïðïéáäþðïôå åðßðåäç ôïìþ. Ãéá ðáñüäåéãìá óôï ìåóáßï ôìþìá ôïõ Ó Þìáôïò 4.14 Ý ïõìå ìéá ôïìþ õðï ãùíßá 45 ï. Ìðïñïýìå íá âñïýìå ãéá ðáñüäåéãìá ôçí åðéöáíåéáêþ äýíáìç ðïõ áóêåß ôï ôìþìá É ôïõ óþìáôïò åðß ôïõ ôìþìáôïò ÉÉ. Ó' áõôþ ôçí ðåñßðôùóç ôï ìïíáäéáßï êüèåôï äéüíõóìá ðïõ öáßíåôáé óôï ó Þìá Ý åé óõíéóôþóåò n = ( 1= 2; 1= 2) êáé êáôü óõíýðåéá ôï äéüíõóìá ôüóçò èá åßíáé ( ) ( p 0 1= 2 t n = 0 0 1= 2 ) = ( P= 2 0 ) : (4.88) ÄçëáäÞ, åíþ óôï áñéóôåñü Üêñï ôçò äïêïý áóêåßôáé åðéöáíåéáêþ äýíáìç ìýôñïõ P, ç ëïîþ ôïìþ ðïõ åîåôüæïõìå õößóôáôáé äýíáìç ìýôñïõ P= 2. Ìå ôïí ßäéï ôñüðï ìðïñåßôå íá äåßîåôå üôé ç êüèåôç ôïìþ ôïõ Ó Þìáôïò 4.14 (êüôù) õößóôáôáé äýíáìç ìýôñïõ P Þ P, áíüëïãá áí èåùñïýìå ôçí åðéöáíåéêþ äýíáìç ôïõ ôìþìáôïò É åðß ôïõ ÉÉ Þ áíôßóôñïöá ôïõ ÉÉ åðß ôïõ É áíôßóôïé á. 4.8 Ôï éóïæýãéï ôçò åíýñãåéáò Ôï éóïæýãéï ôçò åíýñãåéáò äåí åßíáé ôßðïôá Üëëï ðáñü ôï ðñþôï áîßùìá ôçò èåñìïäõíáìéêþò, ìå ôï ïðïßï óõíäýåôáé ç åéóáãùãþ åíüò åðéðëýïí âáèìùôïý ðåäßïõ ðïõ ëýãåôáé åóùôåñéêþ åíýñãåéá ðïõ ïñßæåôáé óå ïëüêëçñï ôï óþìá: å = å(x; t); x B t ; Þ å(x i ; t); x i B t ; (4.89) Ïé öõóéêýò äéáóôüóåéò ôïõ å åßíáé åíýñãåéá áíü ìïíüäá ìüæáò Åðßóçò, ìðïñåß íá äéáôõðùèåß ùò åíýñãåéá áíü ìïíüäá üãêïõ [å] = åíýñãåéá ìüæá : (4.90) [ñå] = åíýñãåéá üãêïò : (4.91) Ðñï åéñåò Óçìåéþóåéò óôç Ìç áíéêþ ôïõ Óõíå ïýò
4.8 Ôï éóïæýãéï ôçò åíýñãåéáò 97 Áðü ôç öõóéêþ Üðïøç, ðñýðåé íá äéáêñßíïõìå ôçí åóùôåñéêþ åíýñãåéá áðü ôçí êéíçôéêþ åíýñãåéá ðïõ ïöåßëåôáé óôçí ìáêñïóêïðéêþ êßíçóç ôïõ óþìáôïò êáèþò åðßóçò êáé áðü ôçí äõíáìéêþ åíýñãåéá ðïõ ïöåßëåôáé óôç èýóç ôïõ óþìáôïò. ÅðïìÝíùò, ç åóùôåñéêþ åíýñãåéá åßíáé ç åíýñãåéá ðïõ ìå ïðïéïäþðïôå ôñüðï áðïèçêåýåôáé óôï åóùôåñéêü ôïõ óþìáôïò. Ãéá ðáñüäåéãìá ç åíýñãåéá ðïõ áðïèçêåýåôáé ó' Ýíá åëáôþñéï ëüãù ôçò ðáñáìüñöùóçò ôïõ åßíáé ôìþìá ôçò åóùôåñéêþò ôïõ åíýñãåéáò. Áêüìç, ç åíýñãåéá ôçò ìéêñïóêïðéêþò êßíçóçò ôùí ìïñßùí êáé ôùí áôüìùí åíüò óþìáôïò ðïõ åêöñüæåôáé ìáêñïóêïðéêü ìå ôçí èåñìïêñáóßá åßíáé åðßóçò ôìþìá ôçò åóùôåñéêþò åíýñãåéáò. Ç ïëéêþ åóùôåñéêþ åíýñãåéá ðïõ ðåñéý åôáé óå Ýíá ôìþìá P t ôïõ óþìáôïò èá äßíåôáé áðü ôï ïëïêëþñùìá P t ñådv; (4.92) Óôï éóïæýãéï ôçò åíýñãåéáò óõìâáëëåé ôï ìç áíéêü Ýñãï ðïõ êáôáíáëþíåé (Þ áðïäßäåé) ôï óþìá ìå ôéò åðéöáíåéáêýò êáé ìáæéêýò äõíüìåéò êáèþò åðßóçò êáé ç èåñìüôçôá ðïõ ðñïóëáìâüíåôáé (Þ áðïäßäåôáé) áðü ôï óþìá. Ôü Ýñãï ôùí åîùôåñéêþí äõíüìåùí ãéá ôï ôìþìá P t äßíåôáé áðü ôç ó Ýóç ñb udv + P t t n uds: @P t (4.93) Åìåßò üìùò åíäéáöåñüìáóôå ãéá ôï ñõèìü ðïõ åîùôåñéêýò äõíüìåéò ðáñüãïõí ìç áíéêü Ýñãï óôï óþìá, äçëáäþ ìáò åíäéáöýñåé ç éó ýò ôùí åîùôåñéêþí äõíüìåùí ðïõ äßíåôáé áðü ôç ó Ýóç: ñb vdv + t n vds: (4.94) P t @P t Áò åîåôüóïõìå ôþñá ìå ðïéïõò ôñüðïõò Ýíá óþìá ìðïñåß íá áíôáëëüóóåé èåñìüôçôá ìå ôï ðåñéâüëëïí. Áõôü ìðïñåß íá ãßíåé ìå äõü ôñüðïõò: Ìå áêôéíïâïëßá áðü áðüóôáóç êáé ìå åðáöþ ìýóù ôçò óõíïñéáêþò åðéöüíåéáò. Ãéá ôçí ðñþôç êáôçãïñßá, ç èåñìüôçôá ìåôáöýñåôáé óå ïðïéïäþðïôå óçìåßï ôïõ óþìáôïò, Ýôóé èåùñïýìå ìéá âáèìùôþ óõíüñôçóç h ðïõ ïñßæåôáé óå ïëüêëçñï ôï óþìá: h(x; t); x B t Þ h(x i ; t); x i B t : (4.95) Ç h èá áíáöýñåôáé ùò ðçãýò èåñìüôçôáò êáé èá Ý åé äéáóôüóåéò [h] = åíýñãåéá ñüíïò ìüæá = éó ýò ìüæá Ãéá ôç äåýôåñç êáôçãïñßá, åéóüãïõìå ìéá äéáíõóìáôéêþ óõíüñôçóç q ðïõ ïñßæåôáé åðß ôçò óõíïñéáêþò åðéöüíåéáò (áëëü êáé óå ïðïéáäþðïôå åóùôåñéêþ åðéöüíåéá) êáé èá ôçí ÔìÞìá ÅðéóôÞìçò & Ôå íïëïãßáò Õëéêþí Â. K. Êáëðáêßäçò
98 Íüìïé Éóïæõãßïõ áðïêáëïýìå ñïþ èåñìüôçôáò q = q(x; t); x @B t ; Þ q = q i (x j ; t); x j @B t : (4.96) Ôï äéüíõóìá q ðåñéãñüöåé ôç ñïþ èåñìüôçôáò (åíýñãåéá áíü ñïíéêþ ìïíüäá) áíü ìïíüäá åðéöüíåéáò, ìýóù ìéáò åðéöüíåéáò. ôóé ç ïëéêþ ñïþ èåñìüôçôáò ìýóù ìéáò åðéöüíåéáò à èá äßíåôáé áðü ôï åðéöáíåéáêü ïëïêëþñùìá: q n ds; (4.97) à üðïõ ìå ôï n, üðùò óõíþèùò, óõìâïëßæïõìå ôï ìïíáäéáßï êüèåôï äéüíõóìá ðñïò ôï åîùôåñéêü ìýñïò ôçò åðéöüíåéáò Ã. Ôï ðñüóçìï ôïõ ðáñáðüíù ïëïêëçñþìáôïò ôßèåôáé Ýôóé þóôå üôáí ôï q Ý åé äéåýèõíóç ðñïò ôï åóùôåñéêü ôïõ óþìáôïò, ôï ïëoêëþñùìá (4.97) íá Ý åé èåôéêþ ôéìþ. Ïé öõóéêýò äéáóôüóåéò ôïõ äéáíýóìáôïò ñïþò èåñìüôçôáò åßíáé [q] = éó ýò åðéöüíåéá : (4.98) ÐáñáôÞñçóç Óôç óõíïñéáêþ åðéöüíåéá ôïõ óþìáôïò @B t ôï äéüíõóìá ñïþò èåñìüôçôáò áíôéðñïóùðåýåé ôïí ôñüðï ðïõ èåñìáßíåôáé (Þ øý åôáé) ôï óþìá áðü ôï ðåñéâüëëïí. ÐñáêôéêÜ, áí ç èýñìáíóç ôïõ óþìáôïò åëåã Ýôáé áðü åìüò, óçìáßíåé üôé ãíùñßæïõìå ôï ñõèìü ðïõ ðáñý ïõìå Þ áöáéñïýìå èåñìüôçôá áðü ôï óþìá. ÄçëáäÞ ãíùñßæïõìå ôï ñõèìü åéóñïþò èåñìüôçôáò áíü ìïíüäá åðéöüíåéáò, äçëáäþ ìéá âáèìùôþ óõíüñôçóç p(x; t); x @B t : Ìðïñåß íá áðïäåßîåé êáíåßò üôé ç âáèìùôþ óõíüñôçóç p êáé ôï äéüíõóìá ñïþò èåñìüôçôáò q óõíäýïíôáé ìå ôçí áêüëïõèç ó Ýóç: p(x; t) = q(x; t) n; x @B t : (4.99) Áîßæåé íá ðñïóýîïõìå ôçí áíáëïãßá ðïõ õðáñ åé ìåôáîý ôçò ó Ýóçò (4.99) êáé ôïõ ôýðïõ ôïõ Cauchy (åî. (4.44)). Ç ðñþôç óõíäýåé ôç âáèìùôþ óõíüñôçóç ôçò ñïþò èåñìüôçôáò ìå ôï áíôßóôïé ï äéüíõóìá ñïþò èåñìüôçôáò åðß ôçò óõíïñéáêþò åðéöüíåéáò. Ç äåýôåñç óõíäýåé ôï äéüíõóìá ôüóçò ìå ôïí áíôßóôïé ï ôáíõóôþ ôùí ôüóåùí. Ç ó Ýóç (4.99) áíôéðñïóùðåýåé ìéá óõíïñéáêþ óõíèþêç óôï âáèìü âýâáéá ðïõ ç óõíüñôçóç p åßíáé ãíùóôþ. ÅíáëëáêôéêÜ, ìðïñåß íá åßíáé ãíùóôþ óôç óõíïñéêþ åðéöüíåéá ç êáôáíïìþ ôçò èåñìïêñáóßáò. Ó'áõôÞ ôçí ðåñßðôùóç, ç óõíïñéáêþ óõíèþêç èá Ý åé ôç ìïñöþ Ô(x; t) = è(x; t); x @B t ; (4.100) üðïõ ç óõíüñôçóç T = T (x; t) åßíáé ç êáôáíïìþ ôçò èåñìïêñáóßáò óôï åóùôñéêü ôïõ óþìáôïò (ðïõ åßíáé ôï æçôïýìåíï) êáé è = è(x; t) ìéá ãíùóôþ óõíüñôçóç åðß ôçò óõíïñéáêþò åðéöüíåéáò @B t 13. 13 ÖõóéêÜ, õðüñ ïõí ðñïâëþìáôá üðïõ éó ýïõí ïé ëåãüìåíåò ìéêôýò óõíïñéáêýò óõíèþêåò. ÄçëáäÞ óå Ýíá ôìþìá ôïõ óõíüñïõ ãíùñßæïõìå ôï p óôï õðüëïéðï ôçí êáôáíïìþ ôçò èåñìïêñáóßáò è. Ðñï åéñåò Óçìåéþóåéò óôç Ìç áíéêþ ôïõ Óõíå ïýò