Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Μαθηματική Λογική. Αναδρομικές Συναρτήσεις.
|
|
- Νατάσσα Καψής
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Μαθηματική Λογική Αναδρομικές Συναρτήσεις Γεώργιος Κολέτσος
2 Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε Άδεια χρήσης άλλου τύπου, αυτή πρέπει να αναγράφεται ρητώς.
3 Ãéþñãïò ÊïëÝôóïò, Óçìåéþóåéò ÌáèçìáôéêÞò ËïãéêÞò 63 6 ÁíáäñïìéêÝò óõíáñôþóåéò Óõìâïëéóìïß: Ìå N = {0; 1; : : : ; n : : :} óõìâïëßæïõìå ôï óýíïëï ôùí öõóéêþí áñéèìþí. Ôá x; y; z; : : : ; a; b; c; : : : äý ïíôáé ôéìýò áðü ôï N. Ìå F; G; H èá óõìâïëßæïõìå ôéò áñéèìçôéêýò óõíáñôþóåéò, äçëáäþ,ãéá êüðïéï n; ôéòóõíáñôóåéòáð ôï N n óôï N êáé ìå P; Q; R ôá áñéèìçôéêü êáôçãïñþìáôá Þ ó Ýóåéò, äçëáäþ õðïóýíïëá ôïõ N n. Ìå ~x èá óõìâïëßæïõìå ôç n-üäá x 1 ; : : : ; x n (ôï n èá ôåêìáßñåôáé ðïëëýò öïñýò áðü ôá óõìöñáæüìåíá), ìå ~x ôï x 1 : : : x n êáé áíôßóôïé á ìå ~x ôï x 1 : : : x n. Ïñéóìüò 6.1 Ç óõíüñôçóç F : N n N åßíáé õðïëïãßóéìç åüí õðüñ åé Ýíáò (ìç áíéêüò) áëãüñéèìïò ï ïðïßïò áí ôïí ôñïöïäïôþóïõìå ìå ôïõò áñéèìïýò a 1 ; : : : ; a n íá ìáò ðñïìçèåýåé, óå ðåðåñáóìýíï ñüíï, ôçí ôéìþ F (a 1 ; : : : ; a n ) äçëáäþ áí õðüñ åé ìéá áðïôåëåóìáôéêþ, ìç áíéêþ óõíôáãþ õðïëïãéóìïý ôùí ôéìþí ôçò óõíüñôçóçò. ÐáñáôÞñçóç 6.2 Ï áíùôýñù ïñéóìüò äåí åßíáé Ýíáò áõóôçñüò ìáèçìáôéêüò ïñéóìüò. ÁíáöÝñåôáé óå Ýííïéåò, üðùò áëãüñéèìïò, ãéá ôéò ïðïßåò äåí Ý ïõí äïèåß ìáèçìáôéêïß ïñéóìïß. Áñãüôåñá èá äïýìå ðþò ìðïñïýìå íá äþóïõìå Ýíá áõóôçñü ìáèçìáôéêü áíüëïãï ôçò Ýííïéáò õðïëïãßóéìç óõíüñôçóç. Ïñéóìüò 6.3 Ãéá P N n, ç áñáêôçñéóôéêþ óõíüñôçóç ôïõ P, ç C P, ïñßæåôáé ùò åîþò: { 0 áí P (~x) C P = 1 áí P (~x) Ïñéóìüò 6.4 Ôï êáôçãüñçìá P åßíáé õðïëïãßóéìï åüí ç áñáêôçñéóôéêþ ôïõ óõíüñôçóç C P åßíáé õðïëïãßóéìç. Ïñéóìüò 6.5 Ãéá êüèå n êáé êüèå i ìå 1 i n, ïñßæïõìå ôç óõíüñôçóç I n i : N n N íá åßíáé ç I n i (x 1; : : : ; x n ) = x i. Ç I n i ëýãåôáé óõíüñôçóç ðñïâïëþò. Èá ïñßóïõìå êëüóåéò áñéèìçôéêþí óõíáñôþóåùí Σ, ñçóéìïðïéþíôáò ôïõò áêüëïõèïõò êáíüíåò: (R1) Ïé âáóéêýò óõíáñôþóåéò Z; ; +; ; C < êáé Ii n (ãéá êüèå i; n ìå 1 i n), áíþêïõí óôï Σ, üðïõ + êáé åßíáéí áíôéóôïß ùò ïéì ãíùóôýò óõíáñôþóåéò ôçò ðñüóèåóçò êáé ôïõ ðïëëáðëáóéáóìïý êáé ç C < åßíáé ç áñáêôçñéóôéêþ óõíüñôçóç ôçò ó Ýóçò < óôï N, Z : N N, ìå Z(x) = 0, ãéá êüèå x, êáé : N N, ìå (x) = x + 1 (ç óõíüñôçóç ôïõ åðüìåíïõ). (R2)[ÁíôéêáôÜóôáóç]. Áí G; H 1 ; : : : ; H k Σ êáé F (~x) = G(H 1 (~x); : : : ; H k (~x)), ôüôå F Σ.
4 Ãéþñãïò ÊïëÝôóïò, Óçìåéþóåéò ÌáèçìáôéêÞò ËïãéêÞò 64 (R3)[ÁíáäñïìÞ] Áí G; H Σ êáé F ïñßæåôáé áðü ôéò åîéóþóåéò ôüôå F áíþêåé óôï Σ. F (0; ~x) = G(~x) F (y + 1; ~x) = H(F (y; ~x); y; ~x) Ïñéóìüò 6.6 Ç êëüóç ôùí ðñùôïãåíþí áíáäñïìéêþí óõíáñôþóåùí åßíáé ç ìéêñüôåñç êëüóç áñéèìçôéêþí óõíáñôþóåùí ðïõ åßíáé êëåéóôþ ãéá ôïõò êáíüíåò R1, R2 êáé R3. ÄçëáäÞ åßíáé ç ìéêñüôåñç êëüóç óõíáñôþóåùí ðïõ ðåñéý åé ôéò âáóéêýò óõíáñôþóåéò êáé åßíáé êëåéóôþ ãéá ôïõò êáíüíåò ó çìáôéóìïý óõíáñôþóåùí R2 êáé R3. ÐáñÜäåéãìá 6.7 Ç åêèåôéêþ óõíüñôçóç x y = Exp(y; x) åßíáé ðñùôïãåíþò áíáäñïìéêþ, äéüôé Exp(0; x) = 1 = (Z(x)) Exp(y + 1; x) = Exp(y; x) x = H(Exp(y; x); y; x) üðïõ H(a; b; c; ) = (I1 3(a; b; c; ); I3 3 (a; b; c)). ËÞììá 6.8 óôù ç êëüóç Σ éêáíïðïéåß ôá R1 êáé R2 êáé Ýóôù G Σ. Ôüôå, áí x 1 ; : : : ; x n åßíáé îå ùñéóôýò ìåôáâëçôýò êáé áí z 1 ; : : : ; z k áêïëïõèßá ìåôáâëçôþí þóôå z i {x 1 ; : : : ; x n }; (1 i k) êáé åüí ç F ïñßæåôáé áðü F (x 1 ; : : : ; x n ) = G(z 1 ; : : : ; z k ) (åßíáé äõíáôüí íá Ý ïõìå êáé k > n), ôüôå F Σ. Áðüäåéîç óôù z i = x ji ãéá (1 i k). Ôüôå Ý ïõìå F (x 1 ; : : : ; x n ) = G(I n j 1 (x 1 ; : : : ; x n ); : : : ; I n i k (x 1 ; : : : ; x n )) Ôï ëþììá ìáò åðéôñýðåé, óå ïñéóìïýò óõíáñôþóåùí, ãéá êëüóåéò óõíáñôþóåùí ðïõ éêáíïðïéïýí ôá R1, R2, íá ôáõôßæïõìå, áíôéìåôáèýôïõìå êáé íá ðñïóèýôïõìå ðëáóôýò ìåôáâëçôýò ùñßò íá ïäçãïýìáóôå åêôüò ôçò êëüóçò Σ. Ðáñáäåßãìáôïò Üñéí, áí G(x 1 ; x 2 ; x 3 ) Σ, ôüôå üëåò ïé óõíáñôþóåéò ðïõ ïñßæïíôáé ìå F 1 (x 1 ; x 2 ) = G(x 1 ; x 2 ; x 1 ), F 2 (x 2 ; x 1 ; x 3 ) = G(x 1 ; x 2 ; x 3 ) êáé F 3 (x 1 ; x 2 ; x 3 ; x 4 ) = G(x 1 ; x 2 ; x 3 ) áíþêïõí óôï Σ. Ïñéóìüò 6.9 óôù P (~x; y) êáôçãüñçìá êáé Ýóôù üôé ~x yp (~x; y) Ôüôå yp (~x; y) = ôï åëü éóôï y ôýôïéï þóôå P (~x; y): (R4) [ÔåëåóôÞò åëá éóôïðïßçóçò] ÅÜí G Σ êáé åüí ~y xg(~y; x) = 0. Ôüôå x(g(~y; x) = 0) Σ.
5 Ãéþñãïò ÊïëÝôóïò, Óçìåéþóåéò ÌáèçìáôéêÞò ËïãéêÞò 65 Ïñéóìüò 6.10 Ç êëüóç ôùí áíáäñïìéêþí óõíáñôþóåùí åßíáé ç ìéêñüôåñç êëüóç áñéèìçôéêþí óõíáñôþóåùí ðïõ åßíáé êëåéóôþ ãéá ôïõ êáíüíåò R1, R2 êáé R4. Áí ìéá óõíüñôçóç áíþêåé óôçí êëüóç áõôþ ëýìå üôé ç óõíüñôçóç åßíáé (ïëéêþ) áíáäñïìéêþ óõíüñôçóç. Ïñéóìüò 6.11 Ôï êáôçãüñçìá P åßíáé áíáäñïìéêü êáôçãüñçìá áí ç áñáêôçñéóôéêþ óõíüñôçóç C P åßíáé áíáäñïìéêþ óõíüñôçóç. Åßíáé ðñùôïãåíýò áíáäñïìéêü êáôçãüñçìá áí ç C P åßíáé ðñùôïãåíþò áíáäñïìéêþ óõíüñôçóç. Óôç óõíý åéá èá äþóïõìå êüðïéïõò êáíüíåò êáôáóêåõþò íýùí áíáäñïìéêþí óõíáñôþóåùí êáé êáôçãïñçìüôùí. (C1) ÅÜí Q áíáäñïìéêü êáôçãüñçìá êáé F 1 ; : : : ; F k áíáäñïìéêýò óõíáñôþóåéò êáé åüí P (~x) Q(F 1 (~x); : : : ; F k (~x)), ôüôå ôï P åßíáé áíáäñïìéêü êáôçãüñçìá. Áðüäåéîç ÅðåéäÞ C P (~x) = C Q (F 1 (~x); : : : ; F k (~x)). (C2) óôù P áíáäñïìéêü êáôçãüñçìá êáé Ýóôù ~y xp (~y; x). Ôüôå ç óõíüñôçóç F (~y) = xp (~y; x) åßíáé áíáäñïìéêþ. Áðüäåéîç ÅðåéäÞ F (~y) = x(c P (~y; x)) = 0. Ïñéóìüò 6.12 Ï ïñéóìüò ìéáò óõíüñôçóçò Þ åíüò êáôçãïñþìáôïò ëýãåôáé óáöþò ïñéóìüò áðü ôá F 1 ; : : : ; F k êáé P 1 ; : : : ; P l, åüí îåêéíþíôáò áðü áõôü äßíïõìå ôïí ïñéóìü ñçóéìïðïéþíôáò ìüíïí ôçí áíôéêáôüóôáóç êáé ôïí - ôåëåóôþ. ËÞììá 6.13 Áí F 1 ; : : : ; F k, P 1 ; : : : ; P l áíáäñïìéêü, ôüôå êüèå ñçôüò ïñéóìüò áðü áõôü äßíåé áíáäñïìéêþ óõíüñôçóç Þ êáôçãüñçìá. Áðüäåéîç Áðü ôá C1, C2, R2, R4. (C3) ÊÜèå óôáèåñþ óõíüñôçóç åßíáé áíáäñïìéêþ. Áðüäåéîç Ãéá êüèå k N Ýóôù F k (~x) = k ç óôåèåñþ óõíüñôçóç n ìåôáâëçôþí. Áðïäåéêíýïõìå üôé êüèå F k åßíáé áíáäñïìéêþ ìå åðáãùãþ óôï k. F 0 (~x) = y(in+1 n+1 (~x; y) = 0): F k+1 (~x) = y(f k (~x; y) < y): Ïñéóìüò 6.14 ÅÜí P êáé Q êáôçãïñþìáôá, ïñßæïõìå ìå ðñïöáíþ ôñüðï ôá êáôçãïñþìáôá P P Q P Q P Q ê.ë.ð. ðïõ ðñïêýðôïõí ñçóéìïðïéþíôáò ôïõò ëïãéêïýò ðñïôáóéáêïýò óõíäýóìïõò (óõíäõáóìïß Boole).
6 Ãéþñãïò ÊïëÝôóïò, Óçìåéþóåéò ÌáèçìáôéêÞò ËïãéêÞò 66 (C4) ÅÜí P êáé Q áíáäñïìéêü ôüôå üëïé ïé óõíäõáóìïß Boole ôùí P êáé Q åßíáé áíáäñïìéêü êáôçãïñþìáôá. Áðüäåéîç C P (~x) = C < (0; C P (~x)) C P Q (~x) = C P (~x) C Q (~x) Ôá õðüëïéðá ìðïñïýí íá ïñéóôïýí óõíáñôþóåé ôùí êáé, åðåéäþ áõôü áðïôåëïýí åðáñêýò óýíïëï óõíäýóìùí. (C5) Ôá êáôçãïñþìáôá <; ; >; ; = åßíáé áíáäñïìéêü. Áðüäåéîç Ôï < åßíáé áíáäñïìéêü, áðü ïñéóìü. Ãéá ôá õðüëïéðá õðüñ ïõí ïé áêüëïõèïé ñçôïß ïñéóìïß. x y (y < x) x > y y < x x y y x x = y x y y x (C6) Ç óõíüñôçóç ðïõ ïñßæåôáé ùò êüôùèé { x y áí x y x y = 0 äéáöïñåôéêü, äçëáäþ áí x < y åßíáé áíáäñïìéêþ. Áðüäåéîç Äéüôé Ý åé ôïí ñçôü ïñéóìü, = z(y + z = x x < y). Ïñéóìüò 6.15 (ÖñáãìÝíïò ôåëåóôþò) óôù P (~y; x) ïðïéïäþðïôå êáôçãüñçìá. Ôüôå ïñßæïõìå ôç óõíüñôçóç x x<z P (~y; x) ùò åîþò: x x<z P (~y; x) = x(p (~y; x) x = z) Áò óçìåéùèåß üôé ç óõíüñôçóç áõôþ åßíáé ðüíôá ïñéóìýíç êáé üôé ôï z áíþêåé óôéò ìåôáâëçôýò ôçò óõíüñôçóçò. Ç ôéìþ ôçò óõíüñôçóçò åßíáé ôï ìéêñüôåñï x, ãíçóßùò ìéêñüôåñï ôïõ z, ãéá ôï ïðïßï éó ýåé P (~y; x), ìå ôçí ðñïûðüèåóç üôé õðüñ åé Ýíá ôýôïéï x, äéáöïñåôéêü ç ôéìþ åßíáé ôï z. Åßíáé ðñïöáíýò üôé áí P (~y; x) åßíáé áíáäñïìéêü ôüôå ç óõíüñôçóç x x<z P (~y; x) åßíáé áíáäñïìéêþ. Ïðüôå éó ýåé êáé ôï ðáñáêüôù. (C7) óôù P (~y; x) áíáäñïìéêü (ôï x åßíáé äéáöïñåôéêü áðü ôá ~y) êáé Ýóôù H(~y) åßíáé áíáäñïìéêþ óõíüñôçóç. Ôüôå ç óõíüñôçóç F (~y) = x x<h(~y) P (~y; x) åßíáé áíáäñïìéêþ.
7 Ãéþñãïò ÊïëÝôóïò, Óçìåéþóåéò ÌáèçìáôéêÞò ËïãéêÞò 67 Ïñéóìüò 6.16 (ÖñáãìÝíïé ðïóïäåßêôåò) óôù x ìéá éäéüôçôá, Ýíá êáôçãüñçìá, ðïõ áíáöýñåôáé óôï x. Ôüôå ïé öñáãìýíïé ðïóïäåßêôåò ïñßæïíôáé ùò áêïëïýèùò: x x<z x õðüñ åé x, ãíçóßùò ìéêñüôåñï ôïõ z, þóôå ôï x íá éó ýåé: x x<z x ãéá êüèå x, ãíçóßùò ìéêñüôåñï ôïõ z, ôï x éó ýåé: (C8) óôù P (~y; x) áíáäñïìéêü êáôçãüñçìá (ôï x åßíáé äéáöïñåôéêü áðü ôá ~y) êáé Ýóôù H(~y) áíáäñïìéêþ óõíüñôçóç. Áí ôï Q 1 ïñßæåôáé ìýóù ôïõ ïñéóìïý Q 1 (~y) x<h(~y) P (~y; x) ôüôå åßíáé áíáäñïìéêü äéüôé Ý åé ôïí óáöþ ïñéóìü x x<h(~y) (P (~y; x) < H(~y)). Áí ôï Q 2 ïñßæåôáé ìýóù ôïõ ïñéóìïý Q 2 (~y) x x<h(~y) P (~y; x) ôüôå åßíáé áíáäñïìéêü äéüôé Ý åé ôïí óáöþ ïñéóìü x x<h(~y) ( P (~y; x)) = H(~y). (C9)[Ïñéóìüò ìå ðåñéðôþóåéò] óôù G 1 (~x); : : : ; G k (~x) áíáäñïìéêýò óõíáñôþóåéò êáé Ýóôù R 1 (~x); : : : ; R k (~x) áíáäñïìéêü êáôçãïñþìáôá þóôå ãéá êüèå ~x Ýíá êáé ìüíïí Ýíá áðü ôá R 1 (~x); : : : ; R k (~x) éó ýåé. Ôüôå ç óõíüñôçóç F ðïõ ïñßæåôáé ùò G 1 (~x) áí R 1 (~x) G 2 (~x) áí R 2 (~x) F (~x) =.. G k (~x) áí R k (~x) åßíáé áíáäñïìéêþ. Áðüäåéîç Äéüôé F (~x) = G 1 (~x) C R1 (~x) + + G k (~x) C Rk (~x). Áõôü ìáò åðéôñýðåé íá äßíïõìå áíáäñïìéêïýò ïñéóìïýò ôïõ ôýðïõ { G1 (~x) áí R F (~x) = 1 (~x) G 2 (~x) äéáöïñåôéêü äéüôé ôï äéáöïñåôéêü óçìáßíåé R 1. Ãåíéêüôåñá, êáé óôçí ðåñßðôùóç ôïõ C9 ìðïñïýìå áíôß ôïõ R k (~x) íá âüæïõìå äéáöïñåôéêü äéüôé ôüôå ôï R k (~x) óçìáßíåé (R 1 (~x) R 2 (~x) R k 1 (~x)). (C10) óôù P 1 (~x); : : : ; P k (~x) áíáäñïìéêü êáôçãïñþìáôá êáé Ýóôù R 1 (~x); : : : ; R k (~x) áíáäñïìéêü êáôçãïñþìáôá þóôå ãéá êüèå ~x Ýíá êáé ìüíïí Ýíá áðü ôá R 1 (~x); : : : ; R k (~x) éó ýåé. Ôüôå ôï êáôçãüñçìá Q ðïõ ïñßæåôáé ùò P 1 (~x) áí R 1 (~x) P 2 (~x) áí R 2 (~x) Q(~x).. P k (~x) áí R k (~x) åßíáé áíáäñïìéêü.
8 Ãéþñãïò ÊïëÝôóïò, Óçìåéþóåéò ÌáèçìáôéêÞò ËïãéêÞò 68 ËÞììá 6.17 ÕðÜñ åé áíáäñïìéêþ óõíüñôçóç P air : N 2 N ç ïðïßá åßíáé Ýíá ðñïò Ýíá (ìïíïìïñöéóìüò). Áðüäåéîç Ïñßæïõìå P air(x; y) = (x+y)(x+y)+x+1. Ç óõíüñôçóç åßíáé ðñïöáíþò áíáäñïìéêþ. Èá áðïäåßîïõìå üôé åßíáé êáé Ýíá ðñïò Ýíá. óôù P air(x; y) = P air(x ; y ). ÈÝëïõìå x = x êáé y = y. Áò õðïèýóïõìå üôé x + y < x + y. Ôüôå P air(x; y) = (x + y) 2 + x + 1 (x + y + 1) 2 (x + y ) 2 < P air(x ; y ). ñá èá ðñýðåé x + y = x + y, åê ôïõ ïðïßïõ x = x êáé âýâáéá y = y. ËÞììá 6.18 (Ç -óõíüñôçóç ôïõ Godel.) ÕðÜñ åé óõíüñôçóç äýï ìåôáâëçôþí (x; y) ôýôïéá þóôå: 1. (x; y) x 1 2. Ãéá êüèå n êáé êüèå áêïëïõèßá a 0 ; : : : ; a n 1 õðüñ åé a þóôå (a; i) = a i ; i < n. Áðüäåéîç Áñãüôåñá. Óôçí óõíý åéá èá õðïèýóïõìå üôé óõíüñôçóç õðüñ åé. Ôüôå (0; y) = 0 (x; y) < x; x > 0: Ïñéóìüò 6.19 Ãéá êüèå n ïñßæïõìå óõíüñôçóç : N n N, ùò åîþò: y 0 ; : : : ; y n 1 = x((x; 0) = n (x; 1) = y 0 (x; n) = y n 1 ) Ï áñéèìüò y 0 ; : : : ; y n 1 ïíïìüæåôáé áñéèìüò áêïëïõèßáò ôçò n-üäáò y 0 ; : : : ; y n 1. ËÞììá 6.20 Ïé áêüëïõèåò óõíáñôþóåéò åßíáé áíáäñïìéêýò. 1. Ôï ìþêïò ôïõ x, lh(x) = (x; 0). 2. Ç i + 1 óõíéóôþóá ôïõ x, (x) i = (x; i + 1). 3. Ôï êáôçãüñçìá Seq(x), üðïõ Seq(x) x åßíáé áñéèìüò áêïëïõèßáò êüðïéùí a 0 ; : : : ; a n 1. Áðüäåéîç ôïõ 3: Ãéá êüèå x êáé ãéá (x; 0) = n = lh(x), éêáíïðïéåßôáé ç åîßóùóç (x; 0) = n (x; 1) = (x) 0 (x; n) = (x) n 1 : ( ) Ãéá íá åßíáé ôï x Ýíáò áñéèìüò áêïëïõèßáò, äçëáäþ íá åßíáé x = (x) 0 ; : : : ; (x) n 1, èá ðñýðåé íá åßíáé ï ìéêñüôåñïò x ðïõ éêáíïðïéåß ôçí åîßóùóç (*). ñá ìðïñïýìå íá äþóïõìå ôïí áêüëïõèï ñçôü ïñéóìü: seq(x) y y<x (lh(y) = lh(x) i i<lh(x) ((y) i (x) i ))
9 Ãéþñãïò ÊïëÝôóïò, Óçìåéþóåéò ÌáèçìáôéêÞò ËïãéêÞò 69 ïõìå ðüíôá lh( a 0 ; : : : ; a n 1 ) = n êáé ( a 0 ; : : : ; a n 1 ) i = a i (i < n). ÅðéôñÝðïõìå (ãéá ôï ìþêïò ôçò êåíþò áêïëïõèßáò) n = 0. Ôüôå èá Ý ïõìå = = 0. Åðßóçò áí a, ôüôå lh(a) < a êáé (a) i < a. Ïñéóìüò 6.21 Ïñßæïõìå áíáäñïìéêþ óõíüñôçóç Red(x; y) þóôå íá Ý åé ôçí áñáêôçñéóôéêþ éäéüôçôá Red( y 0 ; : : : ; y n 1 ; i) = y 0 ; : : : ; y i 1, i n. Ï ñçôüò ïñéóìüò åßíáé Red(x; i) = y(lh(y) = i j j<i ((y) j = (x) j )) Óçìåßùóç: Seq(x) lh(x) = n x = (x) 0 ; : : : ; (x) n 1 Ïñéóìüò 6.22 Ãéá êüèå óõíüñôçóç F (y; ~x) ïñßæïõìå ôçí F, ôç óõíüñôçóç éóôïñßáò ôçò F, ùò åîþò: Èá åßíáé F (0; ~x) = = 0. F (y; ~x) = F (0; ~x); F (1; ~x); : : : ; F (y 1; ~x) ËÞììá 6.23 Ç F (y; ~x) åßíáé áíáäñïìéêþ áí êáé ìüíï áí ç F (y; ~x) åßíáé áíáäñïìéêþ. Áðüäåéîç : F (y; ~x) = z(lh(z) = y i i<y ((z) i = F (i; ~x) (ñçôüò ïñéóìüò). : Ç F Ý åé ôï ñçôü ïñéóìü F (y; ~x) = (F (y + 1; ~x)) y. Èåþñçìá 6.24 ÅÜí G áíáäñïìéêþ êáé F ïñßæåôáé áðü F (y; ~x) = G(F (y; ~x); y; ~x), ôüôå F åßíáé áíáäñïìéêþ. Áðüäåéîç ÃñÜöïõìå Ýíá ñçôü ïñéóìü ãéá ôç óõíüñôçóç H. H(y; ~x) = z(seq(z) lh(z) = y i i<y ((z) i = G(Red(z; i); i; ~x))) Èá áðïäåßîïõìå üôé ç H(y; ~x) ôáõôßæåôáé ìå ôçí F (y; ~x). Ç áðüäåéîç èá ãßíåé ìå åðáãùãþ. ÕðïèÝôïõìå üôé (Å.Õ.), ãéá êüèå i < y éó ýåé F (i; ~x) = H(i; ~x), äçëáäþ H(i; ~x) = F (0; ~x); : : : ; F (i 1; ~x). Èá áðïäåßîïõìå üôé ôüôå F (y; ~x) = H(y; ~x). óôù F (y; ~x) = F (0; ~x); : : : ; F (y 1; ~x) = z. Áðü Å.Õ. Red(z; i) = H(i; ~x), ãéá êüèå i < y. Ôï z åßíáé ï ìéêñüôåñïò áñéèìüò ï ïðïßïò åßíáé áñéèìüò áêïëïõèßáò, Ý åé lh(z) = y êáé ãéá êüèå i < y éó ýåé üôé (z) i = F (i; ~x). ÁëëÜ áðü ôïí ïñéóìü ôïõ F, F (i; ~x) = G(F (i; ~x); i; ~x) êáé áðü ôçí Å.Õ., G(F (i; ~x); i; ~x) = G(H(i; ~x); i; ~x) = G(Red(z; i); i; ~x), äçëáäþ Ý ïõìå (z) i = G(Red(z; i); i; ~x), ãéá êüèå i < y. Áõôü óçìáßíåé üôé ôï z åßíáé ï ìéêñüôåñïò áñéèìüò ðïõ éêáíïðïéåß ôéò áðáéôþóåéò ôïõ áíáäñïìéêïý ïñéóìïý ôïõ H(y; ~x) êáé óõíåðþò Ý ïõìå üôé z = H(y; ~x) = F (y; ~x).
10 Ãéþñãïò ÊïëÝôóïò, Óçìåéþóåéò ÌáèçìáôéêÞò ËïãéêÞò 70 Ðüñéóìá 6.25 Ç êëüóç ôùí áíáäñïìéêþí óõíáñôþóåùí åßíáé êëåéóôþ ãéá ôï ó Þìá R3, äçëáäþ áí G êáé H åßíáé áíáäñïìéêýò, ôüôå ç F ðïõ ïñßæåôáé áðü F (0; ~x) = G(~x) F (y + 1; ~x) = H(F (y; ~x); y; ~x) åßíáé áíáäñïìéêþ. Áðüäåéîç Ç F Ý åé ôïí åîþò ñçôü ïñéóìü. { G(~x) F (y; ~x) = H((F (y; ~x)) y 1 ; y; ~x) áí y = 0 ÐáñÜäåéãìá 6.26 Ç áêïëïõèßá Fibonacci, ç u n, ðïõ ïñßæåôáé ùò u 0 = u 1 = 1 u n+2 = u n + u n+1 åßíáé áíáäñïìéêþ óõíüñôçóç F (n) = u n, äéüôé Ý åé ôïí áíáäñïìéêü ïñéóìü { 1 áí x = 0 x = 1 F (x) = (F (x)) x 1 + (F (x)) x 2 äéáöïñåôéêü Áò õðïèýóïõìå ôþñá üôé E(C P (y; ~x)) åßíáé Ýíáò ñçôüò ïñéóìüò, áðü ôï êáôçãüñçìá P êáé áðü Üëëåò óõíáñôþóåéò êáé êáôçãïñþìáôá ðïõ åßíáé áíáäñïìéêü. Ôüôå ôï êáôçãüñçìá P, ìå ïñéóìü P (y; ~x) E(C P (y; ~x)) åßíáé áíáäñïìéêü, äéüôé ç áñáêôçñéóôéêþ ôïõ Ý åé ôïí áíáäñïìéêü ïñéóìü { 0 áí E(CP (y; ~x)) C P (y; ~x) = 1 äéáöïñåôéêü ñá ìðïñïýìå íá ïñßóïõìå áíáäñïìéêü Ýíá P ìå R 1 (~x) áí y = 0 P (y; ~x) R 2 (~x) áí y = 0 P (y 1; ~x) R 3 (~x) äéáöïñåôéêü äéüôé P (y 1; ~x) (C P (y; ~x)) y 1 = 0. Ìðïñïýìå åðßóçò íá ïñßóïõìå ìéá óõíüñôçóç F ìå { F (H1 (x); y) áí H F (x; y) = 1 (x) < x H 2 (x; y) äéáöïñåôéêü äéüôé ç ðñþôç ãñáììþ ôïõ ïñéóìïý ìðïñåß íá áíôéêáôáóôáèåß ìå
11 Ãéþñãïò ÊïëÝôóïò, Óçìåéþóåéò ÌáèçìáôéêÞò ËïãéêÞò 71 (F (x; y)) H1 (x) áí H 1 (x) < x. Ãåíéêüò êáíüíáò: Ï áíáäñïìéêüò ïñéóìüò ìéáò óõíüñôçóçò F (y; ~x) (Þ åíüò êáôçãïñþìáôïò) åßíáé óùóôüò ìå ôçí ðñïûðüèåóç üôé, üôáí ôï F (w; ~x) åìöáíßæåôáé óôï äåîéü ìýñïò ôïõ ïñéóìïý, ìðïñïýìå íá áðïäåßîïõìå üôé w < y. Óôç óõíý åéá èá áðïäåßîïõìå ôï ëþììá 6.18, äçëáäþ ôçí ýðáñîç ôçò óõíüñôçóçò. Ãéá íá äéåõêïëõíèïýìå óôçí áðüäåéîç, áðïäåéêíýïõìå ðñþôá ôçí ýðáñîç ìéáò, ðáñüìïéáò ìå ôç, óõíüñôçóçò. Ðñüôáóç 6.27 ÕðÜñ åé áíáäñïìéêþ óõíüñôçóç (x; y; z), ôýôïéá þóôå: 1. (x; y; z) x. 2. Ãéá êüèå a 0 ; : : : ; a n 1, õðüñ ïõí áñéèìïß b êáé c þóôå (b; c; i) = a i ãéá êüèå i < n. Ðñßí ðñï ùñþóïõìå óôçí áðüäåéîç ôïõ 6.27, èá äåßîïõìå üôé ç ýðáñîç ôçò óõíüñôçóçò óõíåðüãåôáé ôçí ýðáñîç ôçò óõíüñôçóçò. Ðñüôáóç 6.28 Ç ýðáñîç ôçò óõíüñôçóçò óõíåðüãåôáé ôçí ýðáñîç ôçò óõíüñôçóçò. Áðüäåéîç Éó ýåé üôé x; y < P air(x; y). Ïñßæïõìå áíáäñïìéêýò óõíáñôþóåéò l (áñéóôåñþ óõíéóôþóá) êáé r (äåîéü óõíéóôþóá), ùò åîþò: l(x) = y y<x z z<x (x = P air(y; z)) r(x) = y y<x z z<x (x = P air(z; y)) Ïñßæïõìå ôçí áíáäñïìéêþ óõíüñôçóç ùò áêïëïýèùò: { (l(x); r(x); i) áí x = P air(l(x); r(x)) (x; i) = 0 äéáöïñåôéêü Åßíáé öáíåñü üôé (x; i) = (l(x); r(x); i) l(x) < x, åüí x = P air(l(x); r(x)) (äçëáäþ åüí ôï x áíþêåé óôï ðåäßï ôéìþí ôçò Pair). ñá, åðåéäþ óå êüèå Üëëç ðåñßðôùóç ç ôéìþ åßíáé ìçäýí, èá Ý ïõìå ðüíôá (x; i) x 1. óôù ôþñá, äïèýíôùí ôùí a 0 ; : : : ; a n 1, ôá b êáé c Ý ïõí âñåèåß þóôå (b; c; i) = a i ; i < n. Ôüôå åüí a = P air(b; c) èá Ý ïõìå üôé (a; i) = (l(a); r(a); i) = a i, ãéá êüèå i < n. ñá ç èá éêáíïðïéåß ôéò áðáéôþóåéò ôïõ ïñéóìïý ôçò óôï ëþììá Ãéá íá áðïäåßîïõìå ôçí ýðáñîç ôçò óõíüñôçóçò èá ñåéáóôïýìå ôá áêüëïõèá äýï ëþììáôá.
12 Ãéþñãïò ÊïëÝôóïò, Óçìåéþóåéò ÌáèçìáôéêÞò ËïãéêÞò 72 ËÞììá 6.29 (ÊéíÝæéêï èåþñçìá õðïëïßðùí) óôù d 0 ; : : : ; d n 1 áñéèìïß áíü äýï ðñþôïé (ðñïò áëëþëïõò) êáé Ýóôù a 0 ; : : : ; a n 1 ôýôïéá þóôå a i < d i ; i < n. Ôüôå õðüñ åé b þóôå a i = b mod d i, ãéá êüèå i < n ôï x mod y óõìâïëßæåé ôï õðüëïéðï ôçò äéáßñåóçò ôïõ x áðü ôï y, Üñá Ý ïõìå êáé x mod y < y. Áðüäåéîç óôù q = i<n d i = d 0 d 1 d n 1. ÅðåéäÞ ôá d i åßíáé áíü äýï ðñþôá, ôï q åßíáé ï ìéêñüôåñïò áñéèìüò ðïõ äéáéñåßôáé áðü üëá ôá d i. óôù ôþñá x ôõ þí áñéèìüò. Ïñßæïõìå [x] = x mod d 0 ; : : : ; x mod d n 1 íá åßíáé ç n-üäá ôùí õðïëïßðùí ôçò äéáßñåóçò ôïõ x áðü ôá d 0 ; : : : ; d n 1. Ôï ìýãéóôï äõíáôü ðëþèïò áõôþí ôùí n-üäùí åßíáé d i = d 0 d 1 d n 1, äçëáäþ q. óôù ôþñá x; y < q ìå x y. Ôüôå [x] [y], äéüôé áí x mod d 0 ; : : : ; x mod d n 1 = y mod d 0 ; : : : ; y mod d n 1 ôüôå èá åß áìå üôé d i x y, ãéá êüèå i < n. ÅðåéäÞ x y < q, áõôü åßíáé äõíáôü ìüíïí áí x = y. ñá ôï [x] ðáßñíåé üëåò ôéò äõíáôýò ôéìýò üôáí ôï x êéíåßôáé óôá 0; 1; : : : ; q 1. ñá áí ðüñïõìå ìéá n-üäá a 0 ; : : : ; a n 1 ìå a i < d i, ôüôå èá õðüñ åé b þóôå [b] = a 0 ; : : : ; a n 1. ËÞììá 6.30 Ãéá êüèå áñéèìü n, ïé n + 1 áñéèìïß 1 + n!; 1 + 2(n!); 1 + 3(n!); : : : ; 1 + (n + 1)(n!) åßíáé áíü äýï ðñþôïé ðñïò áëëþëïõò Áðüäåéîç óôù üôé õðüñ ïõí i; j {1; : : : ; (n + 1)} ôýôïéá þóôå 1 + i(n!) êáé 1 + j(n!) Ý ïõí êïéíü ðáñüãïíôá, Ýóôù ôïí ðñþôï áñéèìü p. Ôüôå ï p äéáéñåß ôïí i j n!. ÅðåéäÞ p n! (äéüôé ôüôå èá äéáéñïýóå êáé ôï 1) Ý ïõìå üôé p i j. ÁëëÜ i j n < p, (n < p äéüôé p n!). ñá p i j ìüíï óôçí ðåñßðôùóç i = j. Áðüäåéîç ôçò ðñüôáóçò Ïñßæïõìå ôç ùò åîþò: (x; y; z) = x mod (1 + (z + 1)y): Ç åßíáé áíáäñïìéêþ äéüôé Ý åé ôïí áêüëïõèï áíáäñïìéêü ïñéóìü (x; y; z) = w( t t<x+1 (x = t (1 + (z + 1) y) + w)): óôù ôþñá a 0 ; : : : ; a k 1 áñéèìïß êáé Ýóôù n = max{a 1 ; : : : ; a k ; k}. Ðáßñíïõìå c = n!. Ôüôå áðü ôï ëþììá 6.30 ïé áñéèìïß 1 + (i + 1) c, ãéá üëá ôá i n, åßíáé áíü äýï ðñþôïé ðñïò áëëþëïõò. Áðü ëþììá 6.29 (èýôïíôáò d i = 1 + (i + 1)c), õðüñ åé b ôýôïéï þóôå a i = b mod (1 + (i + 1)c), ãéá êüèå i < n. ÄçëáäÞ (d; c; i) = a i ; i < n.
13 Χρηματοδότηση - Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. - Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Ε.Μ.Π.» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. - Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικού πόρους.
ÌÁÈÇÌÁÔÉÊÇ ËÏÃÉÊÇ Ë1 5ï ðáêýôï áóêþóåùí
ÌÁÈÇÌÁÔÉÊÇ ËÏÃÉÊÇ Ë1 5ï ðáêýôï áóêþóåùí ñþóôïò ÊïíáîÞò, A.M. 200416 ìðë 30-06-2005 óêçóç 1. óôù R N n ; n 1. ËÝìå üôé ç R åßíáé "áñéèìçôéêþ" áí õðüñ åé ôýðïò ö(x 1 ; : : : ; x n ) ôçò Ã1 èá ôýôïéïò ðïõ
Διαβάστε περισσότεραΣχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Μαθηματική Λογική. Αποδεικτικό Σύστημα.
Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Μαθηματική Λογική Αποδεικτικό Σύστημα Γεώργιος Κολέτσος Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης
Διαβάστε περισσότεραÊåöÜëáéï 4 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÁ. 4.1 ÅéóáãùãÞ (ÃåùìåôñéêÞ)
44 ÊåöÜëáéï 4 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÁ 4.1 ÅéóáãùãÞ (ÃåùìåôñéêÞ) Óå äéüöïñåò öõóéêýò åöáñìïãýò õðüñ ïõí ìåãýèç ôá ïðïßá ìðïñïýí íá áñáêôçñéóèïýí ìüíï ìå Ýíá áñéèìü. ÔÝôïéá ìåãýèç, üðùò ãéá ðáñüäåéãìá, ç èåñìïêñáóßá
Διαβάστε περισσότεραÓÕÍÄÕÁÓÔÉÊÇ É, ÓÅÐÔÅÌÂÑÉÏÓ ÏÌÁÄÁ ÈÅÌÁÔÙÍ B
ÓÕÍÄÕÁÓÔÉÊÇ É, ÓÅÐÔÅÌÂÑÉÏÓ 2008 - ÏÌÁÄÁ ÈÅÌÁÔÙÍ B ÈÝìá. Èåùñïýìå ôï óýíïëï Ω {; 2; ; 2008}. (á ( âáèìüò Ðüóåò åßíáé ïé ìåôáèýóåéò ôùí óôïé åßùí ôïõ Ω óôéò ïðïßåò ôá Üñôéá óôïé åßá êáôáëáìâüíïõí ôéò ôåëåõôáßåò
Διαβάστε περισσότεραÓÕÍÄÕÁÓÔÉÊÇ É, ÓÅÐÔÅÌÂÑÉÏÓ ÏÌÁÄÁ ÈÅÌÁÔÙÍ Á
ÓÕÍÄÕÁÓÔÉÊÇ É, ÓÅÐÔÅÌÂÑÉÏÓ 2008 - ÏÌÁÄÁ ÈÅÌÁÔÙÍ Á ÈÝìá. Èåùñïýìå ôï óýíïëï Ω {; 2; ; 2008}. (á ( âáèìüò Ðüóåò åßíáé ïé ìåôáèýóåéò ôùí óôïé åßùí ôïõ Ω óôéò ïðïßåò ôï óôïé åßï âñßóêåôáé óå êüðïéá áðü ôéò
Διαβάστε περισσότεραΑνώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 7: Οριακή Τιμή Συνάρτησης. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 7: Οριακή Τιμή Συνάρτησης Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται
Διαβάστε περισσότερα( ) ξî τέτοιο, + Ý åé ìßá ôïõëü éóôïí ñßæá óôï äéüóôçìá ( ) h x =,να δείξετε ότι υπάρχει ( α,β) x ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΙΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥΣ
. Äßíåôáé ç óõíüñôçóç : [, + ) R óõíå Þò óôï äéüóôçìá [,+ ) êáé ðáñáãùãßóéìç óôï äéüóôçìá (,+ ), ãéá ôçí ïðïßá éó ýåé ( ) = α. óôù üôé õðüñ åé κî R, þóôå íá éó ýåé ( ) κ ãéá êüèå Î (,+ ). Íá äåßîåôå üôé
Διαβάστε περισσότεραÁóõìðôùôéêïß Óõìâïëéóìïß êáé Éåñáñ ßá ÓõíáñôÞóåùí
Áóõìðôùôéêïß Óõìâïëéóìïß êáé Éåñáñ ßá ÓõíáñôÞóåùí Çëßáò Ê. Óôáõñüðïõëïò Ïêôþâñéïò 006 1 Áóõìðôùôéêïß Óõìâïëéóìïß ÎåêéíÜìå äéáôõðþíïíôáò ôïõò ïñéóìïýò ôùí ðýíôå ãíùóôþí áóõìðôùôéêþí óõìâïëéóìþí: Ïñéóìüò
Διαβάστε περισσότερα3.1 Íá âñåèåß ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò óõíüñôçóçò f: 4 x. (iv) f(x, y, z) = sin x 2 + y 2 + 3z Íá âñåèïýí ôá üñéá (áí õðüñ ïõí): lim
3.1 Íá âñåèåß ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò óõíüñôçóçò f: 4 x (i) f(x, y) = sin 1 2 (x + y) (ii) f(x, y) = y 2 + 3 (iii) f(x, y, z) = 25 x 2 y 2 z 2 (iv) f(x, y, z) = z +ln(1 x 2 y 2 ) 3.2 (i) óôù f(x, y, z) =
Διαβάστε περισσότεραÊåöÜëáéï 5 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÏÉ ÙÑÏÉ. 5.1 ÅéóáãùãÞ. 56 ÊåöÜëáéï 5. ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÏÉ ÙÑÏÉ
55 56 ÊåöÜëáéï 5. ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÏÉ ÙÑÏÉ ÊåöÜëáéï 5 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÏÉ ÙÑÏÉ 5.1 ÅéóáãùãÞ Ïñéóìüò: íá óýíïëï V êáëåßôáé äéáíõóìáôéêüò þñïò Þ ãñáììéêüò þñïò ðüíù óôïí IR áí (á) ôï V åßíáé êëåéóôü ùò ðñïò ôç ðñüóèåóç,
Διαβάστε περισσότεραÏÑÉÁÊÇ ÔÉÌÇ ÓÕÍÁÑÔÇÓÇÓ
ÌÜèçìá 7 ÏÑÉÁÊÇ ÔÉÌÇ ÓÕÍÁÑÔÇÓÇÓ Óôï ìüèçìá áõôü èá äïèåß ç Ýííïéá ôïõ ïñßïõ ìéáò ðñáãìáôéêþò óõíüñôçóçò ìå ôñüðï ðñïóáñìïóìýíï óôéò áðáéôþóåéò ôùí äéáöüñùí åöáñìïãþí, ðïõ áðáéôïýíôáé óôçí åðéóôþìç ôïõ.
Διαβάστε περισσότεραÊåöÜëáéï 3 ÏÑÉÆÏÕÓÅÓ. 3.1 ÅéóáãùãÞ
28 ÊåöÜëáéï 3 ÏÑÉÆÏÕÓÅÓ 3.1 ÅéóáãùãÞ Ãéá êüèå ôåôñáãùíéêü ðßíáêá A áíôéóôïé åß Ýíáò ðñáãìáôéêüò áñéèìüò ï ïðïßïò êáëåßôáé ïñßæïõóá êáé óõíþèùò óõìâïëßæåôáé ìå A Þ det(a). ÌåôáèÝóåéò: Ìéá áðåéêüíéóç ôïõ
Διαβάστε περισσότεραΣυντακτική ανάλυση. Μεταγλωττιστές. (μέρος 3ον) Νίκος Παπασπύου, Κωστής Σαγώνας
Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Μεταγλωττιστές Νίκος Παπασπύου, Κωστής Σαγώνας Συντακτική ανάλυση (μέρος 3ον) Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό
Διαβάστε περισσότεραå) Íá âñåßôå ôï äéüóôçìá ðïõ äéáíýåé ôï êéíçôü êáôü ôï ñïíéêü äéüóôçìá áðü ôï ðñþôï Ýùò ôï Ýâäïìï äåõôåñüëåðôï ôçò êßíçóþò ôïõ.
ÌÁÈÇÌÁÔÉÊÁ ÃÅÍÉÊÇÓ ÐÁÉÄÅÉÁÓ Ã ËÕÊÅÉÏÕ È Å Ì Á 1 ï 3 ï Ä É Á Ã Ù Í É Ó Ì Á á êéçôü êéåßôáé ðüù óôï Üîïá x~x. Ç èýóç ôïõ êüèå ñïéêþ óôéãìþ t äßåôáé áðü ôç 3 óõüñôçóç x(t) = t 1t + 60t + 1, üðïõ ôï t ìåôñéýôáé
Διαβάστε περισσότερα2.4 ñçóéìïðïéþíôáò ôïí êáíüíá áëõóßäáò íá âñåèåß ç dr
2.1 i) Íá âñåèïýí ïé óõíôåôáãìýíåò ôïõ óçìåßïõ óôï ïðïßï ç åõèåßá r = 2 + t)i + 1 2t)j + 3tk ôýìíåé ôï åðßðåäï xz. ii) Íá âñåèïýí ïé óõíôåôáãìýíåò ôïõ óçìåßïõ óôï ïðïßï ç åõèåßá r = ti + 1 + 2t)j 3tk ôýìíåé
Διαβάστε περισσότεραΑνώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 11: Διανυσματική Συνάρτηση. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 11: Διανυσματική Συνάρτηση Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται
Διαβάστε περισσότεραÌÉÃÁÄÉÊÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ
ÌÜèçìá 5 ÌÉÃÁÄÉÊÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ 5.1 ÅéóáãùãÞ Óôï ìüèçìá áõôü èá äïèïýí ïé âáóéêüôåñåò Ýííïéåò ôùí ìéãáäéêþí óõíáñôþóåùí. Ï áíáãíþóôçò, ãéá ìéá åêôåíýóôåñç ìåëýôç, ðáñáðýìðåôáé óôç âéâëéïãñáößá ôïõ ìáèþìáôïò
Διαβάστε περισσότεραΑνώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 8: Συνέχεια Συνάρτησης. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 8: Συνέχεια Συνάρτησης Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται
Διαβάστε περισσότεραÄéáêñéôÝò êáé óõíå åßò ôõ áßåò ìåôáâëçôýò ÁóêÞóåéò
ÄéáêñéôÝò êáé óõíå åßò ôõ áßåò ìåôáâëçôýò ÁóêÞóåéò Áíôþíçò Ïéêïíüìïõ aeconom@math.uoa.gr ÌáÀïõ óêçóç (Ross, Exer. 4.8) Áí E[X] êáé V ar[x] 5 íá âñåßôå. E[( + X) ],. V ar[4 + X]. óêçóç (Ross, Exer. 4.64)
Διαβάστε περισσότεραÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ ÐÏËËÙÍ ÌÅÔÁÂËÇÔÙÍ
66 ÊåöÜëáéï 3 ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ ÐÏËËÙÍ ÌÅÔÁÂËÇÔÙÍ 3.1 ÅéóáãùãÞ óôù üôé S åßíáé Ýíá óýíïëï áðü óçìåßá óôïí n äéüóôáôï þñï. Ìéá óõíüñôçóç (ðïõ ïñßæåôáé óôï S) åßíáé ìéá ó Ýóç ç ïðïßá ó åôßæåé êüèå óôïé åßï ôïõ
Διαβάστε περισσότεραEstimation Theory Exercises*
Estimation Theory Exercises* Öþôçò ÓéÜííçò ÐáíåðéóôÞìéï Áèçíþí, ÔìÞìá Ìáèçìáôéêü fsiannis@math.uoa.gr December 22, 2009 * Áðü ôéò óçìåéþóåéò "ÓôáôéóôéêÞ Óõìðåñáóìáôïëïãßá" ôïõ Ô. ÐáðáúùÜííïõ, ôéò óçìåéþóåéò
Διαβάστε περισσότεραÓõíå Þ êëüóìáôá & Áöáéñåôéêüò Åõêëåßäåéïò áëãüñéèìïò
Óõíå Þ êëüóìáôá & Áöáéñåôéêüò Åõêëåßäåéïò áëãüñéèìïò Áããåëßíá ÂéäÜëç åðéâëýðùí êáèçãçôþò: ÃéÜííçò Ìïó ïâüêçò Q 13 Éïõíßïõ, 2009 ÄïìÞ äéðëùìáôéêþò åñãáóßáò 1o êåö. ÅéóáãùãÞ óôá óõíå Þ êëüóìáôá 2ï êåö. Ëßãç
Διαβάστε περισσότεραΑνώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 5: Μιγαδικές Συναρτήσεις. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 5: Μιγαδικές Συναρτήσεις Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται
Διαβάστε περισσότερα16. ÌåëÝôç ôùí óõíáñôþóåùí y=çìx, y=óõíx êáé ôùí ìåôáó çìáôéóìþí ôïõò.
55 16. ÌåëÝôç ôùí óõíáñôþóåùí y=çìx, y=óõíx êáé ôùí ìåôáó çìáôéóìþí ôïõò. A ÌÝñïò 1. Íá êáôáóêåõüóåéò óôï Function Probe ôç ãñáöéêþ ðáñüóôáóç ôçò y=çìx. Óôïí ïñéæüíôéï Üîïíá íá ïñßóåéò êëßìáêá áðü ôï -4ð
Διαβάστε περισσότεραÓÕÍÅ ÅÉÁ ÓÕÍÁÑÔÇÓÇÓ. 8.1 ÃåíéêÝò Ýííïéåò êáé ïñéóìïß
ÌÜèçìá 8 ÓÕÍÅ ÅÉÁ ÓÕÍÁÑÔÇÓÇÓ ¼ìïéá, üðùò êáé óôï ÌÜèçìá ÏñéáêÞ ôéìþ óõíüñôçóçò, äßíïíôáé ðåñéëçðôéêü ïé âáóéêüôåñïé ïñéóìïß êáé èåùñþìáôá ðïõ áíáöýñïíôáé óôç óõíý åéá ìéáò ðñáãìáôéêþò óõíüñôçóçò, åíþ ï
Διαβάστε περισσότεραΤυπικές Γλώσσες. Μεταγλωττιστές. (μέρος 1ο) Νίκος Παπασπύου, Κωστής Σαγώνας
Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Μεταγλωττιστές Νίκος Παπασπύου, Κωστής Σαγώνας Τυπικές Γλώσσες (μέρος 1ο) Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται
Διαβάστε περισσότεραÓÅÉÑÅÓ TAYLOR ÊÁÉ LAURENT
ÊåöÜëáéï 7 ÓÅÉÑÅÓ TAYLOR ÊÁÉ LAURENT 7. Áêïëïõèßåò ¼ðùò êáé ãéá ôïõò ðñáãìáôéêïýò áñéèìïýò, ìéá (Üðåéñç) áêïëïõèßá ìðïñåß íá èåùñçèåß ùò óõíüñôçóç ìå ðåäßï ïñéóìïý ôïõò èåôéêïýò áêýñáéïõò. ÄçëáäÞ, ìéá
Διαβάστε περισσότεραÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ
ÌÜèçìá 17 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ 17.1 ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò 17.1.1 Ïñéóìüò äéáíõóìáôéêþò óõíüñôçóçò 1 Õðåíèõìßæåôáé ï ïñéóìüò ôçò ðñáãìáôéêþò óõíüñôçóçò ìéáò ðñáãìáôéêþò ìåôáâëçôþò, ðïõ ãéá åõêïëßá óôç
Διαβάστε περισσότεραÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÏÓ ÄÉÁÖÏÑÉÊÏÓ ËÏÃÉÓÌÏÓ
ÌÜèçìá 18 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÏÓ ÄÉÁÖÏÑÉÊÏÓ ËÏÃÉÓÌÏÓ 18.1 ÅéóáãùãÞ 1 Óôï ìüèçìá áõôü äßíïíôáé ïé âáóéêýò Ýííïéåò ôïõ Äéáíõóìáôéêïý Äéáöïñéêïý Ëïãéóìïý, ðïõ åßíáé ó åôéêýò ìå ôéò âáèìùôýò Þ ôéò äéáíõóìáôéêýò óõíáñôþóåéò
Διαβάστε περισσότεραÌáèáßíïõìå ôéò áðïäåßîåéò
50. Βήµα ο Μαθαίνουµε τις αποδείξεις ã) Ùò ðñïò ôçí áñ Þ ôùí áîüíùí, áí êáé ìüíï áí Ý ïõí áíôßèåôåò óõíôåôáãìýíåò. ÄçëáäÞ: á = á êáé â = â ÂÞìá Ìáèáßíïõìå ôéò áðïäåßîåéò ä) Ùò ðñïò ôç äé ïôüìï ôçò çò êáé
Διαβάστε περισσότεραSPLINES. ÌÜèçìá ÓõíÜñôçóç spline Ïñéóìïß êáé ó åôéêü èåùñþìáôá
ÌÜèçìá 4 SPLINES 4.1 ÓõíÜñôçóç spline 4.1.1 Ïñéóìïß êáé ó åôéêü èåùñþìáôá Óôï ÌÜèçìá ÐïëõùíõìéêÞ ðáñåìâïëþ åîåôüóôçêå ôï ðñüâëçìá ôçò åýñåóçò ôùí ðïëõùíýìùí ðáñåìâïëþò, äçëáäþ ðïëõùíýìùí ðïõ óõíýðéðôáí
Διαβάστε περισσότερα1. i) ÊÜèå üñïò ðñïêýðôåé áðü ôçí ðñüóèåóç ôïõ óôáèåñïý áñéèìïý 3 óôïí ðñïçãïýìåíï, ïðüôå Ý ïõìå áñéèìçôéêþ ðñüïäï á í ìå ðñþôï üñï
5. ÐÑÏÏÄÏÉ 7 5. ÁñéèìçôéêÞ ðñüïäïò Á ÏìÜäá. i) ÊÜèå üñïò ðñïêýðôåé áðü ôçí ðñüóèåóç ôïõ óôáèåñïý áñéèìïý 3 óôïí ðñïçãïýìåíï, ïðüôå Ý ïõìå áñéèìçôéêþ ðñüïäï á í ìå ðñþôï üñï á = 7 êáé äéáöïñü ù = 3. Óõíåðþò
Διαβάστε περισσότερα3.1 H Ýííïéá ôçò óõíüñôçóçò ÐÁÑÁÄÅÉÃÌÁÔÁ - ÅÖÁÑÌÏÃÅÓ
.1 Ç Ýííïéá ôçò óõíüñôçóçò 55.1 H Ýííïéá ôçò óõíüñôçóçò Åñþ ôçóç 1 Ôé ëýãåôáé óõíüñôçóç; ÁðÜíôçóç Ç ó Ýóç åêåßíç ðïõ êüèå ôéìþ ôçò ìåôáâëçôþò x, áíôéóôïé ßæåôáé óå ìéá ìüíï ôéìþ ôçò ìåôáâëçôþò y ëýãåôáé
Διαβάστε περισσότεραΕΛΕΝΗ ΓΕΡΟΥΛΑΝΟΥ. Εικονογράφηση ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ ΓΙΑ ΠΑΙΔΙΑ ΝΗΠΙΑΓΩΓΕΙΟΥ ΛΗΔΑ ΒΑΡΒΑΡΟΥΣΗ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ
ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ ΓΙΑ ΠΑΙΔΙΑ ΝΗΠΙΑΓΩΓΕΙΟΥ ΕΛΕΝΗ ΓΕΡΟΥΛΑΝΟΥ Εικονογράφηση ΛΗΔΑ ΒΑΡΒΑΡΟΥΣΗ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ Ï ðéï ìåãüëïò êáé ï ðéï óçìáíôéêüò ðáéäáãùãéêüò êáíüíáò äåí åßíáé ôï íá
Διαβάστε περισσότερα1. Íá ëõèåß ç äéáöïñéêþ åîßóùóç (15 ìïí.) 2. Íá âñåèåß ç ãåíéêþ ëýóç ôçò äéáöïñéêþò åîßóùóçò (15 ìïí.)
ÔÅÉ ËÜñéóáò, ÔìÞìá Ìç áíïëïãßáò ÌáèçìáôéêÜ ÉI, ÅîÝôáóç Ðåñéüäïõ Éïõíßïõ 24/6/21 ÄéäÜóêùí: Á éëëýáò Óõíåöáêüðïõëïò 1. Íá ëõèåß ç äéáöïñéêþ åîßóùóç (15 ìïí.) (3x 2 + 6xy 2 )dx + (6x 2 y + 4y 3 )dy = 2. Íá
Διαβάστε περισσότερα[ ] ÐáñÜñôçìá É : Éóüôñïðåò ôáíõóôéêýò óõíáñôþóåéò 1. Ïñéóìüò: Ï óõììåôñéêüò ôáíõóôþò B êáëåßôáé éóüôñïðç óõíüñôçóç ôïõ óõììåôñéêïý ôáíõóôþ A (Á.
ÐÁÑÁÑÔÇÌÁÔÁ 76 77 ÐáñÜñôçìá É : Éóüôñïðåò ôáíõóôéêýò óõíáñôþóåéò Ïñéóìüò: Ï óõììåôñéêüò ôáíõóôþò êáëåßôáé éóüôñïðç óõíüñôçóç ôïõ óõììåôñéêïý ôáíõóôþ f( (Á. üôáí ãéá êüèå êáíïíéêü ïñèïãþíéï ôáíõóôþ Q éó
Διαβάστε περισσότεραÓÅÉÑÅÓ. ÌÜèçìá Áêïëïõèßåò áñéèìþí Ïñéóìüò áêïëïõèßáò
ÌÜèçìá 2 ÓÅÉÑÅÓ 2. Áêïëïõèßåò áñéèìþí Êñßíåôáé óêüðéìï íá äïèåß ðåñéëçðôéêü ðñéí áðü ôç ìåëýôç ôùí óåéñþí ç Ýííïéá ôçò áêïëïõèßáò áñéèìþí. Ï áíáãíþóôçò, ãéá ìéá åêôåíýóôåñç ìåëýôç, ðáñáðýìðåôáé óôç âéâëéïãñáößá
Διαβάστε περισσότεραÓõíáñôÞóåéò ðïëëþí ìåôáâëçôþí
165 KåöÜëáéï 8 ÓõíáñôÞóåéò ðïëëþí ìåôáâëçôþí 1. Ïñéóìüò êáé óõíý åéá óõíáñôþóåùò ðåñéóóïôýñùí ìåôáâëçôþí * ÌåôñéêÝò óå ìåôñéêïýò þñïõò Åðß ôïõ Rïñßæïõìå ôçí ìåôñéêþ d(, = - 1 1 Åðß ôïõ R ïñßæïõìå ôéò åðüìåíåò
Διαβάστε περισσότεραÍá èõìçèïýìå ôç èåùñßá...
ÇËÅÊÔÑÉÊÏ ÐÅÄÉÏ Íá èõìçèïýìå ôç èåùñßá....1 Ôé ïíïìüæïõìå çëåêôñéêü ðåäßï; Çëåêôñéêü ðåäßï ïíïìüæïõìå ôïí þñï ìýóá óôïí ïðïßï áí âñåèåß Ýíá çëåêôñéêü öïñôßï èá äå èåß äýíáìç. Ãéá íá åîåôüóïõìå áí óå êüðïéï
Διαβάστε περισσότεραÓ ÅÄÉÁÓÌÏÓ - ÊÁÔÁÓÊÅÕÇ ÓÔÏÌÉÙÍ & ÅÉÄÉÊÙÍ ÅÎÁÑÔÇÌÁÔÙÍ ÊËÉÌÁÔÉÓÌÏÕ V X
V X A B+24 AEROGRAMÌI Ïé äéáóôüóåéò ôùí óôïìßùí ôçò óåéñüò Å öáßíïíôáé óôï ðáñáêüôù ó Þìá. Áíôßóôïé á, ïé äéáóôüóåéò ôùí óôïìßùí ôçò óåéñüò ÂÔ öáßíïíôáé óôï Ó Þìá Å. Ãéá ôïí ðñïóäéïñéóìü ôçò ðáñáããåëßáò
Διαβάστε περισσότεραΑνώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 10: Παράγωγος Συνάρτησης Μέρος ΙI. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 10: Παράγωγος Συνάρτησης Μέρος ΙI Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά ΙΙΙ. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 15: Προσέγγιση συνήθων διαφορικών εξισώσεων Μέρος Ι. Αθανάσιος Μπράτσος
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Μαθηματικά ΙΙΙ Ενότητα 15: Προσέγγιση συνήθων διαφορικών εξισώσεων Μέρος Ι Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Μηχανικών Ενεργειακής Τεχνολογίας
Διαβάστε περισσότεραÈåùñßá ÃñáöçìÜôùí: Óýíïëá Áíåîáñôçóßáò, Óýíïëá ÊÜëõøçò, êáé ñùìáôéêüò Áñéèìüò
Èåùñßá ÃñáöçìÜôùí: Óýíïëá Áíåîáñôçóßáò, Óýíïëá ÊÜëõøçò, êáé ñùìáôéêüò Áñéèìüò ÄçìÞôñçò ÖùôÜêçò ÔìÞìá Ìç áíéêþí Ðëçñïöïñéáêþí êáé Åðéêïéíùíéáêþí ÓõóôçìÜôùí ÐáíåðéóôÞìéï Áéãáßïõ, 83200 Êáñëüâáóé, ÓÜìïò Email:
Διαβάστε περισσότεραΑνώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 15: Ορισμένο Ολοκλήρωμα Μέρος ΙΙΙ - Εφαρμογές. Αθανάσιος Μπράτσος
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 5: Ορισμένο Ολοκλήρωμα Μέρος ΙΙΙ - Εφαρμογές Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματική Λογική. Εισαγωγή - Η Λογική των Προτάσεων. Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Μαθηματική Λογική Εισαγωγή - Η Λογική των Προτάσεων Γεώργιος Κολέτσος Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται
Διαβάστε περισσότεραÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ËÕÓÇ ÓÕÍÇÈÙÍ ÄÉÁÖÏÑÉÊÙÍ ÅÎÉÓÙÓÅÙÍ
ÌÜèçìá 8 ÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ËÕÓÇ ÓÕÍÇÈÙÍ ÄÉÁÖÏÑÉÊÙÍ ÅÎÉÓÙÓÅÙÍ 8.1 ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò Åßíáé Þäç ãíùóôü óôïí áíáãíþóôç üôé ç åðßëõóç ôùí ðåñéóóüôåñùí ðñïâëçìüôùí ôùí èåôéêþí åðéóôçìþí ïäçãåß óôç ëýóç ìéáò äéáöïñéêþò
Διαβάστε περισσότεραÐÑÏÓÅÃÃÉÓÇ ÐÁÑÁÃÙÃÙÍ
ÌÜèçìá 6 ÐÑÏÓÅÃÃÉÓÇ ÐÁÑÁÃÙÃÙÍ ÅéóáãùãÞ 1Ç ðñïóýããéóç ôçò ôéìþò ôçò ðáñáãþãïõ ìéáò óõíüñôçóçò ñçóéìïðïéåßôáé êõñßùò: i) üôáí ëüãù ôçò ðïëýðëïêçò ìïñöþò ôïõ ôýðïõ ôçò åßíáé áäýíáôïò ï èåùñçôéêüò õðïëïãéóìüò
Διαβάστε περισσότεραÈåùñßá ÃñáöçìÜôùí: ÔáéñéÜóìáôá
Èåùñßá ÃñáöçìÜôùí: ÔáéñéÜóìáôá ÄçìÞôñçò ÖùôÜêçò ÔìÞìá Ìç áíéêþí Ðëçñïöïñéáêþí êáé Åðéêïéíùíéáêþí ÓõóôçìÜôùí ÐáíåðéóôÞìéï Áéãáßïõ, 83200 Êáñëüâáóé, ÓÜìïò Email: fotakis@aegean.gr 1 Âáóéêïß Ïñéóìïß êáé Ïñïëïãßá
Διαβάστε περισσότεραΑνώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 6: Γραμμική Άλγεβρα. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 6: Γραμμική Άλγεβρα Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται
Διαβάστε περισσότεραÁÐÁÍÔÇÓÅÉÓ ÄÏÈÅÍÔÙÍ ÈÅÌÁÔÙÍ
ÐáíåðéóôÞìéï ÊñÞôçò, ÔìÞìá Ìáèçìáôéêþí Èåùñßá Äáêôõëßùí êáé Modules (M ) ÅîÝôáóç Éïõíßïõ 010 ÅîåôáóôÞò: ÄçìÞôñéïò ÍôáÞò ÁÐÁÍÔÇÓÅÉÓ ÄÏÈÅÍÔÙÍ ÈÅÌÁÔÙÍ ÈÅÌÁ 1ï Âë. èåþñçìá.5.0 (óôéò óçìåéþóåéò). ÈÅÌÁ ï Âë.
Διαβάστε περισσότεραÓÕÍÈÇÊÇ ÁÌÅÔÁÈÅÔÏÔÇÔÁÓ ÓÕÓÔÇÌÁÔÏÓ ÔÏÉ ÙÌÁÔÙÍ ÐÁÑÁÑÔÇÌÁ Â
ÓÕÍÈÇÊÇ ÁÌÅÔÁÈÅÔÏÔÇÔÁÓ ÓÕÓÔÇÌÁÔÏÓ ÔÏÉ ÙÌÁÔÙÍ ÐÁÑÁÑÔÇÌÁ Â ÐÁÑÁÑÔÇÌÁ Â 464 ÅÊÙÓ 000 - Ó ÏËÉÁ ÓÕÍÈÇÊÇ ÁÌÅÔÁÈÅÔÏÔÇÔÁÓ ÓÕÓÔÇÌÁÔÏÓ ÔÏÉ ÙÌÁÔÙÍ Â.1 ÁÓÕÌÌÅÔÑÏ ÓÕÓÔÇÌÁ Η N / ( 0. + 0.1 η) 0.6 ν ν, η 3, η > 3...
Διαβάστε περισσότεραΑνώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 12: Αόριστο Ολοκλήρωμα. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα : Αόριστο Ολοκλήρωμα Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται
Διαβάστε περισσότεραRamsey's Theory or something like that.
Ramsey's Theory or something like that. ÌÜñèá, ÄçìÞôñçò, ÓôÝöáíïò 30 Íïåìâñßïõ 2005 Complete disorder is impossible T.S.Motzikin 1 ÅéóáãùãÞ. To 1930 o Ramsey[10] äçìïóßåõóå Ýíá Üñèñï ðüíù óå Ýíá ðñüâëçìá
Διαβάστε περισσότερα1.1 ÊáñôåóéáíÝò óõíôåôáãìýíåò óôï 3-äéÜóôáôï þñï
ÊåöÜëáéï 1 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÁ 1.1 ÊáñôåóéáíÝò óõíôåôáãìýíåò óôï 3-äéÜóôáôï þñï óôù ç ôñéüäá (a, b, c). Ôï óýíïëï ôùí ôñéüäùí êáëåßôáé 3-äéÜóôáôïò þñïò êáé óõìâïëßæåôáé ìå IR 3. Åéäéêüôåñá ç ôñéüäá (a, b, c) ïñßæåé
Διαβάστε περισσότεραÐñïêýðôïõí ôá ðáñáêüôù äéáãñüììáôá.
ÌÅÈÏÄÏËÏÃÉÁ Ãéá Ýíá óþìá ðïõ åêôåëåß åõèýãñáììç ïìáëü ìåôáâáëëüìåíç êßíçóç éó ýïõí ïé ôýðïé: õ=õ ï +á. t x=õ. ï t+ át. ÅÜí ôï óþìá îåêéíüåé áðü ôçí çñåìßá, äçëáäþ ç áñ éêþ ôá ýôçôá åßíáé õ ï =0, ôüôå ïé
Διαβάστε περισσότεραΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ. 27 Μαΐου (Εαρινό εξάμηνο 2002) ΚΑΝΟΝΕΣ ΔΙΕΞΑΓΩΓΗΣ ΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΕΩΣ
ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΚΥΠΡΟΥ ΜΑΣ 121- ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 27 Μαΐου 2002 (Εαρινό εξάμηνο 2002) ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ ΑΡ ΦΟΙΤΗΤΙΚΗΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΟΣ ΚΑΝΟΝΕΣ ΔΙΕΞΑΓΩΓΗΣ ΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΕΩΣ
Διαβάστε περισσότερα1.1 Ïé öõóéêïß áñéèìïß - ÄéÜôáîç öõóéêþí, Óôñïããõëïðïßçóç
1.1 Ïé öõóéêïß áñéèìïß - ÄéÜôáîç öõóéêþí, Óôñïããõëïðïßçóç 7 1.1 Ïé öõóéêïß áñéèìïß - ÄéÜôáîç öõóéêþí, Óôñïããõëïðïßçóç Åñþ ôçóç 1 Ðïéïé áñéèìïß ïíïìüæïíôáé öõóéêïß; Ðþò ôïõò óõìâïëßæïõìå êáé ðþò ùñßæïíôáé;
Διαβάστε περισσότεραΑνώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 3: Πραγματικές Συναρτήσεις. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 3: Πραγματικές Συναρτήσεις Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται
Διαβάστε περισσότεραÐÏËÕÙÍÕÌÉÊÇ ÐÁÑÅÌÂÏËÇ
ÌÜèçìá 3 ÐÏËÕÙÍÕÌÉÊÇ ÐÁÑÅÌÂÏËÇ 3.1 ÅéóáãùãÞ Åßíáé ãíùóôü üôé óôá äéüöïñá ðñïâëþìáôá ôùí åöáñìïãþí ôéò ðåñéóóüôåñåò öïñýò ðáñïõóéüæïíôáé óõíáñôþóåéò ðïõ ðåñéãñüöïíôáé áðü ðïëýðëïêïõò ôýðïõò, äçëáäþ ôýðïõò
Διαβάστε περισσότεραÓÅÉÑÁ FOURIER. ÌÜèçìá ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò
ÌÜèçìá 13 ÓÅÉÑÁ FOURIER 13.1 ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò Ïé ðåñéïäéêýò óõíáñôþóåéò óõíáíôþíôáé óõ íü óå äéüöïñá ðñïâëþìáôá åöáñìïãþí. Ç ðñïóðüèåéá íá åêöñáóôïýí ïé óõíáñôþóåéò áõôýò ìå üñïõò áðëþí ðåñéïäéêþí óõíáñôþóåùí,
Διαβάστε περισσότερα6 s(s 1)(s 3) = A s + B. 3. Íá âñåèåß ï ìåô/ìüò Laplace ôùí ðáñáêüôù óõíáñôþóåùí
ÔÅÉ ËÜñéóáò, ÔìÞìá Çëåêôñïëïãßáò ÅöáñìïóìÝíá ÌáèçìáôéêÜ, ÅîÝôáóç Ðåñéüäïõ Éïõíßïõ 22/6/21 ÄéäÜóêùí: Á éëëýáò Óõíåöáêüðïõëïò 1. (i Õðïëïãßóôå ôçí óåéñü Fourier S f (x ôçò óõíáñôþóåùò (18 ìïí. { ; < x f(x
Διαβάστε περισσότεραÐÑÁÃÌÁÔÉÊÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ
ÌÜèçìá 3 ÐÑÁÃÌÁÔÉÊÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ 3.1 Ïñéóìüò êáé ëãåâñá óõíáñôþóåùí 3.1.1 Ïñéóìïß Óôï ìüèçìá áõôü èá äïèïýí ïé êõñéüôåñïé ïñéóìïß êáé èåùñþìáôá ãéá ôéò ðñáãìáôéêýò óõíáñôþóåéò ìéáò ðñáãìáôéêþò ìåôáâëçôþò,
Διαβάστε περισσότεραÌÜèçìá 3ï: ÁíáäñïìéêÝò Åîéóþóåéò
ÌÜèçìá 3ï: ÁíáäñïìéêÝò Åîéóþóåéò Ç åðßëõóç áíáäñïìéêþí åîéóþóåùí åßíáé Ýíá áðïëýôùò áðáñáßôçôï åñãáëåßï ãéá ôçí åýñåóç åêöñüóåùí ðïõ ðåñéãñüöïõí ôçí ðïëõðëïêüôçôá ðïëëþí áëëü êáé âáóéêþí áëãïñßèìùí. Ãåíéêþò,
Διαβάστε περισσότεραΤυπικές Γλώσσες. Μεταγλωττιστές. (μέρος 2ο) Νίκος Παπασπύου, Κωστής Σαγώνας
Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Μεταγλωττιστές Νίκος Παπασπύου, Κωστής Σαγώνας Τυπικές Γλώσσες (μέρος 2ο) Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά ΙΙΙ. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 16: Προσέγγιση συνήθων διαφορικών εξισώσεων Μέρος ΙΙ. Αθανάσιος Μπράτσος
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Μαθηματικά ΙΙΙ Ενότητα 16: Προσέγγιση συνήθων διαφορικών εξισώσεων Μέρος ΙΙ Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Μηχανικών Ενεργειακής Τεχνολογίας
Διαβάστε περισσότεραÁÏÑÉÓÔÏ ÏËÏÊËÇÑÙÌÁ. ÌÜèçìá ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò ÐáñÜãïõóá óõíüñôçóç
ÌÜèçìá 0 ÁÏÑÉÓÔÏ ÏËÏÊËÇÑÙÌÁ 0. ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò Óôï ìüèçìá áõôü èá äïèïýí ïé êõñéüôåñïé êáíüíåò ïëïêëþñùóçò, ðïõ êýñéá åìöáíßæïíôáé óôéò ôå íïëïãéêýò åöáñìïãýò. Äéåõêñéíßæåôáé üôé áêïëïõèþíôáò ìßá áõóôçñü
Διαβάστε περισσότεραÐÉÍÁÊÅÓ ÔÉÌÙÍ ÁÍÔÉÊÅÉÌÅÍÉÊÙÍ ÁÎÉÙÍ
ÕÐÏÕÑÃÅÉÏ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ÏÉÊÏÍÏÌÉÊÙÍ ÃÅÍÉÊÇ ÄÉÅÕÈÕÍÓÇ ÄÇÌÏÓÉÁÓ ÐÅÑÉÏÕÓÉÁÓ & ÅÈÍÉÊÙÍ ÊËÇÑÏÄÏÔÇÌÁÔÙÍ ÄÉÅÕÈÕÍÓÇ ÔÅ ÍÉÊÙÍ ÕÐÇÑÅÓÉÙÍ & ÓÔÅÃÁÓÇÓ ÔÌÇÌÁ ÁÍÔÉÊÅÉÌÅÍÉÊÏÕ ÐÑÏÓÄÉÏÑÉÓÌÏÕ ÖÏÑÏËÏÃÇÔÅÁÓ ÁÎÉÁÓ ÁÊÉÍÇÔÙÍ
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ενότητα 6: Προσέγγιση παραγώγων Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται
Διαβάστε περισσότεραÐÏËËÁÐËÁ ÏËÏÊËÇÑÙÌÁÔÁ
ÌÜèçìá 9 ÐÏËËÁÐËÁ ÏËÏÊËÇÑÙÌÁÔÁ 9. ÄéðëÜ ïëïêëçñþìáôá 9.. ÅéóáãùãÞ Ãéá ôçí êáëýôåñç êáôáíüçóç ôïõ ïñéóìýíïõ ïëïêëçñþìáôïò ìéáò óõíüñôçóçò äýï ìåôáâëçôþí, äçëáäþ ôïõ äéðëïý ïëïêëçñþìáôïò, êñßíåôáé áðáñáßôçôï
Διαβάστε περισσότεραÇ íýá Ýííïéá ôïõ ýðíïõ!
ΑΞΕΣΟΥΑΡ Ç íýá Ýííïéá ôïõ ýðíïõ! ÅããõÜôáé ôçí áóöüëåéá êáé õãåßá ôïõ ìùñïý êáôü ôç äéüñêåéá ôïõ ýðíïõ! AP 1270638 Õðüóôñùìá Aerosleep, : 61,00 AP 125060 ÊÜëõììá Aerosleep, : 15,30 ÁóöáëÞò, ðüíôá áñêåôüò
Διαβάστε περισσότεραÈåùñßá ÃñáöçìÜôùí: Åðéêáëýðôïíôá ÄÝíôñá
Èåùñßá ÃñáöçìÜôùí: Åðéêáëýðôïíôá ÄÝíôñá ÄçìÞôñçò ÖùôÜêçò ÔìÞìá Ìç áíéêþí Ðëçñïöïñéáêþí êáé Åðéêïéíùíéáêþí ÓõóôçìÜôùí ÐáíåðéóôÞìéï Áéãáßïõ, 83200 Êáñëüâáóé, ÓÜìïò Email: fotakis@aegean.gr 1 Ïñéóìüò êáé
Διαβάστε περισσότεραÅîéóþóåéò 1ïõ âáèìïý
algevra-a-lykeiou-kef-07-08.qxd 9/8/00 9:00 Page 00 7 Åîéóþóåéò ïõ âáèìïý Ç åîßóùóç áx + â = 0 áx = â (ìå á 0) (ìå á = â = 0) â Ý åé áêñéâþò ìßá ëýóç, ôç x =. á áëçèåýåé ãéá êüèå ðñáãìáôéêü áñéèìü x (ôáõôüôçôá
Διαβάστε περισσότερα10.1 (ÕÐÏ)ÏÑÈÏÈÅÔÅÓ ÊÁÉ ÓÕÍÈÅÔÉÊÅÓ ÓÅÉÑÅÓ
10.1 (õðï)ïñèïèåôåò êáé óõíèåôéêåò óåéñåò 381 10.1 (ÕÐÏ)ÏÑÈÏÈÅÔÅÓ ÊÁÉ ÓÕÍÈÅÔÉÊÅÓ ÓÅÉÑÅÓ 10.1.1 Ïñéóìüò. óôù ( ) ìéá ïìüäá êáé Ýóôù v Áò õðïèýóïõìå üôé õößóôáôáé ìéá ðåðåñáóìýíç áêïëïõèßá õðïïìüäùí ( )
Διαβάστε περισσότεραÐÑÏÓÅÃÃÉÓÇ ÐÁÑÁÃÙÃÙÍ
ÌÜèçìá 6 ÐÑÏÓÅÃÃÉÓÇ ÐÁÑÁÃÙÃÙÍ Ç ðñïóýããéóç ôçò ôéìþò ôçò ðáñáãþãïõ ìéáò óõíüñôçóçò ñçóéìïðïéåßôáé óôéò ðáñáêüôù êõñßùò ðåñéðôþóåéò: i) üôáí ëüãù ôçò ðïëýðëïêçò ìïñöþò ôïõ ôýðïõ ìéáò óõíüñôçóçò åßíáé áäýíáôïò
Διαβάστε περισσότεραΠροτεινόμενα θέματα Πανελλαδικών εξετάσεων. Χημεία Θετικής Κατεύθυνσης ΕΛΛΗΝΟΕΚΔΟΤΙΚΗ
Προτεινόμενα θέματα Πανελλαδικών εξετάσεων Χημεία Θετικής Κατεύθυνσης 2o ΕΛΛΗΝΟΕΚΔΟΤΙΚΗ 1.1. ÓùóôÞ áðüíôçóç åßíáé ç Ä. ΘΕΜΑ 1ο 1.2. ñçóéìïðïéïýìå ôçí êáôáíïìþ ôùí çëåêôñïíßùí óå áôïìéêü ôñï éáêü óýìöùíá
Διαβάστε περισσότεραÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ
30 ÊåöÜëáéï 2 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ 2.1 ÅéóáãùãÞ ¼ðùò êáé óôïí IR 2, Ýôóé êáé óôïí IR 3 ìðïñïýìå íá ïñßóïõìå ìéá êáìðýëç ðáñáìåôñéêü. ÄçëáäÞ, íá Ý åé ôç ìïñöþ x = x(t), y = y(t), z = z(t), üðïõ t åßíáé
Διαβάστε περισσότεραB i o f l o n. Ãéá åöáñìïãýò ìåôáöïñüò çìéêþí
B i o f l o n Ãéá åöáñìïãýò ìåôáöïñüò çìéêþí Ç åôáéñåßá Aflex, ç ïðïßá éäñýèçêå ôï 1973, Þôáí ç ðñþôç ðïõ ó åäßáóå ôïí åýêáìðôï óùëþíá PTFE ãéá ôç ìåôáöïñü çìéêþí õãñþí ðñßí áðü 35 ñüíéá. Ï åëéêïåéäþò
Διαβάστε περισσότεραÏÌÏËÏÃÉÊÇ ÁËÃÅÂÑÁ: 4oò ÊÁÔÁËÏÃÏÓ ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÙÍ ÁÓÊÇÓÅÙÍ
ÏÌÏËÏÃÉÊÇ ÁËÃÅÑÁ: 4oò ÊÁÔÁËÏÃÏÓ ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÙÍ ÁÓÊÇÓÅÙÍ 1. ÅÜí ç M M M h åßíáé ìéá áêñéâþò áêïëïõèßá êáé ï θ : M N Ýíáò éóïìïñöéóìüò R-ìïäßùí, íá áðïäåé èåß üôé ç áêïëïõèßá M θ N θ 1 M h åßíáé áêñéâþò..
Διαβάστε περισσότεραChi-Square Goodness-of-Fit Test*
Chi-Square Goodness-of-Fit Test* Öþôçò ÓéÜííçò ÐáíåðéóôÞìéï Áèçíþí, ÔìÞìá Ìáèçìáôéêü fsiannis@mathuoagr February 6, 2009 * Áðü ôéò óçìåéþóåéò "ÓôáôéóôéêÞ Óõìðåñáóìáôïëïãßá" ôïõ Ô ÐáðáúùÜííïõ êáé ôá âéâëßá
Διαβάστε περισσότεραCel animation. ÅöáñìïãÝò ðïëõìýóùí
ÅöáñìïãÝò ðïëõìýóùí Cel animation Ç ôå íéêþ áõôþ óõíßóôáôáé óôçí êáôáóêåõþ ðïëëþí ó åäßùí ðïõ äéáöýñïõí ìåôáîý ôïõò óå óõãêåêñéìýíá óçìåßá. Ôá ó Ýäéá áõôü åíáëëüóóïíôáé ôï Ýíá ìåôü ôï Üëëï äßíïíôáò ôçí
Διαβάστε περισσότεραιαδικασία åãêáôüóôáóçò MS SQL Server, SingularLogic Accountant, SingularLogic Accountant Ìéóèïäïóßá
1.1 ÃåíéêÝò ðëçñïöïñßåò ãéá ôçí Express Ýêäïóç ôïõ SQL Server... 3 1.2 ÃåíéêÝò ðëçñïöïñßåò ãéá ôçí åãêáôüóôáóç... 3 2.1 ÅãêáôÜóôáóç Microsoft SQL Server 2008R2 Express Edition... 4 2.1 Åíåñãïðïßçóç ôïõ
Διαβάστε περισσότεραÅÍÏÔÇÔÁ 6ç ÑÏÍÏÓ-ÄÉÁÄÏ Ç
Ενότητα 6 Μάθημα 45 Πρώτος-τελευταίος 1. Íá êáôáíïþóïõí ôéò Ýííïéåò ðñþôïò êáé ôåëåõôáßïò. 2. Ná ìüèïõí íá ñùôïýí êáé íá áðáíôïýí ó åôéêü ìå ôï ñüíï êáé ôç äéáäï Þ ãåãïíüôùí. 1. Íá áêïýóïõí ôï ðáñáìýèé
Διαβάστε περισσότεραÌÜèçìá 10ï: ÁËÃÏÑÉÈÌÏÉ ÄÅÍÄÑÙÍ
ÌÜèçìá 0ï: ÁËÃÏÑÉÈÌÏÉ ÄÅÍÄÑÙÍ Ç ðëçèþñá ôùí äåíäñéêþí äïìþí åßíáé ãíùóôþ áðü ôï ìüèçìá ôùí Äïìþí ÄåäïìÝíùí. Óôï ìüèçìá áõôü èá ðñïóåããßóïõìå êáé ðüëé ìåñéêýò äïìýò äýíäñùí ìå óêïðü ìßá ôõðéêüôåñç áíüëõóç
Διαβάστε περισσότεραUnion of Pure and Applied Chemistry).
.5 Ç ãëþóóá ôçò çìåßáò Ãñáö çìéêþí ôýðùí êáé åéóáãùã óôçí ïíïìáôïëïãßá ôùí áíüñãáíùí åíþóåùí..5.1 ÃåíéêÜ. Ç çìåßá Ý åé ôç äéê ôçò äéåèí ãëþóóá, ç ïðïßá êáèïñßæåôáé áðü êáíüíåò ðïõ Ý ïõí ðñïôáèåß êáé ðñïôåßíïíôáé
Διαβάστε περισσότεραÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ÏËÏÊËÇÑÙÓÇ
ÌÜèçìá 7 ÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ÏËÏÊËÇÑÙÓÇ ÅéóáãùãÞ ¼ìïéá, üðùò êáé óôï ÌÜèçìá ÐñïóÝããéóç Ðáñáãþãùí, ç ðñïóåããéóôéêþ ôéìþ ôïõ ïñéóìýíïõ ïëïêëçñþìáôïò ñçóéìïðïéåßôáé êõñßùò, üôáí I(f) = f(x) dx i) ëüãù ôçò ðïëýðëïêçò
Διαβάστε περισσότεραÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ËÕÓÇ ÅÎÉÓÙÓÅÙÍ
ÌÜèçìá 1 ÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ËÕÓÇ ÅÎÉÓÙÓÅÙÍ 11 ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò 111 Ïñéóìïß Êñßíåôáé áñ éêü áðáñáßôçôï íá ãßíåé óôïí áíáãíþóôç õðåíèýìéóç ôùí ðáñáêüôù âáóéêþí ìáèçìáôéêþí åííïéþí: Ïñéóìüò 111-1 (åîßóùóçò) ËÝãåôáé
Διαβάστε περισσότεραΕνότητα 7: Διαδικασιακός Προγραμματισμός
Συμβολικές Γλώσσες Προγραμματισμού Ενότητα 7: Διαδικασιακός Προγραμματισμός Νικόλαος Καραμπετάκης Τμήμα Μαθηματικών Άδειες Χρήσης è Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑ: Τροποποίηση κατηγοριών στα εγκεκριµένα ενιαία τιµολόγια εργασιών για έργα οδοποιϊας.
ΕΞ. ΕΠΕΙΓΟΝ ΕΓΚΥΚΛΙΟΣ 5 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Αθήνα, 23 Φεβρουαρίου 2005 ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΕ.ΧΩ..Ε. Αρ.Πρωτ. 17α/10/22/ΦΝ 437 ΓΕΝΙΚΗ ΓΡΑΜ. ΗΜΟΣΙΩΝ ΕΡΓΩΝ ΓΕΝ. /ΝΣΗ ΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΠΡΟΓ/ΤΟΣ /ΝΣΗ ΝΟΜΟΘΕΤΙΚΟΥ ΣΥΝΤ/ΣΜΟΥ &
Διαβάστε περισσότεραÁíáìüñöùóç ôïõ ÐñïãñÜììáôïò Ðñïðôõ éáêþí Óðïõäþí ôïõ ÔìÞìáôïò Ìáèçìáôéêþí ôïõ
ÔÏ ÅÑÃÏ ÓÕà ÑÇÌÁÔÏÄÏÔÅÉÔÁÉ ÁÐÏ ÔÏ ÅÕÑÙÐÁÉÊÏ ÊÏÉÍÙÍÉÊÏ ÔÁÌÅÉÏ ÊÁÉ ÁÐÏ ÅÈÍÉÊÏÕÓ ÐÏÑÏÕÓ Áíáìüñöùóç ôïõ ÐñïãñÜììáôïò Ðñïðôõ éáêþí Óðïõäþí ôïõ ÔìÞìáôïò Ìáèçìáôéêþí ôïõ Ðáíåðéóôçìßïõ Áèçíþí ìå Ýìöáóç óôçí ÐëçñïöïñéêÞ,
Διαβάστε περισσότερα3524 ÅÖÇÌÅÑÉÓ ÔÇÓ ÊÕÂÅÑÍÇÓÅÙÓ (ÔÅÕ ÏÓ ÄÅÕÔÅÑÏ)
F ÅÖÇÌÅÑÉÓ ÔÇÓ ÊÕÂÅÑÍÇÓÅÙÓ ÔÇÓ ÅËËÇÍÉÊÇÓ ÄÇÌÏÊÑÁÔÉÁÓ 3523 ÔÅÕ ÏÓ ÄÅÕÔÅÑÏ Áñ. Öýëëïõ 252 28 Öåâñïõáñßïõ 2002 ÁÐÏÖÁÓÅÉÓ Áñéè. 19306/Ã2 ÐñïãñÜììáôá Óðïõäþí Ôå íéêþí Åðáããåëìáôéêþí Åêðáéäåõôçñßùí (Ô.Å.Å.).
Διαβάστε περισσότεραÅÍÏÔÇÔÁ 5ç ÔÁ Ó ÇÌÁÔÁ
Ενότητα 5 Μάθημα 38 Ο κύκλος 1. Ná êáôáíïþóïõí ôçí Ýííïéá ôïõ êýêëïõ. 2. Ná ìüèïõí íá ñùôïýí êáé íá áðáíôïýí ó åôéêü ìå ôïí êýêëï. 1. Íá ðáßîïõí êáé íá ôñáãïõäþóïõí ôï «Ãýñù-ãýñù üëïé» êáé «To ìáíôçëüêé».
Διαβάστε περισσότεραÐÑÏÓÅÃÃÉÓÇ ÅËÁ ÉÓÔÙÍ ÔÅÔÑÁÃÙÍÙÍ
ÌÜèçìá 5 ÐÑÏÓÅÃÃÉÓÇ ÅËÁ ÉÓÔÙÍ ÔÅÔÑÁÃÙÍÙÍ 5.1 ÄéáêñéôÞ ðñïóýããéóç 5.1.1 ÅéóáãùãÞ Óôï ÌÜèçìá ÐïëõùíõìéêÞ ðáñåìâïëþ åîåôüóôçêå ôï ðñüâëçìá ôçò åýñåóçò ôïõ ðïëõùíýìïõ ðáñåìâïëþò, äçëáäþ ôïõ ðïëõùíýìïõ ðïõ
Διαβάστε περισσότεραÖÅÊ 816 ÅÖÇÌÅÑÉÓ ÔÇÓ ÊÕÂÅÑÍÇÓÅÙÓ (ÔÅÕ ÏÓ ÄÅÕÔÅÑÏ) ÏÄÇÃÉÅÓ ÐÁ ÔÇ ÓÕÌÐËÇÑÙÓÇ ÔÇÓ ÁÉÔÇÓÇÓ ÅÃÊÅÊÑÉÌÅÍÏÕ ÁÐÏÈÇÊÅÕÔÇ Ï ÇÌÁÔÙÍ 1. ÇÌÅÑÏÌÇÍÉÁ: ÁíáãñÜöåô
11544 ÅÖÇÌÅÑÉÓ ÔÇÓ ÊÕÂÅÑÍÇÓÅÙÓ (ÔÅÕ ÏÓ ÄÅÕÔÅÑÏ) ÖÅÊ 816 ÅÖÇÌÅÑÉÓ ÔÇÓ ÊÕÂÅÑÍÇÓÅÙÓ (ÔÅÕ ÏÓ ÄÅÕÔÅÑÏ) 11545 ÏÄÇÃÉÅÓ ÐÁ ÔÇ ÓÕÌÐËÇÑÙÓÇ ÔÇÓ ÁÉÔÇÓÇÓ ÅÃÊÅÊÑÉÌÅÍÏÕ ÁÐÏÈÇÊÅÕÔÇ Ï ÇÌÁÔÙÍ 1. ÇÌÅÑÏÌÇÍÉÁ: ÁíáãñÜöåôáé
Διαβάστε περισσότεραΣΕΡΙΦΟΣ ΣΕΡΙΦΟΥ ΓΑΛΑΝΗΣ
ΔΗΜΟΣ: ΣΕΡΙΦΟΣ ΣΕΡΙΦΟΥ ΓΑΛΑΝΗΣ ΟΙΚΙΣΜΟΣ: ΠΑΡΑΔΟΣΙΑΚΟΣ ÏÉÊÉÓÌÏÓ ÐÑÏÓÏ Ç: ÄåäïìÝíïõ üôé ðñüêåéôáé ãéá ðáñáäïóéáêü ïéêéóìü, ãéá ôïí õðïëïãéóìü ôçò áîßáò ôùí áêéíþôùí äåí åöáñìüæïíôáé ïé óõíôåëåóôýò ðñüóïøçò:
Διαβάστε περισσότεραÄÉÁÍÕÓÌÁÔÁ. ÌÜèçìá ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò Âáóéêïß ïñéóìïß
ÌÜèçìá 1 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÁ 1.1 ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò Óôï ìüèçìá áõôü èá äïèïýí ôá êõñéüôåñá óôïé åßá ôùí äéáíõóìüôùí, ðïõ åßíáé áðáñáßôçôá ãéá ôçí êáôáíüçóç ôùí åðüìåíùí ìáèçìüôùí. Ï áíáãíþóôçò, ãéá ìéá ðëçñýóôåñç
Διαβάστε περισσότεραÈåùñßá ÃñáöçìÜôùí: ÄÝíôñá
Èåùñßá ÃñáöçìÜôùí: ÄÝíôñá ÄçìÞôñçò ÖùôÜêçò ÔìÞìá Ìç áíéêþí Ðëçñïöïñéáêþí êáé Åðéêïéíùíéáêþí ÓõóôçìÜôùí ÐáíåðéóôÞìéï Áéãáßïõ, 83200 Êáñëüâáóé, ÓÜìïò Email: fotakis@aegean.gr 1 Ïñéóìüò íá ãñüöçìá ùñßò êýêëïõò
Διαβάστε περισσότερα* ΣΧΕΔΙΟ ΕΚΘΕΣΗΣ. EL Eνωμένη στην πολυμορφία EL 2014/0321(NLE)
ΕΥΡΩΠΑΪΚΟ ΚΟΙΝΟΒΟΥΛΙΟ 2014-2019 Επιτροπή Πολιτικών Ελευθεριών, Δικαιοσύνης και Εσωτερικών Υποθέσεων 23.3.2015 2014/0321(NLE) * ΣΧΕΔΙΟ ΕΚΘΕΣΗΣ σχετικά με τη σύσταση για απόφαση του Συμβουλίου για την προσχώρηση
Διαβάστε περισσότεραÅÑÃÁÓÉÁ ÃÉÁ ÔÏ ÌÁÈÇÌÁ: ÅÉÓÁÃÙÃÇ ÓÔÇÍÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ÁÍÁËÕÓÇ. ÅðéìïñöùôÞò: Â. Á. ÄÏÕÃÁËÇÓ
Åðéìïñöùôéêü Ðñüãñáììá Ãéá ôïõò Åêðáéäåõôéêïýò-Ìáèçìáôéêïýò óôï Ìáèçìáôéêü ôìþìá ôïõ Ðáíåðéóôçìßïõ Áèçíþí êáôü ôçí ðåñßïäï Äåêåìâñßïõ 2000-Éïõíßïõ 200 ìå Õðåýèõíï ôïí êáèçãçôþ Ð. ÓôñÜíôæáëï ÅÑÃÁÓÉÁ ÃÉÁ
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ενότητα 8: Προσέγγιση ολοκληρωμάτων Μέρος ΙΙ Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του
Διαβάστε περισσότεραΕΝΔΟΣΚΟΠΙΚΕΣ ΚΑΙ ΧΕΙΡΟΥΡΓΙΚΕΣ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΘΕΡΑΠΕΙΑΣ ΚΙΝΗΤΙΚΩΝ ΔΙΑΤΑΡΑΧΩΝ ΓΑΣΤΡΟΟΙΣΟΦΑΓΙΚΗΣ ΣΥΜΒΟΛΗΣ Εκπαιδευτικό Σεμινάριο.
ΕΝΔΟΣΚΟΠΙΚΕΣ ΚΑΙ ΧΕΙΡΟΥΡΓΙΚΕΣ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΘΕΡΑΠΕΙΑΣ ΚΙΝΗΤΙΚΩΝ ΔΙΑΤΑΡΑΧΩΝ ΓΑΣΤΡΟΟΙΣΟΦΑΓΙΚΗΣ ΣΥΜΒΟΛΗΣ Εκπαιδευτικό Σεμινάριο Τελικό Πρόγραμμα Β Χειρουργική και Γαστρεντερολογική κλινική, Ναυτικού Νοσοκομείου
Διαβάστε περισσότερα