ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Συστµατα µεταβλητς µάζας Μέχρι τώρα µελετσαµε την κίνηση υλικού σηµείου µε συγκεκριµένη µάζα m, η οποία παραµένει σταθερ. Θα εξετάσοµε τώρα την περίπτωση που η µάζα δεν είναι σταθερ, αλλά µεταβάλλεται µε τον χρόνο. Ας θεωρσοµε υλικό σηµείο µάζας (), που τη χρονικ στιγµ έχει ταχύτητα () και συνεπώς ορµ P = ( ). Ο εύτερος Νόµος του Νεύτωνα για αυτό το υλικό σηµείο µε τη µεταβλητ µάζα γράφεται ως dp( ) = F, (5.1) όπου F είναι η εξωτερικ δύναµη που ασκείται στο υλικό σηµείο. Για να κατανοσοµε την (5.1) καλύτερα γράφοµε προσεγγιστικά P( ) F. (5.2) Για να υπολογίσοµε τη µεταβολ της ορµς P γράφοµε την ορµ του συστµατος τη χρονικ στιγµ + και αφαιρούµε από αυτ την ορµ του συστµατος τη χρονικ στιγµ. Έστω ότι η µάζα του υλικού σηµείου τη χρονικ στιγµ + είναι +. Το µπορεί να είναι θετικό αρνητικό. Αν είναι θετικό σηµαίνει ότι η µάζα του υλικού σηµείου αυξάνεται µε τον χρόνο, ενώ αν είναι αρνητικό σηµαίνει ότι ελαττώνεται µε τον χρόνο. Αν θέλοµε να έχοµε µια συγκεκριµένη εικόνα στο µυαλό µας, τότε σκεπτόµαστε το υλικό σηµείο σαν πύραυλο και εποµένως <, δηλαδ τα καυσαέρια ελαττώνουν τη µάζα του πυραύλου. Επειδ µάζα δεν χάνεται, το σύστηµά µας τώρα αποτελείται αφενός από το υλικό σηµείο µε µάζα + και ταχύτητα + και αφετέρου από τη µάζα που κινείται, ας πούµε, µε ταχύτητα (). Έτσι η (5.2) γράφεται [( + )( + ) + ( ) ] F (5.3) και µε πράξεις έχοµε + + F. (5.4) Παίρνοµε τώρα το όριο και έχοµε Page 1 of 8
d d d + = F, (5.5) διότι ο τρίτος όρος στο αριστερό µέλος της (5.4) τείνει στο µηδέν αφού ο αριθµητς είναι διαφορικό δευτέρας τάξεως ενώ ο παρονοµαστς είναι διαφορικό πρώτης τάξεως. Τον όρο αυτόν µπορείτε να τον δείτε είτε ως είτε ως. Και στις δυο µορφές τείνει στο µηδέν για. Η εξίσωση (5.5) γράφεται ως d d ( ) = F (5.6) και αυτ είναι η εξίσωση κίνησης υλικού σηµείου µε µεταβλητ µάζα. Βλέποµε αµέσως ότι δεν θα παίρναµε τη σωστ εξίσωση κίνησης αν στην (5.1) αντικαθιστούσαµε το P µε το!!! Η εξίσωση κίνησης (5.5) γράφεται και ως όπου d d = F+ ( ) (5.7) d d = F+ σχετ, (5.8) σχετ είναι η σχετικ ταχύτητα της µάζας ως προς τη µάζα, π.χ. των καυσαερίων σε σχέση µε τον πύραυλο. d Στην περίπτωση πυραύλου, ο όρος σχετ λέγεται δύναµη προώθησης. Έτσι στον πύραυλο ασκείται η εξωτερικ δύναµη F d και η δύναµη προώθησης σχετ. Όσο πιο γργορα (σε σχέση µε τον πύραυλο) εκτοξεύονται τα καυσαέρια και όσο d µεγαλύτερος είναι ο ρυθµός κατανάλωσης καυσίµου, τόσο µεγαλύτερη είναι η προωθητικ δύναµη. Παράδειγµα 5.1: Ένας πύραυλος, που εκτοξεύεται τη χρονικ στιγµ = κατακόρυφα προς τα πάνω από ακινησία, καίει καύσιµο µε σταθερό ρυθµό d = λ, όπου λ >, είναι η στιγµιαία µάζα του πυραύλου και είναι η αρχικ µάζα του. Η σχετικ ταχύτητα των καυσαερίων ως προς τον πύραυλο είναι = σταθερ = k ˆ,. Τριβές δεν υπάρχουν. Να βρεθεί η ταχύτητα του σχετ > Page 2 of 8
πυραύλου στα πρώτα στάδια της εκτόξευσης, δηλαδ όταν ο πύραυλος είναι κοντά στη Γη, όπου το πεδίο βαρύτητας είναι σταθερό. Λύση: Η εξίσωση κίνησης (5.8), για κίνηση στον κατακόρυφο άξονα που τον παίρνοµε να έχει φορά προς τα πάνω, είναι d kˆ = gkˆ + ( kˆ)( λ ) d = g+ λ. (*) Με άλλα λόγια, δεν χρειάζεται να βάζοµε το µοναδιαίο διάνυσµα του άξονα όταν όλοι οι όροι έχουν το ίδιο µοναδιαίο διάνυσµα. Αλλά, επειδ τα καύσιµα καίγονται µε σταθερό ρυθµό λ, η µάζα του πυραύλου την τυχούσα χρονικ στιγµ > είναι = λ, όπου θεωρσαµε ότι η µάζα του πυραύλου αποτελείται ουσιαστικά από καύσιµα. Συνεπώς η εξίσωση κίνησης (*) γράφεται ως d λ = g+ λ λ d = g +. λ Ολοκληρώνοντας αµφότερα τα µέλη έχοµε λ = g + + C, λ όπου C είναι αυθαίρετη πραγµατικ σταθερά. Αυτ γράφεται ως λ) = g + C, λ = g ln λ + C. Από τις αρχικές συνθκες έχοµε ότι ( ) =, που συνεπάγεται ότι C = ln και η ζητούµενη λύση είναι = g + ln. λ Page 3 of 8
Το αποτέλεσµα έχει διαστάσεις ταχύτητας και η ποσότητα που λογαριθµίζεται είναι αδιάστατη, όπως πρέπει. Για και λ αρκετά µεγάλα, ο δεύτερος όρος είναι µεγαλύτερος από τον πρώτο και ο πύραυλος εκτοξεύεται. Παρατρηση: Θα µπορούσαµε να µην έχοµε αντικαταστσει το () µε λ και να γράφαµε την εξίσωση (*) ως d d = g + = g+ d d = g d d και µε ορισµένα ολοκληρώµατα d = g d ( ) = g + ln, που είναι το ίδιο µε αυτό που βρκαµε πριν. Παράδειγµα 5.2: Πλαστικ µπάλα αµελητέας µάζας περιέχει πεπιεσµένο αέρα µάζας. Τη χρονικ στιγµ = η µπάλα βάλλεται στο επίπεδο υπό γωνία θ ως προς τον οριζόντιο άξονα, µε αρχικ ταχύτητα >. Για > µια µικρ τρύπα στη µπάλα αφνει αέρα να διαρρέει µε σταθερό ρυθµό λ > και σταθερ ταχύτητα ως προς τη µπάλα σχετ = σταθερ = iˆ 1, 1 >. Το πεδίο βαρύτητας είναι σταθερό και τριβές δεν υπάρχουν. Α) Να γραφεί η εξίσωση κίνησης της µπάλας υπό µορφ συνιστωσών Β) Να βρεθεί η συνιστώσα της ταχύτητας της µπάλας ως συνάρτηση του χρόνου. Γ) Να βρεθεί η συνιστώσα της ταχύτητας της µπάλας ως συνάρτηση του χρόνου. ) Οι λύσεις που βρκατε σας ικανοποιούν; Ναι, όχι και γιατί; Λύση: Από την εξίσωση (5.8) έχοµε iˆ + kˆ) = gkˆ + ( iˆ)( 1 λ ). Α) Εξισώνοντας χωριστά τους όρους του î και τους όρους του kˆ παίρνοµε Page 4 of 8
Β) Για τη λύση της πρώτης γράφοµε Συνεπώς d d d = 1 λ, d = g. 1 λ d = 1λ = λ 1λ = λ cosθ Γ) Για τη λύση της δεύτερης γράφοµε 1λ d =. λ = cosθ + 1 ln. λ που τη λύση της d ( = g, ) = sinθ g την είδαµε στο Παράδειγµα 2.1. ) Οι λύσεις είναι ικανοποιητικές διότι στην άξονα έχοµε ελεύθερη πτώση στο σταθερό πεδίο βαρύτητας, ενώ στον άξονα υπάρχει δύναµη προώθησης που αυξάνει την ταχύτητα. Παράδειγµα 5.3: Πλαστικ σφαιρικ µπάλα αµελητέας µάζας περιέχει πεπιεσµένο αέρα µάζας και κινείται χωρίς τριβές και επίδραση εξωτερικών δυνάµεων µε ταχύτητα = iˆ, >, έτσι ώστε το κέντρο της µπάλας να είναι πάνω στον άξονα. Τη χρονικ στιγµ = ανοίγει µια σηµειακ τρύπα στην επιφάνεια της µπάλας τέτοια ώστε η ευθεία που ενώνει την τρύπα µε το κέντρο της σφαίρας να είναι στο οριζόντιο επίπεδο και κάθετη στον άξονα. Θεωρείστε ότι η τρύπα αφνει αέρα να διαρρέει µε σταθερό ρυθµό λ > και σταθερ ταχύτητα = σταθερ = ˆ j, >. Α) Να γραφεί η εξίσωση κίνησης της µπάλας υπό µορφ συνιστωσών Β) Να βρεθεί η συνιστώσα της ταχύτητας της µπάλας ως συνάρτηση του χρόνου. Γ) Να βρεθεί η συνιστώσα της ταχύτητας της µπάλας ως συνάρτηση του χρόνου. Λύση: Από την εξίσωση (5.5) έχοµε iˆ + ˆ) j + ( iˆ + ˆ) j d d ( ˆ) j =. Α) Εξισώνοντας χωριστά τους όρους του î και τους όρους του ĵ παίρνοµε Page 5 of 8
d + d =, (**) d + d d =. Β) Για τη λύση της πρώτης γράφοµε µετά από πολλαπλασιασµό µε Ολοκληρώνοντας κατά µέλη έχοµε d d + d = d =. = d d ln = ln = ln ln = ln = ln λ =,. λ =,. Αυτ η λύση ταν αναµενόµενη αφού η σχέση (**) γράφεται ως ) = = σταθερό =. Γ) Για τη δεύτερη γράφοµε d ) ( ) + λ = = λ ) = λ. Με ολοκλρωση αµφοτέρων των µελών έχοµε = λ+ C, Page 6 of 8
όπου η σταθερά C = λόγω αρχικών συνθηκών. Έτσι λ =. λ Άσκηση 5.1: Ένας πύραυλος ξεκινά τη χρονικ στιγµ = από ηρεµία στη θέση = και κινείται κατά µκος του οριζοντίου άξονα. Ο ρυθµός µε τον οποίο καίει d καύσιµα είναι = λ, όπου λ > και είναι η στιγµιαία µάζα του πυραύλου. Η σχετικ ταχύτητα των καυσαερίων ως προς τον πύραυλο είναι σχετ = σταθερ = iˆ, >. Η µάζα του πυραύλου (δηλαδ το µεταλλικό µέρος) είναι π και η αρχικ µάζα των καυσίµων είναι κ. Θεωρείστε ότι τριβές και βαρύτητα δεν υπάρχουν. Να βρεθεί η ταχύτητα του πυραύλου για >. Απάντηση: π + κ = ln. + λ π κ Άσκηση 5.2: Θεωρείστε οµογεν αλυσίδα µκους L και µάζας στον οριζόντιο άξονα µεταξύ των σηµείων = και = L. Ένας κινούµενος γερανός πιάνει τη χρονικ στιγµ = το άκρο της αλυσίδας που είναι στο = L και αρχίζει να ανυψώνει την αλυσίδα µε σταθερ ταχύτητα >, έτσι ώστε το ανυψωµένο κοµµάτι της αλυσίδας να είναι πάντοτε κατακόρυφο. Να βρεθεί η δύναµη που ασκεί ο γερανός ως συνάρτηση του χρόνου, µέχρι να ανυψωθεί πλρως η αλυσίδα. Απάντηση: ( g F = + < < L ), L Άσκηση 5.3: Μια σταγόνα νερού σχηµατίζεται τη χρονικ στιγµ = σε ένα ακίνητο σύννεφο και αρχίζει να πέφτει λόγω βαρύτητας. Καθώς πέφτει, η µάζα της αυξάνεται µε ρυθµό ανάλογο της στιγµιαίας µάζας της, µε σταθερά αναλογίας λ >. Να βρεθεί η ταχύτητα της σταγόνας για >. d ίνεται ότι η γενικ λύση της διαφορικς εξίσωσης +λ = g είναι g λ = + Ce, όπου C είναι αυθαίρετη πραγµατικ σταθερά. λ g λ Απάντηση: ) = ( 1 e ) (. λ Άσκηση 5.4: Μια σταγόνα νερού σχηµατίζεται τη χρονικ στιγµ = σε ένα ακίνητο σύννεφο στη θέση = και αρχίζει να πέφτει λόγω βαρύτητας. Θεωρείστε Page 7 of 8
τον κατακόρυφο άξονα προς τα κάτω. Καθώς πέφτει, η µάζα της αυξάνεται µε ρυθµό ανάλογο του γινοµένου της στιγµιαίας µάζας της και της ταχύτητάς της, µε σταθερά αναλογίας κ >. Να βρεθεί η ταχύτητα της σταγόνας για > ως συνάρτηση της θέσης. d d d d 1 d 2 Υπόδειξη: Χρησιµοποιείστε τη σχέση = = = ( ). d d 2 d g 2κ Απάντηση: ( ) ( 1 e ) =. κ Άσκηση 5.5: Πλαστικ σφαιρικ µπάλα αµελητέας µάζας περιέχει πεπιεσµένο αέρα µάζας και κινείται χωρίς τριβές και επίδραση εξωτερικών δυνάµεων µε ταχύτητα = iˆ, >, έτσι ώστε το κέντρο της µπάλας να είναι πάνω στον άξονα. Τη χρονικ στιγµ = ανοίγει µια σηµειακ τρύπα στην επιφάνεια της µπάλας τέτοια ώστε η διαρρο του αέρα να γίνεται µε σχετικ ταχύτητα ως προς τη µπάλα σχετ = σταθερ = ˆ j, >. Θεωρείστε ότι η τρύπα αφνει αέρα να διαρρέει µε σταθερό ρυθµό λ > και ότι βαρύτητα δεν υπάρχει. Α) Να γραφεί η εξίσωση κίνησης της µπάλας υπό µορφ συνιστωσών Β) Να βρεθεί η συνιστώσα της ταχύτητας της µπάλας ως συνάρτηση του χρόνου. Γ) Να βρεθεί η συνιστώσα της ταχύτητας της µπάλας ως συνάρτηση του χρόνου. Απάντηση: Β) =. Γ) = ln. λ Page 8 of 8