Σημειω σεις Μεταπτυχιακη ς Θεωρι ας Ομα δων

Σημειω σεις Μεταπτυχιακη ς Θεωρι ας Ομα δων Β. Μεταφτση ς 15 Δεκεμβρι ου 2016 1 Παραστάσεις Ομάδων Έστω a, b, c,... ε να συ νολο απο διακριτα συ μβολα και a 1, b 1, c 1,... νε α συ μβολα. Μια λέξη W στα a, b, c,... ει ναι μια πεπερασμε νη ακολουθι α f 1 f 2... f n ο που κα θε f i {a, b, c,..., a 1, b 1, c 1,...}. Συμβολι ζουμε την κενη λε ξη με 1 και συνεχο μενα ι δια συ μβολα τα γρα φουμε εκθετικα, για παρα δειγμα η λε ξη abbaccba 1 a 1 a 1 bc γρα φεται ab 2 ac 2 ba 3 bc. Η αντίστροφη μιας λε ξης W = f 1... f n ει ναι η λε ξη W 1 = fn 1 fn 1 1... f 1 1 ο που (a 1 ) 1 = a, (b 1 ) 1 = b, (c 1 ) 1 = c.... Αν W, U λε ξεις στα a, b, c,..., ορι ζουμε το παραθετικό γινόμενο των W, U να ει ναι η λε ξη στα a, b, c,... που προκυ πτει απο την παρα θεση των συμβο λων των δυ ο λε ξεων. Έστω ϕ μια συνα ρτηση απο τα συ μβολα a, b, c,... στην ομα δα G με ϕ(a) = g, f(b) = h, ϕ(c) = k,.... Το τε λε με ο τι το a ορίζει (με σω της ϕ) το g, το b ορι ζει το h κλπ. Επι σης, αν W ει ναι μια λε ξη W = f 1... f n το τε η W ορι ζει το στοιχει ο g 1... g n στην G αν το f i ορι ζει το g i στην G. Προφανω ς αν οι λε ξεις U, V ορι ζουν τα στοιχει α p, q αντι στοιχα στην G το τε τα U 1 και V 1 ορι ζουν τα στοιχει α p 1, q 1 και το UV ορι ζει το στοιχει ο pq στην G. Αν κα θε στοιχει ο της G ορι ζεται απο μια λε ξη στα a, b, c,... το τε τα a, b, c,... ονομα ζονται σύστημα γεννητόρων της G (με σω της ϕ) και τα a, b, c,... λε γονται γεννήτορες της G. Έστω τω ρα a, b, c,... ε να συ νολο γεννητο ρων μιας ομα δας G. Μια λε ξη R(a, b, c,...) η οποι α ορι ζει το ταυτοτικο στοιχει ο στην G καλει ται σχετιστής. Η εξι σωση R(a, b, c,...) = S(a, b, c,...) καλει ται σχέση αν η λε ξη RS 1 ει ναι σχετιστη ς της G. Σε κα θε ομα δα οι λε ξεις aa 1, a 1 a, bb 1, b 1 b,... ει ναι σχετιστε ς και ονομα ζονται τετριμμένοι σχετιστές. Ας υποθε σουμε τω ρα ο τι P, Q, R,... ει ναι σχετιστε ς στην G. Λε με ο τι μια λε ξη W προκυ πτει απο τους P, Q, R,... η εφαρμογη των παρακα τω κινη σεων πεπερασμε νες φορε ς αλλα ζει την W στην κενη λε ξη: 1. Εισαγωγη μιας απο τις λε ξεις P, P 1, Q, Q 1, R, R 1,... η ενο ς τετριμμε νου σχετιστη α- να μεσα σε δυο συνεχο μενα συ μβολα της W η στην αρχη της W η στο τε λος της W. 2. Διαγραφη μιας απο τις λε ξεις P, P 1, Q, Q 1, R, R 1,... η ενο ς τετριμμε νου σχετιστη αν αυτο ς εμφανι ζεται απο συνεχο μενα συ μβολα της W. Ει ναι προφανε ς ο τι αν η W προκυ πτει απο τους P, Q, R,... το τε ει ναι και αυτη σχετιστη ς. Αν κα θε σχετιστη ς μιας ομα δας G προκυ πτει απο τους σχετιστε ς P, Q, R,... το τε λε με ο τι τα P, Q, R,... ει ναι ε να συ νολο οριζόμενων σχέσεων η ε να πλήρες σύνολο σχετιστών της G, για τους γεννη τορες a, b, c,.... Αν τα a, b, c,... ει ναι ε να συ στημα γεννητο ρων και P, Q, R,... ε να πλη ρες συ στημα σχετιστω ν το τε η a, b, c,... P, Q, R,... ει ναι μια παρα σταση της G. 1

Μια ομα δα λε γεται πεπερασμένα παραγόμενη αν τα a, b, c,... ει ναι πεπερασμε νο συ νολο. Αν επιπλε ον και οι P, Q, R,... ει ναι πεπερασμε νοι το τε λε με ο τι η G ει ναι μια πεπερασμένη παράσταση. Π 1.1. Η a, b a 2 = 1, b 2 = 1, ab = ba ει ναι μια παρα σταση της Z 2 Z 2. Κα θε ομα δα ε χει μια παρα σταση. Αρκει να πα ρουμε σαν συ νολο γεννητο ρων κα θε στοιχει ο της ομα δας και να προσθε σουμε ο λους τους σχετιστε ς που προκυ πτουν απο τον πι νακα πολλαπλασιασμου της ομα δας. Αν και ο χι πολυ κομψη, εξακολουθει να ει ναι μια παρα σταση της ομα δας. Α 1.1. 1. Δει ξτε ο τι η ομα δα με παρα σταση a, b a 3 = b 2 = 1, ab = ba 2 ε χει τα ξη 6 και ει ναι ισο μορφη με την S 3 την συμμετρικη ομα δα σε τρι α στοιχει α. 2. Δει ξτε ο τι η ομα δα με παρα σταση a, b, c a 3 = b 2 = c 2 = 1, ab = ba 2, ac = ca, bc = cb ε χει τα ξη 12. 3. Δει ξτε ο τι η ομα δα με παρα σταση a, b a n = b 2 = 1, ab = ba 1 ε χει ( τα ) ξη 2n και ει ναι ε k ισο μορφη με την ομα δα πινα κων με στοιχει α απο το Z n της μορφη ς ο που ε = ±1 0 1 και k Z n. 2 Η ελεύθερη ομάδα Η ελευ θερη ομα δα σε n γεννη τορες x 1,..., x n ει ναι η ομα δα με παρα σταση x 1,..., x n. Με α λλα λο για, οι μο νοι σχετιστε ς που υπα ρχουν στην ομα δα ει ναι οι τετριμμένοι σχετιστές δηλαδη σχετιστε ς της μορφη ς x ε i x ε i. Για λο γους απλο τητας η παραπα νω ομα δα συμβολι ζεται με F n = x 1,..., x n. Βασικο χαρακτηριστικο της ελευ θερης ομα δας ει ναι η καθολικο τητα της: Αν G ει ναι μια ομα δα με n γεννη τορες το τε υπα ρχει ομομορφισμο ς ϕ : F n G. Ο ομομορφισμο ς αυτο ς επεκτει νει την 1-1 απεικο νιση που υπα ρχει μεταξυ των γεννητο ρων της F n και της G. Μια ελεύθερα ανηγμένη λε ξη στα x 1,..., x n ει ναι μια λε ξη στην οποι α τα συ μβολα x ε i x ε i δεν εμφανι ζονται. Μια κυκλικά ανηγμένη λε ξη ει ναι μια ανηγμε νη λε ξη που δεν ξεκινα ει με x ε i και τελειω νει με x ε i. Δυ ο λε ξεις W 1, W 2 λε γονται ελεύθερα ίσες (και συμβολι ζουμε W 1 W 2 ) αν ορι ζουν το ι διο αρχικο στοιχει ο στην F n. Με α λλα λο για, η W 1 μπορει να μετατραπει στην W 2 με εισαγωγη η διαγραφη των τετριμμε νων σχετιστω ν x ε i x ε i. Προφανω ς, κα θε λε ξη ει ναι ελευ θερα ι ση με μια ελευ θερα ανηγμε νη λε ξη. Αυτο μας οδηγει στο παρακα τω: Θ 2.1. Κα θε στοιχει ο της ελευ θερης ομα δας F n με γεννη τορες x 1,..., x n ορι ζεται απο μια μοναδικη ελευ θερα ανηγμε νη λε ξη. Δηλαδη, κα θε λε ξη στα x 1,..., x n ει ναι ελευ θερα ι ση με μια μοναδικη ελευ θερα ανηγμε νη λε ξη. Απόδειξη. Θα περιγρα ψουμε μια διαδικασι α με την οποι α κα θε λε ξη ανα γεται σε μια ελευ θερα ανηγμε νη λε ξη. Την διαδικασι α αυτη την ονομα ζουμε ρ και ορι ζεται επαγωγικα ως εξη ς: ρ(1) = 1, p(x ε i ) = xε i και αν p(u) = xn 1 m 1... x nq m q το τε { ρ(ux ε x n 1 m i ) = 1... x nq m q x ε i αν m q i η n q ε x n 1 m 1... x n q 1 m q 1 αν m q = i και n q = ε Ευ κολα μπορει να δει ξει κανει ς ο τι η ρ ικανοποιει τις παρακα τω ιδιο τητες: 2

1. Η ρ(w ) ει ναι ελευ θερα ανηγμε νη λε ξη. 2. ρ(w ) W. 3. Αν η V ει ναι ελευ θερα ανηγμε νη το τε ρ(v ) = V. 4. ρ(w 1 W 2 ) = ρ(p(w 1 ) W 2 ). 5. ρ(w x ε i x ε i ) = ρ(w ). 6. ρ(w x ε i x ε i W 2 ) = ρ(w 1 W 2 ). Έστω τω ρα U, T δυ ο λε ξεις της ομα δας με U T. Το τε μπορου με να βρου με ακολουθι α λε ξεων U = U 1,..., U k = T ω στε κα θε μια να προκυ πτει απο την προηγου μενη με προσθη κη η διαγραφη μιας τετριμμε νης σχε σης. Άρα απο τις ιδιο τητες της ρ ε χουμε ο τι ρ(u i ) = ρ(u i+1 ) και α ρα ρ(u) = ρ(t ). Δει ξαμε λοιπο ν ο τι αν ε χουμε δυ ο ελευ θερα ι σες σχε σεις το τε η ρ τις οδηγει στην ι δια ελευ θερα ανηγμε νη σχε ση. Τε λος, αν U V και V ελευ θερα ανηγμε νη το τε ρ(u) = ρ(v ) = V και α ρα κα θε λε ξη ει ναι ελευ θερα ι ση με μια μοναδικη ελευ θερα ανηγμε νη λε ξη, την ρ(u). Α 2.1. Να αποδει ξετε τις παραπα νω 6 ιδιο τητες της ρ. Π 2.1 (Προ βλημα Λε ξης). Αν F n μια ελευ θερη ομα δα στους γεννη τορες x 1,..., x n το τε μπορω να αποφασι σω σε πεπερασμε να βη ματα αν μια λε ξη ορι ζει το ουδε τερο στοιχει ο στην F n. Απόδειξη. Αν το W ορι ζει το ταυτοτικο στοιχει ο της F n το τε το ρ(w ) πρε πει να ει ναι 1. Όμως το ρ(w ) μπορει να υπολογιστει σε πεπερασμε να βη ματα. Π 2.2. Αν F n ει ναι η ελευ θερη ομα δα στα x 1,..., x n το τε κα θε μη τετριμμε νο στοιχει ο της ομα δας ε χει α πειρη τα ξη. Απόδειξη. Έστω W = x ε 1 s 1... x ε k sk μια ελευ θερα ανηγμε νη λε ξη με W 1. Αν η W ει ναι επι σης κυκλικα ανηγμε νη το τε s 1 s k η ε 1 ε k. Άρα W p = x ε 1 s 1... x ε k sk x ε 1 s 1... x ε k sk... x ε 1 s 1... x ε k sk. Όμως το τε η W p ει ναι ελευ θερα ανηγμε νη α ρα δεν μπορει ποτε (για κανε να p > 0) να ορι ζει το ουδε τερο στοιχει ο. Συνεπω ς το στοιχει ο W ε χει α πειρη τα ξη. Αν τω ρα η W δεν ει ναι κυκλικα ανηγμε νη. Το τε το W ει ναι συζυγε ς μιας κυκλικα ανηγμε νης λε ξης V και α ρα W = UV U 1 με V 1 εφο σον W 1. Όμως η V ει ναι κυκλικα ανηγμε νη συνεπω ς ε χει α πειρη τα ξη απο το προηγου μενο. Άρα και η W ε χει α πειρη τα ξη. Παρατηρη στε ο τι μια ελευ θερη ομα δα μπορει να δι νεται απο μια παρα σταση σε α λλους, ο χι ελευ θερους γεννη τορες. Για παρα δειγμα η ομα δα a, b, c ab 2 = 1 ει ναι ελευ θερη στα a, c αλλα ο χι στα a, b, c. Ένα λιγο τερο προφανε ς παρα δειγμα ει ναι η ομα δα με παρα σταση a, b, c a 2 b(ac) 2 ab = 1, η οποι α ει ναι ελευ θερη στα ab και ac (γιατι?). Δυστυχω ς ε χει αποδειχθει ο τι δεν υπα ρχει αλγο ριθμος που να αποφασι ζει αν μια παρα σταση ορι ζει μια ελευ θερη ομα δα η ο χι. 3

3 Μετασχηματισμοί Tietze Μια ομα δα μπορει να ε χει πολλε ς παραστα σεις. Γενικα, αν a 1..., a n,... R 1, R 2,... και a 1..., a n,... S 1, S 2,... παραστα σεις της ομα δας G το τε το συ νολο των οριζουσω ν σχε σεων R 1, R 2,... μπορει να προκυ ψει απο το S 1, S 2,... και αντι στροφα, μιας και οι S 1, S 2,... ει ναι σχετιστε ς και α ρα προκυ - πτουν απο τις ορι ζουσες σχε σεις R 1, R 2,.... Και φυσικα και το αντι στροφο. Επιπλε ον διαφορετικε ς παραστα σεις της G μπορου ν να προκυ ψουν και απο διαφορετικα συ νολα γεννητο ρων. To 1908 o Tietze ε δειξε ο τι για οποιαδη ποτε παρα σταση της ομα δας G, οποιαδη ποτε α λλη παρα σταση της G μπορει να προκυ ψει με εφαρμογη των παρακα τω μετασχηματισμω ν: (T1) Αν οι λε ξεις S, T,... προκυ πτουν απο τις P, Q, R... το τε μπορω να προσθε σω τις S, T,... στις ορι ζουσες σχε σεις της παρα στασης. (T2) Αν κα ποιοι απο τους σχετιστε ς S, T,... που ανη κουν στις ορι ζουσες σχε σεις P, Q, R... προκυ πτουν απο τους υπο λοιπους το τε μπορου με να σβη σουμε τις S, T,... απο τις ορι ζουσες σχε σεις. (T3) Αν K, M,... ει ναι λε ξεις στα a, b, c,... το τε μπορου με να προσθε σουμε τα συ μβολα x, y,... στους γεννη τορες της παρα στασης και τους σχετιστε ς x = K, y = M,... στις ορι ζουσες σχε σεις της παρα στασης. (T4) Αν κα ποιες απο τις ορι ζουσες σχε σεις παι ρνουν την μορφη p = V, q = W,... ο που p, q,... ει ναι γεννη τορες και V, W,... ει ναι λε ξεις στους γεννη τορες εκτο ς των p, q,... το τε μπορου με να σβη σουμε τους γεννη τορες p, q,... απο τους γεννη τορες της παρα στασης και τις σχε σεις p = V, q = W,... απο τις σχε σεις της παρα στασης αφου πρω τα αντικαταστη - σουμε τα p, q,... με V, W,... στις υπο λοιπες σχε σεις της παρα στασης. Οι (T1), (Τ2), (Τ3) και (T4) λε γονται μετασχηματισμοί Tietze. Οι μετασχηματισμοι αυτοι δεν αλλα ζουν την ομα δα G που δι νεται απο την παρα σταση. Θ 3.1. Αν δι νονται δυ ο παραστα σεις για την ομα δα G, a 1, a 2,... R 1, R 2,... και b 1, b 2,... S 1, S 2,... το τε η μια παρα σταση μπορει να προκυ ψει απο την α λλη με εφαρμογη των μετασχηματισμω ν Tietze. Απόδειξη. Έστω η πρω τη παρα σταση. Εφο σον τα b 1, b 2,... ει ναι στοιχει α της G μπορου ν να γραφου ν σαν λε ξεις στα a 1, a 2,.... Έστω b 1 = B 1 (a 1, a 2,...), b 2 = B 2 (a 1, a 2,...),.... Χρησιμοποιω ντας τον (T3) μπορου με να τις προσθε σουμε στην αρχικη παρα σταση η οποι α γι νεται a 1, a 2,..., b 1, b 2,... R 1, R 2,..., b 1 = B 1, b 2 = B 2,... Τω ρα τα S 1, S 2,... ει ναι σχετιστε ς στους γεννη τορες της νε ας παρα στασης επομε νως χρησιμοποιω ντας την (T1) μπορου με να προσθε σουμε και αυτου ς στην παραπα νω παρα σταση και ε χουμε a 1, a 2,..., b 1, b 2,... R 1, R 2,..., b 1 = B 1, b 2 = B 2,..., S 1, S 2,.... 4

Τω ρα θε λουμε να εκφρα σουμε τα a 1, a 2,... ως προς τα b 1, b 2,.... Όμως αυτο ει ναι εφικτο μιας και τα b 1, b 2,... ει ναι συ στημα γεννητο ρων της G. Άρα ε χουμε σχετιστε ς της μορφη ς a 1 = A(b 1, b 2,...), a 2 = A(b 1, b 2,...),.... Προσθε τουμε τις παραπα νω σχε σεις στην παρα σταση χρησιμοποιω ντας την (T3) και ε χουμε a 1, a 2,..., b 1, b 2,... R 1, R 2,..., b 1 = B 1, b 2 = B 2,..., S 1, S 2,..., a 1 = A 1, a 2 = A 2,.... Όμως τω ρα μπορου με να σβη σουμε τα a 1, a 2,... αφου πρω τα τα αντικαταστη σουμε στα R 1, R 2,..., b 1 = B 1, b 2 = B 2,.... Στην συνε χεια μπορου με να σβη σουμε και τους υπο λοιπους σχετιστε ς, εκτο ς των S 1, S 2,... μιας και ξε ρουμε ο τι αποτελου ν ε να πλη ρες συ στημα σχετιστω ν. Π 3.1. Η ομα δα με παρα σταση a, b aba = bab ει ναι ισομορφικη με την c, d c 3 = d 2. Πρα γματι, ξεκινα ω με την παρα σταση a, b aba = bab. Θε τω c = ab και d = ada. Προσθε τω επιπλε ον γεννη τορες και σχε σεις και ε χω a, b, c, d c = ab, d = aba, aba = bab. Παρατηρω ο τι a = cb 1, και αντικαθιστω το a παντου a, b, c, d a = cb 1, d = cb 1 bcb 1, cb 1 bcb 1 = bcb 1 b. Διαγρα φω τον γεννη τορα a και την σχε ση a = cb 1 και ε χω b, c, d d = c 2 b 1, c 2 b 1 = bc. Βλε πω ο τι c 2 d = b 1 δηλαδη b = d 1 c 2. Αντικαθιστω το b και παι ρνω b, c, d b = d 1 c 2, c 2 c 2 d = d 1 c 2 c, και στην συνε χεια διαγρα φω το b και την αντι στοιχη σχε ση και παι ρνω Π 3.1. Οι παραστα σεις c, d d = d 1 c 3 δηλαδη c, d d 2 = c 3. a 1, a 2,..., a n R 1, R 2,..., R m και b 1, b 2,..., b k S 1, S 2,..., S l μπορου ν να μετασχηματιστου ν η μια στην α λλη με πεπερασμε νο πλη θος μετασχηματισμω ν Tietze. 4 Cayley γραφήματα Ο ς 4.1. Έστω G μια ομα δα και M ε να συ νολο. Θα λε με ο τι η G δρα στο M απο τα α- ριστερα αν για κα θε g G και για κα θε m M ορι ζεται ε να στοιχει ο gm M ε τσι ω στε g 1 (g 1 m) = (g 2 g 1 )m και 1m = m για κα θε m M και για κα θε g 1, g 2 G. Όμοια μπορει να ορι σει κανει ς και την δεξια δρα ση μιας ομα δας σε ε να συ νολο. Μια δρα ση λε γεται μεταβατική αν για κα θε δυ ο στοιχει α m, m M υπα ρχει g G ω στε gm = m. Η δρα ση θα λε γεται πιστή αν για κα θε g G υπα ρχει m M ω στε gm m. Το συ νολο {g G gm = m για κα θε m M} λε γεται πυρήνας της δρα σης και ει ναι υποομα δα της G. Απο τα παραπα νω φαι νεται ο τι μια δρα ση ει ναι πιστη αν και μο νο αν ο πυρη νας ει ναι τετριμμε νος. 5

Α 4.1. 1. Δει ξτε ο τι ο πυρη νας της δρα σης ει ναι υποομα δα της G 2. Δει ξτε ο τι μια δρα ση ει ναι πιστη αν και μο νο αν ο πυρη νας της ει ναι η τετριμμε νη υποομα δα. H τροχιά ενο ς στοιχει ου m M ει ναι το υποσυ νολο O(m) = {gm g G} του M. Τα στοιχει α που ανη κουν στην ι δια τροχια λε γονται G-ισοδυ ναμα. Η σταθεροποιούσα ενο ς m M ει ναι το υποσυ νολο του G, St(m) = {g G gm = m}. Η σταθεροποιου σα ενο ς στοιχει ου ει ναι υποομα δα της G. Α 4.2. Δει ξτε ο τι η σταθεροποιου σα ενο ς στοιχει ου ει ναι υποομα δα. Π 4.1. Αν ε χουμε μια αριστερη δρα ση της G στο M, πα ντα μπορου με να ορι σουμε μια δεξια δρα ση του G στο M θε τοντας mg = g 1 m. Α 4.3. Δει ξτε ο τι η συνα ρτηση που ορι στηκε στην παραπα νω παρατη ρηση ει ναι δρα ση. Ο ς 4.2. Ένα γρα φημα X ει ναι μια πεντα δα που αποτελει ται απο ε να μη κενο συ νολο κορυφω ν X 0, ε να συ νολο ακμω ν X 1 και τρεις απεικονι σεις α : X 1 X 0 (την αρχικη κορυφη μιας ακμη ς), ω : X 1 X 0 (την τελικη κορυφη μιας ακμη ς) και : X 1 X 1 (την αντι στροφη μιας ακμη ς) ω στε e = e, e e και α(e) = ω(e) για κα θε e X 1. Ένα γρα φημα λε γεται πεπερασμένο αν το συ νολο των κορυφω ν και ακμω ν του γραφη ματος ει ναι πεπερασμε νο. Η ε ννοια του υπογραφήματος ορι ζεται με τον φυσικο τρο πο. Το ευθυ γινο μενο γραφημα των X και Y συμβολι ζεται με X Y και ει ναι το γρα φημα με συ - νολο κορυφω ν X 0 Y 0, συ νολο ακμω ν X 1 Y 1 ε τσι ω στε α((e, e )) = (α(e), α(e )), ω((e, e )) = (w(e), w(e )) και (e, e ) = (e, e ) για κα θε ζευ γος (e, e ) X 1 Y 1. Ένας μορφισμο ς απο το X στο Y ει ναι μια απεικο νιση p απο το συ νολο κορυφω ν και ακμω ν του στο συ νολο κορυφω ν και ακμω ν του Y που στε λνει κορυφε ς σε κορυφε ς, ακμε ς σε ακμε ς και ικανοποιει τις συνθη κες p(α(e)) = α(p(e)), p(ω(e)) = ω(p(e)), p(e) = p(e) για κα θε e X 1. Για συντομι α γρα φουμε p : X Y. Ένας μορφισμο ς λε γεται ισομορφισμός αν ει ναι 1-1 και επι. Ένας ισομορφισμο ς απο ε να γρα φημα στον εαυτο του λε γεται αυτομορφισμός. Μερικε ς φορε ς χρεια ζεται να ξεχωρι ζουμε μια κορυφη στο γρα φημα X, ε στω x. Το τε συμβολι ζουμε το γρα φημα με (X, x). Επι σης γρα φουμε p : (X, x) (Y, y) αν ο p ει ναι μορφισμο ς γραφημα των και p(x) = y. Το αστέρι μιας κορυφη ς x X 1, ει ναι το συ νολο των ακμω ν με αρχικη κορυφη το x. Η πληθυκότητα η ο βαθμός μιας κορυφη ς ει ναι η πληθυκο τητα του αστεριου της κορυφη ς. Ένας μορφισμο ς p : X Y λε γεται τοπικά 1-1 αν ο περιορισμο ς του p στο αστε ρι κα θε κορυφη ς του X ει ναι 1-1. Ένα γρα φημα λε γεται προσανατολισμένο αν για κα θε ζευ γος αντι στροφων ακμω ν {e, e} επιλε γουμε μια ακμη. Η ακμη αυτη λε γεται θετικά προσανατολισμένη και η αντι στροφη της αρνητικά προσανατολισμένη. Τα αντι στοιχα υποσυ νολα του X 1 συμβολι ζονται με X 1 + και X 1 αντι στοιχα. Το X 1 + ει ναι ε νας προσανατολισμός του X. Π 4.2. Τα γραφη ματα συμβολι ζονται ((κλασικα )) με γραμμε ς και κορυφε ς και ο ταν βα ζουμε μια γραμμη μεταξυ δυο κορυφω ν εννοου με ε να ζευ γος ακμω ν. 6

Π 4.1. Το γρα φημα C n ο που n Z, n 1. n 1. 0 3 1 2 Π 4.2. Το γρα φημα C. 2 1 0 1 2...... Μια ακολουθι α ακμω ν l = e 1 e 2... e n ενο ς γραφη ματος X λε γεται μονοπάτι μη κους n στο X αν ω(e i ) = α(e i+1 ), i = 1,..., n 1. Λε με ο τι το μονοπα τι l ε χει αρχικη κορυφη το α(e 1 ) και τελικη το ω(e n ). Το τετριμμε νο μονοπα τι ει ναι το μονοπα τι που αποτελει ται απο μο νο μια κορυφη. Για ε να μη τετριμμε νο μονοπα τι l = e 1... e m συμβολι ζουμε με l 1 το μονοπα τι e m... e 1. Για ε να τετριμμε νο μονοπα τι, l 1 = l. Ένα μονοπα τι λε γεται ανηγμένο αν ει τε ει ναι τετριμμε νο ει τε l = e 1... e n ο που e i+1 e i για i = 1,..., n 1. Ένα μονοπα τι l ει ναι κλειστο αν η αρχη και το τε λος του συμπι πτουν. Αν το τε λος ενο ς μονοπατιου l = e 1... e k συμπι πτει με την αρχη του l = e 1... e m το τε μπορου με να ορι σουμε το γινόμενο ll των μονοπατιω ν να ει ναι το μονοπα τι ll = e 1... e k e 1... e m. Ένα γρα φημα λε γεται συνεκτικό αν για κα θε δυ ο κορυφε ς u, v X 0 υπα ρχει μονοπα τι απο το u στο v. Ένα κύκλωμα σε ε να γρα φημα ει ναι ε να υπογρα φημα ισομορφικο με το C n. Ένα δε ντρο ει ναι ε να συνεκτικο γρα φημα χωρι ς κυκλω ματα. Α 4.4. Δει ξτε ο τι αν η p : X T ει ναι τοπικα 1-1 μορφισμο ς απο ε να γρα φημα X σε ε να δε ντρο T το τε η p ει ναι 1-1 και το X ει ναι δε ντρο. Ένα μεγιστικό υποδέντρο ενο ς συνεκτικου γραφη ματος X ει ναι ε να υπογρα φημα του X ι- σομορφικο με δε ντρο, με τις περισσο τερες δυνατε ς ακμε ς. Π 4.1. Έστω T ε να μεγιστικο υποδε ντρο ενο ς συνεκτικου γραφη ματος X. Το τε το T περιε χει ο λες τις κορυφε ς του X. Απόδειξη. Ας υποθε σουμε ο τι αυτο δεν ισχυ ει. Το τε λο γω της συνεκτικο τητας του X, υπα ρχει ακμη y που ξεκινα απο το T και τελειω νει ε ξω απο το T. Άρα προσθε τοντας στο T την ακμη y και y και την κορυφη ω(y), παι ρνουμε ε να δε ντρο με περισσο τερες ακμε ς απο το T, α τοπο στην επιλογη του T σαν μεγιστικο υποδε ντρο. Ο ς 4.3. Μια ομα δα G δρα σε ε να γρα φημα X (απο τα αριστερα ) αν οι (αριστερε ς) δρα - σεις της G στα συ νολα X 0 και X 1 ορι ζονται ε τσι ω στε gα(e) = α(g(e)) και ge = ge για κα θε g G και e X 1. Θα λε με ο τι η G δρα στο X χωρίς αντιστροφές αν ge e για κα θε e X 1 και για κα θε g G. Η δρα ση θα λε γεται ελεύθερη αν gv v για κα θε v X 0 και κα θε μη τετριμμε νο στοιχει ο g G. Στην Θεωρι α Bass-Serre που θα μελετη σουμε στην συνε χεια απαιτει δρα σεις ομα δων χωρι ς αντιστροφε ς. Αυτο δεν ει ναι σοβαρο ς περιορισμο ς. Αν η ομα δα G δρα στο X το τε η G δρα στην βαρυκεντρική υποδιαίρεση B(X) του X χωρι ς αντιστροφε ς. Η δρα ση αυτη ει ναι πολυ κοντα στην αρχικη. Η βαρυκεντρικη υποδιαι ρεση του X ει ναι το γρα φημα B(X) το οποι ο προε ρχεται 7

απο το X με υποδιαι ρεση κα θε ακμη ς e σε δυ ο ακμε ς e 1 και e 2, προσθε τοντας μια νε α κορυφη v e στο ((με σο)) της e. Υποθε τουμε φυσικα ο τι (e) 2 = e 1, (e) 1 = e 2, v e = v e. Η δρα ση ορι ζεται θε τοντας ge 1 = (ge) 1 και ge 2 = (ge) 2, gv e = v ge και διατηρει την δρα ση του G στις κορυφε ς του B(X) που ει ναι και κορυφε ς του X. Έστω μια ομα δα G που δρα στο γρα φημα X χωρι ς αντιστροφε ς. Για κα θε x X 0 X 1 συμβολι ζουμε με O(x) την τροχια του x ως προς την δρα ση αυτη. Ορι ζουμε το γράφημα πηλίκο G\X να ει ναι το γρα φημα με κορυφε ς O(v) ο που v X 0 και ακμε ς O(e) ο που e X 1 ε τσι ω στε: 1. το O(v) ει ναι η αρχη του O(e) αν υπα ρχει g G ω στε το gv ει ναι η αρχη του e. 2. Η αντι στροφη της ακμη ς O(e) ει ναι η ακμη O(e). Οι ακμε ς O(e) και O(e) δεν ταυτι ζονται μιας και η δρα ση ει ναι χωρι ς αντιστροφε ς. Η απεικο νιση p : X G\X με p(x) = O(x), x X 0 X 1 ει ναι μορφισμο ς γραφημα των και καλει ται προβολή. Έστω y μια κορυφη η ακμη του γραφη ματος πηλι κο G\X. Οποιαδη ποτε προ-εικο να του y ως προς την p λε γεται ανο ρθωση του y στο X. Π 4.3. Το παρακα τω γρα φημα επιδε χεται μια δρα ση του Z 3 με στροφε ς κατα 180. Το γρα φημα πηλι κο ει ναι Π 4.2. Έστω μια ομα δα G που δρα σε ε να συνεκτικο γρα φημα X χωρι ς αντιστροφε ς. Για κα θε υποδε ντρο T του G\X υπα ρχει υποδε ντρο T του X τε τοιο ω στε η p T : T T να ει ναι ισομορφισμο ς. Απόδειξη. Θεωρη στε το συ νολο ο λων των υποδε ντρων του X τα οποι α προβα λλονται με 1-1 τρο πο στο T. Το συ νολο αυτο ει ναι μερικα διατεταγμε νο και οποιαδη ποτε αλυσι δα στοιχει ων ε χει α νω ο ριο. Το συ νολο αυτο ει ναι πεπερασμε νο α ρα ε χει με γιστο στοιχει ο, το T, το οποι ο αποτελει μεγιστικο υποδε ντρο του X. Αρκει να δει ξουμε ο τι p(t ) = T. Αν αυτο δεν ισχυ ει το τε υπα ρχει e με αρχικο σημει ο στο P (T ) (το δυναμοσυ νολο του T ) και τε λος στο T \ P (T ). Σε αυτη την περι πτωση μπορω να μεγαλω σω το T, πρα γμα α τοπο μιας και το T αποτελει μεγιστικο υποδε ντρο. Κα θε υποδε ντρο της παραπα νω προ τασης λε γεται ανόρθωση στο X. Ο ς 4.4. Έστω G ομα δα και S ε να συ στημα γεννητο ρων του G. Συμβολι ζουμε με Γ(G, S) το γρα φημα με συ νολο κορυφω ν G, συ νολο ακμω ν G S και συναρτη σεις α και ω να δι νονται απο τους κανο νες α((g, s)) = g και ω((g, s)) = gs ο που (g, s) G S. Η αντι στροφη της (g, s) ει ναι η (gs, s 1 ). Α 4.5. Δει ξτε ο τι το Γ(G, S) ει ναι συνεκτικο γρα φημα. Η ομα δα G δρα απο αριστερα στο Γ(G, S) ως εξη ς: ε να στοιχει ο g G στε λνει την κορυφη g στην κορυφη gg και την ακμη (g, t) στην ακμη (gg, t). Α 4.6. Δει ξτε ο τι η παραπα νω δρα ση ει ναι ελευ θερη και χωρι ς αντιστροφε ς. Το γρα φημα Γ(G, S) που ορι σαμε πιο πα νω λε γεται γράφημα Cayley της G ως προς S. 8

Π 4.3. Το γρα φημα Cayley μιας ομα δας εξαρτα ται απο την επιλογη του συστη ματος γεννητο ρων S. Π 4.4. Τα γραφη ματα C n και C ει ναι ισομορφικα με τα γραφη ματα Cayley των κυκλικω ν ομα δων Z n και Z ως προς τα συστη ματα γεννητο ρων {1} και {1} αντι στοιχα. Π 4.5. Το παρακα τω γρα φημα ει ναι το γρα φημα Cayley της x x 6 = 1 = Z 6 ως προς το S = {x 2, x 3 } Π 4.6. Η διεδρικη ομα δα D n, n 1 η n = μπορει να θεωρηθει και σαν ομα δα αυτομορφισμω ν του γραφη ματος C n. Κα θε τε τοιος αυτομορφισμο ς προσδιορι ζεται πλη ρως απο την εικο να της ακμη ς e 0. Έστω a, b αυτομορφισμοι ω στε a(e 0 ) = e 1 και b(e 0 ) = e 1. Η ομα δα αυτομορφισμω ν D n αποτελει ται απο τους αυτομορφισμου ς b k και b k a ο που 0 k n 1 για n πεπερασμε νο και k Z για n =. Οι αυτομορφισμοι b k μπορου ν να θεωρηθου ν σαν στροφε ς για n πεπερασμε νο η σαν μεταφορε ς για n =. Οι αυτομορφισμοι b k a ει ναι ανακλα σεις. Το Cayley γρα φημα της D ως προς το συ στημα γεννητο ρων {a, b} ει ναι το Π 4.3. Έστω Γ(G, S) το γρα φημα Cayley της ομα δας G ως προς το συ στημα γεννητο ρων S. Το τε το Γ(G, S) ει ναι δε ντρο αν και μο νο αν το G ει ναι ελευ θερη ομα δα. Απόδειξη. Για μια ακμη e = (g, t) με t S S 1 ορι ζουμε την ετικε τα της να ει ναι το s(e) = t. Το τε ω(e) = α(e)s(e) και για κα θε μονοπα τι e 1... e n ε χουμε ω(e n ) = α(e 1 )s(e 1 )s(e 2 )... s(e n ). Έ- στω G ελευ θερη ομα δα με συ νολο γεννητο ρων S. Το τε το Γ(G, S) ει ναι συνεκτικο. Αν τω ρα στο Γ(G, S) υπα ρχει κλειστο ανηγμε νο μονοπα τι e 1... e n το τε ω(e n ) = α(e 1 ) και α ρα s(e 1 )... s(e n ) = 1. Εφο σον το S ει ναι βα ση του G υπα ρχει δει κτης k ω στε s(e k ) = (s(e k+1 ) 1. Το τε e k = e k+1, α τοπο διο τι το μονοπα τι ει ναι ανηγμε νο. Άρα το Γ(G, S) ει ναι δε ντρο. Το αντι στροφο ει ναι προφανε ς. 9

Π 4.1. Μια ελευ θερη ομα δα δρα ελευ θερα και χωρι ς αντιστροφε ς στις ακμε ς ενο ς δε ντρου. Απόδειξη. Αρκει να πα ρουμε το Γ(G, S) για ε να ελευ θερο συ στημα γεννητο ρων της G. Θ 4.1. Έστω G ομα δα που δρα ελευ θερα και χωρι ς αντιστροφε ς σε ε να δε ντρο X. Το τε η G ει ναι ελευ θερη και ο βαθμο ς της G ει ναι ι σος με το πλη θος των θετικα ορισμε νων ακμω ν του γραφη ματος πηλι κο G\X που δεν συμπεριλαμβα νονται σε ε να μεγιστικο υποδε ντρο. Ιδιαι τερα, αν το G\X ει ναι πεπερασμε νο το τε rk(g) = (G\X) 1 + (G\X) 0 + 1 Απόδειξη. Έστω p : X X η κανονικη προβολη του δε ντρου X στο πηλι κο X = G\X. Διαλε γω στο X ε να μεγιστικο υποδε ντρο T και το ανορθω νω σε ε να υποδε ντρο T του X. Παρατηρη στε ο τι διαφορετικε ς κορυφε ς του T δεν ει ναι ισοδυ ναμες κα τω απο την δρα ση του G και κα θε κορυφη του X ει ναι ισοδυ ναμη με κα ποια κορυφη του T. Ας επιλε ξουμε ε ναν προσανατολισμο του X, και ε στω E το συ νολο των θετικω ν ακμω ν του X ε ξω απο το T. Για κα θε ακμη e E υπα ρχει ανο ρθωση του e στο X με αρχικη κορυφη στο T. Η ανο ρθωση αυτη ει ναι μοναδικη. Πρα γματι, αν υπη ρχαν δυ ο τε τοιες το τε το στοιχει ο που πηγαι νει την μια ακμη στην α λλη σταθεροποιει την κορυφη, α τοπο λο γω της ελευθερι ας της δρα σης. Έστω e η ανο ρθωση αυτη. Το τε λος της e ει ναι εκτο ς του T. Έστω E το συ νολο των θετικω ν ακμω ν του X με αρχικη κορυφη στο T και τελικη εκτο ς T. Το τε το p απεικονι ζει το E στο E με 1-1 και επι τρο πο. Επιπλε ον, GE = E. Η τελικη κορυφη κα θε ακμη ς e E ει ναι ισοδυ ναμη με μια μοναδικη κορυφη απο το T, ε στω v(e). Το στοιχει ο του G που πηγαι νει το v(e) στην τελικη κορυφη του e ει ναι επι σης μοναδικο απο την ελευθερι α της δρα σης του G στο X. Ας το συμβολι σουμε με g e. Θα δει ξουμε ο τι η G ει ναι ελευ θερη με βα ση S = {g e e E}. Τα υποδε ντρα gt, g G ει ναι ξε να μεταξυ τους και το συ νολο των κορυφω ν τους ταυτι ζεται με το συ νολο των κορυφω ν του X. Έστω f μια θετικη ακμη απο το X που δεν ανη κει στην ε νωση των δε ντρων αυτω ν. Το τε η f συνδε ει δυ ο απο αυτα, ε στω g 1 T και g 2 T. Συρρικνω νουμε κα θε δε ντρο σε μια κορυφη που την συμβολι ζουμε (gt ). Παι ρνουμε ε τσι ε να νε ο δε ντρο X T στο οποι ο κα θε ακμη f συνδε ει τις (g 1 T ) και (g 2 T ). Θα δει ξουμε ο τι το X T ει ναι ισομορφικο με το Γ(G, S). Απεικονι ζουμε το Γ(G, S) στο X T με τον εξη ς τρο πο: κα θε g Γ(G, S) απεικονι ζεται στο gt του X T. Για κα θε g e υπα ρχει e X στο E με α(e) T και ω(e) gt. Η ακμη ge του X δι νει μια ακμη του X T απο το (gt ) στο (gg e T ). Τω ρα απεικονι ζουμε την ακμη (g, g e ) του Γ(G, S) στην ακμη αυτη του X T (και την αντι στροφη στην αντι στροφη). Η απεικο νιση αυτη ει ναι 1-1 και επι στις κορυφε ς. Οι εικο νες δυ ο διακριτω ν ακμω ν (g, s) και (h, s ) ε χουν διαφορετικα αρχικα σημει α gt και ht αν g h και αν h = g ε χουν διαφορετικα τελικα σημει α gst και gs T. Άρα η απεικο νιση ει ναι 1-1 στις ακμε ς. Αν τω ρα πα ρουμε μια ακμη του X T το τε αυτη ει ναι εικο να μιας ακμη ς e με α(e) gt και ω(e) ht για g, h G, g h. Αν e E το τε g 1 e G = και g 1 h S εφο σον g 1 e ει ναι ακμη που ξεκινα απο το T και καταλη γει στο g 1 ht. Το τε η (g, g 1 h) ει ναι ακμη του Γ(G, S) της οποι ας η εικο να στο X T ει ναι η ακμη αυτη. Αν e E το τε δουλευ ουμε με την αντι στροφη της e. Άρα η απεικο νιση ει ναι επι στις ακμε ς. Tελικα η απεικο νιση ει ναι ισομορφισμο ς γραφημα των και α ρα η G ει ναι ελευ θερη. Π 4.2 (Θεω ρημα Nielsen-Schreier). Κα θε υποομα δα μιας ελευ θερης ομα δας ει ναι ε- λευ θερη. 10

Απόδειξη. Έστω G μια ελευ θερη ομα δα με βα ση το S. Απο προηγου μενο αποτε λεσμα, η G δρα ελευ θερα χωρι ς αντιστροφε ς στο δε ντρο Γ(G, S). Αν H υποομα δα της G το τε και η H δρα ε- λευ θερα χωρι ς αντιστροφε ς στις ακμε ς του ι διου δε ντρου. Άρα απο το προηγου μενο θεω ρημα ει ναι ελευ θερη. Π 4.3 (Τυ πος του Schreier). Αν G ελευ θερη ομα δα πεπερασμε νου βαθμου και H υ- ποομα δα δει κτη n το τε rk(h) 1 = n(rk(g) 1). Απόδειξη. Έστω S μια βα ση του G και H\G το συ νολο των δεξιω ν συμπλο κων της H στην G. Το τε η H δρα στις κορυφε ς και στις (θετικα ορισμε νες) ακμε ς του Γ(G, S) ως εξη ς g hg και (g, s) (hg, s) για h H, g G, s S. Άρα το γρα φημα πηλι κο Y = H\Γ(G, S) δι νεται απο τα Y 0 = H\G και Y 1 + = (H\G) S ο που η ακμη (Hg, s) συνδε ει τις κορυφε ς Hg και Hgs. Απο το προηγου μενο θεω ρημα ε χουμε rk(h) = n rk(g) n + 1. Ας μελετη σουμε λι γο ακο μη το γρα φημα πηλι κο Y = H\Γ(G, S). Η ετικε τα μιας ακμη ς e = (Hg, t) με t S S 1 ορι ζεται να ει ναι το στοιχει ο s(e) = t. Αν l = e 1... e k ε να μονοπα τι, το τε η ετικε τα του μονοπατιου ει ναι s(l) = s(e 1 )... s(e k ). Η ετικε τα ενο ς εκφυλισμε νου μονοπατιου ει ναι το ταυτοτικο στοιχει ο. Αν τα l 1, l 2 ει ναι μονοπα τια και ορι ζεται το l 1 l 2 το τε s(l 1 l 2 ) = s(l 1 )s(l 2 ). Στο αστε ρι κα θε κορυφη ς του Y οι ετικε τες διαφορετικω ν ακμω ν ει ναι διακριτε ς. Το συ νολο των ετικετω ν αυτω ν ταυτι ζεται με το S S 1. Π 4.4. Η ομα δα H αποτελει ται απο τις ετικε τες ο λων των μονοπατιω ν του Y με αρχικη και τελικη κορυφη H. Απόδειξη. Έστω l = e 1... e k μονοπα τι στο Y με αρχικη και τελικη κορυφη το H. Απο τα προηγου μενα ε χουμε ο τι ω(e i ) = α(e i )s(e i ) και ω(e k ) = α(e 1 )s(e 1 )... s(e k ) = α(e 1 )s(l). Εφο σον ω(e k ) = α(e 1 ) = H ε χουμε ο τι σ(l) H. Αντι στροφα, ε στω h = s 1... s k H, ο που s i S ± για κα θε i. Έστω e 1 = (H, s 1 ) και e i = (Hs 1... s i 1, s i ) για 2 i k. Το τε l = e 1... e k ει ναι μονοπα τι με αρχικη και τελικη κορυφη H και με s(l) = h. Άμεσος στο χος μας ει ναι να δει ξουμε ο τι η H παρα γεται απο τις ετικε τες κα ποιων ((απλω ν)) μονοπατιω ν στο Y. Ας πα ρουμε ε να με γιστο υποδε ντρο του Y και ας συμβολι σουμε την κορυφη H με y. Για κα θε v Y 0 υπα ρχει μοναδικο ανηγμε νο μονοπα τι απο το y στο v που ανη κει στο. Έστω p v το μονοπα τι αυτο. Για κα θε ακμη e Y 1 ορι ζουμε p e = p α(e) ep 1 ω(e) Θ 4.2. Με τον παραπα νω συμβολισμο το H ει ναι μια ελευ θερη ομα δα με βα ση {s(p e ) e Y 1 +\ 1 }. Ο ς 4.5. Έστω G μια ελευ θερη ομα δα με βα ση S και H υποομα δα του G. Ένα συ στημα Schreier αντιπροσω πων της H στην G ει ναι ε να συ νολο T ανηγμε νων λε ξεων τε τοιο ω στε κα θε δεξιο συ μπλοκο της H στην G περιε χει μια μοναδικη λε ξη T, και ο λα τα αρχικα κομμα τια της λε ξης αυτη ς ανη κουν επι σης στο. Ειδικο τερα, το 1 T και παριστα το συ μπλοκο H. Για κα θε g G, συμβολι ζουμε με g το στοιχει ο του T με την ιδιο τητα Hg = Hg. Θ 4.3. 1. Για κα θε υποομα δα H της ελευ θερης ομα δας G με βα ση S υπα ρχει συ - στημα Schreier αντιπροσω πων στην G. Επιπλε ον, αν ει ναι ε να μεγιστικο υποδε ντρο του Y = H\Γ(G, S) το τε το T ( ) = {s(p v ) v Y 0 } ει ναι ε να συ στημα Schreier αντιπροσω πων της H στην G. 11

2. Η αντιστοιχι α T ( ) δι νει μια 1-1 και επι απεικο νιση απο το συ νολο των μεγιστικω ν υποδε ντρων του Y στο συ νολο των Schreier αντιπροσω πων της H στην G. 3. Έστω T ε να τυχαι ο Schreier συ στημα αντιπροσω πων της H στην G. Το τε η H ε χει βα ση Απόδειξη. {ts(ts) 1 t T, s S και ts(ts) 1 1}. 1. Εφο σον το v διατρε χει το συ νολο ο λων των δεξιω ν συμπλο κων της H στην G και v = Hs(p v ), το T ( ) ει ναι συ στημα αντιπροσω πων των κλα σεων αυτω ν. Επιπλε ον το μονοπα τι p v = e 1 e 2... e n στο δε ντρο ε χει ετικε τα s(p v ) = s(e 1 )... s(e n ) η οποι α ει ναι μια ανηγμε νη λε ξη και κα θε αρχικο κομμα τι της ει ναι η ετικε τα ενο ς υπομονοπατιου του p v. 2. Έστω T ε να Schreier συ στημα αντιπροσω πων της H στην G. Σε κα θε στοιχει ο t = s 1... s k του T αντιστοιχου με ε να μονοπα τι l t = e 1... e k της Y τε τοιο ω στε α(e 1 ) = H, s(e i ) = s i. Αν (T ) ει ναι ε να ελα χιστο υπογρα φημα του Y που περιε χει ο λα τα μονοπα τια l t για t T το τε το (T ) ει ναι μεγιστικο υποδε ντρο στο Y και οι αντιστοιχι ες T ( ) και T (T ) ει ναι αντι στροφες η μια στην α λλη. 3. Αν ει ναι το μεγιστικο υποδε ντρο του Y που αντιστοιχει στο συ στημα T το τε για κα θε μονοπα τι p e = p α(e) ep 1 ω(e) ε χουμε ο τι s(p e) = tst 1 1 ο που t = s(p α(e) ), s = s(e), t 1 = s(p ω(e) ). Απο το 1) ε χουμε ο τι t, t 1 T και απο προηγου μενη προ ταση tst 1 1 H, δηλαδη t 1 = ts. Άρα μας με νει να παρατηρη σουμε ο τι e Y+ 1 αν και μο νο αν s(e) Y και e 1 αν και μο νο αν s(p e ) = 1 και να εφαρμο σουμε το προηγου μενο θεω ρημα. Π 4.7. Το συ νολο {a n b m n.m Z} ει ναι ε να Schreier συ στημα αντιπροσω πων για την υποομα δα μεταθετω ν της ελευ θερης ομα δας F 2 σε δυ ο γεννη τορες {a, b}. Επιπλε ον a n b m a = a n+1 b m και a n b m b = a n b m+1. Άρα μια βα ση της υποομα δας αυτη ς ει ναι το {a n b m ab m a (n+1) n, m Z, m 0}. Π 4.8. Έστω H η υποομα δα της F 2 με γεννη τορες a, b η οποι α αποτελει ται απο ο λες τις λε ξεις με α ρτιο α θροισμα εκθετω ν στα a και b. Ένα Schreier συ στημα αντιπροσω πων της H στην F 2 ει ναι το {1, a, b, ab}. Αν Γ ει ναι το γρα φημα Cayley της F 2 το τε το H\Γ ει ναι το γρα φημα Το υποδε ντρο με την κο κκινη γραμμη ει ναι ε να μεγιστικο υποδε ντρο. Το τε το H ε χει σαν βα ση τα a 2, b 2, ab 2 a 1, abab 1, bab 1 a 1. Ευ κολα βλε πουμε ο τι ο πυρη νας του ομομορφισμου ϕ : F 2 Z 2 Z 2 ο που a (1, 0) και b (0, 1) ει ναι η H. Π 4.9. Αν θεωρη σουμε H τον πυρη να του ομομορφισμου ϕ : F 2 S 3 με a (12) και b (13). Το τε το συ νολο {1, a, b, ab, ba, aba} ει ναι ε να Schreier συ στημα αντιπροσω πων της H στην F 2. Η ομα δα H ε χει σαν βα ση το συ νολο {a 2, ab 2 a 1, aba 2 b 1 a 1, ababa 1 b 1, b 2, ba 2 b 1, baba 1 b 1 a 1 }. 12

Α 4.7. Έστω D n η διεδρικη ομα δα. Θεωρη στε την D n σαν την ομα δα πηλι κο της F 2 /N ο που N η κανονικη υποομα δα της F 2 που παρα γεται απο τα {a 2, c 2, (ac) n }. Έστω H ο πυρη νας του κανονικου επιμορφισμου ϕ : F 2 D n. Δει ξτε ο τι τα παρακα τω ει ναι Schreier συστη ματα αντιπροσω πων της H στην F 2. 1. Το συ νολο ο λων των αρχικω ν κομματιω ν των λε ξεων (ac) k και (ca) k 1 c αν το n ει ναι α ρ- τιος και n = 2k. 2. Το συ νολο ο λων των αρχικω ν κομματιω ν των λε ξεων (ac) k a και (ca) k αν το n ει ναι περιττο ς και n = 2k + 1. 5 Ελεύθερα Γινόμενα Έστω A, B ομα δες με A B = 1. Μια κανονική μορφή ει ναι μια ε κφραση της μορφη ς g 1 g 2... g n ο που n 0, g i (A B) \ {1} και γειτονικα στοιχει α δεν ανη κουν στην ι δια ομα δα A η B. Ο αριθμο ς n καλει ται μήκος της κανονικη ς μορφη ς. Η κανονικη μορφη μη κους 0 ει ναι το ταυτοτικο στοιχει ο. Στο συ νολο των κανονικω ν μορφω ν ορι ζουμε ε να πολλαπλασιασμο ως εξη ς: x 1 = 1 x = x για κα θε κανονικη μορφη x. Επι σης, αν x = g 1... g n και y = h 1... h m κανονικε ς μοφε ς με m, n 1 θε τουμε g 1... g n h 1... h m αν g n A, h 1 B η g 1 B, h 1 A x y = g 1... g n 1 zh 2... h m αν g n, h 1 A η g n, h 1 B και z = g n h 1 1 g 1... g n 1 h 2... h m αν g n, h 1 A η g n, h 1 B και g n h 1 = 1 Το συ νολο των κανονικω ν μορφω ν με την παραπα νω πρα ξη αποτελει ομα δα και λε γεται ελεύθερο γινόμενο των A, B. Συμβολι ζεται με A B. Επιπλε ον, οι ομα δες A και B εμφυτευ ονται με φυσιολογικο τρο πο στην A B. Π 5.1. Έστω A, B υποομα δες μιας ομα δας G ε τσι ω στε κα θε g G μπορει να γραφει με μοναδικο τρο πο σαν γινο μενο g = g 1... g n με g i (A B) \ {1} και γειτονικοι παρα γοντες δεν ανη κουν στην ι δια ομα δα A η B. Το τε G = A B. Θ 5.1. Έστω A = X R, B = Y S και X Y =. Το τε A B = X, Y R, S. Απόδειξη. Συμβολι ζουμε με N(R), N(S) και N(R S) τις κανονικε ς υποομα δες που παρα γονται απο τα R, S και R S αντι στοιχα στις ελευ θερες ομα δες F (X), F (Y ) και F (X Y ). Έστω ϕ : F (X) A, ψ : F (Y ) B ομομορφισμοι με πυρη νες N(R) και N(S) αντι στοιχα. Έστω θ : F (X Y ) A B ο ομομορφισμο ς ο οποι ος ταυτι ζεται με τον ϕ στο X και τον ψ στο. Το τε N(R S) Kerθ. Έστω g Kerθ με g = g 1... g n ο που g i (F (X) F (Y )) \ {1} και γειτονικα στοιχει α ανη κουν σε διαφορετικε ς ομα δες F (X), F (Y ). Εφο σον θ(g 1 )... θ(g n ) = 1 στο A το τε υπα ρχει i ω στε θ(g i ) = 1. Άρα g i N(R) η g i N(S). Επιπλε ον θ(g 1... g i 1 g i+1... g n ) = 1. Ε- παναλαμβα νοντας το παραπα νω επιχει ρημα πεπερασμε νες φορε ς ε χουμε τελικα ο τι g 1... g n N(R S) και α ρα g N(R S). Π 5.1. Z 2 Z 2... Α 5.1. Δει ξτε ο τι οι ομα δες A και B εμφυτευ ονται με φυσιολογικο τρο πο στην A B. 13

6 Ελεύθερο γινόμενο με αμάλγαμα Έστω G, H ομα δες με διακριτε ς ισομορφικε ς υποομα δες A G και B H, ο που ϕ : A B ο αντι στοιχος ισομορφισμο ς. Το ελευ θερο γινο μενο των G και H με αμα λγαμα τις A και B ει ναι η ομα δα πηλι κο της G H προς την κανονικη θη κη του συνο λου {ϕ(a)a 1 a A}. Η ομα δα αυτη λε γεται για συντομι α ελεύθερο γινόμενο με αμάλγαμα και συμβολι ζεται με G H a = ϕ(a), a A η G A=B H η G A H. Στις δυο τελευται ες περιπτω σεις πρε πει να ει ναι σαφω ς ορισμε νη η ϕ. Ουσιαστικα, στο ελευ θερο γινο μενο G H ταυτι ζουμε την A με την B. Έστω i : G H G A=B H = F ο φυσιολογικο ς ομομορφισμο ς. Ένα στοιχει ο του f F μπορει να γραφει σαν f = i(x 0 )i(x 1 )... i(x n ) ο που x i G H. Για απλο τητα γρα φουμε f = x 0 x 1... x n. Ας θεωρη σουμε T A ε να συ στημα δεξιω ν αντιπροσω πων της A στην G και T B ε να συ στημα δεξιω ν αντιπροσω πων της B στην H. Υποθε τουμε ο τι το 1 παριστα τα συ μπλοκα A και B. Το τε κα θε x G μπορει να γραφει μοναδικα στην μορφη x = xx ο που x A και x T A. Ο ς 6.1. Μια A-κανονικη μορφη ει ναι μια ακολουθι α (x 0, x 1,..., x n ) τε τοια ω στε: 1. x 0 A. 2. x i T A \{1} η x i T B \{1} για i 1 και διαδοχικοι ο ροι x i και x i+1 ανη κουν σε διακριτα συστη ματα αντιπροσω πων. Με ο μοιο τρο πο μπορου με να ορι σουμε και την B-κανονικη μορφη. Π 6.1. Έστω G = a a 12 = 1, H = b b 15 = 1 και A, B υποομα δες τα ξης 3 στην G και H αντι στοιχα. Έστω ϕ : A B με ϕ(a 4 ) = b 5. Το τε η G A=B H ε χει παρα σταση a, b a 12 = b 15 = 1, a 4 = b 5. Αν πα ρουμε T A = {1, a, a 2, a 3 } και T B = {1, b, b 2, b 3, b 4 } το τε το στοιχει ο f = a 3 ba 5 μπορει να γραφει σαν γινο μενο παραγο ντων που ορι ζουν μια κανονικη μορφη f = a 3 ba 4 a = a 3 b 6 a = a 3 b 5 ba = a 3 a 4 ba = a 4 a 3 ba. Θ 6.1. Ένα στοιχει ο f G A=B H μπορει να γραφει μοναδικα στην μορφη f = x 0 x 1... x n ο που (x 0, x 1,..., x n ) μια A-κανονικη μορφη. Πολλε ς φορε ς η μορφη x 0 x 1... x n καλει ται κανονικη μορφη του f. Π 6.1. Έστω G = G 1 A G 2. Αν το g G και g = g 1... g n ο που n 1 και g i G 1 \ A η g i G 2 \ B ανα λογα με το i, το τε g 1. 7 Δέντρα και ελεύθερα γινόμενα με αμάλγαμα Έστω G, H ομα δες με διακριτε ς ισομορφικε ς υποομα δες A G και B H. Έστω επι σης ϕ : A B ο ισομορφισμο ς. Το ελευ θερο γινο μενο των G, H με αμάλγαμα τα A, B με σω της ϕ 14

ει ναι η ομα δα πηλι κο της A B προς την κανονικη θη κη του συνο λου {ϕ(a)a 1 a A}. Η ομα δα αυτη λε γεται για συντομι α ελεύθερο γινόμενο με αμάλγαμα και συμβολι ζεται G H a = ϕ(a), a A η G A=B H η G A H. Στις δυ ο τελευται ες περιπτω σεις πρε πει να ορι ζεται η ϕ. Ουσιαστικα, στο ελευ θερο γινο μενο G H ταυτι ζουμε την A με την B. Έστω i : G H F = G A=B H ο φυσιολογικο ς (κανονικο ς) ομομορφισμο ς. Ένα στοιχει ο f F μπορει να γραφει σαν f = i(x 0 )i(x 1 )... i(x n ) ο που x i G H. Για απλο τητα γρα φουμε f = x 0... x n. Έστω τω ρα T A ε να συ στημα δεξιω ν αντιπροσω πων της A στην G και T B ε να συ στημα δεξιω ν αντιπροσω πων της B στην H. Υποθε τουμε ο τι το 1 παριστα τα συ μπλοκα A και B. Το τε κα θε x G μπορει να γραφει μοναδικα στην μορφη x = xx ο που x A και x T A. Ο ς 7.1. Μια A-κανονικη μορφη ει ναι μια ακολουθι α (x 0, x 1,..., x n ) τε τοια ω στε x 0 A, x i T A \ {1} η x i T B \ {1} για i 1 και διαδοχικοι ο ροι ανη κουν σε διακριτα συστη ματα αντιπροσω πων. Με ο μοιο τρο πο μπορει κανει ς να ορι σει και μια B-κανονικη μορφη. Π 7.1. Έστω G = a a 12 = 1, = b b 15 = 1 και A, B υποομα δες τα ξης 3 στις G και H αντι στοιχα. Έστω ϕ : A B με ϕ(a 4 ) = b 5. Το τε η G A=B H ε χει παρα σταση a, b a 12 = b 15 = 1, a 4 = b 5. Αν πα ρουμε T A = {1, a, a 2, a 3 } και T B = {1, b, b 2, b 3, b 4 } το τε το στοιχει ο f = a 3 ba 5 μπορει να γραφει σαν γινο μενο παραγο ντων που ορι ζουν μια κανονικη μορφη : f = a 3 ba 4 a = a 3 b 6 a = a 3 b 5 ba = a 3 a 4 ba = a 4 a 3 ba. Θ 7.1. Ένα στοιχει ο f F = G A=B H μπορει να γραφει μοναδικα στην μορφη f = x 0... x n ο που (x 0, x 1,..., x n ) ει ναι μια A-κανονικη μορφη. Πολλε ς φορε ς η μορφη x 0 x 1... x n λε γεται κανονική μορφή του f. Π 7.1. Έστω G = G 1 A G 2. Κα θε g G μπορει να γραφει με μοναδικο τρο πο στην μορφη g = g 1... g n ο που n 1 και g i G i \ A και διαδοχικοι ο ροι ανη κουν σε διαφορετικου ς παρα γοντες. 8 Δέντρα και ελεύθερα γινόμενα με αμάλγαμα Έστω G ομα δα και H υποομα δα της G. Με G/H συμβολι ζουμε το συ νολο των αριστερω ν συμπλο κων της H στην G ακο μη και αν η H δεν ει ναι κανονικη. Ένα συνεκτικο γρα φημα που αποτελει ται απο δυο κορυφε ς και μια ακμη λε γεται segment. Θ 8.1. Έστω G = G 1 A G 2. Το τε υπα ρχει δε ντρο X στο οποι ο δρα η G χωρι ς αντιστροφε ς ε τσι ω στε το γρα φημα πηλι κο G\X ει ναι segment. Επιπλε ον το segment αυτο μπορει να ανορθωθει σε κα ποιο segment του X με την ιδιο τητα οι σταθεροποιου σες των κορυφω ν και της ακμη ς να ει ναι οι G 1, G 2 και A αντι στοιχα. Απόδειξη. Έστω X 0 = G/G 1 G/G 2 και X 1 + = G/A. Θε τουμε α(ga) = gg 1, ω(ga) = gg 2. Έστω T το segment στο X με κορυφε ς G 1, G 2 και ακμη A. H G δρα στο X με αριστερο πολλαπλασιασμο. Θα δει ξουμε αρχικα ο τι το X ει ναι συνεκτικο γρα φημα. Αρκει να δει ξουμε ο τι 15

κα θε κορυφη gg 1 συνδε εται με την κορυφη G 1. Γρα φουμε το στοιχει ο g στην μορφη g 1 g 2... g n ο που g i G 1 η G 2. Το τε οι κορυφε ς g 1... g i 1 G 1 και g 1... g i 1 g i G 1 ταυτι ζονται αν g i G 1. Αν πα λι g i G 2 το τε αυτε ς συνδε ονται με την g 1... g i 1 G 2 (= g 1... g i G 2 ). Εφο σον αυτο ισχυ ει για κα θε i, ε χουμε το ζητου μενο. Θα δει ξουμε τω ρα ο τι το γρα φημα ει ναι δε ντρο. Ας υποθε σουμε ο τι υπα ρχει κλειστο (ανηγμε νο) μονοπα τι e 1,..., e n στο X. Εφαρμο ζοντας κατα λληλο στοιχει ο του G μπορου με να υποθε σουμε ο τι α(e 1 ) = G 1. Εφο σον οι γειτονικε ς κορυφε ς ει ναι συ μπλοκα διαφορετικω ν υ- ποομα δων, ε χουμε ο τι το n ει ναι α ρτιος και υπα ρχουν στοιχει α x i G 1 \ A, y i G 2 \ A ω στε α(e 2 ) = x 1 G 2, α(e 3 ) = x 1 y 1 G 1,..., α(e n ) = x 1 y 1... x n/2 G 2 = x 1 y 1... x n/2 y n/2 G 1. Αυτο ο μως ει ναι α τοπο λο γω της μοναδικο τητας της κανονικη ς μορφη ς των στοιχει ων της G. Π 8.1. Στο παραπα νω γρα φημα, ο λες οι ακμε ς με αρχικη κορυφη gg 1 ε χουν μορφη gg 1 A ο που το g 1 διατρε χει το συ νολο των αριστερω ν αντιπροσω πων του A στην G 1. Το πλη θος των ακμω ν ει ναι G 1 : A, ο δει κτης της A στην G 1. Η σταθεροποιου σα της gg 1 ει ναι gg 1 g 1. Όμοια πρα γματα ισχυ ουν και για την gg 2. Θ 8.2. Έστω ο τι η G δρα στο δε ντρο X χωρι ς αντιστροφε ς και ο τι το G \ X ει ναι segment. Έστω T μια τυχαι α ανο ρθωση του segment αυτου. Έστω P, Q οι κορυφε ς του, e η ακμη του και G P, G Q, G e οι σταθεροποιου σες τους. Το τε ο ομομορφισμο ς ϕ : G P Ge G Q G ο οποι ος ει ναι ταυτοτικο ς στις G P και G Q ει ναι ισομορφισμο ς. Απόδειξη. Θα δει ξουμε αρχικα ο τι G = G P, G Q. Έστω G = G P, G Q και ας υποθε σουμε ο τι G G. Τα γραφη ματα G T και (G \ G ) T ει ναι ξε να μεταξυ τους. Πρα γματι, η σχε ση g P = gq με g G, g G \ G δεν μπορει να ισχυ ει εφο σον κα τι τε τοιο θα ση μαινε ο τι οι κορυφε ς P, Q ει ναι ισοδυ ναμες κα τω απο την δρα ση της G, που δεν ισχυ ει. Όμοια και για την ταυτο τητα g Q = gp. Τω ρα η σχε ση g R = gr ο που R {P, Q} συνεπα γεται ο τι g g G R G το οποι ο ει ναι πα λι α τοπο. Για να δει ξουμε ο τι το X = G T ει ναι συνεκτικο γρα φημα. Αυτο ει ναι προφανε ς, α ρα το X δεν μπορει να παρασταθει σαν ε νωση δυ ο ξε νων πραγμα των. Για να δει ξουμε ο τι η ϕ ει ναι 1-1, ε στω G = G P Ge G Q και X το δε ντρο που κατασκευα σαμε πριν. Ορι ζουμε ψ : X X μορφισμο με ggr ϕ(g)r ο που r {P, Q, e}, g G. Θα δει ξουμε ο τι ο μορφισμο ς ει ναι ισομορφισμο ς. Το επι ισχυ ει εφο σον X = G T και G = G P, G Q. Το 1-1 προκυ πτει απο την μοναδικο τητα της κανονικη ς μορφη ς και το γεγονο ς ο τι οι ϕ GP και ϕ GQ ει ναι 1-1. Πρα γματι, ε στω g G \ G P. Το τε οι κορυφε ς G P και gg P του X ει ναι διακριτε ς. Άρα οι κορυφε ς P και ϕ(g)p του X ει ναι διακριτε ς. Άρα ϕ(g) 1 αν g 1 α ρα η ϕ ει ναι 1-1. Π 8.1. Η ομα δα D δρα χωρι ς αντιστροφε ς στην βαρυκεντρικη υποδιαι ρεση του γραφη ματος C. 1 1 1 2 0 2 1........ Το γρα φημα πηλι κο ει ναι ε να segment. Σαν ανο ρθωση μπορου με να πα ρουμε το segment 0 1/2. Οι σταθεροποιου σες των κορυφω ν αυτω ν ει ναι a και c ο που c = ba. Η σταθεροποιου σα της ακμη ς ει ναι {1}. Άρα D = a c. 16

9 ΗΝΝ-επεκτάσεις Έστω G ομα δα και A, B υποομα δες της G με ϕ : A B ισομορφισμο ς. Έστω t η α πειρη κυκλικη ομα δα που παρα γεται απο ε να νε ο στοιχει ο t. Η HNN-επε κταση της G με συνδεο μενες ομα δες A, B και ισομορφισμο ϕ ει ναι η ομα δα πηλι κο G της G t προς της κανονικη θη κη του συνο λου {t 1 at(ϕ(a)) 1 a A}. Η ομα δα G λε γεται βάση της G, το t λε γεται σταθερό γράμμα και οι A, B λε γονται συνδεόμενες ομάδες. Η παρα σταση της G ει ναι η G, t t 1 at = ϕ(a), a A. Στην συνε χεια θα δει ξουμε ο τι κα θε στοιχει ο του G ε χει μοναδικη κανονικη μορφη. Αυτο μας οδηγει στο να δει ξουμε ο τι οι ομα δες G και t εμφυτευ ονται στην G και οι A, B ει ναι συζυγει ς στην G. Έστω i : G t G ο κανονικο ς ομομορφισμο ς. Κα θε στοιχει ο x G μπορει να γραφει σαν x = i(g 0 )i(t) ε 1 i(g 1 )... i(t) εn i(g n ) ο που g i G, ε j = ±1. Για συντομι α και απλο τητα στον συμβολισμο γρα φουμε x = g 0 t ε 1 g 1... t εn g n. Έστω T A ε να συ στημα αντιπροσω πων των δεξιω ν συμπλο κων της A στην G και T B ε να συ στημα αντιπροσω πων της B στην G. Αν το g G, συμβολι ζουμε με g τον αντιπρο σωπο του συμπλο κου Ag και με ĝ τον αντιπρο σωπο του συμπλο κου Bg. Ο ς 9.1. Μια κανονικη μορφη της G ει ναι μια ακολουθι α g 0 t ε 1 g 1... t εn g n ε τσι ω στε: 1. Το g 0 G 2. Αν ε i = 1 το τε το g i T A. 3. Αν ε i = 1 το τε το g i T B. 4. Δεν υπα ρχουν συνεχο μενα t ε 1 t ε. Χρησιμοποιω ντας τις σχε σεις t 1 a = ϕ(a)t 1 και tb = ϕ(b) 1 t ο που a A, b B, μπορου με να γρα ψουμε κα θε στοιχει ο του G στην κανονικη μορφη g 0 t ε 1 g 1... t εn g n. Π 9.1. Θεωρη στε την HNN-επε κταση G = a, b, t t 1 a 2 t = b 3 ο που η βα ση ει ναι η F 2 = a, b και συνδεο μενες ομα δες ει ναι οι A = a 2 και B = b 3. Ας πα ρουμε T A να ει ναι οι ανηγμε νες λε ξεις της F 2 που ξεκινου ν με a 0 η a και T B τις ανηγμε νες λε ξεις της F 2 που ξεκινου ν με b 0 η b η b 2. Θα υπολογι σουμε την κανονικη μορφη του στοιχει ου x = b 2 t 1 a 4 tb 5 ab 7 t 1 b 3 a. Εφο σον b 5 ab 7 = b 2 ab 7 και tb 3 = a 2 t ε χουμε x = b 2 t 1 a 2 tb 2 ab 7 t 1 b 3 a = bab 7 t 1 b 3 a η οποι α ει ναι κανονικη μορφη. Θ 9.1. Έστω G = G, t t 1 at = ϕ(a), a A μια HNN-επε κταση της ομα δας G με συνδεο μενες ομα δες A, B. Το τε κα θε στοιχει ο x G ε χει μια μοναδικη κανονικη μορφη x = g 0 t ε 1 g 1... t εn g n. Επιπλε ον, η G εμφυτευ εται στην G με g g. Αν w = g 0 t ε 1 g 1... t εn g n, n 1 και η ε κφραση αυτη δεν περιε χει υπολε ξεις της μορφη ς t 1 g i t με g i A η tg j t 1 με g j B το τε w 1 στην G. Απόδειξη. Για να δει ξουμε την υ παρξη της παρα στασης του x αρκει να πα ρουμε μια τυχαι α ε κφραση του x στην G t και να κινηθου με απο δεξια προς τα αριστερα ο πως στο παρα δειγμα. 17

Κατα την πορει α αυτη δεν ε χουμε παρα να βρου με αναπαραστα τες συμπλο κων και να αντικαταστη σουμε το t 1 a με το ϕ(a)t 1 αν a A και το tb με το ϕ(a) 1 t αν b B. Για να δει ξουμε την μοναδικο τητα, ορι ζουμε μια δρα ση του G στο συ νολο W ο λων των κανονικω ν μορφω ν ε τσι ω στε η εικο να της μορφη ς 1 δηλαδη του ουδετε ρου στοιχει ου κα τω απο την δρα ση του x να ει ναι ι ση με την κανονικη μορφη του x. Έστω τ = g 0 t ε 1 g 1... t εn g n W. Ορι ζουμε τις δρα σεις των στοιχει ων g G, t, t 1 ως εξη ς: g τ = gg 0 t ε 1 g 1... t εn g n { ϕ t τ = 1 (g 0 )g 1 t ε 2... t εn g n αν ε 1 = 1, g 0 B ϕ 1 (b)tĝ 0 t ε 1 g 1... t εn g n διαφορετικα ο που b ει ναι το στοιχει ο του B ω στε g 0 = bĝ 0, { t 1 ϕ(g0 )g τ = 1 t ε 2... t εn g n αν ε 1 = 1.g 0 A ϕ(a)t 1 g 0 t ε 1 g 1... t εn g n διαφορετικα ο που a A τε τοιο ω στε g 0 = ag 0. Απο τα παραπα νω φαι νεται ο τι η G t δρα φυσιολογικα στο W. Αν τω ρα N ει ναι η κανονικη θη κη του {t 1 atϕ(a) 1 a A} στο G t το τε η υποομα δα N δρα τετριμμε να στο W. Επομε νως G N = {1} Άρα η G εμφυτευ εται στο G = (G t )/N. Επιπλε ον, εφο σον το N ανη κει στον πυρη να της δρα σης του G στο W, η ομα δα G δρα επι σης στο W. Η μοναδικο τητα της κανονικη ς μορφη ς προκυ πτει ως εξη ς. Αν x = g 0 t ε 1 g 1... t εn g n G, μια κανονικη μορφη το τε η εικο να της κανονικη ς μορφη ς 1 με την δρα ση του x ει ναι ι ση με g 0 t ε 1 g 1... t εn g n. Π 9.1. Έστω G = G, t t 1 at = ϕ(a) μια HNN-επε κταση της G με συνδεο μενες ομα δες A, B. Το τε ο κανονικο ς ομομορφισμο ς i : G t G επα γει εμφυτευ σεις των G και t στο G. Αν ταυτι σουμε τις A, B με τις εικο νες τους στην G το τε αυτε ς ει ναι συζυγει ς στην G με σω του t. 18