Παράδειγµα διατήρησης στροφορµής

Παράδειγµα διατήρησης στροφορµής ΦΥΣ 3 - Διαλ.6 Κολόνα πέφτει σε γίγαντα. Δίνονται η µάζα του γίγαντα Μ, της κολόνας m, το µήκος της κολόνας l, η ταχύτητα της κολόνας v. H κίνηση γίνεται σε λεία επιφάνεια. Πόσο γρήγορα κινείται το CM µετά την κρούση. Ποια η ω ως προς το CM? Λύση l CM d γίγαντας Από διατήρηση της ορµής έχουµε βρίσκουµε τη v cm : mv mv + 0 = (M + m)v CM v CM = (M + m) H στροφορµή διατηρείται. L γύρω από ποιο άξονα; Από τη στιγµή που η µάζα του γίγαντα είναι µεγάλη το CM αλλάζει θέση. Έστω d η απόσταση από το παλιό CM Ml / L ράβδου ως προς To νέο CM θα είναι: d = το νέο CM M + m Διατήρηση της στροφορµής: L i = L f = mvd + 0 = I " # I o = (" #$%& CM + md ( ) + M l ) * ' d +, -. L f = ml + md " + M l " # $ d % % $ & ' ' ( = mvd ) ( =... # &

Παράδειγµα στροφορµής ΦΥΣ 3 - Διαλ.6 Ένα σώµα είναι ελεύθερο να κινηθεί στο εσωτερικό ενός ηµισφαιρικού bowl. Έχει αρχική ταχύτητα v 0 µε φορά προς το εσωτερικό της σελίδας. Αν η αρχική γωνία θ 0 είναι όπως δείχνεται στο σχήµα, ποια είναι η µέγιστη v 0 για την οποία το σώµα παραµένει µέσα στο bowl? R 0 x z θ 0 r y Λύση Η οριακή περίπτωση που το σώµα παραµένει ή όχι στο bowl είναι όταν η ταχύτητα v 0 είναι οριζόντια στο χείλος του πιάτου. N Αν είχε κατακόρυφη συνιστώσα ταχύτητας τότε θα έρχονταν ή θα πήγαινε. Μπορούµε να χρησιµοποιήσουµε διατήρηση της L z επειδή οι µόνες δυνάµεις που δρουν είναι το βάρος και η κάθετη δύναµη. Η κάθετη δύναµη, Ν, δεν προκαλεί ροπή ως προς το κέντρο της σφαίρας Tο βάρος προκαλεί ροπή πού είναι οριζόντια, " = r # m g Εποµένως δεν υπάρχει ροπή στην κατακόρυφη διεύθυνση και άρα L z =σταθ

ΦΥΣ 3 - Διαλ.6 3 Μπάλα σε bowl (συνέχεια) Διατήρηση της L: L z = mv 0 Rsin 0 = "#$. % mv f R = mv 0 Rsin 0 Όταν η µπάλα είναι στο χείλος του bowl τότε v f = v 0 sin 0 () Διατήρηση της Ε: mv 0 = mv f + Rcos 0 m v ( 0 " v f ) = Rcos# 0 () ( v 0 v 0 sin " 0 ) = grcos" 0 v 0 ( " sin # 0 ) = grcos# 0 v 0 cos 0 = grcos 0 v 0 = gr cos" 0 Η µέγιστη ταχύτητα Aν θ 0 =0 v 0 = gr Αν θ 0 =90 ο v 0 =

ΦΥΣ 3 - Διαλ.6 4 Στατική ισορροπία q Ισορροπία υπάρχει όταν F = 0 & " = 0 q Οι παραπάνω συνθήκες δηλώνουν ότι η γραµµική και γωνιακή ταχύτητα του συστήµατος θα είναι σταθερές ή µηδέν Ø Στην περίπτωση που ω = v = 0 έχουµε «στατική» ισορροπία Ø Μπορούµε να αντιστρέψουµε το επιχείρηµα και να πούµε πως αν ω = v = 0 τότε η συνισταµένη των εξωτερικών ροπών και δυνάµεων είναι µηδέν q Θα ασχοληθούµε µόνο µε περιπτώσεις επίπεδης κίνησης και εποµένως µόνο η z-συνιστώσα της ροπής παίζει ρόλο Ø Πρέπει να είµαστε ευρηµατικοί και προσεκτικοί για να βρούµε το σύστηµα στο οποίο θα εφαρµόσουµε τις παραπάνω σχέσεις q Οι εξισώσεις είναι ουσιαστικά 6 εξισώσεις για 3-d περιπτώσεις. Σε διαστάσεις έχουµε 3 ( για δυνάµεις και µία για ροπές)

ΦΥΣ 3 - Διαλ.6 5 Ένα θεώρηµα F,αν η " = 0 γύρω από ένα σηµείο, Για ένα στερεό στο οποίο = 0 τότε " = 0 γύρω από οποιαδήποτε άλλο σηµείο. Εποµένως είµαστε ελεύθεροι να διαλέξουµε το πιο κατάλληλο σηµείο για υπολογισµό ροπής. 0 Απόδειξη r r P r -r p P αλλά εξ υποθέσεως " = #F ( ) = 0 " = 0 Υποθέτουµε ότι 0 = r F + r F +"+ r n F n γύρω από το σηµείο Ο(0,0) Η ροπή των δυνάµεων P = ( r " r p ) # F ως προς + ( r " r P ) # F το σηµείο P +"+ ( r n " r P ) # F είναι: n P = r " F + r " F +"+ r n " F n # r p " ( F + F +"+ F n ) P = " # r p $ %F ( ) P = 0 " 0 = 0

ΦΥΣ 3 - Διαλ.6 6 Κάτι ακόµα από θεωρία Κέντρο βάρους q Η δύναµη της βαρύτητας δεν προκαλεί καµιά ροπή γύρω από το κέντρου βάρους è Δέν υπάρχει περιστροφή. q Κέντρο βάρους είναι το σηµείο όπου το ολικό βάρος ενός συστήµατος ή σώµατος µπορεί να θεωρηθεί ότι ενεργεί: X " = # i # i F g i x i F g i q Που είναι το δικό σας? q Μπορείτε να σηκωθείτε από µια καρέκλα χωρίς να περιστρέφεστε/µετακινήστε?

Παράδειγµα Δύο ζυγαριές στηρίζουν τα άκρα µιας οµοιόµορφης σανίδας µήκους L 0 και µάζας Μ. Ένα άτοµο µάζας m βρίσκεται πάνω στη σανίδα σε απόσταση L στην απόσταση των ζυγαριών. H σανίδα και το άτοµο είναι σε ηρεµία. Ποιο το µέγεθος της δύναµης που ασκεί κάθε ζυγαριά στη σανίδα. Λύση ΦΥΣ 3 - Διαλ.6 7 Ας υποθέσουµε ότι η σανίδα είναι το σύστηµά µας. Οι δυνάµεις είναι: F σύστημα F Το βάρος της σανίδας W, το βάρος του ατόµου W, οι δυνάµεις των ζυγαριών F και F. L 0 / L 0 -L W W F + F W W = 0 " F + F = (m + M)g H δεύτερη συνθήκη ισορροπίας είναι ότι η ολική ροπή ως προς ένα σηµείο να είναι µηδέν. Διαλέγουµε σα σηµείο το ένα άκρο της ράβδου ώστε να µηδενίσουµε την ροπή µιας δύναµης. Έστω το F. " = (L 0 # L)(#) = #(L 0 # L)() "#$ = L 0 "#$ = F L 0 (%&g) = % L 0 &g " + #"$ + %&' = 0 ( "# = $(L 0 $ L)() $ L 0 Mg + F L 0 = 0

ΦΥΣ 3 - Διαλ.6 8 Στατική ισορροπία q Γενικά αυτό που θα προσπαθούµε να κάνουµε είναι να διαλέγουµε σα σηµείο αναφοράς, το σηµείο στο οποίο ενεργούν οι περισσότερες δυνάµεις, γιατί τότε δεν υπάρχει µοχλοβραχίονας και εποµένως οι ροπές είναι µηδέν. Αυτή η συνθήκη κάνει τις εξισώσεις πολύ πιο απλές. q Παράδειγµα: Σκάλα µήκους l ακουµπά σε τοίχο. Ποια η θ min πριν γλιστρήσει N f θ CM N τοιχ cosθ " (a) F x = f N t = 0 () # F y = N " Mg = 0 Ροπές ως προς το σηµείο επαφής σκάλας εδάφους () ) I z = N "#$%#& lsin' ( Mg l cos' = 0 Από (γ): N "#$ lsin% = Mg l cos% tan" = Mg l Από (α): N "#$ = f max = µ s Mg Επομένως tan min = Mg µ s Mg " tan min = µ s N #$%& l

ΦΥΣ 3 - Διαλ.6 9 F εδ Σκάλα σε τοίχο - σχόλια Η αντίδραση του εδάφους στην σκάλα είναι: tan" = = tan# tan# Δηλαδή η δύναµη δεν έχει κατεύθυνση κατά µήκος της σκάλας F εδ f = tan F τοιχ. Αντίθετα, έχει διεύθυνση προς τα πάνω µε κλίση διπλάσια από την κλίση της σκάλας. Υπάρχει ένας cool τρόπος να δούµε γιατί αυτό ισχύει Σχεδιάζουµε τις γραµµές όλων των δυνάµεων. Το γεγονός ότι tanφ=tanθ υποδηλώνει ότι και οι 3 γραµµές των δυνάµεων περνούν από το ίδιο σηµείο H τοµή των γραµµών πρέπει να ισχύει για όλες τις περιπτώσεις που περιλαµβάνουν 3 δυνάµεις, γιατί αν δεν ήταν αληθινό, τότε µια δύναµη θα προκαλούσε ροπή ως προς το σηµείο τοµής των άλλων δύο. Αλλά τότε θα είχαµε # " 0 Εποµένως 3 δυνάµεις è οι γραµµές τους τέµνονται σε ένα σηµείο

ΦΥΣ 3 - Διαλ.6 0 Παραδείγµατα: H γη είναι µια οµοιόµορφη σφαίρα µε ακτίνα R=6.4x0 6 m και Μ=5.98x0 4 kg. Ποια είναι η στροφορµή της? B I = 5 MR L = I = 7."0 33 kgm /s N Διεύθυνση? Η γη γυρνά αντίθετα µε τη φορά των δεικτών του ρολογιού. Παράδειγµα νοσοκοµείου T T θ α () F x = 0 = "m gcos# + m gcosa () F y = 0 = m gsin" + m gsina #W Οι ροπές ως προς τη λεκάνη? 0 m W m Εποµένως διαιρoύµε ()/() και συνεχίζουµε ανάλογα µε τι δίνεται m,θ m, α

Παράδειγµα Μια οριζόντια δοκός µάζας m είναι στερεωµένη στο αριστερό της άκρο σε σηµείο ώστε να µπορεί να περιστρέφεται. Το δεξί της άκρο κρατά µια µεγάλη µάζα Μ, και στο σηµείο αυτό στηρίζεται µε τη βοήθεια ενός χοντρού σύρµατος το οποίο σχηµατίζει γωνία 30 ο µε την οριζόντια διεύθυνση. Το σύρµα είναι στερεωµένο στο τοίχο. Να βρεθεί η τάση στο σύρµα καθώς και η οριζόντια και κατακόρυφη δύναµη στο σηµείο στήριξης της δοκού στο τοίχο. F y F x T Mg Λύση H δεύτερη συνθήκη ισορροπίας στερεού είναι: F = 0 " F x = 0 F y = 0 Οι δυνάµεις που ασκούνται στο σύστηµα είναι: T, Mg,, F x και F y Θεωρώντας τις ροπές ως προς το σηµείο στήριξης της δοκού θα έχουµε: " = 0 Mgl + l " Tl sin 30o = 0 T = Mg + T = g( M + m) F x T x = 0 " F x = T cos30 o ΦΥΣ 3 - Διαλ.6 F x = 3 g M + m ( ) F y + T y Mg = 0 " F y = g( M + m) T sin30 o F y = g( M + m) " g ( M + m ) F y =

Παράδειγµα Μια οριζόντια δοκός µάζας m είναι στερεωµένη στο αριστερό της άκρο σε σηµείο ώστε να µπορεί να περιστρέφεται. Το δεξί της άκρο κρατά µια µεγάλη µάζα Μ, και στο σηµείο αυτό στηρίζεται µε τη βοήθεια ενός χοντρού σύρµατος το οποίο σχηµατίζει γωνία 30 ο µε την οριζόντια διεύθυνση. Το σύρµα είναι στερεωµένο στο τοίχο. Να βρεθεί η τάση στο σύρµα καθώς και η οριζόντια και κατακόρυφη δύναµη στο σηµείο στήριξης της δοκού στο τοίχο. F y F x T Λύση Οι δυνάµεις που ασκούνται στο σύστηµα είναι: T, Mg,, F x και F y Θεωρώντας τις ροπές ως προς το σηµείο στήριξης Mg της δοκού θα έχουµε: " = 0 Mgl + l " Tl sin 30o = 0 T = Mg + T = g( M + m) H δεύτερη συνθήκη ισορροπίας στερεού είναι: F = 0 " F x = 0 F y = 0 F x T x = 0 " F x = T cos30 o ΦΥΣ 3 - Διαλ.6 F x = 3 g M + m ( ) F y + T y Mg = 0 " F y = g( M + m) T sin30 o F y = g( M + m) " g ( M + m ) F y =

Παράδειγμα στατικής ισορροπίας Τρεις ράβδοι µάζας m σχηµατίζουν τις τρεις πλευρές ενός τετραγώνου όπως στο σχήµα. Τα σηµεία σύνδεσης µεταξύ των ραβδών µε το τοίχο είναι λεία. Τα µέσα της υψηλότερης και κατακόρυφης ράβδου συνδέονται µε ένα αβαρές νήµα. Ποια είναι η τάση στο νήµα. m Λύση N T m l l m l Ν= Κοιτάζουµε τις ροπές όλου του συστήµατος ως προς το σηµείο στήριξης της πάνω ράβδου Οι εξωτερικές δυνάµεις και ροπές τους που ενδιαφέρουν είναι l + l + l Nl = 0 Nl = l N = Eξετάζουµε τη συνισταµένη των δυνάµεων στη κατώτερη ράβδο F x = 0 " N # R x = 0 " N = R x = H δύναµη R x εξασκείται από την κατακόρυφο ράβδο Σύµφωνα µε το 3 ο νόµο του Newton και η κατώτερη ράβδος ασκεί ίση και αντίθετη δύναµη στην κατακόρυφο ράβδο R x = Κοιτάζουµε τις ροπές στην κατακόρυφο ράβδο ως προς το ανώτερο άκρο της. Οι ενδιαφέρουσες ροπές είναι: T l cos 45o = Nl T 4 = N T = 4 ΦΥΣ 3 - Διαλ.6 T = 4 3

Παράδειγµα - ισορροπία στερεού Μια συµπαγής σφαίρα µάζας Μ και ακτίνας R είναι ακίνητη στηριζόµενη σε ένα σκαλοπάτι ύψους h (h<<r). Ποια µέγιστη οριζόντια δύναµη F µπορούµε να ασκήσουµε στο ανώτερο σηµείο της σφαίρας χωρίς να ανεβάσουµε τη σφαίρα στο σκαλοπάτι; Λύση F Οι δυνάµεις που ασκούνται στη σφαίρα είναι: F,, N και Ν N N Για τη µέγιστη δύναµη F η αντίδραση Ν = 0 (η σφαίρα είναι έτοιμη να ανέβει το σκαλοπάτι) Αφού η σφαίρα είναι σε ισορροπία (στο σκαλοπάτι) τότε: " = 0 (ως προς το σκαλοπάτι για να µηδενίσουµε την ροπή της άγνωστης δύναµης Ν ) Οπότε: " = 0 # $ F = 0 # d $ Fl = 0 d = Fl R R-h h R d S Αλλά l = R h d = R ( R h) ( ) ( ) F = h R " h R " h F = ΦΥΣ 3 - Διαλ.6 Rh h = F ( R h) h R " h ( ) 4