Νόμος Faraday Κανόνας Lenz Αυτεπαγωγή - Ιωάννης Γκιάλας 7 Μαίου 014
Στόχοι διάλεξης Πώς να: υπολογίζει την μεταβολή της μαγνητικής ροής. εφαρμόζει το νόμο του Faraday για τον υπολογισμό της επαγόμενης ηλεκτρεγερτικής δύναμης (ΗΕΔ) σε ένα κύκλωμα. βρίσκει την πολικότητα μίας επαγόμενης ΗΕΔ χρησιμοποιώντας τον κανόνα το Lenz. αναγνωρίζει και να υπολογίζει την αυτεπαγωγή στοιχείων του κυκλώματος. υπολογίζει την αποθηκευμένη ενέργεια και την πυκνότητα ενέργειας σε ένα μαγνητικό πεδίο. περιγράφει την αρχή λειτουργίας δύο βασικών τεχνολογικών εφαρμογών που βασίζονται στην ηλεκτρομαγνητική επαγωγή. γράφει τις εξισώσεις του Maxwell και να εξηγεί πως από αυτές προκύπτουν τα ηλεκτρομαγνητικά κύματα. 7/5/014 I. Gkialas, FME Dpt., U of Aegean, Physics II
Μαγνητική επαγωγή V W e eed e Bd 7/5/014 I. Gkialas, FME Dpt., U of Aegean, Physics II 3
Κίνηση πλαισίου σχήματος ορθογώνιου παραλληλόγραμμου σε ομογενές μαγνητικό πεδίο 7/5/014 I. Gkialas, FME Dpt., U of Aegean, Physics II 4
Κίνηση πλαισίου σε ανομοιογενές μαγνητικό πεδίο 7/5/014 I. Gkialas, FME Dpt., U of Aegean, Physics II 5
7/5/014 I. Gkialas, FME Dpt., U of Aegean, Physics II 6 1 1 0 1 0 lim lim N i i N s N i i i N s q q W HE Δs E Δs F i L
Μεταβολή μαγνητικής ροής κατά την κίνηση αγώγιμου πλαισίου μέσα σε ανομοιογενές μαγνητικό πεδίο S S B d B d db B d B 1 1 1 7/5/014 I. Gkialas, FME Dpt., U of Aegean, Physics II 7
Νόμος του Faraday d B db 1 B d 7/5/014 I. Gkialas, FME Dpt., U of Aegean, Physics II 8
Κανόνας του Lenz Μεταβολή της μαγνητικής ροής μέσα από τον βρόχο σαν αποτέλεσμα της κίνησης του μόνιμου μαγνήτη προς το βρόχο. 7/5/014 I. Gkialas, FME Dpt., U of Aegean, Physics II 9
Κανόνας του Lenz () Μεταβολή της μαγνητικής ροής μέσα από τον βρόχο σαν αποτέλεσμα της απομάκρυνσης του μόνιμου μαγνήτη από το βρόχο Όταν κάποιο αίτιο επάγει ΗΕΔ σε ένα κύκλωμα, το επαγόμενο ρεύμα αντιτίθεται στο αίτιο που προκάλεσε την επαγόμενη ΗΕΔ 7/5/014 I. Gkialas, FME Dpt., U of Aegean, Physics II 10
Κινητική επαγωγή F=F L sinθ=(qvb)(υ d /v)=qbυ d W ( qb )( t) ( qb)( t) d W qb d dl qb L qbl 7/5/014 I. Gkialas, FME Dpt., U of Aegean, Physics II 11
Με το νόμο Faraday Άρα W q qbl q BL Με το νόμο Faraday Α=Lx. Φ m =BA=BLx Σε χρόνο dα=ldx dφ m /=BLdx/= -BLυ Σύμφωνα με το σχήμα x=-z d m B L 7/5/014 I. Gkialas, FME Dpt., U of Aegean, Physics II 1
Αυτεπαγωγή Το φαινόμενο στο οποίο επάγεται ΗΕΔ σε ένα κύκλωμα από την μεταβολή του ηλεκτρικού ρεύματος στο ίδιο το κύκλωμα λέγεται αυτεπαγωγή. 7/5/014 I. Gkialas, FME Dpt., U of Aegean, Physics II 13
Αυτεπαγωγή Σωληνοειδές N m LI L d N m L d L N m di L di L 1 henry (H) =1Volt second / ampere 7/5/014 I. Gkialas, FME Dpt., U of Aegean, Physics II 14
Παράδειγμα Αποδείξτε ότι η αυτεπαγωγή σωληνοειδούς μεγάλου μήκους δίνεται από την σχέση L=μ 0 n DA, όπου n είναι ό αριθμός των περιελίξεων ανά μονάδα μήκους, D το μήκος του σωληνοειδούς, και Α η διατομή του σωληνοειδούς. 7/5/014 I. Gkialas, FME Dpt., U of Aegean, Physics II 15
Λύση m BA 0nIA N m LI N Nm 0 IA LI L D 0N A D L ( nd) D A 0 0n DA 7/5/014 I. Gkialas, FME Dpt., U of Aegean, Physics II 16
Ενέργεια αποθηκευμένη σε μαγνητικό πεδίο di L RI 0 di dq dq L dq RI 0 du dq L di L dq di L I di 7/5/014 I. Gkialas, FME Dpt., U of Aegean, Physics II 17
Ενέργεια σε μαγνητικό πεδίο U 1 LI max U 1 U du LIdI U LI 0 0 I 4.18 7/5/014 I. Gkialas, FME Dpt., U of Aegean, Physics II 18
Β=μ 0 ni Πυκνότητα ενέργειας 1 U LI 1 I 1 m = Al Al Al 0n Al 0n I u m 1 0 B 7/5/014 I. Gkialas, FME Dpt., U of Aegean, Physics II 19
Παράδειγμα Μία ράβδος μήκους L βρίσκεται στο ίδιο επίπεδο και είναι κάθετη σε μακρύ ευθύγραμμο σύρμα που διαρρέεται από ρεύμα Ι (πχ. φαντασθείτε ότι και τα δύο βρίσκονται στην επιφάνεια ενός λείου τραπεζιού). Η ράβδος κινείται με ταχύτητα υ παράλληλα προς το σύρμα. Να βρεθεί η επαγωγική ΗΕΔ που αναπτύσσεται στα άκρα της. 7/5/014 I. Gkialas, FME Dpt., U of Aegean, Physics II 0
Λύση B I 0 r dv=bυdr. HE al al 0I 0I 1 0I a L HE dv dr dr ln r r a 0 a a 7/5/014 I. Gkialas, FME Dpt., U of Aegean, Physics II 1
Άσκηση Ένας χάλκινος βρόχος ακτίνας 10 cm με διάμετρο σύρματος 1 mm τοποθετείται κάθετα μέσα σε ομογενές μαγνητικό πεδίο, το οποίο μεταβάλλεται με σταθερό ρυθμό 0.01 Τ/s από μηδέν μέχρι 1 Τ. Βρείτε (α) Το ρυθμό παραγωγής ενέργειας που εκλύεται υπό την μορφή θερμότητας πάνω στο σύρμα του βρόχου. (H ειδική αντίσταση του χαλκού είναι 1.710-8 Ωm). (β) Την συνολική θερμική ενέργεια που εκλύεται. 7/5/014 I. Gkialas, FME Dpt., U of Aegean, Physics II
Λύση R L A 1.7 10 m 0.1 m 3.4 10 8 3 3 10 m V d d db 1 BA A Ts 0.01 0.1 3.1410 Volt m 4 P V R 4 3.1410 5 W.9 10 W 3.4 10 3 E P t.9 10 4 J 7/5/014 I. Gkialas, FME Dpt., U of Aegean, Physics II 3
Άσκηση Ένα ορθογώνιο πλαίσιο διαστάσεων a και b μπαίνει με ταχύτητα υ κάθετα σε περιοχή σταθερού μαγνητικού πεδίου Β που δημιουργείται από μαγνήτη με πόλους ορθογώνιας διατομής μήκους D και L, έτσι ώστε η πλευρά a να είναι παράλληλη στην πλευρά D. (α) Υπολογίστε την ροή Φ m σαν συνάρτηση του μήκους x του πλαισίου που βρίσκεται μέσα στο μαγνητικό πεδίο. (β) Παραστήσετε την Φ m γραφικά, (γ) Παραστήσετε ποιοτικά την επαγώμενη ΗΕΔ. 7/5/014 I. Gkialas, FME Dpt., U of Aegean, Physics II 4
Φ m =0 έξω από τον μαγνήτη Λύση Φ m =B(ab) πλήρως μέσα στο μαγνήτη. Φ m =B(xb) εισερχόμενο Φ m =Bb(α-(x-D)) εξερχόμενο. 7/5/014 I. Gkialas, FME Dpt., U of Aegean, Physics II 5
Λύση (β) ΗΕΔ V d m d dx Bbx Bb Bb 0 V d m d dx Bb( a ( x D)) Bb Bb 0 7/5/014 I. Gkialas, FME Dpt., U of Aegean, Physics II 6
Άσκηση Υπολογίστε την ενέργεια που είναι αποθηκευμένη στο μαγνητικό πεδίο της γής στον χώρο που περιέχεται μεταξύ της επιφάνειας της Γης (ακτίνα περίπου 6500 km) και σε ύψος 5 km. Το μαγνητικό πεδίο της Γης είναι 510-5 Τ και μπορεί να θεωρηθεί σταθερό στην περιοχή που αναφέρεται στο πρόβλημα. 7/5/014 I. Gkialas, FME Dpt., U of Aegean, Physics II 7
Λύση u m B 0 510 4 10 5 7 T Tm/ A 0.9910 3 Jm 3 V 1 3 18 3 4R h 43.14 6.5 10 m 510 m.6510 m U m u m V.6510 15 J.6510 3 TJ ( Terajoule ) 7/5/014 I. Gkialas, FME Dpt., U of Aegean, Physics II 8
Ηλεκτρογεννήτριες d d cos( t) m BA BA sin( t) 4.1 7/5/014 I. Gkialas, FME Dpt., U of Aegean, Physics II 9
Μετασχηματιστές V 1 N 1 E N 1 d m 4. V N E N d m 4.3 V V 1 N N 1 4.4 7/5/014 I. Gkialas, FME Dpt., U of Aegean, Physics II 30
Ηλεκτρομαγνητικές ταλαντώσεις - Κυκλώματα LC 1 Q C E C E L 1 LI 4.6 7/5/014 I. Gkialas, FME Dpt., U of Aegean, Physics II 31
7/5/014 I. Gkialas, FME Dpt., U of Aegean, Physics II 3
Μηχανικό ανάλογο 7/5/014 I. Gkialas, FME Dpt., U of Aegean, Physics II 33
dq de d EL EC d 1 1 Q 0 LI 0 C di Q dq di Q d dq Q LI 0 LI I 0 0 C C LC Q 1 Q LC I Q0 cos( t ) (4.7. ) 7/5/014 I. Gkialas, FME Dpt., U of Aegean, Physics II 34 4.7 Q0 sin( t ) (4.7. ) 1 LC dq 4.8
Παράδειγμα Περιγράψτε σαν συνάρτηση του χρόνου την ενέργεια του πηνίου, την ενέργεια του πυκνωτή και την ολική ενέργεια. Απάντηση Είδαμε ότι μία συνάρτηση που ικανοποιεί την εξίσωση 4.7 είναι η Q = Q 0 sin(ωt+φ). Κατά συνέπεια η ένταση ρεύματος δίνεται από την Ι=Q 0 ωcos(ωt+φ)= Ι 0 cos(ωt+φ). Αν δεχθούμε για t=0, ότι I=I 0, έπεται ότι φ=0. Επίσης, τότε το Q=0. H ενέργεια του πυκνωτή θα είναι 7/5/014 I. Gkialas, FME Dpt., U of Aegean, Physics II 35
E C Q Q 0 sin C C t LI 1 EL LI0 cos t Q0 1 EL EC EL sin t LI0 cos t C E Q 0 C Q E E LI C max max 0 C L 0 7/5/014 I. Gkialas, FME Dpt., U of Aegean, Physics II 36
Άσκηση Ένα κύκλωμα LC με L=0.05 H τίθεται σε ταλάντωση. Το μέγιστο ρεύμα που μπορεί να περάσει το κύκλωμα χωρίς αυτό να καταστραφεί είναι 50 ma. (a) Αν ο πυκνωτής έχει τάση κορυφής 50 V μπορεί το κύκλωμα να λειτουργήσει ασφαλώς σε συχνότητα 1 MHz; (β) Πόση είναι η ελάχιστη χωρητικότητα; (γ) Πόση είναι η μέγιστη συχνότητα λειτουργίας; 7/5/014 I. Gkialas, FME Dpt., U of Aegean, Physics II 37
(α) Λύση Η μέγιστη ενέργεια που μπορεί να αποθηκευθεί στο σύστημα είναι 3 5010 J 0. mj Emax LImax 0.05 15 Η χωρητικότητα που αντιστοιχεί σε συχνότητα ν = 1 ΜΗz είναι 1 1 1 1 1 C 4 L 4 3.14 10 0.05 0.510 F LC Qmax Η μέγιστη ενέργεια επίσης δίνεται από την σχέση Emax. Άρα το μέγιστο C φορτίο που πρέπει να κρατήσει ο πυκνωτής για την δεδομένη χωρητικότητα είναι 3 1 9 0.15 10 0.5 10 1/ 7.9 C Qmax Emax C 10 Σε αυτή την περίπτωση ο πυκνωτής θα έχει δυναμικό 9 Q 7.9 10 3 V V 15.810 V 1 C 0.510 Αυτή η τιμή είναι πολύ μεγαλύτερη από το V max = 50 V που μπορεί να αντέξει ο πυκνωτής. 7/5/014 I. Gkialas, FME Dpt., U of Aegean, Physics II 38
Λύση Για δεδομένη ενέργεια του κυκλώματος, η ελάχιστη χωρητικότητα δίνεται από 3 Qmax Vmax C E.1510 E Cmin C C V 50 max 0 7 0.510 F (γ) Η μέγιστη συχνότητα λειτουργίας βρίσκεται από την σχέση 1 1 max max max LC LC 1 min 7 0.05 0.5 10 1/ 637 Hz 7/5/014 I. Gkialas, FME Dpt., U of Aegean, Physics II 39 min
Άσκηση Ένα κύκλωμα LC με L=0.05 H τίθεται σε ταλάντωση. Το μέγιστο ρεύμα που μπορεί να περάσει το κύκλωμα χωρίς αυτό να καταστραφεί είναι 50 ma. (a) Αν ο πυκνωτής έχει τάση κορυφής 50 V μπορεί το κύκλωμα να λειτουργήσει ασφαλώς σε συχνότητα 1 MHz; (β) Πόση είναι η ελάχιστη χωρητικότητα; (γ) Πόση είναι η μέγιστη συχνότητα λειτουργίας; 7/5/014 I. Gkialas, FME Dpt., U of Aegean, Physics II 40
Ηλεκτρομαγνητικά πεδία HE Eds Eds E ds E R C C C 7/5/014 I. Gkialas, FME Dpt., U of Aegean, Physics II 41
W q lim l0 N N i1 E i Δl i q (4.9) Η δύναμη που ασκείται σε ένα φορτίο από ένα εξ επαγωγής ηλεκτρικό πεδίο δεν είναι διατηρητική. 7/5/014 I. Gkialas, FME Dpt., U of Aegean, Physics II 4
Άσκηση Ένα μαγνητικό πεδίο περιορίζεται σε χώρο κυκλικής διατομής R=10 cm. Το μέτρο του μεταβάλλεται με σταθερό ρυθμό 0.01 Τ/s. Περιγράψτε την στιγμιαία επιτάχυνση a (υπογραμμίζω: διάνυσμα) που υφίσταται ένα ηλεκτρόνιο που θα βρεθεί σε απόσταση από το κέντρο του πεδίου (α) 5 cm, (β) 10 cm, (γ) 15 cm. 7/5/014 I. Gkialas, FME Dpt., U of Aegean, Physics II 43
Λύση F ma Ee a Ee m db Er E db r a e m db r 1.7610 11 0.1 r a 8.810 9 r 7/5/014 I. Gkialas, FME Dpt., U of Aegean, Physics II 44
Λύση r = 0.05m a 8.810 9 0.05ms 0.4410 9 ms r = 0.1 m ρ = r = R = 0.1 m a 8.810 9 0.1ms 0.8810 9 ms r = 0.15 m ρ = R = 0.1 m a 8.810 9 0.1 0.15 ms 1 0.5910 7/5/014 I. Gkialas, FME Dpt., U of Aegean, Physics II 45 9 ms 1
Εξισώσεις Maxwell S S C C Eds B ds Edl q 0 0 0 0 4.30 0 4.31 t m B dl I t E 4.3 4.33 7/5/014 I. Gkialas, FME Dpt., U of Aegean, Physics II 46