ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Ημερομηνία: 5//07 Ώρα εξέτασης: 09:0 -:0 ΟΔΗΓΙΕΣ: Να λύσετε όλα τα θέματα Κάθε θέμα βαθμολογείται με 0 μονάδες Να γράφετε με μπλέ ή μαύρο μελάνι (τα σχήματα επιτρέπεται με μολύβι) Δεν επιτρέπεται η χρήση διορθωτικού υγρού 4 Δεν επιτρέπεται η χρήση υπολογιστικής μηχανής ΘΕΜΑΤΑ Αν xy,, πραγματικοί αριθμοί με xy 4, να αποδείξετε ότι y x x y Αν,, πραγματικοί αριθμοί με, να αποδείξετε ότι Στο σχήμα τα σημεία Β,Γ,Ε είναι A Δ συνευθειακά, τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΔΓΕ είναι ορθογώνια, έχουν ίσες τις υποτείνουσες ΒΓ, ΓΕ και ίσα τα ύψη προς B Γ τις υποτείνουσες Να αποδείξετε ότι: α) β) το εμβαδόν του τετραπλεύρου ΑΔΕΒ είναι τριπλάσιο από το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ Ε 4 Ένας αγοραστής μέτρησε το μήκος λάστιχου που χρειαζόταν για τον κήπο του και έγραψε το μήκος σε ένα χαρτί ( πχ χ μέτρα και ψ εκατοστά) Ο πωλητής έκανε λάθος και του έδωσε ψ μέτρα και χ εκατοστά Όταν ο αγοραστής χρησιμοποίησε,5 μέτρα, διαπίστωσε ότι είχε στη διάθεσή του ακόμα διπλάσιο μήκος λάστιχου από αυτό που έγραψε αρχικά στο χαρτί Να βρείτε το πραγματικό μήκος του λάστιχου που παρήγγειλε ο αγοραστής 5 Έστω 49 40 49 40 K n n, όπου n N 4 4 α) Να αποδείξετε ότι K 49 n β) Να βρείτε όλους τους ακέραιους αριθμούς n, για τους οποίους η παράσταση K είναι ακέραιος αριθμός
ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Ημερομηνία: 5//07 Ώρα εξέτασης: 09:0 -:0 ΟΔΗΓΙΕΣ: Να λύσετε όλα τα θέματα Κάθε θέμα βαθμολογείται με 0 μονάδες Να γράφετε με μπλε ή μαύρο μελάνι (τα σχήματα επιτρέπεται με μολύβι) Δεν επιτρέπεται η χρήση διορθωτικού υγρού 4 Δεν επιτρέπεται η χρήση υπολογιστικής μηχανής ΘΕΜΑΤΑ Να βρείτε όλους τους ακεραίους k για τους οποίους η παράσταση είναι τέλειο τετράγωνο ακεραίου k 9k 9 Έστω 49 40 49 40 K n n, όπου n N 4 4 α) Να αποδείξετε ότι K 49 n β) Να βρείτε όλους τους ακέραιους αριθμούς n, για τους οποίους η παράσταση K είναι ακέραιος αριθμός Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ Η μεσοκάθετος της πλευράς ΑΒ τέμνει την ΑΓ στο σημείο Η και η μεσοκάθετος της πλευράς ΑΓ τέμνει την ΑΒ στο σημείο Ζ Αν η παράλληλη από το Η προς την ΑΒ τέμνει τη μεσοκάθετο της πλευράς ΒΓ στο σημείο Θ, να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΑΗΘΖ είναι παραλληλόγραμμο 4 Για τη συνάρτηση f : N R ισχύει n n n f f f n, n N f f f n n, n N Να αποδείξετε ότι 5 Το άθροισμα 6 φυσικών αριθμών είναι 007 Να βρείτε τη μεγαλύτερη δυνατή τιμή των μέγιστων κοινών διαιρετών τους
ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Ημερομηνία: 5//07 Ώρα εξέτασης: 09:0 -:0 ΟΔΗΓΙΕΣ: Να λύσετε όλα τα θέματα Κάθε θέμα βαθμολογείται με 0 μονάδες Να γράφετε με μπλέ ή μαύρο μελάνι (τα σχήματα επιτρέπεται με μολύβι) Δεν επιτρέπεται η χρήση διορθωτικού υγρού 4 Δεν επιτρέπεται η χρήση υπολογιστικής μηχανής ΘΕΜΑΤΑ Για την ακολουθία πραγματικών αριθμών n n N nn n n, n N Να αποδείξετε ότι n n, n N είναι n 0, n N και ισχύει Το άθροισμα 6 φυσικών αριθμών είναι 007 Να βρείτε τη μεγαλύτερη δυνατή τιμή των μέγιστων κοινών διαιρετών τους Να βρείτε τη συνάρτηση f : R R για την οποία γνωρίζουμε ότι είναι συνεχής στο 0 με x x f x f f x, x R 4 f 0 και ισχύει 4 Σε ορθογώνιο ΑΒΓΔ φέρουμε τις διαγωνίους ΑΓ, ΒΔ και την ΒΕ κάθετη στην ΑΓ (Ε σημείο της ΑΓ) Αν η διχοτόμος της γωνίας ΔΒΕ τέμνει την ΑΓ στο Μ και την ΔΓ στο Ζ και η κάθετος από το Γ στην ΒΖ τέμνει τη ΒΖ στο Ν και την ΒΔ στο Κ, να αποδείξετε ότι οι ευθείες ΕΝ και ΜΚ τέμνονται πάνω στην ΑΒ 5 Παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ καλύπτεται από τρίγωνο ΚΛΜ Να αποδείξετε ότι
ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 007 Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΛΥΣΕΙΣ Αν xy,, πραγματικοί αριθμοί με xy 4, να αποδείξετε ότι y x x y y x x y x y y x 4 xy xy x yx xy y 4 xy y x x y 4xy 4 4 4 xy 4 xy 4 4 4
Αν,, πραγματικοί αριθμοί με, να αποδείξετε ότι Στο σχήμα τα σημεία Β,Γ,Ε είναι A Δ B Γ Ε
συνευθειακά, τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΔΓΕ είναι ορθογώνια, έχουν ίσες τις υποτείνουσες ΒΓ, ΓΕ και ίσα τα ύψη προς τις υποτείνουσες Να αποδείξετε ότι: α) β) το εμβαδόν του τετραπλεύρου ΑΔΕΒ είναι τριπλάσιο από το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ A Δ B Z M Γ H N Ε α) Φέρουμε τις διαμέσους ΑΜ, ΔΝ των ορθογωνίων τριγώνων ΑΒΓ, ΓΔΕ αντίστοιχα Τότε ΑΜ= ΔΝ= ΜΒ= ΜΓ= ΝΓ= ΝΕ και τα ορθογώνια τρίγωνα ΑΖΜ, ΔΗΝ είναι ίσα, από όπου και άρα τα ισοσκελή τρίγωνα ΑΜΒ, ΔΝΓ είναι ίσα Συνεπώς ΑΒ=ΔΓ και τα ορθογώνια τρίγωνα ΑΒΓ, ΔΓΕ είναι ίσα β) Επειδή, είναι ΑΒ//ΔΓ και αφού ΑΒ=ΔΓ, το ΑΔΓΒ είναι παραλληλόγραμμο Τότε (ΑΓΔ)=(ΑΒΓ)=(ΓΔΕ)=ε και συνεπώς (ΑΔΕΒ)= ε 4 Κάποιος μέτρησε το μήκος λάστιχου που χρειαζόταν για τον κήπο του και έγραψε το μήκος σε ένα χαρτί ( πχ χ μέτρα και ψ εκατοστά) Ο πωλητής έκανε λάθος και του
έδωσε ψ μέτρα και χ εκατοστά Όταν ο αγοραστής ξόδεψε,5 μέτρα, διαπίστωσε ότι είχε στη διάθεσή του ακόμα διπλάσιο μήκος λάστιχου από αυτό που έγραψε αρχικά στο χαρτί Να βρείτε το πραγματικό μήκος του λάστιχου που παρήγγειλε Έστω ότι ο αγοραστής παρήγγειλε χ μέτρα και ψ εκατοστά, δηλαδή (00 ) εκατοστά Σύμφωνα με το πρόβλημα, έχουμε 00 50 00 00 50 όπου Όμως 00 50 : :, με ακέραιο 0 99 99 0 49 50 48 0 99 0 98 49 00 48 0, 49, 48 και αφού ακέραιος, 0,, Από τις () και () έχουμε: Για 0 : Για : Για : 50 0, που δε δίνει ακέραιες λύσεις 0 50 00 50 4 4 50 00, που δε δίνει ακέραιες λύσεις Άρα παρήγγειλε 4 μέτρα και εκατοστά 5 Έστω 49 40 49 40 K n n, όπου n N 4 4
α) Να αποδείξετε ότι K 49 n β) Να βρείτε όλους τους ακέραιους αριθμούς n, για τους οποίους η παράσταση K είναι ακέραιος αριθμός Καταρχήν πρέπει 40 n 0 0 n 600 : 4 49 40 4 α) K 49 n K 49 n K 49 n K 0 β) K 49 K 49 n n, οπότε από την () έχουμε K 49 0 600 49 K 49 0 6 7 K 49 0 6 Για να είναι ο K ακέραιος, πρέπει K 7,8,9 και αφού n 0 ή n 56 K 49 n
ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 007 Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΛΥΣΕΙΣ Να βρείτε όλους τους ακεραίους k για τους οποίους η παράσταση είναι τέλειο τετράγωνο ακεραίου k 9k 9 Έστω k 9k 9 m, για κάποιο m Z Τότε m k m k 4 49 64 4 9 k k m k m από όπου έχουμε τις περιπτώσεις: m k 9 m m k 9 k 0 m k 9 m m k 9 k 9 m k 9 m m k 9 k 9 m k 9 m m k 9 k 0 Άρα k 9 ή k 0 9 9
Έστω 49 40 49 40 K n n, όπου n N 4 4 α) Να αποδείξετε ότι K 49 n β) Να βρείτε όλους τους ακέραιους αριθμούς n, για τους οποίους η παράσταση K είναι ακέραιος αριθμός Καταρχήν πρέπει 40 n 0 0 n 600 : 4 49 40 4 α) K 49 n K 49 n K 49 n K 0 β) K 49 K 49 n n, οπότε από την () έχουμε K 49 0 600 49 K 49 0 6 7 K 49 0 6 Για να είναι ο K ακέραιος, πρέπει K 7,8,9 και αφού n 0 ή n 56 K 49 n Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ Η μεσοκάθετος της πλευράς ΑΒ τέμνει την ΑΓ στο σημείο
Η και η μεσοκάθετος της πλευράς ΑΓ τέμνει την ΑΒ στο σημείο Ζ Αν η παράλληλη από το Η προς την ΑΒ τέμνει τη μεσοκάθετο της πλευράς ΒΓ στο σημείο Θ, να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΑΗΘΖ είναι παραλληλόγραμμο Α Δ Ε Β Μ Ο Η Γ Ζ Θ 4 Για τη συνάρτηση f : N R ισχύει
n n n f f f n, n N f f f n n, n N Να αποδείξετε ότι Είναι n N, nn n n n n f n f f f n f n f f f n n nn n n n6n n Άρα και αφού f n 0, n N, είναι, Έτσι, διαδοχικά έχουμε: f, f,, f n n nn f f f n n n n n n n n f n n n N και προσθέτοντας παίρνουμε: 5 Το άθροισμα 6 φυσικών αριθμών είναι 007 Να βρείτε τη μεγαλύτερη δυνατή τιμή των μέγιστων κοινών διαιρετών τους
Έστω, i,,,,6 οι αριθμοί και d ο ΜΚΔ τους i Τότε d / 007 και d/, i,,,,6 Άρα d, i,,,,6 Έχουμε i i 6 007 007 i 6d d i 6 Οι μόνοι διαιρέτες του 007 που είναι μικρότεροι του είναι,,9 και άρα d 9 Πράγματι, το 007 γράφεται 007 9 9 9 567 60 έ
ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 007 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΛΥΣΕΙΣ Για την ακολουθία πραγματικών αριθμών n n N nn n n, n N Να αποδείξετε ότι n n, n N Είναι n N, n n n n nn n n n n n nn n n n6n n είναι n 0, n N και ισχύει Άρα και αφού n 0, n N, είναι n n, n N Έτσι, διαδοχικά έχουμε:,,, n n και προσθέτοντας παίρνουμε: n n n n n n n n n n
Το άθροισμα 6 φυσικών αριθμών είναι 007 Να βρείτε τη μεγαλύτερη δυνατή τιμή των μέγιστων κοινών διαιρετών τους Έστω, i,,,,6 οι αριθμοί και d ο ΜΚΔ τους i Τότε d / 007 και d/, i,,,,6 Άρα d, i,,,,6 Έχουμε i i 6 007 007 i 6d d i 6 Οι μόνοι διαιρέτες του 007 που είναι μικρότεροι του είναι,,9 και άρα d 9 Πράγματι, το 007 γράφεται 007 9 9 9 567 60 έ
Να βρείτε τη συνάρτηση f : R R για την οποία γνωρίζουμε ότι είναι συνεχής στο 0 με x x 4 f 0 και ισχύει f x f f x, x R : Έστω ότι υπάρχει τέτοια συνάρτηση f x g x f x f x R g 0 f 0 f 0 0 Θέτω, Η g είναι συνεχής στο 0 και x x x x 4 Άρα διαδοχικά έχουμε: x g x g x x x g g x 4 4 x x g g x 4 8 6 f x f f f x g x g x, x R x x x g g n n n Με πρόσθεση κατά μέλη παίρνουμε: x g x g n x 4 n x n g x g x n 4 x 4 g x g x n n Επειδή η g είναι συνεχής στο 0 με g 0 0, παίρνοντας όρια καθώς n έχουμε 4x x 4x g x, x R f x f, x R, οπότε:
x 4 f x f x x x 4 f f x 4 4 x x 4 f f x 4 8 6 x x 4 x f f n n n και προσθέτοντας κατά μέλη, παίρνουμε x 4 f x f n x n 4 6 x 4 n f x f x n 4 x 6 f x f x n n 9 Επειδή η f είναι συνεχής στο 0 με f 0, παίρνοντας όρια καθώς n έχουμε 6x f x, x R 9 4 Σε ορθογώνιο ΑΒΓΔ φέρουμε τις διαγωνίους ΑΓ, ΒΔ και την ΒΕ κάθετη στην ΑΓ
(Ε σημείο της ΑΓ) Αν η διχοτόμος της γωνίας ΔΒΕ τέμνει την ΑΓ στο Μ και την ΔΓ στο Ζ και η κάθετος από το Γ στην ΒΖ τέμνει τη ΒΖ στο Ν και την ΒΔ στο Κ, να αποδείξετε ότι οι ευθείες ΕΝ και ΜΚ τέμνονται πάνω στην ΑΒ Α Τ Β Κ Μ Ν Ρ Δ Ζ Ε Γ Ας είναι, και Τότε Από το εγγράψιμο τετράπλευρο ΒΝΕΓ είναι και Από 0 Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΒΝΓ έχουμε 90 : και στο ισοσκελές τρίγωνο ΒΟΓ έχουμε :, προκύπτει 0 45 Έστω ότι η ΜΚ τέμνει την ΑΒ στο Τ Επειδή, το ΒΚΜΓ είναι εγγράψιμο, άρα 0 45 // Φέρουμε την ΤΝ και τότε από το εγγράψιμο ΤΚΝΒ έχουμε 0 45 : Αν Ρ το σημείο τομής των ΒΕ, ΓΝ τότε το Ρ είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου ΒΜΓ 0 0 90 45 και από το εγγράψιμο άρα ΜΡ//ΔΓ και 0 ΜΝΡΕ είναι 45 : 4 Από, 4, από όπου Τ, Ν, Ε είναι συνευθειακά, δηλαδή οι ευθείες ΜΚ, ΝΕ τέμνονται στο σημείο Τ της ΑΒ 5 Παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ καλύπτεται από τρίγωνο ΚΛΜ
Να αποδείξετε ότι Μ Λ Κ A B Υ Χ Δ Δ Γ Λ Γ Ζ Β Α Κ Οι προεκτάσεις των ΑΔ, ΒΓ τέμνουν την πλευρά ΚΛ στα σημεία Α, Β αντίστοιχα Κατασκευάζουμε το παραλληλόγραμμο Α Β Γ Δ ώστε να έχει το ίδιο εμβαδόν με το ΑΒΓΔ και τα Δ,Γ να βρίσκονται στα ευθύγραμμα τμήματα Α Α και Β Β αντίστοιχα Η ευθεία Δ Γ τέμνει τις πλευρές ΚΜ, ΛΜ στα σημεία Χ, Υ αντίστοιχα και έστω ΥΖ//ΚΜ και έτσι το ΧΥΖΚ είναι παραλληλόγραμμο Τότε Αρκεί να αποδείξουμε ότι Αν, τότε το συμμετρικό Λ του Λ ως προς το Υ βρίσκεται πάνω στην πλευρά ΛΜ και φέρουμε την Λ Κ //ΛΚ Στο τραπέζιο Λ Κ ΚΛ το ΧΥ είναι διάμεσος και άρα Αν, τότε το συμμετρικό Λ του Λ ως προς το Υ βρίσκεται στην προέκταση της πλευράς ΛΜ και παίρνοντας το συμμετρικό Μ του Μ ως προς το Υ, αυτό βρίσκεται πάνω στην πλευρά ΜΛ Φέρνουμε την Μ Κ //ΜΚ και εργαζόμαστε ομοίως με το τραπέζιο ΚΜΜ Κ Αν τέλος το Υ είναι το μέσον πλευράς ΛΜ, τότε ισχύει η ισότητα