Θεώρημα μεταβολής της Κινητικής ενέργειας

Θεώρημα μεταβολής της Κινητικής ενέργειας Λυμένες ασκήσεις Σώμα με μάζα = 2 Kg κινείται σε οριζόντιο επίπεδο με αρχική ταχύτητα υ 0 = 10 /s. Ασκείται σε αυτό οριζόντια δύναμη F = 10 N για χρόνο t = 2 s. Aν ο συντελεστής τριβής είναι μ = 0,2 να βρεθεί: α. Η ταχύτητα υ του σώματος στο τέλος των 2 s. β. Το ολικό διάστημα S ολ που διανύει το σώμα μέχρι να ακινητοποιηθεί. Λύση Στο σώμα ασκούνται το βάρος B, η κάθετη δύναμη επαφής Ν, η τριβή Τ και για τα πρώτα 2 s η δύναμη F. Από την ισορροπία στον άξονα y ισχύει: F = 0 N = B N = g Άρα Τ = μ Ν Τ = 0,2 20 = 4 Ν. Έχουμε: ΣF = α F T = α α = α = = 3 /s S = υ t + αt S = 10 2 + 3 2 = 26 α. Θα υπολογισθεί η ταχύτητα υ στο σημείο Γ από το θεώρημα μεταβολής της κινητικής ενέργειας για (Α) (Γ): K K = W + W + W + W (1) Όμως W = W = 0, διότι οι B και Ν είναι κάθετες στη μετατόπιση. Συνεπώς:

(1) υ υ = F S T S υ = υ + (F T) S υ = 10 + (10 4) 26 υ = 256 υ = 16 /s β. Από το Θ.Μ.Κ.Ε για (Α) (Δ) έχουμε: Κ Κ = W + W + W + W και αφού W = W = 0, τότε: Κ Κ = W + W 0 υ = T S + F S υ S = S + S = 26 + = 90 ή από το θεώρημα μεταβολής της κινητικής ενέργειας για (Γ) (Δ) θα ισχύει: Κ Κ = W + W + W 0 υ = T (S S) + 0 + 0 S = S + υ S = 26 + = 90 Σώμα με μάζα = 4 Kg ηρεμεί σε οριζόντιο επίπεδο και του ασκείται δύναμη F = 10 N πλάγια προς τα πάνω γωνία φ με το οριζόντιο επίπεδο. Η δύναμη F ασκείται στο σώμα για διάστημα S = 10. Να βρεθεί: α. Η ταχύτητα υ του σώματος για μετατόπιση 10 και β. Το ολικό διάστημα S ολ μέχρι να ακινητοποιηθεί το σώμα. Λύση α. Για τα πρώτα 10, στο σώμα ασκούνται το βάρος του B, η κάθετη δύναμη επαφής Ν, η τριβή Τ και η δύναμη F.

Αναλύουμε τη δύναμη F σε δύο κάθετες συνιστώσες F και F. Συνεπώς: συνφ = F = F συνφ F = 10 0,8 = 8 Ν ημφ = F = F ημφ F = 10 0,6 = 6 Ν Από την ισορροπία στον άξονα y έχουμε: ΣF = 0 Ν + F = Β Ν = Β F Ν = g F Ν = 4 10 6 = 34 Ν Οπότε έχουμε: T = μ Ν Τ = 0,2 34 = 6,8 Ν. Από το Θ.Μ.Κ.Ε για (Α) (Γ) έχουμε: Κ Κ = W + W + W + W + W (1) Όμως W = W = W = 0, επειδή οι Β, Ν, F είναι κάθετες στη μετατόπιση. Άρα: (1) υ 0 = 0 + 0 Τ S + F S + 0 υ = (F T) S υ = (8 6,8) 10 υ = 6 υ = 6 /s β. Από τη θέση (Γ) μέχρι τη θέση (Δ) στο σώμα ασκούνται το βάρος του Β, η κάθετη δύναμη επαφής και η τριβή. Εξαιτίας της απουσίας της F οι δύο τελευταίες δυνάμεις έχουν μέτρα N και T διαφορετικά από τα μέτρα τους στα πρώτα 10. ΣF = 0 N = B N = g N = 4 10 = 40 N T = μ N T = 0,2 40 = 8 Ν

Από το Θ.Μ.Κ.Ε για (Γ) (Δ) ισχύει: Κ Κ = W + W + W 0 υ = T (S S) S = S + υ S = 10 + = 11,5 Σώμα με μάζα = 1 Kg αφήνεται για να κινηθεί από την κορυφή κεκλιμένου επιπέδου που έχει ύψος h = 8 και γωνία κλίσης φ. Να βρεθεί η ταχύτητα του σώματος στη βάση του κεκλιμένου επιπέδου. Είναι γνωστά: συντελεστής τριβής ολίσθησης μ = 0,1 ημφ = 0,8, συνφ = 0,6 και g = 10 /s 2. Λύση Οι δυνάμεις που ασκούνται στο σώμα είναι το βάρος του Β, η κάθετη δύναμη επαφής Ν και η τριβή Τ. Πραγματοποιούμε ανάλυση του βάρους σε δύο κάθετες συνιστώσες που είναι η B (παράλληλη στο επίπεδο) και B. Ισχύει: συνφ = B = B συνφ B = g συνφ B = 1 10 0,6 = 6 Ν ημφ = B = B ημφ B = g ημφ B = 1 10 0,8 = 8 Ν Από την ισορροπία στον άξονα y έχουμε:

ΣF = 0 Ν = B Ν = 6 Ν Άρα Τ = μ Ν Τ = 0,1 6 = 0,6 Ν Από το σχήμα κατανοούμε ότι για τη μετατόπιση S έχουμε: ημφ = S = S =, = 10 Από το Θ.Μ.Κ.Ε από (Α) (Γ), ισχύει: Κ Κ = W + W + W + W (1) Όμως W = W = 0, επειδή οι Ν, Β είναι κάθετες στη μετατόπιση, συνεπώς: (1) υ 0 = B S T S υ = υ, = = 148 υ = 148 /s Σώμα με μάζα = 1 Kg εκτοξεύεται κατά μήκος κεκλιμένου επιπέδου με γωνία κλίσης φ = 45 από τη βάση του προς τα πάνω με αρχική ταχύτητα υ 0 = 20 /s. Αν το σώμα επιστρέφει στη βάση του κεκλιμένου με ταχύτητα υ = 10 /s να βρεθεί ο συντελεστής τριβής ολίσθησης μ. Δίνεται g = 10 s 2. Λύση Στο σώμα ασκούνται οι εξής δυνάμεις: το βάρος του B, η κάθετη δύναμη επαφής Ν και η τριβή Τ. Αναλύουμε το B σε δύο κάθετες συνιστώσες B (παράλληλη στο επίπεδο) και B. Ισχύει: συνφ = B = B συνφ B = g συν45 B = 1 10 = 5 2 Ν Όμως ισχύει ΣF = 0 Ν = B Ν = 5 2 Ν

ημφ = B = B ημφ B = g ημ45 B = 1 10 = 5 2 Ν α. Άνοδος Από το Θ.Μ.Κ.Ε για (Α) (Γ) έχουμε: Κ Κ = W + W + W + W (1) Όμως W = W = 0, επειδή οι Ν, Β είναι κάθετες στη μετατόπιση, συνεπώς: (1) 0 υ = B S T S υ = B S + μ Ν S β. Κάθοδος S = υ ( ) (2) Η τριβή έχει αλλάξει φορά. Από το Θ.Μ.Κ.Ε για (Γ) (Α) έχουμε: Κ Κ = W + W + W + W υ 0 = (B μ Ν) υ ( ) (B + μ Ν) υ = (B μ Ν) υ μ = (υ υ ) Ν(υ υ ) μ = ( ) ( ) = 0,6 Σώμα με μάζα = 1 Kg έχει κρεμαστεί από σχοινί με μήκος l = 1 και βρίσκεται σε ισορροπία. Εκτρέπεται το σώμα από τη θέση ισορροπίας κατά 60 και το αφήνουμε ελεύθερο να κινηθεί. Να βρεθεί η ταχύτητα του σώματος, όταν αυτό διέρχεται από τη θέση ισορροπίας του. Δίνεται g = 10 /s 2.

Λύση Στο σώμα ασκούνται το βάρος του Β και η τάση του νήματος Τ. Το μέτρο και η κατεύθυνση της Τ συνεχώς μεταβάλλονται. Αφού η τάση είναι διαρκώς κάθετη στη μετατόπιση, το W ισούται με μηδέν. Το βάρος είναι διατηρητική δύναμη. Επομένως, το έργο του βάρους από τη θέση (Α) στη θέση ισορροπίας (Γ) είναι ίσο με W = Β h = g h (1), όπου h είναι η κατακόρυφη απόσταση ΑΓ. Από το σχήμα βλέπουμε ότι: h = ΚΓ = ΟΓ ΟΚ = l lσυν60 = l(1 συν60 ) (1) W = g l(1 συν60 ) Έστω ότι το σώμα στη θέση ισορροπίας (Γ) έχει αποκτήσει ταχύτητα υ. Από το Θ.Μ.Κ.Ε για (Α) (Γ) έχουμε: Κ Κ = W + W υ 0 = g l(1 συν60 ) + 0 υ = 2gl(1 συν60 ) υ = 2 10 1(1 0,5) υ = 10 υ = 10 /s Σώμα με μάζα = 1 Kg αφήνεται να κινηθεί από την κορυφή τεταρτο-κυκλίου με ακτίνα R = 1. Αν το σώμα φτάνει στη βάση με ταχύτητα υ = 2 /s να βρεθεί το έργο της τριβής. Δίνεται g = 10 /s 2. Το σώμα θεωρείται σημειακό. Λύση Στο σώμα ασκούνται το βάρος του Β, η κάθετη δύναμη επαφής Ν και η τριβή Τ. Επειδή η διεύθυνση και το μέτρο της τριβής αλλάζουν συνεχώς δε γίνεται να βρεθεί άμεσα το έργο της. Από το Θ.Μ.Κ.Ε για (Α) (Γ) ισχύει: Κ Κ = W + W + W (1)

Όμως W = 0, επειδή η δύναμη τριβής Ν είναι κάθετη στη μετατόπιση, συνεπώς: (1) υ 0 = Β R + W W = υ g R W = 1 2 1 10 1 = 8 J Σώμα με μάζα = 1 Kg ηρεμεί σε οριζόντιο επίπεδο και του ασκείται οριζόντια δύναμη F που η αλγεβρική της τιμή δίνεται από τον τύπο F = 2x + 5, όπου η F μετριέται σε Ν και το x σε. Ο συντελεστής τριβής ολίσθησης είναι μ = 0,1. Να βρεθεί η ταχύτητα του σώματος, όταν x = 2 και g = 10 /s 2. Λύση Στο σώμα ασκούνται η δύναμη F, το βάρος του Β, η κάθετη δύναμη επαφής Ν και η τριβή Τ. Από την ισορροπία στην κατακόρυφο διεύθυνση ισχύει: N = B N = g N = 1 10 = 10 N Συνεπώς Τ = μ Ν Τ = 1 Ν Στη θέση Α(x = 0) η δύναμη F = 5 N > T, άρα το σώμα θα αρχίσει να κινείται μόλις αυτή η δύναμη F ασκηθεί πάνω του. Έστω ότι για x = 2 (θέση Ε) η δύναμη F = 9 N και το σώμα έχει αποκτήσει ταχύτητα υ. Από το Θ.Μ.Κ.Ε για (Α) (Ε) έχουμε: Κ Κ = W υ 0 = W + W + W + W (1) Όμως W = W = 0, επειδή οι Ν, Β είναι κάθετες στη μετατόπιση, συνεπώς: W = T x συν180 W = Τ x W = 1 2 = 2 J

Επειδή η F έχει μεταβλητό μέτρο, για να βρεθεί το W θα σχεδιασθεί η γραφική παράσταση F(x). To W είναι ίσο με το εμβαδόν του γραμμοσκιασμένου τραπεζίου: W = () Επομένως: = 14 J (1) υ = (W + W ) υ = ( 2 +14) υ = 24 υ = 2 6 /s Σώμα με μάζα = 1 Kg ηρεμεί σε λείο οριζόντιο επίπεδο και του ασκείται δύναμη F η οποία έχει γωνία φ προς τα πάνω με το επίπεδο και η αλγεβρική της τιμή υπολογίζεται με βάση τον τύπο F = 2x + 2, όπου η δύναμη F μετράται σε Ν και η μετατόπιση x σε. Να βρεθεί: α. Η ταχύτητα του σώματος μετά από x 1 = 1. β. Πού απογειώνεται το σώμα και τι ταχύτητα έχει εκείνη τη στιγμή. Δίνονται g = 10 /s 2, ημφ = 0,6, συνφ = 0,8. Λύση α. Στο σώμα ασκούνται η δύναμη F, το βάρος του Β, η κάθετη δύναμη επαφής Ν και η τριβή Τ. Αναλύουμε την F σε δύο κάθετες συνιστώσες F και F. Ισχύει: συνφ = F = (2x + x)συνφ (1) ημφ = F = (2x + x)ημφ Από το Θ.Μ.Κ.Ε για (Α) (Γ) ισχύει: Κ Κ = W + W + W + W (2)

Όμως W = W = W = 0, επειδή οι Ν, Β, F είναι κάθετες στη μετατόπιση. Αφού η F έχει μεταβλητό μέτρο, για να βρεθεί το έργο της, σχεδιάζεται η γραφική παράσταση F (x). Από την (1) προκύπτει: για x = 0, έχουμε F = 1,6 Ν για x = 1, έχουμε F = 3,2 Ν Το W είναι ίσο με το γραμμοσκιασμένο εμβαδόν που απεικονίζεται δίπλα. Ισχύει: W = (,,) = 2,4 J (2) υ Γ = W υ Γ = W υ Γ = 2,4 υ Γ = 4,8 υ Γ = 2,19 /s β. Όσο το σώμα κινείται στο οριζόντιο επίπεδο, από την ισορροπία στον άξονα y ισχύει N + F = B. Όταν το σώμα απογειώνεται, η Ν γίνεται μηδέν και F = Β (3). Έστω ότι αυτό γίνεται στη θέση Δ και για μετατόπιση x από το σημείο από όπου το σώμα ξεκίνησε έχουμε: (3) (2x + 2) ημφ = g 2x ημφ = g 2ημφ x = 1 x =, 1 7,3

Από Θ.Μ.Κ.Ε για (Α) (Δ) ισχύει: Κ Κ = W υ Δ 0 = W υ Δ = W (3) To έργο της F για μετατόπιση x προκύπτει ξανά από τη γραφική παράσταση F (x). Για x = 7,3. Άρα F = 13,3 Ν. (,,), W = = 54,4 J (3) υ Δ = 54,4 = 108,8 υ Δ = 10,4 /s Εφαρμογή της Α.Δ.Μ.Ε και ενεργειακές μετατροπές 14. Σώμα με μάζα =1 Kg εκτοξεύεται κατακόρυφα από το έδαφος προς τα άνω με αρχική ταχύτητα υ 0 =20 /s. Να βρεθεί: α. το μέγιστο ύψος h ax το οποίο θα φτάσει το σώμα, β.η ταχύτητα με την οποία το σώμα επιστρέφει στο έδαφος, γ. η ταχύτητα του σώματος σε ύψος x 1 =15 από το έδαφος, δ. σε ποιο ύψος το σώμα έχει ταχύτητα 15 /s, ε. η κινητική, δυναμική, μηχανική ενέργεια στο σημείο εκτόξευσης, καθώς και σε ύψος h ax 2. Λύση α. Εφόσον οι αντιστάσεις θεωρούνται αμελητέες ισχύει η αρχή διατήρησης της μηχανικής ενέργειας. Έχουμε: Ε () = Ε ()

U () + K () = U () + K () 0 + 1 2 υ = g h + 0 h = υ 2g h = 20 2 10 = 20 β. Έστω ότι το σώμα επιστρέφει στο έδαφος με ταχύτητα μέτρου u. Έχουμε: Ε () ό. = Ε (). υ = υ υ = υ = 20 /s γ. Για την ταχύτητα του σώματος έχουμε: Ε () = Ε () U () + K () = U () + K () gx + 1 2 υ = = 0 + u υ = υ 2gx υ = 20 2 10 15 υ = 100 υ = 10 /s δ. Έστω ότι το σώμα έχει ταχύτητα 15 /s στη θέση (Γ) που βρίσκεται σε ύψος x. Ε () = Ε () U () + K () = U () + K () gx + 1 2 υ = ε. = 0 + 1 2 u x = υ 2g υ 2g x = 20 2 10 15 2 10 = 8,75 Για την κινητική ενέργεια έχουμε: K () = 1 2 υ K () = 1 2 1 20 K () = 200 J Για την δυναμική ενέργεια ισχύει: U () = 0.

Για τη μηχανική κινητική ενέργεια ισχύει: Ε () = Κ () + U () = 200 + 0 = 200 J Έστω Λ η θέση που βρίσκεται σε ύψος Ισχύει: U () = g h 2 = 1 20 10 2 2 = 100 J από το έδαφος. Χάρη στην αρχή διατήρησης της μηχανικής ενέργειας έχουμε: Ε () = Ε () = 200 J Κ () = Ε () U () = 200 100 = 100 J Σώμα με μάζα = 1 Kg βρίσκεται στη βάση κεκλιμένου επιπέδου γωνίας κλίσης φ και σπρώχνεται προς τα πάνω από εργάτη, ο οποίος ασκεί δύναμη F = 20 N παράλληλη στο κεκλιμένο επίπεδο. Αν ο συντελεστής τριβής μεταξύ σώματος επιπέδου είναι μ = 0,5, να βρείτε: α. Την ταχύτητα του σώματος μετά από μετατόπιση S = 2. β. Τη χημική ενέργεια που κατανάλωσε ο εργάτης για να μετακινήσει το σώμα. γ. Τις ενεργειακές μετατροπές. δ.το ποσοστό της χημικής ενέργειας του εργάτη που μετατράπηκε σε αύξηση της θερμικής ενέργειας λόγω τριβών. Δίνονται: ημφ = 0,8, συνφ = 0,6, g=10 /s 2. Λύση α. Στο σώμα ασκούνται, εκτός από τη δύναμη F, το βάρος του Β, η κάθετη δύναμη επαφής από το επίπεδο Ν και η τριβή Τ. Αναλύουμε το βάρος σε δύο κάθετες συνιστώσες Β (παράλληλη στο επίπεδο) και Β.

ημφ = B = Βημφ B = gημφ B = 1 10 0,8 = 8 N συνφ = B = Βσυνφ B = gσυνφ B = 1 10 0,6 = 6 N Από την ισορροπία στον άξονα y έχουμε: ΣF = 0 N = B B = 6 N, οπότε Τ = μ Ν Τ = 0,5 6 = 3 Ν Έστω υ η ταχύτητα του σώματος μετά από μετατόπιση S = 2. Οι δυνάμεις Ν και Β y είναι κάθετες στην μετατόπιση, οπότε το έργο τους είναι μηδέν και με εφαρμογή του θεωρήματος μεταβολής της κινητικής ενέργειας από το Α στο Γ έχουμε: Κ + Κ = W +W + W 1 2 υ 0 = F S B S T S 1 2 υ 0 = (F B T) S υ = 2 (F B T) S υ = 2 1 (20 8 3) 2 υ = 36 υ = 6 /s β. Η χημική ενέργεια που καταναλώνει ο εργάτης εκφράζεται μέσω του έργου της δύναμης F που ασκεί στο σώμα: Ε = W = F S = 20 2 = 40 J γ. Το έργο της δύναμης F εκφράζει μεταφορά ενέργειας από τον εργάτη στο σώμα. Η μεταφερόμενη αυτή ενέργεια μετατράπηκε: i. σε αύξηση της δυναμικής ενέργειας μέσω του έργου της Β : ΔU = W = B S = 8 2 = 16 J

ii. σε αύξηση της θερμικής ενέργειας των σωμάτων που τρίβονται μέσω του έργου της τριβής: Q = W = T S = 3 2 = 6 J iii. σε αύξηση της κινητικής ενέργειας μέσω του έργου της συνισταμένης των δυνάμεων: ΔΚ = W ( ) = (F B T) S = (20 8 3) 2 = 18 J δ. Το ζητούμενο ποσοστό είναι χημ = = 0,15 ή 15%.

Φύλλο ΑΣΚΗΣΕΩΝ Νο:03 Δυναμική Ενέργεια H Δυναμική Ενέργεια είναι η ενέργεια που έχει αποθηκεύσει ένα σύστημα λόγω της θέσης η λόγω της κατάστασης στην οποία βρίσκεται H Δυναμική Ενέργεια οφείλεται στις δυνάμεις που ασκούνται στο σύστημα H Δυναμική Ενέργεια αντίθετα με την κινητική ενέργεια αποθηκεύεται Βαρυτική δυναμική ενέργεια: Έχει αποθηκευμένη κάποιο σώμα που βρίσκεται σε ύψος h και οφείλεται στην Βαρυτική Έλξη της Γης h Το σώμα έχει Βαρυτική Δυναμική Ενέργεια που δίνεται από τον τύπο: u=gh Ελαστική δυναμική ενέργεια έχει αποθηκευμένη κάποιο ΕΛΑΤΗΡΙΟ λόγω της παραμόρφωσης x που έχει υποστεί. x Το ελατήριο έχει Ελαστική Δυναμική Ενέργεια 01. Σώμα μάζας =2Κg βρίσκεται σε ύψος h=20. Τη χρονική στιγμή t=0 το σώμα αφήνεται ελεύθερο να εκτελέσει ελεύθερη πτώση (δίνεται g=10 2 s ). α. Ποια η μέγιστη και ποια η ελάχιστη τιμή της βαρυτικής δυναμικής του ενέργειας.

β. Να παρασταθεί γραφικά η βαρυτική δυναμική ενέργεια του σώματος σαν συνάρτηση του ύψους h. γ. Να παρασταθεί γραφικά η βαρυτική δυναμική ενέργεια του σώματος σαν συνάρτηση του χρόνου πτώσης t. 02.Το σώμα μάζας =4Κg ισορροπεί δεμένο στην άκρη κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς K=400Ν/. α. Να σχεδιαστούν οι δυνάμεις που ασκούνται στο σώμα καθώς και το φυσικό μήκος του ελατηρίου β. Να υπολογιστεί η παραμόρφωση x του ελατηρίου γ. Να βρεθεί η ελαστική δυναμική ενέργεια που είναι αποθηκευμένη στο ελατήριο 03. Σώμα μάζας =2Kg αφήνεται τη χρονική στιγμή t=0 από την κορυφή λείου κεκλιμένου επιπέδου ύψους h=0,8. α. Να υπολογιστεί η βαρυτική δυναμική ενέργεια του σώματος τη χρονική στιγμή t=0. h A Στη συνέχεια το σώμα κατεβαίνει το κεκλιμένο επίπεδο και διέρχεται από το σημείο Α με ταχύτητα υ=4 s β. Να υπολογιστεί η κινητική ενέργεια του σώματος στο σημείο Α. Το σώμα φτάνει στην άκρη του ελατηρίου σταθεράς Κ=800 και αρχίζει να το συμπιέζει μέχρι που το σώμα ακινητοποιείται στιγμιαία. Η μέγιστη συσπείρωση του ελατηρίου είναι x=0,2. γ. Τη στιγμή που το ελατήριο έχει τη μέγιστη συσπείρωσή του να υπολογιστεί η ελαστική δυναμική ενέργεια του ελατηρίου.

δ. Ποιες μετατροπές ενέργειας συνέβησαν κατά την διάρκεια του φαινομένου; Φύλλο ΑΣΚΗΣΕΩΝ Νο:05 Κινητική Ενέργεια H κινητική ενέργεια ενός σώματος μάζας που κινείται με ταχύτητα U δίνεται από τον 1 τύπο : U 2 2 01. Ποια η μονάδα της ενέργειας στο S.I. Η ενέργεια είναι μονόμετρο ή διανυσματικό μέγεθος; 02. Μπορεί η κινητική ενέργεια ενός σώματος να γίνει αρνητική; Εξηγήστε. 03. Κάποιο σώμα μάζας κινείται με ταχύτητα U και έχει κινητική ενέργεια K. Πόση θα γίνει η κινητική του ενέργεια αν: α. Διπλασιαστεί η ταχύτητά του β. υποδιπλασιαστεί η ταχύτητά του γ. Τριπλασιαστεί η ταχύτητά του 04. Σώμα μάζας =4Κg βρίσκεται σε ύψος h=20. Τη χρονική στιγμή t=0 το σώμα αφήνεται να εκτελέσει ελεύθερη πτώση. Αν g=10 2 s : α. Ποια η κινητική ενέργεια του σώματος λίγο πριν φτάσει στο έδαφος; β. Ποια σχέση δίνει την κινητική ενέργεια του σώματος σε σχέση με το χρόνο; Να γίνει η γραφική παράσταση της Κινητικής ενέργειας K του σώματος σαν συνάρτηση του χρόνου t. γ. Ποια σχέση δίνει την κινητική ενέργεια του σώματος σε σχέση με το ύψος στο οποίο βρίσκεται; Να γίνει η γραφική παράσταση της Κινητικής ενέργειας K του σώματος σαν συνάρτηση του ύψους h.

Φύλλο ΑΣΚΗΣΕΩΝ Νο:06 Αρχή διατήρησης της ενέργειας 1 01. (ΑΔΜΕ στην Ελεύθερη πτώση) Σώμα αφήνεται από ύψος Η=20 να πέσει ελεύθερα. Να βρεθεί η ταχύτητα του σώματος σε ύψος h A =10. α.να βρεθεί η ταχύτητα του σώματος λίγο πριν φτάσει στο έδαφος. (ύψος h Γ =0). β.να βρεθεί το ύψος στο οποίο η ταχύτητά του είναι υ=10 s. Δίνεται g=10 s 2 02. (ΑΔΜΕ στην Κατακόρυφη Βολή) Σώμα εκτοξεύεται από το έδαφος κατακόρυφα προς τα επάνω με αρχική ταχύτητα U 0 =30/s. α.να βρεθεί η ταχύτητα του σώματος σε ύψος h A =10. β.να βρεθεί το μέγιστο ύψος στο οποίο φτάνει το σώμα.δίνεται g=10 2 s 03.(ΑΔΜΕ στην Οριζόντια Βολή) Σώμα εκτοξεύεται οριζόντια με ταχύτητα U 0 =100 s από ύψος Η=200. α. Να βρεθεί το ύψος στο οποίο η ταχύτητα του σώματος σε ύψος h=100. β.να βρεθεί η ταχύτητα του σώματος λίγο πριν φτάσει στο έδαφος (ύψος h Γ =0) Δίνεται g=10 2 s 04.(ΑΔΜΕ σε λείο κεκλιμένο επίπεδο και σε ελατήριο) Σώμα μάζας =2Kg αφήνεται τη χρονική στιγμή t=0 από την κορυφή λείου κεκλιμένου επιπέδου ύψους h=0,8. Δίνεται g=10 2 s α. Να υπολογιστεί η ταχύτητα του σώματος στο σημείο Α. β. Το σώμα φτάνει στην άκρη του ελατηρίου σταθεράς Κ=800 και αρχίζει να το συμπιέζει μέχρι που το σώμα ακινητοποιείται στιγμιαία. Να βρεθεί η μέγιστη συσπείρωση του ελατηρίου. γ. Ποιες μετατροπές ενέργειας συνέβησαν κατά την διάρκεια του φαινομένου; h A

Φύλλο ΑΣΚΗΣΕΩΝ Νο:07 Αρχή διατήρησης της ενέργειας 2 01.(ΑΔΜΕ στην Ελεύθερη πτώση) Σώμα αφήνεται από ύψος Η=20 να πέσει ελεύθερα. α. Να βρεθεί σε ποιο ύψος η ταχύτητα του σώματος γίνεται υ=15 s β. Να βρεθεί η ταχύτητα του σώματος 4 πριν φτάσει στο έδαφος Δίνεται g=10 2 s 02. (ΑΔΜΕ στην Κατακόρυφη Βολή) Σώμα εκτοξεύεται από το έδαφος κατακόρυφα προς τα επάνω με αρχική ταχύτητα U 0 και φτάνει σε ύψος h ax =80. Δίνεται g=10 2 s α. Να βρεθεί η αρχική ταχύτητα U 0 του σώματος β. Να βρεθεί σε ποιο ύψος η ταχύτητα του σώματος ήταν η μισή της αρχικής. 03. (ΑΔΜΕ στην Οριζόντια Βολή) Σώμα εκτοξεύεται οριζόντια με ταχύτητα U 0 =60 s φτάνει στο έδαφος με ταχύτητα U=100 s από άγνωστο ύψος Η. Το σώμα α. Να βρεθεί το ύψος από το οποίο εκτοξεύτηκε το σώμα β. Να βρεθεί η γωνία που σχηματίζει η ταχύτητα του σώματος με την οριζόντια διεύθυνση όταν αυτό βρίσκεται στο έδαφος.δίνεται g=10 2 s

04. (ΑΔΜΕ σε λείο κεκλιμένο επίπεδο και σε ελατήριο) Σώμα μάζας =2Κg βρίσκεται στο ελεύθερο άκρο ιδανικού ελατηρίου σταθεράς Κ=10000. Το ελατήριο διατηρείται συσπειρωμένο κατά x=2c μέσω νήματος. Κάποια χρονική στιγμή κόβουμε το νήμα και το ελατήριο αρχίζει να επιμηκύνεται παρασύροντας το σώμα. α. Να υπολογιστεί η τάση του νήματος πριν αυτό κοπεί και εκτοξεύσει το σώμα. β. Να υπολογιστεί το ύψος στο οποίο θα φτάσει το σώμα επί του λείου κεκλιμένου επιπέδου.δίνεται g=10 2 s. x

Φύλλο ΑΣΚΗΣΕΩΝ Νο:08 Αρχή διατήρησης της ενέργειας 3 2 01. Το σώμα έχει μάζα =7,5Kg και αφήνεται από ύψος h 3 από την ελεύθερη άκρη κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς K=100N/. Να βρεθεί η μέγιστη συσπείρωση που θα υποστεί το ελατήριο. Δίνεται g=10. 2 s h K 02. Το σώμα έχει μάζα =2Kg αφήνεται από την κορυφή κατακόρυφης καμπύλης τροχιάς σχήματος τεταρτοκυκλίου ακτίνας R=1,25. α. Να βρεθεί η ταχύτητα του σώματος όταν αυτό περνάει από το οριζόντιο επίπεδο R β.το σώμα συναντά στο δρόμο του ιδανικό ελατήριο σταθεράς Κ=5000 και αρχίζει να το συσπειρώνει. Να βρεθεί η μέγιστη συσπείρωση του ελατηρίου. Τόσο το τεταρτοκύκλιο όσο και το οριζόντιο δάπεδο δεν εμφανίζουν τριβές. Δίνεται g=10 2 s. 03. Σφαιρίδιο μάζας είναι δεμένο στην άκρη αβαρούς και μη εκτατού νήματος μήκους 40c η άλλη άκρη του οποίου είναι ακλόνητα στερεωμένη σε οροφή. Εκτρέπουμε το σύστημα κατά γωνία φ=60 ο και το αφήνουμε ελεύθερο. Να βρεθεί η ταχύτητα του σφαιριδίου όταν αυτό διέρχεται από την κατακόρυφη θέση. h φ Δίνεται g=10 2 s. U

Φύλλο ΑΣΚΗΣΕΩΝ Νο:09 Η Θερμότητα Q που αναπτύσσεται λόγω ΤΡΙΒΩΝ & ΑΝΤΙΣΤΑΣΕΩΝ ισούται με την απόλυτη τιμή του έργου των δυνάμεων αυτών. Η Προσφερόμενη Ενέργεια λόγω ΕΞΩΤΕΡΙΚΩΝ ΔΥΝΑΜΕΩΝ ισούται με το έργο των δυνάμεων αυτών. Η ΑΔΕ στην περίπτωση που εμφανίζονται και ΜΗ ΔΙΑΤΗΡΗΤΙΚΕΣ δυνάμεις έχει τη μορφή: Ε (αρχ) + Ε προσφ = Ε (τελ) + Q Ασκήσεις με μη διατηρητικές δυνάμεις 01. Σώμα μάζας =2Kg εκτοξεύεται κατακόρυφα προς τα επάνω με ταχύτητα 15/s. Σε ύψος h=2 έχει ταχύτητα μέτρου 5/s (κατά την άνοδό του). Να βρεθεί το έργο της αντίστασης του αέρα μέχρι εκείνη τη στιγμή. Δίνεται g=10 2 s. 02. Σώμα μάζας =2Kg αφήνεται από ύψος h=20. Η δύναμη της αντίστασης του αέρα είναι σταθερή με μέτρο Α=3,8Ν. Να βρεθεί η ταχύτητα του σώματος λίγο πριν αγγίξει το έδαφος. Δίνεται g=10 2 s. 03. Σώμα μάζας =2Kg αφήνεται από ύψος h=15. Το σώμα φτάνει στο έδαφος με ταχύτητα U=15/s. Να βρεθεί το μέτρο της αντίστασης του αέρα. Δίνεται g=10 2 s. 04. Σώμα μάζας =2Kg εκτοξεύεται οριζόντια με ταχύτητα 10/s από ύψος h. Το σώμα φτάνει στο έδαφος με ταχύτητα μέτρου U=11/s. Το συνολικό έργο της αντίστασης του αέρα είναι W A =-10J. Να βρεθεί το ύψος από το οποίο εκτοξεύτηκε το σώμα. Δίνεται g=10 2 s. U 0 h U