ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΜΕ ΣΩΜΑΤΑ ΣΕ ΕΠΑΦΗ. Σύστημα σωμάτων σε επαφή στο οριζόντιο επίπεδο με ελατήριο συνδεδεμένο στο ένα σώμα.

Transcript

1 Σύστημα σωμάτων σε επαφή στο οριζόντιο επίπεδο με ελατήριο συνδεδεμένο στο ένα σώμα.. Σώμα μάζας = 0,5 g έχει το ένα άκρο στερεωμένο σε οριζόντιο ιδανικό ελατήριο σταθεράς = 50 / και το άλλο άκρο του βρίσκεται σε επαφή με Αρχική θεση A σώμα μάζας =,5 g. Το όλο σύστημα βρίσκεται πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Συμπιέζουμε κατά Α τα δύο σώματα όπως φαίνεται στο σχήμα F F δίνοντας το ενέργεια Ε = J και κατόπιν αφήνουμε το σύστημα ελεύθερο να ταλαντωθεί. α. Τις σταθερές ταλάντωσης D, D για κάθε σώμα χωριστά και το πλάτος της αρχικής ταλάντωσης. β. Να βρεθεί το σημείο που τα σώματα χάνουν την επαφή. γ. Να βρεθεί το νέο πλάτος ταλάντωσης: δ. Πόσο απέχουν τα δύο σώματα όταν το Σ ακινητοποιείται στιγμιαία για η φορά; ε. Πόσο απέχουν τα σώματα όταν το Σ ακινητοποιείται στιγμιαία για η φορά; α. Για το σύστημα ισχύει: D ( ) ω = 5 s Άρα D 0,5 5 D =,5 και D,5 5 D = 37,5 E E A A A = 0, β. Η δύναμη επαφής F που το σώμα δέχεται από το σώμα είναι η δύναμη επαναφοράς της ταλάντωσης του. Οπότε για το σώμα ισχύει: F Dx F Dx Η δύναμη επαφής F μηδενίζεται στη θέση όπου x = 0. Συνεπώς τα δύο σώματα χάνουν την μεταξύ τους επαφή στη. του ελατηρίου. γ. Το σύστημα των δύο αρχικά κάνει ταλάντωση με s D ( ) 5, ενώ μετά τη το σώμα Σ κάνει ταλάντωση με D ω = 0 s. ΔΟΥΚΑΤΖΗΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΦΥΣΙΚΟΣ 697 7, W.U.

2 α τρόπος: Με διατήρηση της ενέργειας: Μετά την απώλεια επαφής το σώμα Σ συνεχίζει να ταλαντώνεται (με διαφορετική ενέργεια ταλάντωσης) ενώ το σώμα Σ (με ταχύτητα υ = υ ax = ωα = /s) κινείται ευθύγραμμα και ομαλά, αφού στην διεύθυνση της κίνησης του δεν δέχεται καμία δύναμη. υax,5 E K A A ax A = A A 0, A = 0,, β τρόπος: Η ταλάντωση των Σ, Σ "τελειώνει" στην, οπότε τα σώματα έχουν μέγιστη ταχύτητα υ ax και η ταλάντωση του Σ αρχίζει από την (δεν έχουμε αλλαγή Παραμένει η. ως θέση ισορροπίας και για την νέα ταλάντωση) οπότε έχει επίσης μέγιστη ταχύτητα υ ax κατά την έναρξη της νέας ταλάντωσης. Άρα: ax ax 0 A = 0, δ. Το Σ ακινητοποιείται για πρώτη φορά σε χρόνο t T s μετά την έναρξη της ταλάντωσής του και έχει διανύσει διάστημα ως τότε A Δs υ ax από την s A. Το Σ κάνει Ε.Ο.Κ. με ταχύτητα υ ax = /s. (Την s s ταχύτητα που είχε τη στιγμή της αποχώρησης από το Σ ) και στον ίδιο χρόνο διανύει διάστημα s = υ ax Δt T s ax 0, Άρα τα δύο σώματα απέχουν μεταξύ τους Δs = s s = 0,57 0, = 0,057. ε. Ο χρόνος που χρειάζεται το Σ ακινητοποιηθεί για η φορά είναι t 3T 3 s. Το Σ θα βρίσκεται στο αριστερό άκρο και θα απέχει 4 0 A Δs υ ax από την s = A προς τα αριστερά ενώ το Σ στο ίδιο διάστημα θα s s 3T 3 έχει διανύσει s ax t ax 0, Άρα τα Σ, Σ απέχουν μεταξύ τους Δs = s + s = 0, + 0,47 = 0,57. ΔΟΥΚΑΤΖΗΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΦΥΣΙΚΟΣ 697 7, W.U.

3 . Σώμα μάζας = g είναι κολλημένο με άλλο σώμα μάζας = g με μία κόλλα που αντέχει δύναμη έως την τιμή F = 0 7. Αρχική θεση A Συμπιέζουμε τα δύο σώματα έτσι ώστε το σύστημα να ταλαντώνεται με x ενέργεια Ε = 5 J. Η σταθερά του ελατηρίου είναι = 00 /. F ελ F Να βρείτε: F α. την θέση που τα δύο σώμα αποχωρίζονται β. την ταχύτητα εκείνη τη στιγμή γ. το νέο πλάτος της ταλάντωσης του σώματος μάζας α. Προφανώς η αποκόλληση θα συμβεί αφού τα σώματα περάσουν την Για το σώμα μάζας θα ισχύει: F Dx F Dx F και για το μέτρο της δύναμης από την κόλλα την στιγμή που χάνεται η επαφή ισχύει: F Dx x = D x F Επίσης ισχύει: D ( ) ω = 0 s και D = ω D = 00 /. Άρα x 0 7 x = 0, β. Το αρχικό πλάτος της ταλάντωσης είναι: E E A A A = 0,5 Εφαρμόζω την Α.Δ.Ε. την στιγμή της αποκόλλησης A x 00 0, 5 0,07 U A x υ = υ = υ = 3 + s γ. Η νέα ταλάντωση ξεκινά αμέσως μετά την αποκόλληση του σώματος μάζας. Για να βρούμε το νέο πλάτος θα εφαρμόσουμε την Α.Δ.Ε. για την νέα ταλάντωση: 8 U A x A 0, A = 0,4. ΔΟΥΚΑΤΖΗΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΦΥΣΙΚΟΣ 697 7, W.U. 3

4 Δύο σώματα σε οριζόντιο ελατήριο που ταλαντώνονται με την βοήθεια της τριβής. 3. Σε λείο οριζόντιο δάπεδο βρίσκεται σώμα Σ μάζας = 3 g δεμένο στο ένα άκρο οριζοντίου ελατηρίου σταθεράς = 5 το άλλο άκρο του οποίου είναι στερεωμένο σε ακλόνητο σημείο. Πάνω στο σώμα Σ τοποθετούμε σώμα Σ μάζας = g όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Μεταξύ των δύο σωμάτων υπάρχουν τριβές με συντελεστή τριβής μ s = 0,4. Εκτρέπουμε το σύστημα έτσι ώστε να ταλαντώνεται με πλάτος Α = 0,. Να βρείτε: α. την σταθερά επαναφοράς κάθε σώματος χωριστά β. την μέγιστη τιμή του μέτρου της στατικής τριβής γ. το μέτρο της ταχύτητας του συστήματος των δύο σωμάτων όταν το μέτρο της στατικής τριβής είναι Τ = 3 Ν. δ. την μέγιστη ενέργεια που μπορούμε να προσφέρουμε στο σύστημα χωρίς να παρατηρηθεί ολίσθηση μεταξύ των δύο σωμάτων. Δίνεται g = 0 /s. α. Εφόσον τα δύο σώματα ταλαντώνονται χωρίς να χάνεται η επαφή, θα έχουν κοινό πλάτος και κοινή κυκλική συχνότητα D ( + ) 5 5 ω = 5 s Άρα D = ω D = 75 / και D + D = D = D = 50 / β. Για το σώμα έχουμε: F D x T D x T Dx T Dx T T, ax DA T στατ,ax = 5 w γ. Σε κάποια θέση x θα έχουμε και στατική τριβή με μέτρο Τ Αποδείξαμε παραπάνω ότι Τ στ = D x 3 = 50x x = 0,06. Εφαρμόζω την Α.Δ.Ε. την στιγμή που έχουμε x = 0,06 ΔΟΥΚΑΤΖΗΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΦΥΣΙΚΟΣ 697 7, W.U. 4

5 A x 5 0,0 0,0036 U A x υ = υ = υ = s δ. Για να βρούμε την μέγιστη ενέργεια που μπορούμε να προσφέρουμε στο σύστημα χωρίς να υπάρξει ολίσθηση χρειάζεται να βρούμε το μέγιστο πλάτος που μπορούμε να έχουμε ώστε να μην χάνεται η επαφή. Για το μέτρο της στατικής τριβής έχουμε: g μg x g x A = ω s s s s οριακο 0, 4.0 A οριακο = οριακο 5 A = 0,6. Άρα η μέγιστη ενέργεια είναι: Eax A 5 0, 056 E ax =,6J ΔΟΥΚΑΤΖΗΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΦΥΣΙΚΟΣ 697 7, W.U. 5

6 Δύο σώματα σε κεκλιμένο επίπεδο με ελατήριο που ταλαντώνονται με την βοήθεια της τριβής. 4. Σε λείο κεκλιμένο επίπεδο βρίσκεται σώμα Σ μάζας =,5 g δεμένο στο ένα άκρο οριζοντίου ελατηρίου σταθεράς = 50 / το άλλο άκρο του οποίου είναι στερεωμένο σε ακλόνητο σημείο. Πάνω στο σώμα Σ τοποθετούμε σώμα Σ μάζας = 0,5 g όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Μεταξύ των δύο φ ( σωμάτων υπάρχουν τριβές με συντελεστή τριβής μ s =. Εκτρέπουμε το σύστημα έτσι ώστε να ταλαντώνεται με πλάτος Α = c. Να βρείτε: α. την σταθερά επαναφοράς κάθε σώματος χωριστά β. την μέγιστη τιμή του μέτρου της στατικής τριβής γ. το μέγιστο πλάτος που μπορεί να ταλαντώνεται το σύστημα χωρίς να παρατηρηθεί ολίσθηση μεταξύ των δύο σωμάτων. Δίνεται g = 0 /s, ημφ = 0,6, συνφ = 0,8. α. Εφόσον τα δύο σώματα ταλαντώνονται χωρίς να χάνεται η επαφή, θα έχουν κοινό πλάτος και κοινή κυκλική συχνότητα D ( + ) 50 ω = 5 s Άρα D = ω D = 37,5 / και D + D = D = D =,5 / β. Για το σώμα έχουμε: F D x T wx D x T wx Dx T g x Δηλαδή το μέτρο της στατικής τριβής γίνεται μέγιστο στην T στ w x ( φ ακραία αρνητική θέση (x = A) δηλαδή w y w φ ( Τ στατ.(ax) = gημφ + ω Α Τ στατ.(ax) = 0,5 0 0,6 + 0,5 5 0,0 Τ στατ.(ax) = 3,5. ΔΟΥΚΑΤΖΗΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΦΥΣΙΚΟΣ 697 7, W.U. 6

7 γ. Για το μέτρο της στατικής τριβής έχουμε: g g μ gσυνφ gημφ g x g x A = ω s s s s οριακο 0 0,8 0 0,6 A οριακο = 5 A οριακο = 0,0 ΔΟΥΚΑΤΖΗΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΦΥΣΙΚΟΣ 697 7, W.U. 7

8 Δύο σώματα σε κατακόρυφο ελατήριο 5. Το σύστημα των δύο σωμάτων = g και = g ισορροπεί δεμένο σε ελατήριο σταθεράς = 300 /. Προκαλούμε επιπλέον παραμόρφωση προς τα κάτω d = 0, και αφήνουμε το σύστημα να ταλαντωθεί. α. να αποδείξετε ότι θα χαθεί η επαφή στην θέση όπου το ελατήριο έχει το φυσικό του μήκος. β. να γράψετε και να σχεδιάσετε την δύναμη που δέχεται το σώμα μάζας από το για όσο διάστημα υπάρχει επαφή, σε σχέση με την απομάκρυνση Να βρείτε: γ. την ταχύτητα την στιγμή που χάνεται η επαφή δ. το πλάτος της νέας ταλάντωσης του σώματος μάζας θεωρώντας ότι απομακρύνουμε το σώμα μάζας μόλις φτάσει στο μέγιστο ύψος του ε. το μέγιστο ύψος που φτάνει το σώμα μάζας. Δίνεται g = 0 /s. α. Εφόσον τα δύο σώματα ταλαντώνονται χωρίς να χάνεται η επαφή, θα έχουν κοινό πλάτος και κοινή κυκλική συχνότητα D ( + ) ω = 0 s D = ω D = 00 / και D = ω D = 00 / Για το σώμα μάζας ισχύει F D x g x g x (g x) Το σώμα χάνει την επαφή με το δίσκο, όταν θα έχουμε Ν = 0. Μέγιστο πλάτος έχουμε όταν το σώμα οριακά χάνει την επαφή του. w Για να έχουμε επαφή θα πρέπει 0 (g x) 0 g x 0 x g g Άρα το μέγιστο πλάτος ταλάντωσης είναι: A ax = A ω ax = 0, ΔΟΥΚΑΤΖΗΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΦΥΣΙΚΟΣ 697 7, W.U. 8

9 Το πλάτος της ταλάντωσης είναι όσο η αρχική εκτροπή δηλαδή Α = d = 0, > A ax, άρα θα χαθεί η επαφή. Για την ισορροπία των σωμάτων ισχύει: F 0 F ( )g ( )g ( )g Άρα η επαφή χάνεται στη θέση φυσικού μήκους του ελατηρίου. Δ = 0,. F ελ w w Δl Σημείωση: Η επαφή όταν χάνεται, χάνεται πάντα στη θέση φυσικού μήκους του ελατηρίου. β. υπολογίσαμε παραπάνω ότι g Dx άρα Ν = 0 00x (S.I.) για 0, x 0, (Ν) 30 Η γραφική παράσταση φαίνεται στο διπλανό σχήμα. 0, 0 0, x () γ. Λίγο πριν χαθεί η επαφή τα δύο σώματα εκτελούν Α.Α.Τ. Εφαρμόζω την Α.Δ.Ε. για την ταλάντωση στην θέση που χάνεται η επαφή (x = Α ax ): (Α Α ) 300 (0,04 0,0) E K U ( ) υ= + 3 ax ax υ = 3 s δ. Μόλις αποχωριστούν τα δύο σώματα αλλάζει η της ταλάντωσης η οποία τώρα βρίσκεται στη θέση F 0 F g g g Δ = 30. Ν. w F ελ Δl Εφαρμόζω την Α.Δ.Ε. για την νέα ταλάντωση στη. για το σώμα μάζας, και έχουμε: 3 4 E K U Α = 30 ε. Για να βρούμε το μέγιστο ύψος που θα φτάσει το σώμα μετά το χάσιμο επαφής από το σώμα εφαρμόζω Θ.Μ.Κ.Ε. από την στιγμή που χάνεται η επαφή και έχουμε ταχύτητα υ που υπολογίσαμε παραπάνω μέχρι το μέγιστο ύψος όπου μηδενίζεται η ταχύτητα στιγμιαία. υ W 0 ghax h ax = g h ax = 0,5. ΔΟΥΚΑΤΖΗΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΦΥΣΙΚΟΣ 697 7, W.U. 9

10 Δύο σώματα σε κατακόρυφο ελατήριο και το χάσιμο επαφής του κάτω σώματος 6. Το σώμα Σ μάζας = g ισορροπεί δεμένο στο πάνω άκρο κατακόρυφου ελατηρίου σταθεράς = 00 / το άλλο άκρο του οποίου είναι δεμένο στο σώμα Σ μάζας = 3 g. Συμπιέζουμε το ελατήριο ώστε να παραμορφωθεί επιπλέον κατά 0,3 και αφήνουμε το Σ να εκτελέσει ταλάντωση. Να βρείτε: Άκρο Σ Σ α. τη σχέση της δύναμης του ελατηρίου σε σχέση με την απομάκρυνση από τη θέση ισορροπίας του Σ, x. β. την δύναμη που δέχεται το σώμα Σ από το δάπεδο σε συνάρτηση με την απομάκρυνση x και να την σχεδιάσετε σε βαθμολογημένους άξονες. γ. το μέγιστο πλάτος ταλάντωσης του Σ ώστε να μην χάνεται η επαφή με το δάπεδο του Σ. Δίνεται g = 0 /s, θετική η φορά προς τα πάνω. Το σώμα κινδυνεύει να χάσει την επαφή με το δάπεδο, όταν το ελατήριο έχει επιμηκυνθεί, ώστε η F ελ να έχει φορά προς τα πάνω, όπως στο σχήμα. Στην οριακή περίπτωση που μόλις χάνεται η επαφή θα έχουμε Ν = 0 άρα: α. Για το σώμα ισχύει: F Dx F g x F x g F ελ = 00x 0 (S.I.) με 0,3 x 0,3 Άκρο Δl Α F ελ F ελ w F ελ w β. Για το σώμα : w y F F F 0 F w g F 30 (00x 0) = 40 00x (S.I.) με 0,3 x 0,3 (Ν) Η γραφική παράσταση φαίνεται στο διπλανό σχήμα: γ. Για να υπάρχει επαφή θα πρέπει η δύναμη επαφής να είναι θετική. 0,3 0 0,3 x () x x x 0,4 Οπότε η μέγιστη τιμή της απομάκρυνσης είναι και το πλάτος της ταλάντωσης: A ax = 0,4 ΔΟΥΚΑΤΖΗΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΦΥΣΙΚΟΣ 697 7, W.U. 0